bektoreak planoan.pdf
TRANSCRIPT
BEKTOREAK
PLANOAN
ARRASATE BHI (ARRASATE)
Batxilergo Zientifiko-Teknikoa
1. maila
Magnitude eskalarrak ( tenperatura,
masa, energia... ). Zenbaki erreal batez
edo eskalar batez determinatzen dira.
Magnitude bektorialak (abiadura,
indarra...). Magnitudearen modulua,
norabidea eta noranzkoa adierazi behar
dira; horretarako, bektoreak erabiltzen
dira.
Bektore finkoak
A
B
AB Modulua AB segmentuaren luzera da.
Norabidea A eta B puntuetatik pasatzen den zuzena da.
Noranzkoa A-tik B-ra ( segmentuaren geziak adierazten
duena).
A
B
C
Norabide bakoitzean elkarren aurkako bi noranzko daude:
eta ACAB
Bektore ekipolenteak Ekipolenteak dira, modulu,
norabide eta noranzko bera
dituztelako.
bektorea A jatorriak eta B muturrak zehazten dute. AB
Indarra, magnitude fisikoa, magnitude bektoriala da.
• Modulua unitate-kopuru batez ematen da: 20 N (20 newton).
• Norabidea akzio-lerroaz.
• Noranzkoa gezi baten puntaz.
Irudiko bi indarrek modulu bera eta
akzio-lerro bera dute, baina noranzkoa
aurkakoa. Partikulan kontrako efektuak
eragingo dituzte.
30º
20N
30º
20N
Planoko bektore finko guztiak multzoka sailka ditzakegu.
Multzo bakoitza ekipolenteak diren bektoreekin osatuta dago.
Bektore askea
Multzo horietako
bakoitza bektore
aske bat da, eta
bertan dagoen
bektore finkoetako
bakoitza ordezkari
bat.
,...),, wvuBektore askeak letra xehez ( adierazten dira.
Planoko bektore askeen multzoa V2 da.
Modulu, norabide eta noranzko bereko bi bektore berdinak
direla esaten da, aplikazio-puntu bera eduki ala ez.
Ariketa Ondoko irudiko bektoreak emanda, bil itzazu bektore
ekipolenteen multzoetan. Bereiztu bektoreak kolore
ezberdinak erabilita. Zenbat bektore aske daude?
Bektore askeen arteko
eragiketak
Batuketa
Kenketa
K zenbaki erreal baten
bidezko biderketa
u
v
vu
Batuketa vu
uv
Jatorria -ren ordezkariarena eta
muturra -ren ordezkariarena dituen
bektorea; horixe da
vuv
u
P eta Q indarrak R indar bakar batez
ordezka daitezke, eta horrek efektu bera
eragiten du partikulan.
R indarrari erresultantea deitzen zaio eta
paralelogramoaren diagonalaren bidez
adierazten da.
A
P
Q Q A
R
R
P
Q A
Bektoreek ez dituzte aritmetikaren batuketa arauak
betetzen.
Esaterako, 4 N-ko eta 3 N-ko bi indar perpendikular
batuta 5 N-ko indar bat lortzen da, eta ez 7 N-koa.
Gauza bera gertatzen da
desplazamendua, abiadura,
azelerazioa... magnitude
fisikoekin.
Txalupaz ibai bat zeharkatzean, korrontearen abiadura 4m/s-koa
da, eta gure txalupak korrontearekiko perpendikularki 9 m/s-ko
abiadura du. Zein da txalupak duen abiadura?
Gorputz batean bi indar aplikatzen dira. Lehenengo indarra 3 N-ekoa
da, bigarrena 5 N-ekoa, eta bien arteko angelua 60ºkoa da. Kalkula
ezazu indar erresultantearen modulua.
m/s8,994 2222
yx vvv
22
yx vvv
vx= 4 m/s
vy= 9 m/s v
Fisikako bi adibide
60º
3 N
5 N
60º
5 N
3 N
120º
R
NR
R
7
49)2
1(.30259
120cos.5.3.253 º222
Kenketa )( vuvu
u
vvu
v
bektorea lortzeko, nahikoa
da -ren aurkakoarekin
batzea, alboko irudian
adierazten den bezala.
vuuv
r
0r
r
s
O
P
P0
X
Y
Fisikako adibide bat:
Bi puntuen arteko desplazamendu-bektorea, ,
jatorria P0 puntuan duen eta muturra P puntuan duen
bektorea da, eta puntu horien, P eta P0,
posizio-bektoreen kenketa eginda lortzen da.
r
rrr 0 0rrr
K zenbaki erreal baten bidezko biderketa
emanda, hona hemen u
bektoreakuetau 32
u2
u3
biderkadura ondoko ezaugarriak dituen bektorea da:
Norabidea -rena da.
Modulua -ren moduluaren eta k-ren balio
absolutuaren arteko biderkadura da.
Noranzkoa -ren noranzko bera k positiboa bada, eta
aurkakoa k negatiboa bada.
uk .
u
u
u
Bektoreen konbinazio lineala
diren. erreal zenbakiedozein etanon dugu,
esango dela lineala konbinazio bektoreen
21 kk
vetau
aadierazpen motako.. 21 vkuk
Esate baterako, 5 4 bektorea eta ren da.w u v w u v konbinazio lineala
Adibidea.
v
u
vuw 32
v
u w
bektoreakwetavuDemagun , w
u
v)3,2(:osagaiakrenw
Garrantzitsua. Norabide ezberdineko bi bektore emanda,
planoko beste edozein bektore, bi bektore horien
konbinazio lineal modura adieraz daiteke.
,vetau
,w
vuetauvuvu 2;3;
Ariketak
Bi bektore horiek emanda, adieraz itzazu grafikoki
ondoko hauek: v
u
Bi indar perpendikularren erresultantea 40 N-ekoa da, eta
indarretako batek 25 N-eko modulua du.
a)Marraz ezazu indarren eskema.
b)Determina ezazu bigarren indarraren modulua.
V2 -ren oinarriak
Planoko bektore askeen multzo osoa, V2, determinatzeko
aski dira bi bektore norabide ezberdinekoak.
v
u
multzoa V2-ren oinarri bat dela esango dugu. vuB ,
w
w ),( 21 kkw k1 eta k2 zenbakiak bektorearen osagaiak dira.
Beste edozein bektore planokide, , emanda, beti lor
ditzakegu bi zenbaki erreal, k1 eta k2, ondoko berdintza
betetzen dutenak: vkukw .. 21
w
uv
a
b
c
Adibidea
Zein dira
bektoreen osagaiak,
bektoreek eraturiko oinarrian? vu eta
cba eta ,
)2,2(vub 22
vua 23
)2,3(osagaiakren -a
uc 2 )0,2(
Ariketa
Adierazi alboko irudiko
bektoreen osagaiak,
bektoreek eraturiko
oinarrian.
edcba eta ,, ,
vu eta
Oinarriaren bi bektoreak perpendikularrak
direnean –kasu honetan esaterako–, oinarria
ORTOGONALA da.
u
v
a
b
c
d
e
V2-ren oinarri ortonormala
Nolakoak izan behar dira norabide ezberdineko bi
bektore, V2-ren oinarri ortonormal bat osatzeko?
Elkarren artean perpendikularrak.
Bakoitzaren moduluaren balioa 1 izan.
u
v 1vu
Gehienetan, oinarri ortonormala adierazteko
erabiltzen dira, hots, ji eta
},{ jiB
Beste zenbait kasutan (fisikan adibidez), ji ˆˆ eta
Ariketak
jiB ,oinarri ortonormala
emanda:
bektoreak.)5,2(eta)3,1(
grafikoan eraitzazu adieraz
,, hartuta, bera Oinarri -2.
ba
jiB
osagaiak. bektoreen
,itzazu Aurki -1. tetasr
i
j
r
s
t
vu
u3
vu4
Ariketa = (1,3) eta =(2,-2) badira, kalkula itzazu ondoko bektoreen osagaiak:
u v
vuetav 325
Osagaien bidezko eragiketak
vuetauvu 43,
Adibidea
bektoreen osagaiak (2 , -5) eta (-3 , 2) badira hurrenez hurren,
kalkulatu: vetau
= (2,-5) + (-3,2) = (2+(-3) , -5+2) = (-1 , -3)
= 3 . (2,-5) = (6 , -15)
= 4 . (2,-5) – (-3,2) = (11 , -22)
Planoko bektoreen koordenatuak
O
u
v O puntua eta oinarria planoko erreferentzia-
-sistema bat da, eta planoko edozein punturen posizioa
determinatzeko balio du.
vuB ,
dugu. adierazikoeran ,;0 vuR
Oinarria ortonormala denean, bektore batek
dituen koordenatuak eta puntuaren koordenatu
cartesiarrak kointzidenteak dira.
Hemendik aurrera oinarri
ortonormala duen erreferentzia-
-sistema erabiliko dugu, eta
koordenatu cartesiarrak 0X
(abzisa) eta OY (ordenatua)
ardatzak izango dira.
bektore askeari P puntuaren posizio-
bektorea deitzen zaio. Alboko grafikoan
ikusten denez, bere osagaiak (4 , 3) dira.
Balio horiek P puntuaren koordenatuak
dira.
p
)3,4(34 Pjipi
j
P = 4 , 3
O X
Y
p = 4 i
+ 3 j
P = 4 , 3
(2-1 , 1-(-3)) = (1 , 4)
pqPQ
22
)5(11m )4,2(4
2
532 Mm
Demagun P=(1 , -3) eta Q=(2 , 1)
direla
i®
j®
p®
q®
O
P
Q P eta Q puntuak emanda, zein dira
bektorearen koordenatuak? PQ
Demagun A = (1 , 3) eta B = (-5 , 5) direla.
AB segmentua emanda, zein dira M
erdiko puntuaren koordenatuak?
-5 -2 1
1
2
3
4
5
A
M
B
Ariketa
A = (7 , 5) eta B = (-2 , 4) puntuak emanda:
• Kalkulatu bektoreen koordenatuak. Berdinak al
dira?
• Lor itzazu M, N eta P puntuen koordenatuak, hiru puntu
horiek AB segmentua lau parte berdinetan zatitzen dutela
jakinik.
BAetaAB
Puntu alineatuak
Adibidea
Esan A, B eta C puntuak elkarrekin alineaturik dauden ala ez, ondoko kasuetan:
a)A=(0 , 3), B=(1 , 1) eta C=(-1,5)
b) A=(-1,3), B=(4,0) eta C=(2,6)
Hiru –edo gehiago- puntu elkarrekin
alineaturik egotea zuzen berean egotea da.
A
B
C
A, B eta C puntuak alineaturik badaude, elkarren proportzionalak dira. Hots: ACetaAB ABkAC .
Ariketa Froga ezazu A=(1,2), B=(-2,3) eta C=(0,5) puntuak alineaturik dauden ala ez.
Proportzionalak dira (k = -1),
beraz, alineatuta daude.
a) = (-1-0 , 5-3) = (-1 , 2)
= (1-0 , 1-3) = (1 , -2) AB
AC
Ez dira proportzionalak,
beraz, ez daude alineatuta.
b) = (2+1 , 6-3) = (3 , 3)
= (4+1 , 0-3) = (5 , -3)
AC
AB