http://xmaths.free.fr TS − Limites de fonctions − Exercices page 1 / 1

Exercice C2

a)

x→-1lim (1 + x)3 = 0 et

x→-1lim x2 - 2 = 1 - 2 = -1 donc

x→-1lim

(1 + x)3

x2 - 2 = 0 .

b)

x→-3x > -3

lim x2 + x - 6 = (-3)2 + (-3) - 6 = 9 - 3 - 6 = 0

et

x→-3x > -3

lim -3x2 - 7x + 6 = -3 x (-3)2 - 7 x (-3) + 6 = -27 + 21 + 6 = 0

La recherche de

x→-3x > -3

lim x2 + x - 6

-3x2 - 7x + 6 conduit donc à une forme indéterminée du type 0

0 .

-3 est racine de chacun des trinômes x2 + x - 6 et -3x2 - 7x + 6 .

On peut mettre (x + 3) en facteur :

On obtient x2 + x - 6 = (x + 3)(x - 2) et -3x2 - 7x + 6 = (x + 3)(-3x + 2)

On en déduit que pour x ≠ -3 on a x2 + x - 6

-3x2 - 7x + 6 = (x + 3)(x - 2)

(x + 3)(-3x + 2) = x - 2

-3x + 2

On a

x→-3x > -3

lim x - 2 = -3 - 2 = -5 et

x→-3x > -3

lim -3x + 2 = -3 x (-3) + 2 = 11

donc

x→-3x > -3

lim x - 2

-3x + 2 = - 5

11 c'est-à-dire

x→-3x > -3

lim x2 + x - 6

-3x2 - 7x + 6 = - 5

11 .

c) On sait que sin x2 n'a pas de limite en +∞ , mais ceci ne permet pas de conclure pour

x→+∞lim

sin x2

x x

.

On sait que la fonction sinus est bornée par -1 et 1, on a donc -1 £ sin x2 £ 1 pour tout x ∈ IR

Comme x tend vers +∞, on peut supposer que x > 0 donc x x > 0,

on obtient alors - 1

x x

£

sin x2

x x

£ 1

x x

.

Or

x→+∞lim x x = +∞ , donc

x→+∞lim - 1

x x

= 0 et

x→+∞lim 1

x x

= 0

Le théorème des gendarmes permet de conclure que

x→+∞lim

sin x2

x x

= 0 .

d) La recherche directe de

x→2lim 3x + 3 - 3

2 - x aboutit à une forme indéterminée du type 0

0 .

Multiplions numérateur et dénominateur par 3x + 3 + 3 . On obtient :

3x + 3 - 3

2 - x = ( 3x + 3 - 3)( 3x + 3 + 3)

(2 - x)( 3x + 3 + 3) = 3x + 3 - 9

(2 - x)( 3x + 3 + 3) = 3x - 6

(2 - x)( 3x + 3 + 3)

donc 3x + 3 - 3

2 - x = 3(x - 2)

(2 - x)( 3x + 3 + 3) = -3

3x + 3 + 3

On a

x→2lim 3x + 3 + 3 = 9 + 3 = 3 + 3 = 6 donc

x→2lim -3

3x + 3 + 3 = -3

6 = - 1

2

Donc

x→2lim 3x + 3 - 3

2 - x = - 1

2 .