แผนการทดลองแบบบลอกไมสมบรณสมดล

( Balance incomplete block design )

นางสาวธนสสรณ แตงทอง

นางสาววนด แสงทะมาตย

นางสาวนวลพรรณ อนอาร

โครงงานนเปนสวนหนงของการศกษาตามหลกสตรวทยาศาสตรบณฑต

สาขาวชาคณตศาสตรประยกต ภาควชาคณตศาสตร

คณะวทยาศาสตรประยกต มหาวทยาลยเทคโนโลยพระจอมเกลาพระนครเหนอ

ปการศกษา 2554

ชอโครงงาน : แผนการทดลองแบบบลอกไมสมบรณสมดล

( Balance incomplete block design )

โดย : นางสาวธนสสรณ แตงทอง

นางสาววนด แสงทะมาตย

นางสาวนวลพรรณ อนอาร

สาขาวชา : คณตศาสตรประยกต

ภาควชา : คณตศาสตร

คณะ : วทยาศาสตรประยกต

อาจารยทปรกษา : รองศาสตราจารยประทม พรมม

ปการศกษา : 2554

คณะวทยาศาสตรประยกต มหาวทยาลยเทคโนโลยพระจอมเกลาพระนครเหนอ

อนมตใหโครงงานนเปนสวนหนงของการศกษาตามหลกสตรปรญญาวทยาศาสตรบณฑต

สาขาวชาคณตศาสตรประยกต

……………………………………. อาจารยทปรกษา

(รองศาสตราจารยประทม พรมม )

……………………………………… กรรมการ

( อ.ดร. อนชต จตพฒนกล )

……………………………………… กรรมการ

( อ. สนตพงษ ประสาททอง )

ลขสทธของภาควชาคณตศาสตร คณะวทยาศาสตรประยกต

มหาวทยาลยเทคโนโลยพระจอมเกลาพระนครเหนอ

ปการศกษา 2554

ข

บทคดยอ

ในทางสถตมการวจยและทดลองเกยวกบเรองตางๆ ทตองการศกษาโดยใชแผนการทดลอง

ชนดตางๆ ซงมหลากหลายชนด เชน แผนการทดลองแบบบลอกสมบรณ แผนการทดลองแบบ

ลาตนจตรส และอนๆ แผนการทดลองเหลานจะขาดประสทธภาพไมเหมาะส าหรบการทดลองเพอ

เปรยบเทยบตวทดสอบจ านวนมากๆ กบบลอกทมอยจ ากด

ในโครงงานนจงไดศกษา Balance incomplete block design ( แผนการทดลองแบบบลอก

ไมสมบรณสมดล) ทมความเทยงตรงกวาแผนการทดลองแบบอนๆ เนองจากสามารถทดลองไดกบ

ตวทดสอบทมจ านวนมากๆ แมจะมบลอกทนอยกวาตวทดสอบ มการวางรปแบบการทดลองใน

ลกษณะทเปนระบบท าใหผวจยสามารถวเคราะหและทดสอบอทธพลตางๆ ไดอยางมประสทธภาพ

และเหมาะสมในทางปฏบต และยงไดน าเสนอวธ Balance incomplete block design ( แผนการ

ทดลองแบบบลอกไมสมบรณสมดล) โดยใชบทนยามและทฤษฏบท และการสรางแผนการทดลอง

นดวย Difference sets รวมทงการน าความรทไดมาประยกตใชกบการทดลองดานการศกษาทรต

เมนตทมผลตอปรมาณกระแสไฟฟาทไหลผานหลอดภาพโทรทศน แผนการทดสอบยหอโลชน

การศกษาอทธพลของการใชเอนไซมและสารเคมอนๆ ทมผลตอความออนนมของเนอ และ

การศกษาชนดของอาหารทมผลตอการเจรญเตบโตของกระตายพนธ New Zealand White

ค

ABSTRACT

There are many kinds of experiment such as completely blocked Latin, square

experimental design and balance incomplete block design which are used as the plan

of the study of experiments. These experimental designs are not suitable for the

experiments which contain many treatments with limited block.

In this project, we study Balance Incomplete Block Design which is more

accurate than others because it can be used even the case that blocks are less than

treatment.

Balance Incomplete Block Design has a good experimental design which

researchers can analyze and do the efficient test in practice. Moreover, we introduce

Balance Incomplete Block Design by using definition, theorem and difference sets.

We also apply the study in treatment which effects the amount of electrical flow in the

television picture tubes, lotion brand’s test, effects of the use of enzymes and other

chemicals to the softness effect of the meat and the study of food type effect on the

growth of the New Zealand white rabbits.

สารบญ

หนา

บทคดยอภาษาไทย ข

บทคดยอภาษาองกฤษ ค

กตตกรรมประกาศ ง

บทท1 บทน า

1.1 ความเปนมาและปญหาของโครงงาน 1

1.2 วตถประสงคของโครงงาน 2

1.3 ขอบเขตของการด าเนนการ 2 1.4 ประโยชนทคาดวาจะไดรบ 3

บทท 2 ความรพนฐานและทฤษฎทเกยวของ 2.1 ความรพนฐาน 2

2.2 บทนยามและทฤษฎบททเกยวของ 10

บทท 3 วธการด าเนนงาน

3.1 บทนยามพนฐาน 13

3.2 Incidence Matrix ของ BIBD 18

บทท 4 ผลการด าเนนงาน

4.1 การสราง BIBD โดย Difference sets 28

4.2 การสราง BIBD โดย Difference set families 32

4.3 การประยกตของ BIBD 35

บทท 5 สรปและขอเสนอแนะ

5.1 สรป 39

5.2 ขอเสนอแนะ 39

บรรณานกรม 40

1

บทท 1

บทน ำ

1.1 ควำมเปนมำและปญหำของโครงงำน

ในการศกษาอาหาร 6 สตร ทมผลตอการเจรญเตบโตของกระตายพนธ New Zealand White

ผวจยใชกระตายอายประมาณ 4 สปดาห กระตายทมาจากครอกเดยวกนจะจดใหอยในบลอก

เดยวกน อยางไรกตามจากประสบการณ ผวจยทราบวากระตายแตละครอกมความสม าเสมอเพอใช

ในการวจยไมเกน 3 ถง 4 ตว ดงนนการทดลองครงนจงเลอกใชกระตายจ านวน 3 ตวตอบลอก แต

เนองจากการวางแผนการทดลองแบบบลอกสมบรณ ผวจยตองใชจ านวนบลอกเทากบ 6

3 20c

บลอก ซงตองใชกระตายรวม 20 3 60 ตว และตองการลดจ านวนบลอกลง

ปญหาชนดนจดการไดในการออกแบบทางสถต โดยน าแนวคดของแผนทดลองแบบบลอก

ไมสมบรณสมดล (Balance incomplete block design) ซงสามารถเรยกแบบสนๆวา BIBD

2

1.2 วตถประสงคของโครงงำน

1) เพอศกษาบทนยามและทฤษฎบททเปนพนฐานของการแผนการทดลองแบบบลอกไม

สมบรณสมดล

2) เพอศกษาการสราง incidence matrix (เมทรกตอบตการณ) โดยใชวธการทางคณตศาสตร

ไดแก Difference sets และ Difference set families

3) เพอน าความรทไดจากการศกษาแผนการทดลองแบบบลอกไมสมบรณสมดล มา

ประยกตในการทดลองดานการศกษาทรตเมนตทมผลตอปรมาณกระแสไฟฟาทไหลผานหลอดภาพ

โทรทศน แผนการทดสอบยหอโลชน การศกษาอทธพลของการใชเอนไซมและสารเคมอนๆทม

ผลตอความออนนมของเนอ และการศกษาชนดของอาหารทมผลตอการเจรญเตบโตของกระตาย

พนธ New Zealand White

1.3 ขอบเขตของกำรด ำเนนกำร

ศกษาบทนยาม และทฤษฎบททางคณตศาสตรทเกยวของกบแผนการทดลองแบบบลอกไม

สมบรณสมดล เพอน ามาประยกตใชกบการทดลองดานการศกษาทรตเมนตทมผลตอปรมาณกระแส

ไฟฟาทไหลผานหลอดภาพโทรทศน แผนการทดสอบยหอโลชน การศกษาอทธพลของการใชเอน

ไซมและสารเคมอนๆทมผลตอความออนนมของเนอ และการศกษาชนดของอาหารทมผลตอการ

เจรญเตบโตของกระตายพนธ New Zealand White

3

1.4 ประโยชนทคำดวำจะไดรบ

1) ไดรบความรจากการศกษานยามและทฤษฎบทตางๆของแผนการทดลองแบบบลอกไม

สมบรณสมดล

2) เขาใจและเกดการเรยนรการสรางแผนการทดลองแบบบลอกไมสมบรณสมดลโดยใช

วธการทางคณตศาสตร

3) สามารถน าความรทไดจากการศกษา มาประยกตใชในการทดลองดานการศกษาทรต

เมนตทมผลตอปรมาณกระแสไฟฟาทไหลผานหลอดภาพโทรทศน แผนการทดสอบยหอโลชน

การศกษาอทธพลของการใชเอนไซมและสารเคมอนๆทมผลตอความออนนมของเนอ และ

การศกษาชนดของอาหารทมผลตอการเจรญเตบโตของกระตายพนธ New Zealand White

4) น าความรจากแผนการทดลองแบบบลอกไมสมบรณสมดล มาใชในการจดการสงตางๆ

ในชวตประจ าวนใหมระบบแบบแผนบนเงอนไขทจ ากด

4

บทท 2

ความรพนฐานและทฤษฎทเกยวของ

2.1 ความรพนฐาน

บทนยามและทฤษฎบทตางๆตอไปนคอความรพนฐานส าหรบการศกษาเรอง Incidence

Matrix ของ BIBD

บทนยาม 2.1.1 เราจะเรยกเมทรกซจตรส ซงสมาชกทงหลายทอยดานใดดานหนงของแนวเสน ทแยงมมเปน 0 วา เมทรกซสามเหลยม (Triangular Matrix) ถาสมาชกทงหลายทอยดานลางของแนวเสนทแยงมมเปน 0 เราจะเรยกเมทรกซ สามเหลยมนนวา เมทรกซสามเหลยมบน (Upper Triangular Matrix) และ จะเรยกเมทรกซสามเหลยมนนวา เมทรกซสามเหลยมลาง (Lower Triangular Matrix) ถาสมาชกทงหลายซงอยดานบนของแนวเสนทแยงมมเปน 0

ตวอยาง 2.1.1

A

1 0 2

0 3 4

0 0 5

เปนเมทรกซสามเหลยมบน

1 0 0

4 3 0

1 0 5

B

เปนเมทรกซสามเหลยมลาง

1 0 0

0 3 0

0 0 5

C

เปนทงเมทรกซสามเหลยมบนและเมทรกซ

สามเหลยมลาง

5

บทนยาม 2.1.2 ให A เปนเมทรกซมต n n ถามเมทรกซ B ซงท าให nAB BA I แลว เราจะกลาววา B เปนอนเวอรสของเมทรกซ A และจะเขยนแทนดวย 1A นนคอ 1B A ดงนน 1 1

nAA A A I ถาเมทรกซ A มอนเวอรส เราจะเรยกวา A เปน เมทรกซไมเอกฐาน (Nonsingular Matrix) แตถา A ไมมอนเวอรสเราจะกลาววา A เปน เมทรกซเอกฐาน (Singular Matrix)

ตวอยาง 2.1.2 ก าหนดให 13 5

5 2A

และ 2 5

5 13B

จงแสดงวา 2AB BA I

วธท า เพราะวา

13 2 5 5 13 5 5 1313 5 2 5 1 0

5 2 2 5 5 5 2 135 2 5 13 0 1AB

และ

2 13 5 5 2 5 5 22 5 13 5 1 0

5 13 13 5 5 5 13 25 13 5 2 0 1BA

จะไดวา 2AB BA I ดงนน A เปนเมทรกซเอกฐาน

6

บทนยาม 2.1.3 ดเทอรมแนนท (Determinant) ให [ ]ijA a เปนเมทรกซจตรสมต n n ดเทอรมแนนทของ A ซงเราจะใช สญลกษณแทนดวย det A (หรอ A ) คอ

1 21 2det ...

nj j njA a a a โดยท 1 2 ... nj j j คอการจดล าดบสมาชกในเซต 1,2,...,S n สวนเครองหมาย ขางหนา

1 21 2 ...nj j nja a a จะเปนบวกหรอลบขนอยกบ 1 2 ... nj j j วาจะเปน

การจดล าดบคหรอค ถาเปนการจดล าดบค เครองหมายจะเปนบวก ถาเปนการ จดล าดบคเครองหมายจะเปนลบ ส าหรบการบวก (ภายใตเครองหมาย ) นน จะบวกเทอม

1 21 2 ...nj j nja a a เปนจ านวน !n เทอมขนอยกบการจดล าดบ

1 2 ... nj j j ซงมอย !n ชด

ตวอยาง 2.1.3 ให 11 12

21 22

a aA

a a

เปนเมทรกซมต 2 2 จงหาสตร det A

วธท า จากบทนยาม 2.1.3 จะได 1 2

11 12

1 2

21 22

det j j

a aA a a

a a

เมอ 1 2j j คอ การจดล าดบของสมาชกใน 1,2S นนคอ 2 12,21S

เมอ 1 2j j คอ 12 จะไดเทอม 11 22a a ซงมเครองหมายขางหนาเปน + เพราะวา

เปนการจดล าดบค

เมอ 1 2j j คอ 21 จะไดเทอม 12 21a a ซงมเครองหมายขางหนาเปน - เพราะวา

เปนการจดล าดบค

ดงนน 11 22 12 21det A a a a a

7

คณสมบตของดเทอรมแนนท

ให A เปนเมทรกซจตรสมต n n

1. การทรานสโพสไมท าใหดเทอรมแนนทของเมทรกซจตรสมต n n เปลยนไป

นนคอ det detTA A

2. การสลบทระหวาง 2 แถวใดๆของเมทรกซ จะท าใหดเทอรมแนนทของเมทรกซนน

เปลยนเปนเครองหมายตรงขาม นนคอ ถาB เปนเมทรกซทไดจากการสลบทระหวาง 2

แถวใดๆของเมทรกซ A แลว

det detB A 3. ถาสมาชก 2 แถวใดๆของเมทรกซ A เหมอนกน

จะได det 0A

4. ถาสมาชกแถวใดแถวหนงของ A เปน 0 ทงแถว

จะได det 0A

5. ถา B เปนเมทรกซทไดจากการคณแถวใดแถวหนงของเมทรกซ A ดวยจ านวนจรง c

ดงนน det detB c A

6. ถา [ ]ijA a เปนเมทรกซสามเหลยมบนหรอลาง มต n n แลว

11 22det ... nnA a a a

7. ถา A และ B เปนเมทรกซจตรสใดๆ

จะได det det detAB A B 8. เมทรกซ A จะเปนเมทรกซไมเอกฐาน กตอเมอ det 0A

8

ทฤษฎบท 2.1.1 ถา ijA a เปนเมทรกซสามเหลยมบน (ลาง) [ Upper (Lower) Triangular Matrix] มต n n แลว 11 22det ... nnA a a a นนคอ ดเทอรมแนนทของ เมทรกซสามเหลยม (Triangular Matrix) กคอผลคณของสมาชกทอยบนแนว เสนทแยงมม

จากคณสมบตดเทอรมแนนททกลาวมาแลวท งหมด ถาหาดเทอรมแนนทโดยอาศย

คณสมบตเหลาน จะชวยใหหาดเทอรมแนนทไดงายขน โดยเฉพาะถาสามารถเปลยนเมทรกซ A

ซงเปนเมทรกซทตองการจะหาดเทอรมแนนทใหเปนเมทรกซ B โดยมสมาชกแถว (หลก) ใดแถว

หนงของ B เปนศนยทงหมดแลว จะได det det 0A B

หรอถาสามารถเปลยนเมทรกซ A ใหเปนเมทรกซสามเหลยมบน(ลาง)ได กจะสามารถหา

ดเทอรมแนนทของเมทรกซนนไดโดยการน าสมาชกในแนวเสนทแยงมมหลกทงหมดมาคณกน

บทนยาม 2.1.4 การกระท าเบองตนแบบแถว (หลก) ของเมทรกซ A กคอการกระท าแบบใดแบบ หนงใน 3 แบบตอไปน

1. สลบทระหวางแถว (หลก) ท i และ j ใชสญลกษณ i jR R 2. คณแถว (หลก) ท i ดวย 0k ใชสญลกษณ ikR 3. คณแถว (หลก) ท j ดวย k แลวน าไปบวกกบแถว (หลก) ท i เมอ i j ใช

สญลกษณ i jR kR

ในท านองเดยวกนเราสามารถใชนยามการกระท าเบองตนแบบหลกและใช สญลกษณ ท านองเดยวกนคอ i jC C หรอ ikC หรอ i jC kC ตามล าดบ

9

ตวอยาง 2.1.4 จงพจารณาวาเมทรกซ A เปนเมทรกซเบองตนแบบแถวหรอไม

ก าหนดให 1 0 0

0 3 0

0 0 1

A

วธท า 3 2 2

1 0 0 1 0 0

0 1 0 3 0 3 0

0 0 1 0 0 1

I R R A

เพราะฉะนน A เปนเมทรกซเบองตนแบบแถว

บทนยาม 2.1.5 แรงค(Rank) ของเมทรกซ คอ จ านวนเตมบวก r ซงมเมทรกซยอย(Sub Matrix) มต r r ทดเทอรมแนนทไมเทากบศนย และส าหรบจ านวนเตม บวก k ทกๆจ านวนท k r เมทรกซยอย มต k k ทกเมทรกซมดเทอร มแนนตเทากบศนย แรงคของเมทรกซศนย (Zero Matrix) คอ ศนย

ตวอยาง 2.1.5 จงหาแรงคของเมทรกซ

2 3 1

5 1 0

4 6 2

A

และ

2 0 7

1 3 9

4 6 8

B

วธท า พจารณาเมทรกซ A เนองจาก det 0A

ดงนนแรงคของ 3A จะไดแรงคของ 2A

เพราะ A มเมทรกซยอย เชน 2 3

5 1

ซงดเทอรมแนนทไมเทากบศนย

พจารณาเมทรกซ B เนองจาก det 0B

ดงนนแรงคของ 3B

10

2.2 บทนยามและทฤษฏบททเกยวของ

บทนยามและทฤษฎบทตางๆตอไปนจะน าไปใชในการศกษาการสราง BIBD โดย

Difference sets และ Difference set families

การด าเนนการทวภาค

บทนยาม 2.2.1 ให G เปนเซตทไมใชเซตวาง (Emptp Set) การด าเนนการทวภาคบนเซต G คอฟงกชน G G ไปยง G การด าเนนการทวภาคบนเซต G คอกฎ (Rule) ทก าหนดภาพ (Image) ของค อนดบของสมาชกในG หรอเปนกฎทท าใหสามารถหาสมาชกตวหนงใน G จากคอนดบของสมาชกใน G ทก าหนดให ถา ,a b G G และ เปนการด าเนนการทวภาคบนเซต G เขยน สญลกษณ a b แทนภาพของ ,a b

ตวอยาง 2.2.1 ให 1,2,3A

ก าหนดฟงกชน จาก A A A โดยท a b b ดงตารางตอไปน

จากตารางจะพบวา ภาพของ a b ทกตวเปนสมาชกของเซต A

ซง เปนฟงกชนจาก A A A

ดงนน เปนการด าเนนการทวภาคบนเซต A

1 2 3

1 1 2 3

2 1 2 3

3 1 2 3

11

สมบตของการเปนกรป

บทนยาม 2.2.2 กรป ,G คอเซต G ทมสมบตปดภายใตการด าเนนการทวภาค ซงมสมบต ดงน

1. การด าเนนการ มสมบตการเปลยนหม 2. มสมาชก e G ซง e a a e a ส าหรบทก a G

เรยก e วา สมาชกเอกลกษณของ บนเซต G 3. ทกสมาชก a G จะม 1a G ซง 1 1a a a a e

เรยก 1a วาตวผกผนของ a

ตวอยาง 2.2.2 , ไมเปนกรป เพราะวา ไมมสมาชกเอกลกษณในเซต

{0}, ไมเปนกรป เพราะวา 0 เปนสมาชกเอกลกษณแตสมาชกทกตว

ยกเวน 0 ไมมตวผกผน

, ไมเปนกรป เพราะวา 1 เปนสมาชกเอกลกษณ แตสมาชกทก

ตวยกเวน 1 ไมมตวผกผน

, ไมเปนกรป เพราะวาการลบไมมสมบตการเปลยนหม

บทนยาม 2.2.3 กรป ,G จะเรยกวา อาบเลยนกรป (abelian group) ถาการด าเนนการ ม

สมบตสลบทของสมาชกใน G นนคอ a b b a ส าหรบทกสมาชก ,a b G

ตวอยาง 2.2.3 , เปนอาบเลยนกรป

, เปนอาบเลยนกรป

, เปนอาบเลยนกรป

, เปนอาบเลยนกรป

{0}, เปนอาบเลยนกรป

{1, 1, , },i i เปนอาบเลยนกรป

12

บทนยาม 2.2.4 กรปยอย(Subgroups) ,S เปนกรปยอยของ ,G กตอเมอ

1. S เปนเซตยอยของ G

2. ,S เปนกรป

ตวอยาง 2.2.4 เนองจาก , เปนกรป และ

เมอ เปนจ านวนตรรกยะ และ เปนจ านวนจรง

จะพบวา , เปนกรปดวย

ดงนน , เปนกรปยอยของ ,

บทนยามพนฐานและทฤษฏบทตางๆทกลาวมาทงหมดน คอความรทตองใชส าหรบ

การศกษาแผนการทดลองแบบบลอกไมสมบรณสมดล ซงจะศกษาในบทตอไป

13

บทท 3

ระเบยบวธการด าเนนงาน

3.1 บทนยามพนฐาน

ตอไปนจะเปนการน าเสนอบทนยามพนฐานและทฤษฏบทตางๆของแผนการทดลองแบบ

บลอกไมสมบรณสมดล ซงไดมการพสจนทมา และตวอยางเพอความเขาใจ

บทนยาม 3.1.1 ให V เปนเซตทมสมาชก v ตว โดยท 2v เซต D ประกอบดวย b สบเซต ของ V ตอไปนจะเรยก b วาบลอกของD และจะเรยกแผนการทดลองทม ลกษณะดงนวาแผนการทดลองแบบบลอกไมสมบรณสมดล (Balanced in complete block design) ซงสามารถเรยกอยางสนๆวา BIBD บน V ซงประกอบ ดวยพารามเตอร , , , ,v b r k ถาเงอนไขตอไปนเปนจรง

1. สมาชกแตละตวบน V เกดขนใน r บลอกของD 2. แตละบลอกของ D มสมาชก k ตว โดยท 1 k v 3. สมาชกทกๆสองตวบน V เกดขนรวมกนใน บลอกของD

นอกจากน ถา v b แลวจะเรยกD วา symmetric BIBD ทประกอบดวยพารามเตอร

, , , ,v b r k สามารถเขยนแทนดวย , , , ,v b r k design

ตวอยาง 3.1.1 ให 1 2 3, ,V a a a และ 1 2 3, ,D B B B ขณะท

1 2 3 2 1 3 3 1 2, , , , ,B a a B a a B a a

จงแสดงวา D คอ symmetric BIBD บน V และหาพารามเตอร

วธท า ตรวจสอบโดยตรง จะพบวาสมาชกแตละตวบนV เกดขนใน 2 บลอกของD

และสมาชกทกๆสองตวบนV เกดขนรวมกนใน 1 บลอก

ซงแตละบลอกจะมสมาชก 2 ตว

14

ดงนน D คอ BIBD ทประกอบดวยพารามเตอร 3,3,2,2,1

มากกวานน เนองจาก 3v b

เพราะฉะนน D คอ symmetric BIBD

ทฤษฎบท 3.1.1 ให V เปนเซตทมสมาชก v ตว และให ( )kD V เปนเซต ทงหมดเปนสบเซต ของ V มสมาชก k ตว โดยท 1 k v ดงนนD คอ BIBD บน V ซง ประกอบดวยพารามเตอร , , , ,v b r k โดยท

1 2, ,

1 2

v v vb r

k k k

พสจน จ านวนวธทสมาชก k ตวสามารถเลอกมาจากเซตV ทมสมาชก v ตว คอ v

k

ดงนน D จงประกอบดวย v

k

บลอก

ก าหนดให a เปนสมาชกใน V

ให B เปนทกๆบลอกทม a บรรจอย จะมสมาชก 1k ตวใน B

นอกเหนอจาก a

และสมาชกเหลานสามารถเลอกมาจากสมาชกทเหลอ 1v ตวใน V

ได 1

1

v

k

วธ

ดวยเหตนa จงเกดขนใน 1

1

v

k

บลอกของ D

ให ,a b เปนสมาชกใน V ให B เปนทกๆบลอกทมทง a และb บรรจอย

ขณะนมสมาชก 2k ตวใน B นอกเหนอจาก ,a b

และสมาชกเหลานสามารถเลอกมาจากสมาชกทเหลอ 2v ตวใน V

ได

2

2

v

k

วธ

15

ดวยเหตน ,a b เกดขนรวมกนใน 2

2

v

k

บลอกของ D

การพสจนนสรปไดวา D คอ BIBD บน V ซงประกอบดวยพารามเตอร

, , , ,v b r k

ขณะท 1 2, ,

1 2

v v vb r

k k k

ขอสงเกต ถา 1k v แลว 1, 1

1 2

v vb v r v

v v

และ

22

3

vv

v

ดงนน D คอ symmetric BIBD ประกอบดวยพารามเตอร

, , 1, 1, 2v v v v v

พารามเตอรของ BIBD ไมสามารถก าหนดคาเองได ทฤษฎบทตอไปนจะแสดงใหเหนวา

พารามเตอรจะตองสอดคลองและมความสมพนธกน

ทฤษฎบท 3.1.2 ถา BIBD ประกอบดวยพารามเตอร , , , ,v b r k แลวจะสอดคลองตาม ความสมพนธดงตอไปน

1. vr bk

2. 1 1r k v

3. b r

พสจน ให 1 2 3, , ,..., vV a a a a และสมมตวา 1 2 3, , ,..., bD B B B B เปน

BIBD บน V ประกอบดวยพารามเตอร , , , ,v b r k

16

a จะพสจนวา vr bk

ให N แทนจ านวนคอนดบ ,i j ทงหมดและ i ja B

เนองจากแตละ ia โดยท 1,...,i v ปรากฏใน r บลอกของ D

จะได N vr

ในแตละบลอก jB โดยท 1,...,j b มสมาชก k ตวใน V

เพราะฉะนน N bk

การพสจนน สรปไดวา vr bk

b จะพสจนวา 1 1r k v

ให M แทนจ านวนคอนดบ ,i j ทงหมด และ 1, 1i ja a B i

ส าหรบแตละ 2,...,i v สมาชก 1a และ ia ปรากฏรวมกนใน บลอกของ D

เพราะฉะนน 1M v

ถา 1a ปรากฏใน r บลอก และในแตละบลอกนนมสมาชก 1k ตว ท

นอกเหนอจาก 1a

ดงนน 1M r k

การพสจนนสรปไดวา 1 1r k v

c จะพสจนวา b r

เนองจาก k v และผลการพสจนจาก a และ b จะไดวา b r

บทแทรกตอไปนคอผลทไดโดยตรงจากความสมพนธ vr bk ดงทพสจนไปแลวใน

ทฤษฎบท 3.1.2

บทแทรก 3.1.1 BIBD ทประกอบดวยพารามเตอร , , , ,v b r k เปน symmetric BIBD

กตอเมอ r k

17

ผลสรปน จ าเปนตองก าหนดเฉพาะคาพารามเตอร 3 ตวคอ ,v k และ ส าหรบ symmetric

BIBD ทประกอบดวยพารามเตอร ,v k และ เรยกวา symmetric , ,v k -design จากทฤษฎบท

3.1.2 symmetric , ,v k -design จะตองเปนไปตามเงอนไข 1 1k k v

เปนสงทสงเกตวาเงอนไขในทฤษฎบท 3.1.2 คอปจจยส าคญแตไมเพยงพอส าหรบ BIBD ท

ประกอบดวย 5 พารามเตอร ส าหรบตวอยางตอไปนจะแสดงใหเหนวาไมเปน BIBD ทม

พารามเตอร , , , ,v b r k แมวาจะเปนไปตามเงอนไขในทฤษฎบท 3.1.2

ตวอยาง 3.1.2 จงแสดงวาไมมทางเปนไปไดทจะม BIBD ทประกอบดวยพารามเตอร

, , , ,v b r k ถา 10, 12v b และ 5k วธท า จากทฤษฎบท 3.1.2 vr bk จะไดวา 6r

จากทฤษฎบท 3.1.2 1 1r k v จะได 8

3 ซงไมมทางเปนไปได

เนองจาก จะตองเปนจ านวนเตม

ทฤษฎบทตอไปนจะแสดงการหา BIBD อนๆจาก BIBD ทก าหนดให โดยการกระท า

complements ของบลอกทงหมด

ทฤษฎบท 3.1.3 ถา 1 2 3, , ,..., bD B B B B เปน BIBD บน V ประกอบดวยพารามเตอร , , , ,v b r k โดยท 1 1k v และ

' , 1,...,i i iB V B x V x B i b แลว ' ' ' ' '

1 2 3, , ,..., bD B B B B คอ BIBD บนV ประกอบดวยพารามเตอร , , , , 2v b b r v k b r ( 'D เรยกวา complements ของ D )

พสจน เปนทชดเจนวาทกๆบลอก '

iB ของ 'D มสมาชก v k ตว

สมมตให a เปนสมาชกใน V ซง a ปรากฏใน '

iB กตอเมอ ia B

18

เนองจาก a ปรากฏขนแนนอน r บลอกของ D

จะไดวา a ปรากฏขนใน b r บลอกของ 'D

ตอไปจะเปนการพจารณาสมาชก 2 ตวใดๆใน V ซงสมมตใหเปน a และb

ให ,P Q เปนเซตของบลอก ใน 'D ซงบรรจ a และ b

ดงนน P Q คอเซตของบลอก ใน 'D ซงม a และ b ปรากฏอยรวมกน

ถาทง a และb ปรากฏในบลอก iB ใน D แลวทง a และb จะไมอยใน '

iB

ดงนนจ านวนบลอก ใน 'D ทไมมทง a และb ปรากฏอยคอ

นนคอ P Q b ขณะท P Q P Q P Q

และ 2P Q P Q P Q b r b r b b r

ดงนนสมาชกทกๆ 2 ตวใน V ปรากฏขนรวมกนใน 2b r บลอกของ 'D

จงสรปไดวา 'D คอ BIBD บน V ทประกอบดวยพารามเตอร

, , , , 2v b b r v k b r

บทแทรกตอไปนคอผลทไดรบในทนทของทฤษฎบท 3.1.3

บทแทรก 3.1.2 ถา D คอ symmetric BIBD ทประกอบดวยพารามเตอร , ,v k แลว

'D คอ symmetric BIBD ทประกอบดวยพารามเตอร , , 2v v k v k

ตวอยาง 3.1.3 ให 1,2,3,4,5,6,7V และ 1 2 3 4 5 6 7, , , , , ,D B B B B B B B โดยท

1 2 3 41,2,4 , 2,3,5 , 3,4,6 , 4,5,7B B B B

5 6 75,6,1 , 6,7,2 , 7,1,3B B B

จงแสดงวาD คอ symmetric BIBD และหา 'D พรอมทงพารามเตอรของ 'D

วธท า ตรวจสอบโดยตรงวาแตละสมาชกของ V ปรากฏใน 3 บลอก

และสมาชกทกๆ 2 ตว ปรากฏขนรวมกนใน 1 บลอก

เพราะฉะนน D เปน symmetric 7,3,1 -design

19

หา complements บลอกใน D จะไดบลอกของ 'D ดงน

' ' ' '

1 2 3 43,5,6,7 , 4,6,7,1 , 5,7,1,2 , 6,1,2,3B B B B

' ' '

5 6 77,2,3,4 , 1,3,4,5 , 2,4,5,6B B B

'D เปน symmetric design ทประกอบดวยพารามเตอร 7,4,2

นคอการตรวจสอบอยางงายโดยการตรวจสอบโดยตรง

20

3.2 Incidence Matrix ของ BIBD

ตอไปจะเปนการแนะน าเมทรกซทเปนตวแทนของ BIBD ซงเปนประโยชนในการพสจน

หลากหลายขอสรป ก าหนดนยามทวไปของ Incidence MatrixในการประยกตไปเปนBIBD เมทรกซ

ทมสมาชกทกตวเปน 0 หรอ 1 เรยกวา เมทรกซ 0 1 ทมขนาด m n

บทนยาม 3.2.1 ให 1 2 3, , ,..., mX x x x x เปนเซตทมสมาชก m ตว และให

1 2 3, , ,..., nS S S S เปนสบเซตของ X

Incidence Matrix ของ 1 2 3, , ,..., nS S S S เปนเมทรกซ 0 1 ทมขนาด m n

ijA a ก าหนดโดย โดยทวไป ถา 1 2 3, , ,..., bD B B B B เปน BIBD บนเซต V แลว

Incidence Matrix ของ 1 2 3, , ,..., bB B B B เปนสบเซตของ V จะเรยกวา Incidence Matrix ของD

ตวอยาง 3.2.1 ให 1 2 3, ,X x x x และ 1 2 3, ,S S S S โดยท

1 2 3 2 1 3 3 1 2, , ,S x x S x x S x x

วธท า จะเหนวา 1 1 1 2 1 3, ,x S x S x S

2 1 2 2 2 3, ,x S x S x S

3 1 3 2 3 3, ,x S x S x S

ดงนน จะได 0 1 1

1 0 1

1 1 0

A

ทฤษฎบทตอไปน คอผลโดยตรงทไดจากบทนยามของ BIBD และ Incidence Matrix

1 ,

0 ,i j

i j

x S

ij x Sa

21

ทฤษฎบท 3.2.1 ให 1 2 3, , ,..., bD B B B B เปน BIBD บน V ประกอบดวยพารามเตอร , , , ,v b r k และ A เปน Incidence Matrix ของ D แลว A เปนเมทรกซ 0 1 ทมขนาด v b ซงมคณสมบตดงตอไปน

1

b

ij

j

a a r

โดยท 1,...,i v

1

v

ij

i

b a k

โดยท 1,...,j b

1

b

pj qj

j

c a a

โดยท , 1,..., ;p q v p q

พสจน a เนองจากสมาชกแตละตวใน V ปรากฏขน r บลอกของ D

จะม 1 อย r ตวแนๆ ในแตละแถวของ A

ดงนนผลรวมในแตละแถวของ A คอ r

b เนองจากแตละบลอกของ D มสมาชก k ตว

จะมแนนอน k ตวในแตละหลกของ A

ดงนนผลรวมในแตละหลกของ A คอ k

c เนองจากสมาชกทกๆสองตวใน V ปรากฏขนรวมกนใน บลอกของ D

ส าหรบสองแถวใดๆใน A จะมแนนอน หลก ทม 1 อยทงสองแถว

ดงนนผลคณภายในของสองแถวใดๆของ A คอ

ทฤษฎบทตอไปนเปนสมบตทส าคญของ Incidence Matrix ของ BIBD ซงเกยวของกบ TA

ทฤษฏบท 3.2.2 ให A เปน Incidence Matrix ของ BIBD แลว TAA เปน เมทรกซไมเอกฐาน

22

พสจน ให D เปน BIBD ทประกอบดวยพารามเตอร , , , ,v b r k

Incidence Matrix A เปนเมทรกซขนาด v b

ดงนน TAA เมทรกซ v v แตละคอนดบ ,p q ทเปนสมาชกของ TAA

มคาเทากบ 1

b

pj qj

j

a a

เนองจาก A เปนเมทรกซ 0 1

เพราะฉะนน 2

pj pja a

ดงนน จากทฤษฎบท 3.2.1 a

จะได

2

1 1

b b

pj pj

j j

a a r

ส าหรบทก 1,...,p v

เพราะฉะนน จากทฤษฎบท 3.2.1 c จะไดวาส าหรบทก , 1,...,p q v

,

,

1

br p q

pj qj p q

j

a a

ดงนน

...

...

...

T

r

rAA

r

และสามารถหาคาดเทอรมแนนตของ TAA ไดดวยวธ Row Reduced Matrix

1

1 0 ... 0

... 0det

0 ...

1

T

v

r v

rAA

r

r v r

ดเทอรมแนนตของเมทรกซรปสามเหลยมจะมคาเทากบผลคณของสมาชกในแนว

ทแยงมม จากทฤษฎบท 3.1.2 r ดงนน det 0TAA ดงนน TAA เปน

เมทรกซขนาด v v ทเปนเมทรกซเอกฐาน

23

ทฤษฎบทตอไปนจะใหเงอนไขอนๆของ พารามเตอรของ BIBD คาดวาจะเปนแบบทกลาว

ไวกอนหนาน

ทฤษฏบท 3.2.3 Fisher’s inequality กลาววา ถาม BIBD ประกอบดวยพารามเตอร , , , ,v b r k แลว v b และ r k

พสจน ให D เปน BIBD ประกอบดวยพารามเตอร , , , ,v b r k

แลว Incidence Matrix A เปนเมทรกซขนาด v b

ดงนน rank A b

จากทฤษฎบท 3.2.2 TAA เปนเมทรกซ v v ทเปนเมทรกซไมเอกฐาน

ดงนน Trank AA v

และเนองจาก min ,rank AB rank A rank B ดงนน Tv rank AA rank A b

ดงนนv b จากทฤษฎบท 3.1.2 vr bk และ r k

ตอไปจะพจารณากรณพเศษ ของ symmetric BIBD

ทฤษฏบท 3.2.4 ใหD เปน symmetric BIBD ประกอบดวยพารามเตอร , ,v k และให A เปน Incidence Matrix ของ D แลว A เปนเมทรกซไมเอกฐาน และ T TA A AA

พสจน เนองจาก D เปน symmetric BIBD A และ TA เปนเมทรกซ v v ทงค

ดงนนตามทฤษฏบท 3.2.2 จะไดวา det det det 0T TA A AA

ดงนน det 0A และ A เปนเมทรกซไมเอกฐาน

ดงนนจะตองม 1A อย จะแสดงโดยใชทฤษฎบท 3.2.2 ประกอบการพสจน

24

...

...

...

T

k

kAA

k

k I J

ซง I เปนเมทรกซเอกลกษณv v และ J เปนเมทรกซ v v โดยทสมาชกทกๆ

ตวเปน1

จากทฤษฎบท 3.2.1 ผลรวมของแตละแถวใน A คอ k

ดงนนจะไดวา JA kJ AJ และ 1A JA J

เพราะฉะนน TAA k I J

1A k I J A

1 TA AA A

1 TA A A A v

TA A

ทฤษฏบท 3.2.5 ให D เปน symmetric BIBD ประกอบดวยพารามเตอร , ,v k แลวทกๆ 2 บลอกของ D จะมสมาชกรวมกน ตว

พสจน จากทฤษฎบท 3.2.4 T TA A AA ถาต าแหนงสมาชก ,p q ทงสองขางของ

สมการเทากนจะสมมาตรกน จะไดวาส าหรบทก , 1,...,p q v และ p q

1 1

v v

jp jq pj qj

j j

a a a a

ดงนนผลคณภายในของ 2 หลกใดๆของ A มคาเทากบ ซงจะท าใหไดวาทกๆ

2 บลอก ใดๆของ D มสมาชกรวมกน ตว

25

ตามทฤษฎตอไปน จะสราง symmetric BIBD อนๆ จาก symmetric BIBD ทมอยแลว

ทฤษฏบท 3.2.6 ให 1 2 3, , ,..., vD B B B B เปน symmetric BIBD บนเซต

1 2 3, , ,..., vV a a a a ประกอบดวย พารามเตอร , ,v k ให * * * *

1 2 3, , ..., vB B B B เปนสบเซตของ V โดยก าหนดให * , 1,...,i j j ia B a B i j v แลว * * * * *

1 2 3, , ..., vD B B B B เปน symmetric BIBD ประกอบดวยพารามเตอร , ,v k ( สราง symmetric *D เปนคของ D )

พสจน ให A เปน Incidence Matrix ของ D จากทฤษฎบท 3.2.1

ผลรวมของแตละแถวและแตละหลกใน A คอ k

ดงนน TA มคณสมบตทเหมอนกบ k

นอกจากนนจากทฤษฎบท 3.2.5 ผลคณภายใน 2 หลกใดๆ ของ A มคาเทากบ

จาก T TA A AA ทไดในทฤษฎบท 3.2.4 ตามผลคณภายใน 2 แถวใดๆ ของ TA

มคาเทากบ เหนไดชดเจนวาจะเกดเมทรกซ * * * *

1 2 3, , ..., vB B B B คอ TA

ดงนน *D เปน symmetric-design ประกอบดวยพารามเตอร , ,v k

ตวอยาง 3.2.2 จงหา dual ของ symmetric BIBD เมอก าหนดให

1,2,3,4,5,6,7V และ 1 2 3 4 5 6 7, , , , , ,D B B B B B B B โดยท

1 2 3 41,2,4 , 2,3,5 , 3,4,6 , 4,5,7B B B B

5 6 75,6,1 , 6,7,2 , 7,1,3B B B

วธท า ตรวจสอบบลอกของ D

1 อยในบลอก 1 5 7, ,B B B ดงนน *

1 1,5,7B 2 อยในบลอก 1 2 6, ,B B B ดงนน *

2 1,2,6B 3 อยในบลอก 2 3 7, ,B B B ดงนน *

3 2,3,7B

26

4 อยในบลอก 1 3 4, ,B B B ดงนน *

4 1,3,4B 5 อยในบลอก 2 4 5, ,B B B ดงนน *

5 2,4,5B 6 อยในบลอก 3 5 6, ,B B B ดงนน *

6 3,5,6B

7 อยในบลอก 4 6 7, ,B B B ดงนน *

7 4,6,7B จะไดวา * * * * * * * *

1 2 3 4 5 6 7, , , , , ,D B B B B B B B โดยท

*

1 1,5,7B *

2 1,2,6B *

3 3,7,2B *

4 4,1,3B

*

5 5,2,4B *

6 6,3,5B *

7 7,6,4B

ทฤษฎบทตอไปนจะแสดงใหเหนวา symmetric BIBD ทม 1 หา BIBD ในแตละ

บลอกได

ทฤษฏบท 3.2.7 ให 1 2 3, , ,..., vD B B B B เปน symmetric design ทประกอบดวย พารามเตอร , ,v k ขณะท 1 ถา 1D ประกอบดวยเซตของ 1 2 1,...., vB B B B แลว 1D เปน BIBD บนเซต 1B ซงประกอบดวยพารามเตอร , 1, 1, , 1k v k

พสจน บลอกของ 1D คอสบเซตทงหมดของ 1B

จากทฤษฎบท 3.2.5 ทกๆสองบลอกของ D มสมาชกรวมกน ตว

ดวยเหตนทกๆบลอกของ 1D มสมาชก ตว

ให x เปนสมาชกใดๆใน 1B ดงนน x ปรากฏขนใน 1k บลอกของ D

(นอกเหนอจาก 1B )

ดงนน x ปรากฏขนใน 1k บลอกของ 1D ให ,x y เปนสมาชกสองตวใดๆใน 1B ทปรากฏขนรวมกนใน 1 บลอกของD

27

(นอกเหนอจาก 1B )

ดงนน ,x y ปรากฏขนรวมกนใน 1 บลอกของ 1D

การพสจนนจะไดวา 1D คอ BIBD บนเซต 1B ซงประกอบดวยพารามเตอร

, 1, 1, , 1k v k

design- 1D เรยกวา BIBD บนเซต 1B ทไดมาจาก D

ตวอยาง 3.2.3 ให , , ,V a b c d , 1 2 3 4, , ,D B B B B

1 , ,B a c d , 2 , ,B b c d , 3 , ,B a b c และ

4 , ,B a b d จงหา 1D และ พารามเตอร

วธท า จากทฤษฏบท 3.2.7 จะได 1 , , , , ,D c d a c a d

ดงนน 1D เปน BIBD บนเซต 1B ทประกอบดวยพารามเตอร 3,2,1

28

บทท 4

ผลการด าเนนงาน

4.1 การสราง BIBD โดย Difference sets

ไมมวธการทวไปใดๆทรจกส าหรบการสราง BIBD และไมมเงอนไขเพยงพอทรจกส าหรบ

BIBD ทประกอบดวย 5 พารามเตอร จะมเฉพาะบางวธการส าหรบการสราง BIBD ในกรณพเศษน

สามารถใชระบบพชคณตเชน กรป เราจะพจารณาการสราง BIBD จาก difference sets ในกรป

บทนยาม 4.1.1 ให G เปนกรปสลบทส าหรบการบวกทมอนดบ v S เปนสบเซตของ G ทมอนดบเปน k เรยก S วา difference sets ใน G ทประกอบดวยพารามเตอร , ,v k ถา a G โดยท 0a จะมแนนอน คอนดบ ,x y ทเปนสมาชกอยใน S มคา a x y

ตวอยาง 4.1.1 ให เปนกรปส าหรบการบวกของจ านวนเตม modulo 7 ให 1,2,4S

จงแสดงวา S คอ difference sets ใน G และหาพารามเตอร

วธท า ผลตางทไมใชศนยของคอนดบทงหมดของสมาชกใน S คอ

เมอ 1, 2x y จะได 1 2 6a

เมอ 2, 1x y จะได 2 1 1a

เมอ 1, 4x y จะได 1 4 4a

เมอ 4, 1x y จะได 4 1 3a

เมอ 2, 4x y จะได 2 4 5a

เมอ 4, 2x y จะได 4 2 2a

ดงนนเราจะพบวาสมาชกแตละตวทไมเปนศนยใน G เกดขนแนนอนหนงครง

จากผลตางของสมาชกสองตวใดๆใน S

29

เพราะฉะนน S คอ difference sets ใน G ประกอบดวยพารามเตอร 7,3,1

ทฤษฎบท 4.1.1 ถา S เปน difference sets ในกรป G ทประกอบดวยพารามเตอร , ,v k แลว 1 1k k v

พสจน เนองจาก S มสมาชก k ตว จ านวนคอนดบ ,x y S S โดยท x y

จะมคา เทากบ 1k k

ถา G มสมาชกทไมเปนศนย 1v ตว และสมาชกทไมใชศนย คอ a G

จะม ,x y S S อย คอนดบ

จะไดวา a x y ดงนน 1 1k k v

ก าหนดให S G และ g G จะไดวา

g S g s s S

เนองจาก S คอ , ,v k difference sets ส าหรบทกๆ g G

ดงนน g S คอ , ,v k difference sets ในG จะได

a x y a g x g y

ทฤษฎบทตอไปนจะแสดง difference sets ทมรปแบบเปน symmetric BIBD บนเซต G

30

ทฤษฎบท 4.1.2 ให 1 2 3, , ,..., kS s s s s เปน difference sets ในกรป G ซง 1 2 3, , ,..., vG g g g g ประกอบดวยพารามเตอร , ,v k ส าหรบ

1,....,i v ให i i iB g S g s s S แลว 1 2 3, , ,..., vD B B B B คอ symmetric BIBD บนเซต G ซง ประกอบดวยพารามเตอร , ,v k

พสจน เนองจากแตละบลอกของD มสมาชก k ตว

ถา i ig x g y แลว x y ดงนน 1,...,i i kg s g s

จะมสมาชกใน iB ทแตกตางกน k ตว

ให a เปนสมาชกใดๆ ใน G

ถา ia B แลว ia g s ส าหรบบาง s S

จะได j j ja a s s a s S ส าหรบแตละ 1,...,j k

เนองจาก 1,..., ka s a s เปนสมาชกทแตกตางกน k ตวแนนอนใน G

จะไดวาสมาชกแตละตวใน G ปรากฏขนในDทงหมด k บลอก

ให a และ b เปนสมาชกสองตวใดๆทแตกตางกน ใน G แลว 0a b

เนองจากจะม คอนดบ , , 1,...,i ix y S S i

จะไดวา i ia b x y ดงนน i i ia x b y t

จะได ,i i i ia t x b t y

ดงนน , ia b t S ส าหรบแตละ 1,...,i

ซงในทางกลบกน ถา ,a b ปรากฏขนในบลอกทเหมอนกน g S

แลว ,a g x b g y ส าหรบบาง ,x y S

เพราะฉะนน a b x y

เนองจาก , ,i ix y x y ส าหรบบาง 1,...,i และ ig t

ดงนน ,a b ปรากฏขนรวมกนใน D จ านวน บลอก

31

แสดงวา D เปน symmetric BIBD ทประกอบดวยพารามเตอร , ,v k

ตวอยาง 4.1.2 จงหา BIBD เมอก าหนดให เปนกรปส าหรบการบวกของจ านวนเตม

modulo 7 และ 1,2,4S

วธท า จากตวอยาง 4.1.1 1,2,4S คอ 7,3,1 difference sets ในกรปส าหรบ

การบวก จากทฤษฎบท 4.1.2 S ก าหนดเปน symmetric BIBD

D จงประกอบดวยบลอกตางๆ ดงตอไปน

0 1,2,4 , 1 2,3,5 , 2 3,4,6 , 3 4,5,0S S S S

4 5,6,1 , 5 6,0,2 , 6 0,1,3S S S

ดงนน

1,2,4 , 2,3,5 , 3,4,6 , 0,4,5 , 1,5,6 , 0,2,6 , 0,1, 3D

เปน symmetric BIBD บนเซต ทประกอบดวยพารามเตอร 7,3,1

และ 'D เปน symmetric 7,4,2 design

' 0,3,5,6 , 0,1,4,6 , 0,1,2,5 , 1,2,3,6 , 0,2,3,4 , 1,3,4,5D

2,4,5,6

intersections ของ 0,3,5,6 ทอยในบลอกอนๆของ 'D จะไดมาจาก BIBD

' 0,6 , 0,5 , 3,6 , 0,3 , 3,5 , 5,6D

ซงมพารามเตอร 4,6,3,2,1

32

4.2 การสราง BIBD โดย Difference set families

แนวคดของ Difference set ในกรปการบวกสามารถทจะขยายไปยง Difference set family

บทนยาม 4.2.1 ให G เปนกรปส าหรบการบวก 1 2 3 2, , ,...,S S S S เปนเซตทประกอบดวย t เซตซงแตละเซตเปนสบเซตของ และมสมาชก ตว เรยกวา

, ,t fold v k j difference set family ใน G ถาส าหรบแตละสมาชก a G โดยท 0a จะมอยางนอย 3 , ,x y j ดงนน , jx y S และ a x y ส าหรบ 1t difference set family เปนเพยง difference set ถา 1t เราอาจจะ สมมตวาไมมเซตใน difference set family คอ difference set ของตวมนเอง สมมตวา 1S คอ 1, ,v k difference set ดงนนเราสามารถละเวน 1S และเซต ทเหลออย 1t เซตจะมรปแบบเปน 1, ,v k difference set family

ตวอยาง 4.2.1 ให 9 1, 0,1,2,4G S และ 2 0,3,4,7S จงแสดงวารปแบบของ 1S และ

2S ทเปน difference set family และหาพารามเตอร

วธท า ผลตางทไมเปน 0 ใน 1S คอ

1 0 1,8 ; 2 0 2,7 ; 4 0 4,5

ท านองเดยวกนผลตางใน 2S คอ

3 0 3,6 ; 4 0 4,5 ; 7 0 7,2

4 3 1,8 ; 7 3 4,5 ; 7 4 3,6

โดยการสงเกตจะหาสมาชกทไมเปนศนยใน ปรากฏขน 3 ครง

ดงนน 1 2,S S คอ 2 3,4,3fold difference set family ในกรป 9 แสดงวา 1S หรอ 2S เซตใดเซตหนงจะเปน difference set ดวยตวเองใน

G k

2 1 1,8 ; 4 1 3,6 ; 4 2 2,7

G

G

33

ใน 1 ; 1S ปรากฏขน 2 ครงแต 3 ปรากฏขนเพยงครงเดยว

และใน 2S และเซตตอๆไปกจะมลกษณะเชนน

ทฤษฎบทตอไปนคอ ทฤษฎบททวๆไปของทฤษฎบท 4.1.1 การพสจนคลายกนจงขอละ

เวนการพสจน

ทฤษฎบท 4.2.1 ถาม , ,t fold v k แลว 1 1tk k v

ทฤษฎบทตอไปนคอ รปแบบทวไปของทฤษฎบท 4.1.2 ทแสดงวา difference set family

ในกรป ก าหนด BIBD บนเซต

ทฤษฎบท 4.2.2 ให 1 2 3, , ,..., vG g g g g เปนกรปส าหรบการบวกและสมมต 1 2 3 2, , ,...,S S S S คอ , ,t fold v k difference set family ใน G ให , 1,..., ; 1,...,ij i jB g s i v j t แลว 1, , 1,...,ijD B i v j t คอ BIBD บนเซต ทประกอบดวย พารามเตอร

พสจน เปนทชดเจนวา D บรรจ vt บลอก ยงไปกวานนการพสจนในทฤษฎบท 4.1.2

แตละบลอกมสมาชก k ตว

ให a G แลวส าหรบแตละ ; 1,...,jx S j t

จะได ja a x x a x s

ดงนนa ปรากฏขนใน kt บลอกของ D

G G

G

, , , ,v vt kt k

34

ให ,a b G โดยท a b แลวจะม , ,i i ix y j โดยท 1,...,i

เพราะฉะนน ,i i jix y S จะได i ia b x y

ดงนน i i ia x b y z จะได ,i i i ia z x b z y

ดงนน , i jia b z s โดยท 1,...,i

ในทางกลบกน ถาทง a และ b อยในบลอกทเหมอนกน jz S

แลว ,a z x b z y ส าหรบบาง , jx y s ดงนน a b x y เนองจาก ส าหรบบาง 1,...,i

ดงนนสมาชกทกๆสองตวใน D ปรากฏขนรวมกนใน บลอกของ D การพสจนสรปไดวา D คอ BIBD บนเซต G ซงประกอบดวยพารามเตอร

, , , ,i i ix y z x y j

, , , ,v vt kt k

35

4.3 การประยกตของ BIBD

ตวอยาง 4.3.1 ในการโฆษณาสนคาของหนวยงานหนงตองการทดสอบโลชน 5 ยหอ ดวยแบบทด

สอบ 10 หวขอ แตละหวขอใหโลชน 3 ยหอเปนตวทดสอบ จงหาแบบส าหรบการ

จดสรรยหอโลชนกบหวขอดงกลาว วาแตละยหอจะน ามาทดสอบโดยเลขหวขอท

ตรงกน และทกๆสอง ยหอมการทดสอบรวมกนโดยเลขหวขอท ตรงกน แตละยหอ

ทไดรบการทดสอบกหวขอ และทกๆสองยหอไดรบการทดสอบกหวขอ

วธท า ปญหานตองหา BIBD บน V ซง V คอเซตของโลชน 5 ยหอ

พารามเตอรคอ 5, 10, 3v b k ขณะน 510

3

vb

k

โดยทฤษฎ 3.1.1 เซตของสบเซตทงหมดบน V ทมสมาชก3 ตวคอ BIBD

ประกอบดวยพารามเตอร 5,10,6,3,3 แตละยหอถกทดสอบดวย 6 หวขอ

และทกๆสองยหอถกทดสอบรวมกนดวย 3 หวขอ

หมายเลข ยหอโลชนคอ 1,2,3,4,5 และหมายเลขของหวขอเหมอนกน

มตารางตอไปนส าหรบการจดสรรยหอและหวขอ

หวขอทอสอบ ยหอโลชน หวขอทอสอบ ยหอโลชน 1 1,2,3 6 1,4,5

2 1,2,4 7 2,3,4 3 1,2,5 8 2,3,5

4 1,3,4 9 2,4,5 5 1,3,5 10 3,4,5

36

ตวอยาง 4.3.2 สมมตวาตองการทดสอบความแตกตางระหวางอทธพลของทรตเมนต 4 ชนด คอ A, B, C และ D ทมตอปรมาณกระแสไฟฟาซงไหลผานหลอดภาพโทรทศน ทเคลอบดวยทรตเมนตเหลาน แตโดยเหตทการวดกระแสไฟฟาทไหลผานหลอด จ าเปนตองวดในชวงเวลาทยาวพอสมควร ดงนนจงไมสามารถทจะท าการทดลอง เพอใหไดคาสงเกตหลายๆคาภายในเวลาเพยง 1 วน เมอเปนเชนนจงจ าเปนตอง ท าการทดลองในเวลาหลายวน โดยใหแตละวนเปนบลอก อยางไรกตามหลงจาก การตรวจสอบอยางละเอยดปรากฏวาในแตละวนกยงไมสามารถท าการทดลองให ครบทง 4 ทรตเมนตได แตสามารถทดลองไดมากทสดเพยงวนละ 3 ทรตเมนต ดงนนการทดลองจงตองใชแผนการทดลองแบบบลอกไมสมบรณสมดล วธท า มจ านวนทรตเมนต 4v จ านวนหนวยทดลองใน แตละบลอก 3k

โดยทฤษฎ 3.1.1 จะไดจ านวนซ าของแตละทรตเมนต 3

32

r

จ านวนบลอก 44

3b

และจ านวนครงทท าใหตวอกษรตดกนทรตเมนตแต

ละคปรากฏในบลอกเดยวกน 22

1

นนคอจะตองท าการทดลองทงสน 4 วนๆละ 3 ทรตเมนต โดยมการจดทรตเมนตในแตละวนตามผงตอไปน

บลอก (วน) ทรตเมนต

1 A C D

2 B C D

3 A B C

4 A B D

37

ตวอยาง 4.3.3 ในการศกษาอทธพลของการใชเอนไซมและสารเคมอนๆทมผลตอความออนนมของ เนอ ผวจยมทรตเมนตทตองการทดสอบทงหมด 4 ทรตเมนต 1 2 3 4, , ,T T T T โดยใช เนอจากสวนสะโพกจ านวน 4 กอนจากโคขนคนละตวเขาทดลอง เนองจากเนอแตละ

กอนสามารถตดแบงเปนขนาดและน าหนกเทาๆกนไดเพยง 3 สวน จงจดทรทเมนต ไดเพยง 3 ทรตเมนตจากเนอแตละกอน หลงจากหมกดวยวธการตางๆบางสวนผวจย

น าไปทดสอบการชม และบางสวนน า มาทดสอบความนมดวยเครองเพอวดคา pH ในเนอหลงจากการใชทรทเมนตตางๆวามความแตกตางกนหรอไม วธท า จะไดวา 1 2 3 4, , ,V T T T T ดงนน

ใชเนอสวนสะโพกจากโคขน 4 ตว ดงนน 4b

เนอแตละกอนสามารถตดแบงเปนขนาดและน าหนกเทาๆกนไดเพยง 3 สวน ดงนน 3k

โดยทฤษฎ 3.1.1จะได 4 1

33 1

r

และ 4 21

3 2

พารามเตอรคอ (4,4,3,3,1) ซงเปน symmetric BIBD อกดวย สามารถจดแผนการทดลองไดดงน

ชดเนอจากววตวท ทรตเมนต (ph)

1 4 (7.5)T 1(7.1)T 2 (7.2)T

2 2 (6.7)T 4 (7.2)T 3(6.8)T

3 1(7.3)T 4 (7.5)T 3(7.3)T

4 3(7.5)T 1(7.4)T 2 (7.5)T

38

ตวอยาง 4.3.4 ในการศกษาอาหาร 6 สตร ทมผลตอการเจรญเตบโตของกระตายพนธ New Zealand

White ผวจยใชกระตายอายประมาณ 4 สปดาห กระตายทมาจากครอกเดยวกนจะจด

ใหอยในบลอกเดยวกน อยางไรกตามจากประสบการณ ผวจยทราบวากระตายแตละ

ครอกมความสม าเสมอเพอใชในการวจยไมเกน 3 ถง 4 ตว ดงนนการทดลองนจง

เลอกใชกระตายจ านวน 3 ตวตอบลอก แตเนองจากหากวางแผนการทดลองแบบ

บลอกสมบรณ ผวจยตองใชจ านวนบลอกเทากบ 6

3 20c บลอก ซงตองใช

กระตายรวม  20 3 60 ตว ดงนนเพอลดจ านวนบลอกลง ผวจยจงเลอกใช

แผนการทดลองแบบบลอกไมสมบรณสมดล โดยเลอก 2

วธท า จะไดวา 1 2 3 4 5 6, , , , ,V T T T T T T ดงนน 6v

เลอกใชกระตายจ านวน 3 ตวตอบลอก ดงนน 3b และ 2

โดยทฤษฎ 3.1.2 จะได 3 1 2(6 1)r ดงนน 5r

และ 6 510

10b

ดงนนพารามเตอรคอ 6,3,5,3,2

ซงสามารถจดแผนการทดลองไดดงน

บลอก กระตายตวท1 (%) กระตายตวท2 (%) กระตายตวท3 (%) 1 6 (42.2)T 2 (32.6)T 3(35.2)T

2 3(40.9)T 1(40.1)T 2 (38.1)T

3 3(34.6)T 6 (34.3)T 4 (37.5)T

4 1(44.9)T 5(40.8)T 3(43.9)T

5 5(32.0)T 3(40.9)T 4 (37.3)T

6 2 (37.3)T 6 (42.8)T 5(40.5)T

7 4 (37.9)T 1(45.2)T 2 (40.6)T

8 1(44.0)T 5(38.5)T 6 (51.9)T

9 4 (27.5)T 2 (30.6)T 5(20.6)T

10 6 (41.7)T 4 (42.3)T 1(37.3)T

39

บทท 5

สรปและขอเสนอแนะ

5.1 สรปผลการด าเนนงาน

จากการศกษาเรองแผนการทดลองแบบบลอกไมสมบรณสมดล สามารถออกแบบแผนการ

ทดลองชนดนไดหลายวธ โดยปรญญานพนธเลมนไดศกษาการสราง BIBD โดยใชนยามและทฤษฎ

บทพนฐาน และ Difference set ท าใหทราบวาแผนการทดลองชนดนสามารถน าไปประยกตกบ

การศกษาทรตเมนตทมผลตอปรมาณกระแสไฟฟาทไหลผานหลอดภาพโทรทศนและการออกแบบ

แผนการทดสอบยหอโลชน และผลทไดรบการออกแบบแผนท าใหการทดลองนมความเทยงตรง

และมความประหยดและยงพบวาแผนการทดลองนสามารถน าไปปรบปรงใชกบชวตประจ าวนได

เชน การวางแบบแผนทดสอบโลชนกบแบบทดลอบแตละชนด

5.2 ขอเสนอแนะ

แผนการทดลองแบบบลอกไมสมบรณสมดลนสามารถออกแบบไดโดยใชวธการ

นอกเหนอจาก Difference Set ซงไดแก Quadratic Residues, Finite fields และ Nearrings ทานใด

ทตองการศกษาเพมเตม สามารถศกษาไดจาก [1]

40

บรรณานกรม

[1] รศ. วชรนทร ซนสวรรณ , วธการวจยทางการเกษตร

ภาควชาพชศาสตร มหาวทยาลยสงขลานครนทร,2546

[2] รศ. มานส บญยง , เมตรกซ และพชคณตเชงเสน 1 Matrix Theory and Algebra I

กรงเทพ : ส านกพมพมหาวทยาลยรามค าแหง,2540

[3] ผศ. ดร . ชนศกด บายเทยง, เมตรกซ Matrix

กรงเทพ : ศนยผลตต าราเรยนสถาบนเทคโนโลยพระจอมเกลาพระนครเหนอ , 2527

[4] รศ.ดร. ชนศกด บายเทยง และ รศ . ศรบตร แววเจรญ , คณตศาสตรวศวกรรมและ

วทยาศาสตร Mathermatics of engineers and acientists เรอง เมทรกซ พชคณตเชงเสน

และการประยกต กรงเทพ : บรษท วงศตะวน จ ากด ,2546

[5] ศพทคณตศาสตร ฉบบราชบณฑตยสถาน

กรงเทพ : โรงพมพมหาจฬาลงกรณราชวทยาลย

[6] S.R. Nagpaul , S.K Jain Topics in Applied Abstract Algebra

USA : Courier corporation / westford