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Bases en espacios de Banach

Pablo Calderón

Mayo de 2014

Resumen

En el presente trabajo estudiamos brevemente algunas bases enespacios de Banach separables.

En la primer sección recordamos resultados de Análisis Funcionaly algunas notaciones. Las demostraciones de esta sección se puedenver de [3]. Asimismo, las que no aparecen a lo largo del trabajo tendránsu correspondiente referencia bibliográfica.

El esqueleto de este trabajo es el capítulo 1 de [8]. Con el que em-pezamos a hablar por bases de Schauder. En la misma sección hablamosde sucesiones completas y vemos un criterio suficiente para que seanbases de Schauder. Además aparecen los funcionales coeficiente.

En la sección 3 definimos sucesiones básicas e introducimos la no-ción de biortogonalidad. Vemos el primer resultado donde los funcio-nales coeficiente son base del espacio dual X∗.

Bases incondicionales son la primera parte de la sección 4, tomadasde [2]. Exhibimos algunos resultados que serán necesarios para laúltima sección. Para introducir las bases menos conocidas, como basesbloque, bases de Auerbach y de Markushevich, recurrimos a [4].

Dejamos la última sección, extraída mayormente de [2], para verbases de Riesz en espacios de Hilbert. Definimos minimalidad y suce-siones de Bessel, para terminar el trabajo con un teorema que vinculaestos conceptos con los vistos en las secciones anteriores.

Índice

1. Preliminares 11.1. TIA y TFI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2. Hanh Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3. Propiedades duales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

i

Trabajo Final de Análisis Funcional Hanh Banach

1.4. PAU y Banach Steinhaus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.5. Propiedades de un espacio de Hilbert . . . . . . . . . . . . . 31.6. Teorema de representación de Riesz . . . . . . . . . . . . . . 31.7. Bases ortonormales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2. Bases de Schauder 42.1. Sucesiones completas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.2. Funcionales coeficiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3. Dualidad 163.1. Biortogonalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

4. Algunas bases en Espacios de Banach 194.1. Bases incondicionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194.2. Bases bloques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214.3. Bases de Auerbach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244.4. Bases de Markushevich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

5. Biortogonalidad y bases de Riesz 275.1. Bases de Riesz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

Bibliografía 38

1. Preliminares

1.1. TIA y TFI

Teorema 1.1 Teorema de la imagen abierta: sean E y F dos espacios deBanach. Si T ∈ L(E, F) es sobre, entonces T es abierto.

Corolario 1.2 Teorema de la función inversa: Sean E y F dos espacios deBanach. Si T es biyectivo entonces T−1 es continua.

1.2. Hanh Banach

Teorema 1.3 Sea E un espacio normado. Sea S ⊆ E un subespacio yφ ∈ S∗.Entonces existe un funcional Φ ∈ E∗ que cumple

1. Φ extiende a φ, i.e. Φ(y) = φ(y) para todo y ∈ S.

Departamento de Matemática - UNLP 1

Trabajo Final de Análisis Funcional PAU y Banach Steinhaus

2. ||Φ||E∗ =∣∣∣∣∣∣φ

∣∣∣∣∣∣S∗

.

Recordamos la inmersión en el doble dual de un espacio normado E paraconsiderar la definición de espacio de Banach reflexivo:

Definición 1.4 La inmersión canónica JE : E→ E∗∗ se define por

JEx = Jx ∈ E∗∗ con Jx(φ) = φ(x), para todo φ ∈ E∗.

Definición 1.5 El espacio E se dice reflexivo si la isometría JE es sobre.

1.3. Propiedades duales

Proposición 1.6 Si T ∈ L(E, F) y S ∈ L(F,G), con E, F y G espacios norma-dos.

1. (ST)∗ = T∗S∗

2. Si T es un iso, entonces T∗ hace que E∗ y F∗ sean isomorfos, con(T∗)−1 = (T−1)∗.

3.∣∣∣∣∣∣y∣∣∣∣∣∣ = supφ∈B∗

F|φ(y)|, para todo y ∈ F.

4. ||T|| = ||T∗||

1.4. PAU y Banach Steinhaus

Teorema 1.7 (Principio de acotación uniforme)Sean E y F dos espacios deBanach. Entonces toda familia (Ti)i∈I de operadores en L(E, F) tal que paratodo x ∈ E

Mx = supi∈I ||Tix||F < ∞ (puntualmente acotada)

implica que supi∈I ||Ti||L(E,F) < ∞ (uniformemente acotada en BE).

Corolario 1.8 (Teorema de Banach Steinhaus)Sean E y F dos espacios deBanach y (Tn)n∈N familia de operadores en L(E, F) tal que para todo x ∈ Eexiste un yx ∈ F tal que

Tnx→ yx,

entonces valen las siguientes propiedades:


Trabajo Final de Análisis Funcional Bases ortonormales

1. La sucesión es acotada, o sea que M = supn∈N ||Tn|| < ∞.

2. El operador T : E→ F dado por

Tx = yx = lımn→∞

Tnx

es lineal, acotado y tiene ||T|| ≤ M.

1.5. Propiedades de un espacio de Hilbert

Teorema 1.9 Sea H un espacio de Hilbert y x, y ∈ H.

1. Cauchy-Schwarz:

|〈x, y〉| ≤ ||x||∣∣∣∣∣∣y∣∣∣∣∣∣

2. ||x|| = sup||y||=1|〈x, y〉|

1.6. Teorema de representación de Riesz

Teorema 1.10 (Riesz)Sea H un espacio de Hilbert. La aplicación R : H →H∗ dada por

R(y) = φy

conφy(x) = 〈x, y〉

es un anti-isomorfismo isométrico de H sobre H∗. Es decir, para todo φ en

H∗ existe un único y ∈ H tal que φ = 〈., y〉, que además cumple∣∣∣∣∣∣φ

∣∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣∣y∣∣∣∣∣∣.

1.7. Bases ortonormales

Teorema 1.11 Sea H un espacio de Hilbert y B = {vi : i ∈ I} ⊂ H unasucesión ortonormal de H. Son equivalentes:

1. {xn} es completa.

2. {xn} es una base ortonormal.

3. Cada x ∈ H se representa unívocamente como una serie de coeficien-tes:

x =∑

i∈I

〈x, vi〉vi, para todo x ∈ H

donde la convergencia de la serie es con la norma de H.


Trabajo Final de Análisis Funcional Bases de Schauder

4. Para todo x ∈ H

||x||2 =∑

i∈I

|〈x, vi〉|2 (identidad de Parseval).

2. Bases de Schauder

Introducidas por J. Schauder en 1927, las bases de Schauder no existenen cualquier espacio de Banach separable, como lo demostró Enflo en 1972.

Sea X un espacio de Banach de dimensión infinita sobre el cuerpo de losnúmeros reales o complejos.

Definición 2.1 Una sucesión de vectores {x1, x2, x3, ...} en un espacio deBanach de dimensión infinita X se dice base de Schauder si para cadavector x ∈ X le corresponde una única sucesión de escalares {c1, c2, ...} talque

x =

∞∑

n=1

cnxn,

es decir, ∣∣∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣∣∣x −

n∑

i=1

cixi

∣∣∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣∣∣→ 0 cuando n→∞.

Reservamos el término base para referirnos a bases de Schauder a lo largodel trabajo.

Observación 2.2 1. Es claro que un espacio de Banach con base debeser separable. Ya que si {xn} es una base para X, entonces el conjuntode las combinaciones lineales finitas

∑cnxn,

donde cn son escalares racionales (o de parte real e imaginaria racio-nales, si los cn son complejos), es numerable y denso en X. Por estarazón conjuntos como l∞, que no es separable, no pueden tener unabase.

2. Notar que se puede relajar un poco la condición de la definición: si



cada vector x ∈ X tiene una descomposición única∑

cnxn tal que

n∑

i=1

cixiw−→ x cuando n→∞,

esto también implica que {xi} es una base (p 146, [7]). Recordar queuna sucesión converge débilmente si converge para cada φ del dual(p. 155 de [3] ).

A continuación, definimos las proyecciones canónicas y vemos una re-lación con las bases.

Definición 2.3 Sea {x1, x2, x3, ...} una base de X. Las proyecciones canóni-cas Pn : X→ X se definen para todo n = 1, 2, 3, ... como

Pn

n∑

i=1

cixi

=

∞∑

i=1

cixi.

Cada Pn es una proyección lineal sobre el span{xi, i = 1, 2, ..., n}.

Proposición 2.4 Sea {xi} un base para un normado X. Las proyeccionescanónicas satisfacen:

1. dim(Pn(X)) = n,

2. PnPm = PmPn = Pmin(m,n)

3. Pn(x)→ x, para todo x ∈ X

Recíprocamente, si una sucesión de proyecciones {Pn}∞n=1

en un norma-do X cumplen los 3 ítems anteriores, entonces Pn son las proyeccionescanónicas asociadas a alguna base de X.

Demostración. Cada conjunto {xi}ni=1

es linealmente independiente, esto es1., para 2. basta hacer la cuenta y 3. es consecuencia se sigue de la definiciónde base.

Recíprocamente, si las proyecciones Pn satisfacen 1., 2. y 3. definiendoP0 = 0,



x = lımn→∞

Pn(x) = lımn→∞

(Pn(x) − P0(x))

= lımn→∞

n∑

i=1

(Pi(x) − Pi−1(x)) =

∞∑

i=1

(Pi(x) − Pi−1(x)).

Tomando 0 , ei ∈ Pi(X) ∩ Ker(Pi−1) para todo i = 1, 2, 3, ... y, comodim(Pn(X)/Pn−1(X)) = 1 (por 1. y 2.), para ciertos escalares αi se tiene que

∞∑

i=1

(Pi(x) − Pi−1(x)) =

∞∑

i=1

αiei.

Obtenemos así una expansión de x con los ei. La unicidad de los αi está

asegurada, ya que si x =∞∑

i=1βiei, Pn(x) =

n∑i=1βiei (por 3.). Luego

βiei = Pi(x) − Pi−1(x) = αiei.

Por lo tanto, {ei} es una base y Pn son sus proyecciones canónicas asociadas.�

Dos ejemplos clásicos de espacios de Banach con base:

Ejemplo 2.5 El espacio de Banach lp(1 ≤ p < ∞) está formado por todaslas infinitas sucesiones de escalares c = {c1, c2, c2, ...} tales que

||c||p =

∞∑

n=1

|cn|p

1/p

< ∞.

En cada uno de estos espacios la base natural es {e1, e2, e2, ...}, donde

en = (0, 0, ..., 0, 1, 0, ...),

tiene un 1 en el lugar n-ésimo. Para convencerse que este conjunto es unabase, basta expresar a c como

c =

∞∑

n=1

cnen.



Ejemplo 2.6 Consideremos ahora el espacio de Banach de las funcionescontinuas en el intervalo cerrado [a, b] (C[a,b]), con la norma

|| f || = max| f (x)|.

Por el teorema de aproximación de Weierstrass (p.172, [5]) sabemos quelos polinomios son densos en C[a,b], es decir, dado una función continuaf ∈ [a, b] y ε un número positivo, existe un polinomio P tal que

| f (x) − P(x)| ≤ ε

se cumple para todo x ∈ [a, b].

Más aún, tomando a f en [0, 1] (por simplicidad), podemos considerarlos polinomios de Bernstein

n∑

k=0

(n

k

)f

(k

n

)xk(1 − x)n−k, n = 1, 2, 3, ...

Como se puede ver en [5],

f (x) = lımn→∞

Bn(x)

uniformemente en [0, 1].

Dado que a cada polinomio lo podemos aproximar uniformemente enun intervalo cerrado por un polinomio con coeficientes racionales, estamosdiciendo que el espacio C[a,b] es separable. Lo que es coherente con laObservación 2.2(que todo Banach con base es separable). Veamos entoncesque C[a,b] tiene una base.

Teorema 2.7 El espacio C[a,b] tiene una base.

Demostración. Construiremos una base para C[a,b] formada por funcioneslineales a trozos fn(n = 0, 1, 2, ...).

Sea {x0, x1, x2, ...} un conjunto denso numerable de [a, b] con x0 = a yx1 = b. Sean

f0(x) = 1 y f1(x) =x − a

b − a.



Para n ≥ 2, el conjunto de puntos {x0, x1, ..., xn−1}particiona el intervalo [a, b]en intervalos abiertos disjuntos, uno de los cuales contiene a xn. LlamemosI a ese intervalo abierto contenedor. Definamos para cada n = 2, 3, 4, ...

fn(x) =

0 si x < I1 si x = xn

lineal caso contrario.

La sucesión { f0, f1, f2, ...} va a ser la base buscada.

Para cada f en C[a,b], denotamos por L0 f a la función constante f (x0) y porLn f a la función poligonal que coincide con f en cada uno de los puntosx0, x1, ..., xn. Como f es uniformemente continua en [a, b] es claro que

Ln f → f uniformemente en [a,b].

Luego, pensando en series telescópicas, podemos escribir

f = L0 f −

∞∑

n=1

(Ln−1 f − Ln f )

︸︷︷︸Lim(L0 f−Ln f )=L0 f− f

= L0 f +

∞∑

n=1

(Ln f − Ln−1 f ).

Mostraremos que para todo n = 1, 2, 3, ... existen escalares c1, c2, c3, ... talesque

Ln f − Ln−1 f = cn fn. (1)

Para esto definimos, recursivamente, una sucesión de funciones {g0 , g1, g2, ...}:

g0 = f (x0) f0 y gn = gn−1 + ( f − gn−1)(xn) fn (n = 1, 2, 3, ...)

Observamos, por inducción, que gn = Ln f : como gn es una función poligo-nal, para ver que gn = Ln f alcanza con ver que coincide con f en x0, x1, ..., xn.Es claro que esto vale para n = 0. Como fn(xn) = 1,

gn(xn) = gn−1(xn) + f (xn) fn(xn) − gn−1(xn) fn(xn) = f (xn).

Si i < n, fn(xi) = 0 por definición y, junto con la hipótesis inductiva (gn(xi) =f (xi)), se cumple que

gn(xi) = gn−1(xi) = f (xi).

Por lo tanto, tomando


Trabajo Final de Análisis Funcional Sucesiones completas

cn = ( f − Ln−1 f )(xn)

tenemos (1) y podemos decir que toda función de C[a,b] admite una repre-sentación de la forma

f =

∞∑

n=0

cn fn.

Si hubiera dos representaciones, f =∞∑

n=0an fn y f =

∞∑n=0

bn fn, sea N el menor

n para el cual an , bn. Luego, para todo x,

f (x) =

∞∑

n=N

an fn(x) =

∞∑

n=N

bn fn(x).

Tomando x = xN, como fn(xN) = 0 para n > N y fN(xN) = 1, se sigueque aN = bN, contradiciendo lo supuesto. Tenemos así la unicidad de larepresentación de f .

�

2.1. Sucesiones completas

Una base para un espacio de Banach tiene la propiedad que cada vectordel espacio puede ser aproximado por combinaciones lineales finitas deelementos de la base. A veces, para ver que algunas sucesiones de vectoresson base, alcanza con ver que cumplen esta propiedad.

Definición 2.8 Una sucesión de vectores {x1, x2, x3, ...} en un espacio vec-torial normado X se dice completa si su span es denso en X, esto es,span{xi} = X.

Observación 2.9 Se sigue de Hahn-Banach que la completitud de unasucesión de vectores {xn} en X es equivalente a la siguiente condición: si µestá en X∗ (el dual topológico de X) y µ(xn) = 0 (n=1,2,3,...), entonces µ = 0.Veamos algunos ejemplos que ilustran esta equivalencia.

Ejemplo 2.10 Sea (X,B, µ) un espacio de medida σ-finita y 1 ≤ p < ∞.El teorema de representación de Riesz muestra que el dual de Lp(µ) puede


Trabajo Final de Análisis Funcional Sucesiones completas

ser identificado con Lq(µ), donde 1/p + 1/q = 1(esto se puede ver de laspag. 22-23 de [3]). Con lo cual una sucesión { fn} de funciones en Lp(µ) serácompleta si

∫

X

fng dµ = 0 (n= 1, 2, 3,...) (2)

con g ∈ Lq(µ), implica que g = 0 en casi todo punto.

En el caso en queµ es una medida finita, como Lp(µ) ⊆ L1(µ), si (2) implicaque g = 0 ctp para g ∈ L1(µ), entonces la sucesión { fn} será completa paratodo p ≥ 1.

Ejemplo 2.11 En C[a,b] la sucesión {1, t, t2, ...} es completa por el teorema deWeierstrass de aproximación polinomial (citado anteriormente). Podemosdecir que si para g ∈ C[a,b] se cumple que

∫ b

a

tng(t) dµ = 0 (n= 0, 1, 2,...),

entonces g debe ser idénticamente cero. De hecho, si tomamos el funcionallineal

µ( f ) =

∫ b

a

f (t)g(t) dt,

éste resulta acotado en C[a,b] (i.e. µ ∈ C∗[a,b]

) y tal que µ(tn) = 0 para todo n.Dado que las potencias de t son completas, por la Observación 2.9 µ = 0 ypor lo tanto g tiene que ser idénticamente cero.

Ejemplo 2.12 La sucesión de potencias {1, t, t2, ...} es completa en Lp[a, b]para cualquier intervalo finito y 1 ≤ p < ∞. Esto se sigue fácil de los dosejemplos anteriores. Supongamos f ∈ L1[a, b] y

∫ b

a

tn f (t) dt = 0 (n= 0, 1, 2,...). (3)

Si definimos

F(t) =

∫ t

a

f (u) du, a ≤ t ≤ b,


Trabajo Final de Análisis Funcional Funcionales coeficiente

entonces F ∈ C[a,b] y F(a) = F(b) = 0(usando (3) con n = 0) . Integrando porpartes obtenemos que

0 =

∫ b

a

tn f (t) dt = −n

∫ b

a

tn−1F(t) dt = 0

para n= 1, 2,.... Por lo tanto, F = 0 lo que implica f = 0 ctp.

2.2. Funcionales coeficiente

Sea {x1, x2, x3, ...} una base para un espacio de Banach X. Cada vector xdel espacio tiene una expansión de la forma

x =

∞∑

n=1

cnxn.

Es claro que cada coeficiente cn es una función lineal de x. Si la denotamospor fn(x) = cn, podemos reescribir a x como

x =

∞∑

n=1

fn(x)xn.

Definición 2.13 Los funcionales fn (n=1, 2, 3,...) se llaman funcionalescoeficiente asociados a la base {x1, x2, x3, ...}.

Los funcionales coeficiente son continuos, como se ve en el siguienteteorema.

Teorema 2.14 Si {xn} es una base para el espacio de Banach X, los fun-cionales coeficiente asociados { fn} son acotados, esto es, fn ∈ X∗. Más aún,existe una constante M tal que

1 ≤ ||xn||.|| fn|| ≤M (n= 0, 1, 2,...).

Demostración. Consideremos el espacio vectorial Y que consiste de las su-

cesiones de escalares {cn} para las cuales la serie∞∑

n=1cnxn converge en X. Si

consideramos el número



|||{cn}||| := supn

∣∣∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣∣∣

n∑

i=1

cixi

∣∣∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣∣∣,

es claro que satisface las condiciones para ser norma. Veremos que Y dotadocon esta norma es un Banach isomorfo a X.

Primero, para tener a Y efectivamente como un Banach, vemos que(Y, |||.|||) es completo: sea {gm}m sucesión de Cauchy en Y, es decir, para cada

gm = (cmk

)∞k=1

,∞∑

k=1

cmk

xk converge para todo m y

|||gl − gm||| → 0.

Es claro que ∣∣∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣∣∣

∞∑

k=1

clkxk −

∞∑

k=1

cmk xk

∣∣∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣∣∣≤ |||gl − gm|||. (4)

Si fijamos k, la sucesión {clk}l es de Cauchy. Por lo que existe ck tal que cl

k→ ck

cuando l→∞. Dado ε > 0, para todo p ≤ q y para un l adecuado tal que

|c j − clj| <

ε

2(q − p + 1)(5)

se tiene que

∣∣∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣∣∣

q∑

i=p

cixi

∣∣∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣∣∣≤

∣∣∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣∣∣

q∑

i=p

cixi −

q∑

i=p

clixi +

q∑

i=p

clixi

∣∣∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣∣∣

≤

q∑

i=p

|ci − clj| +

∣∣∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣∣∣

q∑

i=p

clixi

∣∣∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣∣∣

< (q − p + 1)ε

2(q − p + 1)+ε

2= ε.

La última desigualdad se consigue acotando usando (5) y que

{n∑

i=1cl

ixi

}

n

es

de Cauchy. Esto nos dice que la serie

∞∑

i=1

cixi

es convergente y, tomando l,m→∞ en (4), se ve que gm → {ci}.



Ahora, para ver que Y y X son iso se considera la función T : Y → Xdefinida por

T({cn}) =

∞∑

n=1

cnxn.

T es obviamente lineal y por ser {xn} una base es inyectivo y suryectivo.Dado que ∣∣∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣∣∣

∞∑

n=1

cnxn

∣∣∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣∣∣≤ supn

∣∣∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣∣∣

n∑

i=1

cixi

∣∣∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣∣∣,

se tiene que T es continua. El TFI(Corolario 1.2) nos asegura que T−1 estambién continua. Tenemos así a X y a Y isomorfos.

Nos queda ver la doble desigualdad: si x =∞∑

n=1

cnxn, para todo n,

| fn(x)| = |cn| =||cnxn||

||xn||≤

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

n∑i=1

cixi +

n−1∑i=1

cixi

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

||xn||(6)

≤

2supn

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

n∑i=1

cixi

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

||xn||=

2||T−1x||

||xn||≤

2||T−1||.||x||

||xn||.

Es decir, cada fn es continuo y || fn|| ≤2||T−1||

||xn ||. Tomando M = 2||T−1|| tenemos

que||xn||.|| fn|| ≤M.

La otra desigualdad sale fácil de la definición y continuidad de fn:

1 = fn(xn) ≤ || fn||.||xn||.

�

Observación 2.15 Algunos autores llaman base de Schauder a una basecuyos funcionales coeficientes sean continuos, distinta a la considerada eneste trabajo. Este teorema muestra la equivalencia entras dichas definicio-nes.



Damos ahora la definición de operador suma parcial, que luego utiliza-mos al enunciar un criterio que determina cuando una sucesión completaes base.

Definición 2.16 Sea {xn} una base para el espacio de Banach X y { fn}

los funcionales coeficiente asociados. Para n = 1, 2, 3, ... el operador sumaparcial Sn es el operador lineal definido por

Sn(x) =

n∑

i=1

fi(x)xi.

Es clara la coincidencia de la proyección canónica Pn, de la definición2.3,con el operador suma parcial Sn. El Teorema 2.14 implica que cada sumaparcial es acotada, y mirando la última desigualdad de (6) se tiene que

1 ≤ supn||Sn|| < ∞.

Observar que 1 = ||Sn(xn)

xn|| ≤ ||Sn||.

Terminamos la sección con el criterio anunciado:

Teorema 2.17 Una sucesión completa {xn} de vectores no nulos en unespacio de Banach X es una base para X si y sólo si existe una constante Mtal que ∣∣∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣∣∣

n∑

i=1

cixi

∣∣∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣∣∣≤M

∣∣∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣∣∣

m∑

i=1

cixi

∣∣∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣∣∣donde c1, ..., cm son escalares arbitrarios y n ≤ m.

Demostración. ⇒) Tomemos M = supn||Sn||. Como Sn(xi) = 0 si i > n, enton-ces

n∑

i=1

cixi = Sn

m∑

i=1

cixi

;

resta tomar normas a ambos lados para tener la desigualdad deseada.

⇐)Consideramos un vector fijo x y escalares {cin}ni=1

(que existen por lacompletitud) tales que



x = lımn→∞

n∑

i=1

cinxi.

Fijado k y para k < n < m tenemos por hipótesis

||(ckn − ckm)xk|| ≤ M

∣∣∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣∣∣

n∑

i=1

(cin − cim)xi

∣∣∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣∣∣≤M2

∣∣∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣∣∣

m∑

i=1

(cin − cim)xi

∣∣∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣∣∣

= M2

∣∣∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣∣∣

n∑

i=1

(cinxi −

m∑

i=1

cim)xi

∣∣∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣∣∣.

Cuando m, n→∞, la última expresión tiende a cero. Como xk , 0, podemosdecir que para cada k la sucesión {ckn}

∞n=1

es de Cauchy, por lo cual existe ellimite

ck = lımn→∞

ckn.

Una cuenta muy parecida a la que hicimos en el Teorema 2.14, al ver que(Y, |||.|||) es completo, muestra que

x =

∞∑

k=1

ckxk.

Terminamos la prueba mostrando que la representación es única. Paraesto es suficiente con ver que si

x =

∞∑

k=1

ckxk = 0

entonces ck = 0 para todo k. Fijados k y n ≥ k tenemos nuevamente porhipótesis que

||ckxk|| ≤M

∣∣∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣∣∣

∞∑

k=1

ckxk

∣∣∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣∣∣.

Tomar n→∞ implica que ||ckxk|| = 0 , y por lo tanto ck = 0 para todo k.

�

A la constante M del teorema se la suele llamar constante de base (basisconstant) y la notamos bc{xi}.


Trabajo Final de Análisis Funcional Dualidad

3. Dualidad

Supongamos que {xn} es una base para un espacio de Banach X y que{ fn} son sus funcionales coeficiente. En principio, no podríamos afirmarque { fn} son base de X∗. Por ejemplo, si X∗ no es separable ni siquieratendría una base. Por lo tanto, a menos que la sucesión { fn} sea completa,lo más que podemos esperar es que sea base de su span clausurado.

Definición 3.1 Una sucesión {xi} se dice sucesión básica si es una basepara span{xi}.

Observación 3.2 Algo similar al Teorema 5.4 sucede para sucesiones bá-sicas: {xi} es una sucesión básica si y sólo si existe K ≥ 1 tal que para todop ≤ q y escalares ti

∣∣∣∣∣∣t1x1 + t2x2 + ... + xptp

∣∣∣∣∣∣ ≤ K

∣∣∣∣∣∣t1x1 + t2x2 + ... + xqtq

∣∣∣∣∣∣ .

Teorema 3.3 Sea {xn} una base para un espacio de Banach X y sea { fn} susfuncionales coeficiente. Entonces { fn} es una sucesión básica y resulta que

f =

∞∑

n=1

f (xn) fn

para todo f ∈ span{ fn}.

Demostración. Observemos primero que el adjunto del operador Sn defini-do en 2.16 es el operador

S∗n f =

∞∑

n=1

f (xi) fi , f ∈ X∗.

Esto se ve claro de

(S∗n f )(x) = f (Snx) = f

n∑

i=1

f (xi)xi

=

n∑

i=1

f (xi) fi

(x).

Veamos que S∗n f → f , para todo f ∈ span{ fn}. Si f es combinación lineal

de los fi, es decir, f =m∑

i=1ci fi, entonces para todo n ≥ m


Trabajo Final de Análisis Funcional Dualidad

S∗n f =

n∑

i=1

f (xi) fi =

m∑

i=1

f (xi) fi = f . (7)

En este caso, trivialmente, S∗n f → f .

Ahora, si f es un elemento arbitrario de span{ fn}, dado ε > 0 podemos

encontrar g =m∑

i=1

ci fi tal que∣∣∣∣∣∣ f − g

∣∣∣∣∣∣ < ε

M+1, donde M = supn ||Sn|| < ∞.

Luego, para todo n ≥ m∣∣∣∣∣∣S∗n f − f

∣∣∣∣∣∣ ≤

∣∣∣∣∣∣S∗n f − S∗ng

∣∣∣∣∣∣ +

∣∣∣∣∣∣S∗ng − g

∣∣∣∣∣∣ +

∣∣∣∣∣∣g − f

∣∣∣∣∣∣ (8)

=

∣∣∣∣∣∣S∗n f − S∗ng

∣∣∣∣∣∣ +

∣∣∣∣∣∣g − f

∣∣∣∣∣∣ ≤

∣∣∣∣∣∣S∗n

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ f − g

∣∣∣∣∣∣ +

∣∣∣∣∣∣ f − g

∣∣∣∣∣∣

= (||Sn|| + 1)∣∣∣∣∣∣ f − g

∣∣∣∣∣∣ < ε.

Observando que por (7) S∗ng− g = 0 y por Proposición 1.6 ||Sn|| = ||S∗n||. Con

lo cual S∗n f → f .

Se tiene entonces que todo elemento de span{ fn} tiene al menos una

expansión de la forma f =∞∑

i=1

ci fi. Como f (xn) = cn para cada n, la expansión

es única y { fn} resulta un sucesión básica. �

Cuando X es un espacio de Banach reflexivo, { fn} es completo.

Teorema 3.4 Si {xn} es una base para un espacio de Banach reflexivo X,entonces los funcionales coeficiente asociados { fn} son una base para X∗.

Demostración. Por el teorema anterior, basta con ver que { fn} es completaen X∗. Supongamos que µ ∈ X∗∗ y que µ( fn) = 0 para n = 1, 2, 3, .... Veremosque µ = 0 (estamos usando que span{ fn}

⊥ = {0} sii span{ fn} = X). Sea J lainmersión canónica de X en X∗∗, i.e.

(Jx)( f ) = f (x)

para f ∈ X∗ y x ∈ X. Como X es reflexivo, µ = Jx para algún x. Porhipótesis, fn(x) = 0 para n = 1, 2, 3, .... Como {xn} es una base, tenemos que

x =∞∑

n=1fn(x)xn = 0. Por lo tanto, µ = 0. �

Definimos la noción de biortogonalidad, que comenzará a aparecer va-rias veces en las siguientes secciones.


Trabajo Final de Análisis Funcional Biortogonalidad

3.1. Biortogonalidad

Definición 3.5 Si {xi} son vectores en un espacio de Banach X, una suce-sión { fi} de funcionales en X∗ se llama biortogonal a {xi} si

fi(x j) = δi j

para todo i, j. Se dice que {xi, fi} son un sistema biortogonal en X × X∗.

Teorema 3.6 Sea {xn} una sucesión en un espacio de Banach X. Son equi-valentes:

1. {xn} es una base para X

2. existe una sucesión biortogonal {yn} ⊂ X∗ tal que para todo x ∈ X∗

x =∑

n

yn(x)xn.

3. {xn} es completa y existe una sucesión biortogonal {yn} ⊂ X∗ tal quepara todo x ∈ X∗

supN ||SNx|| < ∞.

Demostración. 1.⇒ 2.) Se sigue de lo visto en la sección 3.

2.⇒ 1.) Tenemos que ver la unicidad de la representación

x =∑

n

yn(x)xn.

Tomando x =∑n

cnxn, basta hacer la cuenta:

ym(x) =∑

n

cnym(xn) =∑

cnδnm = cm.

2. ⇒ 3.) Ya que x =∑n

yn(x)xn, para todo x, la sucesión {xn} resulta

completa. Más aún, comox = lım

N→∞SNx,

la sucesión {SNx} es convergente y por lo tanto acotada.

3.⇒ 2.) Observar que, por el PAU, podemos decir que

supN ||SN || < ∞.


Trabajo Final de Análisis Funcional Bases incondicionales

Exactamente la misma cuenta del Teorema 3.3, con las ecuaciones (7) y (8)(pero sin la estrella ∗) nos dice que

x =∑

n

yn(x)xn.

�

4. Algunas bases en Espacios de Banach

4.1. Bases incondicionales

Como lo dijimos al principio, si {xn} es una base, para todo x existe unauna única sucesión de escalares {c1, c2, ...} tal que

x =

∞∑

n=1

cnxn.

Pero esta serie no necesariamente converge incondicionalmente. Recorda-mos la definición de convergencia incondicional:

Definición 4.1 Sea {xn} una sucesión en un espacio de Banach. La serie∑xn converge incondicionalmente si

∑xσ(n) converge para cada permu-

tación σ de los números naturales.

Como vimos en la sección anterior, a cada base {xn} se le puede asignaruna única sucesión de funcionales coeficiente { fn}. En adelante, notaremoseste hecho como ({xn}, { fn}). Con esta notación damos la base incondicional.

Definición 4.2 ({xn}{ fn}) es una base incondicional si la serie

x =∑

fn(x)xn

converge incondicionalmente para todo x ∈ X.

Lema 4.3 (p. 58 de [2])Sea {xn} una sucesión en un espacio de Banach X,son equivalentes:

1. {xn} es una base incondicional.


Trabajo Final de Análisis Funcional Bases incondicionales

2. {xσ(n)} es una base para cualquier permutación σ deN.

Observación 4.4 Si H es un espacio de Hilbert, toda base ortonormal {en}

es una base incondicional.

Demostración. Sea σ un permutación de N. Tenemos que ver la sucesión{eσ(n)} sigue siendo una bon. Sea x ∈ H, por Teorema 1.11,

||x||2 =∑|〈x, en〉|

2 < ∞.

La serie de números reales∑|〈x, en〉|

2 converge absolutamente y por lotanto converge incondicionalmente (p.292 de [5]). Luego

||x||2 =∑|〈x, eσ(n)〉|

2=

∑|〈x, en〉|

2= ||x||2 .

El Teorema 1.11 implica que {eσ(n)} es una base ortonormal. Como esto valepara cualquier σ, por el lema anterior, {en} es una base incondicional.

�

Proposición 4.5 Sea {xn} una base incondicional. Si S : X → Y es unisomorfismo, entonces {Sxn} es una base incondicional en Y. Además, si{xn} es acotado, también lo será {Sxn}.

Demostración. Siσ es una permutación deN, sabemos que {xσ(n)} es una basepara X. Es fácil de ver que los isomorfismos preservan bases (p.30 de [8]),con lo cual {Sσ(n)} resulta una base. Como esto vale para todo permutaciónσ, {Sxn} es incondicional.

Si suponemos a {xn} acotada, {Sxn} es acotada pues

||xn|| =∣∣∣∣∣∣S−1Sxn

∣∣∣∣∣∣ ≤

∣∣∣∣∣∣S−1

∣∣∣∣∣∣ ||Sxn|| .

�

Proposición 4.6 (p.57 de [2]) Sea H un espacio de Hilbert. Entonces({xn}{yn}) es una base, base incondicional o acotada si sólo si ({yn}, {xn})es una base, base incondicional o acotada, respectivamente.


Trabajo Final de Análisis Funcional Bases bloques

4.2. Bases bloques

Definición 4.7 Sean {xi}, {wi} bases para un espacio de Banach X. Decimosque son equivalentes si para toda sucesión de escalares {ai},

∑aixi converge

si y sólo si∑

aiwi.

Damos la siguiente relación de bases equivalentes, que usaremos másadelante:

Teorema 4.8 Sean {xi} y {yi} bases para un espacio de Banach X. Sonequivalentes si y sólo sí existe un operador T : X→ X acotado e inversibletal que Txn = yn.

Demostración. Si existe el operador T es fácil de ver que las bases sonequivalentes. Veamos que es suficiente que son equivalentes para queexiste ese T.

Dado x ∈ X, con x =∞∑

n=1

cnxn, por hipótesis∞∑

n=1

cnyn también converge, a

un vector que definimos como Tx. Es claro que la función T así definidaes lineal, biyectiva y que cumple Txn = yn. Para ver que es inversibledefinimos las funciones

Tnx =

n∑

i=1

ciyi,

que son continuas por el Teorema 2.14. Se sigue de Banach-Steinhaus queT es acotado. �

Definición 4.9 Sea {xi} una sucesión básica en un espacio de Banach X.Se llama base bloque(block basis) a una sucesión de vectores no nulos {u j}

de la forma

u j =

p j+1∑

i=p j+1

aixi

con pi escalares tales que p1 < p2 < ... .

Observar que toda base bloque no tiene constante de base mayor a su



constante de base original: para k ≤ l tenemos que

∣∣∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣∣∣

k∑

j=1

α ju j

∣∣∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣∣∣=

∣∣∣∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣∣∣∣

k∑

j=1

α j

p j+1∑

i=p j+1

aixi

∣∣∣∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣∣∣∣=

∣∣∣∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣∣∣∣

k∑

j=1

p j+1∑

i=p j+1

α jaixi

∣∣∣∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣∣∣∣

≤ bc{xi}

∣∣∣∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣∣∣∣

l∑

j=1

p j+1∑

i=p j+1

α jaixi

∣∣∣∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣∣∣∣= bc{xi}

∣∣∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣∣∣

l∑

j=1

α ju j

∣∣∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣∣∣.

Enunciamos ahora un teorema cuya demostración se encuentra en [4](Teorema4.23), que lo necesitaremos para los últimos dos resultados de esta sección.

Teorema 4.10 Sea {xi} una sucesión básica en un espacio de Banach X ysea {x∗

i} los funcionales coeficiente de la base {xi}. Supongamos que {gi} es

una sucesión en X tal que∞∑

i=1

∣∣∣∣∣∣xi − gi

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣x∗

i

∣∣∣∣∣∣ = C < 1. Entonces:

1. {gi} es una sucesión básica en X equivalente a {xi}.

2. Si span{xi} es complementado en X(i.e. existe un subespacio cerradoT tal que span{xi} ⊕ T = X), entonces también lo es span{gi}.

3. Si {xi} es una base, también lo es {gi}. Más aún, si {g∗i} son los funcio-

nales coeficiente de {gi}, span{x∗i} = span{g∗

i}.

Teorema 4.11 Sea X un espacio de Banach con base {xi}. Si Y es un subespa-cio cerrado de X de dimensión infinita, entonces Y contiene un subespaciocerrado Z de dimensión infinita con una base que es equivalente a unabase bloque de {xi}.

Demostración. Sea K = bc{xi}. Dado p ∈N, sea Wp el subespacio de X:

Wp =

x ∈ X : x =

∞∑

i=p+1

aixi

= span{xi}i>p.

Como Wp ∩ Y tiene dimensión infinita, tomemos y ∈ SY ∩ Wp(SY es labola unitaria de Y). Construiremos las dos bases equivalentes en formainductiva.



Elijamos cualquier y1 =

∞∑i=1

a1ixi ∈ Y con

∣∣∣∣∣∣y1

∣∣∣∣∣∣ = 1. Como

n∑

i=1

a1i xi →

∞∑

i=1

a1i xi,

tomemos p1 ∈N tal que para u1 =

p1∑i=1

a1ixi se verifique que

∣∣∣∣∣∣y1 − u1

∣∣∣∣∣∣ < 1

4K.

Tomemos y2 =

∞∑i=1

a2ixi ∈ SY∩Wp1

y p2 ∈N tal que para u2 =

p2∑p1+1

a2ixi se tenga

que ∣∣∣∣∣∣y2 − u2

∣∣∣∣∣∣ < 1

2.22K.

Continuando de esta manera, obtenemos una base bloque {ui} de la base{xi}. Consideremos los funcionales coeficiente {u∗

i} asociados a la base {ui}.

Como∞∑

i=1

∣∣∣∣∣∣yi − ui

∣∣∣∣∣∣ < 1

2Ky

∣∣∣∣∣∣u∗i

∣∣∣∣∣∣ < 2bc{ui} ≤ 2K,

por Teorema 4.10, {y j} es una base en Y equivalente a {u j}. Con lo cual, elsubespacio Z = span{y j} cumple la propiedad deseada. �

Por su naturaleza de corolario, el siguiente resultado se puede deducirde este teorema. Sin embargo, exponemos aquí la demostración expuestaen el Teorema 3 de [1].

Corolario 4.12 Sea {xi} una base de un espacio de Banach X. Si la sucesión{yi} satisface estas condiciones

1. in fn

∣∣∣∣∣∣yn

∣∣∣∣∣∣ = ε > 0,

2. fi(yn)→ 0(i = 1, 2, ...);

entonces existe un subsucesión {ypn} que es una sucesión básica equi-valente a una base bloque de {xi}.

Demostración. Como fi(yn) → 0, podemos elegir sucesiones crecientes denúmeros enteros {pn}, {qn} tales que


Trabajo Final de Análisis Funcional Bases de Auerbach

4k

ε

∣∣∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣∣∣

∞∑

i=qn+1

fi(ypn)xi

∣∣∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣∣∣≤

1

2n+2,

4k

ε

∣∣∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣∣∣

qn∑

i=1

fi(ypn+1)xi

∣∣∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣∣∣≤

1

2n+2. (9)

Sea

zn =

qn+1∑

i=qn+1

fi(ypn+1)xi . (10)

Por 1., (9) y (10),

||zn|| ≥ ε/2 (n=1, 2,...), (11)

∞∑

n=1

4K

ε

∣∣∣∣∣∣zn − ypn

∣∣∣∣∣∣ < 1

2. (12)

Sea {hn} una sucesión biortogonal de {zn}. Por la desigualdad de la Ob-servación 3.2 vemos de (11) que

||hn|| ≤2K

1/2ε= 4K/ε.

Luego, por (12) y Teorema 4.10, {ypn} es una sucesión básica equivalente ala base bloque {zn}.

�

4.3. Bases de Auerbach

Sabemos que todo espacio de Banach finito-dimensional X tiene unabase de Hamel, la cual puede ser normalizada (es decir que los vectores dela base tengan norma 1). Sin embargo, no hay restricciones sobre la normade los funcionales coeficiente. El siguiente teorema muestra que se puedeelegir una base de Hamel tal que tanto sus vectores como sus funcionalestengan norma 1.


Trabajo Final de Análisis Funcional Bases de Auerbach

Definición 4.13 Sea X un espacio de Banach. Un sistema biortogonal

{xi, fi}i∈I en X × X∗ tal que para todo i ∈ I ||xi|| =∣∣∣∣∣∣ fi

∣∣∣∣∣∣ = 1 se llama base de

Auerbach.

Teorema 4.14 Sea X un espacio de Banach

1. Si dim(X) = n existe un base de Auerbach {xi, fi}ni=1

de X.

2. Si Y es un subespacio de X con dim(Y) = n, entonces existe unaproyección P de X en Y tal que ||P|| ≤ n

Demostración. 1. Sea {x1, ..., xn} una base de X. Para u1, ..., un ∈ BX = {x ∈X, ||x|| ≤ 1}, sea v(u1, ..., un) el determinante de la matriz cuya j-ésimafila tiene las coordenadas de u j en la base {x1, ..., xn}. La función |v|es continua en el compacto BX × ... × BX, entonces existe (e1, ..., en) ∈BX × ... × BX tal que

v(e1, ..., en) = max {|v(x1, ..., xn)|: (x1, ..., xn) ∈ BX × ... × BX}

Como los determinantes son homogéneos (v(αx) = αv(x), para todoα ≥ 0 y x ∈ X) en cada coordenada, ei ∈ SX. Como v(e1, ..., en) , 0, losvectores {ei} son linealmente independientes y resultan ser una basepara X. Para i = 1, ..., n, definimos fi ∈ X∗ por

fi(x) =v(e1, ..., ei−1, x, ei+1, ..., en)

v(e1, e2, ..., en).

Como fi(e j) = δi j, entonces {ei, fi} es un sistema biortogonal. Más aún,

sup{| f j(x)| : x ∈ BX} ≤ 1 para cada j. Luego∣∣∣∣∣∣ f j

∣∣∣∣∣∣ = 1 y {ei, fi}

ni=1

es unabase de Auerbach.

2. Sea {ei, fi}ni=1

una base de Auerbach en Y. Extendemos fi a funcionalesde norma 1 en X(por Hanh-Banach) y definimos el operador P : X→Y por

P(x) =

n∑

i=1

fi(x)ei.

Observar que para todo y =∑αiei ∈ Y, se tiene que αi = fi(y). Por

lo que P(y) =n∑

i=1fi(y)ei = y. Finalmente, si x ∈ X y ||x|| ≤ 1, entonces

||P(x)|| ≤n∑

i=1| fi(x)| ||ei|| ≤

n∑i=1

1 = n.

�


Trabajo Final de Análisis Funcional Bases de Markushevich

Observación 4.15 (de [6]) Este teorema nos dice, en particular, que enespacios de dos dimensiones siempre existe una base monótona (i.e., basescuyas proyecciones canónicas tengan norma 1). Esto deja de ser cierto paratres dimensiones; Bohnenblust probó que existe un espacio de Banach detres dimensiones que no admite bases monótonas. Todavía se desconoce sitodos los espacios de Banach de dimensión infinita contienen algún espaciode Banach con base monótona.

Otros problemas abiertos de espacios de Banach separables, refieren ala existencia de bases de Auerbach y de bases llamadas de Markushevich,definidas en la siguiente subsección.

4.4. Bases de Markushevich

Definición 4.16 Sea X un espacio de Banach. Un sistema biortogonal{xα, fα}α∈J en X se llama base de Markushevich de X si span{xα}α∈J = Xy { fα}α∈J separa puntos en X (para todo x, z ∈ X, z , x, existe fβ tal quefβ(x) , fβ(z)).

Claramente, toda base de un espacio de Banach X es una base de Mar-kushevich de X. Damos dos resultados vinculados a este tipo de bases.

Teorema 4.17 Sea X un espacio de Banach separable. Si {zi}i ⊂ X cumpleque span{zi}i = X y {gi}i ⊂ X∗ separa puntos de X, entonces existe una basede Markushevich {xi, fi} de X tal que

span{xi} = span{zi} y span{ fi} = span{gi}.

Demostración. Sean x1 = z1 y f1 = gk1/gk1

(z1), con k1 un número natural talque gk1

(z1) , 0. Sea h2 el menor entero tal que gh2< span{ f1}. Definimos

f2 = gh2− gh2

(x1) f1 y x2 = (zk2− f1(zk2

)x1)/ f2(zk2)

con k2 tal que f2(zk2) , 0. Sea h3 el menor entero tal que zh3

< span{x1, x2}.Tomemos

x3 = zh3− f1(zh3

)x1 − f2(zh3)x2 y f3 = (gk3

− gk3(x1) f1 − gk3

(x2) f2)/gk3(x3)

donde k3 es tal que gk3, 0. Continuando inductivamente, en el paso 2n,

construimos primero f2n; en el paso 2n+1, empezamos construyendo x2n+1.


Trabajo Final de Análisis Funcional Biortogonalidad y bases de Riesz

Se sigue que

span{zi}n1 ⊂ span{xi}

2n1 y span{gi}

n1 ⊂ span{ fi}

2n1 .

Claramente fi(x j) = δi j, span{xi} ⊂ span{zi} y span{ fi} ⊂ span{gi}. �

Teorema 4.18 Sea Z un subespacio cerrado de un espacio de Banach X.Toda base de Markushevich {xi, fi} de Z se puede extender a una base deMarkushevich de X.

Demostración. Extendemos fi a X, a las que denotamos fi. Sea {y j, φ j} unabase de Markushevich de X/Z (que es separable).

Para todo j elegimos y j ∈ y j y definimos ϕ j(x) = φ j(x) para x ∈ X. Obser-

var que ϕ j(xi) = 0 para todo i. Tenemos entonces que span{{xi} ∪ {y j}

}= X

y que { fi} ∪ {ϕ j} es una familia que separa puntos de X. Sean

z j = y j −

j∑

i=1

λi jxi y ψi =

∼

fi −

j∑

i=1

λi jφ j,

dondeλi j = fi(y j) para i , j yλii =12( fi(yi)−1). Luego,

{{xi} ∪ {z j}, {ψi} ∪ {ϕ j}

}

es una base de Markushevich de X que extiende a {xi, fi}. De hecho, de lasdefiniciones de z j y ψi es claro que span = X, {ψi} ∪ {ϕ j} separan puntosde X y que ψi extiende a fi en X. Una cuenta fácil muestra que forman unsistema biortogonal.

�

5. Biortogonalidad y bases de Riesz

Para empezar, observemos que si tenemos en un espacio de Hilbert(H, 〈, 〉) separable un sistema biortogonal {xi, fi}, por el Lema de Riesz exis-ten yi ∈ H tales que

fi(x) = 〈yi, x〉.

Luego, la condición de biortogonalidad de {xi, fi} se puede traducir a

〈yi, x j〉 = δi j.


Trabajo Final de Análisis Funcional Biortogonalidad y bases de Riesz

Definición 5.1 Una sucesión {xn} es minimal si para todo m

xm < span{xn}n,m

Proposición 5.2 Sea { fn} una sucesión en un espacio de Hilbert H.

1. { fn} tiene una sucesión biortogonal {gn} si y sólo si { fn} es minimal.

2. Si { fn} tiene una sucesión biortogonal, esta es única si y sólo si { fn} escompleta.

Demostración. 1. ⇒)Supongamos que { fn} tiene una sucesión biortogo-nal {gn}, es decir, para cada j

〈 fi, g j〉 = δi j.

Entonces f j < span{ fk}k, j y tenemos la minimalidad.

⇐)Supongamos que { fn} es minimal. Sea P j la proyección ortogonalsobre el subespacio span{ fk}k, j. Como { fn} es minimal, f j − P j f j , 0.Definimos

g j =(I − P) f j∣∣∣

∣∣∣(I − P j) f j

∣∣∣∣∣∣2.

Obteniendo una sucesión biortogonal, ya que para i , j

< fi, g j > =

⟨fi,

(I − P) f j∣∣∣∣∣∣(I − P j) f j

∣∣∣∣∣∣2⟩

=

⟨(I − P j) fi,

1∣∣∣∣∣∣(I − P j) f j

∣∣∣∣∣∣2

f j

⟩= 0

y

< f j, g j >=

⟨f j,

(I − P) f j∣∣∣∣∣∣(I − P j) f j

∣∣∣∣∣∣2⟩=

⟨(I − P) f j,

(I − P) f j∣∣∣∣∣∣(I − P j) f j

∣∣∣∣∣∣2⟩= 1.

Ahora, vemos las implicaciones de 2. usando la contrarrecíproca.

2. ⇒) Si {gn} es una sucesión biortogonal y { fn} no es completa, entoncesexiste h , 0 tal que

h ∈ spank{ fk}⊥.


Trabajo Final de Análisis Funcional Bases de Riesz

Entonces la sucesión {gn + h} es otra sucesión biortogonal, contradi-ciendo la unicidad.

⇐)Si {gn} y {hn} son dos sistemas biortogonales distintos, existe j talque b = g j − h j , 0 y se tiene que b ∈ spank{ fk}

⊥. Por lo tanto, { fk} noes completo.

�

Teorema 5.3 En un espacio de Hilbert, bases equivalentes tienen sucesio-nes biortogonales equivalentes.

Demostración. Sean {xn}y {yn}bases equivalentes y { fn}y {gn} sus respectivassucesiones biortogonales (únicas por Prop. 5.2). Por Teorema 3.4, { fn} y{gn} también son bases de H. Aplicamos el Teorema 4.8 y tomamos Tun operador acotado e inversible tal que Txn = yn, n = 1, 2, 3, .... PorProposición 1.6, T∗ es acotado e inversible. Fijado n, para todo m se tieneque

< T∗gn, xm >=< gn,Txn >=< gn, ym >= δnm =< fn, xm > .

La Prop. 5.2, nos da la unicidad que nos permite asegurar que T∗gn = fn.Lo que prueba la equivalencia entre { fn} y {gn}. �

En un espacio de Hilbert separable las bases más importantes son lasortonormales. De segunda importancia son aquellas bases equivalentes aalguna base ortonormal. Llamamos bases de Riesz a esas bases. Exhibimosen la siguiente subsección algunas propiedades de ellas.

5.1. Bases de Riesz

Definición 5.4 una base para un espacio de Hilbert es una base de Rieszsi es equivalente a una base ortonormal, es decir, si es la imagen de unabase ortonormal por un operador acotado inversible.

Observación 5.5 Una base de Riesz { fn} para un espacio de Hilbert es

1. es necesariamente acotada, es decir,

0 < in fn

∣∣∣∣∣∣ fn

∣∣∣∣∣∣ ≤ supn

∣∣∣∣∣∣ fn

∣∣∣∣∣∣ < ∞.



En efecto, si { fn}proviene de una base ortonormal {en}por un operadorinversible T:

1 =∣∣∣∣∣∣T−1Ten

∣∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣∣T−1 fn

∣∣∣∣∣∣ ≤

∣∣∣∣∣∣T−1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ fn

∣∣∣∣∣∣ .

Luego1

||T−1||≤

∣∣∣∣∣∣ fn

∣∣∣∣∣∣ ≤ ||T|| .

2. minimal; si se supone que existe j tal que Te j ∈ spank, j{Tek} se llega a

contradecir la minimalidad de la base ortonormal {ei}.

Proposición 5.6 Sea ({xn}, {yn}) una base para un espacio de Hilbert H.Son equivalentes:

1. {xn} es una base de Riesz.

2. {yn} es una base de Riesz.

3. {xn} y {yn} son equivalentes.

Demostración. Se deduce del Teorema 5.3. �

Los siguientes dos teoremas los utilizaremos en el teorema final deltrabajo. En [1] se da una justificación para el Teorema de Orlicz; el teoremaque le sigue corresponde al Teorema 9.7 de [2].

Teorema 5.7 (Teorema de Orlicz)Si {xn} es una sucesión en un espacio deHilbert H, entonces

∞∑

n=1

xn converge incondicionalmente ⇒

∞∑

n=1

||xn||2 .

Teorema 5.8 Sea {xn} una sucesión completa en un espacio de Banach Xtal que xn , 0 para todo n, son equivalentes.

1. {xn} es una base incondicional para X.

2. existe C ≥ 1, tal que para cualesquieras escalares c1, ..., cN y ε1, ..., εN =

±1, ∣∣∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣∣∣

N∑

n=1

εncnxn

∣∣∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣∣∣≤ C

∣∣∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣∣∣

N∑

n=1

cnxn

∣∣∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣∣∣.



Sucesiones de Bessel

Definición 6.9 Una sucesión {xn} en un espacio de Hilbert es una sucesiónde Bessel si existe B > 0 tal que para todo x ∈ H

∑

n

|〈x, xn〉|2 ≤ B ||x||2

Teorema 6.10 Si {xn} es una sucesión en un espacio de Hilbert H, entoncesson equivalentes:

1. {xn} es una base de Riesz para H.

2. {xn} es una base incondicional para H.

3. {xn} es una base para H y

∑

n

cnxn converge⇐⇒∑

n

|cn|2 < ∞

4. {xn} es completa en H y existen constantes A,B > 0 tales que

A

N∑

n=1

|cn|2 ≤

∣∣∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣∣∣

N∑

n=1

cnxn

∣∣∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣∣∣

2

≤ B

N∑

n=1

|cn|2.

5. Existe un producto interno [, ] de H equivalente a 〈, 〉 tal que {xn} esuna base ortonormal para H con respecto a [, ].

6. {xn} es una sucesión de Bessel completa que posee una sucesión bior-togonal {yn} completa que también es una sucesión de Bessel.

Demostración. 1. ⇒ 2.) Si {xn} es una base de Riesz, existe un operadorinversible S : H → H tal que Sen = xn, siendo {en} una base ortonormal.Observar que {en} es una base incondicional, por Observación 4.4, y porProp. 4.5, los isomorfismos preservan bases incondicionales. Luego {xn} esuna base incondicional.

1. ⇐⇒ 3.) Supongamos que {xn}. Las siguientes equivalencias pruebanesta doble implicación: por Teorema 4.8, si {en} es alguna base ortonormalde H

{xn} es base de Riesz⇐⇒ {xn} es equivalente a {en};



por definición,

{xn} es equivalente a {en} ⇐⇒ (ai),∑

aixi converge si y sólo si∑

aiei;

por Teorema 1.11:∑

aiei converge⇐⇒∑

n |cn|2 converge.

1. ⇒ 4.) Supongamos {xn} es una base de Riesz, entonces tenemos unisomorfismo S tal que Sen = xn y para cualesquieras escalares c1, c2, ..., cN

∣∣∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣∣∣

N∑

n=1

cnxn

∣∣∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣∣∣

2

=

∣∣∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣∣∣S

N∑

n=1

cnen

∣∣∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣∣∣

2

≤ ||S||2

∣∣∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣∣∣

N∑

n=1

|cn|2

∣∣∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣∣∣,

donde la última igualdad se deduce del Teorema 1.11). Análogamente,

N∑

n=1

|cn|2=

∣∣∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣∣∣

N∑

n=1

cnen

∣∣∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣∣∣

2

=

∣∣∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣∣∣S−1

N∑

n=1

cnxn

∣∣∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣∣∣

2

≤∣∣∣∣∣∣S−1

∣∣∣∣∣∣2∣∣∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣∣∣

N∑

n=1

cnxn

∣∣∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣∣∣

2

.

Entonces, se cumple 4. tomando A =∣∣∣∣∣∣S−1

∣∣∣∣∣∣−2

y B = ||S||2.

1.⇒ 5.) Suponiendo que {xn} es una base de Riesz con operador inversi-ble S y base ortonormal {en}, definamos

[x, y] = 〈Sx, Sy〉 y ||||x||||2 = (x, x) = 〈Sx, Sx〉 = ||Sx||2 .

Es fácil de ver que [, ] es un producto interno con ||||.|||| la correspondientenorma inducida. Se ve que estos productos internos son equivalentes delas siguientes desigualdades:

||||x||||2 = ||Sx||2 ≤ ||S||2 ||x||2 y ||x||2 = ||||S−1x||||2 ≤ ||||S−1||||2||||x||||.

Resta que veamos que {xn} es una base ortonormal. La ortogonalidadsale de la siguiente cuenta

[xm, xn] = 〈Sxm, Sxn〉 = 〈em, en〉 = δmn.

Para ver que {xn} es completo, supongamos que existe x ∈ X tal que [x, xn] =0 para todo n. Entonces

0 = [x, xn] = 〈Sx, Sxn〉 = 〈Sx, en〉.

Como {en} es completo, Sx = 0. Con lo cual x = 0, porque S era un iso.



1.⇒ 6.) Si {xn} es una base de Riesz, {xn} tiene una sucesión biortogonal{yn} que también es una base de Riesz, por Prop. 5.6. Por Teorema 3.6, paratodo x ∈ H tenemos que x =

∑〈x, yn〉xn. Como ya vimos que 1. implica 3.,

la convergencia de la serie implica que

∑

n

|〈x, yn|2 < ∞.

Por lo tanto {yn} es una sucesión de Bessel. Por Proposición 4.6, {yn} escompleta. Un argumento simétrico implica que {xn} es una sucesión deBessel completa.

2.⇒ 6.) Supongamos que ({xn}, {yn}) es una base incondicional acotada.Recordar que {yn} es la única sucesión tal que x =

∑〈x, yn〉xn, para x ∈ H.

Por Proposición 4.6, ({yn}, {xn}) también es una base incondicional acotada.Luego, x =

∑〈x, xn〉yn. Como consecuencia del Teorema de Orlicz, tenemos

que

x =∑|〈x, xn〉|

2∣∣∣∣∣∣yn

∣∣∣∣∣∣2 < ∞.

Pero como {yn} es acotada, existen C1,C2 tales que

0 < C1 <∣∣∣∣∣∣yn

∣∣∣∣∣∣ < C2 para todo n.

Entonces x =∑|〈x, xn〉|

2 < ∞, es decir, es Bessel. Algo análogo se hace paraver que {xn} es completa y de Bessel.

4.⇒ 1.) Sea {en} una base ortonormal para H. Para x ∈ X tenemos que

x =∑〈x, en〉en y

∑|〈x, en〉|

2= ||x||2 .

Elijamos M < N y definamos c1 = ... = cM = 0 y cn = 〈x, en〉 para n =M + 1, ...,N. Por hipótesis,

∣∣∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣∣∣

N∑

n=M+1

〈x, en〉xn

∣∣∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣∣∣

2

=

∣∣∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣∣∣

N∑

n=1

cnxn

∣∣∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣∣∣

2

≤ B

N∑

n=1

|cn|2= B

N∑

n=M+1

|〈x, en〉|2.

ComoN∑

n=M+1|〈x, en〉|

2 es una serie de números reales de Cauchy, tenemos que

N∑n=M+1

〈x, en〉xn es una serie de Cauchy en H, por lo que deberá converger.

Podemos definir entonces el operador lineal S : H → H,

Sx =∑〈x, en〉xn.



Por hipótesis y tomando N →∞ tenemos que

A ||x||2 = A∑|〈x, en〉|

2 ≤ ||Sx||2 ≤ B∑|〈x, en〉|

2= B ||x||2 . (13)

De lo cual deducimos que S es continua e inyectiva. Restringiéndonos alrango, por el TFI, también tenemos que S−1 : R(S) → H es continua. Porotro lado, como

Sem =

∑〈em, en〉xn = xn,

el rango de S contiene a cada xm. A fin de cuentas, estamos diciendo quecontiene al span{xn}, que es denso en H por la completitud de {xn}. Por esto,para ver que R(S) = H alcanza con ver que el rango de S es cerrado.

Tomamos una sucesión {yn} ⊂ R(S) que converja a cierto y ∈ H. Si xn ∈ Hson tales que Sxn = yn, {Sxn} es de Cauchy. Por (13)

A ||xm − xn|| ≤ Sxm − Sxn,

con lo cual {xn} también es de Cauchy, por lo que debe ser convergente aalgún x ∈ X. La continuidad de S nos dice que Sxn = yn → Sx. Concluimosque y = Sx y R(S) es cerrado.

Obtuvimos un operador inversible S que hace de {xn} una base de Riesz.

4.⇒ 2.) Sea N > 0. Defino an = δNn. Por lo supuesto,

A = A

N∑

n=1

|an|2 ≤

∣∣∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣∣∣

N∑

n=1

anxn

∣∣∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣∣∣

2

= ||xN||2=

∣∣∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣∣∣

N∑

n=1

∣∣∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣∣∣

2

≤ B

N∑

n=1

|an|2= B.

Tenemos así que {xn} está acotada por abajo y por arriba. En particular, estonos dice que cada xn es no nulo.

Tomemos escalares c1, ..., cN y ε1, ..., εN = ±1. Por hipótesis,

∣∣∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣∣∣

N∑

n=1

εncnxn

∣∣∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣∣∣

2

≤ B

N∑

n=1

|εncn|2= B

N∑

n=1

|cn|2 ≤

B

A

∣∣∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣∣∣

N∑

n=1

cnxn

∣∣∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣∣∣

2

.

Combinando esto, con la completitud de {xn} y el Teorema 5.8, implicanque {xn} es una base incondicional.

4.⇒ 3.) Como en el caso anterior, tomamos N > 0 y definimos an = δNn.Cada xn es no nulo pues se tiene la cota inferior



A = A

N∑

n=1

|an|2 ≤

∣∣∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣∣∣

N∑

n=1

anxn

∣∣∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣∣∣

2

= ||xN||2 .

Para ver que {xn} es base, tomamos M < N y escalares c1, ..., cN. Por 4.,

∣∣∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣∣∣

M∑

n=1

cnxn

∣∣∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣∣∣

2

≤ B

M∑

n=1

|cn|2= B

N∑

n=1

|cn|2 ≤

B

A

∣∣∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣∣∣

N∑

n=1

cnxn

∣∣∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣∣∣

2

.

Análogamente a la implicación anterior, que la sucesión {xn} sea completa,con cada xn no nulo, por el Teorema 3.6 implica que {xn} es una base.

Nos falta ver que∑

cnxn converge si y sólo si∑|cn|

2 < ∞. Para esto,tomamos una sucesión de escalares (cn), y eligiendo M < N, definimosa1 = ... = aM = 0 y an = cn para n = M + 1, ...,N. Por hipótesis,

A

N∑

n=1

|an|2 ≤

∣∣∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣∣∣

N∑

n=1

anxn

∣∣∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣∣∣

2

≤ B

N∑

n=1

|an|2.

Por la definción de an

A

N∑

n=M+1

|cn|2 ≤

∣∣∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣∣∣

N∑

n=M+1

cnxn

∣∣∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣∣∣

2

≤ B

N∑

n=M+1

|cn|2.

Por lo tanto,∑

cnxn es una serie de Cauchy en H si sólo si∑|cn|

2 es unaserie de Cauchy de números reales.

5.⇒ 4.) Supongamos que (, ) es un producto interno en H con respecto alcual {xn} es una base ortonormal. Las normas inducidas por este productoy el que ya teníamos son equivalentes, i.e. existen A,B > 0 tales que

A||||x||||2 ≤ ||x||2 ≤ B||||x||||2 (14)

para todo x ∈ H.

Como {xn} es completo con la norma ||||.|||| y esta norma es equivalente a||.||, en consecuencia {xn} será completa con ||.||. Para verlo tomemos x ∈ Hy ε > 0. Como

span{xn} = H,

clausurando con la norma ||||.||||, existe y ∈ span{xn} tal que

||||y − xn|||| < ε.



Por (14), tenemos que ∣∣∣∣∣∣y − xn

∣∣∣∣∣∣ < B1/2ε.

Por lo tanto, el span{xn} también es denso con respecto a ||.||. Para ver lasdesigualdades, usamos la identidad de Parseval de 1.11 para ||||.|||| juntocon (14).

6.⇒ 3.) Como {xn} y {yn} son Bessel, existen constantes C,D > 0 tales que

∑

n

|〈x, xn〉|2 ≤ C ||x||2 y

∑

n

|〈x, yn〉|2 ≤ D ||x||2 , (15)

Veamos que ({xn}{yn}) es una base para H. Por Teorema 3.6 alcanza con ver

que sup ||SN || < ∞, siendo SN la suma parcial Snx =N∑

n=1〈x, yn〉xn.

||SNx||2 = sup||y||=1|〈SNx, y〉|2 por 1.9

= sup||y||=1

∥∥∥∥∥∥∥

N∑

n=1

〈x, yn〉〈xn, y〉

∥∥∥∥∥∥∥

2

≤ sup||y||=1

N∑

n=1

|〈x, yn〉|2

N∑

n=1

|〈xn, y〉|2

por Cauchy-Schwartz

≤ sup||y||=1D ||x||2 C∣∣∣∣∣∣y∣∣∣∣∣∣2 por (15)

= CD ||x||2 .

Por lo tanto, sup ||SN ||2≤ CD < ∞.

Por último veamos que∑

cnxn converge si y sólo si∑|cn|

2 < ∞. Supon-gamos que x =

∑cnxn converge. Como ({xn}{yn}) es una base, cn = 〈x, yn〉.

La convergencia de∑|cn|

2 se deduce de (15):

∑|cn|

2=

∑

n

|〈x, yn〉|2 ≤ D ||x||2 < ∞.

Recíprocamente, si∑|cn|

2 converge, para todo M < N,



∣∣∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣∣∣

N∑

n=M+1

cnxn

∣∣∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣∣∣

2

= sup||y||=1

∣∣∣∣∣∣∣〈

N∑

n=M+1

cnxn, y〉

∣∣∣∣∣∣∣

2

= sup||y||=1

∣∣∣∣∣∣∣

N∑

n=M+1

cn〈xn, y〉

∣∣∣∣∣∣∣

2

≤ sup||y||=1

N∑

n=M+1

|cn|2

N∑

n=M+1

|〈xn, y〉|2

por Cauchy-Schwartz

≤ sup||y||=1

N∑

n=M+1

|cn|2

C

∣∣∣∣∣∣y∣∣∣∣∣∣2

= C

N∑

n=M+1

|cn|2

�


Trabajo Final de Análisis Funcional Bibliografía

Bibliografía

[1] Bessaga C. and Pelczynski A. On bases and unconditional convergenceof series in banach spaces. Studia Math, 17:152–164, 1958. (citado enpáginas 23 y 30)

[2] Heil C. A basis theory primer. School of Matematics, Georgia Instituteof Technology, 1997. (citado en páginas i, 19, 20 y 30)

[3] Stojanoff D. Un Curso de Análisis Funcional. 2011. (citado en páginas i,5 y 10)

[4] Hájek P. Montesinos V. Fabian M., Habala P. and Zizler V. The Basis forLinear and Nonlinear Analysis. Springer, 2011. (citado en páginas i y 22)

[5] Bartle R. G. The elements of real analysis. John Wiley & Sons, Inc, 1976.(citado en páginas 7 y 20)

[6] Vanderwerff J. Hájek P., Montesinos V. and Zizler V. Biorthogonal Sys-tems in Banach Spaces. Springer, 2008. (citado en página 26)

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