banco comunitário nascente e “feira compre no...
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apostilade matemática
Banco Comunitário Nascentee “Feira compre no Bairro”
Projeto: Educação matemática para empreendimentos
econômicos solidários: produção de materiais didáticos e de
divulgação sobre intervenções pedagógicas.
Apoio: Pro-reitoria de Cultura e Extensão Universitária
da Universidade de São Paulo e Santander
2o edital: fomento às iniciativas de cultura e extensão)
Elaboradores: Edinei De Oliveira Filho (participante do projeto);
Rita de Cássia Zacheo Barrofaldi (participante do projeto);
Bruna Camila Gargarella (participante do projeto);
Renata C. G. Meneghetti (Coordenadora-proponente do projeto).
Capítulo 1 - Sistema de numeração decimal.....................................................................3
Capítulo 2 - Adição e uso da calculadora no contexto do Banco Comunitário e da “Feria
compre no Bairro”.............................................................................................................10
Capítulo 3 - Subtrações, aprendendo a dar o troco.........................................................18
Capítulo 4 - Multiplicação:................................................................................................22
Capítulo 5 - Divisão..........................................................................................................26
Capítulo 6 - Razão, Proporção e Regra de três simples..................................................30
Capítulo 7 - Como determinar o preço de um produto.....................................................36
Capítulo 8 - O que é porcentagem?.................................................................................45
Capítulo 9 - Noções Básicas de Matemática Financeira..................................................48
SUMÁRIO
APRESENTAÇÃO
Esse material foi desenvolvido para utilização do Banco Comunitário Nascente
(BC), com base nos conhecimentos que embasam o cotidiano de trabalho deste empre-
endimento econômico solidário, tendo por objetivo auxiliar os cooperados que compõem
o BC. A apostila apresenta os conteúdos a partir de situações-problema do contexto do
BC, numa linguagem simples e acessível ao público-alvo.
para facilitar a procura sempre que necessário. Esperamos que essa apostila possa ser-
vir como base da solução de problemas que envolvam a Matemática para o grupo BC, e
que também possa servir como inspiração para outros atuantes da Educação Matemática
no contexto da Educação de Jovens e Adultos e da Economia Solidária.
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CAPÍTULO 1Sistema de numeração decimal
Você já percebeu como os números aparecem o tempo todo na nossa vida? Com
o auxílio deles obtemos informações sobre as mais diversas situações? Alguns exemplos:
Fonte: http://www.logosrastreamento.com.br/estradas-e-
-rodovias-ganham-novos-limites-de-velocidade/
Fonte: http://turmasnormalmedio.pbworks.com/w/pa-
ge/60372699/A%20import%C3%A2ncia%20do%20n%-
C3%BAmero%20no%20dia-a-dia
Fonte: https://www.matematicaefacil.com.br/2017/06/intro-
ducao-numeros-decimais-sistema-monetario.html
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Acima conseguimos notar algumas situações onde os números são utilizados em
nosso dia a dia.
PROBLEMA 1: Você consegue imaginar outras situações do cotidiano em que são
utilizados os números?
Resolução: os números aparecem em diversas situações do nosso dia a dia,
como por exemplo, na placa de um carro, na medida da capacidade de uma garrafa
Observação 1: Os números são utilizados para indicar quantidades, expressar
uma medida, ser um código ou ainda indicar uma ordem.
Agora, vamos pensar: Você utiliza os dedos das mãos para realizar contagem?
Se a sua resposta foi SIM, não se preocupe, pois, esse fato é completamente normal.
O fato de termos 10 dedos nas mãos pode ter sido o responsável pela criação do sistema
de numeração decimal. A contagem de qualquer quantidade de elementos é feita por
argumentos de dez em dez.
PROBLEMA 2: Para você, os números 12, 3 e 21 são diferentes? Por quê?
Dica: Faça a contagem de doze elementos, de três elementos e de vinte e um elementos,
essas quantidades são iguais?
Resolução: Vamos separar os números por meio da contagem de bolinhas.
Número 3:
Número 12:
Número 21:
5
Como notamos as quantidades de bolinhas utilizadas para representar os núme-
ros 12, 21 e 3 são diferentes. Assim, podemos concluir que esses números são diferen-
tes. Então, outra questão pode surgir: o que torna os números 12 e 21 diferentes se
os algarismos utilizados para formá-los são os mesmos?
Se a sua resposta para essa pergunta for a POSIÇÃO, você está correto! Utiliza-
mos os mesmos algarismos, porém em posições diferentes, e assim, formamos números
diferentes.
Observação 2: O sistema de numeração que usamos atualmente é decimal e
posicional, ou seja, utilizamos 10 algarismos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) que a partir de
No nosso sistema de numeração, também conhecido como Indo-Arábico, cada
grupo de 10 unidades corresponde a 1 dezena. E cada grupo de 10 dezenas corresponde
a 1 centena. Em resumo:
1 dezena = 10 unidades.
1 centena = 10 dezenas = 100 unidades.
1 unidade de milhar = 10 centenas = 100 dezenas = 1000 unidades
PROBLEMA 3: Os produtos de limpeza fabricados pela Cooperativa serão vendidos em
uma feira. Para serem levados para tal feira, os produtos deverão ser colocados em cai-
xas. Em cada caixa cabem, no máximo, dez produtos. Encontre quantos grupos de dez é
possível formar com 35 produtos.
Resolução: Vamos imaginar que os 35 produtos podem ser representados pelas
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Como podemos notar, será possível formar três grupos de dez produtos e sobra-
rão 5 produtos. Assim, será possível encher três caixas, e uma caixa terá 5 produtos.
Usando o que aprendemos, o número 35 é formado por:
35 unidades = 3 dezenas e 5 unidades.
35 pode ser composto da seguinte maneira:
30+5
Unidades, dezenas e centenas são chamados ordens dos números. São eles
que dão sentido à posição.
Na imagem abaixo, temos uma representação de um ábaco, trata-se de um antigo
instrumento de cálculo que é composto por uma base em que estão apoiados alguns pa-
litos. Cada palito corresponde a uma ordem do sistema de numeração decimal.
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Cada argola no pino das unidades vale 1, cada argola no pino das dezenas vale 10
e cada argola no pino das centenas vale 100. Nesta representação, toda vez que o pino
das unidades acumular 10 argolas elas deverão ser retiradas e representadas apenas
como 1 argola no pino das dezenas, se o pino das dezenas acumular 10 argolas retira-
se as 10 e se insere uma argola no pino das centenas, e assim por diante. No ábaco
representado acima, o pino das unidades possui três argolas e o pino das dezenas possui
duas argolas, representando o número 23.
PROBLEMA 4 Represente no Ábaco o número 32.
Resolução: O número 32 é composto por três grupos de 10 e mais duas unidades.
Matematicamente podemos escrever:
32 = 30 + 2.
32 = 3 dezenas + 2 unidades
A foto abaixo mostra os grupos de 10 que podem ser montados com as 32 unidades.
Fonte: https://www.nossoclubinho.com.br/abaco-virtual/
Fonte: dos autores
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da dezena, indicam o valor 30 acrescidas das 2 unidades que sobraram da decomposição
do número 32, indicadas na coluna das unidades.
PROBLEMA 5: Imagine que a Cooperativa de limpeza produziu 30 litros de detergente,
25 litros de desinfetante e 15 litros de sabão. Como poderíamos representar esses valores
no Ábaco?
Resolução:
números. Ou seja, quantos grupos de dez conseguiremos formar para cada um desses
valores.
30 litros de detergente = 3 dezenas.
25 litros de desinfetante = 2 dezenas e 5 unidades
15 litros de sabão = 1 dezena e 5 unidades.
Lembrando que cada argola no pino das dezenas representa dez unidades, esses
números podem ser representados da seguinte maneira:
Fonte: https://www.nossoclubinho.com.br/abaco-virtual/
O número 30:
Fonte: https://www.nossoclubinho.com.br/abaco-virtual/
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O número 25:
O número 15:
O que aprendemos nesse capítulo:
• Os números que utilizamos no nosso dia são chamados Indo-Arábicos.
• Eles possuem um sistema de representação posicional (unidades, dezenas,
centenas,...).
• Os números têm uma base decimal, ou seja, são compostos utilizando 10 algarismos
(0, 1, 2,3, 4, 5, 6, 7, 8, 9).
Fonte: https://www.nossoclubinho.com.br/abaco-virtual/
Fonte: https://www.nossoclubinho.com.br/abaco-virtual/
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CAPÍTULo 2Adição e uso da calculadora no contexto do Banco Comunitário e da “Feira compre no bairro
PROBLEMA 1: Durante certo mês, a cooperativa de produtos de limpeza vendeu três
produtos que custavam R$ 15,00; R$ 25,00 e R$ 10,00, respectivamente. Qual foi o valor
total da venda?
Resolução: Sabemos que, para responder à pergunta do problema, é necessário
somar o valor de todos os itens que foram vendidos. Mas, como podemos realizar uma
soma?
Primeiramente devemos compreender que a operação da adição (ou soma) é formada
por duas partes principais:
• As parcelas (que são os valores a serem adicionados uns aos outros) e;
• A soma (que é o resultado que se obtém quando se adicionam os valores).
No nosso caso, os valores a serem adicionados são: R$ 15,00; R$ 25,00 e R$
10,00.
Para somar números decimais, devemos colocar vírgula embaixo de vírgula. Veja
a resolução abaixo:
Começamos somando 15 + 25: O número 15 é formado por 1 dezena e 5 unida-
des, já o número 25 é formado por 2 dezenas e 5 unidades.
Utilizando o ábaco para somar:
+
Fonte: https://www.nossoclubinho.com.br/abaco-virtual/
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Começamos pelas unidades:
Mas podemos trocar 10 unidades por 1 dezena:
Portanto, a soma da casa das unidades é 1 dezena.
Agora vamos analisar as dezenas:
Somando três dezenas com uma dezena temos:
Fonte: https://www.nossoclubinho.com.br/abaco-virtual/
Fonte: https://www.nossoclubinho.com.br/abaco-virtual/
Fonte: https://www.nossoclubinho.com.br/abaco-virtual/
Fonte: https://www.nossoclubinho.com.br/abaco-virtual/
+
+
+
+
=
=
=
=
12
Portanto, obtemos 4 dezenas.
Já somamos 15 + 25 = 40. Falta somar o número 10. Então uma das parcelas é a
primeira soma (15+25 = 40) e a outra é o número 10. Ou seja, somaremos 40 + 10.
Temos então, que 4 dezenas mais 1 dezena são 5 dezenas. E concluímos que
nossa soma é igual a 5 dezenas, ou seja, 50.
Somando da maneira usual:
Somamos números da seguinte maneira:
Começamos da direita para a esquerda.
Iniciamos pela segunda casa decimal (o segundo número após a vírgula é chama-
do de centésimo). No caso as três parcelas na casa dos centésimos são 0. Resultando
num total de 0 centésimos.
Agora a primeira casa decimal (o primeiro número após a vírgula é chamado de
décimo). Também temos 3 zeros nas parcelas. Resultando em 0 décimos.
Na casa das unidades temos a soma: 5+5+0 = 10 unidades. Porém, podemos trocar es-
sas 10 unidades por uma dezena.
Na casa das dezenas temos a soma: 1+2+1 = 4 dezenas. Com mais a dezena
+ =
Fonte: https://www.nossoclubinho.com.br/abaco-virtual/
15,00 Parcela
25,00 Parcela
10,00 Parcela
50,00 Soma
+
1
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A soma resultou em 5 dezenas, 0 unidades, 0 décimos e 0 centésimos.
Portanto, a soma dos valores do nosso problema é R$50,00, que é o valor total da venda.
Observação 1: -
-
mamos os valores, o resultado é sempre o mesmo.
PROBLEMA 2: Maria fabrica detergente líquido para venda. Para atender o gosto de
seus clientes, ela decidiu dividir o produto em frascos de tamanhos diferentes. A tabela
-
nhos de frascos, em mL (mililitros):
Quantos ml Maria vendeu no total?
Resolução: Percebemos que Maria vendeu:
• 2 produtos de 500 mL
• 1 produto de 350 mL
• 4 produtos de 200 mL
Assim, basta adicionar os valores. Atenção, como temos mais de um produto do
mesmo tipo, devemos nos atentar ao número de parcelas com esses valores. Veja na
resolução armada abaixo:
Quantidade de produtos vendidos
Tamanho do frasco Preço de cada frasco
2 500ml R$10,50
1 350ml R$7,30
4 200ml R$5,40
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Observe que:
Na casa das unidades a soma é: 0+0+0+0+0+0+0 = 0 unidades.
Na casa das dezenas a soma é: 0+0+5+0+0+0+0 = 5 dezenas.
Na casa das centenas a soma é: 5+5+3+2+2+2+2 = 21 centenas, que podemos
trocar por 2 unidades de milhar e 1 centena.
Portanto, temos: 2 unidades de milhar, 1 centena, 5 dezenas e 0 unidades.
Assim, notamos que Maria vendeu um total de 2150 mL de detergente.
PROBLEMA 3: Com base no problema anterior, quanto Maria faturou com as
vendas no mês?
Resolução: Novamente, devemos adicionar os valores envolvidos, se atentando
para os valores que se repetem, assim a adição pode ser será exposta abaixo:
+
+
500
500
350
200
200
200
200
2150
10,50
10,50
07,30
05,40
05,40
05,40
05,40
49,90
Observação 1: Como alguns produtos custam R$ 7,30 e R$ 5,40, inserimos o
parcela, então R$ 7,30 se transforma em R$ 07,30 e R$ 5,40 se transforma em R$ 05,40.
.
22
15
E como utilizar a calculadora?
Para facilitar os cálculos, podemos utilizar uma calculadora para realizar todas as
operações matemáticas básicas, inclusive a operação da adição.
Em uma calculadora a nossa vírgula (,) vira o ponto (.). Por exemplo, R$5,40 deve ser
representado na calculadora como R$5.40.
PROBLEMA 4:Joana vendeu dois produtos de limpeza que custam R$ 4,50 e R$ 6,70.
Qual o valor total da venda? Resolva esse problema com o uso da calculadora.
Resolução: Primeiramente, devemos inserir na calculadora o valor de R$ 4.50.
Para isso, apertamos o número 5, o ponto (.), o número 4 e o número 0 (zero).
Em seguida, apertamos a tecla mais (+) e inserimos o segundo valor de R$ 6,70.
Novamente, apertamos o valor 6, em seguida o ponto (.), depois o número 7 e o 0 (zero).
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Em seguida apertamos a tecla de igual (=):
Observação: Em nosso sistema monetário (o real), utilizamos duas casas após
a vírgula para representar os centavos e, na calculadora, caso o último algarismo dos
(onze reais e vinte centavos).
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O que aprendemos nesse capítulo?
• Partes que compõem uma adição (parcelas e soma)
• Efetuar a resolução armada de adições com números naturais e decimais
• Realizar adições com o uso da calculadora
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CAPÍTULo 3Subtrações, aprendendo a dar o troco
PROBLEMA 1: Num empreendimento econômico solidário (EES) que produz
sabão, cada pacote contendo o produto é vendido por R$ 4,00. Suponha que dona Isaura
comprou apenas um pacote e pagou com uma nota de R$ 10,00. Qual o valor do troco
que deve ser dado pela compra do produto?
Resolução: Como foi pago R$10,00, o troco deve ser calculado da seguinte forma:
Troco = Valor Pago - Total da Venda
Ou seja, fazemos R$ 10,00 – R$ 4,00.
Em uma subtração o valor de quem será retirado é chamado Minuendo, o valor
que será retirado é chamado Subtraendo e o resultado é chamado Diferença. No nosso
problema o número 10,00 é o Minuendo, o número 4,00 é o subtraendo.
Observe como podemos resolver utilizando o ábaco:
Devemos retirar 4 unidades de 1 dezena
-
-
=
=
Fonte: https://www.nossoclubinho.com.br/abaco-virtual/
Fonte: https://www.nossoclubinho.com.br/abaco-virtual/
Para isso devemos trocar 1 dezena por 10 unidades, e daí retirar 4 unidades de 10
unidades, resultando em 6 unidades.
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Observe que:
• Para subtrair dois números, colocamos algarismos embaixo de algarismos,
respeitando o sistema posicional.
• Começamos da direita para a esquerda.
• Na segunda casa decimal, isto é, segunda casa após a vírgula (casa dos
centésimos), fazemos: 0-0 = 0.
• Na primeira casa decimal, isto é, primeira casa após a vírgula (casa dos
décimos), fazemos: 0-0 = 0.
• Na casa das unidades, devemos retirar 4 de 0, porém essa operação não é
possível.
• Então fazemos uma troca de uma dezena por 10 unidades. Daí podemos
retirar as 4 unidades dessas 10 unidades. Restando 6 unidades.
Você sabia que tem um jeito de conferir se o troco está correto? Pois bem, veja
como:
Troco + Valor Total da Compra = Valor Dado.
Vamos treiná-la utilizando os dados do problema anterior.
Temos que o troco calculado foi R$ 6,00 e o Valor Total de Compra foi R$ 4,00.
Então:
Troco + Valor total da compra = 6,00 + 4,00 = 10,00
Assim, como valor Dado foi de R$ 10,00, o troco foi calculado corretamente.
PROBLEMA 2: Todos os domingos Alice vai à feira “Compre no Bairro” para comprar
verduras orgânicas produzidas pelo “EES Sol Nascente”. No último domingo, ela comprou
-
0 11 0, 00
4, 00
6,00
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Quantidade Produto Valor unitário em reais
2 Alface R$ 4,00
1 Rúcula R$ 5,00
1 Cheiro Verde R$ 3,00
1 Geleia Caseira R$ 10,00
a) Qual o valor total da compra feita por Alice?
b) Supondo que foi dado para pagar a conta o valor de R$ 50,00, qual foi o
troco dado à Alice?
Resolução: Para resolver o item (a), basta somar todos os produtos comprados
por Alice, atentando-se à quantidade de alface que foram 2 unidades: R$ 4,00 + R$ 4,00
+ R$ 5,00 + R$ 3,00 + R$ 10,00 = R$ 26,00, ou seja,
E, portanto, o valor total da compra feita por Alice foi de R$ 26,00. Para o item (b),
nos basearemos na mesma ideia utilizada na solução do Problema 1, ou seja, Troco =
Valor Dado - Total da Venda. Dessa forma, R$ 50,00 – R$ 26,00 = R$24,00.
04,00 Parcela: Alface04,00 Parcela: Alface05,00 Parcela: Rúcula03,00 Parcela: Cheiro verde10,00 Parcela: Geleia caseira
26,00 Soma
+
1
-
4 15 0, 0 0
2 6, 0 0
2 4, 0 0
21
Observe que:
• Na casa dos centésimos fazemos: 0 - 0 = 0 centésimos.
• Na casa dos décimos fazemos: 0 - 0 = 0 décimos.
• Na casa das unidades devemos fazer: 0 – 6, porém não é possível, então trocamos uma
das cinco dezenas do número 50,00 por dez unidades. Então fazemos: 10 – 6 = 4 unidades.
• Na casa das dezenas devemos fazer: 5 – 2, porém trocamos uma das cinco dezenas do
2 = 2 dezenas.
• Ficamos com 2 dezenas, 4 unidades, 0 décimos e 0 centésimos.
Portanto, o troco dado à Alice foi de R$ 24,00.
PROBLEMA 3: Sabe-se que, no estoque de um EES que fabrica produtos de limpeza, havia 12
galões de desinfetante do mesmo tamanho. Certo dia, foram vendidos 5 galões. Com quantos
Resolução: Como no início do dia havia 12 galões no estoque e foram vendidos 5, basta
fazermos: quantidade no início – quantidade vendida = quantidade que restou. Assim: 12 - 5 =
7, ou seja,
-
0 12
1 2
0 5
0 7
O que aprendemos no capítulo?
• Subtrair números naturais e decimais.
o Coloca-se algarismo embaixo de algarismo respeitando o sistema posicional.
o Efetua-se a subtração da direita para a esquerda.
o Se o número de cima for maior que o debaixo faz-se uma troca utilizando a casa da
esquerda.
o Também aprendemos que existe a relação:
Troco + total de venda = Valor dado
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CAPÍTULo 4Multiplicação
PROBLEMA 1: Se a cooperativa de limpeza produz 2 litros de sabão líquido em um dia,
considerando que é produzida a mesma quantidade de sabão por dia, quantos litros de
sabão serão produzidos pela cooperativa em 8 dias?
Resolução: Como são produzidos 2 litros de sabão em um dia, em dois dias serão
2+2 = 4 litros, com o mesmo raciocínio teremos em oito dias:
2+2+2+2+2+2+2+2 = 16
Ou seja, em 8 dias são produzidos 16 litros de sabão líquido.
Mas, existe uma forma mais simples de resolver o problema acima?
A resposta é sim.
Fazer uma soma com parcelas iguais é o que chamamos de multiplicação,
representada pelo símbolo “x”. Assim:
2+2+2+2+2+2+2+2 pode ser representado por 8 x 2 = 16.
Ou
8 Fator
2 Fator
16 Produto
X
PROBLEMA 2: Maria precisa fazer 75 pães de mel para vender na feira e sabe-se que
25 unidades de embalagem custam R$ 18,25. Quantos pacotes de 25 embalagens Maria
utilizará? Quanto gastará com as embalagens?
Resolução: Maria vai precisar de 3 pacotes com 25 embalagens cada, já que:
25 + 25 + 25 = 75 ou 25 x 3 = 75
Como Maria precisa embalar exatamente 75 pães de mel. Como cada pacote custa R$
18,25, para saber o preço de três pacotes devemos fazer:
23
Como Maria precisa embalar exatamente 75 pães de mel. Como cada pacote
custa R$ 18,25, para saber o preço de três pacotes devemos fazer:
3 x 18,25.
Mas como fazer uma multiplicação com números racionais na forma decimal (com
vírgula)?
• Multiplicamos da direita para a esquerda.
• Primeiro focalizamos a casa dos centésimos: 5x3 = 15 centésimos. Como 1
décimo equivale a 10 centésimos, podemos trocar 15 centésimos por 1 décimo e
5 centésimos.
• Segundo analisamos a casa dos décimos: 2x3 = 6 décimos. Somados a 1
décimo advindos da casa dos centésimos temos 7 décimos.
• Passamos então para a casa das unidades: 8x3 = 24 unidades. Que podem
ser trocadas por 2 dezenas e 4 unidades.
dezenas vindas da casa das unidades temos 5 dezenas.
• Resultando em 5 dezenas, 4 unidades, 7 décimos e 5 centésimos.
Portanto, Maria gastará R$ 54,75 com embalagens.
PROBLEMA 3: Maria faz bolos para vender na feira. Suponha que ela vende cada um a
R$ 10,00 e vende, normalmente, 3 por dia. Sabe-se também que a feira acontece 5 vezes
por mês. Qual o valor que Maria recebe pela venda de bolos em um mês?
1 8 , 2 5 Fator
X 3 Fator
5 4 , 7 5 Produto
12
24
Resolução: Inicialmente, precisamos saber qual o valor recebido por Maria em um
dia de vendas. Como ela vende 3 bolos em um dia e cada bolo custa R$ 10,00, devemos
multiplicar 3 por 10,00. Dessa forma:
O procedimento é idêntico ao do problema 2. Portanto, Maria recebe, por dia, com
bolos o valor total de R$ 30,00.
Agora precisamos encontrar quanto Maria recebe em um mês.
Como ela vende 5 dias por mês na feira e a cada dia ela recebe R$ 30,00, basta
somar 30,00 cinco vezes ou apenas multiplicar 30,00 x 5, para encontrar o valor recebido
em um mês.
Somando:
30,00 + 30,00 + 30,00 + 30,00 + 30,00 = 150,00
Multiplicando:
Utilizando a calculadora, basta inserir o número 30,00 apertar o botão ”x” (esse
resultado de 30,00 x 5 é 150,00.
Portanto, Maria recebe por mês com a venda de bolos o valor total de R$ 150,00.
Observação 1: Em uma multiplicação, não nos importamos com a ordem dos
fatores, ou seja, multiplicar 31,95 x 5 = 5 x 31,95.
Observação 2: A multiplicação de qualquer número por 1 é igual a esse número.
Exemplos: 3 x 1 = 3 e 5,89 x 1 = 5,89.
Observação 3: A multiplicação de qualquer número por 0 é igual a 0. Exemplos: 8
x 0 = 0 e 384,25 x 0 = 0.
1 0 , 0 0 Fator
X 3 Fator
3 0 , 0 0 Produto
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Observação 4:
O que aprendemos nesse capítulo?
• Aprendemos que somas de mesma parcela são chamadas de multiplicação.
• Para multiplicar de modo convencional, percebemos que temos que colocar
algarismos em baixo de algarismos, e calcula-se da direita para a esquerda.
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CAPÍTULo 5Divisão
Falar sobre divisão é, na verdade, falar em repartir uma quantidade de forma justa,
igualitária. Em outras palavras, dividir um número ou uma quantidade é o mesmo que
reparti-los em partes iguais.
Você sabia que a divisão é a operação matemática inversa da multiplicação? Pois
bem, vamos explicar isso melhor na situação seguinte:
Suponha que cada uma das 3 trabalhadoras de uma cooperativa recebeu uma
quantia de R$20,00 e, com isso, queremos saber o total arrecadado pelas 3 trabalhadoras
juntas. Assim faríamos o seguinte cálculo, como já vimos no capítulo sobre adição e
multiplicação:
3 × R$20,00 = R$60,00. Ou seja,
Agora, imagine a situação inversa, na qual o valor de R$60,00 foi arrecadado
pela cooperativa e queremos reparti-lo igualmente entre as três trabalhadoras. Assim,
faríamos a divisão:
R$60,00 ÷ 3 = R$ 20,00. Que podemos reescrever como:
2 0 , 0 0
X 3
6 0 , 0 0
27
Saiba que:
• O Divisor é o número de partes iguais.
• O Dividendo é número ou quantidade a ser divido.
• O resultado obtido é chamado de Quociente.
• O valor que sobra é chamado resto da divisão. Nem sempre ele resulta em
zero. Esse resultado ocorre somente quando a divisão é exata.
• O resto deve ser sempre menor que o divisor.
• Existe uma relação importante: Divisor x Quociente + Resto = Dividendo
Observe a seguir, os passos de como realizar a divisão:
• Primeiro, vê-se quantos divisores cabem no dividendo da seguinte maneira:
• Cabem 20 números 3 em 60, pois 3 x 20 = 60. Portanto coloca-se 20 no quociente.
• Multiplica-se o quociente e o divisor obtendo 60.
• Faz-se divisor - o resultado do passo acima.
• Essa subtração é o resto da divisão.
• E o quociente é o resultado
• Faz-se Divisor x Quociente + Resto = Dividendo: 3 x 20 + 0 = 60.
Agora que compreendemos um pouco sobre a operação matemática de divisão,
vamos resolver o problema a seguir:
PROBLEMA 1: Durante um mês, a cooperativa de produtos de limpeza obteve um
excedente de R$360,00 para ser dividido igualmente entre as seis trabalhadoras dessa
cooperativa. Qual o valor que cada trabalhadora receberá?
Resolução: Observe que o excedente obtido pela cooperativa foi no valor de
R$360,00. Como temos seis trabalhadoras para dividirmos esse valor igualmente, basta
apenas aplicarmos a operação matemática de divisão, ou seja:
28
Portanto, cada trabalhadora receberá a quantia de R$60,00.
PROBLEMA 2: Um produto de limpeza é vendido por R$ 3,50 em frascos de 350 mL
e por R$ 7,50 em frascos de 1 litro (L). Qual dos dois tipos de frascos é mais vantajoso
para o cliente?
Resolução: Para sabermos qual frasco é o mais vantajoso para o cliente,
precisamos saber o preço de cada mL em cada um dos frascos, ou seja, vamos descobrir
quanto custa cada mL do produto:
No frasco de 350 mL:
Para cada 350 ml o preço total é R$ 3,50, dividindo o valor de 3,50 por 350 obtemos
o valor de 0,01 que é o custo de cada mL para esse frasco.
No frasco de 1 litro:
Como no frasco anterior o preço encontrado foi por mL do produto, temos que fazer
os cálculos também em mL neste caso, sabemos que o valor de 1 L é equivalente a 1000
mL.
Utilizando a mesma ideia anterior, temos que dividindo o valor de 7,50 por 1000
obtemos o valor de 0,0075 que é o custo de cada mL do produto para o frasco de 1 litro.
Analisando ambas as respostas, observamos que é mais vantajoso para o cliente
o frasco de 1 litro, pois o custo do produto no frasco de 350 mL é de R$ 0,01 enquanto
que no frasco de 1 litro o mL do mesmo produto custa R$ 0,0075 que é menor que R$
0,01.
Para comparar qual dos dois valores decimais é o maior e qual é o menor,
podemos completar casas decimais utilizando zeros, da seguinte forma: 0,0075 e 0,01
são equivalentes a 0,0075 e 0,0100, ou seja, cem é maior que setenta e cinco.
29
O que aprendemos capítulo?
• Esperamos ter compreendido que a operação matemática de divisão é o mesmo
que repartir quantidades em partes iguais
• O que é divisor, dividendo, quociente e resto
• Realizar a operação matemática de divisão de maneira simples
30
CAPÍTULo 6Razão, Proporção e Regra de três simples
Você deve estar curioso para saber do que se trata este capítulo. Saiba que, a
compreensão das operações de multiplicação e divisão, abordadas anteriormente, são
fundamentais para entendermos os conceitos que estudaremos aqui.
Vamos dividir este capítulo em duas partes, denominadas: Razão e Proporção,
pois a compreensão de razão antecede a de proporção.
Então vamos lá!
Razão
Usamos o termo razão quando queremos comparar duas quantidades ou dois
números. A razão entre duas quantidades é entendida como sendo o quociente entre
elas, ou seja, tal quociente nada mais é que a divisão entre estas duas quantidades.
Vamos compreender estes conceitos matemáticos com a seguinte situação:
Na cooperativa Nascer do Sol, há um total de 45 trabalhadoras e trabalhadores,
dos quais 20 são rapazes e 25 moças. Encontre a razão entre o número de rapazes e o
número de moças desta cooperativa.
Isso quer dizer que para cada 20 rapazes existem 25 moças.
Observações:
1. Uma razão entre dois números é uma divisão entre eles.
2. Uma fração é uma razão.
31
Proporção
A igualdade entre duas razões forma uma proporção entre elas. Podemos
representar as proporções da seguinte forma:
Onde a, b, c e d são números que obedecem a seguinte propriedade:
a x d = b x c
Por exemplo:
A fração 20/25 é igual a fração 4/5. Observe:
Multiplicando: 20 x 5 = 100, e 25 x 4 = 100. Portanto 20 x 5 = 25 x 4, e a propriedade
Outro modo de fazer, é tratando razão como uma divisão entre dois números:
equivalentes.
Vamos praticar um pouco esse conceito matemático, vendo em quais situações
ele nos é muito útil em nosso cotidiano!
:
a
b
c
d=
32
Regra de três simples
Agora que aprendemos os conceitos de Razão e Proporção, podemos estudar a
Regra de três simples, que na verdade, se trata de um algoritmo em que utilizamos a razão
e a proporção para resolver um determinado problema, do qual queremos determinar um
valor desconhecido.
Temos dois tipos de grandezas
Grandezas Diretamente proporcionais: Quando temos duas grandezas com
variações proporcionais, ou seja, à medida que uma aumenta a outra também aumenta,
ou à medida que uma diminui a outra também diminui.
Grandezas Inversamente proporcionais: Quando temos duas grandezas com
variações não proporcionais, ou seja, à medida que uma aumenta a outra diminui, ou, à
medida que uma diminui a outra aumenta.
Regra de três simples é um processo prático para resolver problemas que envolvam
quatro valores dos quais conhecemos três. Devemos, portanto, determinar um valor a
partir dos três já conhecidos.
Passos utilizada em uma regra de três simples:
• Criar uma tabela e agrupando as grandezas da mesma espécie em colunas e
mantendo nas linhas as grandezas de espécie diferente.
• Montar a proporção, e encontrar o valor que não conhecemos.
Abaixo, veja uma situação que envolve a regra de três simples:
33
PROBLEMA 1: Maria fabrica detergente líquido para vender. Em um mês ela consegue
obter 100 frascos de 500 mL cada. Com o passar do tempo, a clientela de Maria aumentou,
sendo necessário que ela produza 200 L de detergente por mês. Por esse motivo, Maria
precisou convidar mais pessoas para participar do empreendimento, que conseguissem
produzir igualmente a quantidade de detergente que ela produzia em um mês de trabalho.
Qual foi o número de pessoas que Maria precisou para realizar o trabalho?
Resolução: Para iniciarmos a solução do problema, precisamos ver primeiro
quantos litros de detergente Maria fabrica por mês. Como ela consegue obter 100 frascos
de 500 mL, multiplicaremos 100 por 500, que resulta em 50.000 mL, ou seja, descobrimos
que Maria fabrica 50.000 mL de detergente por mês. Agora, precisamos transformar esse
valor em litros. Sabemos que 1 litro equivale a 1000 mL. Então, dividimos 50.000 por
1000 e obtemos o valor de 50 L. Logo, descobrimos que Maria consegue fabricar 50 L de
detergente por mês; porém o problema impõe que ela precisa fabricar 200 L e para isso
precisa de mais pessoas, montando uma tabela, faremos uma regra de três simples:
Raciocinando que uma pessoa (Maria) produz 50 litros, vemos que 200 litros vão
ser produzidos por um número maior de pessoas. Logo, temos que essas grandezas são
diretamente proporcionais
1 = 50
x 200
Número de pessoas Número de litros fabricados
1 (Maria) pessoa 50 L
X pessoas 200 L
34
Do lado esquerdo da igualdade temos que x/x = 1, então 200.1.1 = 200.
Do lado direito da igualdade temos que 200/200 = 1, então 50.1.x = 50.x.
Obtemos então:
200 =50 .x
Mas 50.x / 50 = x. Temos também que 200/50 = 4. Portanto x = 4.
Então, quatro pessoas fabricam 200 litros de detergente por mês.
Também podemos utilizar um método de multiplicação me cruz
1. 200 = 50. x
Precisamos isolar o x, para isso dividimos por 50 os dois lados da igualdade,
200/50 = x
Portanto x = 4.
Como a questão é saber quantas pessoas Maria precisou contratar, faremos
4-1(Maria) = 3 pessoas.
Portanto, Maria contratou 3 pessoas para ajudá-la.
Agora, observe um exemplo em que temos regra de três envolvendo grandezas
inversamente proporcionais:
35
PROBLEMA 2: Três trabalhadoras de uma cooperativa de produtos de limpeza produ-
zem 25 kg (quilogramas) de sabão em pó em 12 dias. Se, num certo momento, essa
cooperativa quiser aumentar o número para 9 trabalhadoras, em quantos dias elas con-
seguirão fabricar os mesmos 25 kg?
Resolução:
-
dida que o número de trabalhadoras aumenta, o número de dias gastos na fabricação do
sabão diminui. Dessa maneira temos a relação de igualdade:
9 = 12
3 x
Utilizaremos um método para a resolução desse problema, chamado multiplicação
em cruz. Feito da seguinte forma:
Fazemos 9. x = 12. 3
Mas 12 x 3 = 36.
Dessa forma 9 . x = 36.
Então, Dividimos: 36/9 = 4. Assim x = 4.
O que aprendemos nesse capítulo?
• Esperamos ter compreendido os conceitos de razão e proporção, associando-os
aos conceitos de divisão e multiplicação, aprendidos anteriormente.
• Realizar o algoritmo de regra de três simples para solucionar problemas que
envolvam proporções diretamente e/ou inversamente proporcionais.
Número de trabalhadoras atuando no empreendimento
Número de dias gastos para fazer o sabão
3 trabalhadoras 12 dias
9 trabalhadoras X dias
36
CAPÍTULo 7Como determinar o preço de um produto?
Suponha que Maria produza pães de mel em seu EES. Os ingredientes de uma
receita que rende 30 pães de mel estão listados abaixo:
• 1Kg de farinha de trigo
• 1L de leite
• 200 g (gramas) de glucose de milho
• 200 g de açúcar
• 40 g de margarina
• 20 g de fermento químico em pó
• 20 g de bicarbonato de sódio
• 30 g de canela em pó
• 500 g de doce de leite (para o recheio)
O preço de cada ingrediente e da embalagem está inserido na tabela abaixo:
37
Qual o custo unitário de cada pão de mel com embalagem?
Resolução: Você sabe o que é o custo de algum produto?
Custo ou preço de custo: é o valor total gasto para a fabricação de um produto.
No caso dos pães de mel existe o custo dos ingredientes, além do custo das embalagens
e ainda podem ser considerados o custo do gás de cozinha e da energia elétrica utilizados
para a produção. Para esse problema, trataremos apenas do custo dos ingredientes e da
embalagem. Inicialmente, devemos calcular quanto é gasto nas 30 unidades de pão de
mel que a receita faz. É utilizado 1 kg de farinha de trigo, sabemos que o preço de 25 kg
de farinha de trigo custa R$ 46,50. Como aprendemos anteriormente, para saber o preço
de 1 kg de farinha de trigo precisamos utilizar a regra de três.
Multiplicando em cruz obtemos:
46,50 . 1 = 25.x
Isolando o x na equação:
Portanto, o custo de 1 kg de farinha de trigo é R$ 1,86.
Agora basta repetir o processo para o restante dos ingredientes.
38
Multiplicando em cruz obtemos:
49,80 . 1 = 12.x
Isolando o x na equação:
Logo o preço de 1 L de leite é R$ 1,65
200 gramas de glucose de milho __________X
1 kg = 1000 g de glucose de milho _______ R$ 7,50
Multiplicando em cruz obtemos:
200 . 7,50 = 1000.x
Isolando o x na equação:
Assim, 200 gramas de glucose de milho custam R$ 1,50.
200 gramas de açúcar _______________X
1 kg = 1000 gramas de açúcar _______ R$ 2,50
Multiplicando em cruz obtemos:
200.2,50 = 1000.x
Isolando o x na equação:
39
Portanto o preço de 200 gramas de açúcar é R$ 0,50.
40 gramas de margarina _________________X
1 kg = 1000 gramas de margarina _______ R$ 6,30
Multiplicando em cruz obtemos:
200.2,50 = 1000.x
Isolando o x na equação:
Portanto o preço de 40 gramas de margarina é R$ 0,25.
20 gramas de fermento químico __________X
100 gramas de fermento químico _______ R$ 2,02
Multiplicando em cruz obtemos:
20 . 2,02 = 100 . x
Isolando o x na equação:
40
Portanto o preço de 20 gramas de fermento químico em pó é R$ 0,40.
20 gramas de bicarbonato de sódio _________X
80 gramas de bicarbonato de sódio _______ R$ 2,62
Multiplicando em cruz obtemos:
20 . 2,62 = 80.x
Isolando o x na equação:
Portanto, o preço de 20 gramas de bicarbonato de sódio é R$ 0,67.
30 gramas de canela em pó __________X
50 gramas de canela em pó _______ R$ 4,50
Multiplicando em cruz obtemos:
30 . 4,50 = 50.x
Isolando o x na equação:
41
Portanto, o preço de 500 gramas de doce de leite é R$ 1,85.
Somando os valores de cada ingrediente temos:
1,86 + 1,65 + 1,50 + 0,50 + 0,25 + 0,40 + 0,67 + 2,70 + 1,85 = 11,38.
Assim para fazer 30 pães de Mel, Maria gasta R$ 11,38 de ingredientes.
Se 30 pães de mel tem custo de R$ 11,38, utilizamos a regra de três novamente
para encontrar o custo de ingrediente de um pão de mel .
1 pão de mel ________________________X
30 pães de mel ___________________ R$ 11,38
1 = 30.x, assim 11,38 = 30, logo x = 11,38/30 = 0,38
Portanto, o preço dos ingredientes de um pão de mel é R$ 0,38.
Agora devemos calcular o custo da embalagem.
1 embalagem ________________________X
25 embalagens ___________________ R$ 18,25
Portanto, o preço de 30 gramas de canela em pó é R$ 2,70.
500 gramas de doce de leite _________________X
4,5kg de doce de leite___________________ R$ 17,00
Multiplicando em cruz obtemos:
500 . 17 = 4600.x
Isolando o x na equação:
42
Multiplicando em cruz obtemos:
18,25 . 1 = 25.x
Isolando o x na equação:
Portanto o preço de uma embalagem é R$ 0,73.
Assim o custo dos ingredientes de um pão de mel, somado ao custo das embalagens
é R$ = 0,38 + 0,73 = 1,11
Portanto em ingredientes e embalagem Maria tem custo de R$ 1,11 por pão de
mel.
PROBLEMA 2: Sabe-se que: Maria demora 15 minutos para preparar a massa de 30
Suponha que, o valor de mão de obra do trabalho de Maria seja R$ 10,00 por hora. Qual
o valor de mão de obra utilizado na produção dos 30 pães de mel?
Resolução: Primeiro, temos que saber quanto tempo ela demora para fazer um
pão de mel. São 15 minutos para a massa de trinta pães de mel, acrescidos de 20 minutos
no forno, mais 1 minuto por pão de mel para rechear e embalar. Somando temos:
20 + 15 + 30 = 65 minutos para a produção de 30 pães de mel.
Agora para calcular o valor da mão de obra utilizaremos a regra de três:
65 minutos ______________________________X
1 hora = 60 minutos ___________________ R$ 10,00
43
10,00 . 65 = x.60, Assim 650 = x.60, Logo x = 650/60 = 10,83
Portanto, o valor de mão de obra para a produção de 30 pães de mel é de R$
10,83
Considerando que os 30 pães de mel sempre são assados juntos, o valor de mão
de obra de cada pão de mel é:
10,83/30 = 0,36 reais, ou seja, 36 centavos.
PROBLEMA 2: Um botijão de gás custa R$ 65,00 e sua capacidade é de 13 Kg de gás.
Sabendo que o fogão de Maria gasta 0,2 Kg de gás por hora, quanto de gás será gasto
na produção de um pão de mel?
Resolução: Também utilizaremos nesse problema a regra de três. Sabemos que
13kg de gás___________________________ R$ 65,00
0,2 kg de gás _____________________________X
13.x = 65 . 0,2, assim 13x = 13, logo x = 13/13 = 1.
Portanto, o fogão gasta a cada hora R$ 1,00.
Agora, calculemos quanto é gasto em 20 minutos, que é o tempo que o pão de mel
demora a ser assado.
20 minutos ___________________________ X
60 minutos _________________________ R$ 1,00
20 = 60.x, logo x = 0,3333...
Logo, gasta-se para a produção de 30 pães de mel R$ 0,3333 de gás de cozinha.
Na produção de um pão de mel gasta-se 0,333.../30 = 0,0111reais. Arredondando
temos R$ 0,01.
44
PROBLEMA 4: Com os resultados obtidos nos problemas anteriores, qual o custo total
de um pão de mel feito por Maria?
Resolução: Basta somarmos os valores obtidos nos problemas anteriores, ou
seja. Custo dos ingredientes mais embalagem + Mão de Obra + Custo do gás:
1,11 + 0,36 + 0,01 = 1,48
Dessa forma, o custo total é R$ 1,48.
PROBLEMA 5:
excedente de 25% sobre o valor de custo de cada pão de mel. Qual o valor de venda
desse pão de mel?
Resolução: O valor excedente de um produto é o valor que retornará ao produtor
a mais do que foi gasto para ser feito. No nosso problema, o excedente dos pães de mel
são 25% do custo. O custo total calculado levou em conta os valores dos ingredientes,
das embalagens, a mão de obra e o custo do gás de cozinha. Vamos calcular 25% desse
valor.
25% é a mesma coisa que 25/100, e 25% de 1,48 é 25/100 . 1,53 = 0,37,
Agora o valor de venda deve ser o valor do custo acrescido do excedente, ou seja
1,48 + 0,37 = 1,85.
Portanto, o pão de mel é vendido a R$ 1,85
O que aprendemos nesse capítulo?
• Calcular o custo de um produto.
• Calcular o valor da mão de obra de uma produção.
• Calcular o excedente de um produto.
• Determinar o Valor de venda de um produto.
.
45
CAPÍTULo 8O que é porcentagem?
Imagine que, na cooperativa de produtos de limpeza, foram fabricados 100 L de sabão
líquido. Desses 100 litros foram vendidos 20 L no mês. A porcentagem é uma parte entre 100
partes. Nesse caso, 100 L equivalem a 100% do sabão produzido. Podemos pensar que cada litro
produzido equivale uma parte das 100, ou seja, cada litro produzido equivale a 1% do total. Então,
em um mês foram vendidos 20 L, ou seja, 20 partes do total. Assim, temos que foram vendidos 20%
do total de sabão liquido produzido.
A porcentagem é usada no nosso dia a dia em geral para calcular: descontos nos preços, acréscimo
nos preços, lucros etc. Quem nunca se deparou, por exemplo, com uma promoção onde o anúncio
dizia: 50% (cinquenta por cento) de desconto em toda mercadoria?
Saiba que, foi muito importante o capítulo anterior sobre razão e proporção para uma melhor
compreensão deste capítulo, pois, a porcentagem trata-se de uma razão. Vamos entender melhor
isso por meio do problema abaixo:
PROBLEMA 1: O custo do aluguel de um EES aumentou 18% este mês. Considerando que o valor
do aluguel, antes do aumento era de R$ 300,00, qual deverá ser o novo valor destinado para o
pagamento desse aluguel?
Resolução: Primeiro, devemos saber que um acréscimo ou aumento é o valor inicial somado
a uma porcentagem desse valor e que o desconto é uma porcentagem do valor inicial subtraída
desse valor.
18% (dezoito por cento) de um valor. 18 % nada mais é do que a razão 18/100 ou 0,18. Sendo assim,
18% são 18 partes em 100 de alguma coisa ou valor. No nosso problema o aluguel de R$300,00
teve um aumento de 18%, portanto teremos que calcular 18% de R$300,00 mais R$300,00 (valor
inicial).
Então, vamos à resolução do problema:
46
Inicialmente, vejamos quanto é 18 % do valor do aluguel antes do aumento, ou seja, 18% de
300 reais, o que é equivalente a:
Fazendo os cálculos da multiplicação e da divisão, temos: 0,18 × 300 = 54. Daí, concluímos
que, o aumento no aluguel foi de R$ 54,00.
Assim, o novo valor destinado ao pagamento do aluguel do EES é 300+54= 354.
Portanto, o valor do aluguel passou a ser R$354,00.
PROBLEMA 2: Dona Ana é integrante de um EES que comercializa bijuterias. Ao realizar a venda
de uma pulseira no valor de R$ 20,00 ela ofereceu à cliente, que pagou a vista, um desconto.
Sabendo que o preço da pulseira foi reduzido para R$ 18,00, determine a porcentagem utilizada
para o desconto sobre o valor de venda da pulseira.
Resolução: Para resolver o problema, vamos montar uma regra de três simples, sabemos
que o valor inicial da pulseira de R$ 20,00 corresponde ao total, ou seja, 100% do preço de venda
do produto. Dessa forma, vamos determinar o valor pago, que é proporcional ao preço inicial. Logo:
18
20 100
100
18 X
x 300
=
Valor da pulseira Porcentagem equivalente
20 100%
18 x
Note que para utilizarmos regra de três simples para o cálculo de porcentagens, observamos
primeiro que temos uma razão diretamente proporcional, ou seja, trata-se de grandezas diretamente
proporcionais, pois à medida que o valor da pulseira diminui a porcentagem equivalente também
diminui. Dessa maneira, montando as razões pela tabela temos:
47
Multiplicando em cruz, temos:
20 . x = 1800 , x = 1800 ÷ 20 , portanto x = 90%.
Ou seja, o valor pago corresponde a 90% do valor da pulseira, assim o desconto é dado por:
100% - 90% = 10%.
E, portanto, o desconto dado foi de 10% sobre o valor total da pulseira.
Ou seja, R$ 2,00 que é o valor do desconto representa 10% do valor total.
O que aprendemos neste capítulo?
• Esperamos ter compreendido o conceito sobre porcentagem, o qual está intrinsicamente
ligado aos conceitos de razão e proporção.
• Vimos uma aplicação do algoritmo de regra de três simples para solucionar problemas que
envolvam porcentagens.
48
CAPÍTULo 9Noções Básicas de Matemática Financeira
Você sabia que a Matemática Financeira é muito útil na análise de algumas situações do
nosso dia a dia? Ela é muito utilizada à medida em que interagimos com o meio, realizando compras,
Vamos conhecer um pouco sobre alguns conceitos que não vimos nos capítulos anteriores
e que julgamos serem importantes na Matemática Financeira:
Capital
conhecido como: Principal, Valor Atual, Valor Presente ou Valor Aplicado.
Considere a seguinte situação: Paulo emprestou R$ 100,00 aos seus companheiros
de trabalho para a compra de matéria-prima para fabricar produtos de limpeza. Após 30 dias do
então, devolveram a Paulo a quantia de R$110,00.
Na situação acima, a quantia de R$100,00 que os companheiros de Paulo tomaram
como empréstimo para a compra de matéria-prima representa o Capital investido na fabricação
dos produtos a serem vendidos. Sobre a quantia de R$110,00, chamada de Montante que foi
devolvida a Paulo, o valor que foi pago a mais, ou seja, R$10,00 representa o valor dos juros que
os companheiros de Paulo pagaram pelo empréstimo após o período de 30 dias.
Montante
O montante é o Capital acrescido dos juros.
Juros
Em palavras mais formais, podemos dizer que juros é a remuneração do Capital empregado
em alguma atividade produtiva.
49
Juros simples
O juro de cada intervalo de tempo sempre é calculado sobre o capital inicial emprestado ou
aplicado.
Juros compostos
O juro de cada intervalo de tempo é calculado a partir do saldo no início de correspondente
intervalo. Ou seja: o juro de cada intervalo de tempo é incorporado ao capital inicial e passa a
render juros também.
Alguns problemas:
entendermos o conceito sobre taxa de juros. Futuramente, em outro material, trataremos os juros
compostos.
Voltemos então à situação do empréstimo feito por Paulo a seus companheiros e então
fazemos a seguinte pergunta: “O valor de R$10,00 representa qual porcentagem do Capital de
R$100,00 no período de tempo (30 dias)?”
Ora, podemos fazer uma regra de três simples para respondermos a essa pergunta:
Note que para utilizarmos regra de três para o cálculo de porcentagens, temos uma razão
diretamente proporcional, pois o valor menor em dinheiro representa uma porcentagem menor.
Assim, montando as razões pela tabela temos:
Valor (dinheiro) Porcentagem equivalente
100 reais 100%
10 reais x
100 100
10 X=
50
E, multiplicando em cruz, teremos:
Ou seja, os juros pagos correspondem a 10% do valor do Capital.
Taxa
de Juros, que nada mais é do que a porcentagem que representa os juros que foram pagos no
período de tempo.
os conceitos básicos de matemática vistos nos capítulos anteriores, podemos resolver alguns tipos
de problemas no nosso cotidiano envolvendo juros simples, e para isso podemos usar a seguinte
equação:
j = (c × i × t) ÷ 100
Onde:
j = juros
c = capital
i = taxa de juros
t = tempo
Observação: A taxa de juros e o tempo devem compreender a mesma unidade de tempo,
isto é, se a taxa de juros for dada em dias o tempo deverá ser dado em dias. O mesmo vale para
PROBLEMA 1: Quais são os juros produzidos por um capital de R$ 5.000,00 que um EES tomou
como empréstimo no BC, à taxa de 9% ao ano, durante dois anos?
51
Resolução: Sabemos do problema que
j = ?
c = 5000
i = 9% ao ano
t = 2 anos
Temos que:
j = (c × i × t) ÷ 100
Substituindo os valores que o problema nos forneceu, temos:
j = (5000 × 9 × 2) ÷ 100
j = (90000) ÷ 100
j = 900
E, portanto, os juros produzidos foram de R$900,00.
Podemos ter o valor dos juros e através deste, obter os outros termos desconhecidos em
nosso cotidiano, conforme a situação no problema abaixo:
PROBLEMA 2:
o BC emprestou à um EES e que rendeu R$ 81,00 de juros, à taxa de 2% ao mês?
Resolução: Sabemos do problema que
j = 81
c = 450
i = 2% ao mês
t =?
52
Temos que:
j = (c × i × t) ÷ 100
Substituindo os valores que o problema nos forneceu, temos:
81 = (450 × 2 × t) ÷ 100
81 = (900×t) ÷ 100
81×100 = (900×t)
8100 = (900×t)
8100÷900 = t
t = 9 meses
foi de 9 meses.
O que aprendemos neste capítulo?
• Esperamos ter compreendido o conceito de juros, taxa de juros, Montante e capital.
• Aprendemos a calcular juros simples.
• Vimos que o conceito sobre juros está muito relacionado com porcentagem.
• Utilizamos muitos dos conceitos vistos nos capítulos anteriores.