bartelmann, matthias & kühnel, tobias - kosmologie für die schule
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7/23/2019 Bartelmann, Matthias & Kühnel, Tobias - Kosmologie Für Die Schule
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Kosmologie fur die Schule
Matthias Bartelmann
1
& Tobias Kuhnel1 Max-Planck-Institut f ur Astrophysik
Kosmologie fur die Schule – p.1/30
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Ein symmetrisches Universum
Die moderne Kosmologie beruht auf Einsteins Allgemeiner
Relativitätstheorie.
Kosmologie fur die Schule – p.2/30
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Ein symmetrisches Universum
Die moderne Kosmologie beruht auf Einsteins Allgemeiner
Relativitätstheorie.
Das kosmologische Modell wird durch Symmetrieannahmen starkvereinfacht.
Kosmologie fur die Schule – p.2/30
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Ein symmetrisches Universum
Die moderne Kosmologie beruht auf Einsteins Allgemeiner
Relativitätstheorie.
Das kosmologische Modell wird durch Symmetrieannahmen starkvereinfacht.
Angenommen wird, dass es von uns aus gesehen in jeder Richtung
gleich aussieht , und
Kosmologie fur die Schule – p.2/30
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Ein symmetrisches Universum
Die moderne Kosmologie beruht auf Einsteins Allgemeiner
Relativitätstheorie.
Das kosmologische Modell wird durch Symmetrieannahmen starkvereinfacht.
Angenommen wird, dass es von uns aus gesehen in jeder Richtung
gleich aussieht , und
dass dies nicht nur für uns, sondern für jeden Beobachter imUniversum gilt.
Kosmologie fur die Schule – p.2/30
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Gewagte Annahmen?
Offenbar sieht das Universumnicht in jeder Richtung gleichaus!
Galaxien sind am Himmel sehrungleichmäßig verteilt
Kosmologie fur die Schule – p.3/30
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Gewagte Annahmen?
Offenbar sieht das Universumnicht in jeder Richtung gleichaus!
Wenn wir in immer größereEntfernungen schauen, wird esaber immer gleichmäßiger.
Kosmologie fur die Schule – p.3/30
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Gewagte Annahmen?
Offenbar sieht das Universumnicht in jeder Richtung gleichaus!
Wenn wir in immer größereEntfernungen schauen, wird esaber immer gleichmäßiger.
Der Mikrowellenhintergrund
ist fast perfektrichtungsunabhängig.
Die Helligkeit des Mikrowellenhim-mels schwankt nur um Tausendstel
Promille.
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Kein Mittelpunkt
Kopernikus hat gezeigt, dassdie Erde nicht im Mittelpunkt
des Sonnensystems steht.
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Kein Mittelpunkt
Kopernikus hat gezeigt, dassdie Erde nicht im Mittelpunkt
des Sonnensystems steht.
Die moderne Kosmologienimmt an, dass wir auch ankeiner ausgezeichneten Stelle
im Universum stehen,
Kosmologie fur die Schule – p.4/30
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Kein Mittelpunkt
Kopernikus hat gezeigt, dassdie Erde nicht im Mittelpunkt
des Sonnensystems steht.
Die moderne Kosmologienimmt an, dass wir auch ankeiner ausgezeichneten Stelle
im Universum stehen,ebenso wenig wie alle anderenBeobachter.
Kosmologie fur die Schule – p.4/30
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Kein Mittelpunkt
Kopernikus hat gezeigt, dassdie Erde nicht im Mittelpunkt
des Sonnensystems steht.
Die moderne Kosmologienimmt an, dass wir auch ankeiner ausgezeichneten Stelle
im Universum stehen,ebenso wenig wie alle anderenBeobachter.
Dann muss das Universum um jedem Punkt herum
richtungsunabhängig sein sein,
und es darf keinen Mittelpunkt haben.Kosmologie fur die Schule – p.4/30
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Idealisierung
Richtungsunabhängigkeit heißtauch Isotropie.
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Idealisierung
Richtungsunabhängigkeit heißtauch Isotropie.
Ortsunabhängigkeit heißt auch Homogenität .
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Idealisierung
Richtungsunabhängigkeit heißtauch Isotropie.
Ortsunabhängigkeit heißt auch Homogenität .
Die Grundannahmen dermodernen Kosmologie lautenalso:
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Idealisierung
Richtungsunabhängigkeit heißtauch Isotropie.
Ortsunabhängigkeit heißt auch Homogenität .
Die Grundannahmen dermodernen Kosmologie lautenalso:
Das Universum ist um jeden
Punkt isotrop, und
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Idealisierung
Richtungsunabhängigkeit heißtauch Isotropie.
Ortsunabhängigkeit heißt auch Homogenität .
Die Grundannahmen dermodernen Kosmologie lautenalso:
Das Universum ist um jeden
Punkt isotrop, und
damit ist es auch homogen.Wenn das Universum um jeden Punktisotrop ist, dann muss es auch homo-
gen sein.
Kosmologie fur die Schule – p.5/30
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Kugeluniversum
Also ist jeder Punkt imUniversum gleichberechtigt .
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Kugeluniversum
Also ist jeder Punkt imUniversum gleichberechtigt .
Wir können also einenbeliebigen Punkt
herausgreifen,
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Kugeluniversum
Also ist jeder Punkt imUniversum gleichberechtigt .
Wir können also einenbeliebigen Punkt
herausgreifen,
uns eine Kugel um ihn herum
denken,
Kosmologie fur die Schule – p.6/30
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Kugeluniversum
Also ist jeder Punkt imUniversum gleichberechtigt .
Wir können also einenbeliebigen Punkt
herausgreifen,
uns eine Kugel um ihn herum
denken,
und ein Testteilchen auf die
Kugeloberfläche setzen.
Kosmologie fur die Schule – p.6/30
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Eigenschaften der Kugel
Die Kugel hat den Radius R.
Radius R
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Eigenschaften der Kugel
Die Kugel hat den Radius R.
Ihre Dichte ρ muss überallgleich sein, sonst wäre dieKugel nicht homogen.
Radius R
Dichte ρ
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Eigenschaften der Kugel
Die Kugel hat den Radius R.
Ihre Dichte ρ muss überallgleich sein, sonst wäre dieKugel nicht homogen.
Dasselbe gilt für den Druck P.
Radius R
Dichte ρ
Druck P
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Eigenschaften der Kugel
Die Kugel hat den Radius R.
Ihre Dichte ρ muss überallgleich sein, sonst wäre dieKugel nicht homogen.
Dasselbe gilt für den Druck P.
Alle Eigenschaften der Kugelkönnen nur noch von der Zeit t
abhängen.
Radius
R(t)
Dichte ρ(t)Druck P(t)
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Größe ist unwichtig
Das Verhalten der Kugel darf nicht von ihrer absoluten Größeabhängen.
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Größe ist unwichtig
Das Verhalten der Kugel darf nicht von ihrer absoluten Größeabhängen.
Sonst könnte eine kleine Kugel im Inneren der großen Kugel schnelleroder langsamer wachsen oder schrumpfen,
Kosmologie fur die Schule – p.8/30
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Größe ist unwichtig
Das Verhalten der Kugel darf nicht von ihrer absoluten Größeabhängen.
Sonst könnte eine kleine Kugel im Inneren der großen Kugel schnelleroder langsamer wachsen oder schrumpfen,
und die große Kugel könnte nicht homogen bleiben.
Kosmologie fur die Schule – p.8/30
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Größe ist unwichtig
Das Verhalten der Kugel darf nicht von ihrer absoluten Größeabhängen.
Sonst könnte eine kleine Kugel im Inneren der großen Kugel schnelleroder langsamer wachsen oder schrumpfen,
und die große Kugel könnte nicht homogen bleiben.
Daraus folgt zweierlei:
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Größe ist unwichtig
Das Verhalten der Kugel darf nicht von ihrer absoluten Größeabhängen.
Sonst könnte eine kleine Kugel im Inneren der großen Kugel schnelleroder langsamer wachsen oder schrumpfen,
und die große Kugel könnte nicht homogen bleiben.
Daraus folgt zweierlei:Wir können die Kugel so klein wählen, dass in ihr das Newtonsche
Gravitationsgesetz gilt, und
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Größe ist unwichtig
Das Verhalten der Kugel darf nicht von ihrer absoluten Größeabhängen.
Sonst könnte eine kleine Kugel im Inneren der großen Kugel schnelleroder langsamer wachsen oder schrumpfen,
und die große Kugel könnte nicht homogen bleiben.
Daraus folgt zweierlei:
Wir können die Kugel so klein wählen, dass in ihr das Newtonsche
Gravitationsgesetz gilt, und
die Kugel kann trotzdem als Modelluniversum betrachtet werden.
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Ziele
Wir möchten nun zeigen, wie auf Grund dieser Annahmen
eine Gleichung hergeleitet werden kann, die bestimmt,
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Ziele
Wir möchten nun zeigen, wie auf Grund dieser Annahmen
eine Gleichung hergeleitet werden kann, die bestimmt,
wie sich das Universum ausdehnt,
Kosmologie fur die Schule – p.9/30
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Ziele
Wir möchten nun zeigen, wie auf Grund dieser Annahmen
eine Gleichung hergeleitet werden kann, die bestimmt,
wie sich das Universum ausdehnt,wodurch die Entwicklung des Universums bestimmt wird, und
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Ziele
Wir möchten nun zeigen, wie auf Grund dieser Annahmen
eine Gleichung hergeleitet werden kann, die bestimmt,
wie sich das Universum ausdehnt,wodurch die Entwicklung des Universums bestimmt wird, und
wie alt das Universum heute ist.
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i l
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Ziele
Wir möchten nun zeigen, wie auf Grund dieser Annahmen
eine Gleichung hergeleitet werden kann, die bestimmt,
wie sich das Universum ausdehnt,wodurch die Entwicklung des Universums bestimmt wird, und
wie alt das Universum heute ist.
Dazu brauchen wir
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Zi l
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Ziele
Wir möchten nun zeigen, wie auf Grund dieser Annahmen
eine Gleichung hergeleitet werden kann, die bestimmt,
wie sich das Universum ausdehnt,wodurch die Entwicklung des Universums bestimmt wird, und
wie alt das Universum heute ist.
Dazu brauchen wir
das Newtonsche Gravitationsgesetz,
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Zi l
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Ziele
Wir möchten nun zeigen, wie auf Grund dieser Annahmen
eine Gleichung hergeleitet werden kann, die bestimmt,
wie sich das Universum ausdehnt,wodurch die Entwicklung des Universums bestimmt wird, und
wie alt das Universum heute ist.
Dazu brauchen wir
das Newtonsche Gravitationsgesetz,
das Gesetz Kraft Masse
Beschleunigung
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Ziele
Wir möchten nun zeigen, wie auf Grund dieser Annahmen
eine Gleichung hergeleitet werden kann, die bestimmt,
wie sich das Universum ausdehnt,wodurch die Entwicklung des Universums bestimmt wird, und
wie alt das Universum heute ist.
Dazu brauchen wir
das Newtonsche Gravitationsgesetz,
das Gesetz Kraft Masse
Beschleunigung
und den Energieerhaltungssatz.
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Entwicklung des Kugelradius
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Entwicklung des Kugelradius
Schwerkraft:
V
4π
3 R3 (Volumen)
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Entwicklung des Kugelradius
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Entwicklung des Kugelradius
Schwerkraft:
V
4π
3 R3 (Volumen)
M V ρ
4π
3 R3ρ (Masse)
Kosmologie fur die Schule – p.10/30
Entwicklung des Kugelradius
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Entwicklung des Kugelradius
Schwerkraft:
V
4π
3 R3 (Volumen)
M V ρ
4π
3 R3ρ (Masse)
F G
GMm
R2
4πG
3 Rρm
Kosmologie fur die Schule – p.10/30
Entwicklung des Kugelradius
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Entwicklung des Kugelradius
Schwerkraft:
V
4π
3 R3 (Volumen)
M V ρ
4π
3 R3ρ (Masse)
F G
GMm
R2
4πG
3 Rρm
Newtons 2. Axiom:
m
a
F G(Kraft
Masse Beschleunigung)
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Entwicklung des Kugelradius
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Entwicklung des Kugelradius
Schwerkraft:
V
4π
3 R3 (Volumen)
M V ρ
4π
3 R3ρ (Masse)
F G
GMm
R2
4πG
3 Rρm
Newtons 2. Axiom:
m
a
F G(Kraft
Masse Beschleunigung)
Beschleunigung:
a
dv
dt
v
d R
dt ˙ R
a
d2 R
dt 2 ¨ R
(siehe
Anhang 1)
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Entwicklung des Kugelradius
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Entwicklung des Kugelradius
Schwerkraft:
V
4π
3 R3 (Volumen)
M V ρ
4π
3 R3ρ (Masse)
F G
GMm
R2
4πG
3 Rρm
Newtons 2. Axiom:
m
a
F G(Kraft
Masse Beschleunigung)
Beschleunigung:
a
dv
dt
v
d R
dt ˙ R
a
d2 R
dt 2 ¨ R
(siehe
Anhang 1)Bewegungsgleichung:
m ¨ R
4πG
3 Rρm
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Entwicklung des Kugelradius
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Entwicklung des Kugelradius
Schwerkraft:
V
4π
3 R3 (Volumen)
M V ρ
4π
3 R3ρ (Masse)
F G
GMm
R2
4πG
3 Rρm
Newtons 2. Axiom:
m
a
F G(Kraft
Masse Beschleunigung)
Beschleunigung:
a
dv
dt
v
d R
dt ˙ R
a
d2 R
dt 2 ¨ R
(siehe
Anhang 1)Bewegungsgleichung:
m ¨ R
4πG
3 Rρm
¨ R
4πG
3 Rρ
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Druck wirkt anziehend
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Druck wirkt anziehend
In der Kugel herrscht derDruck P. Er kommt durch dieBewegung der Teilchen
zustande, also durch derenkinetische Energie.
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Druck wirkt anziehend
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Druck wirkt anziehend
In der Kugel herrscht derDruck P. Er kommt durch dieBewegung der Teilchen
zustande, also durch derenkinetische Energie.
Energie und Masse sind
äquivalent, E
m c2
. Alsoentspricht dem Druck eineMasse, die einen Beitrag zurSchwerkraft liefern muss.
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Druck wirkt anziehend
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Druck wirkt anziehend
In der Kugel herrscht derDruck P. Er kommt durch dieBewegung der Teilchen
zustande, also durch derenkinetische Energie.
Energie und Masse sind
äquivalent, E
m c2
. Alsoentspricht dem Druck eineMasse, die einen Beitrag zurSchwerkraft liefern muss.
Druck und Dichte:
ρP
3P
c2
(siehe Anhang 2)
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Druck wirkt anziehend
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Druck wirkt anziehend
In der Kugel herrscht derDruck P. Er kommt durch dieBewegung der Teilchen
zustande, also durch derenkinetische Energie.
Energie und Masse sind
äquivalent, E
m c2
. Alsoentspricht dem Druck eineMasse, die einen Beitrag zurSchwerkraft liefern muss.
Druck und Dichte:
ρP
3P
c2
(siehe Anhang 2)
gesamte Massendichte:
ρgesamt
ρ
ρP
ρ
3Pc2
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Druck wirkt anziehend
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uc w t a e e d
In der Kugel herrscht derDruck P. Er kommt durch dieBewegung der Teilchen
zustande, also durch derenkinetische Energie.
Energie und Masse sind
äquivalent, E
m c2
. Alsoentspricht dem Druck eineMasse, die einen Beitrag zurSchwerkraft liefern muss.
Druck und Dichte:
ρP
3P
c2
(siehe Anhang 2)
gesamte Massendichte:
ρgesamt
ρ
ρP
ρ
3Pc2
Statt ρ muss ρgesamt eingesetztwerden:
¨ R
4πG
3 R ρ
3P
c2
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Energieerhaltung
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In der Kugel muss der Energieerhaltungssatz gelten:Die innere Energie U ändert
sich um ∆U , wenn sich dasVolumen V aufgrund desDrucks P um ∆V ändert:
∆U
P∆V
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Energieerhaltung
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In der Kugel muss der Energieerhaltungssatz gelten:Die innere Energie U ändert
sich um ∆U , wenn sich dasVolumen V aufgrund desDrucks P um ∆V ändert:
∆U
P∆V
Die Änderungen finden in derZeit ∆t statt:
∆U ∆t
P∆V ∆t
Kosmologie fur die Schule – p.12/30
Energieerhaltung
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In der Kugel muss der Energieerhaltungssatz gelten:Die innere Energie U ändert
sich um ∆U , wenn sich dasVolumen V aufgrund desDrucks P um ∆V ändert:
∆U
P∆V
U
PV
Kosmologie fur die Schule – p.12/30
Energieerhaltung
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In der Kugel muss der Energieerhaltungssatz gelten:Die innere Energie U ändert
sich um ∆U , wenn sich dasVolumen V aufgrund desDrucks P um ∆V ändert:
∆U
P∆V
U
PV
Innere Energie:
U M c2 V ρc2
4π
3 R3ρc2
U
4π
3
3 R2 ˙ Rρ
R3ρ
c2
Kosmologie fur die Schule – p.12/30
Energieerhaltung
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In der Kugel muss der Energieerhaltungssatz gelten:Die innere Energie U ändert
sich um ∆U , wenn sich dasVolumen V aufgrund desDrucks P um ∆V ändert:
∆U
P∆V
U
PV
Innere Energie:
U M c2 V ρc2
4π
3 R3ρc2
U
4π
3
3 R2 ˙ Rρ
R3ρ
c2
Volumen:
V
4π
3
d
R3
dt
4π
3
3 R2 ˙ R
Kosmologie fur die Schule – p.12/30
Energieerhaltung
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In der Kugel muss der Energieerhaltungssatz gelten:Die innere Energie U ändert
sich um ∆U , wenn sich dasVolumen V aufgrund desDrucks P um ∆V ändert:
∆U
P∆V
U
PV
Innere Energie:
U M c2 V ρc2
4π
3 R3ρc2
U
4π
3
3 R2 ˙ Rρ
R3ρ
c2
Volumen:
V
4π
3
d
R3
dt
4π
3
3 R2 ˙ R
Energieerhaltung:
4π
3
3 R2 ˙ Rρ
R3ρ
c2
P4π
3
3 R2 ˙ R
Kosmologie fur die Schule – p.12/30
Energieerhaltung
7/23/2019 Bartelmann, Matthias & Kühnel, Tobias - Kosmologie Für Die Schule
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In der Kugel muss der Energieerhaltungssatz gelten:Die innere Energie U ändert
sich um ∆U , wenn sich dasVolumen V aufgrund desDrucks P um ∆V ändert:
∆U
P∆V
U
PV
Innere Energie:
U M c2 V ρc2
4π
3 R3ρc2
U
4π
3
3 R2 ˙ Rρ
R3ρ
c2
Volumen:
V
4π
3
d
R3
dt
4π
3
3 R2 ˙ R
Energieerhaltung:
3 R2 ˙ Rρ
R3ρ
c2
3PR2 ˙ R 0
Kosmologie fur die Schule – p.12/30
Energieerhaltung und Bewegung
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Energieerhaltung:
3 R2 ˙ Rρ
R3ρ
c2
3PR2 ˙ R 0
Kosmologie fur die Schule – p.13/30
Energieerhaltung und Bewegung
7/23/2019 Bartelmann, Matthias & Kühnel, Tobias - Kosmologie Für Die Schule
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Energieerhaltung:
3 R2 ˙ Rρ
R3ρ
c2
3PR2 ˙ R 0
( Rc2 kürzen, dann zusammenfassen)
Kosmologie fur die Schule – p.13/30
Energieerhaltung und Bewegung
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Energieerhaltung:
3 R2 ˙ Rρ
R3ρ
c2
3PR2 ˙ R 0
2 R ˙ Rρ
ρ
3Pc2
R ˙ R
R2ρ 0
Kosmologie fur die Schule – p.13/30
Energieerhaltung und Bewegung
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Energieerhaltung:
3 R2 ˙ Rρ
R3ρ
c2
3PR2 ˙ R 0
2 R ˙ Rρ
ρ
3Pc2
R ˙ R
R2ρ 0
Bewegungsgleichung:
¨ R
4πG
3 R ρ
3P
c2
ρ
3P
c2
3
4πG
¨ R
R
Kosmologie fur die Schule – p.13/30
Energieerhaltung und Bewegung
7/23/2019 Bartelmann, Matthias & Kühnel, Tobias - Kosmologie Für Die Schule
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Energieerhaltung:
3 R2 ˙ Rρ
R3ρ
c2
3PR2 ˙ R 0
2 R ˙ Rρ
ρ
3Pc2
R ˙ R
R2ρ 0
Bewegungsgleichung:
¨ R
4πG
3 R ρ
3P
c2
ρ
3P
c2
34πG
¨ R
R
beide Gleichungen kombinieren:
2 R ˙ Rρ
3
4πG˙ R ¨ R
R2ρ 0
Kosmologie fur die Schule – p.13/30
Energieerhaltung und Bewegung
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Energieerhaltung:
3 R2 ˙ Rρ
R3ρ
c2
3PR2 ˙ R 0
2 R ˙ Rρ
ρ
3Pc2
R ˙ R
R2ρ 0
Bewegungsgleichung:
¨ R
4πG
3 R ρ
3P
c2
ρ
3P
c2
34πG
¨ R
R
beide Gleichungen kombinieren:
2 R ˙ Rρ
3
4πG˙ R ¨ R
R2ρ 0
2 ˙ R ¨ R
8πG
3
2 R ˙ Rρ
R2ρ
Kosmologie fur die Schule – p.13/30
Integration
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Bewegungsgleichung:
2 ˙ R ¨ R
8πG
3
2 R ˙ Rρ
R2ρ
Kosmologie fur die Schule – p.14/30
Integration
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Bewegungsgleichung:
2 ˙ R ¨ R
8πG
3
2 R ˙ Rρ
R2ρ
Produktregel:
2 ˙ R ¨ R
d
˙ R2
dt
2 R ˙ Rρ
R2ρ
d
R2ρ
dt
Kosmologie fur die Schule – p.14/30
Integration
7/23/2019 Bartelmann, Matthias & Kühnel, Tobias - Kosmologie Für Die Schule
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Bewegungsgleichung:
2 ˙ R ¨ R
8πG
3
2 R ˙ Rρ
R2ρ
Produktregel:
2 ˙ R ¨ R
d
˙ R2
dt
2 R ˙ Rρ
R2ρ
d
R2ρ
dt
Einsetzen:
d
˙ R2
dt
8πG
3
d
R2ρ
dt
Kosmologie fur die Schule – p.14/30
Integration
7/23/2019 Bartelmann, Matthias & Kühnel, Tobias - Kosmologie Für Die Schule
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Bewegungsgleichung:
2 ˙ R ¨ R
8πG
3
2 R ˙ Rρ
R2ρ
Produktregel:
2 ˙ R ¨ R
d
˙ R2
dt
2 R ˙ Rρ
R2ρ
d
R2ρ
dt
Einsetzen:
d
˙ R2
dt
8πG
3
d
R2ρ
dt
Integration:
d
˙ R2
dt dt
8πG
3
d
R2ρ
dt dt
Kosmologie fur die Schule – p.14/30
Integration
7/23/2019 Bartelmann, Matthias & Kühnel, Tobias - Kosmologie Für Die Schule
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Bewegungsgleichung:
2 ˙ R ¨ R
8πG
3
2 R ˙ Rρ
R2ρ
Produktregel:
2 ˙ R ¨ R
d
˙ R2
dt
2 R ˙ Rρ
R2ρ
d
R2ρ
dt
Einsetzen:
d
˙ R2
dt
8πG
3
d
R2ρ
dt
Integration:
d
˙ R2
dt dt
8πG
3
d
R2ρ
dt dt
˙ R2
8πG
3 R2ρ
K
(K ist die Integrationskonstante)
Kosmologie fur die Schule – p.14/30
Integration
7/23/2019 Bartelmann, Matthias & Kühnel, Tobias - Kosmologie Für Die Schule
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Bewegungsgleichung:
2 ˙ R ¨ R
8πG
3
2 R ˙ Rρ
R2ρ
Produktregel:
2 ˙ R ¨ R
d
˙ R2
dt
2 R ˙ Rρ
R2ρ
d
R2ρ
dt
Einsetzen:
d
˙ R2
dt
8πG
3
d
R2ρ
dt
Integration:
d
˙ R2
dt dt
8πG
3
d
R2ρ
dt dt
˙ R2
8πG
3 R2ρ
K
(K ist die Integrationskonstante)
Diese Gleichung zeigt, wiesich der Kugelradius R mit der
Zeit ändert.
Kosmologie fur die Schule – p.14/30
Die kosmologische Konstante
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Albert Einstein selbst hat die kosmologische Konstante Λ eingeführt:
˙ R2
8πG
3
R2ρ
K
Λ
3
R2
Kosmologie fur die Schule – p.15/30
Die kosmologische Konstante
7/23/2019 Bartelmann, Matthias & Kühnel, Tobias - Kosmologie Für Die Schule
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Albert Einstein selbst hat die kosmologische Konstante Λ eingeführt:
˙ R2
8πG
3
R2ρ
K
Λ
3
R2
Sie ermöglicht ein statisches Universum, das um 1915 noch alswahrscheinlich galt.
Kosmologie fur die Schule – p.15/30
Die kosmologische Konstante
7/23/2019 Bartelmann, Matthias & Kühnel, Tobias - Kosmologie Für Die Schule
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Albert Einstein selbst hat die kosmologische Konstante Λ eingeführt:
˙ R2
8πG
3
R2ρ
K
Λ
3
R2
Sie ermöglicht ein statisches Universum, das um 1915 noch alswahrscheinlich galt.
1929 entdeckte Edwin Hubble, dass das Universum sich ausdehnt .
Kosmologie fur die Schule – p.15/30
Die kosmologische Konstante
7/23/2019 Bartelmann, Matthias & Kühnel, Tobias - Kosmologie Für Die Schule
http://slidepdf.com/reader/full/bartelmann-matthias-kuehnel-tobias-kosmologie-fuer-die-schule 74/148
Albert Einstein selbst hat die kosmologische Konstante Λ eingeführt:
˙ R2
8πG
3
R2ρ
K
Λ
3
R2
Sie ermöglicht ein statisches Universum, das um 1915 noch alswahrscheinlich galt.
1929 entdeckte Edwin Hubble, dass das Universum sich ausdehnt .Damit war Λ nicht mehr nötig, wurde aber beibehalten.
Kosmologie fur die Schule – p.15/30
Die kosmologische Konstante
7/23/2019 Bartelmann, Matthias & Kühnel, Tobias - Kosmologie Für Die Schule
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Albert Einstein selbst hat die kosmologische Konstante Λ eingeführt:
˙ R2
8πG
3
R2ρ
K
Λ
3
R2
Sie ermöglicht ein statisches Universum, das um 1915 noch alswahrscheinlich galt.
1929 entdeckte Edwin Hubble, dass das Universum sich ausdehnt .Damit war Λ nicht mehr nötig, wurde aber beibehalten.
Heute wird Λ auf Grund von Messungen als unverzichtbar angesehen.
Kosmologie fur die Schule – p.15/30
Der Skalenfaktor
7/23/2019 Bartelmann, Matthias & Kühnel, Tobias - Kosmologie Für Die Schule
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Die heutige Größe der Kugel wird als R0 bezeichnet.
Kosmologie fur die Schule – p.16/30
Der Skalenfaktor
7/23/2019 Bartelmann, Matthias & Kühnel, Tobias - Kosmologie Für Die Schule
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Die heutige Größe der Kugel wird als R0 bezeichnet. Das Verhältnisdes Kugelradius R zum heutigen Radius R0 wird Skalenfaktor a
genannt: a
R
R0
Kosmologie fur die Schule – p.16/30
Der Skalenfaktor
7/23/2019 Bartelmann, Matthias & Kühnel, Tobias - Kosmologie Für Die Schule
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Die heutige Größe der Kugel wird als R0 bezeichnet. Das Verhältnisdes Kugelradius R zum heutigen Radius R0 wird Skalenfaktor a
genannt: a
R
R0
Gleichung für ˙ R2:
˙ R
2
8πG
3 R
2
ρ
K
Λ
3 R
2
Kosmologie fur die Schule – p.16/30
Der Skalenfaktor
7/23/2019 Bartelmann, Matthias & Kühnel, Tobias - Kosmologie Für Die Schule
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Die heutige Größe der Kugel wird als R0 bezeichnet. Das Verhältnisdes Kugelradius R zum heutigen Radius R0 wird Skalenfaktor a
genannt: a
R
R0
Gleichung für ˙ R2:
˙ R
2
8πG
3 R
2
ρ
K
Λ
3 R
2
(durch R
2
0 teilen)
Kosmologie fur die Schule – p.16/30
Der Skalenfaktor
7/23/2019 Bartelmann, Matthias & Kühnel, Tobias - Kosmologie Für Die Schule
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Die heutige Größe der Kugel wird als R0 bezeichnet. Das Verhältnisdes Kugelradius R zum heutigen Radius R0 wird Skalenfaktor a
genannt: a
R
R0
Gleichung für ˙ R2:
˙ R
2
8πG
3 R
2
ρ
K
Λ
3 R
2
a
2
8πG
3 a
2
ρ
K
R20
Λ
3 a
2
Kosmologie fur die Schule – p.16/30
Der Skalenfaktor
7/23/2019 Bartelmann, Matthias & Kühnel, Tobias - Kosmologie Für Die Schule
http://slidepdf.com/reader/full/bartelmann-matthias-kuehnel-tobias-kosmologie-fuer-die-schule 81/148
Die heutige Größe der Kugel wird als R0 bezeichnet. Das Verhältnisdes Kugelradius R zum heutigen Radius R0 wird Skalenfaktor a
genannt: a
R
R0
Gleichung für ˙ R2:
˙ R
2
8πG
3 R
2
ρ
K
Λ
3 R
2
a
2
8πG
3 a
2
ρ
K
R20
Λ
3 a
2
a
a
2
8πG
3
ρ
K
a2
R2
0
Λ
3
Kosmologie fur die Schule – p.16/30
Der Skalenfaktor
7/23/2019 Bartelmann, Matthias & Kühnel, Tobias - Kosmologie Für Die Schule
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Die heutige Größe der Kugel wird als R0 bezeichnet. Das Verhältnisdes Kugelradius R zum heutigen Radius R0 wird Skalenfaktor a
genannt: a
R
R0
Gleichung für ˙ R2:
˙ R
2
8πG
3 R
2
ρ
K
Λ
3 R
2
a
2
8πG
3 a
2
ρ
K
R20
Λ
3 a
2
a
a
2
8πG
3
ρ
K
a2
R2
0
Λ
3Dies ist eine Form der Friedmann-Gleichung, die Alexander Friedmann1920 fand.
Kosmologie fur die Schule – p.16/30
Staub und Strahlung
7/23/2019 Bartelmann, Matthias & Kühnel, Tobias - Kosmologie Für Die Schule
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Wir müssen nun noch festlegen, wie der Druck von der Dichteabhängen soll. Es gibt zwei Möglichkeiten:
Kosmologie fur die Schule – p.17/30
Staub und Strahlung
7/23/2019 Bartelmann, Matthias & Kühnel, Tobias - Kosmologie Für Die Schule
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Wir müssen nun noch festlegen, wie der Druck von der Dichteabhängen soll. Es gibt zwei Möglichkeiten:
Für nichtrelativistische Materie
ist der Druck sehr viel kleinerals die Energiedichte ρc2.Dann kann man
P
0
setzen.
Kosmologie fur die Schule – p.17/30
Staub und Strahlung
7/23/2019 Bartelmann, Matthias & Kühnel, Tobias - Kosmologie Für Die Schule
http://slidepdf.com/reader/full/bartelmann-matthias-kuehnel-tobias-kosmologie-fuer-die-schule 85/148
Wir müssen nun noch festlegen, wie der Druck von der Dichteabhängen soll. Es gibt zwei Möglichkeiten:
Für nichtrelativistische Materie
ist der Druck sehr viel kleinerals die Energiedichte ρc2.Dann kann man
P
0
setzen.
In diesem Fall spricht man von„Staub“.
Kosmologie fur die Schule – p.17/30
Staub und Strahlung
7/23/2019 Bartelmann, Matthias & Kühnel, Tobias - Kosmologie Für Die Schule
http://slidepdf.com/reader/full/bartelmann-matthias-kuehnel-tobias-kosmologie-fuer-die-schule 86/148
Wir müssen nun noch festlegen, wie der Druck von der Dichteabhängen soll. Es gibt zwei Möglichkeiten:
Für nichtrelativistische Materie
ist der Druck sehr viel kleinerals die Energiedichte ρc2.Dann kann man
P
0
setzen.
In diesem Fall spricht man von„Staub“.
Für relativistische Materie istder Druck gleich einem Drittelder Energiedichte,
P
ρc2
3
(siehe Anhang 2)
Kosmologie fur die Schule – p.17/30
Staub und Strahlung
7/23/2019 Bartelmann, Matthias & Kühnel, Tobias - Kosmologie Für Die Schule
http://slidepdf.com/reader/full/bartelmann-matthias-kuehnel-tobias-kosmologie-fuer-die-schule 87/148
Wir müssen nun noch festlegen, wie der Druck von der Dichteabhängen soll. Es gibt zwei Möglichkeiten:
Für nichtrelativistische Materie
ist der Druck sehr viel kleinerals die Energiedichte ρc2.Dann kann man
P
0
setzen.
In diesem Fall spricht man von„Staub“.
Für relativistische Materie istder Druck gleich einem Drittelder Energiedichte,
P
ρc2
3
(siehe Anhang 2)
Man spricht in diesem Fall von„Strahlung“.
Kosmologie fur die Schule – p.17/30
Staub und Strahlung
7/23/2019 Bartelmann, Matthias & Kühnel, Tobias - Kosmologie Für Die Schule
http://slidepdf.com/reader/full/bartelmann-matthias-kuehnel-tobias-kosmologie-fuer-die-schule 88/148
Wir müssen nun noch festlegen, wie der Druck von der Dichteabhängen soll. Es gibt zwei Möglichkeiten:
Für nichtrelativistische Materie
ist der Druck sehr viel kleinerals die Energiedichte ρc2.Dann kann man
P
0
setzen.
In diesem Fall spricht man von„Staub“.
Für relativistische Materie ist
der Druck gleich einem Drittelder Energiedichte,
P
ρc2
3
(siehe Anhang 2)
Man spricht in diesem Fall von„Strahlung“.
Heute überwiegt Staub bei Weitem.
Kosmologie fur die Schule – p.17/30
Änderung der Dichte
7/23/2019 Bartelmann, Matthias & Kühnel, Tobias - Kosmologie Für Die Schule
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Energieerhaltungssatz:
3 R2 ˙ Rρ
R3ρ
c2
3PR2 ˙ R 0
Kosmologie fur die Schule – p.18/30
Änderung der Dichte
E i h l
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Energieerhaltungssatz:
3 R2 ˙ Rρ
R3ρ
c2
3PR2 ˙ R 0 ( R2c2 kürzen und durch R0 teilen)
Kosmologie fur die Schule – p.18/30
Änderung der Dichte
E i h l
7/23/2019 Bartelmann, Matthias & Kühnel, Tobias - Kosmologie Für Die Schule
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Energieerhaltungssatz:
3 R2 ˙ Rρ
R3ρ
c2
3PR2 ˙ R 0
3a ρ
P
c2
aρ 0
Kosmologie fur die Schule – p.18/30
Änderung der Dichte
E i h lt t
7/23/2019 Bartelmann, Matthias & Kühnel, Tobias - Kosmologie Für Die Schule
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Energieerhaltungssatz:
3 R2 ˙ Rρ
R3ρ
c2
3PR2 ˙ R 0
3a ρ
P
c2
aρ 0
für P 0 (Staub):
3aρ
aρ 0
ρ ρ0a3
Kosmologie fur die Schule – p.18/30
Änderung der Dichte
E i h lt t
7/23/2019 Bartelmann, Matthias & Kühnel, Tobias - Kosmologie Für Die Schule
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Energieerhaltungssatz:
3 R2 ˙ Rρ
R3ρ
c2
3PR2 ˙ R 0
3a ρ
P
c2
aρ 0
für P 0 (Staub):
3aρ
aρ 0
ρ
ρ0
a3
für P
ρc2
3 (Strahlung):
4aρ
aρ
0
ρ
ρ0
a4
Kosmologie fur die Schule – p.18/30
Änderung der Dichte
Energieerhaltungssatz:
7/23/2019 Bartelmann, Matthias & Kühnel, Tobias - Kosmologie Für Die Schule
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Energieerhaltungssatz:
3 R2 ˙ Rρ
R3ρ
c2
3PR2 ˙ R 0
3a ρ
P
c2
aρ 0
für P 0 (Staub):
3aρ
aρ 0
ρ
ρ0
a3
für P
ρc2
3 (Strahlung):
4aρ
aρ
0
ρ
ρ0
a4
Friedmann-Gleichung für ein Staubuniversum:
ρ
ρ0
a3
a
a
2
8πG
3
ρ0
a3
K
a2 R2
0
Λ
3
Kosmologie fur die Schule – p.18/30
Parameter
H a h iß H bbl F k i
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H aa
heißt Hubble-Funktion.
Kosmologie fur die Schule – p.19/30
Parameter
H a h ißt H bbl F kti
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http://slidepdf.com/reader/full/bartelmann-matthias-kuehnel-tobias-kosmologie-fuer-die-schule 96/148
H aa
heißt Hubble-Funktion.
Ihr heutiger Wert H 0 ist die Hubble-Konstante:
H 0 70
km
sMpc
3
10
18 1s
11010 J
Kosmologie fur die Schule – p.19/30
Parameter
H a h ißt H bbl F kti
7/23/2019 Bartelmann, Matthias & Kühnel, Tobias - Kosmologie Für Die Schule
http://slidepdf.com/reader/full/bartelmann-matthias-kuehnel-tobias-kosmologie-fuer-die-schule 97/148
H aa
heißt Hubble-Funktion.
Ihr heutiger Wert H 0 ist die Hubble-Konstante:
H 0 70
km
sMpc
3
10
18 1s
11010 J
1
H 0
10 Milliarden Jahre
Kosmologie fur die Schule – p.19/30
Parameter
H a heißt Hubble Funktion kritische Dichte:
7/23/2019 Bartelmann, Matthias & Kühnel, Tobias - Kosmologie Für Die Schule
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H aa
heißt Hubble-Funktion.
Ihr heutiger Wert H 0 ist die Hubble-Konstante:
H 0 70
km
sMpc
3
10
18 1s
11010 J
1
H 0
10 Milliarden Jahre
kritische Dichte:
ρcr
3 H 20
8πG
2 10 29 g
cm3
Kosmologie fur die Schule – p.19/30
Parameter
H a heißt Hubble Funktion kritische Dichte:
7/23/2019 Bartelmann, Matthias & Kühnel, Tobias - Kosmologie Für Die Schule
http://slidepdf.com/reader/full/bartelmann-matthias-kuehnel-tobias-kosmologie-fuer-die-schule 99/148
H aa
heißt Hubble-Funktion.
Ihr heutiger Wert H 0 ist die Hubble-Konstante:
H 0 70
km
sMpc
3
10
18 1s
11010 J
1
H 0
10 Milliarden Jahre
kritische Dichte:
ρcr
3 H 20
8πG
2 10 29 g
cm3
Dichteparameter :
Ω0
ρ0
ρcr
ΩΛ
Λ
3 H 20
Kosmologie fur die Schule – p.19/30
Parameter
H a heißt Hubble Funktion kritische Dichte:
7/23/2019 Bartelmann, Matthias & Kühnel, Tobias - Kosmologie Für Die Schule
http://slidepdf.com/reader/full/bartelmann-matthias-kuehnel-tobias-kosmologie-fuer-die-schule 100/148
H aa
heißt Hubble-Funktion.
Ihr heutiger Wert H 0 ist die Hubble-Konstante:
H 0 70
km
sMpc
3
10
18 1s
11010 J
1
H 0
10 Milliarden Jahre
kritische Dichte:
ρcr
3 H 20
8πG
2 10 29 g
cm3
Dichteparameter :
Ω0
ρ0
ρcr
ΩΛ
Λ
3 H 20
Messungen zeigen:
Ω0
1
3
ΩΛ
2
3
Ω0
ΩΛ 1
Kosmologie fur die Schule – p.19/30
Die Krümmung
Friedmann-Gleichung:
7/23/2019 Bartelmann, Matthias & Kühnel, Tobias - Kosmologie Für Die Schule
http://slidepdf.com/reader/full/bartelmann-matthias-kuehnel-tobias-kosmologie-fuer-die-schule 101/148
Friedmann Gleichung:
a
a
2
8πG
3
ρ0
a3
K
a2 R2
0
Λ
3
Kosmologie fur die Schule – p.20/30
Die Krümmung
Friedmann-Gleichung:
7/23/2019 Bartelmann, Matthias & Kühnel, Tobias - Kosmologie Für Die Schule
http://slidepdf.com/reader/full/bartelmann-matthias-kuehnel-tobias-kosmologie-fuer-die-schule 102/148
Friedmann Gleichung:
a
a
2
8πG
3
ρ0
a3
K
a2 R20
Λ
3 H 20
8πG
3 H 20
ρ0
a3
K
a2 R20 H 20
Λ
3 H 20
Kosmologie fur die Schule – p.20/30
Die Krümmung
Friedmann-Gleichung:
7/23/2019 Bartelmann, Matthias & Kühnel, Tobias - Kosmologie Für Die Schule
http://slidepdf.com/reader/full/bartelmann-matthias-kuehnel-tobias-kosmologie-fuer-die-schule 103/148
Friedmann Gleichung:
a
a
2
8πG
3
ρ0
a3
K
a2 R20
Λ
3 H 20
8πG
3 H 20
ρ0
a3
K
a2 R20 H 20
Λ
3 H 20
H 2 H 20ρ0
ρcra3
K
a2 R20 H 20
ΩΛ
Kosmologie fur die Schule – p.20/30
Die Krümmung
Friedmann-Gleichung:
7/23/2019 Bartelmann, Matthias & Kühnel, Tobias - Kosmologie Für Die Schule
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g
a
a
2
8πG
3
ρ0
a3
K
a2 R20
Λ
3 H 20
8πG
3 H 20
ρ0
a3
K
a2 R20 H 20
Λ
3 H 20
H 2 H 20Ω0
a3
K
a2 R20 H 20
ΩΛ
Kosmologie fur die Schule – p.20/30
Die Krümmung
Friedmann-Gleichung:
7/23/2019 Bartelmann, Matthias & Kühnel, Tobias - Kosmologie Für Die Schule
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g
a
a
2
8πG
3
ρ0
a3
K
a2 R20
Λ
3 H 20
8πG
3 H 20
ρ0
a3
K
a2 R20 H 20
Λ
3 H 20
H 2 H 20Ω0
a3
K
a2 R20 H 20
ΩΛ
heute: a
1 und H
H 0 ( per Definition);
H 20 H 20 Ω0
K
R20 H 20
ΩΛ
Kosmologie fur die Schule – p.20/30
Die Krümmung
Friedmann-Gleichung:
7/23/2019 Bartelmann, Matthias & Kühnel, Tobias - Kosmologie Für Die Schule
http://slidepdf.com/reader/full/bartelmann-matthias-kuehnel-tobias-kosmologie-fuer-die-schule 106/148
g
a
a
2
8πG
3
ρ0
a3
K
a2 R20
Λ
3 H 20
8πG
3 H 20
ρ0
a3
K
a2 R20 H 20
Λ
3 H 20
H 2 H 20Ω0
a3
K
a2 R20 H 20
ΩΛ
heute: a
1 und H
H 0 ( per Definition);
H 20 H 20 Ω0
K
R20 H 20
ΩΛ
K
R20 H 20
1 Ω0 ΩΛ
Kosmologie fur die Schule – p.20/30
Die Krümmung
Friedmann-Gleichung:
7/23/2019 Bartelmann, Matthias & Kühnel, Tobias - Kosmologie Für Die Schule
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g
a
a
2
8πG
3
ρ0
a3
K
a2 R20
Λ
3 H 20
8πG
3 H 20
ρ0
a3
K
a2 R20 H 20
Λ
3 H 20
H 2 H 20Ω0
a3
K
a2 R20 H 20
ΩΛ
heute: a
1 und H
H 0 ( per Definition);
H 20 H 20 Ω0
K
R20 H 20
ΩΛ
K
R20 H 20
1 Ω0 ΩΛ
K wird durch die Summe aus beiden Dichteparametern bestimmt.
Kosmologie fur die Schule – p.20/30
Die Krümmung
Friedmann-Gleichung:
7/23/2019 Bartelmann, Matthias & Kühnel, Tobias - Kosmologie Für Die Schule
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a
a
2
8πG
3
ρ0
a3
K
a2 R20
Λ
3 H 20
8πG
3 H 20
ρ0
a3
K
a2 R20 H 20
Λ
3 H 20
H 2 H 20Ω0
a3
K
a2 R20 H 20
ΩΛ
heute: a
1 und H
H 0 ( per Definition);
H 20 H 20 Ω0
K
R20 H 20
ΩΛ
K
R20 H 20
1 Ω0 ΩΛ
K wird durch die Summe aus beiden Dichteparametern bestimmt.
In der Allgemeinen Relativitätstheorie legt K die Krümmung desRaumes fest.
Kosmologie fur die Schule – p.20/30
Die Friedmann-Gleichung
Mit diesem Ausdruck für K lässt sich die Friedmann-Gleichung infolgende Form bringen:
7/23/2019 Bartelmann, Matthias & Kühnel, Tobias - Kosmologie Für Die Schule
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folgende Form bringen:
a
a
2
H 20Ω0
a3
1 Ω0 ΩΛ
a2
ΩΛ
Kosmologie fur die Schule – p.21/30
Die Friedmann-Gleichung
Mit diesem Ausdruck für K lässt sich die Friedmann-Gleichung infolgende Form bringen:
7/23/2019 Bartelmann, Matthias & Kühnel, Tobias - Kosmologie Für Die Schule
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folgende Form bringen:
a
a
2
H 20Ω0
a3
1 Ω0 ΩΛ
a2
ΩΛ
Sie beschreibt, wie sich die Größe des Universums mit der Zeit ändert.
Kosmologie fur die Schule – p.21/30
Die Friedmann-Gleichung
Mit diesem Ausdruck für K lässt sich die Friedmann-Gleichung infolgende Form bringen:
7/23/2019 Bartelmann, Matthias & Kühnel, Tobias - Kosmologie Für Die Schule
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folgende Form bringen:
a
a
2
H 20Ω0
a3
1 Ω0 ΩΛ
a2
ΩΛ
Sie beschreibt, wie sich die Größe des Universums mit der Zeit ändert.
Die Änderung wird durch die Dichteparameter Ω0 und ΩΛ bestimmt.
Kosmologie fur die Schule – p.21/30
Die Friedmann-Gleichung
Mit diesem Ausdruck für K lässt sich die Friedmann-Gleichung infolgende Form bringen:
7/23/2019 Bartelmann, Matthias & Kühnel, Tobias - Kosmologie Für Die Schule
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folgende Form bringen:
a
a
2
H 20Ω0
a3
1 Ω0 ΩΛ
a2
ΩΛ
Sie beschreibt, wie sich die Größe des Universums mit der Zeit ändert.
Die Änderung wird durch die Dichteparameter Ω0 und ΩΛ bestimmt.Die Friedmann-Gleichung ist eine der ganz zentralen Gleichungen derKosmologie.
Kosmologie fur die Schule – p.21/30
Eine spezielle Lösung
Beobachtungen zeigen, dass
7/23/2019 Bartelmann, Matthias & Kühnel, Tobias - Kosmologie Für Die Schule
http://slidepdf.com/reader/full/bartelmann-matthias-kuehnel-tobias-kosmologie-fuer-die-schule 113/148
Ω0
ΩΛ 1 ist, also ΩΛ
1 Ω0
Kosmologie fur die Schule – p.22/30
Eine spezielle Lösung
Beobachtungen zeigen, dass
7/23/2019 Bartelmann, Matthias & Kühnel, Tobias - Kosmologie Für Die Schule
http://slidepdf.com/reader/full/bartelmann-matthias-kuehnel-tobias-kosmologie-fuer-die-schule 114/148
Ω0
ΩΛ 1 ist, also ΩΛ
1 Ω0
Damit vereinfacht sich die Friedmann-Gleichung zu:
a
a
2 H 20
Ω0
a3
1 Ω0
Kosmologie fur die Schule – p.22/30
Eine spezielle Lösung
Beobachtungen zeigen, dass
7/23/2019 Bartelmann, Matthias & Kühnel, Tobias - Kosmologie Für Die Schule
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Ω0
ΩΛ 1 ist, also ΩΛ
1 Ω0
Damit vereinfacht sich die Friedmann-Gleichung zu:
a
a
2 H 20
Ω0
a3
1 Ω0
Die Lösung dieser Gleichung lautet:
a
t
Ω0
1 Ω0sinh 3 1
Ω0 H 0t
2
2
3
(siehe
Anhang 3)Kosmologie fur die Schule – p.22/30
Größe und Alter des Universums
Diese Formel gibt an, wie sich das Universum mit der Zeit ausdehnt.
7/23/2019 Bartelmann, Matthias & Kühnel, Tobias - Kosmologie Für Die Schule
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Kosmologie fur die Schule – p.23/30
Größe und Alter des Universums
Diese Formel gibt an, wie sich das Universum mit der Zeit ausdehnt.Man kann a
t
umkehren:
7/23/2019 Bartelmann, Matthias & Kühnel, Tobias - Kosmologie Für Die Schule
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Man kann a t umkehren:
t
a
23 1 Ω0 H 0
arsinh a3
2 1
Ω0
Ω0
Kosmologie fur die Schule – p.23/30
Größe und Alter des Universums
Diese Formel gibt an, wie sich das Universum mit der Zeit ausdehnt.Man kann a
t
umkehren:
7/23/2019 Bartelmann, Matthias & Kühnel, Tobias - Kosmologie Für Die Schule
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Man kann a t umkehren:
t
a
23 1 Ω0 H 0
arsinh a3
2 1
Ω0
Ω0
Diese Formel zeigt, wie die Zeit während der Ausdehnung fortschreitet.
Kosmologie fur die Schule – p.23/30
Größe und Alter des Universums
Diese Formel gibt an, wie sich das Universum mit der Zeit ausdehnt.Man kann a
t
umkehren:
7/23/2019 Bartelmann, Matthias & Kühnel, Tobias - Kosmologie Für Die Schule
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Man kann a t umkehren:
t
a
23 1 Ω0 H 0
arsinh a3
2 1
Ω0
Ω0
Diese Formel zeigt, wie die Zeit während der Ausdehnung fortschreitet.
Heute ist definitionsgemäß a 1. Damit beträgt das Alter desUniversums
t 0 t
1
23 1 Ω0 H 0
arsinh 1
Ω0
Ω0
Kosmologie fur die Schule – p.23/30
Größe und Alter des Universums (II)
Für Ω0
0
3 und H 0
70 kmsMpc
wächst das
7/23/2019 Bartelmann, Matthias & Kühnel, Tobias - Kosmologie Für Die Schule
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sMpc
Universum, wie hier gezeigt.
Kosmologie fur die Schule – p.24/30
Größe und Alter des Universums (II)
Für Ω0
0
3 und H 0
70 kmsMpc
wächst das
7/23/2019 Bartelmann, Matthias & Kühnel, Tobias - Kosmologie Für Die Schule
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sMpc
Universum, wie hier gezeigt.
Heute ist a
t
1. Um dorthinzu kommen, braucht dasUniversum t 0
13 4MilliardenJahre.
Kosmologie fur die Schule – p.24/30
Größe und Alter des Universums (II)
Für Ω0
0
3 und H 0
70 kmsMpc
wächst das
7/23/2019 Bartelmann, Matthias & Kühnel, Tobias - Kosmologie Für Die Schule
http://slidepdf.com/reader/full/bartelmann-matthias-kuehnel-tobias-kosmologie-fuer-die-schule 122/148
p
Universum, wie hier gezeigt.
Heute ist a
t
1. Um dorthinzu kommen, braucht dasUniversum t 0
13 4MilliardenJahre.
Vor 7 5 Milliarden Jahren wardas Universum halb so großwie heute.
Kosmologie fur die Schule – p.24/30
Größe und Alter des Universums (II)
Für Ω0
0
3 und H 0
70 kmsMpc
wächst das
7/23/2019 Bartelmann, Matthias & Kühnel, Tobias - Kosmologie Für Die Schule
http://slidepdf.com/reader/full/bartelmann-matthias-kuehnel-tobias-kosmologie-fuer-die-schule 123/148
p
Universum, wie hier gezeigt.
Heute ist a
t
1. Um dorthinzu kommen, braucht dasUniversum t 0
13 4MilliardenJahre.
Vor 7 5 Milliarden Jahren wardas Universum halb so großwie heute.
Das Alter des Universums t 0nimmt ab, wenn derDichteparameter zunimmt.
Kosmologie fur die Schule – p.24/30
Zusammenfassung
Die Kosmologie nimmt an, dass das Universum homogen und isotropsei.
7/23/2019 Bartelmann, Matthias & Kühnel, Tobias - Kosmologie Für Die Schule
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Kosmologie fur die Schule – p.25/30
Zusammenfassung
Die Kosmologie nimmt an, dass das Universum homogen und isotropsei.
7/23/2019 Bartelmann, Matthias & Kühnel, Tobias - Kosmologie Für Die Schule
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Dann kann das Verhalten irgend eines kugelförmigen Ausschnitts als
Modell für das gesamte Universum dienen.
Kosmologie fur die Schule – p.25/30
Zusammenfassung
Die Kosmologie nimmt an, dass das Universum homogen und isotropsei.
7/23/2019 Bartelmann, Matthias & Kühnel, Tobias - Kosmologie Für Die Schule
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Dann kann das Verhalten irgend eines kugelförmigen Ausschnitts als
Modell für das gesamte Universum dienen.Auf ihn lässt sich das Newtonsche Gravitationsgesetz anwenden;zusätzlich muss die Energie erhalten sein.
Kosmologie fur die Schule – p.25/30
Zusammenfassung
Die Kosmologie nimmt an, dass das Universum homogen und isotropsei.
7/23/2019 Bartelmann, Matthias & Kühnel, Tobias - Kosmologie Für Die Schule
http://slidepdf.com/reader/full/bartelmann-matthias-kuehnel-tobias-kosmologie-fuer-die-schule 127/148
Dann kann das Verhalten irgend eines kugelförmigen Ausschnitts als
Modell für das gesamte Universum dienen.Auf ihn lässt sich das Newtonsche Gravitationsgesetz anwenden;zusätzlich muss die Energie erhalten sein.
Der Druck wirkt in der Allgemeinen Relativitätstheorie als zusätzlicheQuelle der Gravitation.
Kosmologie fur die Schule – p.25/30
Zusammenfassung
Die Kosmologie nimmt an, dass das Universum homogen und isotropsei.
7/23/2019 Bartelmann, Matthias & Kühnel, Tobias - Kosmologie Für Die Schule
http://slidepdf.com/reader/full/bartelmann-matthias-kuehnel-tobias-kosmologie-fuer-die-schule 128/148
Dann kann das Verhalten irgend eines kugelförmigen Ausschnitts als
Modell für das gesamte Universum dienen.Auf ihn lässt sich das Newtonsche Gravitationsgesetz anwenden;zusätzlich muss die Energie erhalten sein.
Der Druck wirkt in der Allgemeinen Relativitätstheorie als zusätzlicheQuelle der Gravitation.
Daraus lässt sich die Friedmann-Gleichung herleiten, die beschreibt,wie sich die Größe des Universums ändert bzw. wie alt das Universum
ist.
Kosmologie fur die Schule – p.25/30
Zusammenfassung
Die Kosmologie nimmt an, dass das Universum homogen und isotropsei.
D k d V h l i d i k lf A h l
7/23/2019 Bartelmann, Matthias & Kühnel, Tobias - Kosmologie Für Die Schule
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Dann kann das Verhalten irgend eines kugelförmigen Ausschnitts als
Modell für das gesamte Universum dienen.Auf ihn lässt sich das Newtonsche Gravitationsgesetz anwenden;zusätzlich muss die Energie erhalten sein.
Der Druck wirkt in der Allgemeinen Relativitätstheorie als zusätzlicheQuelle der Gravitation.
Daraus lässt sich die Friedmann-Gleichung herleiten, die beschreibt,wie sich die Größe des Universums ändert bzw. wie alt das Universum
ist.
Heute ist das Universum etwa 13 4Milliarden Jahre alt.
Kosmologie fur die Schule – p.25/30
Anhang I: Zeitliche Ableitungen
Alle Größen in der Kugel können nur von der Zeit t abhängen:
7/23/2019 Bartelmann, Matthias & Kühnel, Tobias - Kosmologie Für Die Schule
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Kosmologie fur die Schule – p.26/30
Anhang I: Zeitliche Ableitungen
Alle Größen in der Kugel können nur von der Zeit t abhängen:Radius R
t
, Dichte ρ
t
, Druck P
t
usw.
7/23/2019 Bartelmann, Matthias & Kühnel, Tobias - Kosmologie Für Die Schule
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Kosmologie fur die Schule – p.26/30
Anhang I: Zeitliche Ableitungen
Alle Größen in der Kugel können nur von der Zeit t abhängen:Radius R
t
, Dichte ρ
t
, Druck P
t
usw.
7/23/2019 Bartelmann, Matthias & Kühnel, Tobias - Kosmologie Für Die Schule
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Ableitungen nach der Zeit werden durch Punkte gekennzeichnet:
˙ f
t
d f
t
dt
¨ f
t
d2 f
t
dt 2
d
dt
d f
t
dt
zurück
Kosmologie fur die Schule – p.26/30
Anhang II: Druck und Bewegung (1)
Ein Teilchen der Masse mbewege sich mit derGeschwindigkeit vx auf eine
vx
7/23/2019 Bartelmann, Matthias & Kühnel, Tobias - Kosmologie Für Die Schule
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Geschwindigkeit v x auf eineWand zu.
Kosmologie fur die Schule – p.27/30
Anhang II: Druck und Bewegung (1)
Ein Teilchen der Masse mbewege sich mit derGeschwindigkeit vx auf eine
vx
7/23/2019 Bartelmann, Matthias & Kühnel, Tobias - Kosmologie Für Die Schule
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Geschwindigkeit v x auf eineWand zu.
Dort wird es reflektiert undfliegt mit der Geschwindigkeit
v x zurück.
−vx
Kosmologie fur die Schule – p.27/30
Anhang II: Druck und Bewegung (1)
Ein Teilchen der Masse mbewege sich mit derGeschwindigkeit vx auf eine
vx
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g x
Wand zu.
Dort wird es reflektiert undfliegt mit der Geschwindigkeit
v x zurück.
Sein Impuls ändert sich alsoum
∆ p 2mv x
2vx
−vx
Kosmologie fur die Schule – p.27/30
Anhang II: Druck und Bewegung (2)
Die Dichte der Teilchen sei n.Pro Zeiteinheit t fliegen
Wand
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N
1
2 A v
xt n
Teilchen gegen die Fläche A
(die andere Hälfte fliegt in die
andere Richtung).
Wand
Fläche
Avx
t
Kosmologie fur die Schule – p.28/30
Anhang II: Druck und Bewegung (2)
Die Dichte der Teilchen sei n.Pro Zeiteinheit t fliegen
1 Wand
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N
1
2 A v
x
t n
Teilchen gegen die Fläche A
(die andere Hälfte fliegt in die
andere Richtung).Die gesamte Impulsänderungin der Zeit t ist also
N ∆ p A v2 x
n mt
Wand
Fläche
Avx
t
Kosmologie fur die Schule – p.28/30
Anhang II: Druck und Dichte
Impulsänderung pro Zeit istKraft:
N∆p
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F
N ∆ p
t
A m n v2 x
Kosmologie fur die Schule – p.29/30
Anhang II: Druck und Dichte
Impulsänderung pro Zeit istKraft:
N∆p
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F
N ∆ p
t
A m n v2 x
Kraft pro Fläche ist Druck,
P
F A
m n v2 x
wobei m n ρ die
Massendichte ist.
Kosmologie fur die Schule – p.29/30
Anhang II: Druck und Dichte
Impulsänderung pro Zeit istKraft:
N∆p
Keine Bewegungsrichtung istbevorzugt, also
2
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F
N ∆ p
t
A m n v2 x
Kraft pro Fläche ist Druck,
P
F A
m n v2 x
wobei m n ρ die
Massendichte ist.
¯v2 x
¯v2 y
¯v2 z
v2
3
und damit P
ρ v2
3
.
Kosmologie fur die Schule – p.29/30
Anhang II: Druck und Dichte
Impulsänderung pro Zeit istKraft:
N∆p
Keine Bewegungsrichtung istbevorzugt, also
2
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F
N ∆ p
t
A m n v2 x
Kraft pro Fläche ist Druck,
P
F A
m n v2 x
wobei m n ρ die
Massendichte ist.
¯v2 x
¯v2 y
¯v2 z
v2
3
und damit P
ρ v2
3
.
Für relativistische Teilchen(z.B. Photonen) ist v
c, also
P
ρc2
3
zurück Kosmologie fur die Schule – p.29/30
Anhang III: Der hyperbolische Sinus
sinh
x
ist der hyperbolischeSinus,
i h 1
x x
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sinh x
2
e x e x
Kosmologie fur die Schule – p.30/30
Anhang III: Der hyperbolische Sinus
sinh
x
ist der hyperbolischeSinus,
i h 1
x x
7/23/2019 Bartelmann, Matthias & Kühnel, Tobias - Kosmologie Für Die Schule
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sinh x
2
e x e x
Ableitung:
sinh
x
1
2
e x
e x
cosh
x
(hyperbolischer Cosinus)
Kosmologie fur die Schule – p.30/30
Anhang III: Der hyperbolische Sinus
sinh
x
ist der hyperbolischeSinus,
i h 1
x x
7/23/2019 Bartelmann, Matthias & Kühnel, Tobias - Kosmologie Für Die Schule
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sinh x
2
e x e x
Ableitung:
sinh
x
1
2
e x
e x
cosh
x
(hyperbolischer Cosinus)
cosh2
x
1
sinh2
x
Kosmologie fur die Schule – p.30/30
Anhang III: Der hyperbolische Sinus
sinh
x
ist der hyperbolischeSinus,
sinh
x 1
ex e x
Umkehrfunktion:sinh
1
x
arsinh
x
ln
x
1
x2
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sinh x
2
e x e x
Ableitung:
sinh
x
1
2
e x
e x
cosh
x
(hyperbolischer Cosinus)
cosh2
x
1
sinh2
x
ln x 1 x2
(hyperbolischer Area-Sinus)
Kosmologie fur die Schule – p.30/30
Anhang III: Der hyperbolische Sinus
sinh
x
ist der hyperbolischeSinus,
sinh
x
1
e x e x
Umkehrfunktion:sinh
1
x
arsinh
x
ln
x
1
x2
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sinh x
2
e e
Ableitung:
sinh
x
1
2
e x
e x
cosh
x
(hyperbolischer Cosinus)
cosh2
x
1
sinh2
x
ln x 1 x
(hyperbolischer Area-Sinus)
Kosmologie fur die Schule – p.30/30
Anhang III: Der hyperbolische Sinus
sinh
x
ist der hyperbolischeSinus,
sinh
x
1
e x e x
Umkehrfunktion:sinh
1
x
arsinh
x
ln
x
1
x2
7/23/2019 Bartelmann, Matthias & Kühnel, Tobias - Kosmologie Für Die Schule
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sinh x
2
e e
Ableitung:
sinh
x
1
2
e x
e x
cosh
x
(hyperbolischer Cosinus)
cosh2
x
1
sinh2
x
ln x 1 x
(hyperbolischer Area-Sinus)
Kosmologie fur die Schule – p.30/30
Anhang III: Der hyperbolische Sinus
sinh
x
ist der hyperbolischeSinus,
sinh
x
1
e x e x
Umkehrfunktion:sinh
1
x
arsinh
x
ln
x
1
x2
7/23/2019 Bartelmann, Matthias & Kühnel, Tobias - Kosmologie Für Die Schule
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sinh x
2
e e
Ableitung:
sinh
x
1
2
e x
e x
cosh
x
(hyperbolischer Cosinus)
cosh2
x
1
sinh2
x
ln x 1 x
(hyperbolischer Area-Sinus)
Kosmologie fur die Schule – p.30/30