Archly fflr Elektrotechnik 64 (1982) 289 295 A r c h i v f o r E l e k t r o t e c h n i k

�9 Springer-Verlag 1982

Bemerkungen zu Leistungsbegriffen bei Str6men und Spannungen mit Oberschwingungen

It. D. Fischer, Erlangen

O b e r s i c h t : Neben der flblichen Formulierung der Leistungs- begriffe fiir periodische nichtsinusf6rmige Str6me oder Span- nungen iiI1 Frequenzbereich wird besonders die Darstellung yon Schein-, Wirk- und Blindleistmlg im Zeitbereich unter- sucht. Fflr die Leistungsbegriffe wird solchen Formen der Vorzug gegeben, die auch ktinftigen Entwicklungen und m6g- lichen Anforderungen gerecht werden k6nnen.

A N o t e o n P o w e r D e f i n i t i o n s f o r C u r r e n t s a n d V o l t a g e s w i t h H a r m o n i c s

C o n t e n t s : Besides the usual delinitiotls of power terms for periodical non-sinusoidal currents and voltages in the fre- quency domain the presentation of apparent-, effective- (active-) and fictitious (reactive) power particularly in the time domain is investigated. For power terms such forms are preferred which will cope future developments and possible requirements.

B e n u t z t e F o r m e l z e i c h e n

V v . p .

Re Im ev~

0 A

A* A T ~A, B)

IAi )A, B(

Y~

iveff

Gleichheit gem/iB Definitiol~ ,, fflr alle" valor principalis (Hauptwert) Realteil Imagingrteil Einheitsvektor 2. Stufe Nullvektor Spaltenvektor v-re l(omponentc yon A kol~jugiert komplexer Spaltenvektor transponierter Spaltenvektor = Zeilenvektor : : A*TB : ~ A ~ B v ira-rares Pl:odukt zwischen A und B v 0

:-- + V(A,A) Betrag v o n A :-- ~ ~ ( A ~ B ~ - A~B~) e~v ~tuf3eres Produkt

v 0 ,u:~,-',-I zwischen A u~d B Zeitfunktion des Stromes

komplexer Effektivwert der v-ten Teilschwingung y o n i t

: IL,!

I Vektor der komplexen Effektivwerte al!er TeJ!- schwingungen yon i t

idf : - - [ I I pt Augenblicksleistung P Wirkleistung Q Blindleistung QI," Verschiebungsblindleistung Q D Verzerrungsblindleistung S Scheinleistung

1 Einle i tung

Die elektrischen Netze werden in zunehmendem Mal3e mit Oberschwingungserzeugern (z.B. Phasen- anschnittsteuerungen) belastet. Dabei anzuwendende Leistungsbegriffe sil~d ungewohnt, hat te man bisher doch tiberwiegend mit Str6merl und Spannungen der Grundschwingung 50 Hz zu tun. Die ftir diesen Fall eingefiihrten Leistungsbegriffe sind bei oberschwin- gungsbehaftetml Str6men und Spannungen geeignef zu erweitern.

Die grundlegenden Diskussionen hiertiber fanden schon in den zwanziger und dreil3iger Jahren statt. Eine 0bersicht tiber die dabei im Mit tdpunkt ge- standenen Begriffe des Leistungsfakfors und der Blindleistung findet mall bei S. Fryze [t], der auch mehrere durchgerechnete Beispiele angibt. Besonders hervorzuheben sind zwei weitere Arbeiten aus dieser Zeit: C. I. ]3udeanu [2], der den Begriff der Ver- zerrungsleistung einfiihrte, auf den in jfingster Zeit wieder zuriickgegriffen wird [4~ und 10i , sowie W. Quade [3~, der die yon Budeanu benutzte Zer- spaltung der Blindleistung als willktirlich erkennt und eine andere Aufspaltung empfiehlt.

Diese Arbeit beschr~inkt sich auf Einphasen- systeme. Die periodischen Str6me und Spannungen werden als Vektoren eines unit/iren Vektorraumes mit positiver hermitescher Metrik in abzghlbar unendlich

0 0 0 3 - 9 0 3 9 / 8 2 / 0 0 6 4 / 0 2 8 9 / 8 1.40

290 :k rch iv f~Ir E l c k t r o t c c l m i k (54 ( t982)

vielen Dimensionen fiber dem K6rper der komplexen Zahlen dargestellt. Daraus folgt dann die spektrale Beschreibung der Leistungsbegriffe, wobei sich gerade die yon Budeanu vorgeschlagene Aufspaltung der Blindleistung mathematisch als sehr elegant erweist.

hn zweiten Teil dieser Arbeit werden die Lei- stungsbegriffe im Zeitbereich untersucht. Dabei stellt sich heraus, dab die in /4] benutzte Verschie- bungsblindleistung das zeitliche Mittel aus Spannung und der Hilbert Transformierten des Stromes ist. Zusammen mit dem Tellegenschen Theorem lassen sich auf einfache Weise Erhaltungss~ttze fiir die ver- schiedenen Leistungen ableiten. \.Veiter wird ffir die Blindleistung ein Integralausdruck im Zeitbereich angegeben. Diese Darstellung der Blindleistung ge- s tat tet ihre Bereehnung direkt aus Abtastwerten yon Strom und Spannung, wobei die Tastfrequenz gr6Ber als die doppelte Frequenz der h6chsten noch zu berfieksiehtigenden Oberschwingung sein muB, da die periodischen Str6me und Spannungen Funktionen der Bernsteinklasse [5] sind.

2 G r u n d l a g e n u n d D e f i n i t i o n e n z u r s p e k t r a l e n D a r s t e l l u n g der L e i s t u n g s b e g r i f f e

a) Die reelle Zeitfunktion h(t) ist periodisch in ~/" - 2~/a) 0. Sie i/iI3t sieh in eine Fourierreihe

leo

h ( t ) = E l~ e i'<'~ v = - - o o

entwickeln. Da h(t) reei1 ist, gilt ffir die Koeffizienten h ; '~ = a_~.

b) Ffir die komplexen Effektivwerte der Teil- schwingungen yon h(t) bestehen die Beziehungen

/ ~ "= I/2h.~ Vf @0 (sinusf6rmige Teilschwingungen)

Ho " - G '

c) Der Effektivwert hCff ist bekanntlich definiert a l s

T

. 1 / h;f~ : j : hz(t) d r .

o

Nach Einsetzen der Zeitfunktion h(t) wird man auf den Ausdruek

cxo

h , ~ f , - )2 IH~,I" �9 v ~ 0

geffihrt.

d) Eine kompakte l)arstellung ffir den Effektiv- wert her f erh~ilt man, indem man den Vektor H fiber dem K6rper (I der komplexen Zahlen wie folgt deft- niert

n r : - / t0, /J~, He .. . . ] .

181 cos ee A

Bi ld 1. Z e r l c g u n g e incs Vel~tol"s

Damit ist dann

h~. = H * r H - - ( H , H> Itt[ 2 .

Der Effektivwert einer periodischen reellen Zeit- funktion ist gleich dem Betrag des Vektors der kom- plexen Effektivwerte der naeh Fourier in Teil- schwingungen zerlegten Zeitfunktion.

e) Ffir zwei Vektoren A und B iiber O gilt

IA]~ IB] 2 I<A, B)I z + I)A, BC] 2 .

Das ~uBere Produkt zwischen A und B ist mit dem Symbol ), < angedeutet.

ldeweis: (siehe OrObner [6] S. 33) hier 1mr heuristisch : A und B lassen sieh in einer Ebene darstellen. Das Betragsquadrat des inneren Produktes zwischcn A und B ist dann g]eich

I(A, B> I ~ IAI 2 IBI s cos"

und das des gul3eren Produktes

I>A, B(I 2 - IAI 2 IBI 2 sin 2 ~ ,

woraus die Richtigkeit der Behauptung folgt. Hie> mit wurde eine Winkelmessung im unit~iren Vektor- raum fiber (I aus abz~thlbar unendlich vielen Dimen- sionen eingeffihrt :

COS 2 0~ : - - [<A, B>l 2 :AI 2 [B[ 2

f) Eine Folgerung aus (e) ist die bekannte Cauchy- Schwarzsche Ungleichung :

IA] 2 IBI 2 ~ ! (A, B>I 2 ,

da stets gilt

I>A, g(I ~= > 0 .

Bekanntlich verschwindet das/iuBere Produkt zweier linear abhgngiger Vektoren, infolgedessen in der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung das Gleiehheits- zeichen eintritt.

3 L e i s t u n g s b e g r i f f e in spektra l er D a r s t e l l u n g

3.1 Die ScheinIe is tung S

Wesentliche Gr6Be zur Auslegung von Generatoren ist das Produkt aus den Effektivwerten von Strom und Spannung, das als Scheinleistung iiblieherweise

H. D. Fischer: Bcmerkungen zu Lcistungsbegrilfen bci Str6men und St?3,nnullgcn mit Oberschwingungen 29t

mit dem Buchstaben S bezeichnet wird

S : = u~f~i~ = IU I I I I = IU*I I I*l .

3.2 Die Wirkleish~ng P

Die fiir den Energieverbrauch maggebende Gr613e ist die Wirkleistung P, die als zeitliches Mittel der Augenblicksleistung definiert ist: Aus

T

P : T p(t) dt o

folgt die spektrale Darstellung o o

1 ) Re E /~J* Re {UTI *} = v = 0

o o

- - R e < U * , I * ) - - 2 t ) . v = 0

3.3 Die Blindleistu~g Q

Die Blindleistung Q ist derjenige Teil der Schein- leistung, der nicht in Wirkleistung umgesetzt werden kann :

5 2:- l~2+Q~.

a) In Anlehnung an die Definition der Blind- ]eistung bei rein sinusf6rmigem Strom- und Span- nungsverlauf definiert man [4] die Verschiebungs- blindleistung Qv als Ampli tudensumme des ohne Mittelwert schwingenden Anteils der Augenblicks- leistung, der yon Strom- und Spannungskomponenten gleicher Frequenz herriihrt, also

o o ~ ~ o o

Qv - : im y, U~I~" - - I m ( U * , I*} = 2 Qv,, . v = l v - - I

b) Der restliehe Teil der ]glindleistung wird Ver- zerrungsblindleistung QD genannt und resultiert aus der Gleichung

IU*l 2 II*l 2 - J < e * , I*>] ~ + [>U*, I * ( I 2

r

S z =1s 2 is p2 + O z

Bild 2, Zusammenhang der Leistungsbegriffe

Die spektrale Darstellung der Verzerrungsblind- leistung QD ist demnach der Betrag des ~iugeren Produktes aus den konjugiert komplexen Spannungs- und St romvektoren

QD : I>U*, I * ( I .

4 D i s k u s s i o n d e r b i s h e r i g e n R e s u l t a t e

4.1 Geomelrische Veranschaulichung

Die Scheinleistung S kann dargestellt werden als

S 2 = ISvI ~ -I-ISD[2,

wobei

S V : = ( U * , I * } P ~J(2v

u n d

S D : = }U*, I* ( (Vek to r ! )

gesetzt wurden. Gleichzeitig nfit dieser Einfiihrung gilt dann

QD-- IS1j] �9

Zur geometrischen Darstellung eiguet sich der in DIN 40110 angegebene Tetraeder.

4.2 Blindleistungskompensation

,]ede Energietibertragung sollte so optimiert sein, dab der Leistungsfaktor als Verh~iltnis von Wirk- zu Scheinleistung maximal wird. Nach Aussage der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung

$2 = [W,121i,]2 ~ I<U,, i,>12 > i R e (U,...-, i , ) ] 2 /)2

kann der Quotient P/S niemals I fiberschreiten. Des- halb daft man den Leistungsfaktor definieren zu

P cos (y : -- S

Benutzt man die Winkelmessung im unitS~ren Vektor- I'aUlT1

I<U*, i*>[ _ [sv[ cos ~o :-- iU,l !i,[ S '

dann hat man zur Blindleistungskompellsation so- wohl cos ~0 als auch cos ~0 zu t zu maehen. Das Ver- schwinden der Verzerrungsblindleistnng fiihrt auf cos ~y = t, das zus/itzliche Verschwinden der Ver- schiebungsblindleistung auf cos ~v = t. Zwischen den beiden Winkeln gilt die Ungleichung cos ~v G cos ~o, was auf ~v ~ ~v im Bereieh [--:r/2, +~/2] schliegen l~tBt, ft~r den cos ~ nur definiert ist.

4.3 Das Verschwinden der Verzerrungsblindleistung

Aus der Definition yon

St) : )U* , I*(

20

292 A r c h i v f i i r E l e k t r o t e c h n i k 64 (1982)

oder ausfiihrlich co

v~0 # = v + l

folgt:

Jede Komponen te yon S D verschwindet , wenn

f j , , ~7

J v IF,

gilt. Das ist genau dann der Fall, wenn der Klemmen- e ingangswiders tand Z frequenzunabh~tngig ist, also z. ]3. bei passiven Netzen eirt idealer ohrnscher Wider- stand, der zwar Wirkleis tung ve rb rauch t aber keine Blindleistung ben6tigt .

Fiir 0D ha t m a n auch die Beziehungen oo oo

QD = 2 2 [U~ef,%o,flY~-- Y~I]"= v=0 p=vq 1

co oo

v 2 �9

v -0 t z ~ v - [ 1

4 . 4 R e i n s inus fdrmige S t rdme und S p a n n u n g e n

Mi t v = t werden die Vektoren U, I zu Skalaren U1,

fl. Da das ~iuBere P roduk t zwischen Skalaren ver- sehwindet, ha t man

$2 = [ S v l 2

also

SD[2 = 0 .

Der Bet rag von S v ist bei alleinigem Vorhandensein der Grundschwingung mit der Scheinleistung S iden- tisch. Aus diesem Grunde wird S v aueh komplexe Scheinleistung g e n a n n t (so z.B. in D I N 40t10) . We- gen ISDI = Q9 = 0 ist in diesem Fall die Blind- leistung 0 gleich dem Imagin~irteil von S v.

5 G r u n d l a g e n u n d D e f i n i t i o n e n z u r D a r s t e l l u n ~ d e r L e i s t u n g s b e g r i f f e i m Z e i t b e r e i c h

a) I m F u n k t i o n e n r a u m der im In te rva l l [0, 2"j sttXekweise stetigen reellen Funk t ionen der Periode 7/" = 2~/oj 0 wird eine posit ive Metrik durch die De- finition des inneren Produktes eingefiihrt

T

(gt, ht) : = ~- gthe dt . 0

b) Die beiden periodischen Funk t ionen gt und h t heiBen orthogonal , wenn ihr inneres P roduk t ver- sehwindet.

c) Der Effekt ivwer t von g~ ist !(gt, gt)] 1/2, was gleichzeitig mit Norm von g~ bezeichnet wird

g~,f = I lgt[l �9

d) Sind g und h or thogonal zueinander, dann ist h(t) bis auf einen kons tan ten Fak to r als Hilbert Transformier te yon g(t) darste]lbar

@ oo

H(g) h(t) : - v . p . t _1 g(z)

- - o o

e) Ha t man far g die Four ierdars te l lung .1.oo

g( l ) = E g~ e j~~176 , v - - - - o o

dann gilt fiir ihre Hilbert Transformier te h(t) die Fourierreihe

[-oo

h(t) = E 3g~ sign (v) e j'C~~ v - - - - o o

nfit

{i sign (v) = v 0

- - v ~ 0 .

Da der Mittelwert yon h(t) verschwindet , sind die Normen yon g und h durch die Ungleichung I[gll > Ilhll verkniipft . Das Gleichheitszeichen t r i t t nur dann ein, wenn g mit te lwertfrei ist :

Ffir den ohne Mittelwert schwingenden Anteil gt yon g gilt also

llgll = [Ihjt �9

In der reellen Darste l lung

a 0 co

g(t) -a- + X (a~ cos v%t + b~ sin ~,J0t) v - - 1

heil3t die Hilbert Transformier te oo

h(t) X (by cos vc%t -- a~ sin Vo)ot ) . v ~ l

Fiir die Koeffizienten gelten die Zusammenhgnge

a~ = 2 Re g,

b~ : - - 2 I m g ~ .

6 L e i s t u n g s b e ~ r i f f e i m Z e i t b e r e i c h

6.1 Schei~le is tung

Das P roduk t der Ef fek t ivwer te yon Strom und Spannung stellt sich nun als das P rodnk t ihrer Not'. men dar

S = II%ll 1/~11 �9

H . D . F i s c h e r : ] 3 e m e r k u n g e n zu L e i s t u n g s b e g r i f f e n b e i S t r 6 m e n u n d S p a m m n g e n n l i t O b e r s c h w i n g u n g e n 293

6.2 Wirkleistung

Aus der Definition der Wirkleistung folgt ihre Dar- stellung als inheres Produkt yon Strom und Span- n L l r l g

P= (u , , i~ ) .

6.3 Ull).tdleishcng

Die Darstellung der ]31indleistung im Zeitbereich erh~lt man durch Anwenden der Bezietmng von C. Braband (vgl. F. A. Fischer [7] S. 33 oder Courant- Hilbert, Bd. I !8! S. 40):

T T

,,,~/,,2,17~t,,2 l ' 2 , l f f = L(u,, ~t>~ 4- -7 7~ (uj~ -- ur 2 dT dt , 0 0

die die entsprechende Erggnzung der Caucby- Schwarzschen Ungleichung im Zeitbereich leistet.

Dutch Vergleich mit S 2 = p2 4- Q2 gewinnt man den letzten Summanden als Ausdruck fiir die Blind- leistung

5l" 7"

0 o

6.3 A Verschiebungsblindleistuag

Die Verschiebungsblindleistung Qv ist das innere Produkt yon Spannung und Hilbert Transformier ter des Stromes

Ov = (%, H(it)) �9

Zmn Beweis haben wir mit der Abkiirzung i H : = H(it)

T

(%, H(it)) = ~: f u(t) iH(t ) at 0

L

__ X ~ ej(V i t,),.ot d [ -- a. s ji~ sign ( v ) % - y v ~z 0

-}, o o

= s ji~ sign (v)u .... v ~ - - o o

o o o o

= X j(ir ~ - i_~,.,,) = X j ( - 2 j Im u,,i*) v=l v = l

----- Im <U*, I* ) = Qv-

Damit l~igt sich prinzipiell sogar ein Ausdruck ftir (tie Verzerrungsbl~ndleistung QD im Zeitbereich angeben.

7 D i s k u s s i o n d e r R e s u l t a t e u n d E r w e i t e r u n g a u f n i c h t p e r i o d i s c h e Ver l f iu fe

7. ~ Blmdleistungskompensatiou

Die Btindleistung verschwindet und der Leistungs- faktor wird maximal, wenn die Spannungskurve fiir a]le Zei tpunkte exakt proportional der St romkurve ist

~.t~ ~ a i t .

Der Paramete r a ist zeitunabh~ingig. Betrachtet man n~mlich den Integranden g(t, ,) in Q2

g(t, ~) : = uj~ -- u~i t ,

dann stellt man sein Verschwinden ftir ,u, t _ ai~ und damit u, = ai~ lest.

7.2 Das Verschwinden der Verzerrungsblindleistung

Der Verzerrungsblindleistung Q~ verschwindet, wenn die Bli~dteistung 0 allein Verschiebungsblindlei- stung Qv ist

0,, = 0 ~ - Q = 0 v .

Das ist dann und nur dann der Fall, wenn die Span- nung eine Linearkombinat ion des Stromes und seiner Hilbert Transformierten ist und keine Gleiehspan- nung enth~ilt.

Zum Beweis stellt man zungchst lest, dab mit der letzten Aussage auch kein GleichstromanteiI vorha~> den sein kann, also gilt

7

i t % and IIittl =: IIi•

Mit

% = ai 4- bi n (a, b zeitunabh/ingig)

erh~tlt man fiir den Integranden g'a(t, T)

g g ~ -2 -'2 ~ .o.o . . . .

Das Quadrat der Blindleistung ist demnach

Q2 = b~ lli~ll ~ ili/i2 = b 2 jliHlla

da das inhere Produkt aus Strom i u n d seiner Hilbert Transformierten i~r verschwindet.

Andererseits gewinnt man aus der DarstelIung der Verschiebungsblindleistung

Ov = < u . ira> = b l l i / /I 2 .

7,3 Nichtperiodische Strdme und Span'nungen rail endlichem Effektivwert

Die ver t rauten Leistungsbegriffe kSnnen jetzt leicht auch auf nichtperiodische Strom-, Spannungsver- Iaufe mit endlichem Effekt ivwert verallgemeinert werden. Dazu ist das innere Produkt zwischen den nunmehr nichtperiodischen Funktionen g und h, beide mit endlichem Effektivwert , geeignet zu defi-

2 0 *

294 A r c h i v ffir E l e k t r o t e c h n i k 64 (1982)

nieren : T/'2

(gt, ht) := lim - r g(t) h(t) dr. T-+co T/')

Damit ist das innere Produkt gleich dem Weft der Kreuzkorrelierten zwischen g und h im Ursprung. Der Effektivwert von g i s t gleich seiner Norm. Die Aus- drt~cke fiir Schein-, Wirk- und Verschiebungsblind- leistung k6nnen ohne Anderungen iibernommen werden. Zur Blindleistung wird man entsprechend der Definition des inneren Produktes den folgenden Aus- druck erkl~iren

T/2 Z/2

Q~ := link 2 T~ (uj~ -- u,it)2 dT dt . T ~ o o

- T / " - - T / 2

7.4 Erhaltuugssdfze

Aus dem Tellegenschen Theorem resultieren die Er- haltungss~tze ftir die verschiedenen Leistungen. Das Tellegensche Theorem gilt bei unver~nderter Netz- topologie und besagt, dab jede mit den Kirchhoff- schen Maschengleichungen vereinbare Spannungs- verteilung orthogonal ist zu jeder mit den Kirchhoff- schen Trennmengengleiehungen vereinbaren Strom- verteilung

s i~(t2) : 0 , e Anzahl der Netzwerkzweige . z = l

7.4.t Erhaltung der Wirkleistung

Wfihlt man speziell t, = t.2 = t und bildet das innere Produkt, dann erseheint sofort

s z = l

d.h . die Wirkleistulzgen der einzelnen Netzwerk- zweige addieren sieh skalar.

7.4.2 Erhal tung der Verschiebungsblindleistung

Da die Kirchhoffschen Trennmengengleichungen auch fiir die Hilbert Transformierten iu~ der Zweig- str6me gi~ltig sind, hat man aus

c

X gz ( t l ) i l ia( t2) = 0 z = l

mit t~ = t 2 = t e

X Q v , = o ,

d.h . auch die Verschiebuugsblindleistungen der ein- zelnen Netzwerkzweige addieren sieh skalar.

7.4.3 Erhal tung der Verzerrungsblindleistung

Da die Kirchhoffschen Gleichungen fiir jede Harmo- nische yon Strom und Spannung erftillt sind, kann

man dem Tellegenschen Theorem auch die Form

E U j ~ o Z - - 1

geben. Daraus folgt dann das Verschwinden jeder Komponente des Vektors SD, also ergibt sich

e

~.~ S D z =- 0 , z

d.h . die Verzerruugsblindleistuugen der einzelnen Netzwerkzweige addieren sich vektorielZ.

7.4,4 Erhal tung der Scheinleistung

Betrachtet man den Vektor

s~' : = ~ ~, 9 v z , ,

dessen Betrag gleich der Scheinleistung eines Netz- werkzweiges ist, dann resultiert mit den bisher abge- leiteten Erhaltungss~ttzen

e

E S ~ = O , z 1

d.h . die Schei~,ldstuugeu der einzelnen Netzwerk- zweige addieren sich ebenfalls vektorielL

8 Beispiel

An eine ideale Gleichspannungsquelle U 0 ist ein idealer ohmscher Widerstand R angeschlossen. Peri- odisch wird ein zweiter idealer ohmscher Widerstand derselben GrSl3e fiber einen Schalter S parallel zu R geschaltet (Bild 3). Wie groB sind Schein-, Wirk- und Blindleistung des linearen, zeitvarianten Zweipols mit dem Innenwiderstand R i ?

Mit

i~ =- Gi(t ) U o

~,'o i R R

I s

R

/?/2

f/2 ? - - ~

B i l d 3. N e t z w e r k m i t ze i tve rS .nde r l i chem i d e a l e n o h m s c h e n r ~A i d e r s t a n d

H. D. Fischer: Bemerkungen zu Leistungsbegriffen bei Str6men nnd Spannungen mit Oberschwingungen 295

l~13t sich sowohl der S t rommi t t e lwer t

T

t f 3 U o i : T i t d t - - 2 R

o

berechnen als auch das Quadra t des St romeffekt iv-

wertes

2 , ; . = 2

Daraus resul t ieren die Scheinle is tung

S = U 0 ieff : R

u n d die Wirk le i s tung

3 Uo 2 _P- - /d~ 2 R

Infolgedessen b e s t i m m t sich die Bl ind le i s tung aus

Q2 = $2 _ p2

Z U

u~ 0=2R. I n diesem Fal l t r i t t B l ind le i s tung wegen der Zeit- va r ianz des idealen ohmschen Widers t andes Ri( t ) auf. Allein Le i s tungspende lungen u n t e r , ,Bl indle is tmlg" zu vers tehen, wird diesem ]3egriff n u r begrenzt ge-

recht.

9 S c h l u B f o l ~ e r u n g e n u n d A u s b l i c k

Die Def in i t ionen der Leistungsbegriffe Schein-, Wirk- u n d Bl ind le i s tung k o n n t e n im Zei tbereich m a t h e m a t i s c h so al lgemein formul ier t werden, dab sie auch k i inf t igen E n t w i c k l u n g e n u n d m6glichen An- fo rderungen gerecht werden. Mit der E in f i ih rung der Hi lber t T rans fo rmie r t en des Stromes konn te einer- seits der E rha l t ungs sa t z ffir die Verschiebungsbl ind- le is tung sehr einfach hergelei tet werden, und anderer- seits wurde die fiir eine digitale Prozel3datenverarbei- t u n g wichtige Q u e r v e r b i n d u n g zu nachr ich ten tech- n ischen Prob leml6sungen aufgezeigt.

Durch Diskre t i s ie rung der B l ind le i s tung im Zeit- bereich k a n n darfiber h inaus eine A n s t e u e r u n g ffir eine schnelle 131indleis tungskompensat ions-Einr ich- t u n g (z.B. Vierquadran tens te l le r ) abgelei te t werden, womi t die exakte K o m p e n s a t i o n der B l ind le i s tung , , g l e i c h z e i t i g " mit ihrem E r k e n n e n prinzipiel l m6g-

lich ist. Hierfiber wird an anderer Stelle zu ber ich ten sein. Dadurch, dab der en t s t ehende Algor i thmus n icht direkt auf dem Wirks t rom aufbaut , der bekann t l i ch F I~ fiber die Wirk le i s tung propor t iona l der S p a n n u n g ist, erfibrigt sich fiir kurzzei t ig instation~tre Vorg/inge eine Erwe i t e rung der Wirkle is tungsdef in i t ion , wie in [9] zu diesem Zweck vorgeschlagen wurde.

Fflr anregende Diskussionen danke ich Herrn Prof. Georg Bosse herzlich.

Literatur

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Eingegangen am 28. November 2980

Dr.-Ing. H. D. Fischer Kraftwerk Union Aktiengesellschaft Forchheimer Str. 47b D-8520 Erlangen Bundesrepublik Deutschland