Questão 01

Um professor de Matemática escreve no quadro os n primeiros termos de uma progressão aritmética:

– 50, – 46, – 42, ..., an .

Se esse professor apagar o décimo termo dessa seqüência, a média aritmética dos termos restantes será 23.

Calcule o termo an .

Resolução:

Seja P.A. (-50, -46, -42, ..., an)

a1 = -50 e r = 4. Então a10 = a1 + 9r = -14

Excluindo o 10º termo, a média aritmética dos n - 1 restantes é 23. Assim:

nS a

123n 10

-

-= I

Calculando:

Sn = (a1 + an) . n2

Sn = [a1 + a1 + (n-1) . r] . n2

Sn = [-100 + (n - 1) . 4] . n2

Sn = 2n2 - 52n

Substituindo em I temos:

( )n

n n1

2 52 14 232

-- - -

= ⇔ 2n2 - 75n + 37 = 0

n = 37 ou n = 21

Como n é inteiro, n = 37

Daí

an = a37 = a1 + 36 . r

an = -50 + 36 . 4

an = 94

Bernoulli Resolve 2008MATEMÁTICAMATEMÁTICA

Questão 02

1.Suponhaque,numcruzamentoderuasdemãoúnica,asmédiasdeveículosque,porminuto,entramesaemdessecruzamentosãomostradasnestediagrama:

Sejaxamédiadeveículosqueentram,porminuto,nocruzamento,pelaruahorizontal,nosentidoleste–oeste.

Calculeovalordex.

2.Suponha,agora,que,numaregiãodocentrodeumacidade,comruasdemãoúnica,asmédiasdeveículosque,porminuto,entramousaemdoscruzamentossãomostradasnestediagrama:

Sejamx,y,zewasmédiasdeveículosque,porminuto,entramousaemdecadaumdosquatroscruzamentos,mostradosnessediagrama.

CALCULEosvaloresdex,y,zew.

Resolução:

A)Aquantidadedeveículosquechegaméigualàquantidadequesaem.

x+10=20+20

x=30veículos

B)Criandoumaequaçãoparacadacruzamento,temos:

x 10 20 y (I)y 40 z 25 (II)w 45 x 2w (III)z 30 w 12 (IV)

+ = +

+ = +

+ = +

+ = +

Z

[

\

]]

]]

Fazendo(I)+(II): Fazendo(III)-(IV):

x+50+y=z+y+45 w-z+15=x+w-12

x=z-5(V) x=-z+27(VI)

IgualandoVeVI: EmVI:

z-5=-z+27 x=-16+27

z=16 x=11

EmI: EmIV:

y=x-10 w=z+18

y=11-10 w=34

y=1

Osvaloressãox=11,y=1,z=16ew=34.

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Questão 03

Umaconcessionáriadeenergiaelétricadecertoestadobrasileiropossuidoisplanosdecobrançaparaconsumoresidencial:

•oPlanoIconsisteemumataxamensalfixadeR$24,00,quepermiteoconsumodeaté60kWh,e,apartirdessevalor,cadakWhextraconsumidocustaR$0,90;

•oPlanoIIconsisteemumataxamensalfixadeR$40,00,quepermiteoconsumodeaté80kWh,e,apartirdessevalor,cadakWhextraconsumidocustaR$1,10.

1.ESBOCE,nosistemadecoordenadasabaixo,osgráficosdasfunçõesquerepresentamocustoparaoconsumidor,emfunçãodoconsumodeenergiaelétrica,noPlanoIenoPlanoII.

2. Determine a faixa de consumo em que o Plano II é mais vantajoso para oconsumidor.

Resolução:

A)Asfunçõespreço(custo)sãodadaspor:

P (x)24,se x 6024 0,9 (x 60), se x 60I

#

$=

+ -)

P (x)40,se x 8040 1,1 (x 80), se x 80II

#

$=

+ -) ,ondexéoconsumodeKwh

Assim,osgráficossão:

P(R$)

40

24

60 80 90

A

B

II

I

C (Kwh)

B)OplanoIIémaisvantajosoqueoplanoIparaxA<x<xB.

PontoA: PontoB:

PI(x)=40,x>60 PI(x)=PII(x),x>80

24+0,9(x-60)=40 24+0,9(x-60)=40+1,1(x-80)

xA= 9700kWh xB=90kWh

LogooplanoIIémaisvantajososeoconsumoformaiorqueemenorque9700kWh

90kWh.

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Questão 04

SejaABCumtriângulocujosvértices,emcoordenadascartesianas,sãoA=(1,0),B=(3,0)eC=(2,1)

CALCULEainclinaçãomdaretaquepassapeloponto(0,0)edivideessetriânguloemduasregiõesdeáreasiguais.

Resolução:

y

x

C (2,1)

DE

A (1,0) B (3,0)

r

m = 12

A área do ∆ABC é:

S b h2 2

2 1 1: := = =

Como a reta r divide o ∆ABC em duas regiões de mesma área, a área do ∆CDE vale 21.

Seja o sistema:

y mxy x 1

=

= -)

mx=x-1→ x= m11-

→ y= mm

1 - (coordenadas do ponto D)

Seja o sistema:

3

y mxy x

=

=- +)

-x+3=mx

x= m13+

→ y= mm

13+

(coordenadasdopontoE)

A área do ∆CDE, pelo determinante, fica:

m

m

mm

mm

21

11

13

2

1

13

1

1

1

1

21

-

+

-

+=

mm

mm

m mm

m m13

12

13

16

11

13 12 2

-+

-+

+-

+-

--

-=

m mm m m m m m

1 12 1 3 1 6 1 1 1

- +

+ + - - - - +=

] ^

^ ] ] ^

g h

h g g h

mm m

18 8 2 12

2

!-

- + =

8m2-8m+2=1-m2 ou 8m2-8m+2=-1+m2

9m2-8m+1=0 7m2-8m+3=0

∆ = 64 - 36 = 28 ∆ = 64 - 4 . 7 . 3 < 0

(nãoconvém)

m=18

8 2 7!

m=9

4 7- , pois 0 < m < 21

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→ retar→ retasuportedoladoAC

→ retar→ retasuportedoladoBC

Questão 05

Considereosistema

emqueaéumnúmerorealpositivo.

DETERMINEonúmerodesoluçõesdistintasdessesistemaemfunçãodea.

Resolução:

, >x y a a Iy x II

1 02 2 2+ - =

=

^ ]

]

h g

g*

AequaçãoIrepresentaumacircunferênciadecentroC(0,1)eraio=a.

AequaçãoIIcorrespondea,

, <y

x se xx se x

00

H=

-)

Graficamente, temos:

C1

y = -x r: y = x

x

y

A distância do centro (0,1) à reta r: y = x, (x - y = 0) é:

dc,r=1 10 1

22

2 2+

-=

Temos, então, 5 casos mostrados na figura:

Sea<22 ,nãotemsolução.

Sea=22 ,são2soluções.

Se22 <a<1,são4soluções.

Sea=1,são3soluções.

Sea>1,são2soluções.

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Questão 06

Nestafigura,estãorepresentadosumtanquecilíndricoeumcilindrosólidometálico,amboscircularesretos:

O cilindro sólido encontra-se apoiado sobre o fundo e a lateral do tanque, que está,inicialmente,vazio.

Sabe-seque

•aalturaeoraiodotanquemedem,respectivamente,2 3me3m;

•opontoApertenceaodiâmetroCDdabasedotanque;e

•oânguloα = BÂDmede60º.

1.CALCULEoraiodocilindrosólidometálico.

2.Calculeovolumedeáguanecessáriopara,nasituaçãodescrita,seenchercompletamenteotanque.

Resolução:

F G C

30º

30º 60º

60º

30º

AB

r

r

4 m 2 3 m

4 m 2 m

6 m

D

E

43

m

60º

1)NotriânguloABC:

4m

2m

30º

60º

2 3m

NotriânguloADE:

4m

4 m

3

60º

30º

8 m = 2r

3

Logor= m34

2)OvolumedeáguaquecabenotanqueéadiferençaentreovolumedotanqueeovolumedotroncodecilindroAEGC.Calculemosinicialmenteovolumedotronco.

F G

E

4 3

60º

30º

4 – 3

23

2 3

C

4G

AE

34

r = 34

Vtronco= . .34

2

434

2 +r d

c

n

m

Vtronco= m9

128 3r

Assim:

Vágua=Vtanque-Vtroncocilindro

Vágua=π.32.2 3-

9128r

Vágua= m18 39

128 3-r r

c m

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Questão 07

Lílianpossuiseteparesdemeiasbrancas,quatroparesdemeiascinza,trêsparesdemeiaspretasecincoparesdemeiasazuis.

Sabe-sequeasmeiasdemesmacorsãoidênticas.

SuponhaquetodasessasmeiasestãoembaralhadasemumagavetaequeLílianretiradela,aleatoriamente,certonúmerodemeias.

Considerandoessasinformações,DETERMINE

1.onúmeromínimodepésdemeiaqueLíliandeveretirardessagavetaparatercertezadeter,pelomenos,umpardemeiasdeumamesmacor.

2.aprobabilidadedeLílian,aoretirarexatamentedoispésdemeiadessagaveta,obterumpardemeiasdeumamesmacor.

3.aprobabilidadedeLílian,aoretirarquatropésdemeiadessagaveta,obter,pelomenos,umpardemeiasdeumamesmacor.

Resolução:

1.Comosão4coresdiferentes,napiorsituação,aoLilianretirar4meias,elaaindanãoconsegueduasdemesmacor.Na5ªretirada,comcertezaelaobteráumpardamesmacor.Portanto,paragarantirqueelaterá,nomínimoumpardemeiasdamesmacor,eladeveretirar5meias.

2.Paraconseguirumpardamesmacor,elapoderátirarduasbrancasouduascinzasouduaspretasouduasazuis.

Então

P= . . . .3814

3713

388

377

386

375

3810

379

703179

+ + + =

3)AprobabilidadedeLilianretirarpelomenosumpardemeiasdamesmacorem4retiradasé100%menosaprobabilidadedelaretirartodasmeiasdecoresdiferentes.

P=1-4!. . . .3814

378

366

3510

P=703639

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2brancas 2cinzas 2pretas 2azuis

em qualquerordem 1ªb

ranca

2ªcinza

3ªpret

a

4ªazu

l

Questão 08

1.Escrevanaformatrigonométricaosnúmeroscomplexos

emquei2=–1.

2.Calculeosmenoresinteirospositivosmentaisque

Resolução:

1)

z= 3+i=2(cos30º+isen30º)

z=2 2(1+i)=4(cos45º+isen45º)

2)

( 3+i)m=[2 2(1+i)]n

⇔ [2(cos6r +isen

6r )]m=[4(cos

4r +isen

4r )]n

⇔ 2m(cos m6r +isen m

6r )=4n(cos n

4r +isen n

4r )

⇔ 2m=4ne m6r = n

4r +k.2π

⇔ m=2ne m6

= n4

+2k

⇔m=2ne2m=3n+24k

⇔m=2ne4n=3n+24k

⇔m=2nen=24k,usandok=1,poismensãoosmenoresinteiros.

n=24em=48

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