ESERCIZI ALGEBRA 1

19-03-2015

(1) Consideriamo i seguenti sottoinsiemi di Q:

A := {a/b; a, b ∈ Z, b 6= 0,MCD(a, b) = 1, b pari}B := {a/b; a, b ∈ Z,MCD(a, b) = 1, b dispari}

Stabilire se A e/o B sono anelli (le operazioni sono quelle di Q)

(2) Sia A l’insieme delle applicazioni fa,b : R→ R definite ponendo f(x) = ax + b, con a, b ∈ R, a 6= 0. Si tratta di un gruppo

rispetto alla composizione di applicazioni? E commutativo?

(3) Dimostrare che l’insieme delle matrici n× n su un cammpo K o su un anello R e un anello rispetto alle usuali definizione

di somma elemento per elemento e di moltiplicazione righe per colonne.(4) Sia R un anello e X un insieme non vuoto e si consideri l’insieme RX := {f : X → R} con le seguenti operazioni:

(f + g)(x) := f(x) + g(x)

(f · g)(x) := f(x)g(x)

per ogni f , g in RX , per ogni x ∈ X. Allora (RX ,+, ·) e un anello commutativo se e solo se R e commutativo ed e un

anello unitario se e solo se R e unitario.(5) Siano R1 e R2 due anelli, mostrare che il prodotto cartesiano R1 ×R2 con le operazioni:

(a1, a2) + (b1, b2) := (a1 + b1, a2 + b2)

(a1, a2) · (b1, b2) := (a1b1, a2b2)

e un anello (tale anello si chiama somma diretta di R1 e R2 e si indica spesso con R1 ⊕R2).

(6) Sia F un campo, mostrare che l’insieme tutti gli elementi non nulli di F sono un gruppo rispetto alla moltiplicazionedefinita in F .

(7) Siano a e b in Z, calcolare MCD(a, b) e scrivere un’identita di Bezout nei seguenti casi:

a = 3256, b = −124; a = −123478, b = 972; a = 21344, b = 5484; a = 6822, b = 861.

(8) Stabilire se l’equazione diofantea

150x− 210y = −18

ammette soluzioni. In caso affermativo, trovarne una e dire se e unica.

(9) Data la successione di Fibonacci:

F0 = 1, F1 = 1, F2 = 2, F3 = 3, F4 = 5, . . . , Fn+1 = Fn−1 + Fn

Trovare con l’algoritmo euclideo MCD(Fn, Fn+1)(10) Si costruisca la tavola moltiplicativa delle unita dei quaternioni.

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