bài toán đối ngẫu

Khoa Khoa học Tự nhiên và Xã hội – Đại học Thái Nguyên

Bài giảng: Toán Quy hoạch 03/2008 Ths. Ngô Văn Định

Chương 3. Bài toán đối ngẫu

3.1. Khái niệm

3.2. Quan hệ giữa cặp BT đối ngẫu

3.3. Ý nghĩa của BT đối ngẫu (tự nghiên cứu)

3.4. Phương pháp đơn hình đối ngẫu



3.1. Khái niệm bài toán đối ngẫu

3.1.1. Hàm Lagrange- Xét BT QHTT dạng chuẩn tắc:

f(x)=ctx min,Ax ≥ b, (P)x ≥ 0.

- Hàm L(x,y)=ctx+(b-Ax)ty, xRn+, yRm

+ gọi là hàm Lagrange của BT (P).- Điểm (x*,y*)Rn

+ Rm+ gọi là điểm yên ngựa của

hàm Lagrange L(x,y) nếu:L(x*,y)≤L(x*,y*)≤L(x,y*), xRn

+, yRm+



3.1.2. Đối ngẫu của BT dạng chuẩn tắcTa có xRn

+, Ax ≥ b b-Ax ≤ 0

ctx, nếu xRn+ t/m Ax ≥ b,

maxyL(x,y)=

+, còn lại.Do vậy, (P) minxmaxyL(x,y) (*)

Đổi thứ tự lấy cực trị ta có bài toán:maxyminxL(x,y)

(**)Bài toán (*) là bài toán gốc, (**) gọi là bài toán đối ngẫu.




Đặt g(y) = minx{ctx+(b-Ax)ty}

= minx{ctx+bty-xtAty}

= minx{bty+ctx-ytAtx}

= minx{bty+(c-Aty)tx}bty, nếu c≥Aty,

=-∞, trái lại.

Vậy BT đối ngẫu (**) chính là:g(y)=bty max,

Aty ≤ c, (Q)y ≥ 0.




Ví dụ: Bài toán đối ngẫu của BTf(x)=x1-x2+2x3min,

2x1-3x2+x4≥-1,

x1-2x2+3x3 ≥2, (P)

x1+x2+x3-x4≥2,

xj ≥0, j=1,2,3,4.

là BT sau: g(y)=-y1+2y2+2y3 max,

2y1+y2+y3≤1,

-3y1-2y2+y3≤-1, (Q)

3y2+y3≤2,

y1-y3≤0,

yj ≥0, j=1,2,3.




3.1.3. Đối ngẫu của BT chính tắc- Xét BT QHTT dạng chính tắc:

f(x)=ctx min,Ax = b, (P)x ≥ 0.

- Chuyển (P) về dạng chuẩn tắc:f(x)=ctx min, btu+(-bt)v max,

Ax ≥ b, Atu+(-At)v ≤c,-Ax ≥ -b, u ≥ 0, v ≥ 0.x ≥ 0.




Đặt y=u-v ta được BT đối ngẫu:g(y)=bty max,Aty ≤ c, (Q)y có dấu tự do.

Ví dụ: f(x) =x1-2x2 max,

-x1+2x2=3, (P)

2x1-5x2=12,

xj≥0, j=1,2.

g(y)=3y1+12y2 max,

-y1+2y2 ≤1, (Q)

2y1-5y2 ≤-2.




3.1.4. Đối ngẫu của BT tổng quát

Xét bài toán quy hoạch tuyến tính tổng quát có dạng.

min...)( 2211 nnxcxcxcxf

iininii bxaxaxa ...2211 1Ii



)(0 2Jjx j , xj tùy ý )( 2Jj , )(0 3Jjx j



Bài toán đối ngẫu


,

,

,,

max,)(

31

21

11

1

Jcya

Jjcya

Jjcya

ybyg

j

m

iiij

j

m

iiij

m

ijiij

m

iii

)(,0 1Iiyi , iy tùy ý( 2Ii ), )(,0 3Iiyi .



Ví dụ: Xét BT: f(x)=x1-x2+2x3 min,

-x1+x2-2x3=6,

2x1-x2+x3≤5, (P)

3x1-2x2+3x3 ≥-2,

x1≥0, x2 ≤0.

BT đối ngẫu là g(y)=6y1+5y2-2y3 max,

-y1+2y2+3y3 ≤1,

y1-y2-2y3 ≥ -1, (Q)

-2y1+y2+3y3=2,

y2 ≤0, y3 ≥0.Nhận xét: Quan hệ gốc – đối ngẫu là đối xứng.(cặp BT đối ngẫu)




3.2. Tính chất của cặp BT đối ngẫu

Bài toán gốc (P)f(x)=ctxmin,

Ax=b,x≥0.

Bài toán đối ngẫu (Q)g(y)=bty max,

Aty≤c,y tự do.

Xét cặp BT đối ngẫu với BT gốc dạng chính tắc và không suy biến.



Định lý 1(Đối ngẫu yếu). Nếu x là một phương án bất kỳ của BT (P) và y là một phương án bất kỳ của BT (Q) thì f(x)≥g(y).

Chứng minh: g(y) = bty = <Ax,y> = <x,Aty> ≤ <x,c> = ctx = f(x).

Định lý 2. Nếu x*, y* lần lượt là các p.á của (P) và (Q), đồng thời f(x*)=g(y*) thì x* và y* lần lượt là các p.á.t.ư của (P) và (Q).

Chứng minh:xDp: f(x) ≥g(y*)=f(x*) x* là p.á.t.ư của (P).

yDQ: g(y)≤f(x*)=g(y*) y* là p.á.t.ư của (Q).




Định lý 3 (đối ngẫu mạnh). a) Nếu (P) có p.á.t.ư thì (Q) cũng có p.á.t.ư và ngược lại, đồng thời giá trị tối ưu bằng nhau.b) Nếu f(x) không bị chặn dưới trong Dp thì (Q) không có phương án.

Nếu g(y) không bị chặn trên trong DQ thì (P) không có phương án.

Chứng minh:

Hệ quả. Điều kiện cần và đủ để cặp p.á x*, y* lần lượt là p.á.t.ư của cặp BT đối ngẫu (P), (Q) là ctx*=bty*.




Định lý 4 (Định lý độ lệch bù yếu). Một cặp phương án x, y của hai quy hoạch đối ngẫu (P) và (Q) là cặp phương án tối ưu khi và chỉ khi chúng nghiệm đúng các hệ thức

1

1

( ) 0, 1, 2,..., ,

( ) 0, 1, 2,..., .

n

i ij j ij

m

j j ij ii

y a x b i m

x c a y j n

Chứng minh.

Nhận xét: Nếu biết 1 p.á.t.ư của bài toán gốc thì ta có thể suy ra các p.á.t.ư của bài toán đối ngẫu mà không cần giải nó.




Ví dụ: cho bài toán quy hoạch tuyến tính:

có p.á.t.ư x*=(0,1,0,2,3) với fmin=f(x*)=6. Tìm tập p.á.t.ư của BT đối ngẫu tương ứng.

Giải.Bài toán đối ngẫu

5

1

1 2 3

1 2 3 4

1 2 3 5

( ) min,

3 1

5 3

2 5 8

0, 1,2,3,4,5.

jj

j

f x x

x x x

x x x x

x x x x

x j




1

1

1

15

1253

max,83)(

3

2

321

321

321

321

y

y

yyy

yyy

yyy

yyyyg5

1

1 2 3

1 2 3 4

1 2 3 5

( ) min,

3 1

5 3

2 5 8

0, 1,2,3,4,5.

jj

j

f x x

x x x

x x x x

x x x x

x j

Gọi y*=(y1,y2,y3) là p.á.t.ư của BT đối ngẫu. Vì x2>0, x4>0, x5>0, theo định lý độ lệch bù yếu, y* thỏa mãn hệ pt:

1

1

15

3

2

321

y

y

yyyGiải hệ pt ta được y*=(-5,1,1). Vậy BT

đối ngẫu có 1 p.á.t.ư lày* =(-5,1,1) và g(y*)=6=f(x*).




3.4.1. Cơ sở chấp nhận được đối ngẫuXét BT QHTT dạng chính tắc

f(x)=ctxmin,Ax=b, (P)x≥0.

Giả thiết: rank(A)=m; {Aj, jJ} là hệ gồm m vectơ cột đltt của A. Gọi J là cơ sở của A; AJ là ma trận cơ sở.

Ký hiệu K={1,2,…,n}\J. Vectơ x=(xJ,xK) với xk=0 và AJxJ=b gọi là p.á cơ sở của (P) ứng với J. Ta có xJ=AJ

-

1b.




Định nghĩa: Nếu xJ=AJ-1b≥0 thì J gọi là cơ sở chấp

nhận được. Nếu x là p.á.t.ư thì J gọi là cơ sở tối ưu.

Xét BT đối ngẫu của (P)g(y)=btymax,

Aty≤c. (Q) Định nghĩa: Vectơ y=(AJ

t)-1cJ được goi là p.á cơ sở đối ngẫu ứng với cơ sở J. Nếu y là p.á chấp nhận được của (Q) thì J được gọi là cơ sở chấp nhận được đối ngẫu.




Nhận xét: Nếu cơ sở J vừa chấp nhận được gốc, vừa chấp nhận được đối ngẫu thì nó là cơ sở tối ưu.

Ý tưởng: Xuất phát từ một cơ sở chấp nhận được đối ngẫu nhưng chưa chấp nhận được gốc, ta tiến hành đổi cơ sở chấp nhận được đối ngẫu cho đến khi gặp cơ sở chấp nhận được gốc, tức là cơ sở tối ưu.

Định nghĩa: Nếu J là cơ sở chấp nhận được đối ngẫu nhưng không chấp nhận được gốc thì xJ=AJ

-1b được gọi là giả p.á.




Giả sử J là cơ sở chấp nhận được đối ngẫu. Giả thiết J={1,2,…,m}. Lập bảng

J cJ xJ 1 2 … k … nc1 c2 … ck … cn

12…m

c1

c2

…cm

x1

x2

…xm

z11 z12 … z1k … z1n

z21 z22 … z2k … z2n

… … … … … … …zm1 zm2 … zmk … zmn

f(x) 1 2 … k … n

3.4.2. Bảng đơn hình đối ngẫu



Bước 1. Lập bảng đơn hình đối ngẫu ban đầu .

Bước 2. Kiểm tra tối ưu: Nếu mọi phần tử trong cột giả phương án đều không âm thì dừng quá trình giải và ta nhận được phương án tối ưu của bài toán đã cho. Trái lại, chuyển sang bước 3.

Bước 3. Chọn dòng quay: Đó là dòng đầu tiên từ trên xuống mà nó chứa phần tử âm nhỏ nhất trong cột giả phương án.

3.4.3. Thuật toán đơn hình đối ngẫu



Bước 4. Chọn cột quay: Chia các phần tử trên dòng ước lượng (cuối mỗi bảng) cho các phần tử tương ứng trên dòng quay, nhưng chỉ chia cho những phần tử âm trên dòng quay. Cột quay là cột đầu tiên từ trái sang phải ứng với số nhỏ nhất trong các tỉ số đó.

Bước 5. Biến đổi bảng đơn hình hoàn toàn như trong phương pháp đơn (thay đổi biến cơ sở, đổi hệ số mục tiêu tương ứng, xác lập các vectơ đơn vị, biến đổi dòng quay và cuối cùng là biến đổi các dòng khác theo quy tắc hình chữ nhật). Quay trở về bước 2.

3.4.3. Thuật toán đơn hình đối ngẫu



Ví dụ: Giải BT QHTT sau:

3,1,0

14032

160243

min,101215)(

321

321

321

jx

xxx

xxx

xxxxf

j

Giải. Đưa bài toán về dạng chính tắc và đổi dấu hai vế các ràng buộc đẳng thức, ta nhận được bài toán:

5,1,0

14032

160243

min,101215)(

5321

4321

321

jx

xxxx

xxxx

xxxxf

j



Ta có bảng đơn hình đối ngẫu:

J cJ xJ

1 2 3 4 5

15 12 10 0 0

4 0 -160 -3 -4 -2 1 0

5 0 -140 -1 -2 -3 0 1

Bảng1 0 -15 -12 -10 0 0

2 12 40 3/4 1 1/2 -1/4 0

5 0 -60 1/2 0 -2 -1/2 1

Bảng2 480 -6 0 -4 -3 0



2 12 25 7/8 1 0 -3/8 1/4

3 10 30 -1/4 0 1 1/4 -1/2

Bảng 3 600 -7 0 0 -2 -2

Vậy x*=(0,25,30) với f(x*)=600.



Nội dung chính của chương 3

Bài toán đối ngẫu

Mối quan hệ giữa bài toán gốc và bài toán đối ngẫu

Phương pháp đơn hình đối ngẫu và thuật toán của nó.

Hết chương 3Bài tập

bài toán đối ngẫu

Documents