bevezetés a lineáris programozásbakovacss/nagyvarad/lp_ea.pdf · kétváltozós esetben az lp...

Bevezetés a lineárisprogramozásba

8. eloadás

Farkas István

DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék

Szimplex módszer – p. 1/15

Az LP feladatok általános modellje

A korlátozó feltételeket írjuk fel a következo alakban:

a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn ≤ b1

a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn ≤ b2

...

am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn ≤ bm,

aholxi ≥ 0 mindeni = 1, 2, . . . , n-re,


Az LP feladatok általános modellje

A korlátozó feltételeket írjuk fel a következo alakban:

a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn ≤ b1

a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn ≤ b2

...

am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn ≤ bm,

aholxi ≥ 0 mindeni = 1, 2, . . . , n-re, míg a célfüggvény

z = c1x1 + c2x2 + . . . + cnxn =⇒ max v. min

alakú.


Az LP feladatok mátrix alakú modellje

A modell vektorok és mátrixok seítségével egyszerubben isfelírható:

1.) ~x ≥ ~0

2.) A~x ≤ ~b

3.) z = ~cT ~x =⇒ max v. min

Az A mátrix elemeittechnikai vagy technológiai koefficiensnek

nevezzük. Az~x vektor elemei aváltozók(programozási feladatokban

ezeketprimál változóknak nevezzük). A~b vektortkészletvagy

kapacitás vektornak, a~cT vektort pedig acélfüggvény vektorának

nevezzük.


Az LP feladatok csoportosítása

A feladatoknak két alaptípusa van: maximum- és minimumszámítás. A

további csoportosítást maximum feladatoknál a korlátozó feltételek

milyensége alapján végezzük.

1. Normál feladat: az

~x ≥ ~0

A~x ≤ ~b

z = ~cT ~x =⇒ max

feladatot normál feladatnak hívjuk. Ebben az esetben a feltételek

mindegyike≤.

2. Módosított normál feladat: a korlátozó feltételek között≤ és=

is szerepel.

3. Általános feladat: a korlátozó feltételek között≤, = és≥ is

szerepel.Szimplex módszer – p. 4/15

Grafikus megoldásKétváltozós esetben az LP feladatokat grafikusan is megoldhatjuk. Erre nézünk most egy példát.

Feladat. Két termék egy-egy darabjának eloállításához négy alapanyagból rendre 8, 1, 3, 0 és 8,

3, 0, 2 egységet kell felhasználni. Az alapanyagokból maximálisan 64, 15, 18, 8 egységet lehet

felhasználni. Az egyes végtermékek egy darabjának tiszta hozama 5, illetve 3 egység. Mennyit

kell eloállítani az egyes termékekbol, hogy a hozam maximális legyen? Mennyi ez a maximum?







Megoldás.Elkészítjük a feladat matematikai modelljét. Jelöljex az elso termék darbszámát, míg

y azt, hogy hány darabot állítunk elo a második termékbol.







Megoldás.Elkészítjük a feladat matematikai modelljét. Jelöljex az elso termék darbszámát, míg

y azt, hogy hány darabot állítunk elo a második termékbol.

x, y ≥ 0

8x + 8y ≤ 64

x + 3y ≤ 15

3x ≤ 18

2y ≤ 8

z = 5x + 3y → max.


Grafikus megoldásAz egyenlotlenség rendszert grafikusan oldjuk meg. Az elso feltétel biztosítja, hogy a

megoldásokat a koordináta rendszer elso síknegyedében keressük. Tekintsünk az

egyenlotlenségek helyett egyenloségeket. Ekkor egyenesek egyenleteit kapjuk, melyeket

tengelymetszetes alakra átírva könnyen ábrázolhatunk. Ezek után besatírozzuk az

egyenlotlenségeket igazzá tévo területrészeket. Ha a feltételben a≤-jel szerepel, akkor az

egyenes alatti pontok-, illetve az egyenes pontjainak koordinátái teszik igazzá az

egyenlotlenséget. A≥-jel esetén fordítva. A beszinezett területek metszete tartalmazza azon

pontokat, melynek koordinátái az összes feltételt kielégítik. Ez a megengedett megoldások

halamaza. Ezen pontok között keressük azt, amelyre a célfüggvény maximális értéket vesz fel.


Grafikus megoldásAz egyenlotlenség rendszert grafikusan oldjuk meg. Az elso feltétel biztosítja, hogy a

megoldásokat a koordináta rendszer elso síknegyedében keressük. Tekintsünk az

egyenlotlenségek helyett egyenloségeket. Ekkor egyenesek egyenleteit kapjuk, melyeket

tengelymetszetes alakra átírva könnyen ábrázolhatunk. Ezek után besatírozzuk az

egyenlotlenségeket igazzá tévo területrészeket. Ha a feltételben a≤-jel szerepel, akkor az

egyenes alatti pontok-, illetve az egyenes pontjainak koordinátái teszik igazzá az

egyenlotlenséget. A≥-jel esetén fordítva. A beszinezett területek metszete tartalmazza azon

pontokat, melynek koordinátái az összes feltételt kielégítik. Ez a megengedett megoldások

halamaza. Ezen pontok között keressük azt, amelyre a célfüggvény maximális értéket vesz fel.

A tengelymetszetes alakok:

e1 :x

8+

y

8= 1

e2 :x

15+

y

5= 1

e3 :x

6= 1

e4 :y

4= 1.


Grafikus megoldás

0 2 4 6 8 10 12 14 16

0

2

4

6

8

X

Y

zpr = 15

zmax = 36

e1

e2

e4

e3

Foglalkozzunk most a célfüggvénnyel. Adjunk a célfüggvénynek egy tetszoleges értéket, úgy

hogy az könnyen ábrázolható legyen. (Érdemes azx ésy együtthatóinak közös többszörösét

választani.) Így azpr próbaegyeneshez jutunk:

5x + 3y = 15. Szimplex módszer – p. 7/15

Grafikus megoldásAzok a pontok, amelyekben a célfüggvény a 15 értéket veszi fel, a fenti egyenesen (ún.

szintvonalon) fekszenek. A megengedett megoldások halmazának egyes pontjaiban a

célfüggvény azt az értéket veszi fel, amelyhez az adott ponton áthaladó szintvonal tartozik.

A más értékekhez tartozó szintvonalak evvel az egyenessel párhuzamosak. Ha az egyenest

önmagával párhuzamosan felfelé toljuk, akkorz értéke no, míg lefelé tolvaz értéke csökken.

Mivel z maximumát keressük, az értékét növelnünk kell, az egyenest önmagával párhuzamosan

felfelé toljuk el. Így elérheto, hogy a párhuzamos egyenesnek csak egy közös pontja legyena

megengedett megoldások halmazával. (Általános esetben ezlehet egy szakasz, illetve egy

félegyenes is.) A konkrét példában ez a pont aze1 ése3 egyenesek metszéspontja. Ahhoz, hogy

a maximumhelyet megkapjuk, meg kell oldanunk az:

x = 6

8x + 8y = 64

egyenletrendszert. A szélsoértékhely koordinátái:x = 6, illetve y = 2. Az elso termékbol 6-ot, a

másodikból 2-ot kell eloállítanunk, hogy a maximális hozamot kapjuk. A maximum értékét a

célfüggvénybe való behelyettesítéssel kapjuk meg:

zmax(6, 2) = 5 · 6 + 3 · 2 = 36.


A szimplex módszer• A megoldás elso lépéseként elkészítjük azinduló táblázatot, melyben azu1, u2, u3 és

u4 szimbólummal az ún.duál változókat jelöljük. A gyakorlati példára gondolva ezek az

eroforrások sorait jelölik.

• A felso sorban a primál változók (~x vektor elemei), az

• alsó sorban pedig a célfüggvény együtthatói (~cT vektor elemei),

• a jobb oldali oszlopban a készletvektor (~b) elemei szerepelnek.

• Egészítsük ki a táblázatot azzal, hogy a célfüggvény sorának végére0-t, az elejére pedig

(−z)-t írunk, kifejezve ezzel azt, hogy a táblázatnak megfelelo program alapján a

célfüggvény értéke zérus, illetve hogy a célfüggvény maximumát kapjuk.


A szimplex módszer• A megoldás elso lépéseként elkészítjük azinduló táblázatot, melyben azu1, u2, u3 és

u4 szimbólummal az ún.duál változókat jelöljük. A gyakorlati példára gondolva ezek az

eroforrások sorait jelölik.

• A felso sorban a primál változók (~x vektor elemei), az

• alsó sorban pedig a célfüggvény együtthatói (~cT vektor elemei),

• a jobb oldali oszlopban a készletvektor (~b) elemei szerepelnek.

• Egészítsük ki a táblázatot azzal, hogy a célfüggvény sorának végére0-t, az elejére pedig

(−z)-t írunk, kifejezve ezzel azt, hogy a táblázatnak megfelelo program alapján a

célfüggvény értéke zérus, illetve hogy a célfüggvény maximumát kapjuk.

A teljes induló szimplex táblázat tehát:

x y ~b

u1 8 8 64

u2 1 3 15

u3 3 0 18

u4 0 2 8

−z 5 3 0Szimplex módszer – p. 9/15

A szimplex módszer1. Ebben a táblázatban – és a további módosított táblázatokban is – a bal oldali oszlopban

szereplo változók értékei a jobb oldali oszlop megfelelo sorában olvashatók le, míg a

felso sorban szereplo változók értékei a program alapján zérussal egyenlok.

2. A program módosítását az egyenletrendszerek megismert módszeréhez hasonlóan

végezzük néhány módosítással:

(a) Generáló elemet választunk, de ezt csak abból az oszlopból tehetjük meg, ahol a

célfüggvény együtthatója nem negatív (így növekedik a célfüggvény). Abból az

oszlopból célszeru választani, ahol legnagyobb az együttható.

(b) Generáló elemnek csak pozitív számot választunk, ellenkezo esetben ugyanis az

xi ≥ 0 feltételt sértenénk meg.

(c) Abból a sorból választunk generáló elemet, ahol a legsz˝ukebb a keresztmetszet,

azaz a választott oszlopból csak az azaig > 0 elem lehet generáló elem, amelyrebi

aiga legkisebb.

� �


A szimplex módszer1. Ebben a táblázatban – és a további módosított táblázatokban is – a bal oldali oszlopban

szereplo változók értékei a jobb oldali oszlop megfelelo sorában olvashatók le, míg a

felso sorban szereplo változók értékei a program alapján zérussal egyenlok.

2. A program módosítását az egyenletrendszerek megismert módszeréhez hasonlóan

végezzük néhány módosítással:

(a) Generáló elemet választunk, de ezt csak abból az oszlopból tehetjük meg, ahol a

célfüggvény együtthatója nem negatív (így növekedik a célfüggvény). Abból az

oszlopból célszeru választani, ahol legnagyobb az együttható.

(b) Generáló elemnek csak pozitív számot választunk, ellenkezo esetben ugyanis az

xi ≥ 0 feltételt sértenénk meg.

(c) Abból a sorból választunk generáló elemet, ahol a legsz˝ukebb a keresztmetszet,

azaz a választott oszlopból csak az azaig > 0 elem lehet generáló elem, amelyrebi

aiga legkisebb.

Tekintsük tehát az induló táblázatot. Mivel5 > 3, így azx oszlopból célszeru választani (x

változót célszeru bevonni a programba, hiszen minden egysége 5 egységgel növeli a

célfüggvényt). A hányadosokra:

min

�64

8,15

1,18

3

�

=18

3,


A szimplex módszertehát azu3 sorhoz tartozó a legkisebb. Azaz azx oszlopából ésu3 sorából választunk generáló

elemet amit úgy jelzünk, hogy bekeretezzük az itt álló3-as számot.

x y ~b

u1 8 8 64

u2 1 3 15

u3 3 0 18

u4 0 2 8

−z 5 3 0

3. Ebben az új, javított táblázatban nem hagytunk el oszlopot. A generáló elem sorának

elemeit úgy kapjuk, hogy a régi táblázat ezen elemeit osztjuk a generáló elemmel.

4. A generáló elem oszlopának elemeit úgy kapjuk, hogy a régitáblázat ezen elemeit

osztjuk a generáló elem(−1)-szeresével.

5. A generáló elem helyére annak reciproka kerül.

6. A többi elemet a teljes bázistranszformációnál tanult ésaz egyenletrendszereknél

alkalmazott módszer szerint számoljuk ki.


A szimplex módszerAz elso javított táblázathoz tartozó program:

u3 y ~b

u1 - 8

38 16

u2 - 1

33 9

x 1

30 6

u4 0 2 8

−z - 5

33 -30



u3 y ~b

u1 - 8

38 16

u2 - 1

33 9

x 1

30 6

u4 0 2 8

−z - 5

33 -30

A táblázatból leolvasott eredmények:

x = 6 y = 0 z = 30

u1 = 16 u2 = 9 u3 = 0 u4 = 8



u3 y ~b

u1 - 8

38 16

u2 - 1

33 9

x 1

30 6

u4 0 2 8

−z - 5

33 -30

A táblázatból leolvasott eredmények:

x = 6 y = 0 z = 30

u1 = 16 u2 = 9 u3 = 0 u4 = 8

A táblázat jelentése: az elso termékbol 6, míg a másodikból 0 darabot állítunk elo. Ekkor a 3.

nyersanyag teljesen elfogy, az elso nyersanyagból 16, a másodikból 9, a negyedikbol 8 egység

marad. Ilyen termelési program mellett a bevétel 30 egység.Ezt a programot még lehet javítani,

mert tudunk generáló elemet választani. Az új táblázat:


A szimplex módszerA második javított táblázathoz tartozó program:

u3 u1~b

y - 1

3

1

82

u22

3- 3

83

x 1

30 6

u42

3- 2

84

−z - 2

3- 3

8-36



u3 u1~b

y - 1

3

1

82

u22

3- 3

83

x 1

30 6

u42

3- 2

84

−z - 2

3- 3

8-36

Tovább már nem lehet generáló elemet választani, hiszen a célfüggvény együtthatói negatív

számok. A kapott értékek optimálisak. Az eredmény:

x = 6 y = 2 zmax = 36

u1 = 0 u2 = 3 u3 = 0 u4 = 4



u3 u1~b

y - 1

3

1

82

u22

3- 3

83

x 1

30 6

u42

3- 2

84

−z - 2

3- 3

8-36

Tovább már nem lehet generáló elemet választani, hiszen a célfüggvény együtthatói negatív

számok. A kapott értékek optimálisak. Az eredmény:

x = 6 y = 2 zmax = 36

u1 = 0 u2 = 3 u3 = 0 u4 = 4

A táblázat jelentése: az elso termékbol 6, míg a másodikból 2 darabot állítunk elo. Ekkor az 1. és

a 3. nyersanyag teljesen elfogy, a második nyersanyagból 3,a negyedikbol 4 egység marad. Ilyen

termelési program mellett a maximális bevétel 36 egység.


PéldaFeladat. Oldja meg alábbi az lineáris programozási feladatot!

x1, x2, x3 ≥ 0

x1 + x3 ≤ 40

−x2 + x3 ≤ 10

x1 + x2 − x3 ≤ 18

z = 4x1 + 3x3 → max

Megoldás.



x1, x2, x3 ≥ 0

x1 + x3 ≤ 40

−x2 + x3 ≤ 10

x1 + x2 − x3 ≤ 18

z = 4x1 + 3x3 → max

Megoldás.

x1 x2 x3 b

u1 1 0 1 40

u2 0 -1 1 10

u3 1 1 -1 18

−z 4 0 3 0



x1, x2, x3 ≥ 0

x1 + x3 ≤ 40

−x2 + x3 ≤ 10

x1 + x2 − x3 ≤ 18

z = 4x1 + 3x3 → max

Megoldás.

x1 x2 x3 b

u1 1 0 1 40

u2 0 -1 1 10

u3 1 1 -1 18

−z 4 0 3 0

u3 x2 x3 b

u1 -1 -1 2 22

u2 0 -1 1 10

x1 1 1 -1 18

−z -4 -4 7 -72


Példau3 x2 u2 b

u1 -1 1 -2 2

x3 0 -1 1 10

x1 1 0 1 28

−z -4 3 -7 -142


Példau3 x2 u2 b

u1 -1 1 -2 2

x3 0 -1 1 10

x1 1 0 1 28

−z -4 3 -7 -142

u3 u1 u2 b

x2 -1 1 -2 2

x3 -1 1 -1 12

x1 1 0 1 28

−z -1 -3 -1 -148


Példau3 x2 u2 b

u1 -1 1 -2 2

x3 0 -1 1 10

x1 1 0 1 28

−z -4 3 -7 -142

u3 u1 u2 b

x2 -1 1 -2 2

x3 -1 1 -1 12

x1 1 0 1 28

−z -1 -3 -1 -148

A célfüggvény a maximumát az−→x = (28, 2, 12)T helyen veszi felzmax = 148 értékkel, míg

az−→u =−→0 .


bevezetés a lineáris programozásbakovacss/nagyvarad/lp_ea.pdf · kétváltozós esetben az lp...

Documents