bb1 ts 2014 - freeminim.maths.free.fr/guilbert/cours de ts/corrige/bb1_ts... · 2013-12-10 · 3!!...
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BAC BLANC
MATHEMATIQUES
TERMINALE S
MERCREDI 4 DECEMBRE 2013 Consignes :
• Calculatrice autorisée • Chaque exercice est à traiter sur une copie différente • Numéroter les pages.
Barème : • Exercice 1 : 4 points • Exercice 2 : 7 points • Exercice 3 : 4 points • Exercice 4 : 5 points (non spécialiste) • Exercice 5 : 5 points (spécialité)
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Exercice 1 : Commun à tous les candidats Evolution d’une population d’animaux
1) On a étudié en laboratoire l’évolution d’une population de petits rongeurs ; ainsi pour décrire cette évolution, on a utilisé comme modèle la fonction f définie sur 0;+∞ par 𝑓 𝑡 = 𝑒!,!! où t le temps (en années) et f(t) le nombre de rongeurs (en centaines). a) Dresser, en justifiant, le tableau de variations complet de f pour décrire l’évolution de la
population des rongeurs. b) Quel est le pourcentage d’augmentation du nombre de rongeurs la première année ? c) Ce pourcentage est-‐il le même chaque année. Justifier.
2) En réalité, dans un secteur observé d’une région donnée, un prédateur empêche une telle
croissance en tuant une certaine quantité de rongeurs. Le nombre de rongeurs, exprimé en fonction du temps t (en années) est alors modélisé par :
𝑔 𝑡 =1
𝑎𝑒!!,!! + 𝑏 où a et b sont deux constantes réelles. La fonction g est représentée par la courbe Cg ci-‐dessous dont on donne la tangente au point A(0 ;1) qui passe par le point B (10 ; 2,5) a) Lire graphiquement le nombre de rongeurs à l’instant t=0, ainsi que sa vitesse initiale de
prolifération 𝑔′(0). b) En déduire les valeurs de a et b c) Dans ce modèle, comment se comporte la taille de la population des rongeurs lorsque t
tend vers +∞. Justifier. d) Dresser, en justifiant, le tableau de variations complet de g sur 0;+∞ e) L’évolution, en pourcentage, est-‐elle la même chaque année ?
La courbe Cg
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Exercice 2 : Commun à tous les candidats On considère la suite un( )n∈N définie par : u0 = −1 et u1 =
12 ∀𝑛𝜖𝑁 𝑢!!! = 𝑢!!! −
!!𝑢!
1) Calculer 𝑢! et en déduire que la suite un( )n∈N n’est ni arithmétique, ni géométrique. 2) On définit la suite vn( )n∈N en posant ∀𝑛𝜖𝑁 𝑣! = 𝑢!!! −
!!𝑢!
a) Calculer 𝑣! b) Exprimer 𝑣!!! en fonction de 𝑣! c) En déduire que la suite vn( )n∈N est géométrique de raison
!! .
d) Exprimer 𝑣! en fonction de n 3) On définit la suite wn( )n∈N en posant ∀𝑛𝜖𝑁 𝑤! =
!!!!
a) Calculer 𝑤! b) En utilisant l’égalité 𝑢!!! = 𝑣! +
!!𝑢! , exprimer 𝑤!!! en fonction de 𝑢! 𝑒𝑡 𝑣!
c) En déduire ∀𝑛𝜖𝑁 𝑤!!! = 𝑤! + 2 d) Exprimer 𝑤! en fonction de n
4) Montrer que pour tout entier naturel n, 𝑢! =
!!!!!!
5) On pose : ∀𝑛𝜖𝑁 𝑆! = 𝑢! + 𝑢! +⋯+ 𝑢!
a) Compléter l’algorithme ci-‐dessous permettant de calculer Sn où n est un entier naturel choisi par l’utilisateur.
Début Saisir N S prend la valeur …….. Pour K allant de 1 à …… S prend la valeur ………………………. Fin Pour Afficher S Fin
b) En utilisant l’algorithme précédent, choisir l’expression de Sn pour tout entier naturel n, parmi les 3 propositions
• 𝑆! = 2+ !!!!!!
• 𝑆! = 2− !!!!!!
• 𝑆! = −1+ !!!!!!
c) Démontrer par récurrence la formule conjecturée à la question 5b
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Exercice 3 : Communs à tous les candidats Les parties A , B et C sont indépendantes. Partie A On considère le polynôme P défini par : 𝑃 𝑧 = 𝑧! − 6𝑧! + 24𝑧! − 18𝑧 + 63 1) Calculer 𝑃 𝑖 3 𝑒𝑡 𝑃 −𝑖 3 . 2) Déterminer par le calcul les réels a, b et c tels que 𝑃 𝑧 = (𝑧! + 3)(𝑎𝑧! + 𝑏𝑧 + 𝑐) 3) Résoudre l’équation 𝑃 𝑧 = 0 Partie B Soit un plan complexe muni d’un repère orthonormé direct (𝑂,𝑢, 𝑣) On nomme f l’application qui à tout point M(z), avec 𝑧 ≠ 𝑖, associe le point M’(z’) telle que :
𝑧! =𝑧 + 1𝑧 − 𝑖
1) Calculer l’image A’ du point A d’affixe 2− 3𝑖 par l’application f. 2) Déterminer les éventuels antécédents du point B’ d’affixe 2i . 3) On pose 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦 avec x et y réels. Calculer en fonction de x et de y, les parties réelles et
imaginaires de z’.
4) En déduire l’ensemble E des points M(z) telle que z’ soit réel. Partie C Soient a et b deux nombres complexes tels que 𝑎𝑎 = 𝑏𝑏 = 1 et 𝑎𝑏 ≠ −1 Montrer que !!!
!!!" est réel.
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Exercice 4 : Candidat n’ayant pas choisi l’enseignement de spécialité Pour entretenir le chauffage, une société fait contrôler les chaudières de son parc de logement dont 20% sont sous garantie. Parmi les chaudières sous garantie, la probabilité qu’une chaudière soit défectueuse est de 0,01. Parmi les chaudières qui ne sont plus sous garantie, la probabilité qu’une chaudière soit défectueuse est de 0,1. On appelle G, l’événement suivant : « La chaudière est sous garantie » et D : « la chaudière est défectueuse ».
1) a) Traduire la situation par un arbre pondéré b) Calculer la probabilité de l’événement A : « La chaudière est sous garantie et défectueuse » c) Calculer la probabilité qu’une chaudière soit défectueuse. d) Dans un logement, sachant qu’une chaudière est défectueuse, quelle est la probabilité
qu’elle soit sous garantie ?
2) Le contrôle est gratuit si la chaudière est sous garantie. Il coûte 80 euros si la chaudière n’est plus sous garantie et n’est pas défectueuse. Il coûte 280 euros si la chaudière n’est plus sous garantie et est défectueuse. On note X la variable aléatoire qui représente le coût du contrôle d’une chaudière. Déterminer la loi de probabilité de X et son espérance mathématique.
3) Au cours de la période de contrôle, on a trouvé 10 chaudières défectueuses. Quelle est la probabilité qu’au moins l’une d’entre elles soit sous garantie ? (à 0,001 près)
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Exercice 5 : Candidat ayant choisi l’enseignement de spécialité
A) Restitution organisée des connaissances
1) Soient m et n, 2 entiers naturels supérieurs ou égaux à 2 et a et b, 2 entiers relatifs. Démontrer que si m divise n alors a ≡ b n[ ] ⇒ a ≡ b m[ ]
2) En utilisant3320 ≡ 5 13[ ] , démontrer que 33201981 − 5 est divisible par 13 3) a et b deux entiers naturels non nuls, déterminer le PGCD de ab et (2a+1)b.
B) Exercices sur les congruences
Soit n un entier naturel non nul. 1) Etudier suivant les valeurs de n, les différentes valeurs de 2n modulo 7 2) Etudier suivant les valeurs de n, les différentes valeurs de 50n modulo 7 3) En déduire, suivant les valeurs de n, les différentes valeurs de 100n modulo 7 4) Soit k ∈N et n de la forme n=3k+3
Soient b et c 2 entiers tels que : 0 ≤ b ≤ 9 et 0 ≤ c ≤ 9 On considère le nombre A dont l’écriture en base 10 est :
A = bcbc.....bcbcbc (b et c étant répétés chacun n=3k+3 fois)
(le 1er chiffre c en partant de la droite étant le chiffre des unités, b celui des dizaines, c celui des centaines ……) Démontrer que A est divisible par 7.