bai7 khai trien_taylor
TRANSCRIPT
![Page 1: Bai7 khai trien_taylor](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062219/587313f91a28ab673e8b4b25/html5/thumbnails/1.jpg)
KHAI TRIỂN TAYLOR
![Page 2: Bai7 khai trien_taylor](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062219/587313f91a28ab673e8b4b25/html5/thumbnails/2.jpg)
Công thức khai triển Taylor với phần dư Lagrange
20 00 0 0
( )0
0
( )1! 2!
!
nn
n
f x
R
f xf x f x x x x x
f xx x
n
( 1)
10 ,
( 1)!
nn
nf c
x xn
R
f có đạo hàm cấp n+1 trong (a, b) chứa x0:
(khai triển Taylor đến cấp n trong lân cận x0)
c nằm giữa x và x0
![Page 3: Bai7 khai trien_taylor](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062219/587313f91a28ab673e8b4b25/html5/thumbnails/3.jpg)
Công thức khai triển Taylor với phần dư Peano
20 00 0
0
0
( )0
0
( )1! 2!
(!
) nn
n
f x f xf x f x x x x x
f xo x xx x
n
f có đạo hàm cấp n tại x0:
Phần dư Peano.
x0 = 0: khai triển Maclaurin.
![Page 4: Bai7 khai trien_taylor](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062219/587313f91a28ab673e8b4b25/html5/thumbnails/4.jpg)
Ý nghĩa của khai triển Taylor
f(x): biểu thức phức tạp
cần tìm 1 hàm số đơn giản hơn và gần bằng f(x) để thuận tiện trong tính toán.
Hàm đơn giản nhất là đa thức.
![Page 5: Bai7 khai trien_taylor](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062219/587313f91a28ab673e8b4b25/html5/thumbnails/5.jpg)
f(x) = sinx
![Page 6: Bai7 khai trien_taylor](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062219/587313f91a28ab673e8b4b25/html5/thumbnails/6.jpg)
( ) ( )f x x o x
f(x) = sinx
![Page 7: Bai7 khai trien_taylor](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062219/587313f91a28ab673e8b4b25/html5/thumbnails/7.jpg)
33( ) ( )
3!xf x x o x ( ) ( )f x x o x
f(x) = sinx
![Page 8: Bai7 khai trien_taylor](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062219/587313f91a28ab673e8b4b25/html5/thumbnails/8.jpg)
33( ) ( )
3!xf x x o x ( ) ( )f x x o x
4 2 17
1( ) ( 1) ( )
(2 1)!
nn
n
xf x o xn
f(x) = sinx
![Page 9: Bai7 khai trien_taylor](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062219/587313f91a28ab673e8b4b25/html5/thumbnails/9.jpg)
Ví dụ 1.
(khai triển f thành đa thức theo lũy thừa của (x – 1) đến (x – 1)3)•Với phần dư Peano, chỉ cần tính đến đh cấp 3.
•Với phần dư Lagrange, phải tính đến đh cấp 4.
Tìm khai triển Taylor đến cấp 3 trong lân cận x = 1 cho 1( )f x
x
![Page 10: Bai7 khai trien_taylor](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062219/587313f91a28ab673e8b4b25/html5/thumbnails/10.jpg)
(1) 1f 1( )f xx
2
1( )f xx
(1) 1f
32( )f xx
(1) 2f
46( )f xx
(1) 6f
2
3 3
(1) (1)( ) (1) ( 1) ( 1)1! 2!
(1) ( 1) ( 1)3!
f ff x f x x
f x o x
(4)5
24( )f xx
![Page 11: Bai7 khai trien_taylor](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062219/587313f91a28ab673e8b4b25/html5/thumbnails/11.jpg)
2
3 3
(1) (1)( ) (1) ( 1) ( 1)1! 2!
(1) ( 1) ( 1)3!
f ff x f x x
f x o x
2 3 31 2 6( ) 1 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)1! 2! 3!
f x x x x o x
32 31 ( 1) ( 1) ( ( 1)1)x ox x x
Phần dư Peano
![Page 12: Bai7 khai trien_taylor](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062219/587313f91a28ab673e8b4b25/html5/thumbnails/12.jpg)
(4)5
24( )f xx
Nếu dùng phần dư Lagrange:
323( 1)( ) 1 ( 1) ( 1)f x x x Rx
4(
3
)4( ) ( 1)
!4cfR x
44
5 51 24 ( 1)( 1)4!
xxc c
![Page 13: Bai7 khai trien_taylor](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062219/587313f91a28ab673e8b4b25/html5/thumbnails/13.jpg)
Ví dụ 2
2( ) 2 tan (1 tan )f x x x
2 2 2( ) 2(1 tan ) 6 tan (1 tan )f x x x x
2
3 3
(0) (0)( ) (0) ( 0) ( 0)1! 2!
(0) ( 0) ( 0)3!
f ff x f x x
f x o x
33tan ( )
3xx x o x
Viết khai triển Maclaurin đến cấp 3 cho f(x) = tan x2( ) 1 tanf x x
![Page 14: Bai7 khai trien_taylor](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062219/587313f91a28ab673e8b4b25/html5/thumbnails/14.jpg)
Ví dụ 3
2 3(2) (2) (2)( ) (2) ( 2) ( 2) ( 2)1! 2! 3!
f f ff x f x x x
Biết f(x) là đa thức bậc 3, với f(2) = 0, f’(2) = 1, f ”(2) = 4, f ’”(2) = 12, tìm f(1), f ’(1)
Vì f(x) là đa thức bậc 3 nên f(4)(x) = 0
Khai triển Taylor của f đên cấp 3 không có phần dư.
![Page 15: Bai7 khai trien_taylor](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062219/587313f91a28ab673e8b4b25/html5/thumbnails/15.jpg)
2 3(2) (2) (2)( ) (2) ( 2) ( 2) ( 2)1! 2! 3!
f f ff x f x x x
Biết f(x) là đa thức bậc 3, với f(2) = 0, f’(2) = 1, f ”(2) = 4, f ’”(2) = 12, tìm f(1), f ’(1)
2 31 4 120 ( 2) ( 2) ( 2)1! 2! 3!
x x x
2 3( 2) 2( 2) 2( 2)x x x
2( ) 1 4( 2) 6( 2)f x x x
(1) 1, (1) 1f f
![Page 16: Bai7 khai trien_taylor](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062219/587313f91a28ab673e8b4b25/html5/thumbnails/16.jpg)
Khai triển Maclaurin các hàm cơ bản
( ) ( )k xf x e
( )
1
(0)(0) ( 0) ( 0)!
n kx k n
k
fe f x o xk
1
11 ( )!
nx k n
ke x o x
k
( ) (0) 1kf
(x0 = 0)(. )1 xf x e
![Page 17: Bai7 khai trien_taylor](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062219/587313f91a28ab673e8b4b25/html5/thumbnails/17.jpg)
1( ) ( 1) ( 1)!( )
(1 )
kk
kkf x
x
( )
1
(0)ln(1 ) (0)!
n kk n
k
fx f x o xk
1
1ln(1 ) ( 1) ( )
n kk n
k
xx o xk
( )2. l 1 ) n(f x x
( ) 1(0) ( 1) ( 1)!k kf k
![Page 18: Bai7 khai trien_taylor](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062219/587313f91a28ab673e8b4b25/html5/thumbnails/18.jpg)
( ) ( ) ( 1) ( 1)(1 )k kf x k x
( )
1
(0)(1 ) (0)!
n kk n
k
fx f x o xk
2( 1)(1 ) 11! 2!( 1) ( 1) ( )
!n n
x x x
n x o xn
( )3. (1 ) f x x
( ) (0) ( 1) ( 1)kf k
![Page 19: Bai7 khai trien_taylor](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062219/587313f91a28ab673e8b4b25/html5/thumbnails/19.jpg)
Áp dụng cho = 1.
2 31 1 ( 1) ( )1
n n nx x x x o xx
2( 1)(1 ) 11! 2!( 1) ( 1) ( )
!n n
x x x
n x o xn
![Page 20: Bai7 khai trien_taylor](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062219/587313f91a28ab673e8b4b25/html5/thumbnails/20.jpg)
( ) ( ) sin2
kf x x k
2 1 ( )
2 1
0
(0)sin (0)!
n kk n
k
fx f x o xk
( ) si3. nf x x
( ) (0) sin2
kf k
(1) (0) 1,f
2 1
1 2 1
1sin ( 1)
(2 1)!
n kk n
k
xx o xk
(2 ) 0 0pf
(3) (0) 1,f 1(2 1) (0) 1 ppf
![Page 21: Bai7 khai trien_taylor](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062219/587313f91a28ab673e8b4b25/html5/thumbnails/21.jpg)
2 ( )
2
0
(0)sin (0)!
n kk n
k
fx f x o xk
2 1
1 2
1sin ( 1)
(2 1)!
n knk
ko xxx
k
Lưu ý cho hàm sin x
f(2n)(0) = 0 hệ số của x2n là 0.
![Page 22: Bai7 khai trien_taylor](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062219/587313f91a28ab673e8b4b25/html5/thumbnails/22.jpg)
Bảng công thức kt Maclaurin cơ bản2
1 ( )1! 2! !
xn
nx x xe o xn
2 31( 1) ( )
2 3ln(1 )
nn nx x xx o xx
n
2( 1)11! 2!( 1) ( 1) (
(1 )
)!
n n
x x
n x o x
x
n
![Page 23: Bai7 khai trien_taylor](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062219/587313f91a28ab673e8b4b25/html5/thumbnails/23.jpg)
2 31 ( 1)11
( )n n nx x x o xx
x
3 5 2 1
1 2 1( 1)3! 5! (2 1)!
sinn
n nx x x xx o xn
2nhay o x
2 4 2
21 ( 1)2! 4! (
c2 )!
osn
n nx x x o xxn
2 1no xhay
![Page 24: Bai7 khai trien_taylor](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062219/587313f91a28ab673e8b4b25/html5/thumbnails/24.jpg)
Khai triển Maclaurin của arctan và hyperbolic
3 5 2 1
2 1s3! 5! (2 1)
i!
nhn
nx x xx o xn
x
3 5 2 1
1 2 1( 1)arcta5 2 1
n3
nn nx x xx o x
nx
2 4 2
212! 4!
cos( )!
h2
nnx x x o x
nx
Giống sinx, cosx nhưng không đan dấu
Giống sinx, nhưng mẫu số không có giai thừa.
![Page 25: Bai7 khai trien_taylor](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062219/587313f91a28ab673e8b4b25/html5/thumbnails/25.jpg)
Ví dụ áp dụng
2 3 31 u u u o u
2 3 3( ) 1 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)f x x x x o x
1. Tìm khai triển Taylor đến cấp 3 trong lân cận x = 1 cho: 1( )f x
x
x0 = 1 0, đặt biến phụ : u = x – x0 = x – 1
1( )1
f xu
Trả về biến cũ:
![Page 26: Bai7 khai trien_taylor](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062219/587313f91a28ab673e8b4b25/html5/thumbnails/26.jpg)
2. Tìm khai triển Taylor đến cấp 3 trong lân cận x = 1 cho:
( ) ln( 2)f x x
u = x – 1
( ) ln(3 )f x u ln(1 2 )u
2 3
3(2 ) (2 )2 (2 )2 3u uu o u
Sai! (u + 2) 0 khi u = 0 (hay x = 1).
2 31ln(1 ) ( 1) ( )
2 3
nn nx x xx x o x
n
![Page 27: Bai7 khai trien_taylor](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062219/587313f91a28ab673e8b4b25/html5/thumbnails/27.jpg)
( ) ln(3 )f x u
ln3 1 l3
n3 ln 13
uu
ln33u
2
32
u
3
33
u
3
3uo
2 3 31 1 1ln3 ( )3 18 81
u u u o u
Nhớ trả về x
10
xu
![Page 28: Bai7 khai trien_taylor](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062219/587313f91a28ab673e8b4b25/html5/thumbnails/28.jpg)
3. Tìm khai triển Maclaurin đến cấp 3 cho:
22( )
3 4xf x
x x
2 1 6( )( 1)( 4) 5( 1) 5( 4)
xf xx x x x
1 1 6 15 1 201
4xx
Lưu ý: khi khai triển cho f+g, mỗi hàm phải khai triển đến bậc được yêu cầu.
![Page 29: Bai7 khai trien_taylor](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062219/587313f91a28ab673e8b4b25/html5/thumbnails/29.jpg)
1 1 6 1( )5 1 201
4
f x xx
2 31 1 ( 1) ( )1
n n nx x x x o xx
2 3 31 1 ( )5
x x x o x
2 3 31 1 7 25( ) ( )2 8 32 128
f x x x x o x
2 3 36 120 4 4 4 4
x x x xo
![Page 30: Bai7 khai trien_taylor](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062219/587313f91a28ab673e8b4b25/html5/thumbnails/30.jpg)
4. Tìm khai triển Maclaurin đến cấp 3 cho:
( ) .ln(1 )xf x e x
1.Khi tích các khai triển, chỉ giữ lại tất cả các lũy thừa từ bậc yêu cầu trở xuống và xếp thứ tự bậc từ thấp đến cao.
2.Tính bậc trong khai triển cấp n cho tích f.g:
Bậc thấp nhất trong khai triển của f là k
g khai triển đến bậc (n – k)(và ngược lại).
![Page 31: Bai7 khai trien_taylor](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062219/587313f91a28ab673e8b4b25/html5/thumbnails/31.jpg)
2 3 4
2 3 4x x xx
2 3
2! 61
!x xx
xe ln(1 )x
Bậc thấp nhất trong khai triển của ex là x0.
ln(1 + x) khai triển đến x3
Bậc thấp nhất trong khai triển của ln(1+x) là x1
ex khai triển đến x2
![Page 32: Bai7 khai trien_taylor](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062219/587313f91a28ab673e8b4b25/html5/thumbnails/32.jpg)
( ) ln(1 )xf x e x 2 3
( )f x 2 3
3( )2 3x xx o x
221 ( )
2!xx o x
2 33( )
2 3x xx o x
(0) (1)khai triển cấp 3
![Page 33: Bai7 khai trien_taylor](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062219/587313f91a28ab673e8b4b25/html5/thumbnails/33.jpg)
5. Tìm khai triển Maclaurin đến cấp 3, cấp 4 cho:
( ) sin .ln(1 )f x x x
( ) sin .ln(1 )f x x x (1) (1)
1.Khai triển cấp 4:3 3
( )f x 2 3
3( )2 3x xx o x
33( )
3!xx o x
3 4
2 3( )2 6x xx o x
![Page 34: Bai7 khai trien_taylor](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062219/587313f91a28ab673e8b4b25/html5/thumbnails/34.jpg)
( ) sin .ln(1 )f x x x (1) (1)
2.Khai triển cấp 3:2 2
( )f x 2
2( )2xx o x
2( )x o x
32 3( )
2xx o x
![Page 35: Bai7 khai trien_taylor](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062219/587313f91a28ab673e8b4b25/html5/thumbnails/35.jpg)
7. Tìm khai triển Maclaurin đến cấp 3 cho: 2
( ) x xf x e
Đặt u(x) = x – x2 thì u(0) = 0
khai triển Maclaurin của f theo u.
Khi khai triển u theo x, giữ lại tất cả những lũy thừa từ x3 trở xuống.
![Page 36: Bai7 khai trien_taylor](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062219/587313f91a28ab673e8b4b25/html5/thumbnails/36.jpg)
2 2( ) 1x xf x e x x 22
2!
x x
32
3!
x x 32o x x
21 x x 212
x 3x 316
x 3o x
2 3 31 512 6
x x x o x
Để tìm bậc khai triển của f theo u phải xác định bậc VCB của u theo x.
2 1x x x
![Page 37: Bai7 khai trien_taylor](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062219/587313f91a28ab673e8b4b25/html5/thumbnails/37.jpg)
8. Tìm khai triển Maclaurin đến cấp 4 cho:( ) ln(cos )f x x
ln(cos ) ln(1 cos 1)x x
21cos 12
u x x
Cần khai triển đến x4khai triển f đến u2
2
2cos 1ln(1 cos 1) cos 1 cos 1
2x
x x o x
![Page 38: Bai7 khai trien_taylor](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062219/587313f91a28ab673e8b4b25/html5/thumbnails/38.jpg)
2
2cos 1ln(1 cos 1) cos 1 cos 1
2x
x x o x
2 4
41 12! 4!x x o x
22 4
4 41 1 12 2! 4!
x x o x o x
2 4
4
2 12x x o x x4 trong số hạng bình
phương không sử dụng
22
212
1 12!x o x
cos x chỉ cần khai triển đến x2
![Page 39: Bai7 khai trien_taylor](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062219/587313f91a28ab673e8b4b25/html5/thumbnails/39.jpg)
9. Tìm khai triển Maclaurin đến cấp 3 cho:
22( )
3 4xf x
x x
(Mẫu số vô nghiệm)
21 1( ) 24 31
4
f x xx x
2 32 2 2
3
1 24
3 3 314 4 4
x
x x x x x x o x
![Page 40: Bai7 khai trien_taylor](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062219/587313f91a28ab673e8b4b25/html5/thumbnails/40.jpg)
2 32 2 2
3
1 24
3 3 314 4 4
x
x x x x x x o x
2 3 31 3 5 32 14 4 16 64
xx x x o x
2 3 31 5 11 132 8 32 128
x x x o x
![Page 41: Bai7 khai trien_taylor](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062219/587313f91a28ab673e8b4b25/html5/thumbnails/41.jpg)
Cách 2: chia đa thức (xếp bậc từ thấp đến cao)
24 3x x 2 x12
25 12 2
x x58
x
2 311 58 8
x x
21132
x
31332
x
313128
x
22( )
3 4xf x
x x
![Page 42: Bai7 khai trien_taylor](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062219/587313f91a28ab673e8b4b25/html5/thumbnails/42.jpg)
sin 1tan sincos 1 cos 1
xx xx x
10. Tìm khai triển Maclaurin đến cấp 5 cho:( ) tanf x x
(0)(1)
5 4
2 2sin 1 (cos 1) (cos 1) (cos 1)x x x o x 22 4 2
4 2 4sin 1 1 ( ) 1 1 ( ) 1 ( )2 24 2x x xx o x o x o x
![Page 43: Bai7 khai trien_taylor](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062219/587313f91a28ab673e8b4b25/html5/thumbnails/43.jpg)
22 4 24 2 4sin 1 1 ( ) 1 1 ( ) 1 ( )
2 24 2x x xx o x o x o x
3 55( )
6 120x xx o x
2 4 41 51 ( )2 24
x x o x
3 5 51 2 ( )3 15
x x x o x
![Page 44: Bai7 khai trien_taylor](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062219/587313f91a28ab673e8b4b25/html5/thumbnails/44.jpg)
Cách 2:3 5
5
2 45
( )sin 6 120tancos
1 ( )2 24
x xx o xxxx x x o x
2 41
2 24x x
3 5
6 120x xx
x3 51 1
3 30x x 31
3x 52
15x
5215
x3 5 51 2tan ( )
3 15x x x x o x
![Page 45: Bai7 khai trien_taylor](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062219/587313f91a28ab673e8b4b25/html5/thumbnails/45.jpg)
Bổ sung: tìm khai triển của f(x) = arctan x
( ) arctanf x x 21( ) ( )
1f x g x
x
Khai triển Maclaurin cho g(x) đến x2n.2 4 6 2 2( ) 1 ( 1) ( )n n ng x x x x x o x
(0) 0f
(0) (0) 1f g
(0) (0) 0f g
(0) (0) 1 2!f g
(2 ) (2 1)(0) (0) 0k kf g
(2 1) (2 )(0) (0) ( 1) (2 )!k k kf g k
![Page 46: Bai7 khai trien_taylor](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062219/587313f91a28ab673e8b4b25/html5/thumbnails/46.jpg)
2 3
(2 ) (2 )2 2 1 2 1
(0) (0) (0)( ) (0)1! 2! 3!
(0) (0)(2 )! (2 )!
n nn n n
f f ff x f x x x
f fx x o xn n
3 5 2 1
1 2 1arctan ( 1)3 5 2 1
nn nx x xx x o x
n
Cách viết khai triển cho arctan là cách viết
khai triển cho hàm ngược nói chung.
![Page 47: Bai7 khai trien_taylor](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062219/587313f91a28ab673e8b4b25/html5/thumbnails/47.jpg)
Các lưu ý khi viết khai triển Taylor tai x0
1. Luôn luôn chuyển về khai triển Maclaurin
2. Áp dụng các công thức cơ bản trên biểu thức u(x) với
điều kiện u(x0) = 0.
3. Khai triển cho tổng hiệu: từng hàm phải khai triển đến bậc được yêu cầu.
4. Khai triển cho tích: lấy bậc yêu cầu trừ ra bậc thấp nhất trong kt mỗi hàm để biết được bậc kt của hàm còn lại.
5. Khai triển cho hàm hợp: tính bậc VCB cho u(x).
![Page 48: Bai7 khai trien_taylor](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062219/587313f91a28ab673e8b4b25/html5/thumbnails/48.jpg)
Áp dụng trong tính đạo hàm.
B1: Viết khai triển taylor theo (x – x0) đến cấp n.
B2: Xác định hệ số của (x – x0)n trong khai triển.
B3: Giả sử hệ số trong B2 là a.
f(n)(x0) = a.n!
Bài toán: tìm đạo hàm cấp n của f tại x0.
![Page 49: Bai7 khai trien_taylor](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062219/587313f91a28ab673e8b4b25/html5/thumbnails/49.jpg)
Ví dụ
3 3
3! 2!x x
1 1 13! 2! 3
1. Tìm đh cấp 3 tại x = 0, với f(x) = ex.sinx
Khai triển Maclaurin đến cấp 3 của f là2 3
2 3( ) 1 ( ) ( )2! 3!x xf x x o x x o x
Các số hạng chứa x3 là:
Hệ số của x3 là:1(0) 3! 23
f
![Page 50: Bai7 khai trien_taylor](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062219/587313f91a28ab673e8b4b25/html5/thumbnails/50.jpg)
2. Tìm đh cấp 3 tại x = 0, 2( ) ln(1 )f x x x
Khai triển Maclaurin đến cấp 3 của f là2 2 2 3
2 3( ) ( )( ) ( )2 3
x x x xf x x x o x
Các số hạng chứa x3 là: 31 22
x 313
x
Hệ số của x3 là:23
2(0) 3! 43
f
![Page 51: Bai7 khai trien_taylor](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062219/587313f91a28ab673e8b4b25/html5/thumbnails/51.jpg)
3. Tìm đh cấp 12, 13 tại x = 0,
31( )
2f x
x
Khai triển Maclaurin đến cấp 13 của f là
31 1( )2
12
f xx
2 33 3 31 12 2 2 2
x x x
12
131 1 02 16
x o x
4 53 3
2 2x x o
![Page 52: Bai7 khai trien_taylor](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062219/587313f91a28ab673e8b4b25/html5/thumbnails/52.jpg)
(12) (13)1(0) 12! , (0) 0 13!32
f f
132
Hệ số của x13 là: 0
Hệ số của x12 là:
12
131( ) 1 02 16
xf x o x
![Page 53: Bai7 khai trien_taylor](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062219/587313f91a28ab673e8b4b25/html5/thumbnails/53.jpg)
Áp dụng khai triển Taylor trong tính giới hạn
1.Thông thường chỉ áp dụng kt Tayor để tính gh nếu các pp khác (gh cơ bản, VCB, L’Hospital) tính quá dài hoặc không tính được.
2.Đa số các bài dùng Taylor rơi vào trường hợp thay VCB hoặc VCL qua tổng, hiệu gặp triệt tiêu. Do đó các biểu thức được khai triển đến khi hết triệt tiêu ở phần đa thức thì dừng, phần VCB bậc cao bỏ đi khi tính lim.
![Page 54: Bai7 khai trien_taylor](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062219/587313f91a28ab673e8b4b25/html5/thumbnails/54.jpg)
Ví dụ
33( )
3!xx x o x
3
3( )3!x o x
3
3!x
1 , 36
a p
1.Tìm các hằng số a,p để VCB (x) axp khi x → 0.
/ ( ) sina x x x
![Page 55: Bai7 khai trien_taylor](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062219/587313f91a28ab673e8b4b25/html5/thumbnails/55.jpg)
/ ( ) 2 x xb x x e e
2 2sinhx x
3 332 2 ( ) 2
3! 6x xx x o x
![Page 56: Bai7 khai trien_taylor](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062219/587313f91a28ab673e8b4b25/html5/thumbnails/56.jpg)
/ ( ) sin cosc x x x x
3 23 2( ) 1 ( )
6 2x xx o x x o x
3
3( )3x o x
3
3x
![Page 57: Bai7 khai trien_taylor](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062219/587313f91a28ab673e8b4b25/html5/thumbnails/57.jpg)
2.Tính giới hạn:2
50/ lim
1 5 1x
xax x
2
0 2 2lim
1 1 1 11 .5 1 5 ( ) 15 2! 5 5
x
x
x x o x x
2
20 2lim
( )2
x
xx o x
2
20
1lim2
2x
xx
![Page 58: Bai7 khai trien_taylor](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062219/587313f91a28ab673e8b4b25/html5/thumbnails/58.jpg)
tan
3 40/ lim
3
x x
x
e ebx x
tantan
30
1limx x
x
x
eex
30
tanlim1x
x xx
33
30
( )3lim
x
xx x o x
x
1
3