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Baustatik 3 (Modul 3130)
Veranstaltungen WS 2018/2019
Vorlesung Mo. 08:15 – 09:45 Uhr, R 1.116, Beginn: 8.10.2018
Hörsaalübung Mo. 10:00 – 11:30 Uhr, R 1.116, Beginn: 8.10.2018
Ansprechpartner Prof. Dr.-Ing. Andreas Falk
Sprechstunde: Mittwoch, 10:00 – 11:00 Uhr, R.1.110 Tel.: 05231 / 769 6049 email: [email protected] Internet: http://www.hs-owl.de/fb3/labore/tm0.html
mailto:[email protected]
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Baustatik 3 Prof. Dr.- Ing. Andreas Falk
27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 2
Literaturangaben
[1] Ahlert, H.: FEM – Finite-Elemente-Methode im konstruktiven Ingenieurbau. 3. Auflage, 2002. Werner-Verlag.
XBN 137
[2] Barth, C.; Rustler, W.: Finite Elemente in der Baustatik-Praxis – Mit vielen Anwendungsbeispielen. 1. Auflage, 2010. Bauwerk Verlag.
XBK 276
[3] Bletzinger, K.-U. et. al.: Aufgabensammlung zur Baustatik. Übungsaufgaben zur Berechnung ebener Stabtragwerke. 1. Auflage, 2015, Hanser Fachbuchverlag.
XBK 292
[4] Dallmann, R.: Baustatik 2 - Berechnung statisch unbestimmter Tragwerke. 4. Auflage, 2015, Hanser Fachbuchverlag.
XBK 266
[5] Dallmann, R.: Baustatik 3 - Theorie II. Ordnung und computer-orientierte Methoden der Stabtragwerke. 2. Auflage 2015, Hanser Fachbuchverlag.
XBK 266
[6] Dinkler, D.: Grundlagen der Baustatik - Modelle und Berechnungsmethoden für ebene Stabtragwerke. 4. Auflage 2016. Springer Vieweg.
XBK 278
[7] Friedrich, M.: Das Kraft- und Weggrößenverfahren in Beispielen. 1. Auflage, 2013, Springer Vieweg.
[8] Hake, E.; Meskouris, K.: Statik der Flächentragwerke - Einführung mit vielen durchgerechneten Beispielen. 2. Auflage 2007, Springer-Verlag.
XBK 206
[9] Hirschfeld, K.: Baustatik - Theorie und Beispiele. 4. Auflage 1998, Springer-Verlag.
XBK 186
[10] Homberg, H.; Ropers, W.: Fahrbahnplatten mit veränderlicher Dicke, Band 1 und 2, Springer-Verlag 1965 und 1968.
XDO 106
[11] Kirsch, W.: Statik im Bauwesen, Bd. 3, Statisch unbestimmte Systeme. 14. Auflage 2012, Beuth-Verlag.
XBK 128
[12] Knothe, K., Wessels, H.: Finite Elemente, 5. Auflage 2017, Springer-Verlag.
WCG137
[13] Krätzig, W.; Harte, R.; Meskouris, K.; Wittek, U..: Tragwerke 1 – Theorie und Berechnungsmethoden statisch bestimmter Tragwerke. 5. Auflage 2010, Springer-Verlag.
XBN 174
[14] Krätzig, W.: Tragwerke 2 - Theorie und Berechnungsmethoden statisch unbestimmter Tragwerke. 4. Auflage 2004, Springer-Verlag
XBN 174
[15] Krätzig, W.; Basar, Y.: Tragwerke 3 - Theorie und Anwendung der Methode der Finiten Elemente. 1. Auflage, 1997, Springer-Verlag.
XBN 174
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[16] Krüger, U.: Stahlbau, Teil 2 - Stabilitätslehre, Stahlhochbau und Industriebau. 3. Auflage 2004, Verlag Ernst & Sohn.
XCG 168
[17] Link; M.: Finite Elemente in der Statik und Dynamik. 4. Auflage, 2014. Teubner-Verlag.
XBK 104
[18] Meskouris, K.; Hake, E.: Statik der Stabtragwerke - Einführung in die Tragwerkslehre. 2. Auflage 2009, Springer-Verlag.
XBK 204
[19] Nasdala, L.: FEM-Formelsammlung Statik und Dynamik – Hintergrundinformationen, Tipps und Tricks. 2. Auflage 2012, Springer Vieweg.
WCG 192
[20] Petersen, C.: Statik und Stabilität der Baukonstruktionen. 3. Auflage 2002, Vieweg Teubner.
XBK 129
[21] Pucher, A.: Einflussfelder elastischer Platten. 5. Auflage 1977. Springer-Verlag.
XCF 263
[22] Steinke, A.: Finite-Element-Methode: Rechnergestützte Einführung. 4. Auflage 2012. Springer Vieweg.
WCG 180
[23] Werkle, H.: Finite Elemente in der Baustatik - Statik und Dynamik der Stab- und Flächentragwerke. 3. Aufl. 2008, Vieweg Teubner.
XBK 198
Internet-Hinweise
Literatur www.hs-owl.de/skim
www.amazon.de
Bauwerke
www.structurae.de
www.brueckenweb.de
www.brueckenbau-links.de
Hochschulen
www.hs-owl.de/fb3
www.ki-smile.de
www.goettsche-web.de
http://www.ibnm.uni-hannover.de/Lehre/index.html.de
http://www.isd.uni-hannover.de/lehre.html
http://www.fembau.de
http://www.hs-owl.de/skimhttp://www.amazon.de/http://www.structurae.de/http://www.brueckenweb.de/http://www.brueckenbau-links.de/http://www.hs-owl.de/fb3http://www.ki-smie.de/http://www.goettsche-web.de/http://www.ibnm.uni-hannover.de/Lehre/index.html.dehttp://www.isd.uni-hannover.de/lehre.htmlhttp://www.fembau.de/
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Inhalt
1 EINFÜHRUNG IN DIE THEORIE 2. ORDNUNG FÜR STABWERKE 10
1.1 Einführendes Beispiel 10
1.2 Mögliche Nichtlinearitäten 11 1.2.1 Gleichgewicht am verformten System 11 1.2.2 Genaue Verschiebungsfigur 13 1.2.3 Nichtlineare Verzerrungs-Verschiebungs-Beziehungen 13 1.2.4 Nicht-lineares Materialverhalten 13
1.3 Kurze Wiederholung zum Biegeknicken 14 1.3.1 Die vier Euler´schen Knickfälle 14 1.3.2 Ermittlung der Knicklängenbeiwerte mit Rahmenformeln 15 1.3.3 Schlankheit λ und Eulersche Knickspannung 19
1.4 Möglichkeiten zur Ermittlung der Schnittgrößen nach Th. 2. O. 21 1.4.1 Iterative Ermittlung des Zusatzmomentes mit dem Arbeitssatz 22 1.4.2 Herleitung einer Überschlagsformel mithilfe der Biegelinie 24 1.4.3 DGL für Elastizitätstheorie 2. Ordnung (exaktes Verfahren) 28 1.4.4 Eingespannte Stütze mit Hilfe der DGL 29
1.5 Beispiel: Rahmentragwerk 35 1.5.1 System, Belastung, Schnittkräfte nach Th. I. Ordnung 35 1.5.2 Ermittlung der Schnittkräfte nach Th. 2. Ordnung mit Hilfe des Arbeitssatzes 37 1.5.3 Zusammenfassende Darstellung der Ergebnisse 39 1.5.4 Computerunterstützte Berechnung 42
1.6 Zusammenfassung 43
2 VERSCHIEBLICHKEITSUNTERSUCHUNGEN MIT HILFE DES POLPLANS 44
2.1 Regeln für die Polplanerstellung 44
2.2 Kinematik 45 2.2.1 Allgemeines 45 2.2.2 Beispiele zur Ermittlung kinematischer Größen 45
2.3 Zusammenfassung 53
3 EINFLUSSLINIEN 54
3.1 Allgemeines 54
3.2 Statisch bestimmte Stabwerke 55 3.2.1 Gleichgewichtsmethode 55 3.2.2 Kinematische Methode basierend auf dem PdvV 56 3.2.3 Vorgehen und Merkregeln 59 3.2.4 Zusammenfassung 60
3.3 Einflusslinien bei statisch unbestimmten Stabtragwerken 61
3.4 Lastannahmen für Straßenbrücken und Eisenbahnüberführungen 62 3.4.1 Verkehrslasten auf Straßenbrücken nach DIN EN 1991 – 2NA/2012-08 62 3.4.2 Entwicklung der Lastannahmen für Straßenbrücken 64 3.4.3 Lastbild UIC 71 für Eisenbahnbrücken 65
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3.5 Beispielaufgaben 66 3.5.1 Gelenkträger 66 3.5.2 Gelenkträger 2 71 3.5.3 Gelenkträger 3 72 3.5.4 Ermittlung der Einflusslinien mit Hilfe STAB2D 73 3.5.5 Dreifeldträger 74 3.5.6 Fünffeldträger 77
3.6 Zusammenfassung Einflusslinien 80
3.7 Einflussflächen bei Plattentragwerken 82
4 DREHWINKELVERFAHREN 83
4.1 Einführung 83 4.1.1 Steifigkeit – Systemsteifigkeit 83 4.1.2 Einführendes Beispiel 84 4.1.3 Idee und grundlegende Annahmen für das DWV 85 4.1.4 Statische und geometrische Unbestimmtheit 86 4.1.5 Bezeichnungen, Vorzeichendefinitionen für das DWV 88
4.2 Herleitung der Grundgleichungen für Stabendmomente 89 4.2.1 Ausgangssituation und Lösungsansatz 89 4.2.2 Stabendmomente infolge von Knotenverdrehungen und -verschiebungen 90 4.2.3 Stabendmomente infolge äußerer Lasten (Festeinspannmomente) 96 4.2.4 Endgültige Stabendmomente 100
4.3 Aufstellen der Systemgleichungen 100
4.4 Rechengang beim DWV 101
4.5 Einführende Beispiele 102 4.5.1 Beispiel 1 102 4.5.2 Beispiel 2 103 4.5.3 Beispiel 3 104 4.5.4 Beispiel 4 105
4.6 Vorgegebene Auflagerverdrehung und -verschiebungen 107 4.6.1 Allgemeines 107 4.6.2 Vorgegebene Auflagerverschiebung im einführenden Beispiel 108
4.7 Temperaturlastfälle 110 4.7.1 Gleichmäßige Temperaturveränderung T 110 4.7.2 Ungleichmäßige Temperaturänderung ∆T über den Querschnitt 110 4.7.3 Gleichmäßige Temperaturänderung T im einführenden Beispiel 111 4.7.4 Ungleichmäßige Temperaturänderung ∆T im einführenden Beispiel 113
4.8 Weitere Beispiele 115 4.8.1 Beispiel mit Federn 115 4.8.2 Beispiel mit unterschiedlichen Steifigkeiten 119 4.8.3 Klausuraufgabe 1 124 4.8.4 Klausuraufgabe 2 125 4.8.5 Klausuraufgabe 3 128 4.8.6 Klausuraufgabe 4 129 4.8.7 Durchlaufträger 133
4.9 Vergleich KGV – WGV 136
5 GRUNDLAGEN MATRIZENRECHNUNG 137
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5.1 Motivation aus dem Kraftgrößenverfahren 137
5.2 Vektoren und Matrizen 137 5.2.1 Einführung 137 5.2.2 Rechenregeln für Matrizen 139 5.2.3 Übungsaufgaben 140
6 FINITE-ELEMENT-METHODEN (FEM) 141
6.1 Einführung 141 6.1.1 Geschichtliche Entwicklung 141 6.1.2 Grundsätzliche Zusammenhänge 144 6.1.3 Kontinuierliches Problem – Diskretes Problem 145 6.1.4 Grundlagen der Modellierung 146 6.1.5 Wichtige Begriffe 147 6.1.6 Die FEM als Näherungsverfahren (für Flächentragwerke) 148 6.1.7 Arten von Finiten Elementen 149
6.2 Fachwerkelement 151 6.2.1 Grundgleichungen 151 6.2.2 Modellbildung mit Feder 152 6.2.3 Beziehung zwischen Verschiebung und Kraft 153 6.2.4 Transformationen 154 6.2.5 Die Elementsteifigkeitsmatrix 156 6.2.6 Zusammenbau zur Gesamtsteifigkeitsmatrix 157 6.2.7 Lösung des Gleichungssystems 161 6.2.8 Rückrechnung 162
6.3 Ablauf einer FE-Berechnung 167
6.4 Weitere Beispiele 168 6.4.1 Beispiel 1 168 6.4.2 Beispiel 2 176
6.5 Balkenelement 184 6.5.1 Zusammenhang zwischen Verschiebungsgrößen und Kraftgrößen 184 6.5.2 Die Elementsteifigkeitsmatrix 185 6.5.3 Transformationen 186 6.5.4 Elementsteifigkeitsmatrix in globalen Koordinaten 188 6.5.5 Zusammenbau 188 6.5.6 Berücksichtigung von Elementlasten (Festeinspannmomente) 189 6.5.7 Beispiel: 2-Feld-Träger 189
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Abbildungsverzeichnis Bild 1-1: Einführendes Beispiel zur Theorie 2. Ordnung 11 Bild 1-2: Rahmen nach Theorie 2. Ordnung 12 Bild 1-3: Theorie kleiner und großer Verformungen 13 Bild 1-4: Nichtlineare Werkstoffgesetze 13 Bild 1-5: Die vier Eulerfälle 14 Bild 1-6: Knicklängenbeiwerte für Gelenkrahmen nach DIN 4114 15 Bild 1-7: Knicklängenbeiwerte für eingespannte Rahmen nach DIN 4114 16 Bild 1-8: Knicklängenbeiwert für elastisch eingespannte Stütze mit angehängten Pendelstützen 17 Bild 1-9: Knicklängenbeiwert für einhüftige Rahmen 17 Bild 1-10: Knicklängenbeiwert für Zweigelenkrahmen mit angehängten Pendelstützen 18 Bild 1-11: Knicklängenbeiwert für eingespannte Rahmen mit angehängten Pendelstützen 18 Bild 1-12: Eulerhyperbel 19 Bild 1-13: Knickspannungskurven nach DIN EN 1993 (EC 3) 20 Bild 1-14: Einführendes Beispiel zur Th. 2. Ordnung – Eingespannte Stütze 22 Bild 1-15: Iterative Ermittlung der Zusatzverformungen mit dem Arbeitssatz 22 Bild 1-16: Schnittkraftdefinitionen bei Theorie 2. Ordnung 28 Bild 1-17: Eingespannte Stütze nach Th. 2. Ordnung (DGL) 29 Bild 1-18: Eingespannte Stütze nach Th. 2. Ordnung (DGL) 33 Bild 1-19: Rahmenbeispiel für Th. 2. Ordnung, [16] 35 Bild 1-20: Biegemomentenlinie nach Th. 1. O. 36 Bild 1-21: Momente und Verformungen nach Th. 1. Ordnung 37 Bild 1-22: Zusatzmomente für Theorie 2. Ordnung 38 Bild 1-23: Biegemomente und Verformung nach Th. 1. O. mit STAB2D 39 Bild 1-24: Biegemomente und Verformung nach Th. 2. O. mit STAB2D 39 Bild 1-25: Abtriebskraft 40 Bild 1-26: Verformungen nach Th. 2. O. mit STAB2D 40 Bild 1-27: Ergebnisse der Knickuntersuchung mit STAB2D 41 Bild 1-28: Rahmen mit EDV 42 Bild 1-29: Verzweigungsproblem - Spannungsproblem 43 Bild 2-1: Beispiel 1: Polplan und Verschiebungsfigur 46 Bild 2-2: Beispiel 2: Polplan und Verschiebungsfigur 47 Bild 2-3: Beispiel 2: Kinematik 48 Bild 2-4: Beispiel 3 49 Bild 2-5: Beispiel 4 49 Bild 2-6: Beispiel 5 50 Bild 2-7: Beispiel 6 50 Bild 2-8: Beispiel 7 51 Bild 2-9: Beispiel 8 51 Bild 2-10: Beispiel 9 52 Bild 2-11: Konstruktion des Mechanismus mit dem Polplan 53 Bild 3-1: Wanderlast 54 Bild 3-2: Einflusslinien für Auflagerkräfte, Querkraft und Biegemoment 55 Bild 3-3: Beispiele zum Prinzip der virtuellen Verrückungen 56 Bild 3-4: System und Lastbild für Einflusslinie 57 Bild 3-5: Kinematiken zu Einflusslinien an statisch bestimmten Systemen 57 Bild 3-6: Einflusslinien für Auflagerkräfte, Querkraft und Biegemoment 60 Bild 3-7: Einflusslinien für Auflagerkräfte und Biegemoment beim Zweifeldträger 61
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Bild 3-8: Verkehrslasten auf Brücken nach DIN EN 1991 – 2 (Lastmodell LMM) 62 Bild 3-9: Verkehrslasten auf Brücken nach DIN EN 1991 -2/NA für Fahrstreifen 1 63 Bild 3-10: Lastverteilung in Querrichtung bei Straßenbrücken (LMM) 63 Bild 3-11: Verkehrslasten auf Eisenbahnbrücken nach DIN-Fachbericht 101 65 Bild 3-12: Trägerrostmodell 65 Bild 3-13: Gelenkträger- System und Lastbild 66 Bild 3-14: Gelenkträger- Momentenlinie mit Stab2D 67 Bild 3-15: Gelenkträger 2 - System und Lastbild 71 Bild 3-16: Gelenkträger 3 - System und Lastbild 72 Bild 3-17: Einflusslinien Zweifeldträger mit STAB2D 73 Bild 3-18: Einflusslinien Dreifeldträger mit STAB2D 76 Bild 3-19: Einflusslinien Fünffeldträger mit STAB2D 79 Bild 3-20: Einflussfläche für ein Plattentragwerk 82 Bild 4-1: System-Dehnsteifigkeit 83 Bild 4-2: System-Biegesteifigkeit 83 Bild 4-3: Eingespannter Rahmen 84 Bild 4-4: Eingespannter Rahmen – qualitative Biegelinie und Momentenlinie 84 Bild 4-5: Skizze zum Drehwinkelverfahren 85 Bild 4-6: Beispiele zur geometrischen Unbestimmtheit 87 Bild 4-7: Vorzeichendefinition für Biegemomente beim DWV 88 Bild 4-8: Geometrische Größen beim DWV 88 Bild 4-9: Zum DWV 89 Bild 4-10: Einheitsverformungszustände am beidseitig eingespannten Stab und Stabendmomente
95 Bild 4-11: Vorzeichen der Festeinspannmomente bei Stützensenkung 97 Bild 4-12: Beispiel 1 zum DWV 102 Bild 4-13: Beispiel 1 zum DWV – Ergebnisse Stab2D 102 Bild 4-14: Beispiel 2 zum DWV 103 Bild 4-15: Beispiel 3 zum DWV 104 Bild 4-16: Beispiel 4 zum DWV 105 Bild 4-17: Ergebnisse zum einführenden Beispiel 106 Bild 4-18: Festeinspannmomente für Auflagerbewegungen 107 Bild 4-19: Rahmenbeispiel mit Knotenverformung 108 Bild 4-20: Ergebnisse zum Rahmen mit Knotenverformung 109 Bild 4-21: Temperaturlastfälle 110 Bild 4-22: Rahmenbeispiel mit Temperatur Ts 111 Bild 4-23: Ergebnisse zum Rahmen mit Temperatur Ts 112 Bild 4-24: Rahmenbeispiel mit Temperaturgradient 113 Bild 4-25: Ergebnisse zum Rahmen mit Temperaturgradient 114 Bild 4-26: Beispiel mit Federn 115 Bild 4-27: Federbeispiel - Kinematik 116 Bild 4-28: Kinematik und virtuelle Arbeit 117 Bild 4-29: Ergebnisse zum Beispiel mit Federn 118 Bild 4-30: Beispiel mit unterschiedlichen Steifigkeiten 119 Bild 4-31: Beispiel mit unterschiedlichen Steifigkeiten: Momentenlinie und Verformungen 123 Bild 4-32: Klausuraufgabe 1: System, Belastung, Momentenlinie 124 Bild 4-33: Klausuraufgabe 2: System und Belastung 125 Bild 4-34: Klausuraufgabe 2: Momentenlinie und Verformungen 127 Bild 4-35: Klausuraufgabe 3: System und Belastung 128
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Bild 4-36: Klausuraufgabe 4: System und Belastung 129 Bild 4-37: Klausuraufgabe 4: Momentenlinie und Verformungen 132 Bild 4-38: Durchlaufträger: System und Belastung 133 Bild 4-39: Durchlaufträger: Biegemomente und Verformungen 135 Bild 6-1: Die Finite-Element-Welt 146 Bild 6-2: Die Finite-Element-Methode als Näherungsverfahren 148 Bild 6-3: Finite Stab- und Flächenelemente 149 Bild 6-4: Finite Faltwerk-, Schalen- und 3D-Elemente 150 Bild 6-5: Verformungen am Fachwerkstab 153 Bild 6-6: Verformungen am schrägen Fachwerkstab - Transformation 154 Bild 6-7: Kräfte am Fachwerkstab - Transformation 155 Bild 6-8: Einführendes Beispiel 157 Bild 6-9: Schema der Gesamt-Steifigkeitsmatrix 158 Bild 6-10: Ergebnisse des einführenden Beispiels 165 Bild 6-11: Ablauf einer FE-Berechnung 167 Bild 6-12: Beispiel 1 168 Bild 6-13: Beispiel 2 176 Bild 6-14: Verformungen und Freiheitsgrade am Balkenelement 184 Bild 6-15: Freiheitsgrade am Balkenelement 184 Bild 6-16: Transformation der Verformungen am Balkenelement 186 Bild 6-17: Lokale und globale Verformungen am Balkenelement 186 Bild 6-18: Transformation der Kraftgrößen am Balkenelement 187 Bild 6-19: Lokale und globale Kraftgrößen am Balkenelement 187 Bild 6-20: Einführendes Beispiel zum Balkenelement 189 Bild 6-21: Aufbau des Lastvektors Element 1 190 Bild 6-22: Aufbau des Lastvektors Element 2 191
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1 Einführung in die Theorie 2. Ordnung für Stabwerke 1.1 Einführendes Beispiel Gesucht:
a) LF 1: fH(H) b) LF 2: fH(V)
c) Stabkennzahl (für LFK 1: LF 1 + 2) 𝜀𝜀 = �|𝑆𝑆|∙𝑙𝑙2
𝐸𝐸∙𝐼𝐼
H = 5 kN
V =50 kN
15 m
2 m
300 mm
d = 20 mm
120°
A A
Querschnitt im Schnitt A-A
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1.2 Mögliche Nichtlinearitäten
Mögliche Nicht-Linearitäten Gleichgewicht am verformten System Genaue Verschiebungsgeometrie (bei großen Verformungen) Nicht-lineare Verzerrungsverschiebungsbeziehungen (bei großen Verformungen,
Verdrehungen) Nicht-lineares Materialverhalten
1.2.1 Gleichgewicht am verformten System Beispiel: Brückenpfeiler Bild 1-1: Einführendes Beispiel zur Theorie 2. Ordnung
h
H
V
wo
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Beispiel: Hallenrahmen Bild 1-2: Rahmen nach Theorie 2. Ordnung Die Anwendung von Theorie 2. Ordnung, kann entfallen, wenn
∆M0 = N ⋅ w0 ≤ 0,1 M0 Im Stahlbau kann gem DIN EN 1993-1-1 ein Nachweis nach Theorie 2. Ordnung entfallen, wenn eine der nachfolgenden Bedingungen eingehalten ist.
• Crdd
crcr NNF
F 1,010 ≤⇔≥=α ; Ncr : Ideale Systemknicklast
≈=crN
• NAf dy ⋅⋅≤ ,3,0λ , bezogener Schlankheitsgrad des Systems
• LLcr
s =≤⋅ βεβ ;1 (Knicklängenbeiwert )
EIlS ss
s
2
±=ε (Stabkennzahl)
Die Knicklänge ist vorher zu schätzen (s. Eulerfälle, Überschlagsformeln Stahlbau).
A B
AH BH
h
wo
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1.2.2 Genaue Verschiebungsfigur Bei großen Verschiebungen und großen Rotationen: Bild 1-3: Theorie kleiner und großer Verformungen
1.2.3 Nichtlineare Verzerrungs-Verschiebungs-Beziehungen Genaue Beziehungen linearisierte Beziehungen
bei kleinen Verformungen
( 1)1 22 −′+′+= wuε u′≈ε
′+′
=u
w1
arctanϕ wu
w ′≈′+
′≈
1ϕ
22)1()1(
wuwuuw
′+′+′⋅′′−′+⋅′′
=′ϕ wu
w ′′≈′+
′′≈′
21ϕ
1.2.4 Nicht-lineares Materialverhalten Bild 1-4: Nichtlineare Werkstoffgesetze Weitere Materialeigenschaften bei Kriech- und Relaxationsvorgängen (zeitabhängig; z.B. Beton, Salz) viskoelastisch viskoplastisch
Theorie kleiner Verformungen Tangente; sin ϕ ≈ tan ϕ ≈ ϕ
Theorie großer Verformungen Kreisbogen !
ε
σ
ε
σ
ε
σ
linear elastisch
nichtlinear elastisch
linear elastisch ideal plastisch
nichtlinear elastoplastisch
N = EA ε M = -EΙ ϕ′
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1.3 Kurze Wiederholung zum Biegeknicken
1.3.1 Die vier Euler´schen Knickfälle
Allgemein gilt: 2
2
crcr L
EIN ⋅= π "Euler´sche Knicklast"
Leonhard Euler, Schweizer Mathematiker 1707 - 1783
mit Lcr =β ⋅ L: Knicklänge (sk)
β: Knicklängenbeiwert
und NKi, Ncr : ideelle kritische Last
Eulerfall
Bild 1-5: Die vier Eulerfälle
Bei Rahmentragwerken wird β > 2 (s. folgenden Abschnitt und Bautabellen).
L
1 2 3 4
LLcr = LLcr ⋅≈ 7,0 LLcr ⋅= 5,0
2
2
4 LEINcr ⋅
⋅=
π2
2
LEINcr
⋅=
π2
22L
EINcr⋅⋅
≈π
2
24L
EINcr⋅⋅
=π
LLcr ⋅= 2
F
crL
crL
F
crL
WP
WP
F
crL
WP
2=β 1=β 6992,0=β 5,0=β
WP: Wendepunkt
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1.3.2 Ermittlung der Knicklängenbeiwerte mit Rahmenformeln Knicklängenbeiwerte mit Krüger Bd. 2, S. 41
Für alle Rahmen:
Zweigelenkrahmen
Dreigelenkrahmen
Bild 1-6: Knicklängenbeiwerte für Gelenkrahmen nach DIN 4114
( ) 202,04,14121 ccn ⋅+⋅+⋅+⋅=β
202,04,14 cc ⋅+⋅+=β
202,04,1496,01 ccn ⋅+⋅+⋅⋅+=β
10≤⋅⋅
=hIbIc
R
s
20 1 ≤=≤NNn
b
N N1
h
ΙR
ΙS 10 1 ≤=≤NNn
ΙR
ΙS
N
b/2
ΙR
ΙS
N
b/2
N1
h
h
-
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27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 16
Für alle Rahmen:
Eingespannte Rahmen
Dreigelenkrahmen Bild 1-7: Knicklängenbeiwerte für eingespannte Rahmen nach DIN 4114
10≤⋅⋅
=hIbIc
R
s
20 1 ≤=≤NNn
b
N N1
h
ΙR
ΙS 10 1 ≤=≤NNn
ΙR
ΙS
N
b/2
ΙR
ΙS
N
b/2
N1
h
h
( ) 2017,035,01121 ccn ⋅−⋅+⋅+⋅=β
2017,035,01 cc ⋅−⋅+=β
2017,035,0186,01 ccn ⋅−⋅+⋅⋅+=β
-
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27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 17
Ermittlung der Knicklänge mit Holschemacher S. 2.53
𝜅𝜅 = 𝑙𝑙𝐹𝐹∙ ∑ 𝐹𝐹𝑖𝑖
𝑙𝑙𝑖𝑖 ; ohne Pendelstützen: κ=0
Elastisch eingespannte Stütze mit angehängten Pendelstützen Bild 1-8: Knicklängenbeiwert für elastisch eingespannte Stütze mit angehängten Pendelstützen Einhüftiger Rahmen Bild 1-9: Knicklängenbeiwert für einhüftige Rahmen
lcEIS
⋅⋅+
++
⋅=ϕ
κκπβ )1(12
45
lEIlEI
R
RS
⋅⋅⋅⋅+
++
⋅=3
)1(12
45 κκπβ
ℓR
F F1 Fi
Fn
cϕ
ℓ ℓi
ℓR
F F1
ℓ ℓ1
EΙR
EΙS
EΙS
-
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Zweigelenkrahmen mit/ohne angehängten Pendelstützen Bild 1-10: Knicklängenbeiwert für Zweigelenkrahmen mit angehängten
Pendelstützen
Eingespannter Rahmen mit/ohne angehängten Pendelstützen Bild 1-11: Knicklängenbeiwert für eingespannte Rahmen mit angehängten
Pendelstützen
lEIlEI
m
R
RS
⋅⋅⋅⋅
=
++
+⋅
+⋅=
611
21
311
125
21
γ
κγγ
πβ
+⋅
=⋅⋅
⋅⋅=
++
+−+⋅⋅
++⋅=
γ
φγ
φφφγ
κπβ
112
1;611
961
311
21 22
lEIlEI
mm
R
RS
ℓR
F F1
ℓ ℓi
EΙR
EΙS
mF Fi Fn
F F1
ℓ
EΙR
EΙS
mF Fi
Fn
ℓR
ℓi
-
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1.3.3 Schlankheit λ und Eulersche Knickspannung
iLcr
min=λ
crL : Knicklänge
i: Trägheitsradius
AI
iAI
i yyy
y =→=2
; AIi
AIi zzzz =→=
2
Maßgebend ist der minimale Trägheitsradius.
2
2
crcr L
EIN ⋅= π
AI
LE
crcr ⋅
⋅= 2
2πσ mit 22
2
λcrL
AIi == folgt:
2
2
λπσ Ecr
⋅= "ideelle Eulersche Knickspannung" (Hyperbel)
Bild 1-12: Eulerhyperbel
-
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Nachweis im Stahlbau
Den Abminderungsfaktor χ erhält man aus den Knickspannungslinien der DIN EN 1993. Sie sind aus Versuchen für unterschiedliche Profile unter Berücksichtigung von Imperfektionen ermittelt worden.
Bild 1-13: Knickspannungskurven nach DIN EN 1993 (EC 3)
Aus folgt mit Einsetzen der maximal zulässigen Spannung
die Bezugsschlankheit bei S 235: 9,93/5,23/21000
2
2
=⋅=⋅=cmkN
cmkNfE
ya ππλ
Mit iLcr
k min=λ wird der bezogene Schlankheitsgrad
a
kk λ
λλ = berechnet.
Hiermit erhält man aus den Knickspannungslinien den Abminderungsfaktor χ.
Weiteres siehe
• Schneider Bautabellen, 22. Auflage, S. 8.24 ff
• Holschemacher, 7. Auflage, S. 5.12 ff
Mit2
2
2
22
2
2
2
2
2,
ka
k
a
cr
a
crcry
cr
dpl
iL
ILA
EILAf
NN
λλλ
λλπ==
⋅=
⋅⋅
=⋅
⋅⋅= ergibt sich:
AfNundN
NmitNN
ydplM
dplRdb
Rdb
d ⋅=⋅=≤ ,1
,,
,
1γ
χ
2
2
λπσ Ecr
⋅= kycr f ,max =σ
cr
dpl
a
kk N
N ,==λλλ
χ
�̅�𝜆
Eulerhyperbel
1,02
0,4
0,2
0,4 0,8
0,6
0,8
1,2 1,6 2,0 2,4 2,8
Kurve für Biegedrillknicken
a b
c
d
-
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1.4 Möglichkeiten zur Ermittlung der Schnittgrößen nach Th. 2. O.
1. Arbeitssatz: dxEIxMxMw
l∫=
)(0
)()(
Verformung w0 Zusatzmoment ∆M0 Zusatzverformung ∆w0 . . .
2. Biegelinie für unbelasteten Stab
43
2
2
3
1
32
2
1
11
1
26)(
2)('
)('')()(
0)(
CxCxCxCxEIw
CxCxCxEIw
CxCxEIwxVCxwEI
xwEI
+⋅+⋅+⋅=
+⋅+⋅=
+⋅=−==′′′
=′′′′
Biegelinie w0 (x) Zusatzmoment ∆M0 Zusatzbiegelinie ∆w0 . . .
Ergebnis aus 1 und 2: Überschlagsformel („Dischinger-Formel“)
0
0
00
1wwwNMM II
∆−
⋅+=
3. Aufstellen der DGL und exakte Lösung der DGL Gleichgewicht am verformten System unter Berücksichtigung des Zusatzmomentes infolge Normalkraft * Verformung Differenzialgleichung
-
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1.4.1 Iterative Ermittlung des Zusatzmomentes mit dem Arbeitssatz Beispiel: Bild 1-14: Einführendes Beispiel zur Th. 2. Ordnung – Eingespannte Stütze 1. Schritt: Verformung w0 mit dem Arbeitssatz ausrechnen
2. Schritt: Verformung ∆w0 infolge Zusatzmoment ∆M0 (N⋅w0) mit dem Arbeitssatz Bild 1-15: Iterative Ermittlung der Zusatzverformungen mit dem Arbeitssatz
10 m
HEA 260: Ιy = 10450 cm4 E = 210.000 MN/m2
EΙ = 2,1 ⋅ 108 kN/m2 ⋅ 10450 ⋅ 10-8 m4
EΙ = 21945 kNm2
V = 200 KN
H = 15 KN
-
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3. Schritt: Verformung ∆w1(0) infolge ∆M1 = N ⋅ ∆w0(0) ∆M1 = -V ⋅ ∆w0(0) = - 200 KN ⋅ 0,0830 m = -
∆w1(0) ≈ 0,4 ⋅ 1EΙ ⋅ ℓ ⋅ [ -V ⋅ ∆w0(0)] [-1 ⋅ℓ] =
≈ 0,3645 ⋅ ∆w0(0) = 0,3645 ⋅ 0,0830 m =
4. Schritt: Verformung ∆w2(0) infolge ∆M2 = N ∆w1(0) ∆w2(0) ≈ 0,3645 ⋅ ∆w1(0) = 0,3645 ⋅ m =
5. Schritt: Verformung ∆w3(0) infolge ∆M3 = N ∆w2(0) ∆w3(0) ≈ 0,3645 ⋅ ∆w2(0) = 0,3645 ⋅ m =
6. Schritt: Verformung ∆w4(0) infolge ∆M4 = N ∆w3(0) ∆w4(0) ≈ 0,3645 ⋅ ∆w3(0) = 0,3645 ⋅ m =
7. Schritt: Verformung ∆w5(0) infolge ∆M5 = N ∆w4(0) ∆w5(0) ≈ 0,3645 ⋅ ∆w4(0) = 0,3645 ⋅ m = Addition:
w(0) = w0(0) + Fehler! Textmarke nicht definiert.Σ ∆wi(0) = 0,2278 m + = 0,3581 m MII = MI + S w(0)
= -15 kN ⋅ 10 m – 200 kN ⋅ 0,3581 m =
-
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1.4.2 Herleitung einer Überschlagsformel mithilfe der Biegelinie Ausgang: M(x) = -EI w0´´(x)
EIxMw )(−=′′
ξξξ ⋅⋅−=⋅⋅−=°° lHMMlEI
w )();(1 2
ξ⋅⋅⋅⋅=°° lHlEI
w 21
)2
( 123
CEI
lHw +⋅⋅=° ξ
)6
( 2133
CCEI
lHw +⋅+⋅⋅= ξξ
w°(1) = 0 ⇒ C1 = w(1) = 0 ⇒ C2 =
)31
26(
33
+−⋅⋅
=ξξ
EIlHw
Hebelarm: e0 (ξ) = w0(0) – w0(ξ) = )31
26(
3
333
+−⋅⋅
−⋅ ξξ
EIlH
EIlH
e0 (ξ) = )26
(33 ξξ
+−⋅⋅
EIlH
Zusatzmoment ∆M0(ξ) = -N ⋅ e0 (ξ)
-
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Berechnung von ∆w0 infolge ∆M0
∆w0°° = - 1EΙ ℓ
2 ∆M0 (ξ);
= )3(6
)( 322
ξξε −⋅⋅⋅−⋅− lHEIl
∆w0(ξ) =
−+−⋅⋅−
54
45
2206
3523 ξξξεEIHl
∆e0 (ξ) = ∆w0(0) – ∆w0(ξ)
∆e0 (ξ) =
+−⋅⋅
45
2206
3523 ξξξεEIHl
Zusatzmoment ∆M1(ξ) = -N ⋅ ∆e0 (ξ)
= - N ⋅
+−⋅⋅
45
2206
3523 ξξξεEIHl
= - ( )ξξξεε 2510!5
352
2 +−⋅⋅Hl
=
-
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Berechnung der Zusatzmomente durch Auswertung der Biegelinien s.a Krüger, Stahlbau II
Das exakte Ergebnis lautet MII = 221,8969 kNm
36936,0
36931,0
36889,0
36355,0
30379,0
3
4
2
3
1
2
0
1
0
0
=∆∆
=∆∆
=∆∆
=∆∆
=∆
MMMMMMMM
MM
kNmMMM
kNmMkNmMkNmMkNmMkNmMkNmMkNmM
kNmMMMMM
kNmMMM
kNmMMM
kNmMMM
kNmMMM
kNmMMM
kNmmkNlHM
ii
IIges 8966,221
0003,00008,00021,00057,00156,00421,01140,0
3087,036936,0
8359,000557,01559251382
2631,201509,02835
62
1279,604085,0315
17
6119,1611075,03
2
5685,4530379,03
0000,1501015
11
10
12
11
10
9
8
7
6
443
45
00
8
4
00
6
3
00
4
2
00
4
1
00
3
0
0
−==∆+=
−==∆−==∆−==∆−==∆−==∆−==∆−==∆
−=∆⋅=∆⋅∆∆
=∆
−=⋅=⋅⋅
=∆
−=⋅=⋅⋅
=∆
−=⋅=⋅⋅
=∆
−=⋅=⋅⋅
=∆
−=⋅=⋅=∆
−=⋅−=⋅−=
∑=
ε
ε
ε
ε
ε
-
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Zusammenfassend ergibt sich:
....22
31
1
20
0
100 +∆∆
∆+∆
∆∆
+∆∆∆
+∆+= MMMM
MMM
MMMMM II
0
1
MM
∆∆ ≈
1
2
MM
∆∆
≈ 2
3
MM
∆∆
≈ 3
4
MM
∆∆
≈ ...
....20
11
0
10
0
100 +∆∆
∆+∆
∆∆
+∆∆∆
+∆+= MMMM
MMM
MMMMM II
...)1( 543200 ++++++⋅∆+= αααααMMMII
α−∆
+=1
00
MMM II ;
0
1
00
1MM
MMM II
∆∆
−
∆+=
∆M0 = N ⋅ w0; ∆M1 = N ⋅ ∆w0
0
0
00
1wwwNMM II
∆−
⋅+= =
0
0
00
1ww
wNM∆
−+ = IIwNM ⋅+0
0
0
0
1ww
wwII∆
−=
Für unser Beispiel:
=⋅
=EI
lHw3
3
0 ;
mlwNlEI
w 0831,0)1()(4,01 00 =⋅−⋅⋅−⋅⋅⋅=∆
=−
=∆
−=
2278,00831,01
2278,0
10
0
0
ww
wwII
=⋅+=⋅+= 3586,02001500IIII wNMM
-
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1.4.3 DGL für Elastizitätstheorie 2. Ordnung (exaktes Verfahren) Gleichgewicht am verformten System bei kleinen Verformungen
Bild 1-16: Schnittkraftdefinitionen bei Theorie 2. Ordnung
00:0
=′
=−+=∑S
SdSSFx
)(0)(:0
xqTdxxqTdTTFz
−=′
=⋅+−+=∑
TwSMdxTdwSdM
dxTdwSdxqMdMMM
=′⋅+′=⋅−⋅+
=⋅−⋅+⋅+−+=∑0
02
:02
02 =′′⋅+′′′′ ww ω Lösung:
A,B,C,D mit Randbedingungen
charakteristische Gleichungen für unterschiedliche Eulerfälle
Eigenwerte, Eigenformen
Knicklasten, Knicklängen
M
S M+ dM T+dT
S+dS
T dw
q(x)
KnickenbeiqFSEIS
EIqw
EISw
xqwSwEIwEIM
xqwSMSxqwSwSM
TwSM
0;;;
)()(
)(0);(
)(
2 =−===′′⋅−′′′′
−=′′⋅+′′′′⋅−
′′⋅−=−=′′⋅+′′
=′−=′′⋅+′⋅′+′′′=′′⋅+′′
ω
dx
DxCxBxAxw +⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅= ωωω )sin()cos()(
-
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02 =′′⋅+′′′′ ww ω
1.4.4 Eingespannte Stütze mit Hilfe der DGL Bild 1-17: Eingespannte Stütze nach Th. 2. Ordnung (DGL) Lösung nach Theorie 1. Ordnung
)sin()cos()()cos()sin()(
)sin()cos()()cos()sin()(
)sin()cos()(
44
33
22
xBxAxwxBxAxw
xBxAxwCxBxAxw
DxCxBxAxw
⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=′′′′
⋅⋅⋅−⋅⋅⋅=′′′
⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−=′′
⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅−=′+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=
ωωωω
ωωωω
ωωωω
ωωωωωωωω
10 m
HEA 260: Ιy = 10450 cm4 E = 210.000 MN/m2
EΙ = 2,1 ⋅ 108 kN/m2 ⋅ 10450 ⋅ 10-8 m4
EΙ = 21945 kNm2
V = 200 KN H = 15 KN
-
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27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 30
Lösung nach Theorie 2. Ordnung
RB 1: w(0) = 0
RB 2: w´(0) = 0
RB 3: w´´(ℓ) = 0
RB 4:
Mit C = -B folgt
und
ADDADCBAw
−==++⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=
;00)0sin()0cos()0( ωωω
BCCBCBAw
−==+⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅−=′
;0)0cos()0sin()0( ωωωωω
BlAlBlAlw
⋅⋅−==⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−=′′
)tan(0)sin()cos()( 22
ωωωωω
DxCxBxAxw +⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅= ωωω )sin()cos()(
[ ][ ] HCBAS
BAIEwSMHT
=⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅−⋅+⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅⋅−
′⋅+′==
ωωωωωωωωω
)0cos()0sin()0cos()0sin(
)0()0()0(33
[ ][ ]
3
333
33
2
)0cos()0sin(
)0cos()0sin(
ω
ωωωωω
ωωωω
⋅⋅=+⋅
⋅=⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅−
⋅⋅⋅+⋅⋅⋅−
IEHCB
IEHCBA
BA
3ω⋅⋅=
IEHB
3)tan()tan( ωωω
⋅⋅⋅⋅−=⋅⋅−=
IEHlBlA
-
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Damit für dieses Beispiel
𝑤𝑤(𝑥𝑥) = − tan(𝜔𝜔 ∙ 𝑙𝑙) ∙𝐻𝐻
𝐸𝐸𝐸𝐸 ∙ 𝜔𝜔3∙ cos(𝜔𝜔 ∙ 𝑥𝑥) +
𝐻𝐻𝐸𝐸𝐸𝐸 ∙ 𝜔𝜔3
∙ sin(𝜔𝜔 ∙ 𝑥𝑥)
−𝐻𝐻
𝐸𝐸𝐸𝐸 ∙ 𝜔𝜔3∙ 𝜔𝜔 ∙ 𝑥𝑥 +
𝐻𝐻𝐸𝐸𝐸𝐸 ∙ 𝜔𝜔3
∙ tan(𝜔𝜔 ∙ 𝑙𝑙)
𝑤𝑤(0) = − tan(𝜔𝜔 ∙ 𝑙𝑙) ∙𝐻𝐻
𝐸𝐸𝐸𝐸 ∙ 𝜔𝜔3∙ cos(𝜔𝜔 ∙ 0) +
𝐻𝐻𝐸𝐸𝐸𝐸 ∙ 𝜔𝜔3
∙ sin(𝜔𝜔 ∙ 0)
−𝐻𝐻
𝐸𝐸𝐸𝐸 ∙ 𝜔𝜔3∙ 𝜔𝜔 ∙ 0 +
𝐻𝐻𝐸𝐸𝐸𝐸 ∙ 𝜔𝜔3
∙ tan(𝜔𝜔 ∙ 𝑙𝑙)
𝑤𝑤(𝑙𝑙) = − tan(𝜔𝜔 ∙ 𝑙𝑙) ∙𝐻𝐻
𝐸𝐸𝐸𝐸 ∙ 𝜔𝜔3∙ cos(𝜔𝜔 ∙ 𝑙𝑙) +
𝐻𝐻𝐸𝐸𝐸𝐸 ∙ 𝜔𝜔3
∙ sin(𝜔𝜔 ∙ 𝑙𝑙)
−𝐻𝐻
𝐸𝐸𝐸𝐸 ∙ 𝜔𝜔3∙ 𝜔𝜔 ∙ 𝑙𝑙 +
𝐻𝐻𝐸𝐸𝐸𝐸 ∙ 𝜔𝜔3
∙ tan(𝜔𝜔 ∙ 𝑙𝑙)
-
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Lösung mit normierten Koordinaten
EIqlw
EISlw
EIqw
EIS
lw
l
ddww
ddw
lw
lx
42
24
11
;1;
=°°⋅−°°°°
=°°⋅−°°°°⋅
=°⋅=′⇒=ξξ
ξ
Bei Druck ist S < 0
EIqlq
hlStabkennzaEI
lSEIS
l
qwwEIqlw
EIS
lw
SS
4*
2
222
*2
42
;;
=
⋅==⋅=
=°°⋅+°°°°
=°°⋅+°°°°
εεε
ε
Homogene DGL
DCBAwww
H +⋅+⋅⋅+⋅⋅==°°⋅+°°°°
ξξεξεε
)sin()cos(02
Probe:
)sin()cos()cos()sin(
)sin()cos()cos()sin(
44
33
22
ξεεξεε
ξεεξεε
ξεεξεε
ξεεξεε
⋅⋅⋅+⋅⋅⋅−=°°°°
⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=°°°
⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=°°
+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅−=°
BAwBAwBAw
CBAw
Partikularlösung für konstante Querlast: wp = ± 2
2*
21
s
qεξ
-
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Beispiel mit normierter DGL
Bild 1-18: Eingespannte Stütze nach Th. 2. Ordnung (DGL)
DCBAw +⋅+⋅⋅+⋅⋅= ξξεξε )sin()cos( Lösung für Th. II. O auf Basis der DGL durch Einsetzen der RB:
10 m
HEA 260: Ιy = 10450 cm4 E = 210.000 MN/m2
EΙ = 2,1 ⋅ 108 kN/m2 ⋅ 10450 ⋅ 10-8 m4
EΙ = 21945 kNm2
V = 200 KN
H = 15 KN
Lösung nach Th.I.O.
ADDCBAwRB −=⇒=+⋅+⋅⋅+⋅⋅== 00)0sin()0cos(0)0(:1 εε
[ ]
[ ]
IElH
IESC
IESB
lB
IElHCBA
IES
BAl
IElH
lwS
lowEI
Hl
wSl
wEI
HwSMTRB
⋅⋅
=⋅
⋅+⋅⋅
⋅+⋅
⋅⋅
=+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅−⋅⋅
+
⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅
⋅⋅
=°
⋅+°°°
⋅−
=°
⋅+°°°
⋅−
=′⋅+′=
εε
εεεε
εεεε
2
3
332
3
3
)0cos()0sin(
)0cos()0sin(1
)0()(
)0()0()0()0()0(:4
εεεεε ⋅−=⇒+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅−==° BCCBAwRB )0cos()0sin(0)0(:2
εεεεε tan)1sin)1cos(0)1(:3 22 ⋅−=⇒⋅⋅⋅+⋅⋅==°° BABAwRB
-
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Damit ergibt sich für dieses Beispiel:
)1tan()0()0()sin(cos
)0(−+⋅+⋅
⋅⋅⋅
−=ε
εξεξεε S
TlS
TlS
TlwII
−=== 1tan)1()1(max
εεξ
STlwwII
T(0) = ; S =
EIlS ss
ss
2
2 == εε =
=εtan
=ε
εtan
=IIwmax
)0(wSMM III ⋅+=
= -
−⋅⋅+⋅ 1tan)0(
εε
STlSlH
= -
−+⋅⋅ 1tan1
εεlH
=
⋅−
εεtanHl =
-
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27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 35
1.5 Beispiel: Rahmentragwerk
1.5.1 System, Belastung, Schnittkräfte nach Th. I. Ordnung
Bild 1-19: Rahmenbeispiel für Th. 2. Ordnung, [16]
Stiel: ΙPE 400, ΙS = 23130 cm4
EΙS = 2,1 ⋅ 108 kN/m2 ⋅ 23130 ⋅ 10-8 m4 = 48573 kNm2
Riegel: ΙPE 500, ΙR = 48200 cm4; 480,04820023130
==R
S
II
Auflagerkräfte
H = 18 kN
F = 200 kN
IPE 400
IPE 500 HEA 160
5,00 m
15,00 m
3,50 m
F = 200 kN q = 12 kN/m
H = 18 kN
F = 200 kN
5,00 m 3,50 m
F = 200 kN q = 12 kN/m
-
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Momentenlinie M0 Bild 1-20: Biegemomentenlinie nach Th. 1. O. Erfordernis von Theorie 2. Ordnung Kriterium 1
2
2
,, ?1,0k
dKidKi sEINNN ⋅=> π ; Ideelle Knicklast
lsk ⋅= β mit Tabellenwerken, s.u. Oder: Kriterium 2:
β ⋅ εs > 1 ?; β = Lcr/ (Knicklängenbeiwert , mit Tabellenwerken, s.u.)
=±=EI
lS sss
2
ε
Mit Rahmenformel Holschemacher Mit Rahmenformel Krüger Kriterium 1
Kriterium 2
=⋅
=++⋅+=
=⋅⋅
=
==
βε
β 2
1
02,04,1496,01 ccn
hIbIc
NNn
R
S
=⋅
=
=⋅=
=
⋅⋅⋅⋅+
++
⋅=
=
2
2
,
3)1(
1245
kdKi
K
R
RS
sEIN
ls
hIlI
π
β
κκπβ
κ
-
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1.5.2 Ermittlung der Schnittkräfte nach Th. 2. Ordnung mit Hilfe des Arbeitssatzes
Momentenlinie M0 Berechnung von w0
Bild 1-21: Momente und Verformungen nach Th. 1. Ordnung
H = 1
-
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Zusatzmomente ∆M0 infolge w0
Bild 1-22: Zusatzmomente für Theorie 2. Ordnung Berechnung von ∆w0
-
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1.5.3 Zusammenfassende Darstellung der Ergebnisse Theorie I. Ordnung Bild 1-23: Biegemomente und Verformung nach Th. 1. O. mit STAB2D Theorie 2. Ordnung Bild 1-24: Biegemomente und Verformung nach Th. 2. O. mit STAB2D
-
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Abtriebskraft Bild 1-25: Abtriebskraft * Bild 1-26: Verformungen nach Th. 2. O. mit STAB2D
Unterschiede Theorie 1. Ordnung – Theorie 2. Ordnung Aspekt Th. I. Ordnung Th. II. Ordnung Eckverformung w0 = 0,121 m
(Arbeitssatz) ∆w0= 0,037 m (2. Mal Arbeitssatz)
174,0
121,0037,01
121,0
10
0
0 =−
=∆
−=
ww
wwII
Auflagerkräfte BH = 0 kN, A = 284 kN, B = 296 kN
BH = 15 kN (Abtriebskraft !!) A = 276 kN, B = 304 kN
Eckmoment Meck = AH·5 = 18·5 = 90 kNm
Meck = AH ·5
+ ∆AH ·5 (Abtriebskraft)
+ A ·wΙΙ (N*Hebelarm) = 213 kNm
-
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Knickuntersuchung Bild 1-27: Ergebnisse der Knickuntersuchung mit STAB2D Ergebnis: Ncr = Lcr=
-
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1.5.4 Computerunterstützte Berechnung Bild 1-28: Rahmen mit EDV Programmsystem DTE von PCAE: Wesentliche Arbeitsschritte (2D-Rahmen) Programm DTE aufrufen Schreibtisch (Rechnername, z.B. Hiddesen) wählen Projekt wählen, ggfs. erzeugen (z.B. KGrossmann) Projekt wählen, ggfs. erzeugen (z.B. Statik-Übung) Bauteil wählen, ggfs. erzeugen (z.B. Stahlrahmen)
o Problemklasse zuordnen (Platte oder Scheibe oder 2D-Rahmen ...) Systemdefinition
o Rechenmodus (Material, lineare und/oder nichtlineare Berechnung) o Punkte, Linien erzeugen o Ggfs. Punkttabelle anpassen (genaue Koordinateneingabe) o Lagerungsbedingungen o Gelenksituation an den Stäben o den Stäben Querschnitte zuordnen o Lastfälle definieren
LF1: Gleichlast LF2: Einzellasten
o Einwirkungen definieren o Extremierung / Lastkollektive definieren
Berechnung Visualisierung und drucken
(0 / 5)
(0 / 0) (15 / 0)
(15 / 3,50)
1
2 3
4
X
Z H = 18 kN
F = 200 kN
IPE 400
IPE 500 HEA 160
5,00 m
15,00 m
3,50 m
F = 200 kN q = 12 kN/m
-
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1.6 Zusammenfassung
DGL / Arbeitsintegral Lösung Th. 1. O. )()( xqxwEI =′′′′
dxEI
xMxMwl∫=
)(0
)()(
43
2
2
3
1
4
2624)( CxCxCxCxqxEIw +⋅+⋅+⋅+⋅=
(Polynom !)
z.B.: EIlqw
EIlFw
⋅⋅⋅
=⋅⋅
=3845max;
3
43
0
Th. 2.0
02 =°°⋅+°°°°
=′′⋅−′′′′
wwEIqw
EISw
ε
dxEI
xMxMwl
ii ∫
∆=∆
)(
)()(
21)cos()sin( CCBAwH +⋅+⋅⋅+⋅⋅= ξξεξε
0
0
0
1ww
wwII∆
−=
(„Dischinger-Formel“)
Stabilität Kein q vorh. !
02 =+′′ ww λ
EIN
=2λ
Eigenwertproblem
xBxAw λλ sincos ⋅+⋅= Lösung: Eigenform ( z.B. Sinushalbwelle)
Eigenwert: 2
22,2
ln
EN idK
nπλ ⋅=
Ι=
2
2
, lEIN idk
π⋅=
Bild 1-29: Verzweigungsproblem - Spannungsproblem
F
Spannungsproblem
W
Verzweigungspunkt
Stabilitätsproblem
Fcr
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2 Verschieblichkeitsuntersuchungen mit Hilfe des Polplans
2.1 Regeln für die Polplanerstellung
1. Jedes Tragwerksteil i dreht sich um seinen Hauptpol (i). 2. Feste (zweiwertige) Lager sind Hauptpole.
3. Der Hauptpol eines durch ein bewegliches (einwertiges) Lager gestützten Tragwerkteils liegt auf der im Lagerpunkt errichteten Senkrechten zur möglichen Bewegungsrichtung.
4. Der Hauptpol eines Tragwerksteils, das nur Translationsbewegungen erfährt, liegt im Unendlichen.
5. Der Nebenpol (ij) liegt stets auf der Verbindungslinie der beiden Hauptpole (i) und (j). Fallen zwei dieser Pole zusammen, dann liegt der dritte am selben Ort.
6. Zwei Tragwerksteile i und j drehen sich gegeneinander in ihrem Nebenpol (ij).
Liegt dieser Nebenpol im Unendlichen, so bewegen sich beide Tragwerksteile parallel mit dem gleichen Drehwinkel.
(1)
(1,2) (2)
∞
(1)
(1)
(1) ∞
(1)
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7. Das Verbindungsgelenk zweier Tragwerksteile ist deren gemeinsamer Nebenpol. 8. Nebenpole bei V- und N-Mechanismen liegen im Unendlichen senkrecht zur
möglichen Bewegungsrichtung. 9. Die drei Nebenpole (ij), (jk) und (ik) liegen stets auf einer Geraden. Fallen zwei
dieser Nebenpole zusammen, dann liegt der dritte am selben Ort. 10. Tritt im Polplan bei einem Tragwerksteil ein Widerspruch auf, dann ist dieses
Tragwerksteil entweder fest oder Teil eines in sich unverschieblichen Tragwerkverbandes, der als ein Tragwerksteil betrachtet werden kann.
Regeln aus [18] Meskouris/ Hake: Statik der Stabtragwerke
2.2 Kinematik
2.2.1 Allgemeines Der Polplan ist ein Hilfsmittel für Verschieblichkeitsuntersuchungen (z.B. Ausnahmefall der Statik), bei der Anwendung des Prinzips der virtuellen Verrückungen (PdvV)
o zur alternativen Bestimmung von Auflagerreaktionen und Schnittgrößen, o im Rahmen des Drehwinkelverfahrens, o für die Ermittlung von Einflusslinien.
Bei der Anwendung des PdvV ist zu beachten: Die Verschiebungen sind gedacht und sehr klein. Zur Ermittlung von Zustandsgrößen mithilfe des PdvV ist die Ermittlung der geometrischen Zusammenhänge (Kinematik) bei der Verschiebung erforderlich.
2.2.2 Beispiele zur Ermittlung kinematischer Größen Für die im Folgenden dargestellten verschieblichen Systeme sind
a) der Polplan zu zeichnen (Regeln in Kap 1.1 beachten !), b) die Verschiebungsfiguren zu zeichnen
(Jeder Punkt bewegt sich senkrecht zu seinem eigenen Polstrahl. Ein Polstrahl ist die Verbindungslinie vom betrachteten Punkt zum zugehörigen Pol.)
c) sowie die kinematischen Zusammenhänge zu ermitteln (Abhängigkeit der Stabdrehwinkel untereinander sowie ausgewählter Verschiebungsgrößen).
(GK/AK = Winkel ψ = Differenzwinkel zwischen Ursprungspolstrahl und „ausgelenktem Polstrahl“ für jeden betrachteten Punkt.
I.d.R. ist ψ1 gegeben. Gesucht sind dann beispielsweise:
ψ2 (ψ1) ; ∆g(ψ1);
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Beispiel 1 a) Polplan
b) Verschiebungsfigur
Bild 2-1: Beispiel 1: Polplan und Verschiebungsfigur
4
4
2
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Beispiel 2 (Video) a) Polplan b) Verschiebungsfigur
Bild 2-2: Beispiel 2: Polplan und Verschiebungsfigur
2
4
3
6
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c) Kinematik Bild 2-3: Beispiel 2: Kinematik
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Beispiel 3 Bild 2-4: Beispiel 3 Beispiel 4
Bild 2-5: Beispiel 4
5
4
3 3 3
6
4
5
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Beispiel 5
Bild 2-6: Beispiel 5 Beispiel 6 Bild 2-7: Beispiel 6
x‘ x ℓ
Geg.: ℓ, x, x´; ψ1 + ψ2 = 1 Ges.: ∆g (ℓ, x, x‘)
6 26
26
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Beispiel 7
Bild 2-8: Beispiel 7 Beispiel 8 Bild 2-9: Beispiel 8
1
3 2 5 4
2
6
4
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Beispiel 9 Bild 2-10: Beispiel 9 Gesucht:
a) Polplan
b) Verschiebungsfigur
c) Nachvollziehbare Ermittlung mit Zahlen und Einheiten von
ψ1, ψ2, ∆s1v, ∆s1h, ∆s1, ∆s2v, ∆s2h, ∆s2, ∆s3v, ∆s3h, ∆s3, ∆s4v, ∆s4h, ∆s4
infolge ∆sA = 2 cm
m 2
4m
m 3
m 3
1 2
3 4
∆sA = 2 cm
m 3
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2.3 Zusammenfassung
• Statisch unterbestimmte Systeme sind verschieblich. • Die Verschiebungsfigur nennt man Mechanismus oder
kinematische Kette. • Die formelmäßige Beschreibung des Mechanismus nennt man
Kinematik. • Bei der Verschiebung hat jedes Tragwerksteil einen festen
Drehpunkt (Pol). • Regeln zur Polplanerstellung: s. Abschn. 1.1. • Bei der Beschreibung des Mechanismus wird sich auf sehr kleine
Verschiebungen bezogen, die dann vergrößert dargestellt werden. • Tangente, nicht Kreisbogen!
• Es ergibt sich: Winkel = Gegenkathete zu Ankathete • Die Verbindung von einem Punkt zum zugehörigen Pol nennt man
Polstrahl. • Ein Punkt eines verschieblichen Tragwerksteils bewegt sich immer
senkrecht zum zugehörigen Polstrahl. • Zur Berechnung von Horizontal- oder Vertikalanteilen von schrägen
Verschiebungen „Projizierte Polpläne“ Bild 2-11: Konstruktion des Mechanismus mit dem Polplan
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3 Einflusslinien 3.1 Allgemeines
Zur Ermittlung der Einflusslinie für eine Auflagerkraft / Schnittgröße oder für eine Verformung
an einer ausgewählten Stelle m lässt man eine Last F = 1 kN über das Tragwerk wandern
und trägt die sich ergebenden Werte der gesuchten statischen Größe unter der jeweiligen Laststellung xL als Ordinate auf.
Bild 3-1: Wanderlast
Die Einflussordinate ηSm (xL) gibt die statische Größe Sm an der Stelle m im Tragwerk
infolge der äußeren Einheitsbelastung an der Stelle xL an. Die statische Größe Sm infolge wirklicher Einzellasten und / oder Streckenlasten
in gewählten Laststellungen xL ergibt sich zu
∑ ∫ ⋅+⋅= dxxxqxFS SmiiSmim )()()(, ηη .
Die Maßeinheit der Einflussordinate wird sowohl durch die Art der statischen Größe Sm als auch durch die Art der Lastgröße bestimmt.
F = 1 kN
m
-
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3.2 Statisch bestimmte Stabwerke
3.2.1 Gleichgewichtsmethode Beispiel: Balken auf 2 Stützen
Gesucht: Einflusslinien für die Auflagerkräfte A und B : ηA und ηB
sowie die Einflusslinien für das Biegemoment und die Querkraft bei x1 : ηM1 und ηV1
Bild 3-2: Einflusslinien für Auflagerkräfte, Querkraft und Biegemoment Anschauliches Excel-Programm von Prof. Dr.-Ing. Jens Göttsche, FH Buxtehude: http://extra.hs21.de/seiten/goettsche/index.htm
F = 1 kN xL
x1 x´1 = -x1
lx
A −= 1ηlx
B =η
F = 1 kN xL
F = 1 kN xL
x1 x´1 = -x1
F = 1 kN xL
http://extra.hs21.de/seiten/goettsche/index.htm
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3.2.2 Kinematische Methode basierend auf dem PdvV Das Prinzip der virtuellen Verrückungen
Zur Bestimmung einer Auflagergröße oder Schnittgröße wird an der entsprechenden Stelle die gesuchte Größe durch Entfernen der Auflagerbindung oder Einführung eines Gelenkes gelöst. Danach wird durch Aufbringen einer virtuellen Verrückung (sehr klein, gedacht ) eine Verschiebungsfigur erzeugt. Mit Hilfe der kinematischen Zusammenhänge lassen sich aus der Formulierung des Arbeitssatzes
**WA =
die gesuchten Schnittgrößen oder Auflagerkräfte ermitteln. Beispiele Bild 3-3: Beispiele zum Prinzip der virtuellen Verrückungen Ohne weitere Herleitung: Erzeugt man eine Verschiebungsfigur (Biegelinie) durch Aufbringen der Verformung (Verschiebung oder Verdrehung) von der Größe 1 entgegen gesetzt zur gesuchten statischen Größe, so stellt die Verschiebungsfigur (Biegelinie) die Einflusslinie dar.
Bei statisch bestimmten Systemen verlaufen die Einflusslinien geradlinig.
Bei statisch unbestimmten Systemen verlaufen die Einflusslinien gekrümmt.
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Beispiel zur Ermittlung von Einflusslinien mithilfe der kinematischen Methode Bild 3-4: System und Lastbild für Einflusslinie Gegeben: System und Lastenzug gem. Zeichnung
Gesucht: 1) ηA, ηB , ηM1 und ηV1 2) Auswertung der ELn für Laststellungen, die extremale Schnittgrößen hervorrufen
Kinematik für ηV1 Kinematik für ηM1 Bild 3-5: Kinematiken zu Einflusslinien an statisch bestimmten Systemen
2,4 3,6 3,0
3*100 kN
1,5 1,5
-
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Auswertung: ∑ ∫ ⋅+⋅= dxxxqxFS SmiiSmim )()()(, ηη max A min A max A = min A = max B min B max B = min B = max M1 min M1 max M1 = min M1 = max V1 min V1 max V1 = min V1 =
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3.2.3 Vorgehen und Merkregeln Die Ermittlung von Einflusslinien für Kraftgrößen erfolgt an statisch bestimmten Systemen in vier Schritten:
1. Man erzeugt die zugehörige zwangläufige kinematische Kette, indem man die gesuchte statische Größe - die Lagerreaktion oder Schnittgröße - freisetzt.
2. Im Polplan werden die Haupt- und Nebenpole aller Scheiben ermittelt. 3. Die Verschiebungsfigur der kinematischen Kette entsteht infolge der Verschie-
bungsgröße 1, die entgegen der Richtung der gesuchten statischen Größe angesetzt wird.
4. Je nach Art der Lastgröße sind als Einflusslinie die vertikalen - oder die horizontalen - Verschiebungen oder die Neigungen derjenigen Scheiben auf-zutragen, über die die Last wandert.
Diese Einflusslinien haben folgende Eigenschaften: 1. Geradliniger Verlauf im Bereich eines Tragwerkteiles. 2. Nullstellen unter den Hauptpolen von Tragwerksteilen. 3. Knicke unter den Nebenpolen benachbarter Tragwerksteile. 4. Sprünge in Richtung der Verschiebungsmöglichkeiten bei Querkraft- und
Normalkraftgelenken. Für die Darstellung einer Einflusslinie gelten dieselben Regeln wie für Darstellungen von Zustandslinien:
1. Positive Einflussordinaten werden in positiver z-Richtung aufgetragen. 2. Die Funktionen werden aus Gründen der Übersichtlichkeit schraffiert und mit
Vorzeichen versehen. 3. Es genügt die Angabe einer Ordinate oder eines charakteristischen Winkels, da
sich alle übrigen Ordinaten nach dem Strahlensatz berechnen lassen. 4. Die Angabe der Maßeinheit der Einflussordinaten ist der nachfolgenden Tabelle zu
entnehmen. Tabelle 3-1: Dimensionen für Einflusslinien )(xSmη
Einflusslinien für Belastung Schnittgrößen Auflagerkräfte N V M A ME FV = 1 - - L - L FH = 1 - - L - L M = 1 1/L 1/L - 1/L -
-
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3.2.4 Zusammenfassung Aus Gleichgewicht Kinematische Methode Bild 3-6: Einflusslinien für Auflagerkräfte, Querkraft und Biegemoment
1
1
1
F = 1 kN x
lx
A −= 1η
1
lx
B =η
lxx
M11
1′⋅
=η
x1
x1
-
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3.3 Einflusslinien bei statisch unbestimmten Stabtragwerken
Satz von Land Die Einflusslinie für eine Kraftgröße
entspricht der Biegelinie am (n-1)-fachen statisch unbestimmten System, wenn entgegen der Kraftgröße
die zugehörige Verschiebungsgröße 1 erzeugt wird.
EL für A: ηA EL für M1 : ηM1 Bild 3-7: Einflusslinien für Auflagerkräfte und Biegemoment beim Zweifeldträger Positive Schnittgröße an der Stelle m Zugehörige entgegen gestezte Einheitsverschiebung
1
Vm
Nm
Mm
wr=-1
ur=-1
ϕ r=-1
MTm
ϑr=-1
1
-
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3.4 Lastannahmen für Straßenbrücken und Eisenbahnüberführungen
3.4.1 Verkehrslasten auf Straßenbrücken nach DIN EN 1991 – 2NA/2012-08 Bild 3-8: Verkehrslasten auf Brücken nach DIN EN 1991 – 2 (Lastmodell LMM) Tabelle 3-2: Belastung auf Straßenbrücken nach DIN EN 1991 – 2/NA2012-08
Stellung
Doppelachse Gleichmäßig verteilte Last
Grundwert Angepasster Grundwert
Grundwert Angepasster Grundwert
Achslast Qik in kN
αQi Achslast
αQi ∙Qik in kN
qik (oder qrk) in kN/m2
αqi αQi ∙qik in kN/m
Fahrstreifen 1 300 1,0 300 9,0 1,33 12
Fahrstreifen 2 200 1,0 200 2,5 2,4 6
Fahrstreifen 3 100 1,0 100 2,5 1,2 3
Andere Fahrstreifen
0 - 0 2,5 1,2 3
Restfläche 0 - 0 2,5 1,2 3 Charakteristischer Wert der Achslast:
mit Qik :charakteristischer Wert (Grundwert) der Achslast im Fahrstreifen i und αQi: Abminderungsfaktor
1,20
2 3 Doppelachse
Die Fahrstreifen 1 bis 3 sind unmittelbar nebeneinander ohne Restfläche zwischen diesen Fahrstreifen anzuordnen. Die Doppelachsen in diesen Fahrstreifen sind in Querrichtung als nebeneinander stehend anzusehen.
ikQik QQ ⋅= α
Fahrstreifen 1
Fahrstreifen 2
Fahrstreifen 3
Restfläche
3 m
3 m
3 m
12 kN/m2
6 kN/m2
3 kN/m2
3 kN/m2
3 kN/m2
-
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Für den Fahrstreifen 1 ergibt sich folgendes Lastbild bezogen auf einen gedachten Balken von 3 m Breite:
Bild 3-9: Verkehrslasten auf Brücken nach DIN EN 1991 -2/NA für Fahrstreifen 1 Betrachtung der Querrichtung
Bild 3-10: Lastverteilung in Querrichtung bei Straßenbrücken (LMM)
150 kN
p =12 kN/m2
150 kN
100 kN 100 kN
p = 3 kN/m2
Überbau
2 m 2 m
1,20
300 kN 300 kN
p = 36 kN/m
p =6 kN/m2
50 kN 50 kN
2 m
Geländer
Belag Kappen
p = 3 kN/m2
-
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3.4.2 Entwicklung der Lastannahmen für Straßenbrücken
DIN 1072 (1985)
BKL 60/30
DIN Fachbericht 101 (2003/2009)
Lastmodell 1 (LM1)
DIN EN 1991-2/NA2012-10
Modifiziertes Lastmodell
(LMM)
SLW 60: 3 Achsen á ϕ⋅200 kN
SLW 30: 3 Achsen à 100 kN
Hauptfahrstreifen: ϕ⋅5 kN/m2
Nebenfahrstreifen: 3 kN/m2
Restfläche: 3 kN/m2
SLW: Schwerlastwagen
ϕ: Schwingbeiwert
TS 1: 2 Achsen á 240 kN
TS 2: 2 Achsen á 160 kN
Fahrstreifen 1: 9 kN/m2
Fahrstreifen 2: 2,5 kN/m2
Restfläche: 2,5 kN/m2
TS: Tandemsystem
TS 1: 2 Achsen á 300 kN
TS 2: 2 Achsen á 200 kN
TS 3: 2 Achsen á 100 kN
Fahrstreifen 1: 12 kN/m2
Fahrstreifen 2: 6 kN/m2
Fahrstreifen 2: 3 kN/m2
Restfläche: 3 kN/m2
TS: Tandemsystem
p =12 kN/m2
150 kN 100 kN 100 kN
p = 3 kN/m2
2 m
p =6 kN/m2
50 kN 50 kN
2 m
p = 3 kN/m2
150 kN
2 m
p =9 kN/m2
120 kN
80 kN 80 kN
p = 2,5 kN/m2
2 m 2 m
p = 2,5 kN/m2
120 kN
2 m
Fahr
stre
ifen
1
Fahr
stre
ifen
2
Fahr
stre
ifen
3 1,2 m
3 m 3 m 3 m
Hau
ptfa
hrst
reife
n 1
Neb
enfa
hrst
reife
n 2
3 m 3 m
1,5 m
1,5 m
1,5 m
1,5 m
Fahr
stre
ifen
1
Fahr
stre
ifen
2
Fahr
stre
ifen
3
1,2 m
3 m 3 m 3 m
p =ϕ⋅5 kN/m2
ϕ100 kN 50 kN 50 kN
p = 3 kN/m2
2 m
p =3 kN/m2
2 m
ϕ100 kN
-
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3.4.3 Lastbild UIC 71 für Eisenbahnbrücken (Union international chemin de fer, internationaler Eisenbahnverband)
Bild 3-11: Verkehrslasten auf Eisenbahnbrücken nach DIN-Fachbericht 101
Computerunterstützte Berechnung mit Trägerrostprogramm
Bild 3-12: Trägerrostmodell
Hauptträger (HT) Querträger (QT) Endquerträger (EQT)
1,60
250 kN 250 kN 250 kN 250 kN
80 kN/m 80 kN/m
1,60 1,60 0,80
6,40
Radsatzlasten
0,80 Beliebige
Länge
Streckenlast
Beliebige Länge
Streckenlast
-
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3.5 Beispielaufgaben
3.5.1 Gelenkträger Bild 3-13: Gelenkträger- System und Lastbild Gegeben: System und Lastbild gem. Zeichnung
Gesucht: ηM1, ηV1, ηA , ηB , ηc , ηMB , ηMC Verkehrslaststellung zur Erzeugung extremaler Schnittgrößen Auswertung der ELn für die gefundenen Laststellungen
a) Einflusslinie für das Biegemoment M1 (ηM1 ) Polplan Einflusslinie
1,5 1,5 1,5 1,5
4 4 2 6 3
3*200 kN p = 15 kN/m
1
p = 15 kN/m
-
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Verkehrslaststellung für maximales Moment
Auswertung ( ∑ ∫ ⋅+⋅= dxxxqxFS SmiiSmim )()()(, ηη ) max M1 = Berechnung von max M1 mit Stab2D Bild 3-14: Gelenkträger- Momentenlinie mit Stab2D
-
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Verkehrslaststellung für minimales Moment minM1 =
b) Einflusslinie für die Querkraft V1 (ηV1 ) Polplan Einflusslinie Verkehrslaststellung für maximale Querkraft max V1 = Verkehrslaststellung für minimale Querkraft min V1 =
-
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c) Einflusslinie für die Auflagerkraft A ( ηA ) Verkehrslaststellung für maximale Auflagerkraft A max A = Verkehrslaststellung für minimale Auflagerkraft A min A =
d) Einflusslinie für die Auflagerkraft B ( ηB ) Verkehrslaststellung für maximale Auflagerkraft B max B=
-
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Verkehrslaststellung für minimale Auflagerkraft B min B =
e) Einflusslinie für die Auflagerkraft C ( ηC ) Verkehrslaststellung für maximale Auflagerkraft max C=
f) Einflusslinie für das Stützmoment MB (ηMB ) Polplan Einflusslinie Verkehrslaststellung für minimales Stützmoment min MB min MB =
-
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3.5.2 Gelenkträger 2 zum Selberrechnen Bild 3-15: Gelenkträger 2 - System und Lastbild Gegeben: System und Lastbild gem. Zeichnung
Gesucht: ηA , ηB , ηc , ηD, ηMB , ηMC, ηM1, ηV1, ηM2, ηV2, ηM3, ηV3 Verkehrslaststellung zur Erzeugung extremaler Schnittgrößen Auswertung der ELn für die gefundenen Laststellungen
1,5 1,5 1,5 1,5
6 2 1
3
3*200 kN p = 15 kN/m p = 15 kN/m
2 3 1
2 2 1,5
4
-
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3.5.3 Gelenkträger 3 zum Selberrechnen Bild 3-16: Gelenkträger 3 - System und Lastbild Gegeben: System und Lastbild gem. Zeichnung
Gesucht: ηA , ηB , ηc , ηD, ηMB , ηMC, ηM1, ηV1 Verkehrslaststellung zur Erzeugung extremaler Schnittgrößen Auswertung der ELn für die gefundenen Laststellungen
1,2 m
7 2
3
2*300 kN
q = 36 kN/m
1
5 3 4
-
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27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 73
3.5.4 Ermittlung der Einflusslinien mit Hilfe STAB2D
ηA
ηM1
ηMB Bild 3-17: Einflusslinien Zweifeldträger mit STAB2D
-
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27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 74
3.5.5 Dreifeldträger Für den dargestellten Dreifeldträger sind folgende Einflusslinien gesucht:
ELn für die Auflagerkräfte A und B,
ELn für die Feldmomente M1 und M2 jeweils in Feldmitte
sowie die ELn für die Stützmomente MB und Mc
Es sind zunächst die qualitativen Verläufe der ELn sowie die zugehörigen Laststellungen mit dem vereinfachten Lastbild aus der DIN 1072 gesucht.
Die genauen Ordinaten sind computerunterstützt zu ermitteln.
Auf der Basis der ermittelten Ordinaten sind mit dem vereinfachten Lastbild die Extremwerte der gesuchten Auflagerkräfte zu ermitteln.
ηA
ηB
EI = const
6 8 5
1,5
1,5
1,5
200 kN p = 15 KN/m
1,5
p = 15 kN/m
200 KN 200 KN
-
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ηM1
ηM2
ηMB
ηMc
-
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27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 76
Computerunterstützte Ermittlung der Einflusslinien ηA
ηM1
ηMb Bild 3-18: Einflusslinien Dreifeldträger mit STAB2D
-
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27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 77
3.5.6 Fünffeldträger Für den dargestellten Fünffeldträger sind folgende Einflusslinien gesucht:
ELn für die Auflagerkräfte B und C,
ELn für die Feldmomente M2 und M3 jeweils in Feldmitte
sowie die ELn für die Stützmomente MB und Mc
Es sind zunächst die qualitativen Verläufe der ELn sowie die zugehörigen Laststellungen mit dem vereinfachten Lastbild aus der DIN 1072 gesucht.
Die genauen Ordinaten sind computerunterstützt zu ermitteln.
Auf der Basis der ermittelten Ordinaten sind mit dem vereinfachten Lastbild die Extremwerte der gesuchten Auflagerkräfte zu ermitteln.
ηB
ηC
p = ϕ 15 KN/m p = ϕ 15 kN/m
EI = const
25 25 20 15 15
3 * ϕ 200 KN
-
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ηM2
ηM3
ηMB
ηMC
-
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Computerunterstützte Ermittlung der Einflusslininen ηB
ηC
ηM2
ηMC Bild 3-19: Einflusslinien Fünffeldträger mit STAB2D
-
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3.6 Zusammenfassung Einflusslinien
ηSm (xL)
1) Methoden zur Ermittlung von Einflusslinien
a) Gleichgewichtsmethode
• „Messuhr“ und Tabelle
• Excel-Programm von Prof. Dr. Göttsche, Hochschule Buxtehude
b) Kinematische Methode nach dem PdvV
Verformungsgröße „1“ entgegengesetzt zur betrachteten Kraftgröße aufbringen.
• Auflagerkräfte: Stützensenkung „1“ am betrachteten Auflager
• Querkräfte: Sprung von „1“ am eingefügten Querkraftgelenk
• Biegemomente: Knick von “1“ am eingefügten Momentengelenk
-
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27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 81
2) Zweck von Einflusslinien
Einfaches Erkennen von maßgebenden Verkehrslaststellungen zum Erhalt extremaler (maximaler oder minimaler) Werte von vorgegebenen Kraftgrößen an einer vorgegebenen Stelle („Messuhr“-Stelle).
3) Auswertung von Einflusslinien
Rasche Ermittlung der vorgegebenen extremalen Kraftgröße an der vorgegebenen Stelle für die maßgebende Verkehrslaststellung.
Alternativ kann für die gefundene maßgebende Verkehrslaststellung eine Schnittkraftermittlung durchgeführt werden.
∑ ∫ ⋅+⋅= dxxxqxFS SmiiSmim )()()(, ηη
-
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27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 82
3.7 Einflussflächen bei Plattentragwerken
Literatur [10], [21]
[10] Homberg, H.; Ropers, W.: Fahrbahnplatten mit veränderlicher Dicke, Band 1 und 2, Springer-Verlag 1965 und 1968.
XDO 106
[21] Pucher, A.: Einflussfelder elastischer Platten. 5. Auflage 1977. Springer-Verlag.
XCF 263
http://public.beuth-hochschule.de/~herrmann/fem_baukasten/ueberblick/bilder/platte_einflusslinie.gif
Bild 3-20: Einflussfläche für ein Plattentragwerk
http://public.beuth-hochschule.de/%7Eherrmann/fem_baukasten/ueberblick/bilder/platte_einflusslinie.gif
-
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27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 83
4 Drehwinkelverfahren 4.1 Einführung
4.1.1 Steifigkeit – Systemsteifigkeit Querschnitts-Dehnsteifigkeit: EA
System-Dehnsteifigkeit: cF
Stütze
Bild 4-1: System-Dehnsteifigkeit
Querschnitts-Biegesteifigkeit: EI
System-Biegesteifigkeit: cM
Wirkliches System Ersatzsystem
Bild 4-2: System-Biegesteifigkeit
cF=?
F
∆
F
∆
ϕ ϕ
cM=?
-
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27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 84
4.1.2 Einführendes Beispiel
Bild 4-3: Eingespannter Rahmen
Gesucht sind:
a) Grad der statischen Unbestimmtheit
b) Qualitative Biegelinie
c) Qualitative Biegemomentenlinie
d) Anzahl der geometrischen Systemfreiheitsgrade
Bild 4-4: Eingespannter Rahmen – qualitative Biegelinie und Momentenlinie
EA = ∞
F
-
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27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 85
4.1.3 Idee und grundlegende Annahmen für das DWV Idee Schaffen eines geometrisch bestimmten Hauptsystems, das durch zusätzliche
Bindungen starr gemacht wird. Gleichungen für Stabendmomente infolge der gesuchten wirklichen
Verformungen aufstellen und Volleinspannmomente infolge der Belastungen am geometrisch bestimmten Hauptsystem berechnen.
Knotengleichgewicht und weitere Gleichgewichtsbedingungen liefern Gleichungssystem für unbekannte Stabendverformungen.
Einsetzen der Stabendverformungen in Gleichungen für Stabendmomente zusammen mit Festeinspannmomenten liefern Schnittgrößenverlauf.
Bild 4-5: Skizze zum Drehwinkelverfahren Entwicklung von Weggrößenverfahren durch F. Engesser (1848 – 1931) O. Mohr (1835 – 1918) L. Mann (1871 – 1959) A.S. Ostenfeld (1866 – 1931)
Annahmen für das Drehwinkelverfahren nach Mann Vernachlässigung von Schubverformungen
Vernachlässigung der Normalkraftverformungen ⇒ Stab ist dehnstarr Temperatur, Schwinden und Kriechen werden berücksichtigt
ψS
ϕ2 ϕ3
1
3 2
4
-
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27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 86
4.1.4 Statische und geometrische Unbestimmtheit Abzählkriterium zur Ermittlung der statischen Unbestimmtheit n = a + z – 3 p
a: Summe aller Auflagerreaktionen
z: Summe aller Zwischenreaktionen
p: Anzahl der Systemteile
Abzählkriterium zur Ermittlung der geometrischen Unbestimmtheit m = m1 + m2
m1 = Anzahl (innerer) Knotendrehwinkel (keine Endauflager)
m2 = Anzahl unabhängiger Stabdrehwinkel
Vorgehen zur Ermittlung der Stabdrehwinkel und der Kinematik (s.a. Kap. 1) 1. An jedem Knoten ein Gelenk einführen 2. Falls das System verschieblich ist, die Verschiebungsfigur zeichnen. Polplan zur
Hilfe nehmen! 3. Stabdrehwinkel an jedem Stab bezeichnen. 4. Kinematische Zusammenhänge zwischen den Stabdrehwinkeln herstellen.
Gemeinsame Verschiebung im Gelenk (Nebenpol) verwenden. 5. Abhängigkeiten (Kinematik) ermitteln.
Beispiele zur Ermittlung der statischen bzw. geometrischen Unbestimmtheit
a)
-
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b)
c)
d)
Bild 4-6: Beispiele zur geometrischen Unbestimmtheit
-
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4.1.5 Bezeichnungen, Vorzeichendefinitionen für das DWV Bild 4-7: Vorzeichendefinition für Biegemomente beim DWV Knotenmomente sind linksdrehend positiv Stabendmomente sind rechtsdrehend positiv
Mik = M (x=0) Mki = - M (x=ℓ) Grundbeziehungen am dehnstarren Stab für das DWV Bild 4-8: Geometrische Größen beim DWV
ψ
ϕk
ϕi uk
wk ui
ℓS
EΙS
k Mik Mki
ψS
ϕk
ϕi
ℓS
EΙS k i
wi
i
i k
s
iks
ki
lww
uu−
=
=
ψ
-
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27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 89
4.2 Herleitung der Grundgleichungen für Stabendmomente
4.2.1 Ausgangssituation und Lösungsansatz
Ausgangssituation: Belastete Stäbe (beidseitig oder einseitig eingespannt) in statisch unbestimmten Systemen
Gesucht: Schnittgrößen und Biegelinie
Unbekannte beim DWV sind: Knotendrehwinkel ϕ
Stabdrehwinkel ψ
Geometrisch bestimmtes Hauptsystem
Bild 4-9: Zum DWV Lösungsansatz (an jedem Stab):
a) Starreinspannmomente / Festeinspannmomente infolge äußerer Belastung b) Beziehungen für die Momente infolge der unbekannten Verformungsgrößen c) Gleichgewichtsbedingungen:
an jedem Knoten Σ M = 0
Σ H = 0, Σ V = 0, bzw. Prinzip der virtuellen Arbeiten (PdvA) (Verschiebungsfigur)
d) Lösungen für die unbekannten Knotendrehwinkel und Stabdrehwinkel e) Einsetzen liefert endgültige Momente f) Gleichgewichtskontrollen durchführen
ψs
ϕk
lS
EIS k i
ϕi
-
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27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 90
4.2.2 Stabendmomente infolge von Knotenverdrehungen und -verschiebungen
Zusammenhang zwischen Kraftgrößen (M,V) und Verformungsgrößen (w, β)
)()()()()()()(
xqxVxMxVxMxqxV
−=′=′′=′−=′
∫ ⋅⋅= dAzzxxM ),()( σ ),(),( zxEzx εσ ⋅=
),('),( zxuzx =ε zxwzxzxu ⋅−=⋅= )(')(),( β
zxwzxu ⋅−= )(''),(' zxwzx ⋅−= )(''),(ε
])(''[),( zxwEzx ⋅−⋅=σ
∫ ⋅⋅⋅−⋅= dAzzxwExM ])(''[)(
)()()()()(
)()()('')(
)('')('')( 2
xqxwEIxqxwEIxM
xwEIxMxwEIxM
xwEIdAzxwExM
=′′′′−=′′′′⋅−=′′
′′′⋅−=′⋅−=
⋅−=⋅⋅−= ∫
Für q(x) = 0 :
43
2
2
3
1
32
2
1
21
1
26)(
2)('
)()('')()(
0)(
CxCxCxCxEIw
CxCxCxEIw
xMCxCxEIwxVCxwEI
xwEI
+⋅+⋅+⋅=
+⋅+⋅=
−=+⋅=−==′′′
=′′′′
-
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Für die Betrachtung von wA ergibt sich:
AA wEICwEIwEIRBCwEIRB
⋅=⇒⋅=⋅=⇒=′⋅
4
3
)0(:200)0(:1
2
1
21
3
1
2
2
3
1
122
2
1
0226
026
0)(:4
20
20)(:3
C
C
wEIllClC
wEIlClClwEIRB
lCClClClwEIRB
A
A
⋅
=⋅+⋅
⋅−+⋅
=⋅+⋅+⋅==⋅
⋅−=⇒=⋅+⋅==′⋅
Für die Biegemomente ergibt sich:
=−=
==
=
=
=−⋅−=′′⋅−=
)(
)0(
)(
)0(
)()( 21
lMM
MM
lM
M
CxCxwEIxM
E
A
Für die Querkräfte ergibt sich:
==
=−=
=−=′′′⋅−=
)(
)0(
)()( 1
lVf
Vf
CxwEIxV
zE
zA
wA
-
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27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 92
Für die Betrachtung von wE ergibt sich:
00)0(:200)0(:1
4
3
=⇒=⋅=⇒=′⋅
CwEIRBCwEIRB
E
EE
E
E
wlEIlCC
wl
EICwEIlC
wEIllClC
lClCwEIlwEIRB
lCClClClwEIRB
⋅⋅
=⋅−=
⋅⋅
−=⇒⋅=
−⋅
⋅=⋅
⋅−+⋅
⋅+⋅=⋅=⋅
⋅−=⇒=⋅+⋅==′⋅
21
2
313
1
21
3
1
2
2
3
1
122
2
1
62
1241
61
226
26)(:4
20
20)(:3
Für die Biegemomente ergibt sich:
EE
EA
EEE
E
EE
wlEIlMM
wlEIMM
wlEIw
lEIlw
lEIlM
wlEIM
wlEIxw
lEICxCxwEIxM
⋅⋅
−=−=
⋅⋅
−==
⋅⋅
=⋅⋅
−⋅⋅⋅
=
⋅⋅
−=
⋅⋅
−⋅⋅⋅
=−⋅−=′′⋅−=
2
2
223
2
2321
6)(
6)0(
6612)(
6)0(
612)()(
Für die Querkräfte ergibt sich:
EzE
EzA
E
wl
EIlVf
wl
EIVf
wl
EICxwEIxV
⋅⋅
==
⋅⋅
−=−=
⋅⋅
=−=′′′⋅−=
3
3
31
12)(
12)0(
12)()(
wE
-
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27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 93
Für die Betrachtung von ϕA ergibt sich:
00)0(:2)0(:1
4
3
=⇒=⋅⋅=⇒⋅=′⋅
CwEIRBEICEIwEIRB AA ϕϕ
AAA
AAA
AA
A
AA
lEI
lEIl
lEIC
lEIClEIlEIlC
lEIll
EIlClC
lEIlClClwEIRB
lEIlCCEIlClClwEIRB
ϕϕϕ
ϕϕϕ
ϕϕ
ϕ
ϕϕ
⋅⋅
−=⋅−⋅⋅⋅
−=
⋅⋅
=⇒⋅⋅+⋅⋅−
−⋅
=⋅⋅+⋅
⋅−⋅−+⋅
=⋅⋅+⋅+⋅==⋅
⋅−⋅−=⇒=⋅+⋅+⋅==′⋅
42
6
624
161
0226
026
0)(:4
20
20)(:3
22
213
1
21
3
1
2
2
3
1
122
2
1
Für die Biegemomente ergibt sich:
AE
AA
AAA
A
AA
lEIlMM
lEIMM
lEI
lEIl
lEIlM
lEIM
lEIx
lEICxCxwEIxM
ϕ
ϕ
ϕϕϕ
ϕ
ϕϕ
⋅⋅
=−=
⋅⋅
==
⋅⋅
−=⋅⋅
+⋅⋅⋅
−=
⋅⋅
=
⋅⋅
+⋅⋅⋅
−=−⋅−=′′⋅−=
2)(
4)0(
246)(
4)0(
46)()(
2
221
Für die Querkräfte ergibt sich:
AzE
AzA
A
lEIlVf
lEIVf
lEICxwEIxV
ϕ
ϕ
ϕ
⋅⋅
−==
⋅⋅
=−=
⋅⋅
−=−=′′′⋅−=
2
2
21
6)(
6)0(
6)()(
ϕA
-
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27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 94
Für die Betrachtung von ϕE ergibt sich:
00)0(:200)0(:1
4
3
=⇒=⋅=⇒=′⋅
CwEIRBCwEIRB
EEE
EE
E
EE
lEI
lEIl
lEIC
lEIClEIlC
ll
EIlClC
lClClwEIRB
lEIlCClClCEIlwEIRB
ϕϕϕ
ϕϕ
ϕ
ϕϕ
⋅⋅
−=⋅+⋅⋅⋅
−=
⋅⋅
=⇒⋅⋅+
−⋅
=⋅
⋅+⋅−+⋅
=⋅+⋅==⋅
⋅+⋅−=⇒⋅+⋅=⋅=′⋅
22
6
624
161
0226
026
0)(:4
22)(:3
22
213
1
21
3
1
2
2
3
1
122
2
1
Für die Biegemomente ergibt sich:
EE
EA
EEE
E
EE
lEIlMM
lEIMM
lEI
lEIl
lEIlM
lEIM
lEIx
lEICxCxwEIxM
ϕ
ϕ
ϕϕϕ
ϕ
ϕϕ
⋅⋅
=−=
⋅⋅
==
⋅⋅
−=⋅⋅
+⋅⋅⋅
−=
⋅⋅
=
⋅⋅
+⋅⋅⋅
−=−⋅−=′′⋅−=
4)(
2)0(
426)(
2)0(
26)()(
2
221
Für die Querkräfte ergibt sich:
EzE
EzA
E
lEIlVf
lEIVf
lEICxwEIxV
ϕ
ϕ
ϕ
⋅⋅
−==
⋅⋅
=−=
⋅⋅
−=−=′′′⋅−=
2
2
21
6)(
6)0(
6)()(
ϕE
-
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27.08.2018 Baustatik_3_2018.docx 95
Zusammenfassend infolge von Knotensenkungen und –verdrehungen Bild 4-10: Einheitsverformungszustände am beidseitig eingespannten Stab und Stabendmomente Zusammenfassung:
ϕi = 1 ϕk = 1
wi = 1 wk = 1
( )
( )
( )siik
sikki
skiik
lEIM
lEIM
lEIM
ψϕ
ψϕϕ
ψϕϕ
−⋅=
⋅−⋅+⋅=
⋅−⋅+⋅=
3
5,15,04
5,15,04
iik lEIM ϕ⋅= 4
iki lEIM ϕ⋅= 2
iik wlEIM ⋅= 2
6iki wl
EIM ⋅= 26
kik wlEIM ⋅−= 2