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Cartier-Michaud Thomas
Teffah Zakaria
Introduction aux fonctions de base
radiale
Encadrant : Christophe Rabut
4ème
année GMM
Juin 2010
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Sommaire
Introduction ............................................................................................................................................. 3
1. Présentation des fonctions de base radiale : ...................................................................................... 3
1.1. Définitions des systèmes à résoudre : ......................................................................................... 3
1.2. Champ d'applications : la Science................................................................................................ 6
2. Principaux théorèmes et caractéristiques : ......................................................................................... 9
2.1. Unisolvance .................................................................................................................................. 9
2.2. Convergence : ............................................................................................................................... 9
2.3. Conditionnement du système .................................................................................................... 10
3. Illustrations de fonction à base radiale : ........................................................................................... 12
4. Algorithmes de résolution : ............................................................................................................... 18
1) BFGP algorithm (Beaston Faul Goodsell Powell) ........................................................................... 18
2) méthode Multipole adaptée aux RBF :.......................................................................................... 18
3) Pré conditionnement : ................................................................................................................... 19
Conclusion ............................................................................................................................................. 20
Bibliographie : ........................................................................................................................................ 21
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Introduction
Dans ce rapport nous allons essayer de rassembler les principaux résultats concernant les bases
de fonctions radiales ainsi qu'une liste de bases. Cela a pour but de donner rapidement les outils
nécessaires à une première mise en application en particulier grâce à des illustrations et intuitions.
1. Présentation des fonctions de base radiale :
1.1. Définitions des systèmes à résoudre :
Une fonction radiale est une fonction qui va de R dans R. Elle est utilisée pour des espaces
de toute dimension en la composant avec une norme : | |: → . Grâce à une combinaisonlinéaire de ses translatées, il est possible d’interpoler ou approximer un ensemble de données.
L’interpolant a alors la forme :
Dans ce système apparait les J points donnés ainsi qu’un polynôme de degré k. Pour ≥ 1 cela
permet d’assurer que le système sera capable de reconnaitre une droite, en fait on donne au systèmela possibilité de reconnaitre exactement toutes données non bruitées qui seraient extraites d’un
polynôme de degré k. On peut aussi voir l’introduction du polynôme comme l’utilisation d’une base
d’un autre type pour augmenter le pouvoir interpolant du système. Par exemple nous avons pu voir
cette année en mécanique des structures, en particulier lors de l’étude de la rupture, que localement
pour approximer une grande irrégularité due à une fissure, l’utilisation d’une seconde base apporte
un gain non négligeable.
Interpolation :
On veut interpoler les données = 1, … , . On choisit souvent la norme 2.
Soit , = ( − ) , , = () , (, ) ∈[0,]
Sur une ligne on retrouve l’évaluation d’un point donné par toutes les fonctions radiales. Tandis que
sur une colonne on retrouve l’évaluation d’une fonction pour tout le jeu de données. Cette vision de
la chose est importante pour comprendre comment on peut améliorer le conditionnement du
système.
Le système d’interpolation s’écrit alors :
( )
=Ρ ∈∀
+−=
∑
∑
=
−
=
−
J j
j jk
J j
k j j
X p p
X p X X X
:1
1
:1
1
2
0)(,
)()(
λ
ϕ λ σ
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0
= 0
Il y a ici n+k équations et n+k inconnues, n données du problème et les k coefficients du polynôme
d’ordre k-1.
Il existe un ensemble de résultats qui assurent l’existence et l’unicité de la solution, nous les
détaillerons au chapitre suivant.
Approximation par les moindres carrés :
On veut maintenant approximer N données ( ,) = 1, … ,, sur n nœuds pour
= 1,… , . Le système fait appel à une minimisation mise en place par la méthode des
moindres carrés.
Soit (, ) ∈ [1, ] ; (, ) ∈[1, ]
, = (|| − ||)
=1(|| − ||)
, = (|| − ||)( )
=1
, = ( )
=1 _( )
ℎ, = ( )
= (|| − ||)
=1
= ( )
=1
On forme alors le système :
( 0 0 0
) () = (
0)
Il y a ici n+2*k équations et n+2*k inconnues le système est carré. Les inconnues sont : les n
coefficients des n nœuds choisis pour centrer nos fonctions radiales plus k coefficients qui
interviennent dans la minimisation de l’erreur et enfin les k coefficients du polynôme d’ordre − 1.
L’approximation peut être utilisée pour diminuer le nombre de données nécessaires pour représenterune fonction ou régulariser des données en les filtrant.
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Le choix des n nœud est un paramètre important pour la qualité du résultat. Deux approches sont
habituellement utilisées :
- la première consiste à placer les n nœuds en fonction de la répartition des N données. On
concentre alors plus de nœuds là ou les données sont plus concentrées, l’idée est que si l’information
n’est pas réparties uniformément sur le domaine, on cherche à concentrer nos nœuds la ou il y a le plusd’information. Cependant il faut veiller à garder une distance suffisante entre les nœuds pour éviter de
se retrouver avec un système numériquement singulier.
- la seconde consiste à placer les n nœuds sur une grille cartésienne. On cherche alors à
repartir l’information de façon uniforme sur l’ensemble du domaine d’arrivée de la fonction. Plus de
théorèmes utilisent cette approche, la convergence et le conditionnement de tels systèmes sont mieux
documentés. De plus, l’algorithme de résolution peut être optimisé en tenant compte de la répartition
particulière des n nœuds.
Historiquement, à partir des splines poly harmoniques, on a construit les splines plaques minces. D’où
l’idée des fonctions radiales est survenue.
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1.2. Champ d'applications : la Science
La liste des applications des fonctions radiales est très vaste. Cette diversité est liée à
leurs différentes caractéristiques. Ces dernières se présentent en leur définition sur des
données de dimension quelconque et reparties de façons quelconque, comment faire plus
général ? De plus, elles ont la propriété intéressante de la variation diminuée, ce qui leur
permet de présenter une grande régularité. Il s’avère que les autre méthodes d’interpolation et
d’approximation ont l’inconvénient d’échouer totalement pour certains données (les
« scattered data » : données éparpillées) à cause d’un très mauvais conditionnement du
système linéaire à résoudre. Tandis que les fonctions radiales donnent de bons résultats pour
tout type de données et spécialement pour les données éparpillées (par exemple « track data »
voir figure en-dessous).
Afin de toucher leur utilité dans la Science, nous allons présenter quelques applications :
1. Traitement d’image :
La reconstruction d’image à partir de données, selon la façon de les recueillir, peut faire
judicieusement appel aux fonctions de base radiale pour faire de l’interpolation s’il y a peut de
donnée et qu’elles ne sont pas bruitée, ou de l’approximation. La représentation en images de
synthèse du corps humain fut une application importante. Ci-dessous deux images, la
première représente 27 000 points obtenue par le scanne d’une main au laser, la seconde
représente l’approximation de ses points au moyen de 2600 fonctions radiales. Le ratio de
compression avoisine les 10 tout en ayant un excellent résultat visuel.
2. Océanographie opérationnelles
Afin de cartographier la surface du
fond de l’océan et/ou prélever sa
température, des bateaux équipés de
différents détecteurs collectent
plusieurs données. Ces dernières ont
une forme spéciale appelée « track
data ». Elles représentent les
trajectoires de ces bateaux (voir image
ci contre). Elles sont inégalement
réparties dans l’espace, très serrées
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dans une direction par rapport à l’autre, on a couramment un rapport de 100 entre les deux
dimensions.
3. Modélisation par réseau de neurones (Robotique)
Les fonctions radiales sont omniprésentes dans ce domaine. Il est impossible de se renseigner
sur le net sans tomber sur des réseaux de fonctions de base radiale ou réseaux de neurones
artificiels. Leur grand avantage en ce qui concerne l’approximation de données
multidimensionnelles et la taille des systèmes que l’on peut traiter. La constitution d’un tel
réseau passe par une étape appelée « situation d’apprentissage », où le réseau de neurones
cherche à apprendre un comportement au moyen d’un ensemble de donnée et d’une fonction
quantifiant la qualité du comportement du réseau. Dans la robotique, approximer des données
de photos prise par les « yeux » d’un robot permet par exemple de détecter des obstacles,
notamment en étudiant l’invariance dans les images approchées par un tel réseau. On
remarque que pour cette application les données sont de grande taille, les images utilisées sont
couramment de taille 1000x1000 pixels, ce qui représente un million de donnée à approcher.
4. Résolution d’EDP et d’EDO
La résolution par les fonctions radiales est particulièrement intéressante pour des problèmes
elliptiques non linéaires en dimension 3 ou plus et dont la condition initiale est mal approchée
par les méthodes plus traditionnelles (triangulation nécessitant trop d’éléments).
Effectivement une convergence exponentielle est observée pour de tels problèmes et les
fonctions de base radiale permettent de bien prendre en compte des conditions initiales ou au
bord compliquées. Cependant, elle demande une puissance de calcul importante. L’utilisation
des RBF est étendue également à la reconstruction locale de solutions obtenues par des
algorithmes de résolution numérique. Notamment, nous pouvons citer l’exemple des splines
plaques minces qui améliorent fortement la précision de la méthode de volumes finis
approchant les lois de conservation. A l’opposé de cette utilisation qui consiste en
l’enrichissement local de la solution, on peut aussi utiliser les fonctions à base radiale pour
diminuer la quantité nécessaire pour représenter la solution d’une EDP obtenu sur un maillage
extrêmement fin, spécifiquement pour l’analyse de résultats
Remarque : Aux vues des applications possibles qui vont de la finance à la biologie en passant
par la cartographie via satellite, il est intéressant de pouvoir présenter de façon simple les
fonctions à base radiale pour que le plus grand nombre puisse les manipuler. Il existe
beaucoup de bibliothèques ou programmes qui les mettent en application, à commencer par la
toolbox matlab, extrêmement puissante est très documentées (documentation de 900 pages).
Résumé :
Devant un problème d’interpolation ou d’approximation de données éparpillées ou un
problème ayant de données en dimensions supérieurs (typiquement supérieur à 3) nous
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utiliserons plutôt les fonctions à base radial. La question qui s’oppose désormais, quels sont
les critères sur lequel il faut se baser pour choisir la fonction de base radiale adaptée à notre
problème. La réponse n’est pas triviale, généralement on passe en revue l’ensemble des bases
radiales et on cherche si leur critère limitant se retrouve dans les données à étudier.
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2. Principaux théorèmes et caractéristiques :
La démocratisation de l’utilisation des fonctions à base radiale est venue après un
développement théorique mathématique sophistiqué. Il repose généralement sur l’analyse
hilbertienne, noyau reproduisant. Les théorèmes fondamentaux et surtout leur démonstration sont
riches d’enseignement mais demande beaucoup de pré requis, c’est pourquoi nous nous limiterons a
l’énonciation des résultats. Nous conseillons la lecture de « Radial Basis Function » de Martin D.
Buhmann à toute personne intéressée par le sujet.
2.1. Unisolvance
Définition :
Une fonction ∈ () est dite complètement monotone si elle vérifie la propriété suivante :
=0,1,2,…, (−1)() ≥ 0 ∀ > 0
Théorème :
Soit ∶ → une fonction complètement monotone non constante. Alors, pout tout ensemble
⊂ de données distinctes, La matrice A d’interpolation est définie positive pour () =().
En particulier A est non-singulière.
Remarques :
- toutes les fonctions complètements monotones g sont générées par l'intégration d’une mesure, qui
est un noyau.
- Le Lemme de Bernstein-Widder permet de caractériser les fonctions complètements monotones.
- La non singularité des matrices d'interpolation n'est vrai que pour la norme p=1,2 Même si la
fonction g respecte la condition de la monotonicité.
2.2. Convergence :
L’étude de convergence est établie à partir de la quasi-interpolation où on se donne une
fonction assez régulière f tell que :
() = ( ℎ) ℎ − ,
∈∈
Avec :
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() = (| − |),||
∈
En prenant la fonction multiquadric, nous pouvons énoncer le théorème intéressent :
Soit f une fonction doublement différenciable avec | | et | ′| sont finis. On a :
∀ ≠ 0 , | − | = (ℎ + ℎ|ℎ|), ℎ → 0
Nous pouvons apprécier la convergence essentiellement quadratique.
On déduit l’estimateur d’erreur suivant :
∀ ≠ 0 , | ′ − ′| = (ℎ + /ℎ), ℎ → 0
Ces résultats sont pleinement utilisés lors de l’étude de convergence de ces fonctions radiales pour
différents jeux de donnée.
Après des études de convergence des multiquadric inverse, il s’est avéré qu’elles sont plus faibles que
les multiquadrics Malgré le caractère décroissant qui donne plutôt l’intuition d’être un meilleur
interpolant.
2.3. Conditionnement du système
Comme vu dans le paragraphe précédent, les matrices ont des formes que l’on peut
facilement visualiser. Les lignes et colonnes du bloc « A » peut être décrites en deux idées tres
visuelles :
- sur une ligne on retrouve l’évaluation d’un point donné par toutes les fonctions radiales.
- sur une colonne on retrouve l’évaluation d’une fonction pour tout le jeu de données.
En considèrent qu’une matrice est proche de la singularité lorsque deux lignes ou deux colonnes sont
presque colinéaires, on peut entrevoir des répartitions de données ou fonctions radiales qui ne
donneront pas un système bien conditionné. Par exemple, voir figure page suivante, dans le cas ou n
points se trouvent presque à égale distance des N-n autres points, on va avoir une évaluation des N-n
fonctions centres sur les N-n points extérieurs presque égale pour les n points au centre. Idem les n
fonctions centrées sur les points du centre vont évaluer les N-n points de façon presque égale On se
retrouve alors avec n liges et colonnes quasi colinéaires. Ici n=3.
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Une autre source de mauvais conditionnement est le fait qu’en générale la valeur des fonctions
radiale à l’infini est l’infini. Ainsi lors de la résolution du système on manipule des nombres grand où
les erreurs peuvent rapidement grandir.
Il existe de nombreux pré conditionneurs basés sur des idées liées aux fonctions à base radiale, mais il
existe aussi des conditionneurs plus génériques qui opèrent sur tout système d’équations linéaires,
faire appel au deux est tout a fait envisageable.
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3. Illustrations de fonction à base radiale :
Toutes les bases présentées ici sont complètements monotones, notion définie dans le
chapitre précédent et à support non compact, ce qui implique une matrice pleine dans le
système linéaire à résoudre. Utiliser une fonction à support compact permet de diminuer le
nombre d’éléments non nuls de la matrice et ainsi peut améliorer le conditionnement.
Cependant nous avons rarement vu de mise en application de telles fonctions, en effet
l’ensemble de la théorie des fonctions à base radiale a été initialement développée pour des
fonctions à support non compact, ainsi un grand nombre de théorèmes sur l’unicité et
existence des solutions n’est plus valable.
a) Fonction linéaire : ( ) = b ∗ r Dérivée : ′ ( ) =
Intégrale : () = ∗
Il n’y a pas de paramètre avec le quel jouer sur cette base, autre que le poids qui estdéterminé par le système linéaire à résoudre.
Figure : Fonction linéaire b=1
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b) Fonction cubique : () = b ∗ r3
Dérivée : ′ () = 2 ∗ ∗ 2
Intégrale : () = ∗
De la même façon que pour la fonction linéaire, il n’y a pas de paramètre sur lequel on puisse jouer autre que le poids .
Figure : cubique b=2 10^-7
c)
Fonction plaque-mince : () = b ∗ r2 ∗log(r2) Dérivée : ′ () = 2 ∗ ∗ ∗ ( 1 + 2 ∗ l o g())
Intégrale : () = 2 ∗ ∗ (() −
)
Encore une fois, il n’y a pas de paramètre sur lequel on puisse jouer autre que le poids .
Figure : plaque mince b=10^-2
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d) Fonction poly-harmonique : () = ∗ ∗ ∗ log ()
avec la dimension de l’espace de départ nécessairement pair et tel que > .
Dérivée : () = 2 ∗ ∗ ( ( 2 ∗ − ) ∗ ∗ ∗()+∗)Cette fois on peut modifier un paramètre : , visuellement il aura pour effet de modifier lerayon de la courbure de la pente et donc sa rapidité.
Figure : Poly harmonique b=10^-6 c=4 d=2
e) Fonction shifted thin plate spline : () = ∗ ∗ log ( + )
Avec un biais dont l’analyse dimensionnelle doit être effectuer sous peine de ne pas
parvenir à choisir une valeur numérique appropriée.
Dérivée : 2 ∗ ∗ ∗ ( + ) + ∗∗
Le paramètre permet surtout de modifier la pente, un peu comme le paramètre de lafonction précédente.
Figure : shifted thin plate b=1/50 c=100
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f) fonction multiquadrique : ( r) = b ∗ (r + c)Dérivée : () = ∗
()
Le paramètre c permet de faire une translation en z de la surface formée par la fonction.
Figure: Shifted thin plate spline b=1/2 c=100
g)
fonction multiquadrique inverse : (r)=
() Dérivée : ′ () = − ∗
()
Le paramètre modifie le diamètre du pic.
Figure : Multiquadric inverse c=2 b=40
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h) fonction gaussienne : (r) = b ∗ exp(− )
Dérivée : ′ () = − ∗∗∗ ()
Le paramètre modifie le diamètre du pic.
Figure : Gaussienne b=20 c=3
Comme on l’a spécifié au début du rapport, les fonctions radiales utilisent la norme de
la localisation du point sur lequel elles sont appliquées. Il est envisageable d’utiliser
différentes normes pour améliorer le conditionnement du système.
Par exemple dans le cas ou les données seraient plus espacées dans une dimension que dans
l’autre on peut envisager une norme : (, ) = ( (1 − ) ∗ 2 + ∗ 2) afin d’allonger
une direction par rapport à une autre.
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A gauche, utilisation de la norme 2 dans le cas d’une fonction radiale linéaire
A droite, utilisation de la norme (,) dans le cas d’une fonction radiale linéaire, p=0.7
A gauche, utilisation de la norme 2 dans le cas d’une fonction radiale gaussienne
A droite, utilisation de la norme (, ) dans le cas d’une fonction radiale gaussienne,
p=0.85
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4. Algorithmes de résolution :
Dû à la grande taille du système linéaire vers lequel les fonctions radiales découlent, les
méthodes directes sont évitées. Par exemple, avec 10 de donnée la méthode directe doit faire 10
opérations ce qui est complètement non envisageable (environ 10 opérations effectuées par
seconde pour un processeur actuel). La résolution alors se tourne vers les méthodes itératives. Il
s'avère qu'elles sont appropriées lorsqu'on veut calculer la solution à une précision donnée. Il existe 3
principales méthodes itératives appropriées :
Remarque : Il y a deux problèmes qui sont liés : le calcul des coefficients de la solution et l'évaluation
de la fonction interpolant trouvée.
1) BFGP algorithm (Beaston Faul Goodsell Powell)
Cette méthode utilise le fait que les fonctions radiales agissent localement, malgré leur
support de la taille du domaine étudié pour beaucoup d’entre elles. Cela est du au fait que les
fonctions lagrangiennes dans l'espace fonctionnel, qui a pour base les fonctions radiales, décroit
rapidement sur un carré d'une grille cartésienne. Ainsi, on peut opter pour un calcul local des
lambdas.
Une méthode de décomposition de domaine est utilisée. Les sous-domaines crées sont
essentiellement disjoint (le recouvrement est minime entre eux). Les données sont en pratiqueregroupées par paquet de 30 ou 50 pour un problème en dimension 2 ou 3 dimensions. Pour les
dimensions supérieur on peut arriver jusqu’à 100 par exemple pour la thin plate spline. Ils sont
choisis sous le critère du K-unisolvant.
Une méthode récente est celle de sous espace de krylove qui est similaire à celle du gradient
conjugué mais avec des critères d'arrêt et le temps de mise à jours des éléments du sous espace K.
2) méthode Multipole adaptée aux RBF :
Au début, cette méthode a été créée pour la résolution des systèmes linéaires découlant de la
méthode des éléments de frontières (équations intégrales). Elle repose également sur la
décomposition de domaines des données (structuration du jeu de donnée) mais ne tiens pas en
compte de la localité des fonctions lagrangienne RBF. Elle est établie sur le développement en série
de Laurent des RBF. En implémentation numérique, cette série est tronquée et est calculée
itérativement jusqu'à satisfaction de la précision voulue. Il s'avère que c'est intéressant pour les
« thin plate splin » qui imposent le calcul de composante par composante (dû à la présence du
logarithme) car après regroupement, on ne calcule plus que d'une façon asymptotique les termes. En
fait cette méthode est aussi utilisée dans l'évaluation de la fonction interpolant à qui on a déjà calculéles coefficients même avec la méthode BFGP ou gradient conjugué.
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3) Pré conditionnement :
Il est judicieux d’opter pour un pré conditionneur afin d’améliorer le conditionnement de la matrice
ainsi calculée. Il existe une famille de pré conditionneur qui sont dédiés aux RBF.
Synthèse des 3 méthodes : Il est pertinent d’utiliser un pré conditionneur adapté aux RBF puis on
utilise la méthode BFGP pour la résolution et finalement on utilise l'algorithme multipole rapide pour
l'évaluation de l'interpolant ainsi obtenu.
Interpolation de données d’ub scan laser par une méthode itérative
Remarque : Une autre approche peut être envisagée. A l’image des réseaux de neurones dont
l’apprentissage se ferait par recuit simulé, il serait intéressant de mettre en place un recuit simulé qui
ferait varier la position des centres de chaque fonction ainsi que leur poids. Pour orienter
l’optimisation du système il faut mettre en place une fonction cout qui mesurait la qualité de
l’approximation. Si l’on souhaite faire de l’interpolation on ne peut alors utiliser le recuit simulé que
pour la position du centre des fonctions radiales, le système déterminant le poids de chacune des
fonctions doit alors être résolu à chaque itération. Une fonction cout à intéressante à utiliser dans ce
cas là pourrait être la valeur du conditionnement du système.
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Conclusion
Le sujet des fonctions à base radiale nous a été particulièrement intéressent dans la mesure
où il représente un outil très puissant pour l’interpolation et l’approximation de données
multidimensionnel et éparpillé. De plus, il est considéré comme une méthode alternative de
résolutions d’équations aux dérivées partielles sans se préoccuper par un maillage. Cela nous a
donnée un outil supplémentaire que les méthodes numériques finies qu’on a apprises lors de notre
cursus en numérique.
Ce travail de documentation a été une première véritable expérience dans laquelle nous nous
sommes rendu compte de la difficulté d’établir un résumé de toutes nos sources. Ayant senti une
progression dans notre analyse et intuition, nous voudrions bien continuer notre synthèse sur le
sujet. Cependant, nous sommes un peu aigris de ne pas développer des programmes afin de toucher
l’aspect pratique du sujet.
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Bibliographie :
Wikepedia : pour une approche générale.
Livre : « Radial Basis functions » Martin D. Buhmann : Cette source développe de façon très
poussée les connaissances sur le sujet en 2003. C’est un excellent premier ouvrage pour
appréhender les fonctions à base radiale.
Thèse « The interpolatoin theory of radial basis functions » de Bradley John Charles Baxter:
Cette source s’attarde plus longuement sur l’étude de différentes fonction à base radiale.