bdhsg toan thcs nguyen ly dirichlet

Ti liu bi dng hc sinh gii THCS Trang 19

3 NGUYN L DIRICHLET

Nguyn l Dirichlet cn gi l "nguyn tc nht th vo lng " hoc "nguyn tc xp vtvo ngn ko" hoc "nguyn tc chung b cu". Ni dung ca nguyn l ny ht sc n gin vd hiu, nhng li c tc dng rt ln trong gii ton. Nhiu khi c nhng bi ton, ngi ta dng rt nhiu phng php ton hc gii m vn cha i n kt qu, nhng nh nguyn lirichl m bi ton tr nn d dng gii quyt.

Nguyn tc irichl c pht biu di dng bi ton sau y:

1. Nu em nht m con th vo n chic lng, vi m > n (ngha l s th nhiu hn s lng)th t nht cng c mt lng nht khng t hn 2 th.

2. Nu em xp m vt vo n ngn ko, vi m > n (ngha l s vt nhiu hn s ngnko), th t nht cng phi c mt ngn ko cha khng t hn 2 vt.

Vic chng minh cc khng nh trn kh d dng bng phng php phn chng. Nguyn lDirichlet l mt nh l v tp hp hu hn. Pht biu chnh xc nguyn l ny nh sau:

Cho A v B l 2 tp khng rng c s phn t hu hn m s phn t A ln hn s lngphn t ca B, nu vi quy tc no y, mi phn t ca A tng ng vi 1 phn t ca B thtn ti 2 phn t khc nhau ca A m chng tng ng vi cng 1 phn t ca B.M rng nguyn l DirichletCho A l tp hu hn nhng phn t , K hiu |A| l s lng cc phn t thuc A. Nguyn lDirichlet c th pht biu nh sau: Nu A v B l nhng tp hp hu hn v |A| > k|B| y kl 1 s t nhin no v nu mi phn t ca A cho tng ng vi 1 phn t no ca B thtn ti t nht k + 1 phn t ca A m chng tng ng vi cng mt phn t ca B.Thc hnh: s dng nguyn l Dirichlet ta phi lm xut hin tnh hung nht "th" vo"chung" tha mn cc iu kin:

- S "th" phi nhiu hn s "chung".- "Th" phi c nht ht vo cc "chung", nhng khng bt buc "chung" no cng phi

c "th"- Thng phng php Dirichlet thng i km vi phng php phn chng.- C nhiu bi tp c kt lun ging nh kt lun ca nguyn l Dirichlet tuy nhin trong li

gii li khng dng dng n.

Di y l mt s v d p dng.Bi 3.1. Chng minh rng trong s 5 ngi ty , bao gi cng c hai ngi c cng s ngiquen nhau.

Gii

Ta chia 5 ngi thnh i nhm, 0 i 4, y i biu th l s ngi quen nhau. Khi xy rahai trng hp:

Trng hp 1: C mt ngi khng quen ai ht, khi th 0 i 3. Theo nguyn lDirichlet tn ti nhm c t nht hai ngi quen nhau.

Trng hp 2: Ai cng c ngi quen, khi 0 i 4. Theo nguyn l Dirichlet tn tinhm c t nht hai ngi quen nhau.

GV: Trn Minh Hin(0989.541.123) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Trng THPT chuyn Quang Trung


Luyn tp:1. Chng minh rng trong s n ngi (n l s nguyn dng ln hn bng 2), bao gi cng c haingi c s ngi quen bng nhau.

Bi 3.2. Gi s trong mt nhm 6 ngi m mi cp bt k th hoc l bn ca nhau hoc l thln nhau. Chng t rng trong nhm trn c 3 ngi l bn ln nhau hoc c 3 ngi l k thln nhau.

Gii

Gi A mt trong 6 ngi trn. Theo nguyn l Dirichlet th trong s 5 ngi cn li ca nhmhoc l c t nht 3 ngi l bn ca A hoc c t nht 3 ngi l k th ca A.

Trong trng hp u ta gi B,C,D l bn ca A. Nu trong 3 ngi ny c 2 ngi l bnth h cng vi A lp thnh mt b 3 ngi bn ca nhau ( khng ai l k th ca ai c), ngcli, tc l nu trong 3 ngi B,C,D khng c ai l bn ca ai th chng t h l b ba ngi thln nhau.

Tng t nh trn ta c th chng minh trong trng hp c t nht 3 ngi l k th ca A.

Bi tp di y c hnh thc pht biu khc, tuy nhin lp lun vn khng thay i.

Bi 3.3. C 6 i bng thi u vi nhau (mi i phi u 1 trn vi 5 i khc). Chng minhrng vo bt c lc no cng c 3 i trong tng cp u vi nhau hoc cha u vi nhautrn no.

Gii

Gi s 6 i bng l A,B,C,D,E, F . Xt i A, theo nguyn l Dirichlet ta suy ra: A phi uhoc khng u vi t nht 3 i khc. Khng mt tnh tng qut, gi s A u vi B,C,D.Nu B,C,D tng cp cha u vi nhau th bi ton c chng minh.Nu B,C,D c 2 i u vi nhau, v d B v C th 3 i A,C,D tng cp u vi nhau.Nh vy bt c lc no cng c 3 i trong tng cp u vi nhau hoc cha u vi nhautrn no.Luyn tp:1. Trong mt gii v ch bng c 11 i tham gia. Hai i bt k phi thi u vi nhau cngmt trn. Chng minh rng ti mt thi im ca gii lun c hai i c cng s trn u bngnhau.2. Mt nhm c 10 ngi, trong 2 ngi bt k l bn ca nhau hoc l th ln nhau. Chngminh rng trong nhm trn lun c 7 ngi m hoc l 3 ngi l bn ca nhau v 4 ngi l kth ln nhau hoc l 3 ngi l k th ln nhau v 4 ngi l bn ca nhau.3. Trn mt phng cho 6 im, trong khng c ba im no thng hng. Cc im cho cni vi nhau bi cc on thng, mi on thng c t bi mt trong hai mu: xanh hoc .Chng minh rng tn ti 3 im trong s 6 im cho to thnh mt tam gic c 3 cnh cngmu.4. Trn mt phng cho 17 im, trong khng c ba im no thng hng. Cc im choc ni vi nhau bi cc on thng, mi on thng c t bi mt trong ba mu: xanh, ,vng. Chng minh rng tn ti 3 im trong s 17 im cho to thnh mt tam gic c 3 cnhcng mu.



Bi 3.4. Trong hnh vung c cnh bng 1 t 51 im bt k phn bit. Chng minh rng c t

nht ba trong s 51 im nm trong mt hnh trn bn knh1

7. 1

Gii

Chia hnh vung cho thnh 25 hnh vung con bng nhau c cnh bng1

5. Theo nguyn l

Dirichlet, tn ti t nht mt hnh vung () cha t nht 3 trong s 51 im trn. ng trn

ngoi tip () c bn knh1

5

2 1 v n+ 2 s nguyn dng

1 a1 < a2 < . . . < an+2 3n.Chng minh rng tn ti hai s ai v aj sao cho n < ai aj < 2n.Hng dn: Ta c th gi s an+2 = 3n(nu khng th tnh tin u tt c cc phn t). Nu tnti ai m n < ai < 2n th n < an+2 ai < 2n. Nu khng tn ti, th xt n+ 1 cp

(1, 2n), (2, 2n+ 1), . . . , (n, 3n 1).12. Chng minh rng trong 11 s t nhin ty lun c th chn ra hai s c hiu bnh phngchia ht cho 20.

Bi 3.8. Cho 7 s thc bt k. Chng minh rng gia chng c th chn c 2 s, chng hn xv y sao cho

0 x y1 + xy

3

3

Gii

Cc s cho k hiu l x1, x2, . . . , x7. Biu din cc s di dng xi = tani, y i l mts trong khong

(pi2, pi2

), i = 1, . . . , 7. Chng ta chia on ny ra thnh 6 on nh c di

bng nhau, ngha l c dipi

6. D dng thy rng c t nht hai s trong by s 1, . . . , 7 cng

nm trong mt on con no . Ta k hiu hai s l i, j th t suy ra 0 i j pi6 .Suy ra:

0 tan(i j) = tan1 tanj1 + tani tanj

=xi xj1 + xixj

tan pi6

=

3

3.

Luyn tp:1. Cho tp X = {1, 2, 3, . . . , 81}. Chng minh rng trong 3 phn t ty ca X lun c hai phnt a, b sao cho

0 < 4a 4b 1.

Hng dn: Xt x1, x2, x3 ca X. t ci = 4xi, i = 1, 2, 3 th 1 ci 3. Chia on [1, 3] thnh

hai on [1, 2] v [2, 3].2. Chng minh rng mi b gm 11 s thc khc nhau trong on [1;1000] c th chn c hais x 6= y tha mn 0 < x y < 1 + 3 3xy.Hng dn: Vi x [1, 1000] th 3x [1, 10], chia on ny thnh 10 on [1, 2], [2, 3], . . . , [9, 10]th t 11 s s c hai s thuc mt on, gi l x > y, v 0 < x y < 1. Lu

x y 1 3 3xy = ( 3x 3y 1) ( 3x2 + 3y2 + 1 3x 3y 3xy) .GV: Trn Minh Hin(0989.541.123) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Trng THPT chuyn Quang Trung


3. Chng minh rng trong 9 s thc phn bit bt k, lun tn ti hai s a v b sao chon

0 c). T ch cn xt 101 con th l cc s t100 n 200 ri p dng nguyn l Dirichlet cho 50 ci chung tp hp.

Bi 3.13. Ti mt hi ngh c 100 i biu. Trong s c 15 ngi Php, mi ngi quen vi tnht 70 i biu v 85 ngi c, mi ngi quen vi khng qu 10 i biu. H c phn vo21 phng. Chng minh rng c mt phng no khng cha mt cp no quen nhau.

Gii

Mi mt ngi Php phi quen vi t nht 70 14 = 56 ngi c. Suy ra s cp (Php, c)quen nhau t nht l 15 56 = 840. Gi n l s ngi c quen 9 i biu ngi Php (gi l1) th ta c: 840 (85 n)10 + n.9. Suy ra n 10. Nhng ngi c cn li (2) u quen 10i biu ngi Php, do khng th quen vi ngi c na.V c 21 phng v ch c 15 ngi Php nn c t nht 6 phng ch c ton ngi c. V ch cnhiu nht 10 ngi c c th quen nhau nn theo nguyn l Dirichlet, trong 6 phng ny s ct nht mt phng ch c nhiu nht 1 ngi c thuc 1. Phng ny chnh l phng cn tm.

Bi 3.14. Bn trong mt hnh trn bn knh 33 c 1000 im. Chng minh rng tn ti mt hnhtrn bn knh 1 nm trong hnh trn ban u m khng cha im no trong 1000 cho.

Gii

V 1000 hnh trn bn knh 1 c tm l 1000 im cho. Gi P l tm ca hnh trn ban u.Dng hnh trn tm P bn knh 32 = 33 1. Gi S1 l din tch ca hp 100 hnh trn bn knh1(c th chm ln nhau). Gi S2 l din tch ca hnh trn tm P bn knh 32. Ta c:

S1 1000pi2.1 = 1000pi < 1024pi = 322pi = S2Do tn ti mt im Q nm trong hnh trn (P ; 32), nm ngoi cc hnh trn bn knh 1. Vhnh trn (Q, 1), hnh trn ny nm trong hnh trn ban u (P, 33) m khng cha im notrong 1000 im cho.

Vi cch lm nh vy ta chuyn bi ton tm cch dng ng trn bn knh 1 bng tm

mt im tha mn tnh cht trn. tng nh sau: Gi s ta phi tm ng trn bn knhS(B, 1) khng cha im no trong 1000 im A1, A2, . . . , A1000. ng trn S(B, 1) khng cha



im A1 BA1 > 1 B 6 S(A1, 1). Vy B 6 S(A1, 1) S(A2, 1) S(A1000, 1). Tuy nhinyu cu "ph" l ng trn S(B, 1) phi nm trong ng trn S(P, 33) nn im B khng cphp "gn" bin ng trn S(P, 33). c c th B phi nm trong ng trn S(P, 32). Vyta phi tm im B tha mn hai iu kin:

B 6 S(A1, 1) S(A2, 1) S(A1000, 1)B S(P, 32)

c c iu ny ch cn chng t din tch ca SS(A1,1)S(A2,1)S(A1000,1) < SS(P,32)(v nu nnh hn th chc chn s c im B. Nu din tch ln hn th c th c im B hay khng, nhngnh hn th chc chn c). Cn ch l 1000 ng trn trn khng nht thit nm trong ngtrn S(P, 32) m ta ch cn chng t min din tch ca 1000 ng trn khng ph ht hnhtrn S(P, 32) c c im B

Bi 3.15. Bn trong mt hnh vung cnh 100, ngi ta t 35 ng xu hnh trn c bn knh 1.Chng minh rng c th t c 1 tm ba hnh trn c bn knh 7 nm trong hnh vung mkhng chm ln mt ng xu no.

Gii

Cch 1. V 35 hnh trn bn knh 1 + 7 = 8, c tm l tm ca 35 ng xu cho. Thu nh hnhvung cnh 100 mi pha 7 c hnh vung ng tm c cnh: 100 14 = 86.Gi S1 l din ca ca hp 35 hnh trn bn knh 8, gi S2 l din tch hnh vung cnh 86, tathy S1 < S2 v:

S1 35pi.82 < 35.3, 2.64 = 7168 < 7396 = 862 = S2Do tn ti mt im, gi l A, nm trong hnh vung cnh 86, nm ngoi cc hnh trn bnknh 8. V hnh trn (A, 7), hnh trn ny nm trong hnh vung cnh 100 m khng chm lnmt ng xu no.

Cch 2. Chia hnh vung cnh 100 thnh 36 vung c cnh100

6= 16

2

3. Xt tm ca 35 ng

xu. Theo nguyn l Dirichlet, tn ti mt vung khng cha tm ca mt ng xu no. Thunh vung li c hnh vung ng tm cnh 14.Min trong ca hnh vung cnh 14 khng chm ln mt ng xu no, do hnh trn ni tiphnh vung c bn knh 7 khng chm ln mt ng xu no.Luyn tp:1. Bn trong mt hnh ch nht kch thc 13 14 c 8 tm ba hnh vung cnh 2. Chng minhrng tn ti mt hnh trn bn knh 1 nm trong hnh ch nht m khng chm ln mt tm bano.2. Bn trong mt hnh ch nht kch thc 12, 5 14 c 8 tm ba hnh vung cnh 2. Chngminh rng tn ti mt hnh trn bn knh 1 nm trong hnh ch nht m khng chm ln mttm ba no.3. Bn trong mt hnh vung cnh 100 t 63 ng xu hnh trn bn knh 1. Chng minh rngc th t c mt tm ba hnh vung cnh 10 nm trong hnh vung ban u m khng chmln mt ng xu no.

Bi 3.16. Trong mt phng cho 2009 im. Bit rng trong 3 im bt k ly t cc im cholun c hai im c khong cch nh hn 1. Chng minh rng c 1005 im nm trong hnh trnbn knh 1.



Gii

Ly M l mt im bt k, v ng trn S(M, 1). Khi c hai kh nng xy ra:

Nu tt c cc im cn li u nm trong S(M, 1) th bi ton c chng minh. Nu c im N m MN > 1 th v S(N, 1). Khi vi im P bt k trong s cc im cn

li th vi b ba im M,N,P , p dng gi thit bi ton, ta c P phi thuc mt tronghai ng trn S(M, 1) v S(N, 1). C 2009 im, ch c th thuc vo hai ng trn trn,nn phi c mt ng trn cha 1005 im. Bi ton c chng minh.

Di y l bi ton c ngun gc xut pht t hnh hc. Ngi ta bit nhng tnh cht"im c nh ca hnh hc" ri reo vo mt cht "yu t t hp", v nh vy bi ton tr nnkh khn hn nhiu so vi yu cu ca mt bi hnh hc thun ty.

Bi 3.17. Cho hnh vung ABCD v 2005 ng thng tha mn ng thi cc tnh cht sau:

a) Mi ng thng u ct hai cnh i ca hnh vung.

b) Mi ng thng u chia hnh vung thnh hai phn c t s din tch bng1

2.

Chng minh rng trong 2005 ng thng c t nht 502 ng thng ng quy.

Gii

Gi EF,HK l cc trc i xng ln lt song song vi AD,BC ca hnh vung. Gi s mtng thng no ct AB,CD ln lt ti G, T . on GT ct HK ti J . Khi nu

SAGTDSBGTC

=1

2 HJ

JK=

1

2.

Tc J l im c nh. Tng t cho trng hp ngc li. Kho st tng t vi trng hpng thng ct hai cnh AD,BC ca hnh vung. Vy trong mi trng hp cc ng thnglun i qua bn im c nh, l cc im chia on HK,EF thnh ba phn bng nhau. C2005 ng thng, mi ng thng i qua mt trong bn im c nh trn, theo nguyn lDirichlet th c t nht 502 ng thng ng quy.Luyn tp:1. Cho hnh bnh hnh ABCD v 25 ng thng(mi ng thng u ct hai cnh i ca hnh

vung). Mi ng thng chia ABCD thnh 2 hnh thang vi t s din tch l1

3. CMR trong 25

ng thng c 7 ng thng ng quy.2. Trong mt phng cho hnh vung ABCD. Mt tam gic gi l ni tip hnh vung nu ba nhca n nm trn ba cnh hnh vung. Chng minh rng trong 6015 ng thng cha cc cnhca 2005 tam gic u ni tip hnh vung trn c t nht 502 ng thng ng quy.3. Cho hnh bnh hnh ABCD v 25 ng thng, m mi ng thng chia ABCD thnh 2 hnh

thang vi t s din tch l1

3. Chng minh rng trong 25 ng thng c 7 ng thng ng

quy.

Bi 3.18. Trong mt phng cho n_gic li c ta cc nh l cc s nguyn (n > 4).



a) Chng minh rng trn cnh hoc bn trong a gic cn c t nht mt im nguyn khcna.

b) Chng minh rng bn trong mt ng gic li (n = 5) cn c t nht mt im nguyn na.

Gii

a) Ta chia tp cc im nguyn thnh 4 loi: loi I(chn, chn), loi II(chn, l), loi III(l, chn),loi IV(l, l). V n > 4, tc a gic c t nht 5 nh, m mi nh ch ri vo 4 loi trn nnc t nht 2 nh cng loi. Khi trung im ca hai nh nm trn cnh ca a gic vc ta nguyn.

b) Gi 5 nh ca ng gic li l A,B,C,D,E. Trong 5 nh A,B,C,D,E phi c hai nh chungmt cnh c tng s o hai gc > 1800 (v nu khng th 6.1800 = 2(A + B + C + D + E) 5.1800(v l)). Ta c

B + A+ ABC + AEC = 1800 {B + BCE 1800A+ AEC 1800 .

Gi s B+ BCE 1800, ta k hai tia Ax//BC,Ct//AB, v chng ct nhau ti I. V A+ B 1800 nn tia Ax nm trong min gc BAE, v B + BCE 1800 nn tia Ct nm trong minca gc BCE. Do I nm trong ng gic ABCDE. V ABCI l hnh bnh hnh, A,B,C cta nguyn nn I cng c ta nguyn.

Bi 3.19. Cho X l 1 tp hp gm 14 s nguyn dng phn bit. Chng minh rng c 1 snguyn dng k 7 v c 2 tp con k_phn t:

{a1, a2, . . . , ak}, {b1, b2, . . . , bk}ri nhau ca X sao cho:( 1a1 + 1a2 + + 1ak

)(

1

b1+

1

b2+ + 1

bk

) < 11000GV: Trn Minh Hin(0989.541.123) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Trng THPT chuyn Quang Trung


Gii

Ta c tt c l C714 = 3432 tp con cha 7 phn t ca X. Tng cc nghch o ca cc phn trongmi tp con ny khng vt qu

1

2+

1

2+ + 1

7< 2.6.

Do mi tp con cha 7 phn t c tng cc nghch o ca cc phn t ri vo 2600 na khong(0

1000,

1

1000

],

(1

1000,

2

1000

], . . . ,

(2500

1000,2600

1000

].

V c ti 3432 tp con cha 7 phn t, theo nguyn l Dirichlet s tn ti hai tp con khc nhauc tng nghch o cc phn t thuc cng mt na khong. Loi b khi hai tp con cc phnt chung (hai tp con cha 7 phn t th c ti a 6 phn t chung), th ta thu c hai tp hpcon k_phn t (k 7, k N) tha mn yu cu bi ton.

Bi tp di y c kt lun gn ging nh nhng kiu bi p dng Dirichlet, tuy nhin trongli gii li khng dng n Dirichlet.

Bi 3.20. (APMO 1991) Cho 997 im khc nhau nm trn mt mt phng. Chng minh rngtn ti t nht 1991 trung im khc nhau t cc cp cnh ny. Khi no th c ng 1991 trungim khc nhau.

Gii

Ta gi A v B l 2 im c khong cch cc i trong s 997 im cho. Ta xt cc trung imsau y: im M , trung im AB, trung im AX vi im X bt k thuc tp hp(khc vi Av B), v trung im ca BX. Ta s chng minh rng cc trung im ny u khc nhau.

Tht vy, gi s X v Y l hai im bt k khc vi A v B. R rng cc trung im ca AXv AY phi khc nhau(nu khng th, X v Y s trng nhau). Tng t nh vy, cc trung imca BX v BY cng khc nhau. Trung im ca AX khng th l im M(v nu khng X strng vi B), cng th trung im ca BX khng th l im M . Sau cng, ta gi s rng N ltrung im chung ca AX v BY , khi , AYXB l hnh bnh hnh, hoc l AX, hoc l BXphi c di ln hn AB, iu ny v l, bi v AB l on ln nht.

Nh vy, ta c t nht 1991 trung im khc nhau. Ngoi ra c th sp xp 997 im c1991 trung im khc nhau. V d trn trc s ta chn cc im c to 1, 3, 5, . . . , 1993, lc c ng 1991 trung im nm cc to 2, 4, . . . , 1992.

Thc ra th bi ton ny c hai yu t m ta cm nhn l khng th dng Di c: mt l: yut tn ti qu ln, hai l: khng c iu kin rng buc gia cc im ta c th nht "th" vo"chung", m y l bi ton xy dng tp hp.

Bi ton trn minh ha t tng ca phng php cc hn: Vi mt con hu hn ca R thlun tn ti phn t nh nht v phn t ln nht. Trong bi ton trn ta chn AB l di dinht trong s cc on thng cho.


bdhsg toan thcs nguyen ly dirichlet

Documents