УЧРЕЖДЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ

«БЕЛОРУССКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ АКАДЕМИЯ АВИАЦИИ»

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Учебная программа учреждения высшего образования

по учебной дисциплине для специальностей:

1-37 04 01 «Техническая эксплуатация воздушных судов и двигателей»

1-37 04 02 «Техническая эксплуатация авиационного оборудования»направления специальности:

1-37 04 02-01 «Техническая эксплуатация авиационного оборудования(приборное и электросветотехническое оборудование)»1-37 04 02-02 «Техническая эксплуатация авиационного оборудования(радиоэлектронное оборудование)»

1 – 37 04 03 «Беспилотные авиационные комплексы»;направления специальности:

1 – 37 04 03-01 «Беспилотные авиационные комплексы (государственной авиации)»1 – 37 04 03-02 «Техническая эксплуатация беспилотных авиационных комплексов наземного обеспечения полетов»;

1-44 01 05«Организация движения и обеспечение полетов на воздушном транспорте»

направления специальности:1-44 01 05-01 «Организация движения и обеспечение полетов на воздушном транспорте (организация воздушного движения)»

1 – 95 02 11 «Техническая эксплуатация средств наземного обеспечения полетов»

2017 г.

УТВЕРЖДАЮПроректор по учебной работеУО «Белорусская государственнаяакадемия авиации» ________________ М.А.Бабицкая«______» _______________ 2017 г.УПД – ВОI – 2015– ЕНД - ____

2

Учебная программа составлена на основе образовательного стандарта высшего образования ОСВО 1-37 04 01 № 88 от 30.08.2013г.Учебная программа составлена на основе образовательного стандарта высшего образования ОСВО 1-37 04 02.№ 88 от 30.08.2013г.Учебная программа составлена на основе образовательного стандарта высшего образования ОСВО 1-37 04 03№ 88 от 30.08.2013г.Учебная программа составлена на основе образовательного стандарта высшего образования ОСВО 1-44 01 05 № 88 от 30.08.2013г.Учебная программа составлена на основе образовательного стандарта высшего образования ОСВО 1-95 02 11 . № 87 от 30.08.2013г.

СОСТАВИТЕЛИ:А. И. Балодис, старший преподаватель кафедры естественнонаучных дисциплин учреждения образования «Белорусская государственная академия авиации»Е. И. Запольская, старший преподаватель кафедры естественнонаучных дисциплин учреждения образования «Белорусская государственная академия авиации»

РЕЦЕНЗЕНТЫ: М. А. Князев, заведующий кафедрой «Инженерная математика» Белорусского национального технического университета, доктор физико-математических наук, доцент;Г.Н. Сицко, доцент кафедры теоретической и прикладной механики механико-математического факультета Белорусского государственного университета, кандидат физико-математических наук, доцент.

РЕКОМЕНДОВАНА К УТВЕРЖДЕНИЮ:

Кафедрой естественнонаучных дисциплин

(протокол от 27.04.2017 г. № 9);

Научно-методическим советом учреждения образования «Белорусская государственная академия авиации»

(протокол от 27.06. 2017 г. № 6)

Нормоконтроль

Заведующий кафедрой ЕНД А.И.Кириленко

2017г.

Заведующий библиотекой В.В.Коршунова2017г

3

I. ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

Цели учебной дисциплины: формирование личности курсанта, развитие его интеллекта и способности к логическому и алгоритмическому мышлению; воспитание достаточно высокой математической культуры; обучение основным математическим методам, необходимым для анализа и моделирования устройств, процессов и явлений при поиске оптимальных решений для осуществления научно-технического прогресса и выбора наилучших способов реализации этих решений, методам обработки и анализа результатов численных экспериментов.Задачи учебной дисциплины: продемонстрировать курсантам на примерах математических понятий и методов действие законов природы, сущность научного подхода, специфику математики и её роль в осуществлении научно-технического прогресса; научить курсантов приёмам исследования и решения математических задач; выработать у курсантов умение анализировать полученные результаты, привив им навыки самостоятельного изучения литературы по математике и её приложениям.

Учебная дисциплина «Высшая математика» относится к циклу естественнонаучных дисциплин и является общенаучной. Знание высшей математики является неотъемлемой частью фундаментальной подготовки специалистов. Учебный материал настоящей программы необходим для изучения следующих дисциплин: «Основы информационных технологий», «Физика», «Механика материалов», «Теоретическая механика», «Электротехника и электроника» и т.д.

В результате изучения дисциплины курсант должен закрепить и развить следующие академические (АК) и социально-личностные (СЛК) компетенции, предусмотренные в образовательном стандарте по специальностям: ОСВО 1-37 04 01 «Техническая эксплуатация воздушных судов и двигателей» Специалист должен:АК-1. Уметь применять базовые научно-теоретические знания для решения теоретических и практических задач;АК-2. Владеть системным и сравнительным анализом;АК-3. Владеть исследовательскими навыками;АК-4. Уметь работать самостоятельно;АК-5. Быть способным порождать новые идеи (обладать креативностью);АК-6. Владеть междисциплинарным подходом при решении проблем;СЛК-6. Уметь работать в команде;обладать следующими профессиональными компетенциями (ПК):ПК-6. Выполнять инженерно-технические расчеты, связанные с анализом работы и надежности систем и устройств воздушных судов и двигателей.ПК-18. Проводить научные исследования систем и процессов технической эксплуатации систем и устройств воздушных судов и двигателей на основе системного анализа;ПК-37. Организовывать и планировать использование по назначению агрегатов и узлов с учетом потребного уровня исправности.

4

ОСВО 1-37 04 02 «Техническая эксплуатация авиационного оборудования»; Специалист должен:АК-1. Уметь применять базовые научно-теоретические знания для решения теоретических и практических задач;АК-2. Владеть системным и сравнительным анализом;АК-3. Владеть исследовательскими навыками;АК-4. Уметь работать самостоятельно;АК-5. Быть способным порождать новые идеи (обладать креативностью);АК-6. Владеть междисциплинарным подходом при решении проблем;АК-8. Обладать навыками устной и письменной коммуникации;АК-9. Уметь учиться, повышать свою квалификацию в течение всей жизни.ПК-6. Выполнять инженерно-технические расчеты, связанные с анализом работы и надежности систем и устройств воздушных судов и двигателей.

ОСВО 1-37 04 03-2013 «Беспилотные авиационные комплексы» Специалист должен:АК-1. Уметь применять базовые научно-теоретические знания для решения теоретических и практических задач;АК-2. Владеть системным и сравнительным анализом;АК-3. Владеть исследовательскими навыками;АК-4. Уметь работать самостоятельно;АК-5. Быть способным порождать новые идеи (обладать креативностью);АК-6. Владеть междисциплинарным подходом при решении проблем;СЛК-5 Быть способным к критике и самокритике; СЛК-6. Уметь работать в команде;

ОСВО 1-44 01 05 «Организация движения и обеспечение полетов на воздушном Специалист должен:АК-2. Владеть системным и сравнительным анализом;АК-4. Уметь работать самостоятельно;АК-5. Быть способным порождать новые идеи (обладать креативностью);ПК-27 Анализировать и оценивать собранные данные;

ОСВО 1 – 95 02 11 «Техническая эксплуатация средств наземного обеспечения полетов»Специалист должен:АК-1. Уметь применять базовые научно-теоретические знания для решения теоретических и практических задач;АК-2. Владеть системным и сравнительным анализом;АК-3. Владеть исследовательскими навыками;АК-4. Уметь работать самостоятельно;АК-5. Быть способным порождать новые идеи (обладать креативностью);АК-6. Владеть междисциплинарным подходом при решении проблем;

5

ПК-7. Выполнять инженерно-технические расчеты, связанные с анализом работы и надежностью автомобильной и специальной техники, эксплуатационным содержанием и текущимремонтом аэродрома.ПК-13 Анализировать и оценивать собранные данные.

В результате изучения дисциплины курсант должен иметь образовательный уровень, который в соответствии с Руководством по обучению ИКАО, необходим для изучения авиационных предметов.

В результате изучения учебной дисциплины курсант специальности 1-37 04 01 «Техническая эксплуатация воздушных судов и двигателей» должен:знать: методы математического анализа, аналитической геометрии, линейной алгебры, теории функций комплексного переменного, операционного исчисления, теории поля; основные понятия и методы теории вероятностей и математической статистики; численные методы решения инженерных задач.уметь: дифференцировать и интегрировать функции; производить действия над матрицами; решать алгебраические системы уравнений; решать обыкновенные дифференциальные уравнения.владеть: методиками поиска информации по курсу математики; методиками выполнения расчетов; методами исследования функций; методами решения уравнений, в том числе дифференциальных.

В результате изучения учебной дисциплины курсант специальности 1-37 04 02 «Техническая эксплуатация авиационного оборудования» должен:знать: методы математического анализа, аналитической геометрии, линейной алгебры, теории функций комплексного переменного, операционного исчисления, теории поля; основные понятия и методы теории вероятностей и математической статистики; численные методы решения инженерных задач.уметь: дифференцировать и интегрировать функции; производить действия над матрицами; решать алгебраические системы уравнений; решать обыкновенные дифференциальные уравнения.владеть: математическими методами решения практических задач при управлении воздушным движением.

В результате изучения учебной дисциплины курсант специальности 1-37 04 03 «Беспилотные авиационные комплексы» должен:знать: методы математического анализа, аналитической геометрии, линейной алгебры, теории функций комплексного переменного, операционного исчисления, теории поля; основные понятия и методы теории вероятностей и

6

математической статистики; численные методы решения инженерных задач.уметь: дифференцировать и интегрировать функции; производить действия над матрицами; решать алгебраические системы уравнений; решать обыкновенные дифференциальные уравнения.владеть: методиками выполнения расчетов; методами исследования функций и решения уравнений, в том числе дифференциальных.

В результате изучения учебной дисциплины курсант специальности 1-44 01 05 «Организация движения и обеспечение полетов на воздушном транспорте» должен:знать: методы математического анализа, аналитической геометрии, линейной алгебры, теории функций комплексного переменного, операционного исчисления, теории поля; основные понятия и методы теории вероятностей и математической статистики; численные методы решения инженерных задач.уметь: дифференцировать и интегрировать функции; производить действия над матрицами; решать алгебраические системы уравнений; решать обыкновенные дифференциальные уравнения.владеть: математическими методами решения практических задач при управлении воздушным движением.

В результате изучения учебной дисциплины курсант специальности 1 – 95 02 11 «Техническая эксплуатация средств наземного обеспечения полетов» должен:знать: методы математического анализа, аналитической геометрии, линейной алгебры, теории функций комплексного переменного, операционного исчисления, теории поля; основные понятия и методы теории вероятности и математической статистики; численные методы решения инженерных задач.уметь: дифференцировать и интегрировать функции; производить действия над матрицами; решать алгебраические системы уравнений; решать обыкновенные дифференциальные уравнения.владеть: методиками поиска информации по курсу математики; методиками выполнения расчетов; методами исследования функций; методами решения уравнений, в том числе дифференциальных.

Форма получения высшего образования — очная:

В соответствии с учебным планом на изучение учебной дисциплины «Высшая математика» для специальности 1-37 04 01 «Техническая эксплуатация воздушных судов и двигателей» отводится 696 часов, в том числе аудиторных –

7

338 часов. Распределение аудиторного времени по видам занятий и семестрам: в 1-ом семестре -- 82 часа аудиторных занятий, из них: лекции – 24 часов, практические занятия – 52 часа, управляемая самостоятельная работа - 6 часов; во 2-ом семестре -- 88 часа аудиторных занятий, из них: лекции – 24 часов, практические занятия – 58 часов, управляемая самостоятельная работа - 6 часов; в 3-ем семестре -- 100 часов аудиторных занятий, из них: лекции – 44 часа, практические занятия – 56 часов; в 4-ом семестре -- 68 часов аудиторных занятий, из них: лекции – 18 часов, практические занятия – 50 часов.

В соответствии с учебным планом на изучение учебной дисциплины «Высшая математика» для специальности 1-37 04 02 «Техническая эксплуатация авиационного оборудования» отводится 650 часов, в том числе аудиторных – 324 часа. Распределение аудиторного времени по видам занятий и семестрам: в 1-ом семестре - 108 часов аудиторных занятий, из них: лекции - 40 часов, практические занятия - 62 часа, управляемая самостоятельная работа - 6 часов; во 2-ом семестре -80 часов аудиторных занятий, из них: лекции - 30 часов, практические занятия – 46 часов, управляемая самостоятельная работа - 4 часа; в 3-ем семестре - 136 часов аудиторных занятий, из них: лекции - 36 часов, практические занятия - 100 часов.

В соответствии с учебным планом на изучение учебной дисциплины «Высшая математика» для специальности 1 – 37 04 03 «Беспилотные авиационные комплексы» отводится 746 часов, в том числе аудиторных – 414 часов. Распределение аудиторного времени по видам занятий и семестрам: в 1-ом семестре – 108 часов аудиторных занятий, из них: лекции – 18 часов, практические занятия – 90 часов; во 2-ом семестре – 102 часа аудиторных занятий, из них: лекции – 32 часа, практические занятия – 70 часов; в 3-ем семестре – 102 часа аудиторных занятий, из них: лекции – 74 часа, практические занятия – 28 часов; в 4-ом семестре – 102 часа аудиторных занятий, из них: лекции – 72 часа, практические занятия – 30 часов.

В соответствии с учебным планом на изучение учебной дисциплины «Высшая математика» для специальности 1-44 01 05 «Организация движения и обеспечение полетов на воздушном транспорте» отводится 610 часов, в том числе аудиторных–350 часов. Распределение аудиторного времени по видам занятий и семестрам: в 1-ом семестре – 98 часов аудиторных занятий, из них: лекции – 34 часа, практические занятия – 58 часов, управляемая самостоятельная работа – 6 часов; во 2-ом семестре – 102 часа аудиторных занятий, из них: лекции – 28 часов, практические занятия – 68 часов, управляемая самостоятельная работа – 6 часов; в 3-ем семестре – 64 часа аудиторных занятий, из них: лекции – 24 часов, практические занятия – 40 часов; в 4-ом семестре – 86 часов аудиторных занятий, из них: лекции – 30 часов, практические занятия – 56 часов.

В соответствии с учебным планом на изучение учебной дисциплины «Высшая математика» для специальности 1 – 95 02 11 «Техническая эксплуатация средств наземного обеспечения полетов» отводится 768 часов, в том числе аудиторных – 414 часов. Распределение аудиторного времени по видам занятий и

8

семестрам: в 1-ом семестре – 118 часов аудиторных занятий, из них: лекции – 28 часов, практические занятия –90 часов; во 2-ом семестре - 92 часа аудиторных занятий, из них: лекции – 22 часа, практические занятия – 70 часов; в 3-ем семестре - 48 часов аудиторных занятий, из них: лекции – 10 часов, практические занятия – 38 часов; в 4-ом семестре - 156 часов аудиторных занятий, из них: лекции –136 часов, практические занятия – 20 часов.

При изучении данной дисциплины используются такие формы текущей аттестации как зачет, экзамен по учебной дисциплине.

Форма получения образования – заочная:

В соответствии с учебным планом на изучение учебной дисциплины «Высшая математика» для специальности 1-37 04 01 «Техническая эксплуатация воздушных судов и двигателей» отводится 696 часов, в том числе аудиторных – 56 часов. Распределение аудиторного времени по видам занятий и семестрам: в 1-ом семестре – 44 часа аудиторных занятий, из них: лекции – 20 часов, практические занятия – 24 часа; во 2-ом семестре – 12 часа аудиторных занятий, из них: лекции – 8 часов, практические занятия – 4 часа.

В соответствии с учебным планом на изучение учебной дисциплины «Высшая математика» для специальности 1-37 04 02-01 «Техническая эксплуатация авиационного оборудования (приборное и электросветотехническое оборудование» отводится 650 часов, в том числе аудиторных – 66 часа. Распределение аудиторного времени по видам занятий и семестрам: в 1-ом семестре - 44 часов аудиторных занятий, из них: лекции - 24 часов, практические занятия - 20 часа; во 2-ом семестре -22 часов аудиторных занятий, из них: лекции - 8 часов, практические занятия – 14 часов.

В соответствии с учебным планом на изучение учебной дисциплины «Высшая математика» для специальности 1-37 04 02-02 «Техническая эксплуатация авиационного оборудования (радиоэлектронное оборудование)» отводится 650 часов, в том числе аудиторных – 64 часа. Распределение аудиторного времени по видам занятий и семестрам: в 1-ом семестре - 46 часов аудиторных занятий, из них: лекции - 22 часов, практические занятия - 24 часа; во 2-ом семестре -18 часов аудиторных занятий, из них: лекции - 10 часов, практические занятия – 8 часов.

При изучении данной дисциплины используются такие формы текущей аттестации как зачет, экзамен по учебной дисциплине.

9

II. СОДЕРЖАНИЕ УЧЕБНОГО МАТЕРИАЛА

РАЗДЕЛ 1. Элементы линейной и векторной алгебры.

ТЕМА 1.1. Алгебра матриц. Матрицы. Основные понятия. Линейные операции над матрицами. Операция умножения матриц, её свойства. Определитель матрицы и его свойства, вычисление. Теорема о разложении определителя по ряду. Операция обращения матриц, её свойства. Критерии обратимости матриц. Понятие линейной комбинации, линейной зависимости и независимости векторов, Ранг матрицы. Элементарные преобразования матриц. Алгоритм Гаусса вычисления ранга матрицы.

ТЕМА 1.2. Элементы векторной алгебры. Векторы. Основные понятия. Линейные операции над векторами, их свойства. Базисы, системы координат. Проекция вектора на ось. Разложение вектора по ортам координатных осей. Расстояние между точками. Деление отрезка в заданном отношении. Операция скалярного умножения векторов, её геометрическая интерпретация, её свойства. Критерий ортогональности векторов. Неравенство Коши-Буняковского. Операция скалярного умножения в координатной форме. Приложения операции скалярного умножения в геометрии (вычисление проекций и длин векторов, углов) и в физике (вычисление работы). Операция векторного умножения векторов, её геометрическая интерпретация, её свойства. Двойное векторное произведение. Критерий коллинеарности векторов. Операция векторного умножения в координатной форме. Приложения операции векторного умножения в геометрии (вычисление площадей многоугольников) и в физике

10

(вычисление моментов, импульсов). Операция смешанного умножения векторов, её геометрическая интерпретация, её свойства. Критерий компланарности векторов. Операция смешанного умножения в координатной форме. Приложения операции смешанного умножения в геометрии (вычисление объёмов многогранников) и в физике (вычисление работы и потоков в простейшей форме). Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) в координатной и матричной формах.Решение СЛАУ в матричной и координатной формах, формулы Крамера. Теорема Кронекера–Капелли. Алгоритм решения произвольных совместных СЛАУ. Критерии неопределённости совместной СЛАУ. Общие и частные решения неопределённой СЛАУ. Однородные СЛАУ АХ=О. Структура общего решения неопределённой СЛАУ AX=B. Алгоритм Гаусса решения произвольной СЛАУ

РАЗДЕЛ 2. Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление.

ТЕМА 2.1. Теория пределов. Последовательности. Ограниченные последовательности. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Сходящиеся последовательности. Предел монотонной ограниченной последовательности. Число е. Понятие функции. График функции. Способы задания функции. Обратная функция. Сложная функция. Основные элементарные функции и их графики.Теория пределов. Конечные и бесконечные (двусторонние) пределы функций. Пределы функций по Коши. Пределы функций по множеству, односторонние пределы. Критерий Коши существования предела функции. Теорема о существовании предела монотонной ограниченной функции. Бесконечно малые и бесконечно большие функции, связь между ними. Связь между конечным пределом функции и бесконечно малой. Арифметические свойства бесконечно малых функций: сохранение бесконечной малости при их суммировании, умножении и делении на константы. Классификация бесконечно малых, бесконечно малые высших порядков малости. Критерий эквивалентности бесконечно малых функций. Арифметические свойства пределов функций в точке, предел сложных и обратных функций. Первый и второй замечательные пределы. Основная цепочка эквивалентности (бесконечно малых элементарных функций), её геометрическая интерпретация. Раскрытие неопределённостей при отыскании пределов (без правила Лопиталя). Непрерывность функций в точке, непрерывность слева и непрерывность справа. Непрерывность функций в точке по множеству. Арифметические свойства непрерывности, непрерывность сложных и обратных функций. Точки разрыва функции и их классификация. Элементарные функции, их непрерывность на их множестве определения. Свойства функций непрерывных на отрезке: теоремы Вейерштрасса, теорема Больцано-Коши.

11

ТЕМА 2.2. Дифференциальное исчисление функций одной переменной. Производные функции в точке, дифференциал, их геометрическая интерпретация. Уравнения касательной и нормали к графику функции. Таблица производных. Арифметические свойства операции дифференцирования, линейность этой операции (сохранение линейных комбинаций функций). Операция дифференцирования сложной функций, обратных функций Дифференцирование параметрически заданных функций, неявных функций. Производные и дифференциалы высших порядков. Дифференциальное исследование функций: исследование функций на монотонность (строгую и нестрогую), необходимые и достаточные условия монотонности; исследование на локальный экстремум (строгий и нестрогий), необходимые и достаточные условия локального экстремума. Демонстрационные примеры. Исследование графика функции на выпуклость, вогнутость, перегиб, необходимые и достаточные условия этих свойств графиков функций. Исследование графиков функций на асимптотичность. Исследование функций на глобальный экстремум, условный экстремум. Полное исследование функций. Демонстрационные примеры. Дифференциальные теоремы о среднем: терема Ферма, теорема Ролля, теорема Лагранжа, формула конечных приращений Лагранжа, теорема Коши. Правило Лопиталя, его применение для раскрытия арифметических и показательно-степенных неопределённостей. Формулы Тэйлора и Маклорена, остаточные члены этих формул в формах Пеано, Лагранжа и др. Промежутки разложения функций по этим формулам. Разложения основных элементарных функций по формулам Маклорена, определение промежутков этих разложений. Разложения функций по формулам Тэйлора и Маклорена в безразмерной дифференциальной форме. Приложения этих формул в приближённых вычислениях.

ТЕМА 2.3. Функции двух переменных. Функции двух переменных. Основные понятия. Предел функции. Непрерывность. Свойства функции, непрерывной в ограниченной замкнутой области. Частные производные первого порядка и их геометрический смысл. Частные производные высших порядков. Дифференцируемость и полный дифференциал функции. Дифференцируемость сложной и неявной функции. Производная по направлению, градиент функции, физический смысл. Связь между производной по направлению и градиентом функции.

РАЗДЕЛ 3. Аналитическая геометрия.

ТЕМА 3.1. Линии и поверхности первого порядка. Уравнение фигуры, система уравнений фигуры. Фигуры первого порядка. Задание плоскости точкой и нормальным вектором, векторное, координатное, общее уравнения плоскости. Критерий поверхности первого порядка. Анализ общего уравнения плоскости. Уравнения плоскости частного типа: определённой тремя точками, в отрезках, нормальное. Расстояние от точки до плоскости. Угол между плоскостями, взаимное

12

расположение плоскостей. Прямая в пространстве, заданная точкой и направляющим вектором. Векторное, координатное, каноническое уравнения прямой. Расстояние от точки до прямой. Угол между прямой и плоскостью, угол между прямыми. Прямая на плоскости. Уравнения прямой частного типа (определённой двумя точками, в отрезках, с угловым коэффициентом, нормальное).

ТЕМА 3.2. Линии и поверхности второго порядка. Общее уравнение линии второго порядка. Невырожденные линии второго порядка (эллипс, гипербола, парабола), их определения, их канонические уравнения в канонических системах координат, их построение и свойства. Приведение уравнений линий второго порядка к каноническому виду, переход к канонической системе координат. Общая классификация линий второго порядка. Общее уравнение поверхности второго порядка. Классификация невырожденных поверхностей второго порядка: цилиндрические, эллиптические поверхности и гиперболические параболоиды. Цилиндрические поверхности, критерий цилиндрической поверхности с направляющей осью координат, невырожденные цилиндрические поверхности второго порядка, их свойства, их изображения в канонических системах координат. Поверхности вращения, критерий поверхности вращения с осью координат вращения. Преобразование сжатия. Эллиптические поверхности второго порядка, их свойства, их построения в канонических системах координат. Построение поверхностей методом сечений. Гиперболический параболоид, его свойства, его построение в канонической системе координат методом сечений. Приведение уравнений поверхностей второго порядка к каноническому виду в канонических системах координат, переход к канонической системе координат. Общая классификация линий второго порядка. Инварианты поверхностей второго порядка, определение таких поверхностей с помощью их инвариантов.

РАЗДЕЛ 4. Введение в математический анализ. Интегральное исчисление.

ТЕМА 4.1. Интегральное исчисление функций одной переменной.Первообразная функции. Неопределённый интеграл, необходимость его введения. Теорема о существовании первообразной, неопределённого интеграла. Операция интегрирования. Таблица интегралов. Арифметические свойства операции интегрирования, линейность этой операции (сохранение линейных комбинаций функций). Интегрирование по частям, замена переменных под знаком неопределённого интеграла. Теория интегрирования рациональных функций. Рациональные функции, интегрирование простейших рациональных функций, разложение произвольной рациональной функции на многочлен и простейшие рациональные функции, и её почленное интегрирование. Метод рационализации неопределённого интеграла. Интегралы от нерациональных функций основных видов. Задача о площади плоской фигуры. Общая схема построения всех интегралов I рода

13

(от скалярных функций по неориентированным фигурам). Основные общие свойства всех интегралов I рода, интегральные теоремы о среднем: первая формула среднего значения, первая формула среднего значения в интегральном виде. Определенный интеграл по Риману. Необходимое и достаточное условия интегрируемости по Риману. Теорема Барроу, формула Ньютона-Лейбница. Арифметические свойства определённого интеграла, его линейность (сохранение линейных комбинаций). Основные методы вычисления определенного интеграла, интегрирование по частям, замена переменных в определённом интеграле. Несобственные интегралы первого, второго и смешанного родов. Формулы Ньютона-Лейбница для несобственных интегралов. Признаки сходимости несобственных интегралов (сравнения, предельный).

ТЕМА 4.2. Векторные функции. Функции нескольких переменных. Интегральное исчисление функций нескольких переменных. Векторная функция скалярного аргумента, годограф. Предел, непрерывность, дифференцируемость векторной функции, свойства операций предельного перехода, дифференцируемости векторной функции, геометрический смысл первой, второй и производных высших порядков. Касательный вектор к линии, гладкая линия, её касательная и нормальная плоскость, кусочно гладкие линии. Криволинейный интеграл первого рода, его сведение к определённому интегралу, его свойства и вычисление. Криволинейный интеграл первого рода как преобразованный определённый интеграл. Функций нескольких переменных, общая теория. Основные определения: расстояние между точками, окрестности точек, внутренние, граничные, изолированные точки множества, ограниченные и неограниченные множества, связные и несвязные множества, открытые и замкнутые области, компакты. Определение функции нескольких переменных. Принцип распространение теории функций одной переменной на функции нескольких переменных. Пределы функций нескольких переменных, их свойства. Непрерывность функций нескольких переменных, её свойства. Свойства функций, непрерывных на областях, на компактах, теоремы Вейерштрасса, Больцано-Коши. Производные и дифференциалы функции нескольких переменных, частные и полные. Определение дифференцируемости функции нескольких переменных в безразмерной форме, необходимое и достаточное условия дифференцируемости. Производные сложных функций нескольких переменных, инвариантность формулы первого дифференциала. Производные и дифференциалы высших порядков, операторная форма их выражения. Теорема о существовании и дифференцируемости неявной функции. Теорема Шварца об условии равенства смешанных производных. Формулы Тейлора и Маклорена для функции нескольких переменных, выраженные через производные и в дифференциальной безразмерной форме. Приложения формулы Тейлора. Касательная плоскость и нормаль к поверхности, их уравнения. Дифференциальное исследование функций нескольких переменных. Поверхностный интеграл первого рода, его сведение к двойному, его

14

свойства и вычисление. Поверхностный интеграл первого рода как преобразованный двойной интеграл. Задача об объёме цилиндрического тела. Двойной интеграл, его сведение к повторному. Полярная система координат, двойной интеграл в этой системе. Тройной интеграл в декартовой системе координат, её координатные поверхности, его сведение к трёхкратному интегралу. Цилиндрическая система координат, её координатные поверхности, тройной интеграл в этой системе. Сферическая система координат, её координатные поверхности, тройной интеграл в этой системе. Понятие якобиана, вычисление тройного интеграла в произвольной трёхмерной системе координат (обобщённой цилиндрической, обобщённой сферической и др.). Представление об интегрировании в произвольном пространстве.

ТЕМА 4.3.Теория поля. Скалярное поле как функция нескольких переменных, его непрерывность, дифференцируемость. Производная скалярного поля по направлению, градиент, их свойства, геометрический смысл. Векторное поле, его непрерывность, дифференцируемость. Производная векторного поля, её свойства, геометрический смысл. Векторные линии поля, их геометрический смысл, их определение. Векторное поле. Задача о работе. Ориентированная линия в области векторного поля, способы задания такой ориентации. Линейный интеграл (или криволинейный интеграл 2-го рода), его вычисление, его сведение к определённому интегралу. Свойства криволинейного интеграла 2-го рода, общие и специальные. Двумерные (плоские) векторные поля. Формула Грина. Независимость криволинейного интеграла 2-го рода от пути интегрирования, критерии такой независимости. Нахождение функции по её полному дифференциалу. Задача о потоке. Ориентированная поверхность в области векторного поля, способы задания такой ориентации. Поток векторного поля (или поверхностный интеграл 2-ого рода), его вычисление, его сведение к поверхностному интегралу 1-го рода. Свойства поверхностного интеграла 2-го рода, общие и специальные. Теорема Остроградского-Гаусса. Дивергенция, её геометрический смысл, свойства. Теорема Остроградского-Гаусса в операторной форме, её приложения в физике. Ротор векторного поля, его физический смысл, вычисление. Циркуляция, её геометрический смысл. Теорема Стокса, её физический смысл. Эта теорема в операторной форме, её приложения в физике. Эта теорема как обобщение формулы Грина. Дифференциальные характеристики скалярных и векторных полей. Оператор Гамильтона «набла», его свойства. Дифференциальные операторы первого порядка, их выражение черезоператор Гамильтона. Дифференциальные операторы второго порядка, оператор Лапласа «дельта», его свойства. Потенциальные, соленоидальные, гармонические поля, функции. Уравнения Максвелла.

РАЗДЕЛ 5.

15

ТЕМА 5.1. Множество комплексных чисел. Множества, элемента множества, общие понятия. Отношения включения, подмножества, равенства множеств. Операции над множествами. Числовые множества. Множество действительных чисел. Множество комплексных чисел, необходимость их введения. Определение комплексного числа, геометрическое изображение. Арифметические операции над комплексными числами, их геометрические интерпретации, свойства. Формы записи комплексных чисел. Тригонометрическая форма комплексного числа, операции умножения и деления в тригонометрической форме, их геометрические интерпретации. Операции деления комплексных чисел, возведения в степень, извлечения корня, их геометрические интерпретации, свойства. Формула Эйлера

РАЗДЕЛ 6.Теория рядов.

ТЕМА 6.1. Числовые ряды. Числовая последовательность, числовой ряд, определения суммы ряда, сходимости ряда. Необходимый признак сходимости. Канонические числовые ряды (гармонический, обобщённый гармонический, ряд геометрической прогрессии и др.), их свойства. Почленные операции над сходящимися рядами (сложение, вычитание, умножение на константу и др.), и соответствующие операции над их суммами. Ассоциативность сходящегося ряда. Приоритет проблемы сходимости ряда. Знакопостоянные ряды, критерий сходимости знакопостоянного ряда (ограниченность частичных сумм). Теория знакоположительных рядов. Мажорирующие, минорирующие ряды. Относительные признаки сходимости (сравнения, предельный и др.). Абсолютные признаки сходимости числовых рядов (Коши, Даламбера, интегральный признак Коши-Маклорена и др.). Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость, примеры. Аналогия между абсолютно сходящимися рядами и конечными суммами (одинаковые свойства ассоциативности, коммутативности и д.р.). Особые свойства условно сходящихся рядов, теорема Римана об антикоммутативности условно сходящегося ряда. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница сходимости знакочередующегося ряда. Оценка приближения суммы знакочередующегося ряда. ТЕМА 6.2. Функциональные ряды, общая теория. Степенные ряды.Функциональных ряды, общая теория. Функциональная последовательность и функциональный ряд, сумма ряда, область сходимости функционального ряда. Определение понятия разложения функции в функциональный ряд. Определение области сходимости с помощью признаков сходимости числовых рядов (признаков Коши, Даламбера, Коши-Маклорена, Абеля, Дирихле, Лейбница и др.).Проблема сохранения свойств функций при бесконечном суммировании. Равномерная сходимость функциональной последовательности, функционального ряда, геометрический смысл. Мажоранта, миноранта функционального ряда. Теорема Вейерштрасса о равномерной сходимости функционального ряда. Сохранение свойств

16

функций равномерно сходящегося ряда (непрерывности, дифференцируемости, интегрируемости), почленные операции перехода к пределу, дифференцирования, интегрирования сумм равномерно сходящихся рядов. Признаки равномерной сходимости Абеля, Дирихле и др. Степенные ряды, общая теория. Теорема Абеля о сходимости степенного ряда. Промежуток сходимости, интервал сходимости, центр сходимости и радиус сходимости степенного ряда. Определение радиуса сходимости по признаку Коши, Даламбера, Коши-Маклорена и др. Исследование сходимости степенного ряда на концах интервала сходимости, определение его промежутка сходимости. Мажорируемость степенного ряда на любом отрезке из его интервала сходимости, его равномерная сходимость на таком отрезке. Абсолютная сходимость степенного ряда на его интервале сходимости, бесконечная дифференцируемость его суммы на интервале сходимости. Почленное дифференцирование и интегрирование степенного ряда на интервале его сходимости и сохранение его радиуса сходимости. Теорема о единственности степенного ряда. Ряды Тейлора, Маклорена. Остаточные члены формулы Тейлора в форме Пеано, Лагранжа, Коши и др. Достаточное условие разложимости функции в ряд Тейлора. Канонические разложения простейших элементарных функций в ряды Тэйлора, промежутки этих разложений, их поведение на концах этих промежутков. Получение разложений элементарных функций из имеющихся разложений посредством операций подстановки и почленных операций (сложения, вычитания, дифференцирования, интегрирования). Приложения степенных рядов в приближённых вычислениях функций, интегралов, решения дифференциальных уравнений.

ТЕМА 6.3. Ряды Фурье и интегралы Фурье. Ряды Фурье, общая теория. Критика теории степенных рядов, её неприменимость для разложений негладких и разрывных функций. Тригонометрический ряд. Тригонометрическая ортонормированная система. Ряд Фурье, коэффициенты Фурье. Равномерная сходимость ряда Фурье. Неравенство Бесселя. Сходимость ряда Фурье в смысле среднего квадратичного. Теорема о единственности тригонометрического ряда, теорема Эйлера о единственности ряда Фурье. Признаки разложения функции в ряд Фурье: условия Жордана-Дирихле, теорема Жордана-Дирихле. Обобщённые ряды Фурье, разложения функций с произвольным периодом, разложение на отрезке непериодических функций, разложения чётных и нечетных функций. Теоремы Вейрштрасса о равномерных приближениях непрерывных функций многочленами. Интеграл Фурье как обобщение ряда Фурье на непрерывное суммирование. Разложение функции в интеграл Фурье. Признаки разложения функции в интеграл Фурье: условия Жордана-Дирихле, теорема Жордана-Дирихле.

РАЗДЕЛ 7. Теория дифференциальных уравнений и систем дифференциальных уравнений.

17

ТЕМА 7.1. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Обыкновенные дифференциальные уравнения (ДУ) первого порядка и n-ого порядка, общая теория. Решение, интеграл ДУ n-ого порядка. Начальные условия, частное решение, интеграл ДУ n-ого порядка, поле интегральных кривых. Задача Коши для ДУ n-ого порядка, теорема Коши о существовании и единственности частного решения, особые точки ДУ n-ого порядка. Общее решение, общий интеграл ДУ n-ого порядка. Простейшие ДУ I-ого порядка, допускающие разрешимость в квадратурах: ДУ с разделяющимися переменными, однородные, линейные ДУ и метод вариации произвольной постоянной (метод Бернулли), уравнения Бернулли, уравнения в полных дифференциалах. Графический способ решения ДУ, метод изоклин. Простейшие ДУ n-ого порядка, допускающие понижение порядка, методы понижения порядка.Линейные ДУ n-ого порядка (ЛДУ), операторная форма ЛДУ, однородные ЛДУ (ЛОУ) и неоднородные (ЛНОУ). Теорема о структуре общего решения ЛДУ. Линейная комбинация, линейная зависимость и независимость системы функций, 1-ый критерий линейной зависимости. Линейная замкнутость множества всех решений ЛОУ. Вронскиан, необходимое условие линейной зависимости системы функций. Критерий линейной зависимости системы решений ЛОУ. Фундаментальная система решений ЛОУ, теорема о структуре общего решения ЛОУ. Теория решения ЛОУ с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение ЛОУ. Теорема о фундаментальной системе решений ЛОУ 2-ого порядка, n-ого порядка. Частное решение ЛНОУ, метод вариации произвольных постоянных. Общее решение ЛНОУ.

ТЕМА 7.2.Системы обыкновенных дифференциальных уравнений Теория решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений (СДУ). Функциональное n-мерное пространство. Операции над функциональными n-мерными векторами. Предел, непрерывность, дифференцируемость функциональных n-мерных векторов. СДУ общего вида, нормальные СДУ, векторная форма СДУ. Решение, интеграл ДУ n-ого порядка. Начальные условия, частное решение, интеграл СДУ, поле интегральных кривых. Задача Коши для СДУ, теорема Коши о существовании и единственности частного решения, особые точки СДУ. Общее решение, общий интеграл СДУ. Решение нормальных СДУ методом исключения. Системы линейных дифференциальных уравнений (СЛДУ), однородные СЛДУ (СЛОУ) и неоднородные (СЛНОУ). Матрица системы, СЛДУ в операторной форме. Теорема о структуре общего решения ЛСДУ. Теория решения СЛОУ. Линейная комбинация, линейная зависимость и независимость системы функциональных векторов, 1-ый критерий линейной зависимости. Линейная замкнутость множества всех решений СЛОУ. Вронскиан, необходимое условие линейной зависимости системы функций. Критерий линейной зависимости системы решений СЛОУ. Фундаментальная система решений СЛОУ, теорема о структуре общего решения СЛОУ. Вронскиан, необходимое условие линейной зависимости системы

18

функциональных векторов. Критерий линейной зависимости системы решений СЛОУ. Фундаментальная система решений СЛОУ, Теорема о структуре общего решения СЛОУ. Теория решения СЛОУ с постоянными коэффициентами. Матрица СЛОУ, характеристическое уравнение. Связь между нетривиальными решениями СЛОУ и собственными значениями и собственными векторами матрицы СЛОУ. Общие решения СЛОУ с линейно независимыми собственными векторами её матрицы, с попарно различными собственными значениями её матрицы. Теорема о фундаментальной системе решений СЛОУ. Частное решение СНОУ, метод вариации произвольных постоянных. Общее решение СНОУ.

РАЗДЕЛ 8. Прикладная математика.

ТЕМА 8.1. Уравнения математической физики. Дифференциальные уравнения в частных производных (ДУЧ), основные понятия, частное решение, начальные, граничные, краевые условия, задача Коши, теорема Коши, общее решения. Классификация ДУЧ 2-ого порядка, уравнения эллиптического, гиперболического и параболического типа, канонические ДУЧ этих типов. Основные уравнения математической физики, волновые уравнения, уравнения теплопроводности Фурье, уравнение Лапласа. Задача Штурма-Луивилля. Линейные ДУЧ 2-ого порядка, однородные и неоднородные. Волновое уравнения. Начальные, граничные, краевые условия, задача Коши для волнового уравнения. Решение волнового уравнения методом разделении переменных Фурье для струны с неудалёнными концами. Решение волнового уравнения методом Даламбера для струны с удалёнными концами, с одним удалённым концом. Уравнение теплопроводности. Решение уравнений теплопроводности методом разделения переменных Фурье. Уравнение Лапласа, краевая задача Коши, задачи Дирихле, Неймана.

РАЗДЕЛ 9. Теория вероятностей. Математическая статистика.

ТЕМА 9.1. Теория вероятностей. Теория вероятностей, общая теория. Критика детерминизма. Основное вероятностное явление. Теория случайных событий. Базовые представления о вероятности: частота, статистическая вероятность, геометрическая вероятность. Построение понятия классической вероятности: массовый опыт, достоверные, невозможные и случайные события в массовом опыте, операции над ними, их основные свойства, диаграммы Эйлера-Венна, полная группа событий, пространство элементарных событий, разложение событий на элементарные, сигма-алгебра событий в массовом опыте, вероятностное пространство, принцип равновозможности, классическая вероятность. Основные функции конечной комбинаторики. Несовместимые события. Основные свойства вероятности: свойства неотрицательности, нормированности и аддитивности (для несовместимых событий). Свойства расширенной аддитивности, монотонности вероятности, их обобщения. Условная вероятность, теорема о выражении условной вероятности.

19

Независимость событий, теорема о симметричности независимости. Теоремы о мультипликативности вероятности (для независимых событий), о расширенной мультипликативности, её обобщения. Полная система гипотез, формула полной вероятности, формула Бейеса вероятности гипотез. Вероятностная аксиоматика Колмогорова, её геометрическая интерпретация, геометрическая вероятность. Последовательность независимых испытаний Бернулли, распределение и формула Бернулли. Критика формулы Бернулли, её неприменимость в реальных практических задачах. Асимптотическое приближение функций. Функция и кривая Гаусса, их свойства. Локальная теорема Муавра–Лапласа. Функция и кривая Лапласа, их свойства. Интегральная теорема Муавра–Лапласа. Вероятность отклонения частоты от вероятности. Закон больших чисел в форме Бернулли, сходимость частоты к вероятности по вероятности. Корректное представление о статистической вероятности. Теория случайных величин. Определение понятия случайной величины (СВ), её интегральной функции распределения (ИФР) и закона распределения. Основные свойства ИФР (неубывание, непрерывность слева, нулевая и единичная асимптоты). Вероятность попадания СВ в промежуток. Простейшая классификация случайных величин. Дискретные случайные величины (ДСВ), их ИФР, ряд, кривая и многоугольник распределения, полигон, гистограмма. Основные дискретные распределения: биномиальное, Пуассона, геометрическое, гипергеометрическое и др. Простейший поток событий. Непрерывные случайные величины (НСВ), их ИФР, дифференциальные функции распределения (ДФР), или плотности распределения. Основные свойства ДФР: неотрицательность, кусочная непрерывность, единичность несобственного интеграла. Вероятность попадания НСВ в промежуток. Вероятность любого значения НСВ. Основной парадокс Теории вероятностей: возможные значения невозможны (для НСВ). Его истолкование. Основные непрерывные распределения: нормальное, равномерное, показательное и др. Задача о безотказной работе. Нормальное распределение, нормальная кривая, их свойства, нормальная кривая как преобразование кривой Гаусса. ИФР нормальной СВ. Локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа в форме асимптотического приближения биномиального распределения к нормальному. Влияние параметров «a» и «сигма» на нормальное распределение. Вероятность попадания НСВ в промежуток. Вероятность отклонения НСВ от значения своего параметра «a» . Правило «трёх сигм». Проблема числовых характеристик случайных величин. Задача о среднем значении ДСВ. Математические ожидания ДСВ и НСВ, аналогия между ними. Принцип перевода теории дискретных случайных величин в теорию непрерывных случайных величин (замена ряда распределения на дифференциальную функцию распределения). Математические ожидания основных распределений: биномиального, нормального, пуассоновского, равномерного, показательного и др. Основные свойства математического ожидания. Арифметические операции над случайными величинами и математические ожидания получающихся случайных величин. Линейность математического ожидания (сохранение линейных комбинаций). Функции от

20

случайных величин и математические ожидания получающихся случайных величин. Мода, медиана. Необходимость введения меры рассеяния случайной величины. Дисперсия, среднее квадратическое отклонение. Вычисление дисперсии ДСВ и НСВ. Дисперсии, среднеквадратические отклонения основных распределений: биномиального, нормального, пуассоновского, равномерного, показательного и др. Арифметические операции над случайными величинами и дисперсии, среднеквадратические отклонения получающихся случайных величин. Функции от случайных величин и дисперсии, среднеквадратические отклонения получающихся случайных величин. Законы больших чисел, общее понятие. Неравенство Чебышева, закон больших чисел в форме Чебышева, в форме Хинчина, в форме Колмогорова и др. Центральная предельная теорема, общее понятие. Центральная предельная теорема в форме Чебышева, в форме Ляпунова и др. Двумерные и многомерные СВ, их интегральные функции распределения, законы распределения и дифференциальные функции распределения, вероятности попадания двумерных СВ в область. Теория корреляции. Корреляционный момент, коэффициент корреляции случайных величин, коррелированность случайных величин, его соотношение с зависимостью. Свойства коэффициента корреляции, способы его вычисления. Функциональные и статистические, корреляционные зависимости между случайными величинами функции регрессии. Определение функции регрессии, метод наименьших квадратов. Уравнение линейной регрессии.

ТЕМА 9.2. Математическая статистика. Математическая статистика, общая теория. Основные понятия математической статистики: выборка как ряд случайных величин и как ряд их значений, выборочная и генеральная совокупность. Теоретические и выборочные (эмпирические) понятия. Точечные оценки неизвестных теоретических параметров распределения (статистики) по выборочным данным, требования к оценкам, несмещённость, состоятельность, эффективность, асимптотическая эффективность и др. Оценка математического ожидания, средняя выборочная, её свойства. Принцип перевода теории вероятности в теорию математической статистики (замена математических ожиданий на средние выборочные). Двумерные, многомерные выборки. Теория корреляции в многомерных пространствах. Выборочный корреляционный момент, коэффициент корреляции между выборками, коррелированность выборок. Свойства выборочного коэффициента корреляции, способы его вычисления. Функциональные и статистические, корреляционные зависимости между выборками, функции регрессии. Определение функции регрессии, метод наименьших квадратов. Уравнение линейной регрессии. Проверка статистических гипотез, гипотезы простая и конкурирующая, проверка простой гипотезы, критерии отклонений Пирсона, Колмогорова, Мизеса, критерии согласия. Критерий «Хи квадрат» Пирсона в случае простой гипотезы. Методы получения оценок, метод максимального правдоподобия, метод минимизации отклонения выборочной функции распределения от эмпирической, критерии

21

отклонения Пирсона, Колмогорова, Мизеса и др. Интервальные оценки теоретических параметров распределения, доверительный интервал, коэффициент доверия. Построение доверительного интервала для математического ожидания при известной дисперсии нормальной СВ, построение такого интервала при неизвестной дисперсии нормальной СВ. Проверка статистических гипотез.

РАЗДЕЛ 10. Теория функций комплексной переменной.

ТЕМА 10.1. Функции комплексной переменной. Функции комплексной переменной, общая теория. Комплексные числа, повторение. Сфера Римана. Понятие функции комплексной переменной (ФКП), действительная и мнимая часть ФКП Ряды комплексной переменной. Основные ФКП, их представление в форме рядов. Гиперболические функции и их свойства. Предел и непрерывность функции комплексной переменной. Дифференцируемость ФКП, условия дифференцируемости Коши-Римана. Свойства производной ФКП. Аналитические функции, регулярные, особые точки ФКП, свойства аналитических функций, принцип максимума, теорема Луивилля, теорема единственности и др. Интегрирование ФКП, условия интегрируемости, сведение интеграла от ФКП к интегралу 2-ого рода, выражение интеграла от ФКП в рядовой форме, оценка интеграла. Разложение ФКП в ряд Тейлора. Ряды Лорана. Классификация особых точек, поведение аналитических функций на бесконечности. Вычеты, теорема Коши о вычетах для интеграла от ФК. Аналитическое продолжение, принцип аналитического продолжения, принцип симметрии Шварца. Обратные функции, Римановы поверхности. Конформные отображения. Основные конформные отображения, дробно линейные отображения, логарифмические и др.

РАЗДЕП 11. Операционное исчисление.

ТЕМА 11.1.Преобразование Лапласа. Преобразование Лапласа, основные понятия. Оригинал и изображение, теорема о существовании изображения. Арифметические свойства преобразования Лапласа, теоремы линейности, подобия, смещения, запаздывания, опережения. Дифференциальные и интегральные свойства преобразования Лапласа, теоремы о дифференцировании интеграла по параметру, о дифференцировании, интегрировании оригинала, теоремы о дифференцировании, интегрировании изображения.

ТЕМА 11.2.Обратное преобразование Лапласа. Обратное преобразование Лапласа. Теорема обращения, лемма Жордана. Теоремы о нахождении оригинала, о разложении оригинала в ряд. Оригиналы рациональных изображений. Нахождение оригиналов функций по их изображению. Решение дифференциальных уравнений операционным методом. Решение ЛДУ 2-ого и высших порядков, с начальными условиями

22

в нуле, в сдвинутой точке. Операционное решение систем дифференциальных уравнений. Приложения операционного исчисления.

РАЗДЕЛ 12. Элементы теории графов.

ТЕМА 12.1. Элементы теории графов. Неориентированные графы: вершины, ребра, степень, цепь, отношение достижимости, ациклический граф. Ориентированные графы: смежные вершины, исходящие и заходящие дуги, путь. Свойства отношения достижимости в графах. Теорема о существовании простой цепи. Подграфы неориентированных и ориентированных графов. Связность и компонента связности графа. Сильная и слабая связность графов. Способы представления графов: матрица инциденции, булева матрица. Неориентированные и ориентированные деревья: потомок вершины, предок вершины, сын вершины, лист. Неориентированный и ориентированный лес. Поддерево, куст, высота ориентированного дерева, бинарное дерево. Теорема о высоте бинарного ориентированного дерева. Остовной лес. Теорема о существовании максимального остовного леса. Задача Штейнера. Алгоритм Краскала. Метолы систематического обхода вершин графа. Алгоритм обхода или поиска. Поиск в глубину и поиск в ширину. Фундаментальный цикл графа. Задача о путях во взвешенных ориентированных графах. Задача построения транзитивного замыкания ориентированного графа. Задача о кратчайших расстояниях. Задача о перечислении путей. Изоморфизм, гомоморфизм и автоморфизм графов. Дополнения графов. Теорема Фрухта. Топографическая сортировка вершин графа. Ориентированная сеть. Уровень вершины сети. Порядковая функция сети. Алгоритм Демукрона вычисления порядковой функции сети. Связь ориентированной сети и упорядоченного множества. Элементы цикломатики в теории графов. Теорема о базисе пространства циклов. Циклический и коциклический ранги графов.

РАЗДЕЛ 13.Численные методы.

ТЕМА 13.1. Численные методы. Отделение корней уравнения. Графический метод отделения корней уравнения. Метод исследования отрезков. Приближенное решение алгебраических и трансцендентных уравнений. Правило пропорциональных частей. Метод касательных. Комбинированное применение методов хорд и касательных. Метод итераций. Интерполирование функций. Интерполяционный полином Лагранжа. Интерполяционная формула Ньютона. Приближенное вычисление определенных интегралов. Метод прямоугольников. Метод трапеций. Метод Симпсона. Вывод формулы парабол. Приближенное решение дифференциальных уравнений. Метод Эйлера. Метод Рунге – Кутта. Номограммы. Решение квадратных уравнений и уравнений высшей степени с помощью номограмм.

23

ТЕМА 13.2. Численные методы оптимизации. Методы оптимизации. Основные определения: критерий оптимальности, оптимальный вектор. Задачи условной и безусловной оптимизации. Классификация методов оптимизации: косвенные методы оптимизации и прямые методы оптимизации. Общая характеристика методов нулевого порядка. Метод прямого поиска. Метод Нелдера-Мида. Метод Розенброка. Метод параллельных касательных.

V.ИНФОРМАЦИОННО-МЕТОДИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

5.1. ЛИТЕРАТУРАОСНОВНАЯ:

1. Бакушинский, А.Б. Некорректные задачи. Численные методы и приложения / А.В. Гончарский – М.: Изд-во Моск. ун-та, 1989. – 199 с.

24

2. Белько, И.В. Теория вероятностей и математическая статистика. Примеры и задачи: учебное пособие / И.В. Белько, Г.П. Свирид; под редакцией К.К. Кузьмичаю. – Мн.: Новое издание, 2007. – 251 с.

3. Буснюк, Н.Н. Математическое моделирование: уч. пособие / Н.Н. Буснюк, А.А. Черняк – Мн.: Беларусь, 2014. – 214 с.

4. Владимирский, Б.М. Математика. Общий курс / Б.М. Владимирский, А.Б Горстко, Я.М. Ерусалимский. – СПб.: «Лань», 2002. – 954 с.

5. Выгодский, М.Я. Справочник по высшей математике / М.Я. Выгодский – М.: ООО “Издательство Астрель”, 2002. – 992 с.

6. Галушкина, Ю.И. Конспект лекций по дискретной математике / Ю.И. Галушкина, А.Н. Марьямов. – М.: Аирис-пресс, 2007. – 176 с.

7. Галкин, С.В. Теория функций комплексного переменного и операционное исчисление: уч. пособие для вузов / С.В. Галкин – М.: МГТУ им. Баумана Н.Э., 2011. – 240 с.

8. Гончаров, В.А. Методы оптимизации: уч. пособие / В.А. Гончаров – М.: Высшее образование, 2009. – 191 с.

9. Гончаренко, И.А. Высшая математика. Практикум. Ч. 1 / И.А. Гончаренко, В.С. Отчик, В.Н. Сережкин, В.И. Терешенков – Мн.: РЦС и Э, 2011. – 183 с.

10. Гончаренко, И.А. Высшая математика. Практикум. Ч. 2 / И.А. Гончаренко, В.С. Отчик, В.Н. Сережкин, В.И. Терешенков – Мн.: РЦС и Э, 2011. – 179 с.

11. Гусак, А.А. Высшая математика. В 2-х т. Т. 1.: Учебник для студентов вузов/ А.А. Гусак – Мн.: ТетраСистемс, 2003. – 544 с.

12. Гусак, А.А. Высшая математика. В 2-х т. Т. 2.: Учебник для студентов вузов / А.А. Гусак – Мн.: ТетраСистемс, 2003. – 448 с.

13. Гусак, А.А. Аналитическая геометрия и линейная алгебра: справочное пособие к решению задач/ А.А. Гусак – Мн.: ТетраСистемс, 2003. – 288 с.

14. Гусак, А.А. Математический анализ и дифференциальные уравнения: справочное пособие к решению задач/ А.А. Гусак – Мн.: ТетраСистемс, 2003. – 416 с.

15. Гусак, А.А. Теория вероятностей: справочное пособие к решению задач / А.А. Гусак, Е.А. Бричикова – Мн.: ТетраСистемс, 2009. – 288 с.

16. Карпук, А.А. Высшая математика для технических университетов. Интегральное исчисление функций одной переменной / А.А. Карпук – Мн.: Харвест, 2009. – 288\с

17. Колмогоров, А.Н. Элементы теории функций и функционального анализа / А.Н. Колмогоров, С.В.Фомин. – 7-е изд. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. – 572 с.

18. Лапчик, М.П. Численные методы: уч. пособие для вузов / М.П. Лапчик, М.И. Рагулина, Е.К. Хеннер, под редакц. М.П. Лапчика – М.: Издательский центр «Академия», 2004. – 384 с.

19. Лунгу, К.Н. Сборник задач по высшей математике 1 курс / К.Н. Лунгу, Д.Т. Письменный. – 8-е издание. – М.: Айрис пресс, 2009.- 576с.

20. Лунгу, К.Н. Сборник задач по высшей математике 2 курс / К.Н. Лунгу, Д.Т. Письменный. – 7-е издание. М.: Айрис пресс, 2009.- 590с

25

21. Мацкевич, И.П. Высшая математика. Теория вероятностей и математическая статистика / И.П. Мацкевич, Г.П. Свирид. – Мн: Вышэйшая школа, 1993. – 269 с.

22. Новиков, Ф.А., Дискретная математика: Учебник для вузов. Стандарт третьего поколения / Ф.А. Новиков. – СПб.: Питер, 2011. – 384 с.

23. Отчик, В.С. Высшая математика. Курс лекций. Ч. 2. Основы линейной алгебры и аналитической геометрии. / В.С. Отчик, В.Н. Сережкин – Мн.: ЦНИИТУ, 2005. – 150 с.

24. Отчик, В.С. Высшая математика. Курс лекций. Ч. 3. Функции нескольких переменных. Кратные интегралы. Ряды. Дифференциальные уравнения/ В.С. Отчик, В.Н. Сережкин – Мн.: ЦНИИТУ, 2007. – 139 с.

25. Пантелеев А.В. Обыкновенные дифференциальные уравнения в примерах и задачах: Учебное пособие / А.В. Пантелеев, А.С. Якимова, А.В. Босов – М.: Высшая школа, 2001. – 376 с.

26. Петрова, В.Т. Лекции по алгебре и геометрии: Учебник для вузов: часть 1 / В.Т. Петрова. – М.: Гуманит. изд. центр ВЛАДОС, 1999 – 205 с.

27. Петрова, В.Т. Лекции по алгебре и геометрии: Учебник для вузов: часть 2 / В.Т. Петрова. – М.: Гуманит. изд. центр ВЛАДОС, 1999 – 210 с.

28. Письменный, Д.Т. Конспект лекций по высшей математике, 1 часть / Д.Т. Письменный .– 5-е изд. – М.: Рольф, 2001. – 306 с.

29. Письменный, Д.Т. Конспект лекций по высшей математике, 2 часть / Д.Т. Письменный . – М.: Айрис-пресс, 2005. – 251 с.

30. Рябушко, А.П., Индивидуальные задания по высшей математике часть 1 / А.П. Рябушко, В.В. Бархатов, В.В. Державец, И.Е. Юруть. - Мн.: Выш. шк., 2008.– 300 с.

31. Рябушко, А.П., Индивидуальные задания по высшей математике часть 2 / А.П. Рябушко, В.В. Бархатов, В.В. Державец, И.Е. Юруть. - Мн.: Выш. шк., 2007. – 394 с.

32. Рябушко, А.П. Индивидуальные задания по высшей математике часть 3 /А .П. Рябушко, В.В. Бархатов, В.В. Державец, И.Е. Юруть. - Мн.: Выш. шк., 2007. – 380 с.

33. Рябушко, А.П. Индивидуальные задания по высшей математике часть 4 / А.П. Рябушко, В.В. Бархатов, В.В. Державец, И.Е. Юруть. - Мн.: Выш. шк., 2007. – 356 с.

34. Сережкин, В.Н. Элементы теории вероятностей и математической статистики / В.Н. Сережкин, В.И. Терешенков. – Мн.: Центрсистем, 1998. – 140с.

ДОПОЛНИТЕЛНАЯ:35. Алексеева, Е. В. Численные методы оптимизации: Учеб.пособие / Е. В.

Алексеева, О. А. Кутненко, А. В. Плясунов. – Новосиб. ун-т. Новосибирск, 2008. – 128 с.

36. Арасланов Ш.Ф. Теория графов. Лекции и практические занятия: учеб.пособие / Ш.Ф. Арасланов. – Казань: Изд-во Казанск. гос. архитект.-строит. ун-та, 2013. – 86 с.

37. Арсенин, В.Я. Методы математической физики и специальные

26

функции / В.Я. Арсенин – М.: Наука, 1974. – 432 с.38. Вержбицкий, В.М. Численные методы (линейная алгебра и

нелинейные уравнения): учебное пособие для вузов. – М.: Высш. школа, 2000. – 266с.

39. Вентцель, Е.С. Теория вероятностей/ Е.С. Вентцель. – Mинск: Высшая школа, 2001.- 212 с.

40. Вентцель, Е.С. Задачи и упражнения по теории вероятностей/ Е.С. Вентцель, Л.А. Овчаров. - Mосква: Высшая школа, 2000.-478 с.

41. Воднев, В.Т. Основные математические формулы / В.Т. Воднев, А.Ф. Наумович, Н.Ф. Наумович; под ред. Ю.С. Богданова – Мн.: Выш. школа, 1980. – 336 с.

42. Данко, П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. Часть1 / П.Е. Данко, А.Г. Попов. – 7-е издание. – М.: ОНИКС, Мир и Образование, 2009.-368с.

43. Данко, П.Е., Высшая математика в упражнениях и задачах. Часть2 / П.Е. Данко, А.Г. Попов. – 7-е издание. – М.: ОНИКС, Мир и Образование, 2009.-368с.

44. Жевняк, Р.М. Высшая математика. В 2-х ч. Ч. 2. Учебное пособие для втузов / Р.М. Жевняк, А.А. Карпук – Мн.: Выш. шк., 1985. – 221 с.

45. Петровский, И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений / И.Г. Петровский – М.: Наука, 1970. – 280 с.

46. Понтрягин, Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения / Л.С. Понтрягин – М.: Наука, 1970. – 332 с.

47. Пискунов, С.П. Дифференциальное и интегральное исчисления. В 2-х т. Т. 1.: для втузов / С.П. Пискунов – М.: Наука, 1978. – 456 с.

48. Фролов, Н.А. Курс математического анализа / Н.А. Фролов. – Лн.: Печатный двор, 1959. – 351 с.

49. Шнейдер, В.Е. Краткий курс высшей математики. В 2-х т. Т. 1. : Учебное пособие для втузов / В.Е. Шнейдер, А.И. Слуцкий, А.С. Шумов. – М.: Высш. школа, 1978. – 384 с.

НОРМАТИНО-ПРАВОВАЯ ДОКУМЕНТАЦИЯ:50. Руководство по обучению. Часть D-1, Техническое обслуживание

воздушных судов DОС 7192 АN/857, утверждено Генеральным секретарем международной организации гражданской авиации. Издание второе, 2003г.

5.2. ПЕРЕЧЕНЬ ЗАДАНИЙ УПРАВЛЯЕМОЙ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ КУРСАНТОВ

1-37 04 01 «Техническая эксплуатация воздушных судов и двигателей»1. Множества и отображения. Алгебра подмножеств. Функции.2. Свойства функций непрерывных на отрезке. Исследование

непрерывности функций. 3. Интегрирование рациональных и иррациональных функций

27

4. Дифференцирование неявных функций нескольких переменных.5. Неоднородные системы линейных дифференциальных уравнений с

постоянными коэффициентами.6. Мера плоских множеств. Общее понятие меры. Измеримые функции.

1-37 04 02 «Техническая эксплуатация авиационного оборудования»;1. Числовые множества. Отрезок, интервал, промежуток.2. Теорема Коши. Правило Лопиталя – Бернулли.3. Физические приложения определённого интеграла.4. Дифференцирование неявных, сложных функций многих переменных.5. Неоднородные системы линейных дифференциальных уравнений с

постоянными коэффициентами. 1-44 01 05 «Организация движения и обеспечение полетов на воздушном транспорте»:

1. Поверхности в пространстве. 2. Полное исследование функции одной переменной.3. Формула Тейлора для некоторых функций.4. Контрольная работа. Физические приложения определённого интеграла.

5. Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных.6. Приложения тройного интеграла.

5.3. ПЕРЕЧЕНЬ СРЕДСТВ ДИАГНОСТИКИ РЕЗУЛЬТАТОВ УЧЕБНОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ

1. Тесты и тестовые задания2. Решение ситуационных задач3. Выборочный опрос4. Разноуровневые проверочные работы (мини-контрольные)5. Зачет6. Экзамен

5.4. ПЕРЕЧЕНЬ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ

1-37 04 01 «Техническая эксплуатация воздушных судов и двигателей»

1 Понятие функции. Основные элементарные функции и их графики.2 Арифметические действия над комплексными числами.3 Определители квадратных матриц. Свойства определителей.4 Обратная матрица. Ранг матрицы.5 Системы линейных алгебраических уравнений.6 Системы m линейных уравнений с n переменными. 7 Системы линейных однородных уравнений. 8 Смешанное произведение трёх векторов. Векторное пространство. 9 Условия параллельности и перпендикулярности прямых. Расстояние от

точки до прямой.10 Плоскость в пространстве. Взаимное расположение двух плоскостей.

28

11 Прямая в пространстве, её уравнения.12 Прямая и плоскость в пространстве, их взаимное расположение. 13 Основные теоремы о пределах. Замечательные пределы.14 Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Сравнение

бесконечно малых функций.15 Непрерывность функций. Точки разрыва функции.16 Понятие производных высших порядков.17 Основные теоремы дифференциального исчисления.18 Теорема Коши. Правило Лопиталя – Бернулли.19 Возрастание и убывание функции. Экстремум функции.20 Выпуклость и вогнутость функции. Точки перегиба.21 Формула Тейлора для некоторых функций.22 Методы интегрирования неопределённого интеграла.23 Интегрирование рациональных и иррациональных функций.24 Интегрирование тригонометрических функций.25 Методы вычисления определённых интегралов.26 Геометрические и физические приложения определённого интеграла.27 Несобственные интегралы 2-го рода.28 Предел и непрерывность функций нескольких переменных.29 Полный дифференциал функции нескольких переменных.30 Дифференцирование сложных функций нескольких переменных.31 Производная по направлению. Градиент скалярного поля.32 Формула Тейлора для функций нескольких переменных.33 Экстремум функции нескольких переменных.34 Замена переменных в двойном интеграле. Двойной интеграл в полярных

координатах.35 Применение двойного интеграла.36 Понятие тройного интеграла.37 Замена переменных в тройном интеграле. Приложения тройного

интеграла.38 Криволинейные интегралы1-го и 2-го рода, свойства.39 Понятия интегралов по поверхности. Поверхностный интеграл 1-го

рода.40 Поверхностные интегралы 2-го рода. Нахождение функции по её

полному дифференциалу.41 Однородные дифференциальные уравнения первого порядка.42 Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах.43 Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.44 Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с

постоянными коэффициентами.45 Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго

порядка с постоянными коэффициентами.46 Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго

порядка со специальной правой частью.47 Линейные однородные и неоднородные уравнения n–го порядка с

постоянными коэффициентами.

29

48 Контрольная работа. Однородные системы линейных дифференциальных уравнений.

49 Дифференцирование функции комплексного переменного.50 Основные элементарные функции комплексного переменного.51 Интегрирование функций комплексного переменного.52 Контрольная работа. Ряд Тэйлора. Особые точки.53 Вычеты и их приложения.54 Евклидовы пространства.55 Линейные операторы.56 Интеграл Лебега. Геометрический смысл интеграла Лебега.57 Векторное поле. Циркуляция и ротор векторного поля.58 Оператор Гамильтона. Оператор Лапласа.59 Специальные виды векторных полей, их основные характеристики.60 Уравнение теплопроводности в пространстве.61 Теплопроводность в стержне, концы которого теплоизолированы62 Уравнения Лапласа и Пуассона. Задача Дирихле.63 Задача Дирихле для круга. Интеграл Пуассона.64 Основные методы решения задачи о нахождении оригинала по данному

изображению.65 Операционный метод решения линейных дифференциальных

уравнений и их систем.66 Пути во взвешенных ориентированных графах.67 Деревья.68 Раскраски графов. Расстояния в графах.69 Фундаментальные циклы и разрезы.70 Операции над графами. Внутренняя и внешняя устойчивость.

Эйлеровы циклы. Алгоритмы построения эйлерова цикла.71 Гамильтовы циклы.72 Решение систем линейных и нелинейных уравнений.73 Приближение и интерполяция функций.74 Численное дифференцирование и интегрирование.75 Приближённое вычисление обыкновенных дифференциальных

уравнений.76 Методы сужения интервала неопределённости.77 Методы с использованием производных целевой функции.78 Классификация методов безусловной оптимизации. Градиентные

методы безусловной оптимизации.79 Прямые методы безусловной оптимизации многомерных задач.80 Симплекс – метод и метод последовательного уточнения оценок.81 Методы решения транспортной задачи.82 Методы решения нелинейных задач при ограничениях.83 Задачи нелинейного программирования, приводимые к задачам

линейного программирования.84 Частота события и её свойства. Статистическое определение

вероятности.85 Условная вероятность. Теоремы умножения вероятностей.

30

86 Методы исчисления вероятностей.87 Схема испытаний Бернулли. Предельные теоремы Лапласа.88 Закон больших чисел.89 Плотность распределения случайной величины.90 Математическое ожидание, дисперсия случайной величины.91 Числовые характеристики случайных величин.92 Функции случайных величин. Совместное распределение двух

случайных величин.93 Непрерывные двумерные случайные величины.94 Независимые случайные величины. Ковариация двух случайных

величин. Коэффициент корреляции.95 Распределение Пуассона.96 Равномерное распределение случайной величины.97 Нормальное распределение случайной величины.98 Графические изображения вариационных рядов, их характеристики.99 Вычисления числовых характеристик вариационных рядов.100 Точечные оценки параметров генеральной совокупности, их

характеристики.101 Основные статистические распределения.102 Доверительная вероятность. Доверительный интервал.103 Гипотезы о значениях числовых характеристик.104 Проверка статистических гипотез.105 Критерии согласия.106 Представление данных в корреляционном анализе.107 Регрессионный анализ.108 Множественный регрессионный анализ.

1-37 04 02 «Техническая эксплуатация авиационного оборудования»;1 Сложные функции. Гиперболические функции. Целые и дробно-

рациональные функции.2 Понятие элементарной функции. Преобразование графиков.3 Основные теоремы о пределах.4 Замечательные пределы.5 Сравнение бесконечно малых функций.6 Непрерывность функций. Точки разрыва функции.7 Свойства функций непрерывных на отрезке.8 Исследование непрерывности функций.9 Производная основных элементарных функций.10 Понятие производных высших порядков.11 Выпуклость и вогнутость функции. Точки перегиба.12 Полное исследование функции одной переменной.13 Дифференциал сложной функции.14 Формула Тейлора для некоторых функций.15 Интегрирование рациональных функций.16 Интегрирование иррациональных функций.17 Интегрирование тригонометрических функций.

31

18 Методы вычисления определённых интегралов.19 Геометрические приложения определённого интеграла.20 Признаки сходимости и расходимости несобственных интегралов 1-го

рода.21 Несобственные интегралы 2-го рода.22 Арифметические действия над комплексными числами.23 Действия над комплексными числами.24 Обратная матрица.25 Ранг матрицы.26 Системы n линейных уравнений с n переменными. 27 Системы m линейных уравнений с n переменными. 28 Системы линейных однородных уравнений. 29 Скалярное и векторное произведение двух векторов.30 Смешанное произведение трёх векторов.31 Векторное пространство. Размерность и базис векторного пространства.32 Условия параллельности и перпендикулярности прямых. Расстояние от

точки до прямой.33 Линии второго порядка. Эллипс. Гипербола. Парабола.34 Взаимное расположение двух плоскостей.35 Прямая в пространстве, её уравнения. 36 Прямая и плоскость в пространстве, их взаимное расположение.37 Предел и непрерывность функций многих переменных.38 Полный дифференциал функции нескольких переменных.39 Экстремум функции нескольких переменных.40 Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных.41 Двойной интеграл в прямоугольных декартовых координатах.42 Замена переменных в двойном интеграле. Двойной интеграл в полярных

координатах.43 Замена переменных в тройном интеграле.44 Криволинейные интегралы1-го и 2-го рода, свойства.45 Связь между криволинейными интегралами 1-го и 2-го рода.46 Поверхностные интегралы 1-го и 2-го рода.47 Однородные дифференциальные уравнения первого порядка.48 Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах.49 Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.50 Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с

постоянными коэффициентами.51 Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго

порядка с постоянными коэффициентами.52 Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго

порядка со специальной правой частью.53 Линейные однородные и неоднородные уравнения n–го порядка с

постоянными коэффициентами.54 Однородные системы линейных дифференциальных уравнений.55 Скалярное поле. Производная скалярного поля по направлению,

градиент

32

56 Характеристики скалярного поля57 Приложения производной по направлению и градиента58 Вычисление криволинейных интегралов59 Поверхностные интегралы60 Вычисление поверхностного интеграла второго рода61 Векторное поле. Дивергенция векторного поля.62 Приложения дивергенции 63 Циркуляция векторного поля64 Ротор векторного поля. Свойства ротора.65 Инвариантное определение ротора. Теорема Стокса66 Приложения ротора. 67 Поток векторного поля и способы его вычисления68 Характеристики векторного поля69 Векторные дифференциальные операции первого порядка70 Векторные дифференциальные операции второго порядка71 Правила действий с оператором Гамильтона и Лапласа 72 Потенциальное векторное поле73 Соленоидальное поле. Гармоническое поле74 Электромагнитное поле75 Признаки сходимости рядов с положительными членами76 Сходимость числовых рядов с положительными членами77 Абсолютная и условная сходимость числовых рядов78 Действия над числовыми рядами. Сходимость числовых рядов 79 Степенные ряды80 Равномерная сходимость степенных рядов81 Действия со степенными рядами82 Непрерывность суммы степенных рядов83 Ряд Тейлора. Ряд Маклорена84 Приложения рядов 85 Разложение функций в ряд Фурье. Теорема Дирихле 86 Разложение в ряд Фурье 2π-периодических функций87 Ряд Фурье для произвольных интервалов88 Представление непериодической функций рядом Фурье89 Комплексная форма ряда Фурье90 Представление функций интегралами Фурье91 Интеграл Фурье в комплексной форме92 Простейшие уравнения математической физики в частных производных93 Линейные уравнения математической физики94 Уравнение колебаний струны 95 Методы решения уравнения колебаний струны96 Волновое уравнение97 Колебания пластинки98 Нормальные формы линейных дифференциальных выражений99 Эллиптические уравнения. Уравнение Лапласа100 Уравнение теплопроводности101 Решение задач Коши для уравнений гиперболического и

33

102 параболического типов103 Уравнения математической физики в частных производных104 Решение краевых задач для эллиптических и эволюционных уравнений

методом Фурье

1-37 04 03 «Беспилотные авиационные комплексы»1. Элементарные преобразования матриц.2. Определитель матрицы.3. Определение ранга матриц.4. Матричный способ решения СЛАУ.5. Формулы Крамера для решения СЛАУ.6. Алгоритм Гаусса.7. Различные способы решения СЛАУ.8. Линейные операции над векторами.9. Скалярное произведение векторов.10.Векторное и смешанное произведение векторов.11.Пределы числовых последовательностей. 12.Пределы функции одной переменной.13.Предел функции в точке.14.Эквивалентность бесконечно малых функций.15.Замечательные пределы.16.Классификация точек разрыва функции.17.Производные и дифференциалы 1-ого порядка.18.Производные и дифференциалы высших порядков.19.Производные и дифференциалы первого порядка параметрически и

неявно заданных функций.20.Производные и дифференциалы высших порядков параметрически

и неявно заданных функций.21.Правило Лопиталя для вычисления пределов функций.22.Построение графиков функций.23.Формулы Тейлора и Маклорена.24.Функции двух переменных. Основные понятия.25.Частные производные первого порядка функции двух переменных.26.Частные дифференциалы функции двух переменных.27.Касательная плоскость и нормаль к поверхности28.Дифференцируемость и полный дифференциал функции двух

переменных.29.Системы координат.30.Прямая на плоскости.31.Прямая в пространстве.32.Уравнения прямых и плоскостей.33.Линии и поверхности первого порядка.34.Линии второго порядка.35.Общее уравнение поверхности второго порядка.36.Эллиптические поверхности и гиперболические параболоиды.37.Цилиндрические, конические поверхности, поверхности вращения.

34

38.Непосредственное нахождение неопределенных интегралов.39.Нахождение неопределенных интегралов с помощью специальных 40.методов интегрирования.41.Неопределённые интегралы от рациональных функций.42.Неопределённые интегралы от иррациональностей.43.Вычисление определённых интегралов.44.Приложения определенных интегралов.45.Вычисление несобственных интегралов.46.Исследование несобственных интегралов на сходимость.47.Частные производные и дифференциалы функций нескольких

переменных.48.Полный дифференциал функции нескольких переменных.49.Приложения дифференциала функции нескольких переменных.50.Функции нескольких переменных.51.Дифференциальное исследование функций нескольких переменных.52.Векторная функция скалярного аргумента.53.Криволинейный интеграл первого рода.54.Двойной интеграл в декартовой системe координат.55.Двойной интеграл в полярной системе координат.56.Поверхностный интеграл первого рода.57.Приложения поверхностного интеграла первого рода. 58.Тройной интеграл в декартовой системе координат.59.Тройной интеграл в цилиндрической и сферической системах

координат. 60.Характеристики скалярного поля.61.Характеристики векторного поля.62.Линейные интегралы.63.Криволинейный интеграл 2-го рода.64.Формула Грина.65.Нахождение потенциала плоского векторного поля.66.Поток векторного поля. 67.Теорема Гаусса-Остроградского.68.Циркуляции и вихри векторных полей.69.Потенциальные, соленоидальные, гармонические векторные поля.70.Определение комплексных чисел, геометрическое изображение.71.Формы записи комплексных чисел.72.Арифметические операции над комплексными числами.73.Действия над комплексными числами, заданными в

тригонометрическом виде.74.Действия над комплексными числами, заданными в показательном

виде.75.Комплексные корни многочлена.76.Вычисление суммы знакоположительных числовых рядов.77.Признак сравнения и предельный признак сходимости

знакоположительных рядов.78.Признаки Даламбера, Коши, Коши- Маклорена.

35

79.Признаки сходимости знакоположительных рядов.80.Сходимость знакопеременных рядов.81.Итоговое занятие «Числовые ряды»82.Функциональные ряды. 83.Степенные ряды.84.Ряды Тейлора и Маклорена.85.Разложение функций в степенные ряды.86.Разложение периодических и функций в ряд Фурье. 87.Разложение четных, нечетных и непериодических функций в ряд

Фурье. 88.Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка.89.Дифференциальные уравнения второго порядка.90.Линейные дифференциальные уравнения.91.Решение систем линейных дифференциальных уравнений с

постоянными коэффициентами.92.Волновое уравнение.93.Вычисление вероятности событий.94.Дискретные случайные величины и их характеристики. 95.Непрерывные случайные величины.96.Вариационные ряды.97.Статистическая оценка выборки. 98.Проверка статистических гипотез. 99.Функциональные связи. Уравнение регрессии.100.Функции комплексной переменной.101.Комплексные интегралы. Теорема и формула Коши.

102.Ряды Тейлора и Лорана. Вычеты. 103.Основные правила и формулы операционного исчисления. 104.Основные теоремы операционного исчисления. 105.Решение дифференциальных уравнений и их систем. 106.Решение транспортной и технологической задач 107.Решение задач о путях во взвешенных ориентированных графах. 108.Нахождение приближенных решений уравнений. 109.Приближенное вычисление определенных интегралов и дифференциальных уравнений. 110.Решение задач методом прямого поиска.

1-44 01 05 «Организация движения и обеспечение полетов на воздушном транспорте»:

1. Понятие функции. Основные элементарные функции и их графики.2. Сложные функции. Гиперболические функции. Целые и дробно-

рациональные функции.3. Арифметические действия над комплексными числами.4. Действия над комплексными числами.5. Определители квадратных матриц. Свойства определителей.6. Обратная матрица.7. Ранг матрицы.

36

8. Системы m линейных уравнений с n переменными. 9. Системы линейных однородных уравнений. 10.Смешанное произведение трёх векторов.11.Векторное пространство. Размерность и базис векторного

пространства.12.Направляющий вектор. Каноническое уравнение прямой.13.Условия параллельности и перпендикулярности прямых. Расстояние от

точки до прямой.14.Линии второго порядка. Эллипс. Гипербола. Парабола.15.Прямая в пространстве, её уравнения.16.Прямая и плоскость в пространстве, их взаимное расположение.17.Числовые множества. Отрезок, интервал, промежуток.18.Понятие элементарной функции. Преобразование графиков.19.Основные теоремы о пределах.20.Замечательные пределы.21.Сравнение бесконечно малых функций.22.Непрерывность функций. Точки разрыва функции.23.Свойства функций непрерывных на отрезке.24.Исследование непрерывности функций.25.Основные правила дифференцирования.26.Понятие производных высших порядков.27.Теорема Коши. Правило Лопиталя – Бернулли.28.Выпуклость и вогнутость функции. Точки перегиба.29.Дифференциал сложной функции.30.Методы интегрирования неопределённого интеграла.31.Интегрирование рациональных функций.32.Интегрирование иррациональных функций.33.Интегрирование тригонометрических функций.34.Определённый интеграл, как функция верхнего предела.35.Методы вычисления определённых интегралов.36.Геометрические приложения определённого интеграла.37.Признаки сходимости и расходимости несобственных интегралов 1-го

рода.38.Несобственные интегралы 2-го рода.39. Предел и непрерывность функций нескольких переменных.40. Полный дифференциал функции нескольких переменных.41. Дифференцирование сложных функций нескольких переменных.42. Дифференцирование неявных функций нескольких переменных.43. Производная по направлению. Градиент скалярного поля.44. Формула Тейлора для функций нескольких переменных.45. Экстремум функции нескольких переменных.46.Двойной интеграл в прямоугольных декартовых координатах.47.Замена переменных в двойном интеграле. Двойной интеграл в

полярных координатах.48.Приложения двойного интеграла.49.Замена переменных в тройном интеграле.

37

50.Криволинейные интегралы1-го и 2-го рода, свойства.51.Связь между криволинейными интегралами 1-го и 2-го рода.52.Поверхностные интегралы 1-го и 2-го рода.53.Нахождение функции по её полному дифференциалу. Приложения

интегралов по поверхности.54.Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах.55.Однородные дифференциальные уравнения первого порядка.56.Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах.57.Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.58.Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с

постоянными коэффициентами.59.Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго

порядка с постоянными коэффициентами.60.Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго

порядка со специальной правой частью.61.Линейные однородные и неоднородные уравнения n–го порядка с

постоянными коэффициентами.62.Однородные системы линейных дифференциальных уравнений.63.Неоднородные системы линейных дифференциальных уравнений с

постоянными коэффициентами.64.Характеристики скалярного поля.65.Векторное поле. Циркуляция и ротор векторного поля.66.Оператор Гамильтона. Оператор Лапласа.67.Специальные виды векторных полей, их основные характеристики.68. Признак Д'Аламбера. Признак Коши.69.Интегральный признак сходимости.70.Числовые ряды с членами произвольного знака.71.Абсолютная и условная сходимость числовых рядов.72.Действия над числовыми рядами. Сходимость числовых рядов.73. Степенные ряды.74.Равномерная сходимость степенных рядов.75.Действия со степенными рядами.76.Непрерывность суммы степенных рядов.77.Ряд Тейлора. Ряд Маклорена.78.Биномиальный ряд. Вычисление логарифмов.79.Приложения рядов.80.Ряд Фурье для функций, заданных на отрезке.81.Ряд Фурье по произвольной ортогональной системе функций.82.Комплексная форма ряда Фурье.83.Представление функций интегралами Фурье.84.Уравнение теплопроводности в пространстве.85.Теплопроводность в стержне, концы которого теплоизолированы.86.Уравнения Лапласа и Пуассона. Задача Дирихле.87.Задача Дирихле для круга. Интеграл Пуассона.88.Частота события и её свойства. Статистическое определение

вероятности.

38

89.Условная вероятность. Теоремы умножения вероятностей.90.Методы исчисления вероятностей.91.Схема испытаний Бернулли. Предельные теоремы Лапласа.92.Закон больших чисел.93.Дисперсия случайной величины, её свойства.94.Числовые характеристики случайных величин.95.Функции случайных величин. Совместное распределение двух

случайных величин.96.Непрерывные двумерные случайные величины.97.Независимые случайные величины. Ковариация двух случайных

величин. Коэффициент корреляции.98.Равномерное распределение случайной величины.99.Нормальное распределение случайной величины.100. Некоторые другие распределения.101. Графические изображения вариационных рядов, их

характеристики.102. Вычисления числовых характеристик вариационных рядов.103. Точечные оценки параметров генеральной совокупности, их

характеристики.104. Основные статистические распределения.105. Доверительная вероятность. Доверительный интервал.106. Гипотезы о значениях числовых характеристик.107. Проверка статистических гипотез.108. Критерии согласия.109. Представление данных в корреляционном анализе.110. Регрессионный анализ.111. Множественный регрессионный анализ.

1 – 95 02 11 «Техническая эксплуатация средств наземного обеспечения полетов»

1. Элементарные преобразования матриц.2. Определитель матрицы.3. Определение ранга матриц.4. Матричный способ решения СЛАУ.5. Формулы Крамера для решения СЛАУ.6. Алгоритм Гаусса.7. Линейные операции над векторами.8. Скалярное произведение векторов.9. Векторное и смешанное произведение векторов.10.Формы записи комплексных чисел.11.Арифметические операции над комплексными числами.12.Действия над комплексными числами, заданными в

тригонометрическом виде.13.Действия над комплексными числами, заданными в показательном

виде.14.Комплексные корни многочлена.

39

15.Пределы числовых последовательностей. 16.Пределы функции одной переменной.17.Предел функции в точке.18.Эквивалентность бесконечно малых функций.19.Замечательные пределы.20.Классификация точек разрыва функции.21.Производные и дифференциалы 1-ого порядка.22.Производные и дифференциалы высших порядков.23.Производные и дифференциалы параметрически и неявно заданных

функций.24.Правило Лопиталя для вычисления пределов функций.25.Построение графиков функций.26.Формулы Тейлора и Маклорена.27.Функции двух переменных. Основные понятия.28.Частные производные первого порядка функции двух переменных.29.Частные дифференциалы функции двух переменных.30.Дифференцируемость и полный дифференциал функции двух

переменных.31.Прямая на плоскости.32.Прямая в пространстве.33.Уравнения прямых и плоскостей.34.Линии и поверхности первого порядка.35.Линии второго порядка.36.Общее уравнение поверхности второго порядка.37.Эллиптические поверхности и гиперболические параболоиды.38.Цилиндрические, конические поверхности, поверхности вращения.39.Непосредственное нахождение неопределенных интегралов.40.Нахождение неопределенных интегралов с помощью специальных

методов интегрирования.41.Неопределённые интегралы от рациональных функций.42.Неопределённые интегралы от иррациональностей.43.Вычисление определённых интегралов.44.Вычисление несобственных интегралов.45.Исследование несобственных интегралов на сходимость.46.Частные производные и дифференциалы функций нескольких

переменных.47.Полный дифференциал функции нескольких переменных.48.Приложения дифференциала функции нескольких переменных.49.Функции нескольких переменных.50.Дифференциальное исследование функций нескольких переменных.51.Векторная функция скалярного аргумента.52.Криволинейный интеграл первого рода.53.Двойной интеграл в декартовой системe координат.54.Двойной интеграл в полярной системе координат.55.Поверхностный интеграл первого рода.56.Приложения поверхностного интеграла первого рода.

40

57.Тройной интеграл в декартовой системе координат.58.Тройной интеграл в декартовой и цилиндрической системах

координат. 59.Тройной интеграл в сферической системе координат.60.Приложения криволинейных, поверхностных и кратных интегралов.61.Характеристики скалярного поля.62.Характеристики векторного поля.63.Криволинейный интеграл 2-го рода.64.Формула Грина.65.Теорема Гаусса-Остроградского.66.Циркуляции и вихри векторных полей.67.Потенциальные, соленоидальные, гармонические векторные поля.68.Вычисление суммы знакопостоянных числовых рядов.69.Признак сравнения и предельный признак сходимости

знакоположительных рядов.70.Признаки Даламбера, Коши, Коши- Маклорена.71.Сходимость знакопеременных рядов.72.Функциональные ряды. 73.Степенные ряды.74.Ряды Тейлора и Маклорена.75.Разложение функций в степенные ряды.76.Разложение в степенные ряды сложных функций.77.Разложение функций с периодом 2π в ряд Фурье. 78.Разложение в обобщённый ряд Фурье функций с произвольным

периодом.79.Разложение четных и нечетных функций в ряд Фурье. 80.Разложение функций в обобщённый ряд Фурье непериодических

функций на промежутке.

81.Основные функции конечной комбинаторики.82.Вычисление вероятности событий.83.Применение теории вероятности к расчёту надёжности сложных схем.84.Формула полной вероятности и вероятности гипотез Бейеса.85.Дискретные случайные величины и их характеристики. 86.Биномиальное распределение дискретных случайных величин.87.Локальная и интегральная теоремы Муавра – Лапласа. Закон больших

чисел.88.Распределение Пуассона.89.Непрерывные случайные величины.90.Законы распределения непрерывных случайных величин.91.Вариационные ряды.92.Статистическая оценка выборки.93.Построение доверительных интервалов для параметров распределения

случайных величин по данным выборкам. 94.Проверка статистических гипотез. 95.Выборочные корреляционные моменты, выборочные коэффициенты

41

корреляции случайных величин.96.Исследование корреляционных связей.97.Функциональные связи. Уравнение регрессии.98.Прогноз по регрессии.99.Итоговое занятие «Теория вероятности и математическая статистика».100. Дифференциальные уравнения первого порядка с

разделяющимися переменными.101. Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка.102. Дифференциальные уравнения второго порядка.103. Линейные дифференциальные уравнения.104. Решение систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.105. Дифференцирование и интегрирование функций комплексной переменной.106. Ряды Тейлора и Лорана. Вычеты.107. Оригинал и изображение.108. Решение задач по теории графов.109. Применение численных методов.

42

Вопросы к экзамену.I курс I семестр

1. Матрицы. Основные понятия. Линейные операции над матрицами.2. Определитель матрицы и его свойства, вычисление. Теорема о

разложении определителя по ряду. Операция обращения матриц, её свойства. Критерии обратимости матриц.

3. Ранг матрицы. Элементарные преобразования матриц. Алгоритм Гаусса вычисления ранга матрицы.

4. Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) в координатной и матричной формах.Решение СЛАУ в матричной и координатной формах, формулы Крамера. Теорема Кронекера–Капелли.

5. Решениепроизвольных совместных СЛАУ. Однородные СЛАУ АХ=О. Алгоритм Гаусса решения произвольной СЛАУ.

6. Векторы. Основные понятия. Линейные операции над векторами, их свойства.

7. Проекция вектора на ось. Разложение вектора по ортам координатных осей. Расстояние между точками. Деление отрезка в заданном отношении.

8. Операция скалярного умножения векторов, её геометрическая интерпретация, её свойства.

9. Операция скалярного умножения в координатной форме. Приложения операции скалярного умножения в геометрии и в физике.

10.Операция векторного умножения векторов, её геометрическая интерпретация, её свойства. Критерий коллинеарности векторов.

11.Операция векторного умножения в координатной форме. Приложения операции векторного умножения в геометрии и в физике.

12.Операция смешанного умножения векторов, её геометрическая интерпретация, её свойства. Критерий компланарности векторов.

13.Операция смешанного умножения в координатной форме. Приложения операции смешанного умножения в геометрии и в физике

14.Последовательности. Сходящиеся последовательности. Предел монотонной ограниченной последовательности. Число е.

15. Понятие функции. График функции. Способы задания функции. Обратная функция. Сложная функция. Основные элементарные функции и их графики.

16. Конечные и бесконечные (двусторонние) пределы функций. Пределы функций по Коши. Пределы функций по множеству, односторонние пределы. Критерий Коши существования предела функции.

17.Теорема о существовании предела монотонной ограниченной функции. Бесконечно малые и бесконечно большие функции, связь между ними.

43

18.Первый и второй замечательные пределы. 19.Раскрытие неопределённостей при отыскании пределов (без правила

Лопиталя). 20.Точки разрыва функции и их классификация. Элементарные функции, их

непрерывность на их множестве определения. Свойства функций непрерывных на отрезке: теоремы Вейерштрасса, теорема Больцано-Коши.

21.21.Производные функции в точке, дифференциал, их геометрическая интерпретация. Уравнения касательной и нормали к графику функции. Таблица производных.

22.Операция дифференцирования сложной функций, обратных функций Дифференцирование параметрически заданных функций, неявных функций.

23.Производные и дифференциалы высших порядков. 24.Дифференциальное исследование функций: исследование функций на

монотонность, на локальный экстремум,25.Исследование графика функции на выпуклость, вогнутость, перегиб,

необходимые и достаточные условия этих свойств графиков функций.26.Дифференциальные теоремы о среднем: терема Ферма, теорема Ролля,

теорема Лагранжа, формула конечных приращений Лагранжа, теорема Коши. Правило Лопиталя, его применение для раскрытия арифметических и показательно-степенных неопределённостей.

27.Формулы Тэйлора и Маклорена, Разложения основных элементарных функций по формулам Маклорена, Приложения этих формул в приближённых вычислениях.

28.Фигуры первого порядка. Задание плоскости точкой и нормальным вектором, векторное, координатное, общее уравнения плоскости.

29.Критерий поверхности первого порядка. Анализ общего уравнения плоскости. Уравнения плоскости частного типа: определённой тремя точками, в отрезках, нормальное.

30.Расстояние от точки до плоскости. Угол между плоскостями, взаимное расположение плоскостей.

31.Прямая в пространстве, заданная точкой и направляющим вектором. Векторное, координатное, каноническое уравнения прямой. Расстояние от точки до прямой. Угол между прямой и плоскостью, угол между прямыми.

32.Прямая на плоскости. Уравнения прямой частного типа (определённой двумя точками, в отрезках, с угловым коэффициентом, нормальное).

33.Общее уравнение линии второго порядка. Невырожденные линии второго порядка (эллипс, гипербола, парабола), их определения, их канонические

44

уравнения в канонических системах координат, их построение и свойства. Приведение уравнений линий второго порядка к каноническому виду, переход к канонической системе координат.

34. Общая классификация линий второго порядка. Общее уравнение поверхности второго порядка. Классификация невырожденных поверхностей второго порядка: цилиндрические, эллиптические поверхности и гиперболические параболоиды.

35.Цилиндрические поверхности, критерий цилиндрической поверхности с направляющей осью координат, невырожденные цилиндрические поверхности второго порядка, их свойства, их изображения в канонических системах координат.

36.Поверхности вращения, критерий поверхности вращения с осью координат вращения.

37.Эллиптические поверхности второго порядка, их свойства, их построения в канонических системах координат. Построение поверхностей методом сечений.

38. Гиперболический параболоид, его свойства, его построение в канонической системе координат методом сечений.

39. Приведение уравнений поверхностей второго порядка к каноническому виду в канонических системах координат, переход к канонической системе координат.

40. Общая классификация линий второго порядка. I курс II семестр

1. Скалярное поле как функция нескольких переменных, его непрерывность, дифференцируемость.

2. Производная скалярного поля по направлению, градиент, их свойства, геометрический смысл.

3. Векторное поле, его непрерывность, дифференцируемость. Производная векторного поля, её свойства, геометрический смысл.

4. Линейный интеграл (или криволинейный интеграл 2-го рода), его вычисление, его сведение к определённому интегралу.

5. Свойства криволинейного интеграла 2-го рода, общие и специальные.

6. Двумерные (плоские) векторные поля. Формула Грина. Независимость криволинейного интеграла 2-го рода от пути интегрирования.

7. Нахождение функции по её полному дифференциалу. Задача о потоке.

8. Поток векторного поля (или поверхностный интеграл 2-ого рода), его вычисление, его сведение к поверхностному интегралу 1-го рода.

45

9. Свойства поверхностного интеграла 2-го рода.Теорема Остроградского-Гаусса.

10.Дивергенция, её геометрический смысл, свойства. Теорема Остроградского-Гаусса в операторной форме, её приложения в физике.

11.Ротор векторного поля, его физический смысл, вычисление.12.Циркуляция, её геометрический смысл. Теорема Стокса, её

физический смысл, приложения в физике. 13.Дифференциальные характеристики скалярных и векторных полей.

Оператор Гамильтона «набла», его свойства. 14.Потенциальные, соленоидальные, гармонические поля, функции. 15.Множество действительных чисел. Множество комплексных чисел.

Определение комплексного числа, геометрическое изображение.16.Арифметические операции над комплексными числами, их

геометрические интерпретации, свойства. Формы записи комплексных чисел.

17.Тригонометрическая форма комплексного числа, операции умножения и деления в тригонометрической форме, их геометрические интерпретации.

18.Операции деления комплексных чисел, возведения в степень, извлечения корня, их геометрические интерпретации, свойства. Формула Эйлера.

19.Числовая последовательность, числовой ряд, определения суммы ряда, сходимости ряда.

20.Необходимый признак сходимости. Канонические числовые ряды (гармонический, обобщённый гармонический, ряд геометрической прогрессии и др.), их свойства.

21. Почленные операции над сходящимися рядами (сложение, вычитание, умножение на константу и др.), и соответствующие операции над их суммами.

22. Знакопостоянные ряды, критерий сходимости знакопостоянного ряда.23. Теория знакоположительных рядов. Относительные признаки

сходимости (сравнения, предельный и др.).24. Абсолютные признаки сходимости числовых рядов (Коши,

Даламбера, интегральный признак Коши-Маклорена и др.).25. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость,

примеры. Признак Лейбница сходимости знакочередующегося ряда. Оценка приближения суммы знакочередующегося ряда.

26.Ряды Фурье, общая теория. Тригонометрический ряд. Тригонометрическая ортонормированная система.

46

27.Ряд Фурье, коэффициенты Фурье. Равномерная сходимость ряда Фурье.

28.Признаки разложения функции в ряд Фурье. Обобщённые ряды Фурье, разложения функций с произвольным периодом.

29.Разложение на отрезке непериодических функций, разложения чётных и нечетных функций. Теоремы Вейрштрасса о равномерных приближениях непрерывных функций многочленами.

30. Интеграл Фурье как обобщение ряда Фурье на непрерывное суммирование. Разложение функции в интеграл Фурье.

31.Обыкновенные дифференциальные уравнения (ДУ) первого порядка и n-ого порядка, общая теория.

32.Решение, интеграл ДУ n-ого порядка. Начальные условия, частное решение. Задача Коши для ДУ n-ого порядка, теорема Коши о существовании и единственности частного решения.

33. Общее решение, общий интеграл ДУ n-ого порядка. Простейшие ДУ I-ого порядка, допускающие разрешимость в квадратурах: ДУ с разделяющимися переменными, однородные, линейные ДУ.

34. Метод вариации произвольной постоянной (метод Бернулли), уравнения Бернулли, уравнения в полных дифференциалах.

35. Графический способ решения ДУ, метод изоклин. Простейшие ДУ n-ого порядка, допускающие понижение порядка, методы понижения порядка.

36.Линейные ДУ n-ого порядка (ЛДУ), операторная форма ЛДУ, однородные ЛДУ (ЛОУ) и неоднородные (ЛНОУ). Теорема о структуре общего решения ЛДУ.

37.Линейная комбинация, линейная зависимость и независимость системы функций, 1-ый критерий линейной зависимости.

38.Вронскиан, необходимое условие линейной зависимости системы функций. Критерий линейной зависимости системы решений ЛОУ.

39.Фундаментальная система решений ЛОУ, теорема о структуре общего решения ЛОУ.

40.Теория решения ЛОУ с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение ЛОУ. Теорема о фундаментальной системе решений ЛОУ 2-ого порядка, n-ого порядка.

41.Частное решение ЛНОУ, метод вариации произвольных постоянных. Общее решение ЛНОУ.

42.Теория решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений (СДУ). Задача Коши для СДУ, теорема Коши о существовании и единственности частного решения, особые точки СДУ. Общее решение, общий интеграл СДУ.

47

43.Решение нормальных СДУ методом исключения. Системы линейных дифференциальных уравнений (СЛДУ), однородные СЛДУ (СЛОУ) и неоднородные (СЛНОУ). Матрица системы, СЛДУ в операторной форме.

44.Теорема о структуре общего решения ЛСДУ. Теория решения СЛОУ. Линейная комбинация, линейная зависимость и независимость системы функциональных векторов, 1-ый критерий линейной зависимости. Линейная замкнутость множества всех решений СЛОУ.

45.Фундаментальная система решений СЛОУ, теорема о структуре общего решения СЛОУ. Вронскиан, необходимое условие линейной зависимости системы функциональных векторов. Критерий линейной зависимости системы решений СЛОУ.

46.Общие решения СЛОУ с линейно независимыми собственными векторами её матрицы, с попарно различными собственными значениями её матрицы.

47.Дифференциальные уравнения в частных производных (ДУЧ), основные понятия, частное решение, начальные, граничные, краевые условия, задача Коши, теорема Коши, общее решения.

48. Классификация ДУЧ 2-ого порядка, уравнения эллиптического, гиперболического и параболического типа, канонические ДУЧ этих типов.

II курс III семестр

1. Функции комплексной переменной, общая теория. Комплексные числа, повторение.

2. Понятие функции комплексной переменной (ФКП), действительная и мнимая часть ФКП Ряды комплексной переменной.

3. Основные ФКП, их представление в форме рядов. Гиперболические функции и их свойства. Предел и непрерывность функции комплексной переменной.

4. Дифференцируемость ФКП, условия дифференцируемости Коши-Римана. Свойства производной ФКП.

5. Аналитические функции, регулярные, особые точки ФКП, свойства аналитических функций, принцип максимума, теорема Луивилля, теорема единственности и др.

6. Интегрирование ФКП, условия интегрируемости, сведение интеграла от ФКП к интегралу 2-ого рода,

7. Разложение ФКП в ряд Тейлора. Ряды Лорана. Классификация особых точек, поведение аналитических функций на бесконечности.

48

8. Вычеты, теорема Коши о вычетах для интеграла от ФК.Аналитическое продолжение, принцип аналитического продолжения, принцип симметрии Шварца.

9. Конформные отображения. Основные конформные отображения, дробно линейные отображения, логарифмические и др.

10.Преобразование Лапласа, основные понятия. Оригинал и изображение, теорема о существовании изображения. Арифметические свойства преобразования Лапласа, теоремы линейности, подобия, смещения, запаздывания, опережения.

11.Дифференциальные и интегральные свойства преобразования Лапласа, теоремы о дифференцировании интеграла по параметру.

12.Дифференцирование, интегрирование оригинала, теоремы о дифференцировании, интегрировании изображения.

13.Обратное преобразование Лапласа. Теорема обращения.14.Теоремы о нахождении оригинала, о разложении оригинала в ряд.15.Оригиналы рациональных изображений. Нахождение оригиналов

функций по их изображению. 16.Решение дифференциальных уравнений операционным методом.

Решение ЛДУ 2-ого и высших порядков, с начальными условиями в нуле, в сдвинутой точке.

17.Операционное решение систем дифференциальных уравнений. Приложения операционного исчисления.

18.Неориентированные графы: вершины, ребра, степень, цепь, отношение достижимости, ациклический граф. Ориентированные графы: смежные вершины, исходящие и заходящие дуги, путь. Свойства отношения достижимости в графах.

19.Теорема о существовании простой цепи. Подграфы неориентированных и ориентированных графов. Связность и компонента связности графа. Сильная и слабая связность графов.

20.Способы представления графов: матрица инцидентности, булева матрица.

21.Неориентированные и ориентированные деревья: потомок вершины, предок вершины, сын вершины, лист. Неориентированный и ориентированный лес. Поддерево, куст, высота ориентированного дерева, бинарное дерево. Теорема о высоте бинарного ориентированного дерева. Остовной лес. Теорема о существовании максимального остовного леса.

22.Задача Штейнера. Алгоритм Краскала. Методы систематического обхода вершин графа. Алгоритм обхода или поиска. Поиск в глубину и поиск в ширину.

49

23.Фундаментальный цикл графа. Задача о путях во взвешенных ориентированных графах. Задача построения транзитивного замыкания ориентированного графа.

24.Задача о кратчайших расстояниях. Задача о перечислении путей. Изоморфизм, гомоморфизм и автоморфизм графов.

25.Дополнения графов. Теорема Фрухта. Топографическая сортировка вершин графа. Ориентированная сеть.

26.Отделение корней уравнения. Графический метод отделения корней уравнения.

27.Метод исследования отрезков. Приближенное решение алгебраических и трансцендентных уравнений. Правило пропорциональных частей.

28.Метод касательных. Комбинированное применение методов хорд и касательных.

29.Метод итераций. Интерполирование функций. Интерполяционный полином Лагранжа.

30. Интерполирование функций. Интерполяционная формула Ньютона.31.Приближенное вычисление определенных интегралов. Метод

прямоугольников. Метод трапеций. 32.Метод Симпсона. Вывод формулы парабол. Приближенное решение

дифференциальных уравнений. Метод Эйлера. Метод Рунге – Кутта.33.Номограммы. Решение квадратных уравнений и уравнений высшей

степени с помощью номограмм.34.Методы оптимизации. Основные определения: критерий

оптимальности, оптимальный вектор. Задачи условной и безусловной оптимизации.

35.Классификация методов оптимизации: косвенные методы оптимизации и прямые методы оптимизации. Общая характеристика методов нулевого порядка. Метод прямого поиска.

50

51

52

VI. ПРОТОКОЛ СОГЛАСОВАНИЯ УЧЕБНОЙ ПРОГРАММЫ для специальности 1-37 04 01 «Техническая эксплуатация воздушных

судов и двигателей»

Названиедисциплины,с которойтребуется согласование

Названиекафедры

Предложенияоб изменениях в содержании учебной программыпо учебнойдисциплине

Решение, принятое кафедрой, разработавшей учебную программу (с указанием даты и номера протокола)

1 Материаловедение ТЭВС и Д. Предложено расширить раздел «Комплексные числа»

Протокол от27.04.2017 №9.

3. Материаловедение и технологияконструкционныхматериалов

ТЭВС и Д. Предложено расширить раздел «Дифференциальных уравнений»

Протокол от27.04.2017г. №9

для специальности 1-37 04 02 «Техническая эксплуатация авиационного оборудования»;

Названиедисциплины,с которойтребуется согласование

Названиекафедры

Предложенияоб изменениях в содержании учебной программыпо учебнойдисциплине

Решение, принятое кафедрой, разработавшей учебную программу (с указанием даты и номера протокола)

1 Электро-техника иэлектроника

ОПД Предложено расширить раздел «Комплексные числа»

Протокол от27.04.2017г. №9

3. Материало-ведение и тех-нологияконструк-ционныхматериалов

ОПД Предложено расширить раздел «Дифференциальных уравнений»

Протокол от27.04.2017г. №9

53

для специальности 1-37 04 03 «Беспилотные авиационные комплексы»

Названиедисциплины,с которойтребуется согласование

Названиекафедры

Предложенияоб изменениях в содержании учебной программыпо учебнойдисциплине

Решение, принятое кафедрой, разработавшей учебную программу (с указанием даты и номера протокола)

2.Системное программное обеспечение, системы управления базами данных

БАК Предложено расширить раздел «Численные методы»

Протокол от27.04.2017г. №9

3.Радиоприемные и радиопередающие устройства

БАК Предложено расширить раздел «Комплексные числа»

Протокол от27.04.2017г. №9

4.Основы построения вычислительных систем

БАК Предложено расширить раздел «Номограммы»

Протокол от27.04.2017г. №9

для специальности 1-44 01 05 «Организация движения и обеспечение

полетов на воздушном транспорте»:Названиедисциплины,с которойтребуется согласование

Названиекафедры

Предложенияоб изменениях в содержании учебной программыпо учебнойдисциплине

Решение, принятое кафедрой, разработавшей учебную программу (с указанием даты и номера протокола)

1 Авиационная метеорология

ОДВТ Предложено расширить раздел «Графы»

Протокол от27.04.2017г. №9

2. Электротехника и электроника

ОПД Предложено расширить раздел «Комплексные

Протокол от27.04.2017г. №9

54

числа»3. Материало-ведение

ТЭВС и Д, Предложено расширить раздел «Дифференциальные уравнения»

Протокол от27.04.2017г. №9

для специальности 1 – 95 02 11 «Техническая эксплуатация средств наземного обеспечения полетов»

Названиедисциплины,с которойтребуется согласование

Названиекафедры

Предложенияоб изменениях в содержании учебной программыпо учебнойдисциплине

Решение, принятое кафедрой, разработавшей учебную программу (с указанием даты и номера протокола)

2.Системное программное обеспечение, системы управления базами данных

БАК Предложено расширить раздел «Численные методы»

Протокол от27.04.2017г. №9

3.Радиоприемные и радиопередающие устройства

БАК Предложено расширить раздел «Комплексные числа»

Протокол от27.04.2017г. №9

4.Основы построения вычислительных систем

БАК Предложено расширить раздел «Графы»

Протокол от27.04.2017г. №9

55

КРИТЕРИИ ОЦЕНКИ ЗНАНИЙ И КОМПЕТЕНЦИЙ КУРСАНТОВПО 10-БАЛЛЬНОЙ ШКАЛЕ

10 баллов - десять:- систематизированные, глубокие и полные знания по всем разделам учебной программы, а также по основным вопросам, выходящим за ее пределы;

- точное использование научной терминологии (в том числе на иностранном языке), стилистически грамотное, логически правильное изложение ответа на вопросы;

- безупречное владение инструментарием учебной дисциплины, умение его эффективно использовать в постановке и решении научных и профессиональных задач;

- выраженная способность самостоятельно и творчески решать сложные проблемы в нестандартной ситуации;

- полное и глубокое усвоение основной и дополнительной литературы, рекомендованной учебной программой дисциплины;

- умение ориентироваться в теориях, концепциях и направлениях по изучаемой дисциплине и давать им критическую оценку, использовать научные достижения других дисциплин;

- творческая самостоятельная работа на практических, лабораторных занятиях, активное участие в групповых обсуждениях, высокий уровень культуры исполнения заданий.9 баллов - девять:

- систематизированные, глубокие и полные знания по всем разделам учебной программы;

- точное использование научной терминологии (в том числе на иностранном языке), стилистически грамотное, логически правильное изложение ответа на вопросы;

- владение инструментарием учебной дисциплины, умение его эффективно использовать в постановке и решении научных и профессиональных задач;

- способность самостоятельно и творчески решать сложные проблемы в нестандартной ситуации в рамках учебной программы;

- полное усвоение основной и дополнительной литературы, рекомендованной учебной программой дисциплины;

- умение ориентироваться в основных теориях, концепциях и направлениях по изучаемой дисциплине и давать им критическую оценку;

- самостоятельная работа на практических, лабораторных занятиях, творческое участие в групповых обсуждениях, высокий уровень культуры исполнения заданий.8 баллов - восемь:

- систематизированные, глубокие и полные знания по всем поставленным вопросам в объеме учебной программы;

- использование научной терминологии, стилистически грамотное, логически правильное изложение ответа на вопросы, умение делать

56

обоснованные выводы;- владение инструментарием учебной дисциплины (методами

комплексного анализа, техникой информационных технологий), умение его использовать в постановке и решении научных и профессиональных задач;

- способность самостоятельно решать сложные проблемы в рамках учебной программы;

- усвоение основной и дополнительной литературы, рекомендованной учебной программой дисциплины;

- умение ориентироваться в основных теориях, концепциях и направлениях по изучаемой дисциплине и давать им критическую оценку с позиций государственной идеологии (по дисциплинам социально-гуманитарного цикла);

- активная самостоятельная работа на практических, лабораторных занятиях, систематическое участие в групповых обсуждениях, высокий уровень культуры исполнения заданий.7 баллов - семь:

- систематизированные, глубокие и полные знания по всем разделам учебной программы;

- использование научной терминологии (в том числе на иностранном языке), лингвистически и логически правильное изложение ответа на вопросы, умение делать обоснованные выводы;

владение инструментарием учебной дисциплины, умение его использовать в постановке и решении научных и профессиональных задач;

- усвоение основной и дополнительной литературы, рекомендованной учебной программой дисциплины;

- умение ориентироваться в основных теориях, концепциях и направлениях по изучаемой дисциплине и давать им критическую оценку;

самостоятельная работа на практических, лабораторных занятиях, участие в групповых обсуждениях, высокий уровень культуры исполнения заданий.6 баллов - шесть:

- достаточно полные и систематизированные знания в объеме учебнойпрограммы;

- использование необходимой научной терминологии, стилистически грамотное, логически правильное изложение ответа на вопросы, умение делать обоснованные выводы;

- владение инструментарием учебной дисциплины, умение его использовать в решении учебных и профессиональных задач;

- способность самостоятельно применять типовые решения в рамках учебной программы;

- усвоение основной литературы, рекомендованной учебной программой дисциплины;

- умение ориентироваться в базовых теориях, концепциях и направлениях по изучаемой дисциплине и давать им сравнительную оценку:

57

- активная самостоятельная работа на практических, лабораторных занятиях, периодическое участие в групповых обсуждениях, высокий уровень культуры исполнения заданий.5 баллов - пять:- достаточные знания в объеме учебной программы;

- использование научной терминологии, стилистически грамотное, логически правильное изложение ответа на вопросы, умение делать выводы;

- владение инструментарием учебной дисциплины, умение его использовать в решении учебных и профессиональных задач;

- способность самостоятельно применять типовые решения в рамках учебной программы;

- усвоение основной литературы, рекомендованной учебной программой дисциплины;

- умение ориентироваться в базовых теориях, концепциях и направлениях по изучаемой дисциплине и давать им сравнительную оценку;

- самостоятельная работа на практических, лабораторных занятиях, участие в групповых обсуждениях, высокий уровень культуры исполнения заданий.4 балла - четыре, ЗАЧТЕНО:- достаточный объем знаний в рамках образовательного стандарта;

- усвоение основной литературы, рекомендованной учебной программой дисциплины;

- использование научной терминологии, стилистическое и логическое изложение ответа на вопросы, умение делать выводы без существенных ошибок;

- владение инструментарием учебной дисциплины, умение его использовать в решении стандартных (типовых) задач;

- умение под руководством преподавателя решать стандартные (типовые) задачи;

- умение ориентироваться в основных теориях, концепциях и направлениях по изучаемой дисциплине и давать им оценку;

- работа под руководством преподавателя на практических, лабораторных занятиях, допустимый уровень культуры исполнения заданий.3 балла - три, НЕЗАЧТЕНО:

- недостаточно полный объем знаний в рамках образовательного стандарта;

- знание части основной литературы, рекомендованной учебной программой дисциплины;

- использование научной терминологии, изложение ответа на вопросы с существенными лингвистическими и логическими ошибками:

- слабое владение инструментарием учебной дисциплины, некомпетентность в решении стандартных (типовых) задач;

- неумение ориентироваться в основных теориях, концепциях инаправлениях изучаемой дисциплины;

58

- пассивность на практических и лабораторных занятиях, низкий уровень культуры исполнения заданий.2 балла - два, НЕЗАЧТЕНО:- фрагментарные знания в рамках образовательного стандарта;

- знания отдельных литературных источников, рекомендованных учебной программой дисциплины;

- неумение использовать научную терминологию дисциплины, наличие в ответе грубых стилистических и логических ошибок;

- пассивность на практических и лабораторных занятиях, низкий уровень культуры исполнения заданий.1 балл - один, НЕЗАЧТЕНО:

- отсутствие знаний и компетенций в рамках образовательного стандарта или отказ от ответа.

59

VI. ДОПОЛНЕНИЯ И ИЗМЕНЕНИЯ К УЧЕБНОЙ ПРОГРАММЕна 2017/2018 учебный год

№№пп Дополнения и изменения Основание

1 Программа действует первый год

Учебная программа пересмотрена и одобрена на заседании кафедрыестественнонаучных дисциплин (протокол от 27.04.2017 г. № 9)

Заведующий кафедройканд. ф-м. наук, доцент ____________________ А.И. Кириленко (ученая степень, ученое звание) (подпись) (И.О. Фамилия)

УТВЕРЖДАЮДекан факультета__________________________ __________________ А.Г. Старанович(ученая степень, ученое звание) (подпись) (И.О. Фамилия)