bai4

1

Hướng dẫn thí nghiệm điều khiển tự động (bổ sung)-©Huỳnh Minh Ngọc

Bài 4: Phân tích hệ thống điều khiển dung biến trạng thái

4.1. Mục tiêu

-Biểu diễn hệ bằng phương trình trạng thái.

-Chuyển đổi từhàm truyền sang biến trạng thái và ngược lại. -Xét đápứng nấc, đáp ứng xung, biểu đồ bode, biểu đồ Nyquist.

-Vẽ quỹ đạo nghiệm số.

4.2. Nội dung

4.2.1. Biểu diễn hệ bằng phương trình trạng thái.

Cơ sở lý thuyết: Phöông phaùp khoâng gian traïng thaùi

1. Moâ hình trong khoâng gian traïng thaùi:

Lyù thyuyeát ñieàu khieån hieän ñaïi. Khuynh höôùng hieän ñaïi trong heä thoáng kyõ thuaät laø höôùng tôùi söï phöùc taïp hôn, bôûi vì chuû yeáu yeâu caàu cuûa caùc nhieäm vuï phöùc taïp vaø ñoä chính xaùc toát. Heä thoáng phöùc taïp coù theå coù nhieàu ngoõ vaøo vaø nhieàu ngoõ ra vaø coù theå thay ñoåi theo thôøi gian. Bôûi vì söï can thieát ñeå ñaùp öùng yeâu caàu gia taêng veà chaát löôïng cuûa heä thoáng ñieàu khieån, söï gia taêng trong ñoä phöùc taïp heä thoáng, vaø deã daøng truy xuaát ñeán maùy tính lôùn phöùc taïp, lyù thuyeát ñieàu khieån hieän ñaïi,maølaø moat tieáp can môùi trong phaân tích vaø thieát keá heä thoáng ñieàu khieån phöùc taïp, ñaõ ñöôïc phaùt trieån töø naêm 1960. Tieáp can naøy döïa treân khaùi nieäm traïng thaùi. Khaùi nieäm traïng thaùi töï noù khoâng coù gìmôùi vì noù ñaõ toàn taïi trong thôøi gian daøi tronglónh vöïc ñoäng hoïc coå ñieån vaø caùc lónh vöïc khaùc. Lyù thuyeát ñieàu khieån hieän ñaïi vaø lyù thuyeát ñieàu khieån thoâng thöôøng (coå ñieån). Lyù thuyeát ñieàu khieån hieän ñaïi thì ñoái laäp vôùi lyù thuyeát ñieàu khieån thoâng thöôøng (coå ñieån). Lyù thuyeát ñieàu khieån hieän ñaïi coù theå öùng duïng trong heä thoáng coù nhieàu ngoõ vaøo vaø nhieàu ngoõ ra (multi-input-multi-output system), coù theå laø heä tuyeán tính hay phi tuyeán, baát bieán theo thôøi gian hay thay ñoåi theo thôøi gian. Trong khi lyù thuyeát ñieàu khieån coå ñieån chæ coù theå öùng duïng ñöôïc cho heä thoáng moat ngoõ vaøomoät ngoõ ra baát bieán theo thôøi gian. Lyù thuyeát ñieàu khieån hieän ñaïi chuû yeáu laø tieáp can mieàn thôøi gian, trong khi lyù thuyeát ñieàu khieån coå ñieån laø tieáp can mieàn taàn soá phöùc. Tröôùc khi chuùng ta tieán haøn hôn nöõa, chuùng ta phaûi ñònh nghóa traïng thaùi, bieán traïng thaùi, vectô traïng thaùi vaø khoâng gian traïng thaùi. Traïng thaùi. Traïng thaùi cuûa moat heä thoáng ñoäng laø taäp hôïp nhoû nhaát cuûa caùc bieán (ñöôïc goïilaø bieán traïng thaùi) ñeå maø tri thöùc cuûa nhöõng bieán naøy taïi t=t0 cuøng vôùi tri thöùc cuûa ngoõ vaøo ôû t>=t0, hoaøn toaøn xaùc ñònh haønh vi cuûa heä thoáng cho baát kì t>=t0. Chuù yù laø khaùi nieäm traïng thaùi khoâng chæ giôùi haïn tôùi heä thoáng vaät lí. Noù coøn aùp duïng ñöôïc cho heä thoáng sinh hoïc, heä thoáng kinh teá, heä thoáng xaõ hoäi hay caùi khaùc. Bieán traïng thaùi. Bieán traïng thaùi cuûa heä thoáng ñoäng laø nhöõng bieán taïo neân taäp hôïp nhoû nhaát cuûa caùc bieán maø xaùc ñònh traïng thaùi cuûa heä thoáng ñoäng. Neáu ít nhaát n bieán

nxxx ,...,, 21 ñöôïc can ñeå moâ taû ñaày ñuû haønh vi cuûa heä thoáng ñoäng (ñeåmaø khi ngoõ vaøo vôùi t>=t0 vaø traïng thaùi ñaàu taïit=t0 ñöôïc chæ ra, thì traïng thaùi töông lai cuûa heä thoáng hoaøn toaøn ñöôïc xaùc ñònh), theá thì n bieán nhö vaäy laø taäp hôïp bieán traïng thaùi.

2


Chuù yù laø bieán traïng thaùi khoâng can ñöôïc ño löôøng vaät lí hay laø ñaïi löôïng coù theå quan saùt ñöôïc. Bieán traïng thaùi maø khoâng theå hieän ñaïi löôïng vaät lí vaø maø hoaëc khoâng ño löôøng hay quan saùt ñöôïc thì coù theå ñöôïc choïn nhö bieán traïng thaùi. Söï choïn töï do bieán traïng thaùi laø moat thuaän lôïi cuûa phöông phaùp khoâng gian traïng thaùi. Vectô traïng thaùi. Neáu n bieán traïng thaùi ñöôïc can ñeå moâ taû hoaøn toaøn haønh vi cuûa cuûa moat heä cho tröôùc, thì n bieán traïng thaùi naøy coù theå ñöôïcxem nhö laø n thaønh phaàn cuûa vectô x. Vectô nhö vaäy ñöôïc goïi laø vectô traïng thaùi. Moät vectô traïng thaùi laø vectô maø xaùc ñònh duy nhaát traïng thaùi heä thoáng x(t) cho baát kì t>=t0, vì traïng thaùi taïi t=t0 laø ñöôïc cho tröôùc vaø ngoõ vaøi u(t) vôùi t>=t0 ñöôïc chæ ra.

Hình: Sô ñoà khoái cuûa heä thoáng ñieàu khieån lieân tuïc, tuyeán tính ñöôïc theå hieän trong khoâng gian traïng thaùi.

Khoâng gian traïng thaùi. Khoâng gian n chieàu maø truïc toaï ñoä goàm coù truïc x1, truïc x2,…, xn laø caùc bieán traïng thaùi, thì ñöôïc goïi laø khoâng gian traïng thaùi. Baát kì traïng thaùi coù theå ñöôïc theå hieän bôûi moat ñieåm trong khoâng gian traïng thaùi. 1.1.Phöông trình traïng thaùi: Giaû söû heä thoáng coù nhieàu ngoõ vaøo vaø nhieàu ngoõ ra goàm n boä tích phaân. Cuõng giaû söû laø coù r ngoõ vaøo )(),...,(),( 21 tututu r ,vaø m ngoõ ra )(),...,(),( 21 tytyty m . Ñònh nghóa n ngoõ ra cuûa boä tích phaân nhö laø bieán traïng thaùi )(),...,(),( 21 txtxtx n . Theá thì heä thoáng coù theå ñöôïc moâ taû bôûi:

);,...,,;,...,,()(

.

.

.

);,...,,;,...,,()(

);,...,,;,...,,()(

2121

212122

212111

tuuuxxxftx

tuuuxxxftx

tuuuxxxftx

rnnn

rn

rn

=

=

=

&

&

&

(1)

Ngoõ ra )(),...,(),( 21 tytyty m cuûa heä thoáng ñöôïc cho bôûi:

3


);,...,,;,...,,()(

.

.

.

);,...,,;,...,,()(

);,...,,;,...,,()(

2121

212122

212111

tuuuxxxgty

tuuuxxxgty

tuuuxxxgty

rnmm

rn

rn

=

=

=

(2)

Neáu chuùng ta ñònh nghóa

=

=

);,...,,;,...,,(

.

.

.

);,...,,;,...,,(

);,...,,;,...,,(

),,(,

)(

.

.

.

)(

)(

)(

2121

21212

21211

2

1

tuuuxxxf

tuuuxxxf

tuuuxxxf

tuxf

tx

tx

tx

tx

rnn

rn

rn

n

=

=

=

)(

.

.

.

)(

)(

)(,

);,...,,;,...,,(

.

.

.

);,...,,;,...,,(

);,...,,;,...,,(

),,(,

)(

.

.

.

)(

)(

)(

2

1

2121

21212

21211

2

1

tu

tu

tu

tu

tuuuxxxg

tuuuxxxg

tuuuxxxg

tuxg

ty

ty

ty

ty

rrnm

rn

rn

m

Thì phöông trình (1) vaø (2) trôû thaønh: ),,()( tuxftx =& (3) ),,()( tuxgty = (4)

Phöông trình (3) laø phöông trình traïng thaùi vaø phöông trình (4) laø phöông trình ngoõ ra. Neáu haøm vectô f vaø g baogoàm thôøi gian t töôøng minh thì heä thoáng ñöôïc goïi laø heä thay ñoåi theo thôøi gian. Neáu phöông trình (3) vaø (4) ñöôïc tuyeán tính hoùa quanh traïng thaùilaøm vieäc, thì chuùng ta coù phöông trình traïng thaùi tuyeán tính hoùa vaø phöông trình ngoõ ra:

)()()()()( tutBtxtAtx +=& (5) )()()()()( tutDtxtCty += (6)

Trong ñoù A(t) ñöôïc goïilaøma traän traïng thaùi, B(t) laø ma traän ngoõ vaøo, C9t) laø ma traän ngoõ ra, vaø D(t) laø ma traän chuyeån tröïc tieáp. Neáu haøm f vaø g khoâng bao goàm thôøi gian t töôøng minh thì heä thoáng ñöôïc goïi laø heä baát bieán theo thôøi gian (time-invariant system). Phöông trình (5) vaø (6) coù theå ñöôïc ñôn giaûn hoùa nhö sau:

)()()( tButAxtx +=& (7) )()()( tDutCxty += (8)

Phöông trình (7) laø phöông trình traïng thaùi cuûa heä baát bieán theo thôøi gian. Phöông trình (8) laø phöông trình ngoõ ra cuûa heä trteân. Thí duï : Xeùt maïch ñieän goàm 3 phaàn töû: ñieän trôû R, ñieän caûm L, vaø tuï ñieän C. Ñieän aùp ñaët vaøo maïch laø u1.

4


u1 C1

C

u2

R1

R

L1

CHOKE RF

Hình

Phöông trình moâ taû maïch ôû traïng thaùi ñoäng : U1=uR+uL+uC

Hay u1=i.R + L. 2udt

di+

U2= ∫ dtiC

.1

Traïng thaùi cuûa maïch ñöôïc quyeát ñònh bôûi ñieän aùp u2 vaø doøng ñieän i. Ta goïi u2 vaø I laø caùc bieán traïng thaùi. Ta vieát laïi heä phöông trình neáu ñaët:

U2=x1 laø bieán traïng thaùi thöù nhaát. I=x2 laø bieán traïng thaùi thöù hai.

12

2

.1

.1

.

.

uL

uL

iL

R

dt

di

dt

duCi

+−−=

=

Suy ra :

+−−=

=

1212

2

1

.1

..1

.1

uL

xL

Rx

Ldt

dx

xCdt

dx

Daïng chính taéc treân ñöôïc vieát laïi nhö sau :

coù daïng BuAXX +=.

Caùc ma traän

−−=

LRL

CA

//1

/10

+−−=

++=

1212

1211

.1

..1

.0.1

.0

uL

xL

Rx

Ldt

dx

uxC

xdt

dx

5


=

LB

/1

0

=

dt

dx

dt

dx

X2

1

.

=

2

1

x

xX

Ngoõ ra Y=C.X vôùi C=[1 0] Trong lyù thuyeát heä thoáng ñieàu khieån, taäp hôïp caùc phöông trình vi phaân thöôøng baäc nhaát goïi laø phöông trình traïng thaùi vaø x1, x2 goïi laø bieán traïng thaùi.

Thí duï: Cho heä thoáng cô khí vaät-loø xo-ñeäm coù phöông trình vi phaân :

Hình: Heä thoáng cô khí.

ukyybym =++ &&& (1) Heä naøy laø baäc hai. Ñieàu naøy coù nghóa laø heä goàmhaikhaâu tích phaân. Chuùng ta haõy ñònh nghóa bieán traïng thaùi x1(t) vaø x2(t) nhö sau:

)()(

)()(

2

1

tytx

tytx

&=

=

Theá thì chuùng ta coù:

um

ybkym

x

xx

1)(

12

21

+−−=

=

&&

&

Hay

6


21 xx =& (2)

um

xm

bx

m

kx

1212 +−−=& (3)

Phöông trình ngoõ ra: 1xy = (4)

ÔÛ daïng ma traän –vectô, phöông trình (2),(3) coù theå vieát laïi:

u

mx

x

m

b

m

kx

x

+

−−=

1010

2

1

2

1

&

& (4): laø phöông trình traïng thaùi.

Phöông trình ngoõ ra:

[ ]

=

2

101

x

xy (5)

Phöông trình (4) vaø (5) coù daïng chuan: BuAxx +=& DuCxy +=

Trong ñoù

−−=

m

b

m

kA10

, [ ] 0,01,10

==

= DC

m

B

1.2.Moái quan heä giöõa haøm truyeàn vaø phöông trình traïng thaùi : *xeùt heä SISO Chuùng ta haõy xem xeùt heä thoáng coù haøm truyeàn ñöôïc cho bôûi :

)()(

)(sG

sU

sY= (1)

Heäthoáng naøy coùtheå ñöôïc theå hieän trong khoâng gian traïng thaùi bôûi caùc phöông trình sau : BuAxx +=& (2) DuCxy += (3)

Trong ñoù x laø vectô traïng thaùi, u laø tín hieäu vaøo, vaø y laø ngoõ ra. Bieán ñoåiLaplace cuûa phöông trình (2) vaø (3) ñöôïc cho bôûi :

)()()0()( sBUsAXxssX +=− (4) )()()( sDUsCXsY += (5)

Vì haøm truyeàn ñöôïc ñònh nghóa tröôùc laø tæ soá cuûa bieán ñoåi Laplace ngoõ ra vaø bieán ñoåiLaplace ngoõ vaøo vôùi ñieàu kieän ñaàu zero, chuùng ta cho x(0) =0 trong phöông trình (4). Khi ñoù chuùng ta coù :

)()()( sBUsAXssX =− Hay

)()()( sBUsXAsI =− Baèng caùch nhaân tröôùc 1)( −− AsI vaøo hai veá cuûa phöông trình cuoái, chuùng ta ñaït ñöôïc :

)()()( 1sBUAsIsX

−−= (6) Thay phöông trình (6) vaøo (5), ta coù :

)(])([)( 1sUDBAsICsY +−= − (7)

So saùnh phöông trình (7) vôùi (1), chuùng ta thaáy raèng :

7


DBAsICsG +−= −1)()( (8) Ñaây laø bieåu dieãn haøm truyeàn cuûa heä thoáng coù phöông trình traïng thaùi ôû daïng A,B,C,D. Chuù yù laø veá phaûi cuûa phöông trình (8) bao goàm 1)( −− AsI .Vaäy G9s) coù theå ñöôïc vieát laïi:

AsI

sQsG

−=

)()(

Trong ñoù Q(s) laø ña thöùc theo s. Nhö vaäy AsI − laø ña thöùc ñaëc tröng cuûa G(s). Noùi caùch

khaùc, trò rieâng cuûa ma traän A laø baèng vôùi cöïc cuûa G(s). Thí duï: Cho heä thoáng cô khí vaät-loø xo-ñeäm coù phöông trình vi phaân :

ukyybym =++ &&& Phöông trình traïng thaùi vaø phöông trình ngoõ ra coù daïng chuan:

BuAxx +=& DuCxy +=

Trong ñoù

−−=

m

b

m

kA10

, [ ] 0,01,10

==

= DC

m

B

Tìm haøm truyeàn cuûa heä töø phöông trình traïng thaùi. Thay ma traän A, B,C, D vaøo (8), ta coù:

[ ]

[ ]

+

−=

+

−−−

=

+−=

−

−

−

mm

bs

m

ks

mm

b

m

ks

s

DBAsICsG

101

01

01010

0

001

)()(

1

1

1

Vì

−

+

++

=

+

−−

sm

km

bs

m

ks

m

bsm

bs

m

ks 1

11

2

1

Chuùng ta coù:

[ ]

kbsms

msm

km

bs

m

ks

m

bs

sG

++=

−

+

++

=

2

2

1

101

101)(

Thí duï: Cho heä thoáng ñieàu khieån kieåm keâ ôû hình sau

)(2)(

)(2)(

2

21

tudt

tdx

txdt

tdx

−=

−=

8


trong ñoù x1(t)= möùc kieåm keâ, x2(t)=toác ñoä baùn ra cuûa saûn phaåm vaø u(t)=toác ñoä saûn xuaát. Phöông trình ngoõ ra y(t)=x1(t). Ñôn vò thôøi gian laø moät ngaøy. Tìmhaøm truyeàn cuûa heä. Giaûi: Phöông trình traïng thaùi:

BuAXX +=& y=C.X trong ñoù

[ ]01;2

0;

00

20=

−=

−= CBA

Haøm truyeàn heä Gp(s)=C.(sI-A)-1.B

=

−−

=−

s

ssAsI

0

2

00

20

00

01

−

=

−=

−=

−

−=

=−

−

−

s

ss

s

s

ss

s

sAsI

AsIadj

s

sAsI

T

10

21

0

21

2

01

)det(

)(

0

2)(

2

22

1

1

[ ]22

21 4

2

021

2

0

10

21

01)(sss

s

ssBAsIC =

−

−=

−

−

=− −

Vaäy : 2

4)(

ssG p = .

*Ma traän haøm truyeàn : Xeùt heä coù nhieàu ngoõ vaøo vaø nhieàu ngoõ ra. Giaû söû raèng coù r ngoõ vaøo u1, u2,…,ur vaø m ngoõ ra y1, y2,…, ym. Ñònh nghóa :

=

my

y

y

y

.

.

.

2

1

,

=

ru

u

u

u

.

.

.

2

1

Ma traän haøm truyeàn G(s) lieân quan ngoõ ra Y(s) vaø ngoõ vaøo U(s), hay )().()( sUsGsY =

Trong ñoù G(s) ñöôïccho bôûi : DBAsICsG +−= −1)()(

Vì vectô u coù r chieàu vaø ngoõ ra y coù m chieàu neân ma traän haøm truyeàn coù chieàu laø m x r. Ma traän quaù ñoä : Xeùt heä coù phöông trình traïng thaùi :

9


)()()(

tBrtAxdt

tdx+=

)()()( tDrtCxty +=

trong ñoù x(t)=nx1 vector traïng thaùi. R(t)=vector ngoõ vaøo. y(t)=vector ngoõ ra.

)(])([)( 1sRDBAsICsY +−= −

Ma traän quaù ñoä : [ ]11 )()( −− −==Φ AsILetAt

Hay ...!3

1

!2

1)( 3322 ++++== tAtAAtIet

Atφ

Ma traän Φ(t) ñöôïc goïi laø ma traän quaù ñoä (ma traän chuyeån traïng thaùi) cuûa heä thoáng. Nghieäm cuûa phöông trình traïng thaùi (Phöông trình chuyeån traïng thaùi ) Phöông trình chuyeån traïng thaùi ñöôïc ñònh nghóa laø nghieäm cuûa phöông trình traïng thaùi thuaàn nhaát tuyeán tính. Phöông trình traïng thaùi tuyeán tính baát bieán theo thôøi gian

)()()(

tButAxdt

tdx+=

y(t)=Cx(t)+Du(t) Nghieäm cuûa phöông trình traïng thaùi laø:

000

0

)]()[()()()( ttdButtxtttx

t

t

≥−+−= ∫ τττφφ (*)

Tröôøng hôïp t0=0 vaø neáu x(0)=0 thì ta coù:

0)]()[()(0

≥−= ∫ tdButtx

t

τττφ (**)

Vaø tìm ñöôïc ngoõ ra y(t)=Cx(t)+Du(t). Neáu D=0 thì y(t)=Cx(t). Thí duï: Xem xeùt phöông trình traïng thaùi sau

)(1

0

)(

)(

32

10

)(

)(

2

1

2

1

tutx

tx

dt

tdxdt

tdx

+

−−=

Baøi toaùn laø xaùc ñònh ma traän chuyeån traïng thaùi )(tφ vaø vectô traïng thaùi x(t) vôùi t≥0 khi ngoõ vaøo u(t)=1 vôùi t≥0. Heä soá ma traän ñöôïc xaùc ñònh laø

=

−−=

1

0;

32

10BA (1)

Khi ñoù

+

−=

−−−

=−

32

1

32

10

0

0

s

s

s

sAsI (2)

Ma traän nghòch ñaûo cuûa (sI-A) laø

10


−

+

++=− −

s

s

ssAsI

2

13

23

1)(

2

1 (3)

Ma traän chuyeån traïng thaùi cuûa A ñöôïc tìm ra baèng caùch laáy bieán ñoåi Laplace ngöôïc cuûa (3)

+−+−

−−=−=

−−−−

−−−−−−

tttt

tttt

eeee

eeeeAsILt

22

22

11

222

2])[()(φ (4)

Phöông trình chuyeån traïng thaùi x(t) vôùi t≥0 ñöôïc tìm baèng caùch thay phöông trình (4), ma traän B, vaø u(t) vaøo (*), ta ñaït ñöôïc

τττττ

ττττ

deeee

eeee

xeeee

eeeetx

t

tttt

tttt

tttt

tttt

+−+−

−−+

+−+−

−−=

∫ −−−−−−−−

−−−−−−−−

−−−−

−−−−

1

0

222

2

)0(222

2)(

0

)(2)()(2)(

)(2)()(2)(

22

22

hay

05.05.0

)0(222

2)(

2

2

22

22

≥

−

+−+

+−+−

−−=

−−

−−

−−−−

−−−−

tee

eex

eeee

eeeetx

tt

tt

tttt

tttt

2.Theå hieän khoâng gian traïng thaùi cuûa heä thoáng ñoäng Heä thoáng ñoäng goàm coù moät soá höõu haïn caùcphaàn töû coù theåmoâ taû bôûi phöông trình vi phaân thoâng thöôøng trong ñoù thôøi gian laø bieán ñoäc laäp. Baèng caùch söû duïng kí hieäu ma traän-vectô, moät phöông trình vi phaân baäc n coù theå ñöôïc bieåu dieãn bôûi phöông trình vi phaân ma traän vectô baäc nhaát.Neáu n phaàn töû cvectô laø taäp hôïp bieán traïng thaùi, thì phöông trình vi phaân ma traän-vectô laømoät phöông trình traïng thaùi. Trong phaàn naøy chuùng ta seõ trình baøy phöông phaùp ñeå ñaït ñöôïc theå hieän khoâng gian traïng thaùi cuûa heä thoáng lieân tuïc thôøi gian. 2.1.Theå hieän khoâng gian traïng thaùi cuûa heä phöông trình vi phaân tuyeán tính baäc n maø tín hieäu vaøo (haøm taùc ñoäng) khoâng coù chöùa thaønh phaàn ñaïo haøm: Xem xeùt heä phöông trình baäc n sau:

)()()(

...)()(

11

1

1 tutyadt

tdya

dt

tyda

dt

tydnnn

n

n

n

=++++ −−

−

(2-182)

Chuù yù raèng tri thöùc veà )0(),0(),0(1

1

−

−

n

n

dt

yd

dt

dyy ,cuøng vôùi ngoõ vaøo u(t) vôùi t>=0 xaùc ñònh

hoaøn toaøn haønh vi töông lai cuûa heä thoáng. Chuùng ta coù theå duøng 1

1 )(,...,

)(),(

−

−

n

n

dt

tyd

dt

tdyty

nhö laø taäp hôïp n bieán traïng thaùi. Chuùng ta ñònh nghóa

11


)1(

2

1

.

.

.

−

=

=

=

n

n yx

yx

yx

&

Phöông trình (2-182) coù theå vieát laïi nhö sau:

uxaxax

xx

xx

xx

nnn

nn

+−−−=

=

=

=

−

11

1

32

21

...

.

.

.

&

&

&

&

Hay BuAxx +=& (2-183)

Trong ñoù

=

nx

x

x

x

.

.

.

2

1

,

−−−−

=

−− 121 ...

1...000

.......

.......

.......

0...100

0...010

aaaa

A

nnn

,

=

1

0

.

.

.

0

0

B

Ngoõ ra coù theå ñöôïc cho bôûi:

[ ]

=

nx

x

x

y

.

.

.0...01

2

1

Hay xCy .= (2-184) Trong ñoù [ ]0...01=C Chuù yù laø D=0 Phöông trình (2-183) laø phöông trình traïng thaùi vaø phöông trình (2-184) laø phöông trình ngoõ ra. Chuù yù laø theå hieän khoâng gian traïng thaùi cho heä haøm truyeàn

nn

nnasasassU

sY

++++=

−−

1

1

1 ...

1

)(

)(

12


Cuõng ñöôïc cho bôûi phöông trình (2-183) vaø (2-184). Thí duï 1: Cho phöông trình vi phaân moâ taû heä:

)(5)()(4)( trtytyty =++ &&& Tím phöông trình traïng thaùi: Ñaët

)()(

)()()(

)()(

2

12

1

tytx

tytxtx

tytx

&&&

&&

=

==

=

Phöông trình treân ñöôïc vieát laïi: )()( 21 txtx =&

)(54 212 trxxx +−−=& Phöông trình traïng thaùi coù daïng: aùp duïng coâng thöùc (2-84)

=

+=

)()(

)()()(

tCxty

tBrtAxtx&

vôùi

=

=

2

1

2

1,

x

xx

x

xx

&

&&

[ ]01

,5

00

,41

1010

0

12

=

=

=

−−=

−−=

C

bB

aaA

Thí duï 2: Cho heä thoáng ñieàu khieån coù quan heä tín hieäu vaøo-ra moâ taû baèng phöông trình vi phaân sau:

)()(10)(6)(5)(2 trtctctctc =+++ &&&&&& Tìm phöông trình traïng thaùi.

2.2.Theå hieän khoâng gian traïng thaùi cuûa heä phöông trình vi phaân tuyeán tính baäc n maø haøm ngoõ vaøo coù chöùa thaønh phaàn ñaïo haøm.

Xeùt heä phöông trình vi phaân maø bao goàm ñaïo haøm cuûa tín hieäu vaøo, nhö laø:

ubdt

dub

dt

udb

dt

udbya

dt

dya

dt

yda

dt

ydnnn

n

n

n

nnn

n

n

n

++++=++++ −−

−

−−

−

11

1

1011

1

1 ...... (2-185)

Baøi toaùn chính laø ñònh nghóa bieán traïng thaùi trong tröôøng hôïp naøy name ôû thaønh phaàn ñaïo haøm. Bieán traïng thaùi phaûi laø bieán ñeå maø loaïi boû ñaïo haøm cuûa u trong phöông trình traïng thaùi.

Moät caùch ñeå ñaït ñöôïc phöông trình traïng thaùi vaø phöông trình ngoõ ra laø ñònh nghóa n bieán sau nhö laø taäp hôïp n bieán traïng thaùi.

13


uxuuuuyx

uxuuuyx

uxuuyx

uyx

nnnn

nnn

n 1112

)2(

1

)1(

0

)1(

222103

11102

01

...

.

.

.

−−−−

−−−

−=−−−−−=

−=−−−=

−=−−=

−=

βββββ

ββββ

βββ

β

&&

&&&&&&

&&&

(2-186)

Trong ñoù nββββ ,...,,, 210 ñöôïc xaùc ñònh töø:

01111

03122133

021122

0111

00

...

.

.

.

ββββ

ββββ

βββ

ββ

β

nnnnn aaab

aaab

aab

ab

b

−−−−=

−−−=

−−=

−=

=

−−

(2-187)

Vôùi söï choïn löïa bieán traïng thaùi naøy söï toàn taïi vaø duy nhaát cuûa nghieäm phöông trình traïng thaùi ñöôïc baûo ñaûm. Vôùi söï choïn löïa bieán traïng thaùi hieän taïi, chuùng ta ñaït ñöôïc:

uxaxaxax

uxx

uxx

uxx

nnnnn

nnn

β

β

β

β

+−−−−=

+=

+=

+=

−

−−

1211

11

232

121

...

.

.

.

&

&

&

&

(2-188)

ÔÛ daïng phöông trìmh ma traän –vectô, phöông trình (2-188) coù theå ñöôïc vieát nhö sau:

u

x

x

x

x

aaaax

x

x

x

n

n

n

n

nnnn

n

.

.

.

.

.

.

.

.

...

1...000

.......

.......

.......

0...100

0...010

.

.

.

1

2

1

1

2

1

121

1

2

1

+

−−−−

=

−−

−−

−

β

β

β

β

&

&

&

&

14


[ ] u

x

x

x

y

n

.

.

.

..0...01 0

2

1

β+

=

Hay uBxAx .. +=& (2-189) uDxCy .. += (2-190)

Trong ñoù:

=

−

n

n

x

x

x

x

x

1

2

1

.

.

.

,

−−−−

=

−− 121 ...

1...000

....

....

....

0...100

0...010

aaaa

A

nnn

=

−

n

n

B

β

β

β

β

1

2

1

.

.

.

, [ ] 00,0...01 bDC === β

Trong theå hieän khoâng gian traïng thaùi naøy, ma traän A vaø C laø gioáng nhö ô phöông trình (2-182). Ñaïo haøm ôû veá phaûi cuûa phöông trình (2-185) chæ aûnh höôûng ma traän B. Chuù yù laø theå hieän khoâng gian traïng thaùi cuûa haøm truyeàn

nn

nn

nn

nn

asasas

bsbsbsb

sU

sY

++++

++++=

−−

−−

1

1

1

1

1

10

...

...

)(

)(

Cuõng ñöôïc cho bôûi phöông trình (2-189) vaø (2-190). Thí duï: Xeùt heä sau:

15


Hình : Heä khoái löôïng-loø xo-ñeäm gaén treân xe.

Phöông trình vi phaân moâ taû heä:

um

ku

m

by

m

ky

m

by +=++ &&&&

(1)

Haøm truyeàn laø:

kbsms

kbs

sU

sYsG

++

+==

2)(

)()(

(2)

Tröôùc tieân ta so saùnh (1) vôùi daïng chuan: ubububyayay 21021 ++=++ &&&&&&

Vaø nhaän dieän ra a1, a2, b0, b1 vaø b2 nhö sau:

m

kb

m

bbb

m

ka

m

ba ===== 21021 ,,0,,

Theo phöông trình (2-187) ta coù:

2

021122

0111

00 0

−=−−=

=−=

==

m

b

m

kaab

m

bab

b

βββ

ββ

β

Theo phöông trình (2-186) ta ñònh nghóa:

um

bxuxx

yuyx

−=−=

=−=

1112

01

&& β

β

Töø phöông trình (2-188) ta coù :

um

b

m

kx

m

bx

m

kuxaxax

um

bxuxx

−+−−=+−−=

+=+=

2

21221122

2121

β

β

&

&

Vaø phöông trình ngoõ ra: 1xy =

16


Hay Phöông trình traïng thaùi:

u

m

b

m

k

m

b

x

x

m

b

m

kx

x.

102

2

1

2

1

−

+

−−=

&

&

Phöông trình ngoõ ra:

[ ]

=

2

101

x

xy

. 4.2.2. Chuyển đổi qua lại giữa hàm truyền và phương trình trạng thái.

3.Chuyeån ñoåi moâ hình toaùn hoïc baèng Matlab Matlab coù ích ñeå chuyeån moâ hình heä thoáng töø haøm truyeàn ra khoïng gian traïng thaùi vaø ngöôïc laïi. Leänh tf2ss: chuyeån haøm truyeàn ra phöông trình traïng thaùi. Cuù phaùp: [A,B,C,D]=tf2ss(num,den).

Thí duï: Cho haøm truyeàn 1605614)(

)(23 +++

=sss

s

sU

sY . Tìm phöông trình traïng thaùi vaø

phöông trình ngoõ ra. Num=[0 0 1 0]; Den=[1 14 56 160]; [A,B,C,D]=tf2ss(num,den) A= -14 -56 -160 1 0 0 0 1 0 B= 1 0 0 C= 0 1 0 D= 0 Leänh ss2tf: chuyeån töø khoâng gian traïng thaùi ra haøm truyeàn: Cuù phaùp : [num,den]=ss2tf(A,B,C,D,iu) Trong ñoù iu chæ ra heä coù nhieàu hôn moät ngoõ vaøo. Thí duï,neáu heä coù 3 ngoõ vaøom (u1, u2, u3) thì iu seõ laø 1, 2 hay 3, trong ñoù 1 chæ u1, 2 chæ u2 vaø 3 chæ u3. Thí duï: Xeùt heä treân,leänh : A=[-14 -56 -160;1 0 0;0 1 0]; B=[1;0;0];

17


C=[0 1 0]; D=[0]; [num,den]=ss2tf(A,B,C,D) Hay [num,den]=ss2tf(A,B,C,D,1) Num= 0 0 1 0 Den= 1 14 56 160 Thí duï: Cho heä coù phöông trình traïng thaùi sau:

[ ]

=

−

+

−−−

=

3

2

1

3

2

1

3

2

1

001

120

25

0

5255

100

010

x

x

x

y

u

x

x

x

x

x

x

&

&

&

Tìm haøm truyeàn. Haøm truyeàn ñaït ñöôïc duøng Matlab laø:

5255

525

)(

)(23 +++

+=

sss

s

sU

sY

Leänh Matlab: A=[0 1 0;0 0 1;-5 -25 -5]; B=[0;25;-120]; C=[1 0 0]; D=[0]; [num,den]=ss2tf(A,B,C,D) Num= 0 0.0000 25.0000 5.0000 Den= 1.0000 5.0000 25.0000 5.0000 %ket qua sau cung co the dat duoc bang lenh sau day [num,den]=ss2tf(A,B,C,D,1) Num= 0 0.0000 25.0000 5.0000 Den= 1.0000 5.0000 25.0000 5.0000

Tham khảo: 1. Katsuhiko Ogata,Modern control engineering, Prentice Hall, 4th

edition,

2002.

4.2.3. Đáp ứng nấc, đáp ứng xung.

4.2.4. Biểu đồ Bode, biểu đồ Nyquist.

4.2.5. Xét ổn định, tính sai số xác lập.

4.2.6. Quỹ đạo nghiệm số.

4.3. Thí nghiệm

18


4.3.1. Tìm phương trình trạng thái của hệ thống điều khiển.

2. Hệ thống được biểu diễn bằng phương trình biến trạng thái sau:

dx/dt=Ax+Bu

A=[ 0 1 0

64.4 0 -16

0 0 -100]

B=[0

0

100]

y=[1 0 0]x

Tìm hàm truyền G(s)=Y(s)/X(s)

» A=[0 1 0;64.4 0 -16;0 0 -100]

» B=[0; 0;100]

» C=[1 0 0]

» D=[0]

» [num,den]=ss2tf(A,B,C,D,1)

num =

1.0e+003 *

0 0.0000 0.0000 -1.6000

den =

1.0e+003 *

0.0010 0.1000 -0.0644 -6.4400

Do đó hàm truyền là :

G(s)=(–1600)/(s3 +100s

2 –64.4s -6440)

3. Lệnh ss:

Lệnh Matlab tạo ra hệ thống mô tả bởi phương trình trạng thái có các ma trận

a,b,c,d : a=[0 1;-3 -2]; b=[0;1]; c=[1 0]; d=0

>>PTTT=ss(a,b,c,d)

Biến đổi mô tả toán học từ dạng phương trình trạng thái về dạng hàm truyền :

a=[0 1;-3 -2]; b=[0;1]; c=[1 0]; d=0;. L ệnh Matlab là:

19


>>PTTT=ss(a,b,c,d)

>>g=tf(PTTT)

4.3.2. Đáp ứng nấc, đáp ứng xung.

4.3.3.Biểu đồ Bode, biểu đồ Nyquist.

4.3.4. Vẽ quỹ đạo nghiệm số 4.4.Kiểm tra đánh giá.

Tham khảo:

1. B.C. Kuo, Automatic Control systems,Willey,8th

edition,2002.

2. K. Ogata, Modern Control engineering,Prentice Hall, 4th

edition, 2002.

bai4

Documents