benzet İ m

BENZETBENZETİİMMProf.Dr.Prof.Dr.BernaBerna Dengiz Dengiz

10. Ders

BENZETİMBENZETİMRASSAL SAYI ve DEĞİŞKEN ÜRETİMİRASSAL SAYI ve DEĞİŞKEN ÜRETİMİ

Gerçek sistemlerin olasılıklı stokastik davranışı her zaman Gerçek sistemlerin olasılıklı stokastik davranışı her zaman düzgün (uniform) dağılımla açıklanamaz. düzgün (uniform) dağılımla açıklanamaz.

Bir sistem içinde karşılaşılan stokastik işlemler uniform Bir sistem içinde karşılaşılan stokastik işlemler uniform dağılımdan daha çok diğer teorik dağılımlarla dağılımdan daha çok diğer teorik dağılımlarla (üstel, normal, gamma v.b.) açıklanabilmektedir. (üstel, normal, gamma v.b.) açıklanabilmektedir.

Bu nedenle uniform dağılımdan [0,1] aralığında elde edilen Bu nedenle uniform dağılımdan [0,1] aralığında elde edilen rassal sayıların teorik veya ampirik dağılımlara dönüştürülmesi rassal sayıların teorik veya ampirik dağılımlara dönüştürülmesi gerekir. gerekir.

Bunun için bir dönüşüm tekniği kullanılarak 0-1 aralığında Bunun için bir dönüşüm tekniği kullanılarak 0-1 aralığında düzgün dağılımdan üretilen düzgün dağılımdan üretilen rassal sayırassal sayı istenilen dağılım istenilen dağılım türünden bir türünden bir rassal değişkenerassal değişkene dönüştürülür. dönüştürülür.

BENZETİMBENZETİM

Bu işlem istatistiki anlamda herhangi bir olasılık dağılımından Bu işlem istatistiki anlamda herhangi bir olasılık dağılımından örnek almak demektir. örnek almak demektir.

Bunun işlem için olasılık dağılımının parametrelerinin Bunun işlem için olasılık dağılımının parametrelerinin bilinmesi veya verilmesi gerekir.bilinmesi veya verilmesi gerekir.

BENZETİMBENZETİMRASSAL SAYIRASSAL SAYI::

Herhangi bir dağılımdan rassal değişken üretmek veya bir rassal Herhangi bir dağılımdan rassal değişken üretmek veya bir rassal süreç üretmek için U(0,1) rassal değikenleri gereklidir. Bu süreç üretmek için U(0,1) rassal değikenleri gereklidir. Bu nedenle kullanılan bilgisayarda istatistiksel olarak güvenilir bir nedenle kullanılan bilgisayarda istatistiksel olarak güvenilir bir rassal sayı üreteci olmalıdır. Eğer yoksa bir alt program olarak rassal sayı üreteci olmalıdır. Eğer yoksa bir alt program olarak hazırlanıp yüklenebilir. hazırlanıp yüklenebilir.

Stokastik faaliyetleri konu alan benzetim modellerinde , olasılık Stokastik faaliyetleri konu alan benzetim modellerinde , olasılık dağılımlarından rassal değişken üretmek için rassal sayılar dağılımlarından rassal değişken üretmek için rassal sayılar gereklidir. Bu nedenle bazı yazarlar MONTE-CARLO gereklidir. Bu nedenle bazı yazarlar MONTE-CARLO yöntemini , rassal sayılara dayalı deneylerle uğraşan deneysel yöntemini , rassal sayılara dayalı deneylerle uğraşan deneysel matematiğin bir dalı olarak tanımlarlar.matematiğin bir dalı olarak tanımlarlar.

BENZETİMBENZETİM Rassal sayılar birbirinden bağımsız ve ortaya çıkma Rassal sayılar birbirinden bağımsız ve ortaya çıkma

olasılıkları eşit olan sayıların oluşturduğu dizilerdirolasılıkları eşit olan sayıların oluşturduğu dizilerdir

Bu sayı dizileri eşit olasılık gereği , tek biçimli ( uniform ) bir Bu sayı dizileri eşit olasılık gereği , tek biçimli ( uniform ) bir olasılık dağılımı gösterirolasılık dağılımı gösterir

Bu nedenle benzetim modellerinde rassal sayı üreten Bu nedenle benzetim modellerinde rassal sayı üreten mekanizma rassal sayıların bu özelliğini göz önünde mekanizma rassal sayıların bu özelliğini göz önünde bulundurmalıdırbulundurmalıdır

Bu işlemlere göre hesaplanan sayıların gerçekten rassal olduğu Bu işlemlere göre hesaplanan sayıların gerçekten rassal olduğu söylenemezsöylenemez

BENZETİMBENZETİM

Çünkü yapılan işlem bellidir ve başlangıç değeri bilinince Çünkü yapılan işlem bellidir ve başlangıç değeri bilinince üretilecek sayılar önceden bilinirüretilecek sayılar önceden bilinir

Bu yöntemle üretilen sayılar rassal sayı özelliği gösteriyorlarsa, Bu yöntemle üretilen sayılar rassal sayı özelliği gösteriyorlarsa, yani istatistiksel olarak birbirinden bağımsız ve düzgün yani istatistiksel olarak birbirinden bağımsız ve düzgün ( uniform ) dağılım özelliği gösteriyorlarsa bu sayı dizisi rassal ( uniform ) dağılım özelliği gösteriyorlarsa bu sayı dizisi rassal bir dizi olarak düşünülebilirbir dizi olarak düşünülebilir

Bu nedenle bu sayılara sözde ya da sahte rassal (pseudo Bu nedenle bu sayılara sözde ya da sahte rassal (pseudo random ) sayılar da denir Bu sayıların rassallık gösterip random ) sayılar da denir Bu sayıların rassallık gösterip göstermediğ bir çok testler ile belirlenebilirgöstermediğ bir çok testler ile belirlenebilir

22 testi ile bu sayıların düzgün bir dağılımdan üretilip testi ile bu sayıların düzgün bir dağılımdan üretilip üretilmediği ve yine üretilmediği ve yine 22 testine dayalı olarak sayıların bağımsız testine dayalı olarak sayıların bağımsız veya ilişkili olup olmadığı test edilebilirveya ilişkili olup olmadığı test edilebilir

BENZETİMBENZETİMRASSAL SAYILARIN ÖZELLİKLERİRASSAL SAYILARIN ÖZELLİKLERİ

UU11,U,U22,,,,,,rassal sayılar dizisi düzgün dağılımdan gelme ve ,,,,,,rassal sayılar dizisi düzgün dağılımdan gelme ve

bağımsızlık olmak üzere iki istatistiksel özelliğe sahip bağımsızlık olmak üzere iki istatistiksel özelliğe sahip olmalıdır. olmalıdır.

Her rassal sayı UHer rassal sayı UII 0 ve 1 aralığındaki sürekli düzgün 0 ve 1 aralığındaki sürekli düzgün

dağılımdan alınan bir bağımsız örnektir dağılımdan alınan bir bağımsız örnektir

Düzgün dağılımın o.y.f ;Düzgün dağılımın o.y.f ;

BENZETİMBENZETİM Her UHer UII nin beklenen değeri ; nin beklenen değeri ;

Varyansı;Varyansı;

BENZETİMBENZETİM

RASSAL SAYI ÜRETEÇLERİNDEN İSTENİLENRASSAL SAYI ÜRETEÇLERİNDEN İSTENİLEN

ÖZELLİKLER:ÖZELLİKLER:

RassallıkRassallık

Büyük Period Büyük Period

Yeniden Üretilebilirlik (Reproducibility )Yeniden Üretilebilirlik (Reproducibility )

Hesaplama EtkinliğiHesaplama Etkinliği

BENZETİMBENZETİMRASSAL SAYI ÜRETİMİ İÇİN TEKNİKLERRASSAL SAYI ÜRETİMİ İÇİN TEKNİKLER

1) 1) ORTA KARE YÖNTEMİORTA KARE YÖNTEMİ

1916’da Von Neumann ve Metropolis tarafından önerilen 1916’da Von Neumann ve Metropolis tarafından önerilen “ORTAKARE” yöntemidir “ORTAKARE” yöntemidir

Bu yöntemde , (m) basamaklı ve genellikle tek olan bir sayı başlangıç Bu yöntemde , (m) basamaklı ve genellikle tek olan bir sayı başlangıç değeri olarak alınırdeğeri olarak alınır

İkinci aşamada, bu sayının karesi alınarak bulunan sayının ortasındaki İkinci aşamada, bu sayının karesi alınarak bulunan sayının ortasındaki m kadar basamaklı sayı alınırm kadar basamaklı sayı alınır

Bu bir rassal sayı olarak kayıt edilirBu bir rassal sayı olarak kayıt edilir Tekrar bu rassal sayının karesi alınır ve yine ortadaki m baTekrar bu rassal sayının karesi alınır ve yine ortadaki m bassamaklı amaklı

sayı bir rassal sayı olarak kaydedilirsayı bir rassal sayı olarak kaydedilir Bu işlem , istenilen sayıda rassal sayı elde edilinceye kadar devam Bu işlem , istenilen sayıda rassal sayı elde edilinceye kadar devam

eder.eder.

BENZETİMBENZETİM

Örnek:Örnek:

XX0 0 = 5497= 5497 olarak seçilsin. olarak seçilsin.

XX002 2 = (5497)= (5497)2 2 = 30.217.0,09 = 30.217.0,09 XX1 1 =2170=2170

UU11= 0.2170= 0.2170

XX112 2 = (2170)= (2170)2 2 = 4.708.900 = 4.708.900 XX2 2 = 7089= 7089

UU22= 0,7089= 0,7089

XX222 2 = (7089)= (7089)2 2 = 50.253.921= 50.253.921 XX3 3 =2539=2539

UU33= 0,2539= 0,2539

BENZETİMBENZETİM

Bu tekniğin dezavantajları ;Bu tekniğin dezavantajları ;

İİlk sayı ve dizinin tekrar uzunluğu arasındaki ilişkiyi lk sayı ve dizinin tekrar uzunluğu arasındaki ilişkiyi (peryod) önceden bilmek mümkün değildir. Çoğu kez (peryod) önceden bilmek mümkün değildir. Çoğu kez tekrar uzunluğu kısadırtekrar uzunluğu kısadır

Elde edilen sayılar rassal olmayabilirElde edilen sayılar rassal olmayabilir

Yani dizide dejenerasyon söz konusu olabilir.Yani dizide dejenerasyon söz konusu olabilir.

BENZETİMBENZETİM

Bu yöntemle belirli bir sayı aritmetik işleme başlangıç değeri Bu yöntemle belirli bir sayı aritmetik işleme başlangıç değeri (seed) olarak verilmekte ve buna bağlı olarak bir sayı (seed) olarak verilmekte ve buna bağlı olarak bir sayı hesaplanmaktadırhesaplanmaktadır

Hesaplanan sayı , bu kez başlangıç değeri olarak alınmakta Hesaplanan sayı , bu kez başlangıç değeri olarak alınmakta ve yeni bir sayı üretilmektedirve yeni bir sayı üretilmektedir

Böylece her üretilen sayıdan yeni bir sayı üretilerek bir sayı Böylece her üretilen sayıdan yeni bir sayı üretilerek bir sayı dizisi elde edilmektedirdizisi elde edilmektedir

BENZETİMBENZETİM

Ters Dönüşüm Tekniği:Ters Dönüşüm Tekniği: f(x) olasılık yoğunluk fonksiyonunun verildiğini kabul edelim. f(x) olasılık yoğunluk fonksiyonunun verildiğini kabul edelim.

Amaç f(x) o.y.f’dan bir rassal değişken üretmektir.Amaç f(x) o.y.f’dan bir rassal değişken üretmektir.

BENZETİMBENZETİM

ifadesi; verilen U değerine karşılık gelen X değerini belirler.

dir. F(x) artan bir fonksiyondur.

BENZETİMBENZETİM

TERS DÖNÜŞÜM TEKNİĞİ:TERS DÖNÜŞÜM TEKNİĞİ: Algoritma:Algoritma:

BENZETİMBENZETİM

Örnek:Örnek:

BENZETİMBENZETİM

BENZETİMBENZETİM

Örnek 2:Örnek 2: Üstel dağılımdan rassal değişken üreten algoritmayı yazın.Üstel dağılımdan rassal değişken üreten algoritmayı yazın.

BENZETİMBENZETİM

BENZETİMBENZETİM

Algoritma:Algoritma:

BENZETİMBENZETİM

Örnek 2:Örnek 2:Aşağıda verilen olasılık yoğunluk fonksiyonuna uygun rassal

değişken üreten algoritmayı ters dönüşüm tekniğiyle çıkarınız

Orijinden geçen doğru hx

BENZETİMBENZETİM

BENZETİMBENZETİM

Örnek:Örnek:Şekilde görülen f(x) fonksiyonundan ters dönüşüm tekniği ileŞekilde görülen f(x) fonksiyonundan ters dönüşüm tekniği ile

rassal değişken üreten algoritmayı yazınızrassal değişken üreten algoritmayı yazınız

BENZETİMBENZETİM

BENZETİMBENZETİM

Reddetme TekniğiReddetme TekniğiReddetme tekniği , sürekli ve sınırlı olan herhangi bir f(x) olasılıkReddetme tekniği , sürekli ve sınırlı olan herhangi bir f(x) olasılık

yoğunluk fonksiyonundan rassal değişken üretmek için kullanılanyoğunluk fonksiyonundan rassal değişken üretmek için kullanılan

genel bir metottur.genel bir metottur.

Sürekli bir x rassal değişkeni için; Sürekli bir x rassal değişkeni için;

dir.dir.

Reddetme tekniği direk teknikler başarısız veya etkin olmadığında kullanılır.

BENZETİMBENZETİM

Reddetme Tekniğinin AdımlarıReddetme Tekniğinin Adımları:: Bu teknikte öncelikle bir t fonksiyonunun tanımlanması Bu teknikte öncelikle bir t fonksiyonunun tanımlanması

gerekir. gerekir.

Her xHer xi i için t(x) ≥ f(x) olmalıdır.için t(x) ≥ f(x) olmalıdır.

t(x) fonksiyonu bir olasıllık yoğunluk fonksiyonu değildir. Çünkü c > 1

BENZETİMBENZETİM

BENZETİMBENZETİM

r(x) olasılık yoğunluk fonksiyonundan y rassal değişkeni aşağıdaki algoritma ile üretilebilir.

BENZETİMBENZETİM

Örnek:Örnek:

BENZETİMBENZETİM

BENZETİMBENZETİM

Ters dönüşüm metodu kullanılarak r(x) yoğunluk Ters dönüşüm metodu kullanılarak r(x) yoğunluk fonksiyonundan [a , b] aralığında bir değişken üretilebilir.fonksiyonundan [a , b] aralığında bir değişken üretilebilir.

BENZETİMBENZETİM

BENZETİMBENZETİM

Örnek:Örnek:Beta (4,3) dağılımından rassal değişken üreten algoritmayıBeta (4,3) dağılımından rassal değişken üreten algoritmayı

reddetme yöntemine göre düzenleyin.reddetme yöntemine göre düzenleyin.

BENZETİMBENZETİM

BENZETİMBENZETİMÖrnek:Örnek:

BENZETİMBENZETİM

BENZETİMBENZETİMÖrnek:Örnek:

BENZETİMBENZETİM

benzet İ m

Documents