bat dang thuc trong de thi dai hoc

tµi liÖu tham kh¶o

bÊt ®¼ng thøc ®¹i sèI.KiÕn thøc c¬n b¶n:1.C¸c bÊt d¼ng thøc th«ng dông:a) , .b)Cho , ta cã: .

.

c) .2.§¼ng thøc liªn quan:

a) .

b) .II.C¸c vÝ dô :VÝ dô 1: Chøng minh r»ng , ta cã : . Vµ . (BÊt ®¼ng thøc C«-Si).Chøng minh:Ta cã . Suy ra .VËy .Vµ .VÝ dô 2: Chøng minh r»ng , ta cã :

. Vµ . (BÊt ®¼ng thøc C«-Si).Chøng minh:

Ta cã .

Suy ra .VËy .Vµ .VÝ dô 3: Chøng minh r»ng : . DÊu “=” x¶y ra khi nµo ? (BÊt ®¼ng thøc Bunhiac«xki ).Chøng minh:Ta cã .Suy ra .VËy . DÊu “=” x¶y ra khi vµ chØ khi .VÝ dô 4: Chøng minh r»ng :

, . DÊu “=” x¶y ra khi nµo ? (BÊt ®¼ng thøc Bunhiac«xki ).Chøng minh:

1

: lu«n ®óng.VÝ dô 5: Cho a, b, c lµ çc sè thùc. Chøng minh r»ng :

a) .

b) ,víi .

c) .

d) .

DÊu “=” xÈy ra khi nµo ?VÝ dô 6: Cho . Chøng minh r»ng : .Chøng minh:Ta cã . Suy ra .VËy . VÝ dô 7:Chøng minh r»ng ta cã : . DÊu “=” x¶y ra khi nµo ?Chøng minh:

Ta cã .

Suy ra . DÊu “=” x¶y ra khi vµ chØ khi .

III.Çc bµi tËp: Bµi 1. Cho x, y, z lµ çc sè thùc d¬ng. Chøng minh r»ng :

a) .

b) . DÊu “=” xÈy ra khi nµo ?

Bµi 2.Cho . Chøng minh r»ng : .

Bµi 3. Cho . Chøng minh r»ng: .

Bµi 4.Chøng minh r»ng víi 3 sè d¬ng a, b, c bÊt k×, ta lu«n cã

.

(Híng dÉn: Ta cã ).

Bµi 5. Cho x, y, z tháa m·n ®iÒu kiÖn . Chøng minh r»ng :

.

Bµi 6. Cho 3 sè a, b, c bÊt k×, chøng minh r»ng : a) . b) .

Híng dÉn: ,DÊu “=” xÈy ra khi .

2

c) ; d) .Bµi 7.Cho a, b,c > 0. Chøng minh r»ng : .


Bµi 8.a)Cho . Chøng minh r»ng : .

b)Cho . Chøng minh r»ng : .

H íng dÉn :

a) .

b)¸p dông c©u a) cho biÓu thøc

¸p dông bÊt ®¼ng thøc C« si :

Bµi 9.Cho a, b, c lµ c¸c sè thùc d¬ng tháa m·n . Chøng

minh r»ng . DÊu “=” xÈy ra khi nµo?H íng dÉn :

Ta cã . Suy ra .

Vµ . DÊu “=” xÈy ra khi a=b=c.

Bµi 10.Cho x, y, z lµ c¸c sè thùc d¬ng tháa m·n xyz=1. Chøng minh r»ng

vµ .

DÊu “=” xÈy ra khi nµo?Bµi 11.Cho x, y, z thuéc ®o¹n [0; 1] . Chøng minh r»ng :

.

H íng dÉn :

Ta cã .

vµ .

Bµi 12.Cho 3 sè d¬ng . Chøng minh r»ng : .H íng dÉn :

Ta cã . Suy ra .

Bµi 13. Cho vµ . Chøng minh r»ng : .

3

H íng dÉn :

Suy ra .

Bµi 14. Cho tháa m·n ®iÒu kiÖn . Chøng minh r»ng :

.

H íng dÉn :

.

Bµi 15.Cho . Chøng minh r»ng : .H íng dÉn :

mµ .

Bµi 16. Cho . Chøng minh r»ng :

.

H íng dÉn : ¸p dông (x, y >0 ).


.



a) ;

b) .

c) .

d) .

H íng dÉn :

a) .

: lu«n ®óng.

b) .

c) .

Bµi 19. Cho vµ . Chøng minh r»ng :

4

a) ; b) .

H íng dÉn :

a) .

§Æt , víi . Suy ra : lu«n ®óng.

Bµi 20.(§H2011A)Cho x, y, z lµ ba sè thùc thuéc ®o¹n [1; 4] vµ .

T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc .

H íng dÉn :

.

(¸p dông bÊt ®¼ng thøc : ( ). DÊu “=” xÈy ra

khi vµ chØ khi hoÆc ).DÊu “=” xÈy ra khi vµ chØ khi hoÆc (1).

§Æt , víi . Ta cã .

XÐt hµm sè , víi . Ta cã .

Suy ra . DÊu “=” xÈy ra khi vµ chØ khi

(2).

Suy ra . Tõ (1) vµ (2) suy ra dÊu “=” xÈy ra khi vµ chØ khi :

.

VËy , khi : .

Bµi 21.(§H2011B)Cho a vµ b lµ c¸c sè thùc d¬ng tháa m·n . T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc

.

H íng dÉn :

§Æt , ta cã .

Víi

.Bµi 22.(§H2009D)Cho c¸c sè thùc kh«ng ©m x, y tháa m·n . T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc .

5

Bµi 23.(§H2009B)Cho çc sè thùc x, y thay ®æi tháa m·n .T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc

.H íng dÉn :

. DÊu “=” xÈy ra khi vµ chØ khi .

§Æt , víi

Suy ra . DÊu “=” xÈy ra khi vµ chØ khi .


Vµ . XÐt hµm sè 124

9)( 2 tttf , ta cã .



VËy gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc A b»ng ; khi .

Bµi 24.(§H2009A)Chøng minh r»ng víi mäi sè thùc d¬ng x, y, z tháa m·n , ta cã .H íng dÉn :Ta cã .Suy ra .vµ (v× ).Bµi 25.(§H2005D)Cho çc sè d¬ng x, y, z tháa m·n xyz=1. Chøng minh r»ng

.

Bµi 26.(§H2005A)Cho x, y, z lµ çc sè d¬ng tháa m·n .

Chøng minh r»ng .

H íng dÉn :

Ta cã . DÊu “=” xÈy ra khi vµ chØ

khi x=y=z .

T¬ng tù ta cã : ,

.

Suy ra .

Bµi 27.(§H2006A)Cho hai sè thùc thay ®æi tháa m·n ®iÒu kiÖn

. T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc .

H íng dÉn :

6

Ta cã .

DÊu “=” xÈy ra khi vµ chØ khi x=y .

Suy ra . DÊu “=” xÈy ra khi vµ chØ khi

.

Vµ . DÊu “=” xÈy ra khi vµ chØ khi

.

VËy gi¸ trÞ lín nhÊt cña A b»ng 64; khi .

Bµi 28.Cho a lµ sè cè ®Þnh, cßn x, y lµ çc sè thay ®æi. H·y t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc .H íng dÉn : a) cã nghiÖm .b)Víi . Khi ®ã .

§Æt . Ta cã .

Suy ra .DÊu “=” xÈy ra khi vµ chØ khi .

Suy ra khi .

VËy nÕu th× gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A b»ng 0,

vµ nÕu th× gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A b»ng .

Bµi t¬ng tù: Cho çc sè thùc x, y tháa m·n . T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc .Bµi 29. Cho çc sè thùc x, y tháa m·n . T×m gi¸ trÞ lín nhÊt, gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc .H íng dÉn :

Ta cã vµ . Suy ra .

vµ .

§Æt . Suy ra ; .

Bµi 30.Cho çc sè thùc x, y tháa m·n , . T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc .H íng dÉn :

Ta cã .

DÊu “=” xÈy ra khi vµ chØ khi 6-2x=12-3y=2x+3y hay x=0, y=2.VËy maxA=36; khi x=0, y=2.Bµi 31.Cho çc sè thùc x, y, z tháa m·n , , . T×m gi¸ trÞ

lín nhÊt cña biÓu thøc .

7

H íng dÉn :

Ta cã: . DÊu “=” xÈy ra khi vµ

chØ khi x-3=3 hay x=6.

T¬ng tù . DÊu “=” xÈy ra khi vµ chØ khi y=8.

. DÊu “=” xÈy ra khi vµ chØ khi z=4.

Bµi 32.Cho çc sè thùc x, y, z tháa m·n . T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc .H íng dÉn :Ta cã . DÊu “=” xÈy ra khi vµ chØ khi x=y=z=

. .

Bµi 33.Cho x, y, z > 0 vµ x+y+z=1. T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña

.

H íng dÉn :

Ta cã .

Mµ .

DÊu “=” xÈy ra khi vµ chØ khi x=y=z= .

Suy ra . DÊu “=” xÈy ra khi vµ chØ khi x=y=z= .

Bµi 34.Cho çc sè thùc d¬ng a, b, c tháa m·n abc=1. T×m gi¸ trÞ

nhá nhÊt cña biÓu thøc .

H íng dÉn : §Æt , , . Ta cã xyz=1 vµ

. DÊu “=” xÈy ra khi vµ chØ khi

x=y=z=1.Bµi 35.(HSG TØnh NA 2007)

a)Chøng minh r»ng : .

b)Cho hai sè thùc x, y tháa m·n . T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt , gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc .Bµi 36.(HSG TØnh NA 2006)Cho çc sè thùc x, y tháa m·n . Chøng minh r»ng .Bµi 37.(HSG TØnh NA 2000)Cho hai sè thùc x, y tháa m·n

vµ m lµ sè d¬ng cho tríc. T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña

tæng .

Bµi 38.(HSG TØnh NA 2008)Cho çc sè thùc d¬ng a, b, c . T×m

gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc .

8

H íng dÉn :

Ta cã .

§Æt . Ta cã

. DÊu “=” xÈy ra khi vµ chØ khi

.


VËy gi¸ trÞ lín nhÊt cña P b»ng ; khi .

Bµi 39.(HSG TØnh NA 2009)Cho çc sè thùc d¬ng x, y, z . Chøng minh r»ng

.

H íng dÉn :

Ta cã

. DÊu “=” xÈy ra khi vµ chØ khi .§Æt , víi t>0. Ta cã : lu«n ®óng.Bµi 40.(HSG TØnh NA 2010B)a)Cho x, y lµ çc sè thùc tháa m·n . T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc .b)Cho çc sè thùc d¬ng a, b, c tháa m·n . Chøng minh r»ng

.

H íng dÉn:

b)§Æt . Ta cã . DÊu “=”

xÈy ra khi . Suy ra .

Bµi 41.(HSG TØnh NA2010A)a)Cho x, y lµ çc sè thùc tháa m·n . Chøng minh r»ng .b)Cho çc sè thùc a, b, c kh«ng ®ång thêi b¼ng 0, tháa m·n

. T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ gi¸ trÞ nhá nhÊt cña

biÓu thøc .

H íng dÉn :

b)Ta cã . Suy ra

.

9

§Æt , , . Ta cã

.

Vµ .

Suy ra .

XÐt hµm sè , víi . Ta cã

.

Bµi 42.Cho çc sè thùc d¬ng x, y, z tháa m·n . T×m gi¸ trÞ


H íng dÉn :

§Æt . Ta cã .Víi .

Suy ra . DÊu “=” xÈy ra khi vµ chØ khi x=y=z=1.

Bµi 43.Cho çc sè thùc d¬ng x, y tháa m·n . T×m gi¸ trÞ

nhá nhÊt cña biÓu thøc .Bµi 44.Cho çc sè thùc kh«ng ©m x, y tháa m·n .T×m gi¸ trÞ

nhá nhÊt vµ gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc .

Bµi 45.Cho çc sè thùc d¬ng x, y, z tháa m·n . Chøng

minh r»ng .

H íng dÉn :

Ta cã .

XÐt hµm sè , víi . Ta cã .

Bµi 46.Cho n lµ sè tù nhiªn lín h¬n 1. Chøng minh r»ng

.

H íng dÉn :

XÐt hµm sè , víi c>0. Ta cã .

§Æt , . Suy ra .

VËy .

Bµi 47.(HSG12A-NA:2011-2012) Cho ba sè thùc tháa m·n và . T×m gi¸

trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc .

Híng dÉn:

10

(1).

Mà

(2).

Tõ (1) và (2) suy ra

(3).

Tõu gi¶ thiÕt ta cã (4).

Mà (5).

(6).

Tõ (3), (4), (5) và (6) suy ra .

DÊu b»ng xÈy ra khi .

VËy gi¸ trÞ nhá nhÊt cña P là .Bµi 48.(HSG12B-NA:2011-2012)Cho x,y,z lµ çc sè thùc d¬ng tháa m·n xyz=1. T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc

.

___________________________________________________________________

khai th¸c mét sè bÊt ®¼ng thøc quen thuéc

i.Ph¬ng ph¸p biÕn ®æi t¬ng ®¬ng:Bµi to¸n 1: Cho a, b lµ çc sè thùc d¬ng. Chøng minh r»ng:

.

1.1)Cho a, b lµ çc sè thùc d¬ng . Chøng minh r»ng

.

H íng dÉn :

Ta cã . Suy ra .

11

1.2)Cho a, b, c lµ çc sè thùc d¬ng. Chøng minh r»ng

.

H íng dÉn :

Ta chøng minh . ThËt vËy:

.

Mµ : lu«n ®óng.

1.3)Cho x, y, z lµ nh÷ng sè thùc d¬ng . T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc

.

1.4)Cho çc sè thùc d¬ng x, y, z tháa m·n . T×m gi¸ trÞ


H íng dÉn :

§Æt . Ta cã .Víi .

Suy ra . DÊu “=” xÈy ra khi vµ chØ khi x=y=z=1.

Bµi to¸n 1.5: a)Cho a, b, c lµ çc sè thùc tháa m·n . Chøng minh r»ng

.

b)Cho a, b, c lµ çc sè thùc. Chøng minh r»ng

.

1.6)Cho x, y, z lµ çc sè thùc d¬ng tháa m·n . Chøng minh r»ng

.H íng dÉn :

Ta cã . Mµ .

Suy ra .

VËy .1.7)Cho a, b, c lµ çc sè thùc d¬ng tháa m·n . T×m gi¸ trÞ


12

H íng dÉn :

§Æt , , . Ta cã . Suy ra .

DÊu “=” xÈy ra khi vµ chØ khi hay .

Suy ra . DÊu “=” xÈy ra khi vµ chØ khi hay

.

VËy gi¸ trÞ nhá nhÊt cña P b»ng , khi .

1.8)Cho a, b, c lµ çc sè thùc d¬ng. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc

.

Híng dÉn:

§Æt , , . Ta cã . Suy ra .

Bµi to¸n 1.9: Cho a, b, c lµ çc sè thùc d¬ng . Chøng minh r»ng

.

Híng dÉn:

.

.

: lu«n ®óng.

1.10)Cho a, b, c lµ çc sè thùc d¬ng tháa m·n . Chøng minh r»ng

.

Híng dÉn:.

1.11)Cho x, y, z lµ çc sè thùc d¬ng tháa m·n . T×m gi¸ trÞ


Híng dÉn:

§Æt . Ta cã vµ .

Bµi to¸n 1.12:Cho x, y, z lµ çc sè thùc d¬ng tháa m·n xyz=1. Chøng minh r»ng

vµ .

DÊu “=” xÈy ra khi nµo?1.13)Cho x, y, z lµ çc sè thùc d¬ng tháa m·n . Chøng minh r»ng a) .

13

b) .1.14)Cho x, y, z lµ çc sè thùc d¬ng tháa m·n . Chøng minh r»ng

vµ .

1.15)Cho x, y, z lµ çc sè thùc tháa m·n . T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc .1.16)Cho x, y lµ çc sè thùc tháa m·n . T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc .Bµi to¸n 1.17: Cho . Chøng minh r»ng :

.



.


.

1.20)Cho a, b, c lµ çc sè thùc d¬ng tháa m·n . T×m gi¸ trÞ

lín nhÊt cña biÓu thøc .

Híng dÉn:

Suy ra . DÊu “=” xÈy ra khi .

Bµi to¸n 1.21.Chøng minh r»ng víi 3 sè d¬ng a, b, c bÊt k×, ta lu«n cã

.


1.22)Cho a, b, c lµ çc sè thùc d¬ng tháa m·n .Chøng minh r»ng

.

1.23)Cho a, b, c lµ çc sè thùc d¬ng tháa m·n .Chøng minh r»ng

.

Bµi to¸n 1.24:Cho a, b,c > 0. Chøng minh r»ng :

14

.


1.25)Cho a, b, c lµ çc sè thùc d¬ng tháa m·n .Chøng minh r»ng : .1.26)Cho a, b, c lµ çc sè thùc d¬ng tháa m·n .Chøng minh r»ng : .Bµi to¸n 1.27:Cho . Chøng minh r»ng :

.

H íng dÉn :

Ta cã .

: lu«n ®óng.

vµ .

1.28)Cho a, b, c lµ çc sè thùc d¬ng tháa m·n .Chøng minh r»ng :

.

1.29)Cho a, b, c lµ çc sè thùc d¬ng tháa m·n .Chøng minh r»ng :

.

II.Ph¬ng ph¸p ®a vÒ hµm sè mét biÕn:

2.1)Cho x, y lµ çc sè thùc d¬ng tháa m·n . T×m gi¸ trÞ nhá

nhÊt cña biÓu thøc .

H íng dÉn :

§Æt , víi .Ta cã : .

Vµ .

2.2)Cho çc sè thùc x, y, z tháa m·n . T×m gi¸ trÞ nhá


H íng dÉn :

§Æt , víi . Suy ra .

2.3)Cho çc sè thùc a, b tháa m·n . T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc .H íng dÉn :Ta cã .

15

§Æt , víi . Suy ra hay . Vµ , víi .2.4)Cho x, y lµ çc sè thùc d¬ng tháa m·n . T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc .H íng dÉn : Ta cã .

§Æt , víi .

Vµ , víi .

2.5)Cho x, y lµ çc sè thùc d¬ng tháa m·n . T×m gi¸ trÞ nhá


H íng dÉn :

. §Æt . Víi .

2.6)Cho x, y, z lµ çc sè thùc d¬ng tháa m·n . Chøng minh

r»ng

. DÊu “=” xÈy ra khi nµo ?

H íng dÉn :

. DÊu “=” xÈy ra khi

§Æt . Víi hay .DÊu “=” xÈy ra khi .

XÐt hµm sè , víi .

2.7)Cho x, y, z lµ çc sè thùc d¬ng. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu

thøc .

H íng dÉn :

. DÊu “=” xÈy ra khi .

§Æt . Ta cã víi .



H íng dÉn :

. DÊu “=” xÈy ra khi .

§Æt . Ta cã

vµ víi .

2.9)Cho x, y lµ çc sè thùc d¬ng. Chøng minh r»ng .

16

H íng dÉn :.

.

§Æt . XÐt hµm sè , víi .

2.10)Cho x, y lµ çc sè thùc d¬ng tháa m·n . T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc .H íng dÉn :

.

§Æt . Víi . Ta cã vµ

Suy ra hay . Vµ , víi .

2.11)Cho x, y lµ çc sè thùc d¬ng tháa m·n . T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc .2.12)Cho a, b, c lµ çc sè thùc d¬ng tháa m·n

T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc .

H íng dÉn :§Æt .2.13)Cho x, y, z lµ çc sè thùc tháa m·n . T×m gi¸ trÞ lín

nhÊt vµ gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc .

H íng dÉn :

§Æt , víi hay .

Ta cã , víi .

.

, .

Suy ra khi hay .

vµ khi hay vµ .

2.14)Cho x, y, z lµ çc sè thùc d¬ng tháa m·n .Chøng minh

r»ng . DÊu “=” xÈy ra khi nµo ?



17







2.19)Cho x, y lµ çc sè thùc d¬ng tháa m·n . T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc

.

Híng dÉn:Ta cã

.vµ . Suy ra

. §Æt , víi .

Khi ®ã ,víi .

.

Suy ra khi x=y=2; vµ khi .

2.20)Cho x, y lµ çc sè thùc tháa m·n . T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc .Híng dÉn:

Ta cã

.Vµ 2 . §Æt , víi .Khi ®ã ,víi

..

Suy ra khi .

khi hoÆc

hoÆc hoÆc

.

2.21)Cho çc sè thùc tháa m·n . T×m gi¸

trÞ lín nhÊt vµ gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc .

18

Híng dÉn:

Ta cã

.

vµ . §Æt , víi .

2.22)Cho x, y lµ c¸c sè thùc d¬ng tháa m·n .

T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc

.Híng dÉn:

Ta cã vµ

.

Suy ra .

§Æt , víi .Ta cã = .

XÐt hµm sè = ,víi .

.

Suy ra khi ; khi .

19

bat dang thuc trong de thi dai hoc

Documents