bellavite caterina & salvati federica. dato un insieme a si ha una successione quando tra gli...
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Bellavite Caterina
&
Salvati Federica
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Dato un insieme A si ha una SUCCESSIONE quando tra gli elementi dell’ insieme dato e quelli dell’insieme dei numeri naturali (R) si ha una CORRISPONDENZA UNIVOCA, ovvero quando ad
ogni elemento del dominio corrisponde un solo elemento del codominio.
DOMINIO CODOMINIO
Esempio di Corrispondenza
Univoca
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D’ora in poi considereremo solo le successioni in cui il codominio è numerico…
Come si definisce una successione, essendo infinita?
N A
…e intendiamo con a[n] un elemento della successione.
1
2
3
4
n
a[0]
a[1]
a[2]
a[n]
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La definizione di successione può essere espressa in due modi differenti:
• Fornendo a[0], primo elemento della successione, e la legge che stabilisce il passaggio da un elemento al suo successivo.
• Fornendo la legge che ad ogni numero naturale associa il suo corrispondente
Esempio 1 Esempio 2
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ESEMPIO di successione 1
Consideriamo , in quanto è il primo elemento della successione e la legge
si otterrà:
•
•
e così per tutti gli infiniti elementi della successione
3]0[ a
2
1]1[][
nana
22
13
2
1]0[]1[
a
a
2
3
2
12
2
1]1[]2[
a
a
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ESEMPIO di successione 2
Consideriamo la legge a[n]=3n
si otterrà:
• a[0]=0
• a[1]=3
• a[2]=6
• e così per tutti gli infiniti elementi della successione
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Rappresentazione grafica
Per rappresentare graficamente una
successione si considera un PIANO CARTESIANO e si pongono i valori di N sull’asse delle ascisse e quelli di A sull’asse delle
ordinate. I risultati ottenuti non devono essere uniti in
quanto fra due numeri naturali successivi non ne
è compreso un terzo.
0
5
10
15
20
25
30
1 2 3 4 5 6
Numeri naturali
A
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Come si comporta la successione con N che tende all’infinito?
Grafico 1 Grafico 3
n successione5 3,410 3,215 3,13333333320 3,140 3,05
n successione1 1,510 620 1130 1640 2150 26
A[n] tende all’infinito A[n] tende ad un numero
2
2][
n
nan
nna
23][
Grafico 4Grafico 2
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Limite di a[n] è +infinito per n che tende all’infinito
0
5
10
15
20
25
30
1 2 3 4 5 6
In questo caso anche gli elementi della successione tendono all’infinito e quindi il grafico si sposterà sempre, oltre che verso destra, verso l’alto.
2
2][
n
na
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Limite di a[n] è -infinito per n che tende all’infinito
-100
-80
-60
-40
-20
0
20
0 2 4 6 8 10 12
n successione0 101 92 63 14 -65 -156 -267 -398 -548 -5410 -90210][ nna
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Limite per n che tende all’infinito di a[n] è 3
2,82,9
33,13,23,33,43,5
1 2 3 4 5 6
In questo caso gli elementi della successione tendono ad un numero (3) e quindi tenderanno a raggiungerlo, (limite).
n
nna
23][
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Limite per n che tende all’infinito di a[n] è 2
1
1,2
1,4
1,6
1,8
2
2,2
2,4
2,6
0 5 10 15 20 25 30 35
21
)sen(][
n
nna
n successione0 21 2,420735492 2,303099143 2,035284 1,84863955 1,840179296 1,96008357 2,082123328 2,109928698 2,1099286910 1,95054354
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Ma che cos’è il limite di una successione?
Occorre ora dare delle definizioni precise e non intuitive di limite.
+
Limite finito
Limite infinito
-
Attenzione esistono successioni che non ammettono limite
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Definizioni di limite infinito
Si dice che limite per n che tende all’infinito di a[n] è + e si scrive se ][lim nan
0k HnkH /)( Kna ][
0
5
10
15
20
25
30
1 2 3 4 5 6
Nell’esempio se si fissa K uguale a 25 H che dipende da K sarà 6, fissando un “tetto” K maggiore, H dovrà essere maggiore. Dobbiamo essere in grado di superare un qualsiasi “tetto” K prefissato a patto di prendere H abbastanza
grande.
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Definizioni di limite infinito
Si dice che limite per n che tende all’infinito di a[n] è - e si scrive se ][lim nan
0k HnkH /)( Kna ][
Nell’esempio se si fissa K uguale a 50 H che dipende da K sarà 8, fissando K maggiore, H dovrà essere maggiore. Dobbiamo essere in grado di oltrepassare un qualsiasi limite inferiore -K prefissato a patto di prendere H abbastanza
grande. -100
-80
-60
-40
-20
0
20
0 2 4 6 8 10 12
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Definizioni di limite finitoSi dice che limite per n che tende all’infinito di a[n] è A
(numero finito nell’esempio 2) e si scrive se
Anan ][lim
0 HnH /)( AnaA ][
1
1,2
1,4
1,6
1,8
2
2,2
2,4
2,6
0 5 10 15 20 25 30 35
A=A+
A-
Fissato un piccolo a piacere è possibile trovare un numero H oltre il quale a[n] è sempre compreso tra A- e A+. Se ciò avviene a[n] si avvicina indefinitivamente (quanto vogliamo) ad A a patto di prendere n abbastanza grande.
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Successioni che non ammettono limite
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
0 2 4 6 8 10 12 14 16
n successione0 01 0,841470982 0,909297433 0,141120014 -0,75680255 -0,958924276 -0,27941557 0,65698668 0,989358258 0,9893582510 -0,5440211111 -0,9999902112 -0,5365729213 0,4201670414 0,9906073615 0,65028784
)sen(][ nna
La successione oscilla tra -1 e 1 senza avvicinarsi a nessun numero in particolare
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Un limite si può...
Calcolare il limite di una successione significa partire dalla legge iniziale e sommare, dividere, moltiplicare o sottrarre i limiti dei singoli elementi fino ad
ottenere il limite complessivo.
Dimostrare il limite di una successione significa fare dei calcoli algebrici a partire dalla definizione per costatare che essa è vera. Questo modo di
procedere non è però conveniente perché per poterlo applicare occorre conoscere il
limite a priori.
caso di limite finito
Calcolarecaso di limite infinito
Dim
ostr
are
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ESEMPIO DI DIMOSTRAZIONE NEL CASO DI LIMITE FINITO
Vogliamo dimostrare che 2
1
12
3lim
n
nn
Si deve di verificare che: 0 HnH /)(
2
1
12
3
2
1
n
n
Si tratta di trovare la funzione che a un generico fa corrispondere un opportuno H in modo che per ogni n>H si abbia:
2
1
12
3
2
1
n
n, osservato che quest’ultima equivale a
2
1
12
3
n
ne
2
1
12
3
n
n
cioè al sistema
2
1
12
32
1
12
3
n
nn
n
02
1
12
3
02
1
12
3
n
nn
n
0)12(2
241262
0)12(2
241262
n
nnnn
nnn
n
n
427
274
Sempre verificata
4
27 npertanto H()
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ESEMPIO DI DIMOSTRAZIONE NEL CASO DI LIMITE INFINITO
Vogliamo dimostrare che 1
lim2
n
nn
Si deve di verificare che: 0k HnkH /)( kn
n
1
2
Si tratta di trovare la funzione che a un generico K fa corrispondere un opportuno H in modo che per ogni n>H si abbia:
H(k) (approssimato all’intero appena maggiore)
kn
n
1
2
01
2
Kn
n0
1
2
n
KKnn02 KKnn
verificata per2
42 KKKn
o
2
42 KKKn
Ininfluente perché n tende a +
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Calcolo dei limiti
1 teorema
2 teorema
3 teorema
Esempio di calcolo
I limiti possono anche essere calcolati grazie a tre teoremi che si riferiscono alle diverse operazioni che possono essere coinvolte
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Teorema 1Il limite della somma è generalmente uguale alla somma dei limiti
Lim a[n]=A
Lim b[n]=BLim ( a[n]+b[n] ) = A+B
Lim a[n]=+(-)
Lim b[n]=+(-) Lim ( a[n]+b[n] ) = +(-)
Lim a[n]=+(-)
Lim b[n]=-(+) indecisione
?
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Teorema 2Il limite del prodotto è generalmente uguale al prodotto dei limiti (si segue la regola dei segni)
Lim a[n]=A
Lim b[n]=BLim ( a[n]*b[n] ) = A*B
Lim a[n]=+(-)
Lim b[n]=+(-) o ALim ( a[n]*b[n] ) = +inf
Lim a[n]=+(-)
Lim b[n]=-(+)Lim ( a[n]*b[n] ) = -inf
Lim a[n]=+(-)
Lim b[n]=0
indecisione
?
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Teorema 3Il limite del quoziente è generalmente uguale al rapporto tra i limiti
?
?A0
00 0
0
A
A/B
indecisione
indecisione
0
A B 0
Lim a[n] Lim b[n] Lim a[n]/b[n]
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FORME DI INDECISIONE
Capita, durante il calcolo dei limiti, di trovarsi di fronte a dei casi di INDECISIONE. Casi cioè in cui è inizialmente impossibile dare una
soluzione. In questi casi, con opportuni accorgimenti di calcolo e semplificazioni, si modifica l’argomento del limite in modo da ottenere forme più semplici ed immediatamente risolvibili per
mezzo dei teoremi.
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ESEMPIO DI CALCOLO DI LIMITE
ok
?1
1lim
2
n
nn
..1
1lim
2
IFn
nn
11
11
lim1
1
11
lim1
1lim
222
2
n
nn
nn
nn
n
nnnn
11
1.
10
01
11
11
TEOREMA 3 TEOREMA 1
TEOREMA 3TEOREMA 4