betonske konstrukcije 3 m-1/r dijagrami

BETONSKE KONSTRUKCIJE 3M‐1/r dijagrami

Izv. prof. dr. sc. Tomislav Kišiček dipl. ing. građ.

20.10.2014. Betonske konstrukcije III 1

NBK1.147 Slika 5.4 Proračunski dijagrami betona razreda od C12/15 do C90/105, lijevo: u obliku parabole‐horizontalnog pravca;

desno: bi‐linearni, [4] NBK1‐100


NBK1‐97, Tablica 4.1 Razredi čvrstoća betona


M‐1/r dijagram primjer

Potrebno je proračunati i nacrtati točke dijagrama (M‐1/r) za neovijeni i ovijeni beton (σ2=0,10∙fck) uz korištenje bilinearnog (σ‐ε) dijagrama betona, za pravokutni presjek b/h/d=35/55/50 cm, za razred betona C30/37, te čelik B500B i armaturu 5φ22.


M‐1/r dijagram primjerUlazni podaci:

Dimenzije presjeka: b/h/d=35/55/50 cmUgrađena vlačna armatura: 5φ22 = 19,01 cm2

Beton: C30/37tablica 3.1 iz EN 1992‐1‐1 ili tablica 4.1 u skriptama NBK1, str. 97.

fck = 30 N/mm2 = 3,0 kN/cm2

fctm = 2,9 N/mm2 = 0,29 KN/cm2

Ecm = 33000 N/mm2 = 3300 KN/cm2

εc3 = 0,00175εcu3 = 0,0035

Čelik: B500Bfyk = 500 N/mm2 = 50 kN/cm2

Es = 200000 N/mm2 = 20000 kN/cm2


Točka (1) – Neovijeni betonPojava prve pukotine u betonu – dosegnuta je vlačna čvrstoća maskimalno napregnutog vlakanca u poprečnom presjeku

Položaj neutralne osi za stanje naprezanja I (beton +armatura)

I0 = b·h3/12 = 35·553/12 = 485260,42 cm4

y0d = h/2 = 27,5 cmαe = Es/Ecm = 200000/33000 = 6,06

( ) ( )( )

( ) ( )( )

cm4326553501191066

2553505011910661

21 2

se

21se

Id

,,,

/,,,/

=

=⋅+⋅−⋅+⋅⋅−

=⋅+⋅−⋅+⋅⋅−

=hbAhbdAy

αα

cm5728432655IdIg ,, =−=−= yhy


Točka (1) – Neovijeni betonMoment tromosti poprečnog presjeka za stanje naprezanja I (beton +armatura)

Moment savijanja kod pojave prve pukotine:

Zakrivljenost:

( ) ( )

( ) ( )4

223

2Igse

2

Ig

3

I

cm68531644

5728500119106657282

55553512

5535

1212

,

,,,,

=

=−⋅⋅−+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅⋅+

⋅=

=−⋅⋅−+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅⋅+

⋅= ydAyhhbhb αΙ

kNm1751kNcm29511727,5485260,42290

d0

0ctmcr ,,,

==⋅

=⋅

=y

fM Ι

1/m109121/cm10912685316443300

2951171 46

Icm

cr

cr

−− ⋅=⋅=⋅

=⋅

= ,,,

,ΙE

Mr20.10.2014. Betonske konstrukcije III 7

Točka (2) – Neovijeni betonPojava popuštanja vlačne armature. Za bilinearni proračunski dijagram betona

Za beton C30/37:εc3 = 1,75 ‰ = 0,00175 εcu3 = 3,5 ‰ = 0,0035

00250200000500syksys ,// ==== Efεε

22yks kN/cm50N/mm500 === fσ


Točka (2) – Neovijeni betonUnutarnje sile u poprečnom presjekuZa bilinearni proračunski dijagram betona


Točka (2) – Neovijeni betonSila u vlačnoj armaturi:Iz uvjeta ravnoteže unutarnjih sila u poprečnom presjeku treba proračunati relativnu tlačnu deformaciju betona, εc. Kod određivanja rezultante tlačnih naprezanja u betonu moguća su dva slučaja:

εc ≤ εc3 linearna raspodjela naprezanja u tlačnom dijelu betona 1. SLUČAJεc3 < εc ≤ εcu3 bilinearna raspodjela naprezanja u tlačnom dijelu betona 2. SLUČAJ

kN5950500119ykss ,, =⋅=⋅= fAF


Točka (2) – Neovijeni betonZa beton C30/37 i armaturu B500B, granični koeficijent armiranja očitan je iz tablice 1.1, (str. iza) i iznosi:

Koeficijent armiranja poprečnog presjeka jest:

ρs = 0,010862 < ρs,gr,2 = 0,012353 εc ≤ εc3 (linearna raspodjela naprezanja u tlačnom dijelu betona) 1. SLUČAJ

0123530s,gr,2 ,=ρ

010862050350119s

s ,,=

⋅=

⋅=

dbAρ


Točka (2) – Neovijeni beton


Točka (2) – Neovijeni beton1. slučaj: εc ≤ εc3 linearna raspodjela naprezanja u tlačnom dijelu betona

Izjednačavanjem izraza za sile u betonu i armaturi dobije se kvadratna jednadžba,

čije rješenje jest relativna deformacija betona, εc = 0,001615

037625259501500000

0002505001195001195035001750

0321

021

c2c

c2c

syykscyks2c

c3

ck

=−⋅−⋅

=⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅⋅⋅

=⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅⋅⋅

,,

,,,,

,

εε

εε

εεεε

fAfAdbf



Debljina tlačnog područja poprečnog presjeka:

krak unutarnjih sila u trenutku popuštanja armature, zy:

Maksimalno tlačno naprezanje betona:

cm621950002500016150

0016150syc

cy ,

,,,

=⋅+

=⋅+

== dxxεε

ε

cm46433621950

3y

y ,,=−=−=

xdz

2

c3

ckcc kN/cm772

001750030016150 ,

,,, =⋅=⋅=

εεσ f



Sila u betonu:

Moment savijanja iznosi :

Zakrivljenost poprečnog presjeka:

kN5950kN0895135621977221

21

sycc ,,,, =≈=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅= FbxF σ

kNm08413kNcm734130846435950ysy ,,,, ==⋅=⋅= zFM

1/m1022981/cm102298621950

002501 35

y

sy

y

−− ⋅=⋅=−

=−

= ,,,

,xdr

ε


Točka (3) – Neovijeni betonSlom poprečnog presjeka

Preko betona

Preko armature

Hoće li slom nastati preko betona ili armature ovisi o koeficijentu armiranja ugrađene armature i o graničnom koeficijentu armiranja

sus εε =

cu3c εε =


Točka (3) – Neovijeni betonZa beton C30/37 i armaturu B500B, granični koeficijent armiranja očitan je iz tablice 1.3 i iznosi:


ρs = 0,010862 > ρs,gr,3u = 0,002944 Slom preko betona

0029440gr,3us, ,=ρ

010862050350119s

s ,,=

⋅=

⋅=

dbAρ


Točka (3) – Neovijeni beton


Točka (3) – Neovijeni betonSlom preko betona tj. kada armature ima više od As,max što je nepovoljno

Relativna deformacija betona u tlačnom području je εcu3Proračunava se relativna deformacija armature εs između vrijednosti εsy i εsu, tj.

Za B500A εsu = 25,0‰Za B500B εsu = 50,0‰Za B450C εsu = 75,0‰Za εc = εcu3 bilinearma raspodjela u tlačnom dijelu betona

( ) sussyksy εεε ≤<= E/f


Točka (3) – Neovijeni betonSlom preko betona

Izjednačavanjem izraza za sile u betonu i armaturi određuje se relativna deformacija armature, εs

0109990500119

003505001192

00175000350503503

2yks

cu3yksc3

cu3ck

s

,,

,,,,,

=

=⋅

⋅⋅−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅⋅⋅

=

=⋅

⋅⋅−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅⋅⋅

=fA

fAdbf εεεε

05000250 sussy ,, =≤<= εεε20.10.2014. Betonske konstrukcije III 20


Sila u armaturi:Debljina tlačnog područja poprečnog presjeka:

Udaljenost vlakanca sa relativnom deformacijom betona, εc3, od neutralne osi:

Sila u betonu:

cm071250010999000350

00350scu3

cu3u ,

,,,

=⋅+

=⋅+

== dxxεε

ε

cm0356071200350

001750u

cu3

c3u ,,

,,' =⋅=⋅= xx

εε

kN595003562107123503

21

21

uuckuckuckc ,,,,'' =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅−⋅⋅=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅−⋅⋅=⋅⋅⋅−⋅⋅= xxbfbxfbxfF

kN5950500119ykss ,, =⋅=⋅= fAF



Kako bi se proračunao krak unutarnjih sila u trenutku popuštanja armature, zu potrebno je odrediti položaj sile u betonu, Fc, koja se može rastaviti na dvije komponente, Fc1 i Fc2:



Komponente sile u betonu i njihova udaljenost od gornjeg ruba poprečnog presjeka:

( ) ( ) kN68633350356071203uuckc1 ,,,,' =⋅−⋅=⋅−⋅= bxxfF

kN82316686335950ili21

c1cc2uckc2 ,,,' =−=−=⋅⋅⋅= FFFbxfF

cm0832

035607122

uu ,,,'=

−=

− xx

cm0583035620712

32 u

u ,,,'=

⋅−=

⋅−

xx



Udaljenost rezultantne sile u betonu Fc od gornjeg ruba presjeka, xTu:

Krak unutarnjih sila:

cm7448231668633

0588231608368633

32

2c2c1

uuc2

uuc1

Tu

,,,

,,,,

''

=+

⋅+⋅=

=+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅

−⋅+−

⋅=

FF

xxFxxFx

cm264574450Tuu ,, =−=−= xdz



Moment savijanja iznosi:


Koeficijent duktilnosti:

kNm20430kNcm634301926455950ucu ,,,, ==⋅=⋅= zFM

1/m109021/cm109020712

003501 24

u

cu3

u

−− ⋅=⋅=== ,,,

,xrε

523102298

109021

1

5

4

y

u ,,,

=⋅⋅

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

= −

−

r

rδ


Točka (3) – Neovijeni betonDijagram M‐1/r:


( ) ckck2ck2ck2ckcck, 05010tj.050za521251 ffffff ⋅>⋅=⋅>+= ,,,/,, σσσ

( ) ( ) 003310302541001750 22ckcck,c3cc3, ,/,,/ =⋅=⋅= ffεε

023503003200035020 ck2cu3ccu3, ,/,,,/, =⋅+=⋅+= fσεε

Karakteristična tlačna čvrstoća ovijenog betona:

Relativne deformacije ovijenog betona:

Ovijeni beton

( ) 2cck, N/mm2541300352125130 ,/,,, =⋅+⋅=f


Ovijeni betonVlačna čvrstoća i modul elastičnosti ovijenog betona:Srednja vlačna čvrstoća za betone fck ≤ 50 MPa:

Srednja tlačna čvrstoća:

Veličine fctm,c; fck,c; fcm,c; fck; te brojke 10 i 8 dane su u N/mm2

Sekantni modul elastičnosti betona:

Ecm,c, fcm,c i brojka 10 dani su u N/mm2

223 23 2cck,cctm, kN/cm360N/mm58325413030 ,,,,, ==⋅=⋅= ff

2

ckcck,ccm, N/mm2552

300812541081 ,,,,

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⋅=

fff

223030

ccm,ccm, kN/cm843612N/mm436128

10255220002

1020002 ,,, ,,

==⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅=

fE


Točka (1) – Ovijeni betonPojava prve pukotine u betonu – dosegnuta je vlačna čvrstoća maskimalno napregnutog vlakanca u poprečnom presjeku

Položaj neutralne osi za stanje naprezanja I (beton +armatura)

I0 = 485260,42 cm4

y0d = 27,5 cmαe = Es/Ecm = 200000/36128,4 = 5,54

( ) ( )( )

( ) ( )( )

cm5326553501191545

2553505011915451

21 2

se

21se

Id

,,,

/,,,/

=

=⋅+⋅−⋅+⋅⋅−

=⋅+⋅−⋅+⋅⋅−

=hbAhbdAy

αα

cm4728532655IdIg ,, =−=−= yhy


Točka (1) – Ovijeni betonMoment tromosti poprečnog presjeka za stanje naprezanja I (beton +armatura)

Moment savijanja kod pojave prve pukotine:

Zakrivljenost:

( ) ( )

( ) ( )4

223

2Igse

2

Ig

3

I

cm73527077

4728500119154547282

55553512

5535

1212

,

,,,,

=

=−⋅⋅−+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅⋅+

⋅=

=−⋅⋅−+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅⋅+

⋅= ydAyhhbhb αΙ

kNm5363kNcm5635227,5485260,42360

d0

0cctm,ccr, ,,,

==⋅

=⋅

=y

fM

Ι

1/m1033631/cm10336373527077843612

563521 46

Iccm,

ccr,

ccr,

−− ⋅=⋅=⋅

=⋅

= ,,,,

,ΙE

Mr


Točka (2) – Ovijeni betonPojava popuštanja vlačne armature. Za bilinearni proračunski dijagram betona

Za ovijeni beton C30/37:εc3,c = 3,31 ‰ = 0,00331 εcu3,c = 23,5 ‰ = 0,0235

00250200000500syksys ,// ==== Efεε

22yks kN/cm50N/mm500 === fσ


Točka (2) – Ovijeni betonUnutarnje sile u poprečnom presjeku


Točka (2) – Ovijeni betonSila u vlačnoj armaturi:Iz uvjeta ravnoteže unutarnjih sila u poprečnom presjeku treba proračunati relativnu tlačnu deformaciju betona, εc. Kod određivanja rezultante tlačnih naprezanja u betonu moguća su dva slučaja:

εc ≤ εc3,c linearna raspodjela naprezanja u tlačnom dijelu betona 1. SLUČAJεc3,c < εc ≤ εcu3,c bilinearna raspodjela naprezanja u tlačnom dijelu betona 2. SLUČAJ

kN5950500119ykss ,, =⋅=⋅= fAF


Točka (2) – Ovijeni betonZa ovijeni beton C30/37 i armaturu B500B, granični koeficijent armiranja iznosi:


ρs = 0,010862 < ρs,gr,2 = 0,0235 εc ≤ εc3,c (linearna raspodjela naprezanja u tlačnom dijelu betona) 1. SLUČAJ

010862050350119s

s ,,=

⋅=

⋅=

dbAρ

0235000331000250

003310501254

21

21

cc3,sy

cc3,

yk

cck,gr,2s, ,

,,,,

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+⋅⋅=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+⋅⋅=

εεε

ρff


Točka (2) – Ovijeni beton1. slučaj: εc ≤ εc3,c linearna raspodjela naprezanja u tlačnom dijelu betona

Izjednačavanjem izraza za sile u betonu i armaturi dobije se kvadratna jednadžba,

čije rješenje jest relativna deformacija betona, εc = 0,001975

03762525950621090445

00025050011950011950350033101254

21

021

c2c

c2c

syykscyks2c

cc3,

cck,

=−⋅−⋅

=⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅⋅⋅

=⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅⋅⋅

,,,

,,,,,

εε

εε

εεεε

fAfAdbf




krak unutarnjih sila u trenutku popuštanja armature, zy:

Maksimalno tlačno naprezanje betona:

cm072250002500019750

0019750syc

ccy, ,

,,,

=⋅+

=⋅+

== dxxεε

ε

cm64423072250

3y

y ,,=−=−=

xdz

2

cc3,

cck,ccc, kN/cm462

00331012540019750 ,

,,, =⋅=⋅=

εεσ

f



Sila u betonu:

Moment savijanja iznosi :


kN5950kN195035072246221

21

scy,cc,cc, ,,,, =≈=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅= FbxF σ

kNm29405kNcm324052964425950cy,scy, ,,,, ==⋅=⋅= zFM

1/m1095181/cm109518072250

002501 35

cy,

sy

cy,

−− ⋅=⋅=−

=−

= ,,,

,xdr

ε


Točka (3) – Ovijeni betonSlom poprečnog presjeka

Preko betona

Preko armature

Hoće li slom nastati preko betona ili armature ovisi o koeficijentu armiranja ugrađene armature i o graničnom koeficijentu armiranja

sus εε =

ccu3,c εε =




ρs = 0,010862 < ρs,gr,3u = 0,02452 Slom preko armature

010862050350119s

s ,,=

⋅=

⋅=

dbAρ

024520050023502

00331002350

5012542

succu3,

cc3,ccu3,

yk

cck,gr,3us, ,

,,

,,,

=+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅=

+

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−

⋅=εε

εε

ρff


Točka (3) – Ovijeni betonSlom preko armature tj. kada armature ima manje od As,max što je povoljno

Relativna deformacija vlačne armature εs = εsuZa B500A εsu = 25,0‰Za B500B εsu = 50,0‰Za B450C εsu = 75,0‰

Proračunava se relativna deformacija betona εc između vrijednosti 0 i εcu3,c, tj.:

Sila u vlačnoj armaturi:

ccu3,c0 εε ≤≤

kN5950500119ykss ,, =⋅=⋅= fAF


Točka (3) – Ovijeni betonSlom preko armature

Rezultanta tlačnih naprezanja u betonu i krak unutarnjih sila određuju se tako da se iz uvjeta ravnoteže unutarnjih sila u poprečnom presjeku proračuna relativna tlačna deformacija betona, εc. Kod određivanja rezultante tlačnih naprezanja u betonu moguća su dva slučaja:

εc ≤ εc3,c linearna raspodjela naprezanja u tlačnom dijelu betonaεc3,c < εc ≤ εcu3,c bilinearna raspodjela naprezanja u tlačnom dijelu betona




ρs = 0,010862 > ρs,gr,3 = 0,00256 εc > εc3,c (bilinearna raspodjela naprezanja u tlačnom dijelu betona) 2. SLUČAJ

010862050350119s

s ,,=

⋅=

⋅=

dbAρ

002560003310050

003310501254

21

21

cc3,su

cc3,

yk

cck,gr,3s, ,

,,,,

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+⋅⋅=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+⋅⋅=

εεε

ρff



2. slučaj: εc ≥ εc3,c bilinearna raspodjela naprezanja u tlačnom dijelu betona

Relativna deformacija betona:


009488050011950351254

200331050351254050500119

2ykscck,

cc3,cck,suyks

c

,

,,

,,,,

=

=⋅−⋅⋅

⋅⋅⋅+⋅⋅=

⋅−⋅⋅

⋅⋅⋅+⋅⋅=

fAdbf

dbffAε

εε

cm977500500094880

0094880suc

ccu, ,

,,,

=⋅+

=⋅+

== dxxεε

ε




Udaljenost vlakanca sa relativnom deformacijom betona, εc3, od neutralne osi:

Sila u betonu:

cm7829770094880003310

cu,c

cc3,cu, ,,

,,' =⋅=⋅= xx

εε

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+⋅⋅

=⋅⋅⋅−⋅⋅=22

1 c3c

syc

ckyckyckc

εεεε

dbfbxfbxfF '

kN5950kN9994978221977351254

21

cu,cu,cck,cc, ,,,,,' ≈=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅−⋅⋅=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅−⋅⋅= xxbfF




Kako bi se proračunao krak unutarnjih sila u trenutku popuštanja armature, zu potrebno je odrediti položaj sile u betonu, Fc,c, koja se može rastaviti na dvije komponente, Fc1,c i Fc2,c




Komponente sile u betonu i njihova udaljenost od gornjeg ruba poprečnog presjeka:

( ) ( ) kN31749357829771254cu,cu,cck,cc1, ,,,,' =⋅−⋅=⋅−⋅= bxxfF

kN6820035782125421

21

ili21

cu,cck,cc2,

cc1,cc,cc2,cu,cck,cc2,

,,,'

'

=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=

−=⋅⋅⋅=

bxfF

FFFbxfF

cm6022

7829772

cu,cu, ,,,'=

−=

− xx

cm1263

78229773

2 cu,cu, ,,,

'=

⋅−=

⋅−

xx




Udaljenost rezultantne sile u betonu Fc,c od gornjeg ruba presjeka, xTu,c :

Krak unutarnih sila:

cm3436820031749

126682006231749

32

2c2c1

uuc2

uuc1

Tu

,,,

,,,,

''

=+

⋅+⋅=

=+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅

−⋅+−

⋅=

FF

xxFxxFx

cm664634350cTu,u ,, =−=−= xdz



Moment savijanja iznosi:


Koeficijent duktilnosti:

kNm50443kNcm334435066465950cu,scu, ,,,, ==⋅=⋅= zFM

1/m101911/cm1019197750

0501 13

cu,

su

cu,

−− ⋅=⋅=−

=−

= ,,,

,xdr

ε

2913109518

101911

1

5

3

y

u ,,,

=⋅⋅

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

= −

−

r

rδ


Točka (3) – Ovijeni betonDijagram M‐1/r:


Točka (3) – Neovijeni i ovijeni betonDijagram M‐1/r:


betonske konstrukcije 3 m-1/r dijagrami

Documents