b€ito¡ncalderântrongh…nhtrö vîic¡ct‰nhd¤n˜°cbi»t€¦ ·...
TRANSCRIPT
![Page 1: B€ito¡nCalderântrongh…nhtrö vîic¡ct‰nhd¤n˜°cbi»t€¦ · B€ito¡nCalderântrongh…nhtrö vîic¡ct‰nhd¤n˜°cbi»t Sinh vi¶n tr…nh b€y : Mai Thà Kim Dung](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060608/605ff5a2453fdc615d66e643/html5/thumbnails/1.jpg)
Bài toán Calderón trong hình trụvới các tính dẫn đặc biệt
Sinh viên trình bày : Mai Thị Kim DungLớp : K59 - A1T - Toán học
Cán bộ hướng dẫn : TS. Đặng Anh Tuấn
Mai Thị Kim Dung (K59-A1T-ĐHKHTN) ĐHKHTN-ĐHQGHN 03/05/2018 1 / 19
![Page 2: B€ito¡nCalderântrongh…nhtrö vîic¡ct‰nhd¤n˜°cbi»t€¦ · B€ito¡nCalderântrongh…nhtrö vîic¡ct‰nhd¤n˜°cbi»t Sinh vi¶n tr…nh b€y : Mai Thà Kim Dung](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060608/605ff5a2453fdc615d66e643/html5/thumbnails/2.jpg)
CẤU TRÚC BÁO CÁO
Phần 1: Giới thiệu bài toán
Phần 2: Tính dẫn không phụ thuộc vào chiều cao
Phần 3: Tính dẫn chỉ phụ thuộc vào chiều cao
Mai Thị Kim Dung (K59-A1T-ĐHKHTN) ĐHKHTN-ĐHQGHN 03/05/2018 2 / 19
![Page 3: B€ito¡nCalderântrongh…nhtrö vîic¡ct‰nhd¤n˜°cbi»t€¦ · B€ito¡nCalderântrongh…nhtrö vîic¡ct‰nhd¤n˜°cbi»t Sinh vi¶n tr…nh b€y : Mai Thà Kim Dung](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060608/605ff5a2453fdc615d66e643/html5/thumbnails/3.jpg)
1. Giới thiệu bài toán
Xét một vật thể dẫn điện có miền là Ω với tính dẫn γ(x).Đặt một điện áp f lên ∂Ω sẽ sinh ra một điện thế u trong Ω, thỏa mãn bài toánbiên Dirichlet:
∇ · (γ∇u) = 0 trong Ω,
u = f trên ∂Ω.(1)
Bài toán (1) có duy nhất nghiệm u ∈ H1(Ω) với mỗi f ∈ H12 (∂Ω).
Ánh xạ Dirichlet - Neumann (DtN)
Λγ : H12 (∂Ω)→ H−
12 (∂Ω), Λγ f = γ∂νu|∂Ω.
Bài toán Calderón: Biết ánh xạ DtN, xác định tính dẫn của vật.
Mai Thị Kim Dung (K59-A1T-ĐHKHTN) ĐHKHTN-ĐHQGHN 03/05/2018 3 / 19
![Page 4: B€ito¡nCalderântrongh…nhtrö vîic¡ct‰nhd¤n˜°cbi»t€¦ · B€ito¡nCalderântrongh…nhtrö vîic¡ct‰nhd¤n˜°cbi»t Sinh vi¶n tr…nh b€y : Mai Thà Kim Dung](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060608/605ff5a2453fdc615d66e643/html5/thumbnails/4.jpg)
2. Tính dẫn không phụ thuộc vào chiều cao
Xét một vật dẫn hình trụ với độ dàykhông đáng kể, xem như hình tròn B = B(0, 1) và tính dẫn:
γε1,ε2(r) =
1 + ε1 nếu 0 ≤ r < a,
1 + ε2 nếu a ≤ r < 1,
εj ∈ [0,M] , j = 1, 2,M > 0, 0 < a < 1.Kí hiệu không gian các tính dẫn có dạng như trên là µ(a,M).
Với mỗi f ∈ H12 (∂B) bài toán biên Dirichlet:
∇(γε1,ε2∇u) = ∂r (γε1,ε2ur ) +γε1,ε2
r ur +γε1,ε2
r2 uθθ = 0 trong B ,
u = f trên ∂B ,(2)
có duy nhất nghiệm u ∈ H1(B).
Mai Thị Kim Dung (K59-A1T-ĐHKHTN) ĐHKHTN-ĐHQGHN 03/05/2018 4 / 19
![Page 5: B€ito¡nCalderântrongh…nhtrö vîic¡ct‰nhd¤n˜°cbi»t€¦ · B€ito¡nCalderântrongh…nhtrö vîic¡ct‰nhd¤n˜°cbi»t Sinh vi¶n tr…nh b€y : Mai Thà Kim Dung](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060608/605ff5a2453fdc615d66e643/html5/thumbnails/5.jpg)
2. Tính dẫn không phụ thuộc vào chiều cao
Xét một vật dẫn hình trụ với độ dàykhông đáng kể, xem như hình tròn B = B(0, 1) và tính dẫn:
γε1,ε2(r) =
1 + ε1 nếu 0 ≤ r < a,
1 + ε2 nếu a ≤ r < 1,
εj ∈ [0,M] , j = 1, 2,M > 0, 0 < a < 1.Kí hiệu không gian các tính dẫn có dạng như trên là µ(a,M).
Với mỗi f ∈ H12 (∂B) bài toán biên Dirichlet:
∇(γε1,ε2∇u) = ∂r (γε1,ε2ur ) +γε1,ε2
r ur +γε1,ε2
r2 uθθ = 0 trong B ,
u = f trên ∂B ,(2)
có duy nhất nghiệm u ∈ H1(B).
Mai Thị Kim Dung (K59-A1T-ĐHKHTN) ĐHKHTN-ĐHQGHN 03/05/2018 4 / 19
![Page 6: B€ito¡nCalderântrongh…nhtrö vîic¡ct‰nhd¤n˜°cbi»t€¦ · B€ito¡nCalderântrongh…nhtrö vîic¡ct‰nhd¤n˜°cbi»t Sinh vi¶n tr…nh b€y : Mai Thà Kim Dung](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060608/605ff5a2453fdc615d66e643/html5/thumbnails/6.jpg)
Nghiệm u =∑n∈Z
fn(r)e inθ trong đó:
Với n = 0 :
f0(r) =
a0 nếu 0 ≤ r < a,
b0 ln r + c0 nếu a ≤ r < 1.
Với n 6= 0:
fn(r) =
anr|n| nếu 0 ≤ r < a,
bnr|n| + cnr
−|n| nếu a ≤ r < 1.
Ta phân tích f (θ) =∑n∈Z
f (n)e inθ, f (n) =1
2π
2π∫0
f (θ)e−inθdθ. Ánh xạ DtN
Λγε1,ε2 f (θ) =∑n∈Z
(1 + ε2) |n|(2 + ε1 + ε2 − (ε2 − ε1)a2|n|
2 + ε1 + ε2 + (ε2 − ε1)a2|n|
)f (n)e inθ. (3)
Mai Thị Kim Dung (K59-A1T-ĐHKHTN) ĐHKHTN-ĐHQGHN 03/05/2018 5 / 19
![Page 7: B€ito¡nCalderântrongh…nhtrö vîic¡ct‰nhd¤n˜°cbi»t€¦ · B€ito¡nCalderântrongh…nhtrö vîic¡ct‰nhd¤n˜°cbi»t Sinh vi¶n tr…nh b€y : Mai Thà Kim Dung](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060608/605ff5a2453fdc615d66e643/html5/thumbnails/7.jpg)
Nghiệm u =∑n∈Z
fn(r)e inθ trong đó:
Với n = 0 :
f0(r) =
a0 nếu 0 ≤ r < a,
b0 ln r + c0 nếu a ≤ r < 1.
Với n 6= 0:
fn(r) =
anr|n| nếu 0 ≤ r < a,
bnr|n| + cnr
−|n| nếu a ≤ r < 1.
Ta phân tích f (θ) =∑n∈Z
f (n)e inθ, f (n) =1
2π
2π∫0
f (θ)e−inθdθ. Ánh xạ DtN
Λγε1,ε2 f (θ) =∑n∈Z
(1 + ε2) |n|(2 + ε1 + ε2 − (ε2 − ε1)a2|n|
2 + ε1 + ε2 + (ε2 − ε1)a2|n|
)f (n)e inθ. (3)
Mai Thị Kim Dung (K59-A1T-ĐHKHTN) ĐHKHTN-ĐHQGHN 03/05/2018 5 / 19
![Page 8: B€ito¡nCalderântrongh…nhtrö vîic¡ct‰nhd¤n˜°cbi»t€¦ · B€ito¡nCalderântrongh…nhtrö vîic¡ct‰nhd¤n˜°cbi»t Sinh vi¶n tr…nh b€y : Mai Thà Kim Dung](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060608/605ff5a2453fdc615d66e643/html5/thumbnails/8.jpg)
Xét tính ổn định trong không gian các tính dẫn µ (M) =⋃
0<a<1µ(a,M).
Lấy các tính dẫn: γ0(r) = 1, 0 ≤ r ≤ 1,
γa(r) =
1 + M nếu 0 ≤ r < a,
1 nếu a ≤ r < 1,
γ0, γa ∈ µ (M) .
Bằng tính toán ta được: ‖(Λγa − Λγ0) f ‖2H− 1
2 (∂B)=∑n∈Z|n|2(1 + |n|2
)− 12
(2 + (1 + a2|n|)M
2 + (1− a2|n|)M− 1
)2∣∣∣f (n)∣∣∣2,
‖γa − γ0‖∞ = M.
Ta có đánh giá:
‖Λγa − Λγ0‖H 12→H− 1
2≤ Ma2. (4)
Kết luận:(Alessandrini)
Trong không gian µ (M) ta sẽ không có tính ổn định.
Mai Thị Kim Dung (K59-A1T-ĐHKHTN) ĐHKHTN-ĐHQGHN 03/05/2018 6 / 19
![Page 9: B€ito¡nCalderântrongh…nhtrö vîic¡ct‰nhd¤n˜°cbi»t€¦ · B€ito¡nCalderântrongh…nhtrö vîic¡ct‰nhd¤n˜°cbi»t Sinh vi¶n tr…nh b€y : Mai Thà Kim Dung](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060608/605ff5a2453fdc615d66e643/html5/thumbnails/9.jpg)
Xét tính ổn định trong không gian các tính dẫn µ (M) =⋃
0<a<1µ(a,M).
Lấy các tính dẫn: γ0(r) = 1, 0 ≤ r ≤ 1,
γa(r) =
1 + M nếu 0 ≤ r < a,
1 nếu a ≤ r < 1,
γ0, γa ∈ µ (M) .Bằng tính toán ta được: ‖(Λγa − Λγ0) f ‖2
H− 12 (∂B)
=∑n∈Z|n|2(1 + |n|2
)− 12
(2 + (1 + a2|n|)M
2 + (1− a2|n|)M− 1
)2∣∣∣f (n)∣∣∣2,
‖γa − γ0‖∞ = M.
Ta có đánh giá:
‖Λγa − Λγ0‖H 12→H− 1
2≤ Ma2. (4)
Kết luận:(Alessandrini)
Trong không gian µ (M) ta sẽ không có tính ổn định.
Mai Thị Kim Dung (K59-A1T-ĐHKHTN) ĐHKHTN-ĐHQGHN 03/05/2018 6 / 19
![Page 10: B€ito¡nCalderântrongh…nhtrö vîic¡ct‰nhd¤n˜°cbi»t€¦ · B€ito¡nCalderântrongh…nhtrö vîic¡ct‰nhd¤n˜°cbi»t Sinh vi¶n tr…nh b€y : Mai Thà Kim Dung](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060608/605ff5a2453fdc615d66e643/html5/thumbnails/10.jpg)
Xét tính ổn định trong không gian các tính dẫn µ (M) =⋃
0<a<1µ(a,M).
Lấy các tính dẫn: γ0(r) = 1, 0 ≤ r ≤ 1,
γa(r) =
1 + M nếu 0 ≤ r < a,
1 nếu a ≤ r < 1,
γ0, γa ∈ µ (M) .Bằng tính toán ta được: ‖(Λγa − Λγ0) f ‖2
H− 12 (∂B)
=∑n∈Z|n|2(1 + |n|2
)− 12
(2 + (1 + a2|n|)M
2 + (1− a2|n|)M− 1
)2∣∣∣f (n)∣∣∣2,
‖γa − γ0‖∞ = M.
Ta có đánh giá:
‖Λγa − Λγ0‖H 12→H− 1
2≤ Ma2. (4)
Kết luận:(Alessandrini)
Trong không gian µ (M) ta sẽ không có tính ổn định.
Mai Thị Kim Dung (K59-A1T-ĐHKHTN) ĐHKHTN-ĐHQGHN 03/05/2018 6 / 19
![Page 11: B€ito¡nCalderântrongh…nhtrö vîic¡ct‰nhd¤n˜°cbi»t€¦ · B€ito¡nCalderântrongh…nhtrö vîic¡ct‰nhd¤n˜°cbi»t Sinh vi¶n tr…nh b€y : Mai Thà Kim Dung](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060608/605ff5a2453fdc615d66e643/html5/thumbnails/11.jpg)
Xét tính ổn định trong không gian các tính dẫn µ (M) =⋃
0<a<1µ(a,M).
Lấy các tính dẫn: γ0(r) = 1, 0 ≤ r ≤ 1,
γa(r) =
1 + M nếu 0 ≤ r < a,
1 nếu a ≤ r < 1,
γ0, γa ∈ µ (M) .Bằng tính toán ta được: ‖(Λγa − Λγ0) f ‖2
H− 12 (∂B)
=∑n∈Z|n|2(1 + |n|2
)− 12
(2 + (1 + a2|n|)M
2 + (1− a2|n|)M− 1
)2∣∣∣f (n)∣∣∣2,
‖γa − γ0‖∞ = M.
Ta có đánh giá:
‖Λγa − Λγ0‖H 12→H− 1
2≤ Ma2. (4)
Kết luận:(Alessandrini)
Trong không gian µ (M) ta sẽ không có tính ổn định.Mai Thị Kim Dung (K59-A1T-ĐHKHTN) ĐHKHTN-ĐHQGHN 03/05/2018 6 / 19
![Page 12: B€ito¡nCalderântrongh…nhtrö vîic¡ct‰nhd¤n˜°cbi»t€¦ · B€ito¡nCalderântrongh…nhtrö vîic¡ct‰nhd¤n˜°cbi»t Sinh vi¶n tr…nh b€y : Mai Thà Kim Dung](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060608/605ff5a2453fdc615d66e643/html5/thumbnails/12.jpg)
Cố định a, xét tính ổn định trong không gian µ(a,M) chứa các tính dẫn có dạng:
γε1,ε2(r) =
1 + ε1 nếu 0 ≤ r < a,
1 + ε2 nếu a ≤ r < 1,
εj ∈ [0,M] , j = 1, 2,M > 0, 0 < a < 1.
Bằng tính toán ta có:
∥∥(Λγε1,ε2 − Λγη1,η2)f∥∥2
H− 12 (∂B)
=∑n∈Z
|n|2
(1 + n2)12
[(1 + ε2) An − (1 + η2)Bn]2∣∣∣f (n)
∣∣∣2,trong đó:
An =2 + ε1 + ε2 − (ε2 − ε1)a2|n|
2 + ε1 + ε2 + (ε2 − ε1)a2|n|,
Bn =2 + η1 + η2 − (η2 − η1)a2|n|
2 + η1 + η2 + (η2 − η1)a2|n|.
Mai Thị Kim Dung (K59-A1T-ĐHKHTN) ĐHKHTN-ĐHQGHN 03/05/2018 7 / 19
![Page 13: B€ito¡nCalderântrongh…nhtrö vîic¡ct‰nhd¤n˜°cbi»t€¦ · B€ito¡nCalderântrongh…nhtrö vîic¡ct‰nhd¤n˜°cbi»t Sinh vi¶n tr…nh b€y : Mai Thà Kim Dung](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060608/605ff5a2453fdc615d66e643/html5/thumbnails/13.jpg)
Cố định a, xét tính ổn định trong không gian µ(a,M) chứa các tính dẫn có dạng:
γε1,ε2(r) =
1 + ε1 nếu 0 ≤ r < a,
1 + ε2 nếu a ≤ r < 1,
εj ∈ [0,M] , j = 1, 2,M > 0, 0 < a < 1.
Bằng tính toán ta có:
∥∥(Λγε1,ε2 − Λγη1,η2)f∥∥2
H− 12 (∂B)
=∑n∈Z
|n|2
(1 + n2)12
[(1 + ε2) An − (1 + η2)Bn]2∣∣∣f (n)
∣∣∣2,trong đó:
An =2 + ε1 + ε2 − (ε2 − ε1)a2|n|
2 + ε1 + ε2 + (ε2 − ε1)a2|n|,
Bn =2 + η1 + η2 − (η2 − η1)a2|n|
2 + η1 + η2 + (η2 − η1)a2|n|.
Mai Thị Kim Dung (K59-A1T-ĐHKHTN) ĐHKHTN-ĐHQGHN 03/05/2018 7 / 19
![Page 14: B€ito¡nCalderântrongh…nhtrö vîic¡ct‰nhd¤n˜°cbi»t€¦ · B€ito¡nCalderântrongh…nhtrö vîic¡ct‰nhd¤n˜°cbi»t Sinh vi¶n tr…nh b€y : Mai Thà Kim Dung](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060608/605ff5a2453fdc615d66e643/html5/thumbnails/14.jpg)
Ta có đánh giá:∥∥Λγε1,ε2 − Λγη1,η2∥∥
H12→H− 1
2≥ C (a,M) (|ε2 − η2|+ |ε1 − η1|) , (5)
trong đó C (a,M) là hằng số không phụ thuộc vào tính dẫn, phụ thuộc vào đặcđiểm hình học của vật dẫn.
Kết luận:
Trong không gian µ(a,M) ta có tính ổn định Lipschitz.
Mai Thị Kim Dung (K59-A1T-ĐHKHTN) ĐHKHTN-ĐHQGHN 03/05/2018 8 / 19
![Page 15: B€ito¡nCalderântrongh…nhtrö vîic¡ct‰nhd¤n˜°cbi»t€¦ · B€ito¡nCalderântrongh…nhtrö vîic¡ct‰nhd¤n˜°cbi»t Sinh vi¶n tr…nh b€y : Mai Thà Kim Dung](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060608/605ff5a2453fdc615d66e643/html5/thumbnails/15.jpg)
Ta có đánh giá:∥∥Λγε1,ε2 − Λγη1,η2∥∥
H12→H− 1
2≥ C (a,M) (|ε2 − η2|+ |ε1 − η1|) , (5)
trong đó C (a,M) là hằng số không phụ thuộc vào tính dẫn, phụ thuộc vào đặcđiểm hình học của vật dẫn.
Kết luận:
Trong không gian µ(a,M) ta có tính ổn định Lipschitz.
Mai Thị Kim Dung (K59-A1T-ĐHKHTN) ĐHKHTN-ĐHQGHN 03/05/2018 8 / 19
![Page 16: B€ito¡nCalderântrongh…nhtrö vîic¡ct‰nhd¤n˜°cbi»t€¦ · B€ito¡nCalderântrongh…nhtrö vîic¡ct‰nhd¤n˜°cbi»t Sinh vi¶n tr…nh b€y : Mai Thà Kim Dung](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060608/605ff5a2453fdc615d66e643/html5/thumbnails/16.jpg)
Xét tính dẫn có dạng:
γ(r) =
1 + ε nếu 0 ≤ r < a,
1 nếu a ≤ r < 1.
Ta khôi phục được a và ε nhờ ánh xạ DtN như sau:
Lấy f (θ) = e iθ ta được: A1 =Λγ(e iθ)
e iθ=
2 + (1 + a2)ε
2 + (1− a2)ε.
Lấy f (θ) = e2iθ ta được: A2 =Λγ(e2iθ)
2e2iθ=
2 + (1 + a4)ε
2 + (1− a4)ε.
Bằng tính toán ta có kết luận:
Với A1 6= 1,A2 6= 1:
a2 =(1 + A1)(A2 − 1)
(1 + A2)(A1 − 1),
ε =2(A1 − 1)
1− A1 + a2(1 + A1).
Với A1 = 1 hoặc A2 = 1 ta có vật dẫn đồng chất.
Mai Thị Kim Dung (K59-A1T-ĐHKHTN) ĐHKHTN-ĐHQGHN 03/05/2018 9 / 19
![Page 17: B€ito¡nCalderântrongh…nhtrö vîic¡ct‰nhd¤n˜°cbi»t€¦ · B€ito¡nCalderântrongh…nhtrö vîic¡ct‰nhd¤n˜°cbi»t Sinh vi¶n tr…nh b€y : Mai Thà Kim Dung](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060608/605ff5a2453fdc615d66e643/html5/thumbnails/17.jpg)
Xét tính dẫn có dạng:
γ(r) =
1 + ε nếu 0 ≤ r < a,
1 nếu a ≤ r < 1.
Ta khôi phục được a và ε nhờ ánh xạ DtN như sau:
Lấy f (θ) = e iθ ta được: A1 =Λγ(e iθ)
e iθ=
2 + (1 + a2)ε
2 + (1− a2)ε.
Lấy f (θ) = e2iθ ta được: A2 =Λγ(e2iθ)
2e2iθ=
2 + (1 + a4)ε
2 + (1− a4)ε.
Bằng tính toán ta có kết luận:
Với A1 6= 1,A2 6= 1:
a2 =(1 + A1)(A2 − 1)
(1 + A2)(A1 − 1),
ε =2(A1 − 1)
1− A1 + a2(1 + A1).
Với A1 = 1 hoặc A2 = 1 ta có vật dẫn đồng chất.
Mai Thị Kim Dung (K59-A1T-ĐHKHTN) ĐHKHTN-ĐHQGHN 03/05/2018 9 / 19
![Page 18: B€ito¡nCalderântrongh…nhtrö vîic¡ct‰nhd¤n˜°cbi»t€¦ · B€ito¡nCalderântrongh…nhtrö vîic¡ct‰nhd¤n˜°cbi»t Sinh vi¶n tr…nh b€y : Mai Thà Kim Dung](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060608/605ff5a2453fdc615d66e643/html5/thumbnails/18.jpg)
Xét tính dẫn có dạng:
γ(r) =
1 + ε nếu 0 ≤ r < a,
1 nếu a ≤ r < 1.
Ta khôi phục được a và ε nhờ ánh xạ DtN như sau:
Lấy f (θ) = e iθ ta được: A1 =Λγ(e iθ)
e iθ=
2 + (1 + a2)ε
2 + (1− a2)ε.
Lấy f (θ) = e2iθ ta được: A2 =Λγ(e2iθ)
2e2iθ=
2 + (1 + a4)ε
2 + (1− a4)ε.
Bằng tính toán ta có kết luận:
Với A1 6= 1,A2 6= 1:
a2 =(1 + A1)(A2 − 1)
(1 + A2)(A1 − 1),
ε =2(A1 − 1)
1− A1 + a2(1 + A1).
Với A1 = 1 hoặc A2 = 1 ta có vật dẫn đồng chất.
Mai Thị Kim Dung (K59-A1T-ĐHKHTN) ĐHKHTN-ĐHQGHN 03/05/2018 9 / 19
![Page 19: B€ito¡nCalderântrongh…nhtrö vîic¡ct‰nhd¤n˜°cbi»t€¦ · B€ito¡nCalderântrongh…nhtrö vîic¡ct‰nhd¤n˜°cbi»t Sinh vi¶n tr…nh b€y : Mai Thà Kim Dung](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060608/605ff5a2453fdc615d66e643/html5/thumbnails/19.jpg)
3. Tính dẫn chỉ phụ thuộc vào chiều cao
Xét một vật dẫn hình trụ B × (0,∞) với tính dẫn :
γε1,ε2(z) =
1 + ε1 nếu h ≤ z <∞,1 + ε2 nếu 0 ≤ z < h,
εj ∈ [0,M] , j = 1, 2,M > 0, h > 0.Kí hiệu không gian các tính dẫn có dạng như trên là µ(h,M).
Với mỗi f ∈ H1rad (B) bài toán biên Dirichlet:
∇(γε1,ε2∇u) = γε1,ε2uρρ +γε1,ε2ρ
uρ + ∂z(γε1,ε2uz) = 0, B × (0,∞),
u(1, z) = 0, 0 < z <∞,
u(ρ, 0) = f , trong B ,
có duy nhất nghiệm u ∈ H32
rad (B × (0,∞)),u =∞∑
n=1fn(z)J0(λnρ) trong đó:
fn(z) =
ane−λnz nếu h ≤ z <∞,
bne−λnz + cne
λnz nếu 0 ≤ z < h.
Mai Thị Kim Dung (K59-A1T-ĐHKHTN) ĐHKHTN-ĐHQGHN 03/05/2018 10 / 19
![Page 20: B€ito¡nCalderântrongh…nhtrö vîic¡ct‰nhd¤n˜°cbi»t€¦ · B€ito¡nCalderântrongh…nhtrö vîic¡ct‰nhd¤n˜°cbi»t Sinh vi¶n tr…nh b€y : Mai Thà Kim Dung](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060608/605ff5a2453fdc615d66e643/html5/thumbnails/20.jpg)
3. Tính dẫn chỉ phụ thuộc vào chiều cao
Xét một vật dẫn hình trụ B × (0,∞) với tính dẫn :
γε1,ε2(z) =
1 + ε1 nếu h ≤ z <∞,1 + ε2 nếu 0 ≤ z < h,
εj ∈ [0,M] , j = 1, 2,M > 0, h > 0.Kí hiệu không gian các tính dẫn có dạng như trên là µ(h,M).Với mỗi f ∈ H1
rad (B) bài toán biên Dirichlet:∇(γε1,ε2∇u) = γε1,ε2uρρ +
γε1,ε2ρ
uρ + ∂z(γε1,ε2uz) = 0, B × (0,∞),
u(1, z) = 0, 0 < z <∞,
u(ρ, 0) = f , trong B ,
có duy nhất nghiệm u ∈ H32
rad (B × (0,∞)),u =∞∑
n=1fn(z)J0(λnρ) trong đó:
fn(z) =
ane−λnz nếu h ≤ z <∞,
bne−λnz + cne
λnz nếu 0 ≤ z < h.
Mai Thị Kim Dung (K59-A1T-ĐHKHTN) ĐHKHTN-ĐHQGHN 03/05/2018 10 / 19
![Page 21: B€ito¡nCalderântrongh…nhtrö vîic¡ct‰nhd¤n˜°cbi»t€¦ · B€ito¡nCalderântrongh…nhtrö vîic¡ct‰nhd¤n˜°cbi»t Sinh vi¶n tr…nh b€y : Mai Thà Kim Dung](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060608/605ff5a2453fdc615d66e643/html5/thumbnails/21.jpg)
J0(λnρ) là hàm Bessel bậc 0, λn là không điểm dương thứ n của hàm J0,
λ1 < λ2 < . . . < λn . . ., λn ∼ (n − 1
4)π khi n→∞.
Bằng Maple ta có thể tính toán được các không điểm và vẽ được J0:
Ta liệt kê 5 không điểm dương đầu tiên:j 1 2 3 4 5λj 2.404825558 5.520078110 8.653727913 11.79153444 14.93091771
Mai Thị Kim Dung (K59-A1T-ĐHKHTN) ĐHKHTN-ĐHQGHN 03/05/2018 11 / 19
![Page 22: B€ito¡nCalderântrongh…nhtrö vîic¡ct‰nhd¤n˜°cbi»t€¦ · B€ito¡nCalderântrongh…nhtrö vîic¡ct‰nhd¤n˜°cbi»t Sinh vi¶n tr…nh b€y : Mai Thà Kim Dung](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060608/605ff5a2453fdc615d66e643/html5/thumbnails/22.jpg)
Ta phân tích f (ρ) =∞∑
n=1f (n)J0(λnρ), trong đó:
f (n) =
21∫0
ρf (ρ)J0(λnρ)dρ
(J1(λn))2, (6)
J1(λn) là hàm Bessel bậc 1 và có dạng:
J1(λn) =∞∑
m=0
(−1)m(λn)2m+1
22m+1(m + 1)!m!, (7)
J1(λn) = −J0′(λn)
với J1(λn) ∼√
2
πλncos
(λn −
3π
4
)+ O
(1
λn3/2
)khi n→∞.
Ánh xạ DtN Λγε1,ε2 : H1rad (B)→ L2rad (B) xác định bởi
Λγε1,ε2 f (ρ) = −∞∑
n=1
(1 + ε2)λn(ε2 − ε1)e−2λnh − (2 + ε1 + ε2)
(ε2 − ε1)e−2λnh + 2 + ε1 + ε2f (n)J0(λnρ). (8)
Mai Thị Kim Dung (K59-A1T-ĐHKHTN) ĐHKHTN-ĐHQGHN 03/05/2018 12 / 19
![Page 23: B€ito¡nCalderântrongh…nhtrö vîic¡ct‰nhd¤n˜°cbi»t€¦ · B€ito¡nCalderântrongh…nhtrö vîic¡ct‰nhd¤n˜°cbi»t Sinh vi¶n tr…nh b€y : Mai Thà Kim Dung](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060608/605ff5a2453fdc615d66e643/html5/thumbnails/23.jpg)
Ta phân tích f (ρ) =∞∑
n=1f (n)J0(λnρ), trong đó:
f (n) =
21∫0
ρf (ρ)J0(λnρ)dρ
(J1(λn))2, (6)
J1(λn) là hàm Bessel bậc 1 và có dạng:
J1(λn) =∞∑
m=0
(−1)m(λn)2m+1
22m+1(m + 1)!m!, (7)
J1(λn) = −J0′(λn)
với J1(λn) ∼√
2
πλncos
(λn −
3π
4
)+ O
(1
λn3/2
)khi n→∞.
Ánh xạ DtN Λγε1,ε2 : H1rad (B)→ L2rad (B) xác định bởi
Λγε1,ε2 f (ρ) = −∞∑
n=1
(1 + ε2)λn(ε2 − ε1)e−2λnh − (2 + ε1 + ε2)
(ε2 − ε1)e−2λnh + 2 + ε1 + ε2f (n)J0(λnρ). (8)
Mai Thị Kim Dung (K59-A1T-ĐHKHTN) ĐHKHTN-ĐHQGHN 03/05/2018 12 / 19
![Page 24: B€ito¡nCalderântrongh…nhtrö vîic¡ct‰nhd¤n˜°cbi»t€¦ · B€ito¡nCalderântrongh…nhtrö vîic¡ct‰nhd¤n˜°cbi»t Sinh vi¶n tr…nh b€y : Mai Thà Kim Dung](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060608/605ff5a2453fdc615d66e643/html5/thumbnails/24.jpg)
Với mỗi f ∈ H1rad (B), f (ρ) =
∞∑n=1
f (n)J0(λnρ) ta có:
‖f ‖2H1(B) = π
∞∑n=1
(f (n)
)2 (1 + λn
2)
(J1(λn))2 (9)
và
∥∥Λγε1,ε2 f∥∥2
L2(B)= π
∞∑n=1
λn2[(1 + ε2)An]2
(f (n)
)2(J1(λn))2, (10)
trong đó :
An = − (ε2 − ε1)e−2λnh − (2 + ε1 + ε2)
(ε2 − ε1)e−2λnh + 2 + ε1 + ε2.
Mai Thị Kim Dung (K59-A1T-ĐHKHTN) ĐHKHTN-ĐHQGHN 03/05/2018 13 / 19
![Page 25: B€ito¡nCalderântrongh…nhtrö vîic¡ct‰nhd¤n˜°cbi»t€¦ · B€ito¡nCalderântrongh…nhtrö vîic¡ct‰nhd¤n˜°cbi»t Sinh vi¶n tr…nh b€y : Mai Thà Kim Dung](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060608/605ff5a2453fdc615d66e643/html5/thumbnails/25.jpg)
Xét tính ổn định trong không gian các tính dẫn µ(M) =⋃
h>0
µ(h,M).
Lấy các tính dẫn: γ0(z) = 1, 0 ≤ z <∞,
γh(z) =
1 nếu 0 ≤ z < h,
1 + M nếu h ≤ z <∞,
γ0, γh ∈ µ (M) .
Bằng tính toán ta được: ‖(Λγh− Λγ0) f ‖2L2(B) = π
∞∑n=1
λn2
(M(e−2λnh + 1) + 2
M(e−2λnh − 1)− 2+ 1
)2(f (n)
)2(J1(λn))2,
‖γh − γ0‖∞ = M.
Ta có đánh giá:
‖Λγh− Λγ0‖L2(B) ≤ Me−2λ1h. (11)
Kết luận:
Trong không gian µ(M) ta không có tính ổn định.
Mai Thị Kim Dung (K59-A1T-ĐHKHTN) ĐHKHTN-ĐHQGHN 03/05/2018 14 / 19
![Page 26: B€ito¡nCalderântrongh…nhtrö vîic¡ct‰nhd¤n˜°cbi»t€¦ · B€ito¡nCalderântrongh…nhtrö vîic¡ct‰nhd¤n˜°cbi»t Sinh vi¶n tr…nh b€y : Mai Thà Kim Dung](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060608/605ff5a2453fdc615d66e643/html5/thumbnails/26.jpg)
Xét tính ổn định trong không gian các tính dẫn µ(M) =⋃
h>0
µ(h,M).
Lấy các tính dẫn: γ0(z) = 1, 0 ≤ z <∞,
γh(z) =
1 nếu 0 ≤ z < h,
1 + M nếu h ≤ z <∞,
γ0, γh ∈ µ (M) .Bằng tính toán ta được: ‖(Λγh
− Λγ0) f ‖2L2(B) = π
∞∑n=1
λn2
(M(e−2λnh + 1) + 2
M(e−2λnh − 1)− 2+ 1
)2(f (n)
)2(J1(λn))2,
‖γh − γ0‖∞ = M.
Ta có đánh giá:
‖Λγh− Λγ0‖L2(B) ≤ Me−2λ1h. (11)
Kết luận:
Trong không gian µ(M) ta không có tính ổn định.
Mai Thị Kim Dung (K59-A1T-ĐHKHTN) ĐHKHTN-ĐHQGHN 03/05/2018 14 / 19
![Page 27: B€ito¡nCalderântrongh…nhtrö vîic¡ct‰nhd¤n˜°cbi»t€¦ · B€ito¡nCalderântrongh…nhtrö vîic¡ct‰nhd¤n˜°cbi»t Sinh vi¶n tr…nh b€y : Mai Thà Kim Dung](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060608/605ff5a2453fdc615d66e643/html5/thumbnails/27.jpg)
Xét tính ổn định trong không gian các tính dẫn µ(M) =⋃
h>0
µ(h,M).
Lấy các tính dẫn: γ0(z) = 1, 0 ≤ z <∞,
γh(z) =
1 nếu 0 ≤ z < h,
1 + M nếu h ≤ z <∞,
γ0, γh ∈ µ (M) .Bằng tính toán ta được: ‖(Λγh
− Λγ0) f ‖2L2(B) = π
∞∑n=1
λn2
(M(e−2λnh + 1) + 2
M(e−2λnh − 1)− 2+ 1
)2(f (n)
)2(J1(λn))2,
‖γh − γ0‖∞ = M.
Ta có đánh giá:
‖Λγh− Λγ0‖L2(B) ≤ Me−2λ1h. (11)
Kết luận:
Trong không gian µ(M) ta không có tính ổn định.
Mai Thị Kim Dung (K59-A1T-ĐHKHTN) ĐHKHTN-ĐHQGHN 03/05/2018 14 / 19
![Page 28: B€ito¡nCalderântrongh…nhtrö vîic¡ct‰nhd¤n˜°cbi»t€¦ · B€ito¡nCalderântrongh…nhtrö vîic¡ct‰nhd¤n˜°cbi»t Sinh vi¶n tr…nh b€y : Mai Thà Kim Dung](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060608/605ff5a2453fdc615d66e643/html5/thumbnails/28.jpg)
Xét tính ổn định trong không gian các tính dẫn µ(M) =⋃
h>0
µ(h,M).
Lấy các tính dẫn: γ0(z) = 1, 0 ≤ z <∞,
γh(z) =
1 nếu 0 ≤ z < h,
1 + M nếu h ≤ z <∞,
γ0, γh ∈ µ (M) .Bằng tính toán ta được: ‖(Λγh
− Λγ0) f ‖2L2(B) = π
∞∑n=1
λn2
(M(e−2λnh + 1) + 2
M(e−2λnh − 1)− 2+ 1
)2(f (n)
)2(J1(λn))2,
‖γh − γ0‖∞ = M.
Ta có đánh giá:
‖Λγh− Λγ0‖L2(B) ≤ Me−2λ1h. (11)
Kết luận:
Trong không gian µ(M) ta không có tính ổn định.Mai Thị Kim Dung (K59-A1T-ĐHKHTN) ĐHKHTN-ĐHQGHN 03/05/2018 14 / 19
![Page 29: B€ito¡nCalderântrongh…nhtrö vîic¡ct‰nhd¤n˜°cbi»t€¦ · B€ito¡nCalderântrongh…nhtrö vîic¡ct‰nhd¤n˜°cbi»t Sinh vi¶n tr…nh b€y : Mai Thà Kim Dung](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060608/605ff5a2453fdc615d66e643/html5/thumbnails/29.jpg)
Cố định h, xét tính ổn định trong không gian µ(h,M) chứa các tính dẫn có dạng:
γε1,ε2(z) =
1 + ε1 nếu h ≤ z <∞,1 + ε2 nếu 0 ≤ z < h,
εj ∈ [0,M] , j = 1, 2,M > 0.
Bằng tính toán ta có:
∥∥(Λγε1,ε2 − Λγη1,η2)f∥∥2
L2(B)= π
∞∑n=1
λn2[(1 + ε2) An − (1 + η2)Bn]2(f (n))
2(J1(λn))2
trong đó:
An = − (ε2 − ε1)e−2λnh − (2 + ε1 + ε2)
(ε2 − ε1)e−2λnh + 2 + ε1 + ε2,
Bn = − (η2 − η1)e−2λnh − (2 + η1 + η2)
(η2 − η1)e−2λnh + 2 + η1 + η2.
Mai Thị Kim Dung (K59-A1T-ĐHKHTN) ĐHKHTN-ĐHQGHN 03/05/2018 15 / 19
![Page 30: B€ito¡nCalderântrongh…nhtrö vîic¡ct‰nhd¤n˜°cbi»t€¦ · B€ito¡nCalderântrongh…nhtrö vîic¡ct‰nhd¤n˜°cbi»t Sinh vi¶n tr…nh b€y : Mai Thà Kim Dung](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060608/605ff5a2453fdc615d66e643/html5/thumbnails/30.jpg)
Cố định h, xét tính ổn định trong không gian µ(h,M) chứa các tính dẫn có dạng:
γε1,ε2(z) =
1 + ε1 nếu h ≤ z <∞,1 + ε2 nếu 0 ≤ z < h,
εj ∈ [0,M] , j = 1, 2,M > 0.
Bằng tính toán ta có:
∥∥(Λγε1,ε2 − Λγη1,η2)f∥∥2
L2(B)= π
∞∑n=1
λn2[(1 + ε2) An − (1 + η2)Bn]2(f (n))
2(J1(λn))2
trong đó:
An = − (ε2 − ε1)e−2λnh − (2 + ε1 + ε2)
(ε2 − ε1)e−2λnh + 2 + ε1 + ε2,
Bn = − (η2 − η1)e−2λnh − (2 + η1 + η2)
(η2 − η1)e−2λnh + 2 + η1 + η2.
Mai Thị Kim Dung (K59-A1T-ĐHKHTN) ĐHKHTN-ĐHQGHN 03/05/2018 15 / 19
![Page 31: B€ito¡nCalderântrongh…nhtrö vîic¡ct‰nhd¤n˜°cbi»t€¦ · B€ito¡nCalderântrongh…nhtrö vîic¡ct‰nhd¤n˜°cbi»t Sinh vi¶n tr…nh b€y : Mai Thà Kim Dung](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060608/605ff5a2453fdc615d66e643/html5/thumbnails/31.jpg)
Ta có đánh giá:∥∥Λγε1,ε2 − Λγη1,η2∥∥
H1rad→L2
rad
≥ C (h,M) (|ε2 − η2|+ |ε1 − η1|) , (12)
trong đó C (h,M) là hằng số không phụ thuộc vào tính dẫn, phụ thuộc vào đặcđiểm hình học của vật dẫn.
Kết luận:
Trong không gian µ(h,M) ta có tính ổn định Lipschitz.
Mai Thị Kim Dung (K59-A1T-ĐHKHTN) ĐHKHTN-ĐHQGHN 03/05/2018 16 / 19
![Page 32: B€ito¡nCalderântrongh…nhtrö vîic¡ct‰nhd¤n˜°cbi»t€¦ · B€ito¡nCalderântrongh…nhtrö vîic¡ct‰nhd¤n˜°cbi»t Sinh vi¶n tr…nh b€y : Mai Thà Kim Dung](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060608/605ff5a2453fdc615d66e643/html5/thumbnails/32.jpg)
Ta có đánh giá:∥∥Λγε1,ε2 − Λγη1,η2∥∥
H1rad→L2
rad
≥ C (h,M) (|ε2 − η2|+ |ε1 − η1|) , (12)
trong đó C (h,M) là hằng số không phụ thuộc vào tính dẫn, phụ thuộc vào đặcđiểm hình học của vật dẫn.
Kết luận:
Trong không gian µ(h,M) ta có tính ổn định Lipschitz.
Mai Thị Kim Dung (K59-A1T-ĐHKHTN) ĐHKHTN-ĐHQGHN 03/05/2018 16 / 19
![Page 33: B€ito¡nCalderântrongh…nhtrö vîic¡ct‰nhd¤n˜°cbi»t€¦ · B€ito¡nCalderântrongh…nhtrö vîic¡ct‰nhd¤n˜°cbi»t Sinh vi¶n tr…nh b€y : Mai Thà Kim Dung](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060608/605ff5a2453fdc615d66e643/html5/thumbnails/33.jpg)
Xét tính dẫn có dạng:
γ(z) =
1 + ε nếu h ≤ z <∞,1 nếu 0 ≤ z < h.
Ta khôi phục được h và ε nhờ ánh xạ DtN như sau:
Lấy f (ρ) = J0(λ1ρ) ta được: A1 =Λγ(J0(λ1ρ))
J0(λ1ρ)= −λ1
(ε(e−2λ1h + 1) + 2
ε(e−2λ1h − 1)− 2
).
Lấy f (ρ) = J0(λ2ρ) ta được: A2 =Λγ(J0(λ2ρ))
J0(λ2ρ)= −λ2
(ε(e−2λ2h + 1) + 2
ε(e−2λ2h − 1)− 2
).
Bằng tính toán ta có kết luận:
Với A1 6= λ1,A2 6= λ2:
h =1
2 (λ1 − λ2)ln
((A2 − λ2) (A1 + λ1)
(A2 + λ2) (A1 − λ1)
),
ε =2(A1 − λ1)
λ1 − A1 + e−2λ1h(A1 + λ1).
Với A1 = λ1 hoặc A2 = λ2 ta có vật dẫn đồng chất.
Mai Thị Kim Dung (K59-A1T-ĐHKHTN) ĐHKHTN-ĐHQGHN 03/05/2018 17 / 19
![Page 34: B€ito¡nCalderântrongh…nhtrö vîic¡ct‰nhd¤n˜°cbi»t€¦ · B€ito¡nCalderântrongh…nhtrö vîic¡ct‰nhd¤n˜°cbi»t Sinh vi¶n tr…nh b€y : Mai Thà Kim Dung](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060608/605ff5a2453fdc615d66e643/html5/thumbnails/34.jpg)
Xét tính dẫn có dạng:
γ(z) =
1 + ε nếu h ≤ z <∞,1 nếu 0 ≤ z < h.
Ta khôi phục được h và ε nhờ ánh xạ DtN như sau:
Lấy f (ρ) = J0(λ1ρ) ta được: A1 =Λγ(J0(λ1ρ))
J0(λ1ρ)= −λ1
(ε(e−2λ1h + 1) + 2
ε(e−2λ1h − 1)− 2
).
Lấy f (ρ) = J0(λ2ρ) ta được: A2 =Λγ(J0(λ2ρ))
J0(λ2ρ)= −λ2
(ε(e−2λ2h + 1) + 2
ε(e−2λ2h − 1)− 2
).
Bằng tính toán ta có kết luận:
Với A1 6= λ1,A2 6= λ2:
h =1
2 (λ1 − λ2)ln
((A2 − λ2) (A1 + λ1)
(A2 + λ2) (A1 − λ1)
),
ε =2(A1 − λ1)
λ1 − A1 + e−2λ1h(A1 + λ1).
Với A1 = λ1 hoặc A2 = λ2 ta có vật dẫn đồng chất.
Mai Thị Kim Dung (K59-A1T-ĐHKHTN) ĐHKHTN-ĐHQGHN 03/05/2018 17 / 19
![Page 35: B€ito¡nCalderântrongh…nhtrö vîic¡ct‰nhd¤n˜°cbi»t€¦ · B€ito¡nCalderântrongh…nhtrö vîic¡ct‰nhd¤n˜°cbi»t Sinh vi¶n tr…nh b€y : Mai Thà Kim Dung](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060608/605ff5a2453fdc615d66e643/html5/thumbnails/35.jpg)
Xét tính dẫn có dạng:
γ(z) =
1 + ε nếu h ≤ z <∞,1 nếu 0 ≤ z < h.
Ta khôi phục được h và ε nhờ ánh xạ DtN như sau:
Lấy f (ρ) = J0(λ1ρ) ta được: A1 =Λγ(J0(λ1ρ))
J0(λ1ρ)= −λ1
(ε(e−2λ1h + 1) + 2
ε(e−2λ1h − 1)− 2
).
Lấy f (ρ) = J0(λ2ρ) ta được: A2 =Λγ(J0(λ2ρ))
J0(λ2ρ)= −λ2
(ε(e−2λ2h + 1) + 2
ε(e−2λ2h − 1)− 2
).
Bằng tính toán ta có kết luận:
Với A1 6= λ1,A2 6= λ2:
h =1
2 (λ1 − λ2)ln
((A2 − λ2) (A1 + λ1)
(A2 + λ2) (A1 − λ1)
),
ε =2(A1 − λ1)
λ1 − A1 + e−2λ1h(A1 + λ1).
Với A1 = λ1 hoặc A2 = λ2 ta có vật dẫn đồng chất.
Mai Thị Kim Dung (K59-A1T-ĐHKHTN) ĐHKHTN-ĐHQGHN 03/05/2018 17 / 19
![Page 36: B€ito¡nCalderântrongh…nhtrö vîic¡ct‰nhd¤n˜°cbi»t€¦ · B€ito¡nCalderântrongh…nhtrö vîic¡ct‰nhd¤n˜°cbi»t Sinh vi¶n tr…nh b€y : Mai Thà Kim Dung](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060608/605ff5a2453fdc615d66e643/html5/thumbnails/36.jpg)
TÀI LIỆU THAM KHẢO
Giovanni Alessandrini, Stable Determination of Conductivity by BoundaryMeasurements, Applicable Analysis (1988), Vol. 27, pp. 153-172.
Giovanni Alessandrini, Sergio Vessella, Lipschitz stability for the inverseconductivity problem, Advances in Applied Mathematics (2005), Vol. 35, pp.207–241.
Nakhle H. Asmar, Partial Differential Equations with Fourier Series andBoundary Value Problems, 2nd Edition, Pearson, 2004.
Joel Feldman, Mikko Salo and Gunther Uhlmann, The Calderón Problem- AnIntroduction to Inverse Problems.
Andreas Kirsch, An Introduction to the Mathematical Theory of InverseProblems, 2nd Edition, Springer, 2011.
Mai Thị Kim Dung (K59-A1T-ĐHKHTN) ĐHKHTN-ĐHQGHN 03/05/2018 18 / 19
![Page 37: B€ito¡nCalderântrongh…nhtrö vîic¡ct‰nhd¤n˜°cbi»t€¦ · B€ito¡nCalderântrongh…nhtrö vîic¡ct‰nhd¤n˜°cbi»t Sinh vi¶n tr…nh b€y : Mai Thà Kim Dung](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060608/605ff5a2453fdc615d66e643/html5/thumbnails/37.jpg)
XIN CHÂN THÀNH CẢM ƠN SỰ THEO DÕI
CỦA THẦY CÔ VÀ CÁC BẠN!
Mai Thị Kim Dung (K59-A1T-ĐHKHTN) ĐHKHTN-ĐHQGHN 03/05/2018 19 / 19