beton na hidro smeru

Primer 1.Primer 1.OdreditiOdrediti visinuvisinu i i potrebnupotrebnu povrpovrššinuinu armaturearmature zaza presekpresekpravougaonogpravougaonog oblikaoblika, , optereoptereććenen momentimamomentima savijanjasavijanjausledusled stalnogstalnog ((MgMg) i ) i povremenogpovremenog ((MpMp) ) optereoptereććenjaenja. . PodaciPodaci zaza proraproraččunun::

Mg = 60 Mg = 60 kNmkNm b = 25 cmb = 25 cm MB 30MB 30Mp = 80 Mp = 80 kNmkNm GA 240/360GA 240/360

nn MB 30MB 30 ⇒⇒ ffBB = 2.05 kN/cm= 2.05 kN/cm22

nn GA 240/360GA 240/360 ⇒⇒ ssvv = 24 kN/cm= 24 kN/cm22

Primer 1Primer 11) Mu = 1.6= 1.6××60 + 1.860 + 1.8××80 = 240.0 80 = 240.0 kNmkNm2)2) usvojenousvojeno:: εb / / εa = 2.6/10= 2.6/10‰‰ ⇒⇒3)3) kk= 2.663 = 2.663 μ= 15.344%= 15.344%

4)4) usvojenousvojeno:: 55ØØ2222 (19.01 cm(19.01 cm22))

5)5)

6)6) d = 57.6 + 6.7 = 64.3 cmd = 57.6 + 6.7 = 64.3 cm ⇒⇒ usvojenousvojeno:: d=65d=65 cmcm

2240 10h 2 663 57 6cm25 2 05

. ..

×= × =

×

µµ

b

u

fbMkh⋅

=

V

Ba σ

f100

hbμA ⋅⋅

⋅= 2a

25 576 205A 15344 1889cm100 24

. .. .×= × × =

13x4.5 + 2x10 = = 6.7cma 5

Primer 1Primer 151025.43a1

×+×=

2.75014.3240.9230.3890.7280.1972.452.73414.4960.9230.3900.7310.1982.4752.72014.6670.9220.3910.7330.2002.52.70514.8370.9210.3920.7360.2022.5252.69115.0070.9200.3920.7390.2032.552.67715.1760.9190.3930.7410.2052.5752.66315.3440.9190.3940.7440.2062.6

2.65015.5120.9180.3950.7460.2082.625kµ1M %ζηαbsεb

bεk h

aAµ

Primer 1aPrimer 1a1) Mu = 1.6= 1.6××60 + 1.860 + 1.8××80 = 240.0 80 = 240.0 kNmkNm2)2) usvojenousvojeno:: εb / / εa = = 3.53.5/10/10‰‰ ⇒⇒

k = 2.= 2.311311 μ= = 20.98820.988%%3)3) ff

4)4) usvojenousvojeno:: 66ØØ2222 ((2222..881 cm1 cm22))

5)5)

d = 5d = 500 + + 7.257.25 = = 57.2557.25 cmcm ⇒⇒ usvojenousvojeno:: d=6d=600 cmcm

µµ

b

u

fbMkh⋅

=

V

Ba σ

f100

hbμA ⋅⋅

⋅= 2a

25 50 205A 20988 2241cm100 24

.. .×= × × =

( )1

3x 4.5 +10 = = 7 25cma 6

.

2240 10h 2 311 50 0cm25 2 05

. ..

×= × =

×

Primer 1aPrimer 1a51025.43a1

×+×=

εb / / εa= = 3.53.5/10/10‰‰εb / / εa= = 2.62.6/10/10‰‰

PRIMER PRIMER 22OdreditiOdrediti potrebnupotrebnu povrpovrššinuinu armaturearmature zaza presekpresekpravougaonogpravougaonog oblikaoblika, , poznatihpoznatih dimendimenzija, zija, optereoptereććenenmomentimamomentima savijanjasavijanja usledusled stalnogstalnog ((MgMg) i ) i povremenogpovremenog ((MpMp) ) optereoptereććenjaenja. . PodaciPodaci zaza proraproraččunun::

Mg = Mg = 29.629.6 kNmkNm b = 20 cmb = 20 cm MB 30MB 30Mp = Mp = 2266 kNmkNm dd = = 4040 cmcm GGA 240/A 240/363600


nn GGA 240/A 240/36360 0 ⇒⇒ σσvv = 24kN/cm= 24kN/cm22

PRIMER 2PRIMER 2

1) Mu = 1.6= 1.6××229.69.6 + 1.8+ 1.8××2266 = = 94.294.2 kNmkNm

2)2) PRETPOSTAVKA: PRETPOSTAVKA: a1=a1=6.56.5 cmcm hhprpr==4400--6.56.5==3333.5.5 cmcm

3)3) RARAČČUNAMOUNAMO::

4)4) εb / / εa = = 3.53.5//8.6928.692‰‰μ= = 23.23923.239%%

µµ

b

pr

fbM

hk

⋅

=u

2 211.=2

33.5k =94.2 × 1020 × 2.05

2a

20 335 205A 23239 133cm100 24

. .. .⋅= ⋅ ⋅ =

4)4) USVOJENOUSVOJENO:: 55ØØ2200 ((15.7115.71 cmcm22))

5)5)

hhstvstv==4400--6.6.55==333.3.5=33.5=5=33.5=hhprpr

13 4.5 + 2 9 5 = = 6.5cma 5

.⋅ ⋅

PRIMER PRIMER 22

PRIMER PRIMER 22

UØ8/30

3Ø20

2Ø12

2Ø12

2Ø20

PRIMER PRIMER 2b2bOdreditiOdrediti potrebnupotrebnu povrpovrššinuinu armaturearmature zaza presekpresekpravougaonogpravougaonog oblikaoblika, , poznatihpoznatih dimendimenzija, zija, optereoptereććenenmomentimamomentima savijanjasavijanja usledusled stalnogstalnog ((MgMg) i ) i povremenogpovremenog ((MpMp) ) optereoptereććenjaenja. . PodaciPodaci zaza proraproraččunun::

Mg = Mg = 29.629.6 kNmkNm b = 20 cmb = 20 cm MB 30MB 30Mp = Mp = 8866 kNmkNm dd = = 4040 cmcm RRA 400/A 400/500500


nn RRA 400/A 400/500500 ⇒⇒ σσvv = 40kN/cm= 40kN/cm22

PRIMER 2bPRIMER 2b

1) Mu = 1.6= 1.6××229.69.6 + 1.8+ 1.8××8866 = = 202.16202.16 kNmkNm

2)2) PRETPOSTAVKA: PRETPOSTAVKA: a1=a1=6.56.5 cmcm hhprpr==4400--6.56.5==3333.5.5 cmcm

3)3) RARAČČUNAMOUNAMO::

µµ

b

pr

fbM

hk

⋅

=u

1 508= .2

33.5k =202.16 × 10

20 × 2.05

PRIMER 2bPRIMER 2b

4)4) εb / / εa = = 3.53.5//0.70.7‰‰

εa< 3‰ DVOJNO ARMIRANJE!

USVOJENO:USVOJENO: εa* =3=3 ‰

k*=1.719 μ *=43.59 %

5)5) aa

6)6) ∆Mu=Mu-Mabu

ΔΔMu=202.16Mu=202.16--155.71=155.71=46.4546.45 kNmkNm

∗

= ⋅ ⋅

2

abu BhM b fk

PRIMER PRIMER 2b2b

20 2 05 15571kNcm 155 7kNm = ⋅ ⋅ = =

. .2

abu33.5M

1.719

7)7) PRETPOSTAVKA: PRETPOSTAVKA: aa22=5 cm=5 cm

USVOJENOUSVOJENO:: 2R2RØØ1616 ((4.024.02 cmcm22))8)8) RARAČČUNAMOUNAMO::

24 07cm⋅= =

⋅.

2

a246.5 10A

(33.5 - 5) 40

PRIMER PRIMER 2b2b

V2

ua2 σ)a(h

ΔMA⋅−

=

* uBa1 a2

V V

Nfb × hA = μ × × - + A100 σ σ

⋅ ⋅ 2a1

20 × 33.5 2.05A = 43.59 + 4.07 = 15.0 + 4.07 = 19.1cm100 40

4)4) USVOJENOUSVOJENO:: 6R6RØØ2222 ((22.822.8 cmcm22))

5)5)

hhstvstv==4400--7=7=3333 > 33.5> 33.5 ==hhprpr !!

13 4.4 + 3 9 6 = = 7 0cma 6

⋅ ⋅ . .

PRIMER PRIMER 2b2b

PPRIMERRIMER 3.3.OdreditiOdrediti potrebnupotrebnu povrpovrššinuinu armaturearmature zaza presekpresekpravougaonogpravougaonog oblikaoblika, , poznatihpoznatih dimendimenzija, zija, optereoptereććenenmomentimamomentima savijanjasavijanja i i normalnimnormalnim silamasilamazatezanjazatezanja usledusled stalnogstalnog i i povremenogpovremenog optereoptereććenjaenja. . PodaciPodaci zaza proraproraččunun::

Mg = Mg = 29.629.6 kNmkNm ZgZg = = --48.3 48.3 kNkNMp = Mp = 2266 kNmkNm ZpZp = = --42.6 42.6 kNkN

b = 20 cmb = 20 cm MB 30MB 30dd = = 4040 cmcm GGA 240/A 240/363600



PRIMER 3PRIMER 3

1) Mu = 1.6= 1.6××229.69.6 + 1.8+ 1.8××2266 = = 94.294.2 kNmkNmZZu = 1.6= 1.6××48.348.3 + 1.8+ 1.8××42.642.6 = = 153.96153.96 kNkN

2)2) PRETPOSTAVKA: a1=PRETPOSTAVKA: a1=6.56.5 cm hcm hprpr==4400--6.56.5==3333.5.5 cmcm

µµ

0 494 2 153 96 0 065 73 4kNm2.. . . . = − ⋅ − =

auM

−⋅−= 1uuau a

2dZMM

PRIMER 3PRIMER 3

3)3) RARAČČUNAMO:UNAMO:

εb / / εa = = 2.9382.938//1010‰‰μ= = 17.55417.554%%

b

pr

fbM

hk

⋅

=u

2 504.=2

33.5k =73.4 × 1020 × 2.05

2a

20 335 205 15396A 17554 1004 642 1646cm100 24 24

. . .. . . .⋅= ⋅ ⋅ + = + =

V

u

V

Ba σ

Zσf

100hbμA +⋅

⋅⋅=


5)5)

hhstvstv==4400--7=7=3333≈≈hhprpr==33.533.5

13 4.5 + 3 9 5 = = 7cma 6

.⋅ ⋅

PRIMER 3PRIMER 3

PRIMER 3PRIMER 3

3Ø20

3Ø20

UØ8/30

2Ø12

2Ø12

PPRIMERRIMER 44..OdreditiOdrediti potrebnupotrebnu povrpovrššinuinu armaturearmature zaza presekpresekpravougaonogpravougaonog oblikaoblika, , poznatihpoznatih dimendimenzija, zija, optereoptereććenenmomentimamomentima savijanjasavijanja i i normalnimnormalnim silamasilama pritiskapritiskausledusled stalnogstalnog i i povremenogpovremenog optereoptereććenjaenja. . PodaciPodaci zazaproraproraččunun::

Mg = Mg = 29.629.6 kNmkNm NNg = g = 64.464.4 kNkNMp = Mp = 2266 kNmkNm NNp = p = 56.956.9 kNkN

b = 20 cmb = 20 cm MB 30MB 30dd = = 4040 cmcm GGA 240/A 240/363600



PRIMER 4PRIMER 4

1) Mu = 1.6= 1.6××229.69.6 + 1.8+ 1.8××2266 = = 94.294.2 kNmkNmNNu = 1.6= 1.6××64.464.4 + 1.8+ 1.8××56.956.9 = = 205.46205.46 kNkN

2)2) PRETPOSTAVKA: a1=5 cm hPRETPOSTAVKA: a1=5 cm hprpr==4400--5=5=3535 cmcm

µµ

0 494 2 205 46 0 05 125kNm2.. . . = + ⋅ − =

auM

−⋅+= 1uuau a

2dNMM

PRIMER 4PRIMER 4

3)3) RARAČČUNAMO:UNAMO:

εb / / εa = = 3.53.5//6.1736.173‰‰μ= = 29.29229.292%%

b

pr

fbM

hk

⋅

=u

2 005.=2

35k =125 × 1020 × 2.05

2a

20 35 2 05 205 46A 29 292 17 51 8 56 8 95cm100 24 24

. .. . . .⋅= ⋅ ⋅ − = − =

V

u

V

Ba σ

Nσf

100hbμA −⋅

⋅⋅=


5)5) aa11=4.5 cm=4.5 cm

hhstvstv==4400--4.5=4.5=335.55.5>>hhprpr==3355

PRIMPRIMER 4ER 4

PRIMER PRIMER 44

UØ8/30

3Ø20

2Ø12

2Ø12

UØ8/30

3Ø20

2Ø12

2Ø12

2Ø20

3Ø20

3Ø20

UØ8/30

2Ø12

2Ø12

UØ8/30

3Ø20

2Ø12

2Ø12

Primer Primer 55..

OdreditiOdrediti visinuvisinu i i potrebnupotrebnu povrpovrššinuinu armaturearmature zaza presekpresekpravougaonogpravougaonog oblikaoblika, , optereoptereććenen momentimamomentima savijanjasavijanja i i silama pritiskasilama pritiska.. PodaciPodaci zaza proraproraččunun::

Mg = 60 Mg = 60 kNmkNm Ng = 125 Ng = 125 kNkNMp = 80 Mp = 80 kNmkNm NpNp = 100 = 100 kNkN

b = 25 cmb = 25 cm


nn GA 240/360GA 240/360 ⇒⇒ ssvv = 24 kN/cm= 24 kN/cm22

Primer 5Primer 51) Mu = 1.6= 1.6××60 + 1.860 + 1.8××80 = 240.0 80 = 240.0 kNmkNm

Nu = 1.6= 1.6××125125+ 1.8+ 1.8××100100 = = 38380.0 0.0 kNkN2)2) usvojenousvojeno: : εb / / εa = = 3.53.5//77‰‰ ⇒⇒

k = 2.= 2.074074 μ= = 26.9826.984%4%3)3) Pretpostavka: Pretpostavka:

4)4) ddII = = 5252 cmcm

2I 240 10h 2 074 44 9cm

25 2 05. .

.×

= × =×

µµ

b

u

fbMkh⋅

=

Iau uM M 240kNm= =

I1a 7cm d 44 9 7 51 9cm. .= → = + =

IIau

052M 240 380 007 3122kNm2. . . = + ⋅ − =

2II 312 2 10h 2 074 51 2cm

25 2 05.. .

.×

= × =×

Primer 5Primer 5

5)5) ddIIII = = 6060 cmcm

6)6) UsvojenoUsvojeno:: 66ØØ1818 (15.27 cm(15.27 cm22))

7)7)

d = 5d = 500 + + 7.257.25 = = 57.2557.25 cmcm ⇒⇒ usvojenousvojeno:: d=6d=600 cmcm

µµ

II1a 7cm d 51 2 7 58 2cm. .= → = + =

IIIau

0 6M 240 380 0 07 327 4kNm2. . . = + ⋅ − =

2II 327 4 10h 2 074 52 3cm

25 2 05.. .

.×

= × =×

III II1a 7cm d 52 3 7 59 3cm d. .= → = + = ≈

2a

25 52 3 2 05 380A 26 984 14 38cm100 24 24

. .. .×= ⋅ ⋅ − =

13 4.5 + 9 5 = = 7cma 6

( . )⋅

PPRIMERRIMER 4a4aOdreditiOdrediti potrebnupotrebnu povrpovrššinuinu armaturearmature zaza presekpresekpravougaonogpravougaonog oblikaoblika, , poznatihpoznatih dimendimenzija, zija, optereoptereććenengranigraniččnimnim momentmomentomom savijanjasavijanja i i granigraniččnimnimnormalnnormalnomom silsilomom pritiska. pritiska. PodaciPodaci zaza proraproraččunun::

MMuu = = 580580 kNmkNm NuNu = = 10001000 kNkN

b = b = 330 cm0 cm MB 30MB 30dd = = 6600 cmcm RRA 4A 4000/0/505000nn MB 30MB 30 ⇒⇒ ffBB = 2.05 kN/cm= 2.05 kN/cm22

nn RRA 4A 4000/0/50500 0 ⇒⇒ σσvv = 4= 40 0 kN/cmkN/cm22

PRIMER 4aPRIMER 4a

1) Mu = = 580580 kNmkNmNNu = = 10001000 kNkN

2)2) PRETPOSTAVKA: a1=7 cm hPRETPOSTAVKA: a1=7 cm hprpr=60=60--7=53 cm7=53 cm

µµ

0 6580 1000 0 07 810kNm2. . = + ⋅ − =

auM

−⋅+= 1uuau a

2dNMM

PRIMER 4aPRIMER 4a

3)3)

εa << 3.0 3.0 ‰‰ DVOJNO ARMIRANJEDVOJNO ARMIRANJE

4)4) USVOJENO:USVOJENO: εa* =3=3 ‰

k*=1.719 μ *=43.59 %

u

=

⋅

pr

a

b

hk

Mb f

2

53k 1 460810 1030 2 05

.

.

= =⋅

⋅

5)5) RaRaččunamo:unamo:

6)6) ∆Mu=Mau-Mabu

ΔΔMau=810Mau=810--584.4=584.4=225.6225.6 kNmkNm

∗

= ⋅ ⋅

2

abu BhM b fk

PRIMER PRIMER 4a4a

30 2 05 58440kNcm 584 4kNm. . = ⋅ ⋅ = =

2

abu53M

1.719


8)8) USVOJENOUSVOJENO:: 4R4RØØ2222 ((15.2115.21 cmcm22))9)9) RARAČČUNAMOUNAMO::

10)10) USVOJENOUSVOJENO:: 6R6RØØ2222 ((22.8122.81 cmcm22))

211 75cm.⋅= =

⋅

2

a2225.6 10A(53 - 5) 40

PRIMER PRIMER 4a4a

V2

ua2 σ)a(h

ΔMA⋅−

=

* uBa1 a2

V V

Nfb × hA = μ × × - + A100 σ σ

⋅ ⋅ 2a1

30 × 53 2.05 1000A = 43.59 - + 11.75 = 22.27cm100 40 40

PRIMER PRIMER 4a4a

PRIMER 4bPRIMER 4b

3)3) RARAČČUNAMO: UNAMO:

εa << 3.0 3.0 ‰‰ DVOJNO ARMIRANJEDVOJNO ARMIRANJE

4)4) USVOJENO:USVOJENO: εa* =5=5 ‰

k*=1.903 μ *=33.333 %

b

pr

fbM

hk

⋅

=u

1 460.=⋅

⋅

2

53k =125 1030 2.05

5)5) aa

6)6) ∆Mu=Mau-Mabu

ΔΔMau=810Mau=810--447.2=447.2=332.8332.8 kNmkNm

∗

= ⋅ ⋅

2

abu BhM b fk

PRIMER PRIMER 4b4b

2

abu53M = × 30 × 2.05 = 47720kNcm = 447.2kNm

1.903


USVOJENOUSVOJENO:: 5R5RØØ2222 ((19.0119.01 cmcm22))8)8) RARAČČUNAMOUNAMO::

USVOJENOUSVOJENO:: 5R5RØØ2222 ((19.0119.01 cmcm22))

22

a2332.8 × 10A = = 17.33cm(53 - 5)× 40

PRIMER PRIMER 4b4b

V2

ua2 σ)a(h

ΔMA⋅−

=

* uBa1 a2

V V

Nfb × hA = μ × × - + A100 σ σ

⋅ ⋅ 2a1

30 × 53 2.05 1000A = 33.333 - + 17.33 = 19.5cm100 40 40

PRIMER PRIMER 4b4b

εa* = 3.0 = 3.0 ‰‰ εa

* = 5.0 = 5.0 ‰‰

PRIMER 2PRIMER 2OdreditiOdrediti potrebnupotrebnu povrpovrššinuinu armaturearmature zaza T T presekpresekzadatihzadatih geometrijskihgeometrijskih karakteristikakarakteristika, , optereoptereććenenuticajimauticajima usledusled stalnogstalnog (M(Mgg,N,Ngg) i ) i povremenogpovremenog(M(Mpp,N,Npp) ) optereoptereććenjaenja. .

nn MMgg = = 300300 kNmkNm MMpp = 250 = 250 kNmkNmnn NNgg = = 500500 kNkN NNpp = = 40400 0 kNkNnn B = 180 cmB = 180 cm b = 30 cmb = 30 cmnn dd = = 6600 ddpp = 10 cm= 10 cm

nn MB MB 25:25: ffBB = = 1.7251.725 kN/cmkN/cm22

nn RRA 4A 4000/0/505000:: σσvv = 4= 40 0 kN/cmkN/cm22

PRIMER 2PRIMER 2

nn MMuu = 1.6 = 1.6 ×× 3300 + 1.8 00 + 1.8 ×× 250 = 250 = 930930 kNmkNmnn NNuu = 1.6 = 1.6 ×× 5500 + 1.8 00 + 1.8 ×× 40400 = 0 = 15201520 kNmkNmnn a1 = 7 cm a1 = 7 cm ⇒⇒ h = 60 h = 60 -- 7 = 53 cm7 = 53 cm

nn hh

au0 6M 930 1520 0 07 1279 6kNm2. . . = + × − =

aubp

pp

Md

B d h2

σ =

⋅ ⋅ −

22

bp1279 6 10 1 67kN cm

10180 10 532

. . /⋅σ = =

⋅ ⋅ −

PRIMER 2PRIMER 2

nn jj

nn dd

bpbp

B

2 1 1f

σ ε = × − −

bp1 672 1 1 1 6311 725

. ..

ε = × − − =

bp p0

bp a

dx h

2ε

= × − ε + ε

p0

d1 631 10x 53 6 73cm 5cm1 631 10 2 2

. ..

= × − = = + >

PRIMER 2PRIMER 2

nn B/bB/b>5>5 UPROUPROŠŠĆĆEN POSTUPAKEN POSTUPAK

nn USVOJENO:USVOJENO: 6R6RØØ2255 ((29.4529.45 cmcm22))

nn

hhstvstv= 60 = 60 -- 6.33 = 53.67 cm > 6.33 = 53.67 cm > hhraračč= 53 cm= 53 cm

a u ua

p vv

M NA

dh

2-

= −σ

× σ

22

a1279 6 10 1520A 28 65cm

10 4053 402

. .-

⋅= − =

×

14 4.5 + 2 10 = = 6 33cma 6

.⋅ ⋅

PRIMER 2PRIMER 2

PRIMER 3PRIMER 3OdreditiOdrediti potrebnupotrebnu povrpovrššinuinu armaturearmature zaza T T presekpresekzadatihzadatih geometrijskihgeometrijskih karakteristikakarakteristika, , optereoptereććenenmomentimamomentima savijanjasavijanja usledusled stalnogstalnog (Mg) i (Mg) i povremenogpovremenog (Mp) (Mp) optereoptereććenjaenja. .

nn Mg = 200 Mg = 200 kNmkNm B = B = 18180 cm0 cm dpdp = 10 cm= 10 cmMp = 250 Mp = 250 kNmkNm b = 30 cmb = 30 cm d = d = 6060 cmcm

nn MB 30MB 30:: ffBB = 2.05 kN/cm2= 2.05 kN/cm2 ffbkbk = = 33 kN/cmkN/cm22

nn RRA 4A 4000/0/505000:: σσvv = 4= 40 0 kN/cmkN/cm22

PRIMER 3PRIMER 3

nn MMuu = 1.6 = 1.6 ×× 200200 + 1.8 + 1.8 ×× 250 = 250 = 770770 kNmkNm

nn a1 = a1 = 99 cm cm ⇒⇒ h = 60 h = 60 -- 99 = 5= 511 cmcm

nn PRETPOSTAVIMO DA SE nPRETPOSTAVIMO DA SE n--n LINIJA NALAZI U n LINIJA NALAZI U PLOPLOČČI !I !

nn

εb/εa = 1.65 / 10 ‰ ; s = 0.142

x = 0.142× 51 = 7.24 cm > dp = 10 cm

2

51k 3 531770 10

180 2 05

= =⋅

⋅

.

.

PRIMER 3PRIMER 3

nn Pretpostavka o poloPretpostavka o položžaju naju n--n linije je tan linije je taččna!na!nn RaRaččunamo pravougaoni presek unamo pravougaoni presek šširine irine B!B!n μ *=8,282 %nn Potrebna armatura:Potrebna armatura:

nn Usvojeno: Usvojeno: 8R8RØØ2525 (39,28 cm(39,28 cm22))nn SraSraččunavanje stvarne statiunavanje stvarne statiččke visine, ke visine,

konstruisanje preseka...konstruisanje preseka...

2a

180 51 2 05A 8 282 39cm100 24

⋅= ⋅ ⋅ =

..

PRIMER PRIMER 66

ZaZa stub stub pravougaonogpravougaonog poprepopreččnognog presekapreseka zaza kojikoji susudate date tri tri kombinacijekombinacije uticajauticaja usledusled stalnogstalnog i i povremenogpovremenog optereoptereććenjaenja, , odreditiodrediti potrebnupotrebnu povrpovrššinuinuarmaturearmature. . UticajUticaj izvijanjaizvijanja zanemaritizanemariti..

a.a. NNgg = 1385,8 = 1385,8 kNkN MMpp = = ±±826,3 826,3 kNmkNmb.b. NNgg = 3682,9 = 3682,9 kNkN MMpp = = ±±637,7 637,7 kNmkNmc.c. NNgg = 4820,8 = 4820,8 kNkN MMpp = = ±±238,9 238,9 kNmkNm

b = 40 cmb = 40 cm MB 4MB 400d = 85 cmd = 85 cm RA 400/500RA 400/500

nn pretp. apretp. a11 = 6.5 = 6.5 cm cm ⇒⇒ aa11/d = 6.5/85 = 0.076 /d = 6.5/85 = 0.076 ≈≈ 0.075 0.075

nn kombinacija uticaja kombinacija uticaja a.a.::nn pretpostavljeno pretpostavljeno εεa1a1 > 3> 3‰‰ (zatezanje) (zatezanje) ⇒⇒

γγu,gu,g = 1.6 ; = 1.6 ; γγu,pu,p = 1.8= 1.8

nn MMuu = 1.8= 1.8××826.3 = 1487.3 kNm826.3 = 1487.3 kNmNNuu = 1.6= 1.6××1385.8 = 1385.8 = 2217.32217.3 kNkN

PRIMER PRIMER 66

PRIMER PRIMER 66

nn RARAČČUNANJE BEZDIMENZIONALNIH VELIUNANJE BEZDIMENZIONALNIH VELIČČINA:INA:

256.055.28540

3.22172 =

⋅⋅=

⋅⋅=

B

uu fdb

Nn

202.055.28540

103.14872

2

2 =⋅⋅⋅

=××

=B

uu fdb

Mm

0.255

0.202

0.256

nn kombinacija uticaja kombinacija uticaja b.b.::nn pretpostavljeno pretpostavljeno εεa1a1 < 0< 0‰‰ (pritisak) (pritisak) ⇒⇒

γγu,gu,g = 1.9 ; = 1.9 ; γγu,pu,p = 2.1= 2.1

nn MMuu = 2.1= 2.1××637.7 = 1339.2 kNm637.7 = 1339.2 kNmNNuu = 1.9= 1.9××3682.9 = 6997.5 kN3682.9 = 6997.5 kN

PRIMER PRIMER 66

182.05528540

10213392

2

=×××

=.

.mu

80705528540

56997 ..

.nu =××

=

0.255

0.256

0.202

0.807

0.182

0.315

PRIMER PRIMER 66

nn 0 0 ‰‰ << εεa1 a1 << 0.5 0.5 ‰‰

γu,g= 1,862

γu,p= 2,062

nn kombinacija uticaja kombinacija uticaja bb..::

nn MMuu = 2.= 2.062062××637.7 = 13637.7 = 1314.914.9 kNmkNmNNuu = 1.= 1.862862××3682.9 = 63682.9 = 6857.6857.6 kNkN

PRIMER PRIMER 66

2

u 2

1314 9 10m 0 17840 85 2.55

. .×= =

× ×

u6857 6n 0.791

40 85 2.55.

= =× ×

0.255

0.256

0.202

0.807

0.182

0.315

0.791

0.178

0.290

nn kombinacija uticaja kombinacija uticaja cc..::nn pretpostavljeno pretpostavljeno εεa1a1 < 0< 0‰‰ (pritisak) (pritisak) ⇒⇒

γγu,gu,g = 1.9 ; = 1.9 ; γγu,pu,p = 2.1= 2.1

nn MMuu = 2.= 2.11××238.9238.9 = = 501.7501.7 kNmkNmNNuu = 1.= 1.99××4820.84820.8 = = 9159.59159.5 kNkN

PRIMER PRIMER 66

2

u 2

501 7 10m 0 06840 85 2.55

. .×= =

× ×

u9159 5n 1 056

40 85 2.55. .= =

× ×

0.255

0.256

0.202

0.807

0.182

0.315

0.791

0.178

0.290

1.056

0.068

0.23

Rezime:Rezime:nn -- kombinacija kombinacija aa:: ≈≈ 0.2550.255nn -- kombinacija kombinacija bb:: ≈≈ 0.290.29nn -- kombinacija kombinacija cc:: ≈≈ 0.230.23

PRIMER PRIMER 66

Ba

v

fA b d= µ × × ×

σ

2a

2 55A 0 29 40 85 62 85cm40

= × × × =.. .

usv.:±7RØ25 (±34.37 cm2)

2x7.5=15

40

20

85

5.5

4.5

84.5

2025

5.5

4.5

4.58

5RØ25

2RØ25

2RØ25

URØ8/30

2RØ12

2RØ12

5RØ25

1 25 4 5 2 10a a 6 07cm

7. .× + ×

= = =

a1/d = 6.07/85 = 0.071 ≈ 0.075

1)1) RARAČČUNSKI STATIUNSKI STATIČČKI UTICAJI:KI UTICAJI:

ZZuu= 1.6= 1.6∙∙ZZgg + 1.8+ 1.8∙∙ZZpp = 1.6= 1.6∙∙305 + 1.8305 + 1.8∙∙337=1094.6 337=1094.6 kNkN

2)2)

usvojeno: 15Ø20 (47.12 cm2)

PRIMERPRIMER 44

2ua

v

ZA 45 6cm

24 01094.6 .

.= = =

σ

b ≥ 2×2.5 + 2×0.8 + 5×2.0 + (5-1)×5.0 = 36.6 cm b = 40 cm

d ≥ 2×2.5 + 2×0.8 + 3×2.0 + (3-1)×3.0 = 18.6 cm d = 20 cm

PRIMER PRIMER 55nn OdreditiOdrediti potrebnupotrebnu povrpovrššinuinu armature armature zaza

pravougaonipravougaoni poprepopreččnini presekpresek zadatihzadatih dimenzijadimenzija, , optereoptereććenen silomsilom zatezanjazatezanja i i momentommomentom savijanjasavijanja ..

Mg= 6.6 kNm

b=30cm d=25cm

Zp = 337 kNZg = 305 kN

GA 240/360 ⇒ σv = 240 MPa = 24 kN/cm2

1)1) RARAČČUNSKI STATIUNSKI STATIČČKI UTICAJI:KI UTICAJI:

ZZuu= 1.6= 1.6∙∙ZZgg + 1.8+ 1.8∙∙ZZpp = 1.6= 1.6∙∙305 + 1.8305 + 1.8∙∙337=1094.6 337=1094.6 kNkNMMuu = 1.6= 1.6∙∙MMgg = 1.6= 1.6∙∙6.6 = 10.56 6.6 = 10.56 kNmkNm

2)2)

pretppretp. a1 = a2 = 4.5 cm. a1 = a2 = 4.5 cm

PRIMERPRIMER 55

u

u

Me 0 96cm

Z

210.56 10 .1094.6

×= = =

a1 a 2 1d 25y y a 4 5 8cm2 2

.= = − = − =

3) j

4) usvojeno: 5Ø25 (Aa1 )4Ø25 (Aa2 )

0.80.896.00.8

24.01094.6

yyeyZA

2a1a

2a

v

u1a +

+×=

++

×σ

=0.80.896.00.8

24.01094.6

yyeyZA

2a1a

2a

v

u1a +

+×=

++

×σ

=

2u a 2a1

v a1 a 2

Z y e 8 0 0 96A 25 55cmy y 8 0 8 0

1094.6 . . .24.0 . .

+ += × = × =

σ + +

PRIMER PRIMER 550.80.8

96.00.824.0

1094.6yyeyZA

2a1a

1a

v

u2a +

−×=

+−

×σ

=

2u a1a 2

v a1 a2

Z y e 8 0 0 96A 20 05cmy y 8 0 8 0

1094.6 . . .24.0 . .

− −= × = × =

σ + +

TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA 1

PRIMERI ZA VEŽBE

Primer 1: Dimenzionisati nosač siste-ma proste grede, čiji su op-terećenje i poprečni presek prikazani na skici. MB 30, RA 400/500.

STATIČKI UTICAJI a. stalno opterećenje b. povremeno opterećenje

Ag = Bg = 40.0 × 6.0 / 2 = 120 kN Ap = 2.0 × 240.0 / 6.0 = 80 kN

Mg,max = 40.0 × 6.02 / 8 = 180 kNm Bp = 4.0 × 240.0 / 6.0 = 160 kN

Mp,max = 160 × 2.0 = 320 kNm (x = 4.0 m) g=40kN/m

A B A

P=240kN

B

Ag=120 Bg=120 Ap=80 Bp=160

160

320

120

40 120

80

160

80

160m

ax.M

g=18

0 kN

m

max

.Mp=

320

kNm

Mg

Tg

Mp

Tp

DIMENZIONISANJE PREMA MOMENTIMA SAVIJANJA

MB 30 ⇒ fB = 2.05 kN/cm2

RA 400/500 ⇒ σv = 40 kN/cm2

Maksimalni moment savijanja Mu, merodavan za di-menzionisanje, je u preseku u kome je za odgovarajuću kombinaciju uticaja Tu=0. Sa dijagrama desno jasno je da je to presek na x = 4.0 m od oslonca A, gde je:

Mg = 80×4.0 - 40×4.02/2 = 160 kNm

Mp= 80×4.0 = 320 kNm = Mp,max.

Mu = 1.6×160 + 1.8×320 = 832 kNm 80336

352

480

832

Mu

Tumax

.Mu=

832

g=40kN/m

P=240kN


PRIMERI ZA VEŽBE

2RØ25

2RØ12

2RØ25URØ10/25

3RØ25

3RØ25

Pritisnuta je gornja ivica nosača, pa je oblik pritisnute zone preseka ili pravougaoni, širine B, ili, za slučaj da je neutralna linija u rebru, oblika T. Pretpostavlja se da je neutralna linija u ploči:

B = min.

=×+=×+=×+=×+

cm17560025.025l25.0bcm325152025d20b

0

p = 175 cm

pretp. a1 = 9 cm ⇒ h = 65 - 9 = 56 cm

05.217510832

56k2

××

= = 3.677

εb/εa = 1.558/10‰ ; µ = 7.775% ; s = 0.135

x = s×h = 0.135×56 = 7.55 cm < 15 cm = dp

Pretpostavka o položaju neutralne linije je dobra, pa se potrebna površina zategnute armature određuje iz izraza:

4005.2

10056175775.7A .potr,a ×

××= = 39.05 cm2

usvojeno: 8 RØ 25 (39.27 cm2)

85.1521035.43a1

×+×+×= = 9.3 cm ⇒ hstv. = 65 - 9.3 = 55.7 cm ≈ 56 cm = hpretp.

DIMENZIONISANJE PREMA GLAVNIM NAPONIMA ZATEZANJA

MB 30 ⇒ τr = 1.1 MPa (član 89. Pravilnika BAB 87)

Usvojeno je za sve preseke zb = 0.9×h = 0.9×56 = 50.4 cm.

a. levi deo nosača (A-C)

TuA = 1.6×120 + 1.8×80 = 336 kN

4.5025336A

n ×=τ = 0.267 kN/cm2 > τr

TuC,levo = 1.6×(-40) + 1.8×80 = 80 kN

4.502580levo,C

n ×=τ = 0.063 kN/cm2 < τr

levo,Cn

An

rAn

CA1 Lτ−τ

τ−τ×=λ −

63.067.21.167.24001 −

−×=λ = 308.4 cm

Osiguranje se vrši vertikalnim uzengijama, a prema dijagramu τRu.

τnA = 2.67 MPa < 3τr ⇒ τRu

A = ( )1.167.223

−× = 2.35 MPa

λ=308.4 91.6

88.5 88

τ(1)

u,u=

2.51

[MPa]

τAn =2.67

τARu=2.35

τCn=0.63

τr=1.1

400

τ

τ(2)

u,u=

1.68

τ(3)

u,u=

1.01

131.9


PRIMERI ZA VEŽBE

usvojeno: m = 2 ; θ = 45° ; α = 90° ; URØ10 (au(1)=0.785 cm2)

( )10140235.025785.02eu ×+××

××

= =13.62×au(1) = 10.69 cm ⇒ usvojeno eu = 10 cm

Odgovarajući napon koji nose ove uzengije je:

( ) ( )101401025785.02ctgsincos

ebam

vu

)1(u)1(

u,u ×+×××

×=θ×α+α×σ×

××

=τ = 0.251 kN/cm2 > τRu,max.

Više kao prikaz praktičnog postupka nego stvarne potrebe za uštedom armature, izvršeno je proređivanje uzengija na pojedinim delovima dužine osiguranja. Za usvojene uzengije Ø10 maksimalno rastojanje, određeno iz zadovoljenja µuz,min.= 0.2% je:

2.min,uz

)1(u

u 102.025785.02

bame −××

×=

µ××

≤ = 31.4 cm ;

=

=≤

cm25cm282h

cm25b.mineu ⇒ usv. eu,max. = 25 cm

Odgovarajući napon koji nose ove uzengije je:

( ) ( )101402525785.02ctgsincos

ebam

vu

)1(u)3(

u,u ×+×××

×=θ×α+α×σ×

××

=τ = 0.101 kN/cm2

Deo nosača na kome su potrebne uzengije gušće od minimalih određuje se iz dijagrama τRu:

−×=

ττ

−×λ=235.0101.014.3081x

.max,Ru

)3(u,u

13 = 176.5 cm

Dodatno proređivanje je učinjeno usvajanjem uzengija URØ10/15:

( ) ( )101401525785.02ctgsincos

ebam

vu

)1(u)2(

u,u ×+×××

×=θ×α+α×σ×

××

=τ = 0.168 kN/cm2

Deo nosača na kome su potrebne uzengije gušće od ovih određuje se iz dijagrama τRu:

−×=

ττ

−×λ=235.0168.014.3081x

.max,Ru

)2(u,u

12 = 88.5 cm

Konačno, usvojeno je: usvojeno: UØ 10/10 (m=2) na dužini 90 cm > x2 UØ 10/15 (m=2) na dužini 90 cm > x3-x2 UØ 10/25 (m=2) na ostalom delu dužine λ1 dodatna zategnuta armatura:

( ) ( )∆AT

ctg ctgamu

v

= × − =×

× −2

3362 40

1 0σ

θ α = 4.20 cm2

usvojeno: 3 Ø 25 (14.73 cm2)1

1 Usvojene su 3RØ25 kao MINIMALNO TREĆINA šipki iz polja koje se moraju prevesti preko slobodnog oslonca (član 168. Pravilnika BAB 87)


PRIMERI ZA VEŽBE

b. desni deo nosača (deo C-B) BuT = 1.6×120 + 1.8×160 = 480 kN

4.5025480B

n ×=τ = 0.381 kN/cm2 > τr

desno,CuT = 1.6×40 + 1.8×160 = 352 kN

4.5025352desno,C

n ×=τ = 0.279 kN/cm2 > τr

Kako je na čitavom delu nosača prekoračena vrednost τr, to je dužina osiguranja λ2 = 2.0 m. Osiguranje se vrši vertikalnim uzengijama i koso povijenim profilima, a prema dijagramu τRu.

Bnτ > 3τr ⇒ B

buT = 0 ⇒ BRuτ = B

nτ = 0.381 kN/cm2

Napon 3τr je prekoračen na delu nosača dužine 79.281.33.381.32003 −

−×=λ = 100.3 cm

desno,Cnτ < 3τr ⇒ ( )11.0279.0

23desno,C

Ru −×=τ = 0.254 kN/cm2

Usvojene su na čitavoj dužini osiguranja vertikalne uzengije URØ10/15:

( ) ( )101401525785.02ctgsincos

ebam

vu

)1(u

u,u ×+×××

×=θ×α+α×σ×

××

=τ = 0.168 kN/cm2

Na dijagramu τRu u prilogu je deo napona koji prihvataju uzengije šrafiran vertikalnom, a deo koji je potrebno prihvatiti koso povijenim profilima ukrštenom šrafurom. Sledi:

25200168.07.992

254.033.03.1002

33.0381.0H k,vu ×

×−

×

++×

+= = 781.5 kN

usvojeno: θ = 45° ; αk = 45° (ugao pod kojim se povijaju profili)

( ) ( )0.1707.0707.0405.781

ctgsincosH

Akkv

k,vuk,a ×+×

=θ×α+α×σ

= = 13.81 cm2

usvojeno: 3 RØ 25 (14.73 cm2)

Tačna mesta povijanja kosih profila određuju se grafički, konstrukcijom integralne krive.

dodatna zategnuta armatura:

Tu,u = τu,u×b×z = 0.168×25×50.4 = 211.1 kN

Tmured. = Tu,u + Tbu = 211.1 + 0 = 211.1 kN

( ) ( )014021.211ctgctg

2TA

v

.redmu

a −××

=α−θ×σ

=∆ = 2.64 cm2

usvojeno: 3 Ø 25 (14.73 cm2)2

2 Videti napomenu za deo A-B (član 168. Pravilnika BAB 87)

[MPa]

τBn=τB

Ru=3.81 τ

λ=200

τCn =2.79

τCRu=2.54Aτ

100.3 99.7

3τr

τ(1)

u,u=

1.68


PRIMERI ZA VEŽBE

DIMENZIONISANJE PREMA MOMENTIMA TORZIJE Za nosač POS1 prikazan na skici nacrtati dijagrame presečnih sila usled prikazanih sila G=75 kN, a zatim izvršiti osiguranje od glavnih napona zatezanja na pojedinim delovima nosača. Presek nosača je pravougaoni, dimenzija b/d = 45/60 cm. Nosač nije potrebno dimenzionisati prema momentima savijanja. Kvalitet materijala: MB 30, GA 240/360.

DIJAGRAMI STATIČKIH UTICAJA ZA POS 1 Oslonačka veza omogućava prihvatanje momenata torzije, a onemogućava prihvatanje momenata savijanja. Za slučaj torziono krutih oslonaca, dijagram momenata torzije je po obliku identičan sa dijagramom transverzalnih sila kod proste grede. Detaljnije o proračunu preseka napregnutih torzijom videti u literaturi (npr. M.Aćić, A.Pakvor, Ž.Peri-šić: Teorija armiranobetonskih i prethodno napregnutih konstrukcija, poglavlje 4.2).

Redukcijom sila sa prepusta na POS 1 dobija se dispozicija opterećenja prikazana na skici. Sledi:

RG = G = 75 kN ⇒ Mg,max. = 75.0×2.0 = 150 kNm

MTg = G×1.0 = 75 kNm

Momenti torzije koji deluju u suprotnim smerovima pred-stavljaju se koncentrisanim silama suprotnih smerova, pa sledi da su vrednosti MT u uklještenju:

M Tgosl. . .

.= ×

−75 4 0 2 06 0

= 25 kNm

OSIGURANJE OD GLAVNIH NAPONA ZATEZANJA

Krajnje trećine nosača Tu = 1.6×75 = 120 kN

pretp. a1 = 5 cm ⇒ h = 60 - 5 = 55 cm ⇒ τnT =

× ×120

45 0 9 55.= 0.054 kN/cm2


PRIMERI ZA VEŽBE

MTu = 1.6×25 = 40 kNm

pretp. a0 = 4.5 cm ⇒ b0 = 45 - 2×4.5 = 36 cm ; d0 = 60 - 2×4.5 = 51 cm

δ = =min.( , )b d0 0

8368

= 4.5 cm

Ab0 = b0×d0 = 36×51 = 1836 cm2 ; Ob0 = 2×(b0+d0) = 2×(36+51) = 174 cm

τδn

M Tu

b

TMA

=× ×

=×

× ×240 10

2 1836 4 50

2

.= 0.242 kN/cm2

τ τ τn nM

nTT= + = 0.242 + 0.054 = 0.296 kN/cm2

> =<

ττt

t

kN cm0 113

2. /

Kako je na čitavom delu nosača napon smicanja konstantan i veći od τr, sledi da su odgovarajuće dužine osiguranja λ1 = λ3 = 2.0 m.

Osiguranje se vrši vertikalnim uzengijama (α=90°) i horizontalnom armaturom. Potrebna površina uzengija se sračunava iz odgovarajućih redukovanih uticaja (MTRu, odnosno τRu), posebno za uticaj momenta torzije, odnosno transverzalne sile.

Potrebno je obratiti pažnju da je nužno sračunati uzengije za prihvatanje transverzanih sila, bez obzira što je τn

T < τr. Kriterijum da li je potrebno osiguranje armaturom ili ne je UKUPAN napon smicanja, a ne napon smicanja od pojedinačnog uticaja.

Potrebne uzengije za prihvatanje transverzalne sile

( ) ( )T b zbunT

nr n= × × × − × × = × × × − × × ×

12

3 12

0 0540 296

3 0 11 0 296 45 0 9 55ττ

τ τ..

. . . = 6.9 kN

TRu = Tmu - Tbu = 120 - 6.9 = 113.1 kN ⇒ τRuT =

× ×113 1

45 0 9 55.

.= 0.051 kN/cm2

usvojeno: m=4 ; α = 90° ; θ = 45°

( ) ( )a

bm ctg

e eu

T

vu u

Ru,T

( )

cos sin.1 1 45 0 051

4 241

1 0 1=

×

××

+ ×× =

××

×+ ×

×τ

σ α α θ= 0.024×eu

Potrebne uzengije za prihvatanje torzije

( ) ( )M ATbunM

nr n b

T

= × × − × × = × × − × × × −ττ

τ τ δ3 0 2420 296

3 0 11 0 296 1836 4 5 1002.

.. . . = 2.3 kNm

MTRu = MTu - MTbu = 40 - 2.3 = 37.7 kNm

( ) ( )a M

A ctge eu

TRu

b vu uT,M

( )

cos sin.1

0

2

21 37 7 10

2 1836 241

1 0 1=

× ××

+ ×× =

×× ×

×+ ×

×σ α α θ

= 0.043×eu

spoljašnje uzengije: a a au spolja u M u TT,( )

,( )

,( )1 1 1= + = (0.043+0.024)×eu = 0.067×eu

pretp. UØ10 (au(1) = 0.785 cm2) ⇒ e u spolja,

.

.=

0 7850 067

= 11.8 cm ⇒ UØ10/10


PRIMERI ZA VEŽBE

unutrašnje uzengije: a au u,unutra( )

,T( )1 1= = 0.024×eu

pretp. UØ8 (au(1) = 0.503 cm2) ⇒ e u ,unutra

.

.=

0 5030 024

= 21.1 cm ⇒ UØ8/20

Napominje se da se spoljašnje uzengije, koje prihvataju uticaj torzije, moraju zatvoriti preklapanjem po čitavoj kraćoj strani preseka, dok se unutrašnje uzengije, koje prihvataju samo uticaj transverzalne sile, mogu zatvoriti na uobičajen način, oko jedne od ugaonih šipki.

Horizontalna armatura Za pritvatanje napona smicanja usled dejstva momenta torzije za čitav presek potrebno je:

( ) ( )A MA

ctg Oa

Tu

b vb∑ =

× ×× + × × =

×× ×

× + × ×2

40 102 1836 24

1 0 1 1740

0

2

σα α θcos sin = 7.90 cm2

Sa aspekta nosivosti preseka, moguće je usvojiti samo četiri ugaone šipke odgovarajuće površine. Ipak, vodeći računa o graničnom stanju upotrebljivosti, treba izabrati veći broj tanjih profila i homogeno ih rasporediti po obimu preseka. U konkretnom slučaju, usvojeno je 14Ø10.

Potrebna površina podužne armature se može sračunati i iz izraza:

( ) ( )a MA

ctg e epTu

b vp pT,M

( ) cos sin1

0

2

240 10

2 1836 241 0 1=

× ×× + × × =

×× ×

× + × ×σ

α α θ = 0.045×ep

pretp. Ø10 (ap(1) = 0.785 cm2) ⇒ e p =

0 7850 045..

= 17.3 cm

Međutim, ovakav način proračuna se ne preporučuje, jer je teško armaturu rasporediti na istom (sračunatom) rastojanju duž horizontalnih i vertikalnih strana preseka.

Za pritvatanje napona smicanja usled dejstva transverzalne sile potrebno je:

( ) ( )∆A T ctg ctgamu

v

=×

× − =×

× −2

1202 24

1 0σ

θ α = 2.50 cm2

Ovu armaturu potrebno je postaviti u donjoj, zategnutoj zoni preseka.

Kod usvajanja podužne armature preporučuje se da se najpre proračuna potrebna površina za svako od naponskih stanja (savijanje, smicanje, torzija). Zatim se usvoji horizontalna armatura za prihvatanje momenata torzije i rasporedi po preseku tako da rastojanje profila bude približno 15 cm. Ovako ras-poređenoj armaturi se, u odgovarajućim zonama, dodaje armatura za savijanje, odnosno dodatna zategnuta armatura za prihvatanje transverzalnih sila (poželjno usvajanje zajedničkih profila).

Srednja trećina nosača MTu = 1.6×50 = 80 kNm

τδn

M Tu

b

TMA

=× ×

=×

× ×280 10

2 1836 4 50

2

.= 0.484 kN/cm2

> =<

3 0 335

2ττ

t

t

kN cm. /

Kako je na čitavom delu nosača napon smicanja konstantan i veći od τr, sledi da je odgovarajuća dužina osiguranja λ2 = 2.0 m. Osiguranje se vrši vertikalnim uzengijama (α=90°) i horizontalnom armaturom.

τn > 3τr ⇒ MTbu = 0 ; MTRu = MTu = 80 kNm


PRIMERI ZA VEŽBE

Potrebna površina uzengija

( ) ( )a M

A ctge eu

TRu

b vu u

( )

cos sin1

0

2

21 80 10

2 1836 241

1 0 1=

× ××

+ ×× =

×× ×

×+ ×

×σ α α θ

= 0.091×eu

pretp. UØ12 (au(1) = 1.13 cm2) ⇒ e u =

1 130 091

..

= 12.46 cm ⇒ UØ12/10

Horizontalna armatura Za pritvatanje napona smicanja usled dejstva momenta torzije za čitav presek potrebno je:

( ) ( )A MA

ctg Oa

Tu

b vb∑ =

× ×× + × × =

×× ×

× + × ×2

80 102 1836 24

1 0 1 1740

0

2

σα α θcos sin = 15.80 cm2

usvojeno: 14Ø12 (15.83 cm2)

Kako se u slučaju simultanog naprezanja torzijom i transverzalnim silama praktično podrazumeva osi-guranje VERTIKALNIM uzengijama (α=90°), izrazi za određivanje potrebne površine armature se mogu napisati u obliku:

abm

tg eu

T

vu

Ru,T

( )1 =×

×× ×

τ

σθ

aMA

tg eu MTRu

b vuT,

( )1

02=

× ×× ×

σθ

aMA

ctg ep MTu

b vpT,

( )1

02=

× ×× ×

σθ ; odnosno A M

Actg O

aTu

b vb∑ =

× ×× ×

2 00σ

θ

PRIMER PRIMER 44OdreditiOdrediti visinuvisinu i i potrebnupotrebnu povrpovrššinuinu armaturearmature zaza T T presekpresek zadatihzadatih geometrijskihgeometrijskih karakteristikakarakteristika, , optereoptereććenen momentimamomentima savijanjasavijanja usledusled stalnogstalnog (Mg) i (Mg) i povremenogpovremenog (Mp) (Mp) optereoptereććenjaenja. .

nn Mg = 190 Mg = 190 kNmkNm B = B = 11000 cm0 cm dpdp = 10 cm= 10 cmMp = 195 Mp = 195 kNmkNm b = 20 cmb = 20 cm

nn MB 30MB 30:: ffBB = 2.05 kN/cm= 2.05 kN/cm22

nn GGA 240/360A 240/360:: σσvv = 24= 24 kN/cmkN/cm22

PRIMER PRIMER 44

nn MMuu = 1.6 = 1.6 ×× 190190 + 1.8 + 1.8 ×× 195 = 195 = 655655 kNmkNm

nn UsvajamoUsvajamo: : σσbpbp=(0.2 =(0.2 –– 0.5) 0.5) ×× MB = 0.3 MB = 0.3 ×× 30 = 9 30 = 9 MPaMPa

nnpu

p bp

dMhB d 2

= +⋅ ⋅σ

655 10h 77 8cm100 10 0 9 2

= + =⋅ ⋅

..

bp0 92 1 1 0 5022 05

ε = × − − =

. ..

bpbp

B

2 1 1f

σ ε = × − −

PRIMER PRIMER 44

2

77 8k 4 35655 10

100 2 05

= =⋅⋅

. .

.

bp p0

bp a

dx h

2ε

= × − ε + ε p

0

d0 502 10x 77 8 3 48cm 5cm0 502 10 2 2

= × − = = +

. . ..

<

εb/εa = 1.25 / 10 ‰ ; μ = 5.498%

2a

100 77 8 2 05A 5 498 36 5cm100 24

⋅= ⋅ ⋅ =

. .. .

PRIMER PRIMER 44

nn Usvojeno: Usvojeno: 1212ØØ2200 ((37.737.7 cm2)cm2)

nn RaRaččuna se polouna se položžaj teaj težžiiššta armature ta armature –– aa

nn RaRaččuna se visina preseka una se visina preseka –– dd=h+a= =h+a= 77,8+10= 87,8 cm77,8+10= 87,8 cm

nn Usvojeno: Usvojeno: d= 90 cmd= 90 cm

POS S1

POS 225/60

25/50

POS 1dp=12cm

POS S225/20λ=6.0m

p = 5.0 kN/m2

stati~ki sistem

POS S1

POS 4 POS 325/60 25/60

25/50

25/60POS 2

POS 1dp=12cm

POS S225/25

λ=9.0m

p = 5.0 kN/m2

POS S2

POS 4POS 330/7525/60

30/60

25/60POS 2

POS 1dp=12cm

POS S1b/d=30/25

λ=9.0m

p = 5.0 kN/m2

25/60POS 3

L a

H1

H2

POS 2

POS 1

POS S2POS S1

ds1 ds2 = 25 cm

d

d p

n×λ

λ λλ

POS 2

POS S1 POS S1

b b

d

d p

POS 1

∆g, p

w

±S

p = 8.0 kN/m2

dp=16 cmPOS 1

p

35/d=?POS S2

p

35/d=?POS S1 POS S2

35/d=?

dp=16 cm 35/100 cmPOS 2POS 1

-0

6 -1-1 6

0

1

0 0

2

3 2

34 4

5 5

6

-1

-1

-0

0

0

Opt. 1: G

2580

25dST=?25

100

100

6416

p=20kN/m2

200

700

500

300

POS

1

POS 5

POS

2

POS

3

POS 5

POS

4

POS 2POS 3

POS 4 POS 1

POS 5

POS S

POS S

POS S

31 31

-0 -0

29

510162126

262116105

0 5

10

016

21

26

0 0

29

31

Opt. 1: G

-4 -4

0 0

-4

-1-1-2-3 -3

-3-3-2 -1-1

0

-1

0-1

-2

-3

-3

0 0

-4

-4

-4

-4

-4

-4

Opt. 1: G

Uticaji u ploči: max Zp= 0 / min Zp= -4 m / 1000

r2 = 25

r2 = 25

r2 = 14

r2 = 20

r2 = 14

r2 = 20Opt. 1: G

Reakcije oslonaca

A

3

2

1

B C

3

2

1

A

3

361

Ø10

/20

361

Ø10

/20

361

Ø10

/20

l=43

0(12

2)43

0

5 22Ø8/25

5 22Ø8/25

2

1

B C

361

Ø10

/20

l=43

0(12

2)43

0

262

Ø10

/20

262

Ø10

/20

262

Ø10

/20

l=77

3(12

4)11

0

13

650

262

Ø10

/20

l=77

3(12

4)11

0

13

650

6 22Ø8/25

6 22Ø8/25

6 22Ø8/25

6 22Ø8/256 22Ø8/25 l=101(176)

45

11

45

A

3

5 3Ø8/25

5 3Ø8/25

5 3Ø8/25 l=1200(50)1200

4 8Ø10/25

4 8Ø10/25

4 8Ø10/25 l=1200(16)1200

2

1

B C

6 22Ø8/25

6 22Ø8/25

6 22Ø8/25

6 22Ø8/2522Ø8/25 l=101(176)

45

11

45

112

3Ø14

/10

112

3Ø14

/10

l=45

6(12

3)

13

430

13

A

3

361

Ø10

/20

361

Ø10

/20

361

Ø10

/20

l=43

0(12

2)43

0

5 3Ø8/25

5 3Ø8/25

5 3Ø8/25 l=1200(50)1200

5 22Ø8/25

5 22Ø8/25

4 8Ø10/25

4 8Ø10/25

4 8Ø10/25 l=1200(16)1200

2

1

B C

48Ø

10/2

54

8Ø10

/25

522

Ø8/

25

53Ø

8/25

53Ø

8/25

3Ø

10/2

0,

2Ø

10/2

02

Ø10

/20

522

Ø8/

25

2Ø

10/2

03

Ø10

/20,

2

Ø10

/20

1Ø

14/1

0

361

Ø10

/20

l=43

0(12

2)43

0

262

Ø10

/20

262

Ø10

/20

262

Ø10

/20

l=77

3(12

4)11

0

13

650

262

Ø10

/20

l=77

3(12

4)11

0

13

650

6 22Ø8/25

6 22Ø8/25

6 22Ø8/25

6 22Ø8/256 22Ø8/25 l=101(88)

45

11

45

112

3Ø14

/10

112

3Ø14

/10

l=45

6(12

3)

13

430

13

beton na hidro smeru

Documents