bÀi t Ập th ƯỜng k Ỳffs.iuh.edu.vn/files/doanvuongnguyen/bttkya2-c2dh-11-12.pdfsinh viên...

ThS. Đoàn Vương Nguyên Bài tập thường kỳ Toán cao cấp A2 – C2 Đại học 2011 – 2012

Trang 1

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH KHOA KHOA H ỌC CƠ BẢN

BÀI TẬP THƯỜNG KỲ

MÔN TOÁN CAO CẤP A2 – C2 ĐẠI HỌC (ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH )

GVHD: …………………………..

Lớp học phần:………………………..Khoa: KHCB Học kỳ:………Năm học: 2011 – 2012 Danh sách nhóm: (ghi theo thứ tự ABC) 1. Nguyễn Văn A 2. Lê Thị B ……….. HƯỚNG DẪN TRÌNH BÀY

1) Trang bìa như trên (đánh máy, không cần in màu, không cần lời nói đầu). 2) Trong phần làm bài tập, chép đề câu nào xong thì giải rõ ràng ngay câu đó. 3) Trang cuối cùng là Tài liệu tham khảo:

1. Nguyễn Phú Vinh – Giáo trình Toán cao cấp A2 – ĐH Công nghiệp TP. HCM. 2. Đỗ Công Khanh – Toán cao cấp A2 – NXB ĐHQG TP. HCM. 3. Nguyễn Đình Trí – Toán cao cấp A2 – NXB Giáo dục. 4. Nguyễn Viết Đông – Toán cao cấp A2 – NXB Giáo dục. 5. Lê Sĩ Đồng – Toán cao cấp Đại số Tuyến tính – NXB Giáo dục. 6. Hoàng Xuân Sính – Bài tập Toán cao cấp Đại số Tuyến tính – NXB Giáo dục. 7. Bùi Xuân Hải – Đại số tuyến tính – ĐH KHTN TP. HCM.

Chú ý • Phần làm bài bắt buộc phải viết tay (không chấp nhận đánh máy) trên 01 hoặc 02 mặt giấy A4 và đóng

thành tập cùng với trang bìa. • Thời hạn nộp bài: Tiết học cuối cùng (sinh viên phải tự đọc trước bài học cuối để làm bài!). • Nếu nộp trễ hoặc ghi sót tên của thành viên trong nhóm sẽ không được giải quyết và bị cấm thi. • Mỗi nhóm chỉ từ 01 đến tối đa là 07 sinh viên. Sinh viên tự chọn nhóm và nhóm tự chọn bài tập. • Phần làm bài tập, sinh viên phải giải bằng hình thức tự luận rõ ràng. * Sinh viên làm đúng yêu cầu mà chỉ chọn toàn câu hỏi dễ thì điểm tối đa của nhóm là 8 điểm. • Cách chọn bài tập như sau 1) Nhóm chỉ có 1 sinh viên thì chọn làm 40 câu hỏi nhỏ (các câu hỏi nhỏ phải nằm trong các câu hỏi

khác nhau) gồm: Chương 1: chọn 12 câu hỏi nhỏ trong 16 câu hỏi; Chương 2: chọn 4 câu hỏi nhỏ trong 4 câu hỏi; Chương 3: chọn 8 câu hỏi nhỏ trong 10 câu hỏi; Chương 4: chọn 10 câu hỏi nhỏ trong 11 câu hỏi; Chương 5: Nhóm A-2 chọn 4 câu hỏi nhỏ trong 7 câu của phần I và 2 câu hỏi nhỏ trong 2 câu của

phần II. Nhóm C-2 chọn 6 câu hỏi nhỏ trong 7 câu của phần I. 2) Nhóm có từ 2 đến tối đa 7 sinh viên thì làm như nhóm có 1 sinh viên, đồng thời mỗi sinh viên tăng

thêm phải chọn làm thêm 20 câu hỏi nhỏ khác (nằm trong các câu hỏi khác nhau). ………………………………………………………


Trang 2

ĐỀ BÀI TẬP

CHƯƠNG I. MA TR ẬN – ĐỊNH THỨC

Câu 1. Thực hiện các phép tính về ma trận sau

1)

1 41 1 0 2

1 2 3 2 10 1 1 0

3 0 4 3 21 0 2 1

4 3

−

; 2)

1 41 1 0 2

1 2 4 2 10 1 1 0

3 0 1 3 21 0 2 1

4 3

−

;

3)

1 41 1 0 2

1 2 3 2 10 1 1 0

0 3 4 3 21 0 2 1

4 3

− − −

; 4)

1 41 1 0 2

1 2 3 2 10 1 1 0

3 0 4 3 21 0 2 1

4 3

− − − − − −

;

5)

1 1 0 1 2 3 1 1 0 1

0 1 1 3 2 1 0 1 1 0

1 0 1 2 1 3 1 1 1 1

− − − − − − −

; 6)

1 1 0 1 2 3 1 1 0 1

0 1 1 3 2 1 1 1 1 0

1 1 1 2 1 3 0 1 1 1

− − − − − − − −

;

7)

1 31 3 1 0 2 1 2

2 22 1 0 3 1 1 0

3 1

T − − − − − − − −

; 8)

1 2 32 0 3 2 1

3 2 11 5 1 3 0

0 1 2

T − −

.


1) 1 1

0 1

n

; 2)

6

2 1

1 3

; 3)

5

3 2

4 2

− − ; 4)

1

0

n

x

x

;

5)

3

1 1 0

0 1 1

1 0 1

− −

; 6)

4

1 0 0

0 1 1

1 0 0

; 7) Cho

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

0 0 0 0

A

=

, tính TA A và TAA ;

8*) Cho

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

0 0 0 0

A

=

, hãy tính: a) 2011

0

2n n

n

A=

∑ ; b) ( )2011

4A I+ .


1) Cho 0 0

1 0A

= , tính ( )

2011

2A I− ; 2) Cho

0 0

1 0A

= − , tính ( )

2011

2I A− ;

3) Cho 3

1 1 111 1 1

31 1 1

A I

= −

, tính 4A ; 4*) Cho 1 1 1 0 2 1

1 2 0 1 1 1A

− = − − , tính 2011A ;


Trang 3

5) Cho

0 1 0

0 0 1

0 0 0

A

=

, tìm số nguyên dương n nhỏ nhất để nA là ma trận không;

6) Cho

0 0 1

0 0 0

0 0 0

A

=

, tìm số nguyên dương n nhỏ nhất để nA là ma trận không;

7) Cho

0 0 1 1

0 0 0 1

0 0 0 0

0 0 0 0

A

=

, tìm số nguyên dương n lớn nhất để nA khác ma trận không.

Câu 4. Tìm phần tử ij

a của ma trận 2A , với ( )ij n

A a= sau

1) Cho 2011

( )ij

A a= , trong đó phần tử ở cột thứ j là ( 1)i j+− . Tìm phần tử 32

a của 2A ;

2) Cho 2011

( )ij

A a= , trong đó phần tử ở dòng thứ i là ( 1)i j+− . Tìm phần tử 32

a của 2A ;

3) Cho 2011

( )ij

A a= , trong đó phần tử ở dòng thứ i là ( 1) .i i− . Tìm phần tử 32

a của 2A ;

4) Cho 2011

( )ij

A a= , trong đó phần tử ở cột thứ j là ( 1) .j j− . Tìm phần tử 32

a của 2A ;

5*) Cho 2011

( )ij

A a= , trong đó phần tử ở cột thứ j là 2j . Tìm phần tử 32

a của 2A ;

6*) Cho 2011

( )ij

A a= , trong đó phần tử ở dòng thứ i là 2i . Tìm phần tử 32

a của 2A ;

7*) Cho 2011

( )ij

A a= , trong đó phần tử ở dòng thứ i là 12i− . Tìm phần tử 32

a của 2A ;

8*) Cho 2011

( )ij

A a= , trong đó phần tử ở cột thứ j là 12j− . Tìm phần tử 32

a của 2A ;

9*) Cho 2011

( )ij

A a= , trong đó phần tử ở dòng thứ i là 1

2011

iC − . Tìm phần tử 32

a của 2A ;

10*) Cho 2011

( )ij

A a= , trong đó phần tử ở cột thứ j là 1

2011

jC − . Tìm phần tử 32

a của 2A .

Chú ý: 1) 2 2 2 2 *( 1)(2 1)1 2 3 ... ,

6

n n nn n

+ ++ + + + = ∈ ℕ ;

2) 2 *1... . , & 1

1

nn q

a aq aq aq a n qq

−+ + + + = ∈ ≠

−ℕ ;

3) 0 1 2 * !(1 1) ... , &

!( )!n n k

n n n n n

nC C C C n C

k n k+ = + + + + ∈ =

−ℕ .

Câu 5. Tìm hạng của các ma trận A sau

1)

1 2 3 4 5

2 4 6 8 11

3 6 9 12 14

4 8 12 16 20

A

=

; 2)

1 3 5 7 9

2 4 6 9 10

3 5 7 9 11

4 6 8 10 12

A

=

; 3)

1 2 3 4 5

5 10 15 20 35

3 7 9 12 14

4 8 13 16 20

A

=

;

4)

1 1 1 1 3

1 2 1 1 3

2 0 1 2 3

4 0 2 4 7

A

− − − − − =

; 5)

1 3 2 5

2 1 3 2

3 5 4 1

1 17 4 21

A

− = − −

; 6)

2 3 3 1 5

4 4 6 2 10

8 6 12 4 20

10 8 15 5 26

A

=

;


Trang 4

7)

1 3 4 8

2 1 1 2

3 2 5 10

3 5 2 4

1 17 18 36

A

− = − − −

; 8)

4 1 3 4 5

1 5 2 1 4

5 4 1 5 9

2 5 7 2 3

A

− = − −

; 9)

2 1 1 2 1

3 1 0 2 1

7 1 2 2 1

13 1 2 2 1

A

− − − = − − −

;

10)

2 1 1 2 1

3 1 0 2 1

9 2 3 4 2

15 0 3 0 2

A

− − − = − −

; 11)

1 2 1 1 2

2 4 1 0 2

4 8 1 2 2

7 15 9 8 18

A

− − = − −

; 12)

3 1 1 2 1

3 1 0 2 1

9 1 2 2 1

15 1 2 2 1

A

− − − = − − −

.

Câu 6. Biện luận hạng của các ma trận sau theo tham số m :

1)

1 1 2

2 3 1 2 4

4 5 1 4 2 7

2 2 2 4

m

m mA

m m m

m

− + = − + +

; 2)

1 1 2

2 3 1 2 4

4 5 1 4 2 7

2 2 2 4

m

m mA

m m m

m m

− + = − + + +

;

3)

3 0 1

6 2 2

9 3 0 2

15 5 1 0 7

m

m mA

m m

m

= + +

; 4)

1 1 2

2 3 1 2 3

4 5 1 4 2 7

2 2 2 4

m

m m mA

m m m

m

− + + = − + +

;

5)

1 1 2

2 3 1 2 4

4 5 1 4 2 7

4 4 4 8

m

m mA

m m m

m

− + = − + +

; 6)

1 1 3 4

8 4 16 2 5

3 2 7

5 2 9

mA

m

m

− − + = − −

;

7)

1 2 1 1

2 5 4 5

1 3 4 4

4 10 9 10

Am

m

= + +

; 8)

1 2 3 4

5 8 11 15

2 3 4 5

3 5 7 10

mA

m

+ = +

;

9)

1 2 3 4 5

4 6 8 9 10

5 8 11 13 16

10 16 22 26

A

m

=

; 10)

2 1 0 1 1

2 5 3 1 2 3

3 7 4 1 3 4

5 12 7 2 5

m

mA

m

m m

=

;

11)

1 2 3 4 5

4 6 8 9 10

5 8 11 13 16

10 16 22 26

A

m

=

; 12)

2 1 3 4 2 8

1 0 1 1 0 0

3 4 2 4 1 1

5 5 5 8 3

A

m

= −

;

13)

1 2 1 1 1

1 1 1 1

1 0 1 1

1 2 2 1 1

mA

m

− − − − − = −

; 14)

1 2 1 0 1

2 5 3 1 2 3

3 7 4 1 3 4

5 12 7 2 5

m

mA

m

m m

=

.


Trang 5

Câu 7. Tính các định thức sau

1)

1 0 1 2 0

2 2 2 7 0

0 7 3 4 1

3 7 4 4 1

5 1 1 3 5

A = và

2 1 1 1 1

1 2 1 1 1

1 1 2 1 1

1 1 1 2 1

1 1 1 1 2

B = ; 2)

1 5 1 2 0

2 2 2 7 2

1 5 1 4 1

3 1 2 1 3

5 1 1 2 5

A = và

0 1 1 1 1

1 0 1 1 1

1 1 0 1 1

1 1 1 0 1

1 1 1 1 0

B = ;

3)

1 1 0 0 3

2 2 2 7 5

1 7 3 4 1

3 2 3 4 0

5 1 1 3 5

A = và

3 1 1 1 1

1 3 1 1 1

1 1 3 1 1

1 1 1 3 1

1 1 1 1 3

B = ; 4)

1 3 1 2 0

2 2 2 7 2

0 7 3 3 1

0 1 2 2 3

5 1 3 0 5

A = và

4 1 1 1 1

1 4 1 1 1

1 1 4 1 1

1 1 1 4 1

1 1 1 1 4

B = ;

5)

1 1 0 0 3

1 2 2 7 3

1 7 3 4 3

3 2 2 1 2

5 1 1 3 5

A = và

5 1 1 1 1

1 5 1 1 1

1 1 5 1 1

1 1 1 5 1

1 1 1 1 5

B = ; 6)

1 3 1 2 0

2 2 2 7 3

2 7 3 0 3

2 1 2 1 3

5 1 3 0 5

A = và

6 1 1 1 1

1 6 1 1 1

1 1 6 1 1

1 1 1 6 1

1 1 1 1 6

B = ;

7)

1 1 2 2 3

2 2 2 7 5

1 7 3 4 1

1 1 2 2 0

2 1 1 3 5

A = và

1 1 1 1 7

1 1 1 7 1

1 1 7 1 1

1 7 1 1 1

7 1 1 1 1

B = ; 8)

1 2 3 4 5

2 2 2 7 2

0 7 3 0 1

0 1 2 1 3

1 2 3 0 5

A = và

1 1 1 1 8

1 1 1 8 1

1 1 8 1 1

1 8 1 1 1

8 1 1 1 1

B = .

Câu 8*. Không tính định thức, hãy chứng minh rằng:

1) 1 1 1 1 1 1 1 1 1

2 2 2 2 2 2 2 2 2

2

y z z x x y x y z

y z z x x y x y z

y z z x x y x y z

+ + +

+ + + =

+ + +

;

2)

3

3

3

1

1 ( )( )( )( )

1

a a

b b a b b c c a a b c

c c

= − − − + + ;

3) 1 1 1 1 1 1 1 1

2

2 2 2 2 2 2 2 2

3 3 3 3 3 3 3 3

(1 )

a b x a x b c a b c

a b x a x b c x a b c

a b x a x b c a b c

+ +

+ + = −

+ +

.

Câu 9. Tính các định thức cấp cao sau

1)

a x x x

x a x x x

x x a x xA

x x x a

=

⋯

⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮

⋯

(cấp n ); 2*)

1 2 3

1 2 3

1 2 3

1 2 3

1

1

1

1

n

n

n

n

a a a a

a a a a

a a a aA

a a a a

+

+

+=

+

⋯

⋯

⋯

⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮

⋯

(cấp n );


Trang 6

3*)

1 1 1 1

1 0 1 1

1 1 0 1

1 1 1 0

A =

⋯

⋯

⋯

⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮

⋯

(cấp n ); 4*)

1 2

1 1 2

1 2 2

1 2

1

1

1

1

n

n

n

n n

a a a

a b a a

a a b aA

a a a b

+

+=

+

⋯

⋯

⋯

⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮

⋯

(cấp 1n + );

5*)

2 2 3

1 3 3

1 2 4

1 2 3 1

n

n

nA

n

=

+

⋯

⋯

⋯

⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮

⋯

(cấp n ); 6*)

1 2

2

1

1 2

1

1

1

1

n

n

n

x x x

a x x

x a xA

x x a

=

⋯

⋯

⋯

⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮

⋯

(cấp 1n + ).

Câu 10. Giải các phương trình sau

1)

1 1 1

1 1 10

1 1 1

1 1 1

x

x

x

x

= ; 2) 2

1 1 1

2 1 10

1 0 1

0 1

x x

x

x

x x

+

= ; 3) 2

1 1 1

1 1 10

0 1 1 1

0 2 0 2

x

x

− −

− −= ;

4)

1 2 1 1

1 1 10

3 1 1 1

0 2 0 2

x

x

− −

− −= ; 5)

1 1 1

1 1 10

0 1 1 1

0 2 0 2

x

x

− −

= ; 6) 2

1 1

1 1 10

1 1 1 1

1 0 1 1

x x

x

− −

= ;

7)

1

1 1 10

2 1

1 3

x x x

x

x x

x x

= ; 8)

1 0

1 2 1 10

2 2 1 2

2

x x

x x x

= ; 9) 2

5 100

1 1 2

0 0 1 00

1 2

0 0 1

x x x

x

x x x

x x

− +

−=

−

+

.

Câu 11. Tìm điều kiện của m để 0∆ ≥

1)

8 7 6

1 2 1

1 1 1

m

m m m

m m m

+

∆ = + −

− − −

; 2)

8 7 6

1 2 1

1 1 1

m

m m m

m m m

+

∆ = + −

+ + +

;

3)

8 7 6

1 2 1

1 1 1

m

m m m

m m m

+

∆ = + −

+ + +

; 4)

1 1 3

1 2

1 1

m

m

∆ = ;

5)

1 0

2 1 2 2

1 0 2

m

m∆ = − ; 6)

1 2

2 5 1

3 7 2

m

m

m

∆ = +

+

;

7)

2 2 4

0

1 2

m

m m

m

+

∆ = ; 8)

2 2 2 4

1 2 1 2

1 2 2

m

m m

m

+

∆ = + + ;


Trang 7

9)

2 2 1 4

3 1

3 1

m

m

m m

+

∆ = − − −

+

; 10)

2 2 5 12

3 1 3

3 1 3

m

m m m

m m m

+ −

∆ = − + −

+ − −

.

Câu 12. Tìm ma trận nghịch đảo của các ma trận sau bằng phương pháp biến đổi sơ cấp trên dòng

1)

1 0 3

2 1 1

3 2 2

A

=

; 2)

0 1 2

1 1 0

2 0 1

A

=

; 3)

1 3 2

2 1 3

3 2 1

A

=

; 4)

1 3 5

5 0 1

3 1 0

A

=

;

5)

4 1 1

2 1 3

3 2 4

A

− = − −

; 6)

1 2 1

2 6 3

1 5 3

A

=

; 7)

1 1 2

2 1 3

4 1 3

A

= − −

; 8)

3 6 2

4 9 4

1 3 1

A

=

;

9)

1 2 0 1

1 1 2 0

0 1 1 2

2 0 1 1

A

=

; 10)

2 1 0 2

2 2 1 0

0 2 2 1

1 0 2 2

A

=

; 11)

1 1 0 1

0 1 1 0

0 0 1 1

1 0 0 1

A

=

; 12)

1 1 0 1

0 1 1 0

1 0 1 1

0 1 0 1

A

=

.

Câu 13. Tìm ma trận nghịch đảo của các ma trận sau bằng phương pháp dùng ma trận phụ hợp (adjA )

1)

1 0 3

2 1 1

3 2 2

A

=

; 2)

0 1 2

1 1 0

2 0 1

A

=

; 3)

1 3 2

2 1 3

3 2 1

A

=

; 4)

1 3 5

5 0 1

3 1 0

A

=

;

5)

4 1 1

2 1 3

3 2 4

A

− = − −

; 6)

1 2 1

2 6 3

1 5 3

A

=

; 7)

1 1 2

2 1 3

4 1 3

A

= − −

; 8)

3 6 2

4 9 4

1 3 1

A

=

;

9)

1 2 0

3 1 1

4 2 2

A

=

; 10)

0 1 2

1 1 2

2 0 3

A

=

; 11)

1 3 2

2 1 3

0 2 1

A

=

; 12)

1 2 5

5 0 1

2 1 2

A

=

;

13)

2 3 3

1 2 5

3 1 4

A

= −

; 14)

1 3 4

1 2 1

1 2 3

A

− = − −

; 15)

2 1 2

3 2 1

4 3 1

A

− = − − −

; 16)

1 1 1

2 3 1

3 4 3

A

=

.

Câu 14. Tính detA , cho biết

1)

1 1

1 0 3 0 1 2 1 3 2

2 1 1 1 1 0 2 1 3

3 2 2 2 0 1 3 2 1

T

A

− − =

; 2)

1 1

1 0 3 0 1 2 1 3 5

2 1 1 1 1 0 5 0 1

3 2 2 2 0 1 3 1 0

T

A

− − =

;

3)

1 1

1 0 3 0 1 2 1 2 0

2 1 1 1 1 0 3 1 1

3 2 2 2 0 1 4 2 2

T

A

− − =

; 4)

1 1

1 0 3 0 1 2 0 1 2

2 1 1 1 1 0 1 1 2

3 2 2 2 0 1 2 0 3

T

A

− − =

;


Trang 8

5)

1 1

1 0 3 0 1 2 1 3 2

2 1 1 1 1 0 2 1 3

3 2 2 2 0 1 0 2 1

T

A

− − =

; 6)

1 1

1 0 3 0 1 2 1 2 5

2 1 1 1 1 0 5 0 1

3 2 2 2 0 1 2 1 2

T

A

− − =

;

7)

1 1

1 3 2 0 1 2 1 3 2

2 1 3 1 1 0 2 1 3

3 2 1 2 0 1 0 2 1

T

A

− − =

; 8)

1 1

1 3 5 0 1 2 1 2 5

5 0 1 1 1 0 5 0 1

3 1 0 2 0 1 2 1 2

T

A

− − =

;

9)

1 1

1 2 0 0 1 2 1 3 2

3 1 1 1 1 0 2 1 3

4 2 2 2 0 1 0 2 1

T

A

− − =

; 10)

1 1

0 1 2 0 1 2 1 2 5

1 1 2 1 1 0 5 0 1

2 0 3 2 0 1 2 1 2

T

A

− − =

.

Câu 15. Cho hai ma trận

0 1 1

1 2 1

1 1 1

P

− − =

và 1

1 0 1

0 1 1

1 1 1

P−

= − − −

. Tính detA và 1A− , biết

1) 1.diag(1 1 1).A P P−= − ; 2) 1.diag( 1 1 1).A P P−= − ; 3) 1.diag(1 1 1).A P P−= − ;


7) 1.diag(1 2 3).A P P−= ; 8) 1.diag(1 3 2).A P P−= ; 9) 1.diag(3 1 2).A P P−= ;

10) 1.diag(1 2 3).A P P−= ; 11) 1.diag(1 3 2).A P P−= ; 12) 1.diag(3 1 2).A P P−= .

Câu 16. Cho hai ma trận

0 1 1

1 2 1

1 1 1

P

− − =

và 1

1 0 1

0 1 1

1 1 1

P−

= − − −

. Tính 2011A , biết



7) 1.diag(1 1 1).A P P−= − − ; 8) 1.diag( 1 1 1).A P P−= − − ; 9) 1.diag( 1 1 1).A P P−= − − ;

10) 1.diag(1 1 1).A P P−= − − ; 11) 1.diag( 1 1 1).A P P−= − − ; 12) 1.diag( 1 1 1).A P P−= − − .

....................................................................................

CHƯƠNG 2. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUY ẾN TÍNH Câu 1. Giải các hệ phương trình tuyến tính sau bằng phương pháp Cramer và Gauss

1)

4 2

2 3 1

3 2 4 3

x y z

x y z

x y z

+ − = + − = + − =

2)

2 1

2 6 3 2

5 3 0

x y z

x y z

x y z

+ + = + + = + + =

3)

2 3

2 3 1

4 3 2

x y z

x y z

x y z

+ + = − − = − + + =

4)

3 6 2 11

4 9 4 17

3 5

x y z

x y z

x y z

+ + = + + = + + =

5)

2 3 3 0

2 5 7

3 4 1

x y z

x y z

x y z

+ + = − + = + + =

6)

3 4 4

2 11

2 3 3

x y z

x y z

x y z

+ − = − + = − + − =


Trang 9

7)

2 2 1

3 2 3

4 3 5

x y z

x y z

x y z

− + = − − = − − + =

8)

12

2 3 4

3 4 3 1

x y z

x y z

x y z

+ + = + + = + + =

9)

2 3

4 2

2 2 5 1

x y z

x y z

x y z

− − = + + = − − =

10)

3 4 1

2 5 2

5 13 6 0

x y z

x y z

x y z

− + = − + = − + =

11)

3 13

2 2 6

5 5 12

x y z

x y z

x y z

− − = + − = + − =

12)

3 4 3 2

5 2 4 6

2 3 2 2

x y z

x y z

x y z

+ − = + − = + − =

Câu 2. Tìm nghiệm riêng và nghiệm tổng quát của các hệ phương trình tuyến tính sau

1)

2

2 3 1

3 2 4 3

x y z

x y z

x y z

+ − = + − = + − =

2)

2 1

3 12 7 1

5 3 0

x y z

x y z

x y z

+ + = + + = + + =

3)

2 3

2 4

4 3 2

x y z

x y z

x y z

+ + = − − = − + + =

4)

3 6 2 11

4 9 3 1

3 5

x y z

x y z

x y z

+ + = + + = + + =

5)

2 3 3 0

2 1

3 4 1

x y z

x y z

x y z

+ + = − + = + + =

6)

3 4 4

2 11

2 3 13

x y z

x y z

x y z

+ − = − + = − + − =

7)

2 1

3 2 3

4 3 5

x y z

x y z

x y z

− + = − − = − − + =

8)

2 12

2 3 4

3 4 3 1

x y z

x y z

x y z

+ + = + + = + + =

9)

2 3

3 12

2 2 5 1

x y z

x y z

x y z

− − = − − = − − =

10*)

7

3 2 3 2

2 2 6 23

5 4 3 3 12

x y z t u

x y z t u

y z t u

x y z t u

+ + + + = + + + − = − + + + = + + + − =

11*)

2 1

2 0

3 3 3 3 4 2

4 5 5 5 7 3

x y z t u

x y z t u

x y z t u

x y z t u

+ − − + = − + + − = + − − + = + − − + =

12*)

2 2 1

2 2 1

4 10 5 5 7 1

2 14 7 7 11 1

x y z t u

x y z t u

x y z t u

x y z t u

− + − + = + − + − = − + − + = − + − + = −

13*)

3 2 1

2 7 3 5 2

3 2 5 7 3

3 2 7 5 8 3

x y z t u

x y z t u

x y z t u

x y z t u

+ − + − = − + − + = + − + − = − + − + =

14*)

0

3 2 3 0

2 2 6 0

5 4 3 3 0

x y z t u

x y z t u

y z t u

x y z t u

+ + + + = + + + − = + + + = + + + − =

15*)

2 0

2 0

3 3 3 3 4 0

4 5 5 5 7 0

x y z t u

x y z t u

x y z t u

x y z t u

+ − − + = − + + − = + − − + = + − − + =

16*)

2 2 0

2 2 0

4 10 5 5 7 0

2 14 7 7 11 0

x y z t u

x y z t u

x y z t u

x y z t u

− + − + = + − + − = − + − + = − + − + =

17*)

3 2 0

2 7 3 5 0

3 2 5 7 0

3 2 7 5 8 0

x y z t u

x y z t u

x y z t u

x y z t u

+ − + − = − + − + = + − + − = − + − + =

Câu 3. Biện luận số nghiệm của các hệ phương trình tuyến tính theo tham số m

1)

2 3 1

4 2

8 12 ( 6) 5

x y z

x my z

x y m z

+ − = + + = + + + =

2)

2 2

2 5 1

3 6 1

x y z m

x my z

x y mz

+ − = + − = + + =

3)

0

2 1

2 3 2 1

mx y z

x y mz

x y z

+ + = + − = + + =


Trang 10

4)

2 2 2

3 7 5

2 4 7

x y z m

x y z

x y mz

+ − = + − = + + =

5)

2 2 2

2 4 5 5

3 6 7

mx y z

x y z

x y mz

+ − = + − = + − =

6)

2 3

2 4

4 3 2

mx y z

x my z

x y z m

+ + = − − = − + + =

7)

2 3 0

4 ( 5) ( 3) 0

8 ( 11) ( 5) 0

x y z

x m y m z

x m y m z

+ − = + + + − = + + + − =

8)

2 3 0

4 ( 5) ( 3) 0

8 12 ( 4) 0

x y z

x m y m z

x y m z

+ − = + + + − = + + − =

9)

2 3 0

4 ( 5) 0

8 12 ( 4) 0

x y z

x m y mz

x y m z

+ − = + + + = + + − =

10)

4 (7 ) 0

2 ( 4) 5 0

5 10 ( 5) 0

x y m z

x m y z

x y m z

+ + − = + + − = + + − =

11)

( 3) 2 0

( 1) 0

3( 1) ( 3) 0

m x y z

mx m y z

m x my m z

+ + + = + − + = + + + + =

12)

(3 1) 2 (3 1) 0

2 2 (3 1) 0

2 0

m x my m z

mx my m z

x y z

− + + + = + + + = + + =

13)

2 2

2 2 1

2 3

x y z t m

x y z t m

x y mz t m

− + + = + − + = + − − + = −

14)

2

2 5 2 2 2 1

3 3 3 1

x y z t m

x y z t m

x my z t

+ − + = + − + = + + − + =

15)

2 2 0

2 3

3 3

5

x y z t

x y z t

x z t

x y m

− + − = + − + = + − = + =

16)

2 2 3 3

1

3 3 4 6

5 2 5 7 9

x y z t u

x y z t u

x y z t u

x z t u m

− + − + = + − − + = + + − + = + − + = −

17)

2 1

2 4 2

7 4 11

4 8 4 16 1

x y z t

x y z t

x y z t m

x y z t m

− + + = + − + = + − + = + − + = +

18)

2 2 4

2 3

2 2 2 3

2

x y z t

x y z t

x y z t

x y z t m

+ − + = − + + = + − + = + − + =

Câu 4. Tìm điều kiện của tham số m để hai hệ phương trình tuyến tính (trong mỗi câu) có nghiệm chung

1) 2 1

7 5

x y z t m

x y z t m

+ − + = + + − − = −

và 2

2 5 2 2 2 1

x y z t m

x y z t m

+ − + = + − + = +

;

2) 2 2

7 5

x y z t m

x y z t m

− + + = + − − = −

và 2

3 7 3 3 1

x y z t m

x y z t

+ − + = + − + =

;

3) 2 2

2 1

x y z t m

x y z t m

− + + = + − + = +

và 2 5 2 2 2 1

3 7 3 3 1

x y z t m

x y z t

+ − + = + + − + =

;

4) 2 2 0

2 3

x y z t

x my z t

− + − = + − + =

và 2 2 3 3x y z t u

x y z t u m

− + − + = + − − + =

;

5) 2 2 0

5

x y z t

x y m

− + − = + =

và 2 2 3 3

5 2 5 7 9

x y z t u

x z t u m

− + − + = + − + = −

;


Trang 11

6) 2

3 3

x y z t m

x z t

+ − + = + − =

và 1

3 3 4 2

x y z t u

x y z t u m

+ − − + = + + − + =

;

7) 2 4 2

7 4 11

x y z t

x y z t m

+ − + = + − + =

và 2 2 4

2

x y z t

x y z t m

+ − + = + − + =

;

8) 2 4 2

4 8 4 16 1

x y z t

x y z t m

+ − + = + − + = +

và 2 2 2 3

2

x y z t

x y z t m

+ − + = + − + =

;

9) 2 1

7 4 11

x y z t

x y z t m

− + + = + − + =

và 2 2 2 3

2

x y z t

x y z t m

+ − + = + − + =

;

10) 2 1

4 8 4 16 1

x y z t

x y z t m

− + + = + − + = +

và 2 2 4

2

x y z t

x y z t m

+ − + = + − + =

;

11) 2 2

2 1

x y z t m

x y z t m

− + + = + − + = +

và

2

2 5 2 2 2 1

3 7 3 3 1

x y z t m

x y z t m

x y z t

+ − + = + − + = + + − + =

;

12)

2 2

2 1

7 5

x y z t m

x y z t m

x y z t m

− + + = + − + = + + − − = −

và 2

3 7 3 3 1

x y z t m

x y z t

+ − + = + − + =

;

13) 2 2 0

2

x y z mt

x y z t m

− + − = + − + =

và

2 2 3 3

1

3 3 4 2

x y z t u

x y z t u

x y z t u m

− + − + = + − − + = + + − + =

;

14)

2 2 0

2 3

3 3

x y z t

x y z t m

x z mt

− + − = + − + = + − =

và 2 2 3 3

1

x y z t u m

x y z mt u

− + − + = + − − + =

;

15)

2 1

2 4 2

7 4 11

x y z t

x y z t

x y z t m

− + + = + − + = + − + =

và 2 2 2 3

2

x y z t

x y z t m

+ − + = + − + =

;

16)

2 1

2 4 2

4 8 4 16 1

x y z t

x y z t

x y z t m

− + + = + − + = + − + = +

và 2 2 4

2

x y z t

x y z t m

+ − + = + − + =

;

17) 7 4 11

4 8 4 16 1

x y z t m

x y z t m

+ − + = + − + = +

và

2 2 4

2 2 2 3

2

x y z t

x y z t

x y z t m

+ − + = + − + = + − + =

.

........................................................................................


Trang 12

CHƯƠNG III. KHÔNG GIAN VECTOR Câu 1. Xét xem các tập hợp với các phép toán xác định sau đây, tập hợp nào là không gian vector trên ℝ ?

1) Tập hợp các đa thức hệ số thực, có bậc tùy ý với phép cộng đa thức và phép nhân một số với một đa thức; 2) Tập hợp 2ℝ với phép cộng và phép nhân vô hướng:

( ; ) ( ; ) ( ; ), ( ; ) ( ; ) , , , ,a b c d a c d a b a b a b c dλ λ λ λ+ = + = ∀ ∈ ℝ ;

3) Tập hợp 2ℝ với phép cộng và phép nhân vô hướng: ( ; ) ( ; ) ( ; ), ( ; ) ( ; ) , , , ,a b c d a c b d a b a b a b c dλ λ λ+ = + − = + ∀ ∈ ℝ ;

4) Tập hợp 2ℝ với phép cộng và phép nhân vô hướng: ( ; ) ( ; ) ( ; ), ( ; ) ( ; ) , , , ,a b c d a d a b a b a b c dλ λ λ+ = = ∀ ∈ ℝ ;

5) Tập hợp 2ℝ với phép cộng và phép nhân vô hướng: ( ; ) ( ; ) ( ; ), ( ; ) ( ; ) , , , ,a b c d ac bd a b a b a b c dλ λ λ+ = = + ∀ ∈ ℝ ;

6) Tập hợp 2ℝ với phép cộng và phép nhân vô hướng: ( ; ) ( ; ) ( ; ), ( ; ) ( ; ) , , , ,a b c d ac bd ad bc a b a b a b c dλ λ λ λ+ = + − = ∀ ∈ ℝ .

Câu 2. Xét xem các tập hợp xác định sau đây, tập hợp nào là không gian vector con của nℝ ?

1) Tập hợp { }1 2 1( ; ;...; ) 2n

n nA x x x x x= ∈ =ℝ ;

2) Tập hợp { }2

1 2 1 2( ; ;...; ) n

nB x x x x x= ∈ =ℝ ;

3) Tập hợp { }1 2 1( ; ;...; ) 1, 1,2,..., 1n

n i iC x x x x x i n

+= ∈ = + = −ℝ ;

4) Tập hợp { }1 2 1( ; ;...; ) 0n

n nD x x x x x= ∈ = =ℝ ;

5) Tập hợp { }2 2

1 2 1 2( ; ;...; ) 1n

nE x x x x x= ∈ = =ℝ ;

6) Tập hợp { }1 2( ; ;...; ) , 1,2,...,n

n iC x x x x i n= ∈ ∈ =ℝ ℚ .

Câu 3. Trong 3ℝ , xét xem vector u có phải là tổ hợp tuyến tính của 1

u , 2

u , 3

u không?

1) 1

( 2; 1; 0)u = − , 2

(3; 1; 1)u = − , 3

(2; 0; 2)u = − ; (1; 1; 1)u = ;

2) 1

(2; 1; 3)u = − , 2

(0; 1; 1)u = − , 3

(2; 2; 2)u = ; (2; 1; 5)u = − ;

3) 1

(2; 4; 3)u = , 2

(1; 1; 0)u = − , 3

(3; 3; 3)u = ; ( 1; 2; 0)u = − ;

4) 1

( 2; 1; 0)u = − , 2

(3; 2; 1)u = − , 3

(1; 2; 3)u = − ; (2; 1; 1)u = − ;

5) 1

(2; 1; 3)u = − , 2

(3; 1; 2)u = − , 3

(1; 2; 2)u = − ; (2; 4; 3)u = − ;

6) 1

(2; 4; 3)u = , 2

(1; 1; 3)u = − , 3

(1; 3; 3)u = − ; ( 1; 2; 4)u = − .

Câu 4. Trong 3[ ]P x , xét xem vector u có phải là tổ hợp tuyến tính của

1u ,

2u ,

3u không?

1) 3 2

13 1u x x= − + , 3

22 1u x x= − + , 2

32 3u x=− + ; 2 25 4 2u x x x= − − ;

2) 3 2

12 2 1u x x x= + − + , 3 2

23 4u x x x= + − + , 3 2

32 5 3 5u x x x= + − + ; 2 3 2u x x= − + ;

3) 2 2

15 4 2u x x x= − − , 3

22 1u x x= − + , 2

32 3u x= − + ; 3 23 1u x x= − + ;

4) 2

13 2u x x= − + , 3 2

23 4u x x x= + − + , 3 2

32 5 3 5u x x x= + − + ; 3 22 2 1u x x x= + − + ;

5) 3 2

13 1u x x= − + , 2 2

25 4 2u x x x= − − , 2

32 3u x= − + ; 3 2 1u x x= − + ;

6) 3 2

12 2 1u x x x= + − + , 2

23 2u x x= − + , 3 2

32 5 3 5u x x x= + − + ; 3 23 4u x x x= + − + ;

7) 3 2

13 1u x x= − + , 3

22 1u x x= − + , 2 2

35 4 2u x x x= − − ; 22 3u x= − + ;


Trang 13

8) 3 2

12 2 1u x x x= + − + , 3 2

23 4u x x x= + − + , 2

33 2u x x= − + ; 3 22 5 3 5u x x x= + − + .

Câu 5. Trong 3ℝ , tìm m để u là tổ hợp tuyến tính của 1

u , 2

u , 3

u trong các trường hợp sau

1) 1

( ; 2; 1)u m= − , 2

( 2; 1; 3)u = − , 3

(0; 1; 1)u = − ; (1; ; 2)u m= ;

2) 1

(1; 2; 3)u = − , 2

(0; 1; )u m= − , 3

(1; 3; 1)u = − ; ( ; 1; 2)u m= − ;

3) 1

(1; 2; )u m= − , 2

( 2; 1; 3)u = − , 3

(1; 3; 1)u = ; ( ; 1; 1)u m= − ;

4) 1

( ; 2; 1)u m= − , 2

(1; ; 2)u m= , 3

(0; 1; 1)u = − ; ( 2; 1; 3)u = − ;

5) 1

(1; 2; 3)u = − , 2

(0; 1; )u m= − , 3

( ; 1; 2)u m= − ; (1; 5; 1)u = − ;

6) 1

(1; 2; )u m= − , 2

( 2; 1; 3)u = − , 3

(1; 1; 1)u = − ; ( ; 1; )u m m= − ;

7) 1

(3; 2; 3)u = − , 2

(2; ; )u m m= − , 3

( ; 1; 2)u m= − ; (0; 2; 1)u = ;

8) 1

(1; ; )u m m= − , 2

( 2; 1; 1)u = − , 3

(2; 1; 1)u = − − ; ( 1; 1 ; )u m m m= + − + .

Câu 6. Trong 3ℝ , xác định , ,a b c để ( ; ; )u a b c= là tổ hợp tuyến tính của 1

u , 2

u , 3

u

1) 1

(1; 2; 1)u = − , 2

( 2; 1; 3)u = − , 3

(0; 1; 1)u = − ;

2) 1

(1; 2; 3)u = − , 2

(0; 1; 3)u = − , 3

(1; 2; 1)u = ;

3) 1

(1; 3; 0)u = − , 2

( 3; 1; 2)u = − , 3

(1; 4; 1)u = − ;

4) 1

(0; 2; 1)u = − , 2

(1; 5; 2)u = − , 3

(2; 1; 1)u = − ;

5) 1

(1; 2; 3)u = − , 2

(2; 1; 4)u = − , 3

( 1; 1; 2)u = − − ;

6) 1

(1; 2; 3)u = − − , 2

(5; 1; 3)u = , 3

(1; 1; 1)u = − ;

7) 1

(0; 2; 3)u = − , 2

(2; 3; 4)u = − , 3

(7; 1; 2)u = − ;

8) 1

(1; 2; 7)u = − , 2

( 2; 1; 3)u = − , 3

(3; 1; 2)u = − − .

Câu 7. Trong 4ℝ , biện luận sự độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính của hệ các vector sau theo m 1) {( ; 1; 3; 4), ( ; ; 2; 6), (2 ; 2; 6; 10)}A m m m m m= + ;

2) {(2; 8; 4; 7), (2; 3; 1; 4), (4; 11; 5; 10), (6; 14; 5; 18)}B m= + ;

3) {(1; 2; 1; 4), (2; 3; ; 7), (5; 8; 2 1; 19), (4; 7; 2; 15)}C m m m= + + ;

4) {( 2; 3; 2), (1; ; 1), ( 2; 2 1; 2)}D m m m m m= + + + + ;

5) {(2; 1; 1; ), (2; 1; 1; ), (10; 5; 1; 5 )}E m m m= − − ;

6) {(2; 3; 1; 4), (3; 7; 5; 1), (8; 17; 11; ), (1; 4; 4; 3)}F m= − ;

7*) {( ; 2 ; 3; 4), (1; 2; 3 ; 4 ), (1; 2 ; 3; 4 ), ( ; 2; 3; 4 )}G m m m m m m m m= ;

8*) {( ; 2 ; 3; 4), (1; 2 ; 3 ; 4), (1; 2 ; 3; 4 ), (1; 2; 3 ; 4 )}H m m m m m m m m= .

Câu 8. Trong 3ℝ , tìm ma trận chuyển từ cơ sở 1 2 3

{ , , }U u u u= sang cơ sở 1 2 3

{ , , }V v v v= và tìm [ ]V

x

trong các trường hợp sau

1) 1 2 3

{ (1; 1; 1), (1; 1; 0), (2; 0; 0)}U u u u= = − = = , [ ] (1 0 0)TU

x = và

1 2 3

{ (1; 1; 0), (1; 0; 1), (1; 1; 1)}V v v v= = = − = ;

2) 1 2 3

{ (1; 1; 1), (1; 1; 0), (2; 0; 0)}U u u u= = − = = , [ ] (1 0 2)TU

x = và

1 2 3

{ (1; 1; 0), (2; 1; 0), (1; 1; 1)}V v v v= = − = − = − ;

3) 1 2 3

{ (3; 2; 1), (1; 2; 1), (2; 2; 3)}U u u u= = = − = , [ ] (3 2 1)TU

x = và


Trang 14

1 2 3

{ (1; 1; 0), (1; 0; 1), (1; 1; 1)}V v v v= = = − = ;

4) 1 2 3

{ (2; 0; 0), (1; 1; 0), (1; 1; 1)}U u u u= = = = − , [ ] (1 0 0)TU

x = và

1 2 3

{ (1; 1; 1), (1; 0; 1), (1; 1; 0)}V v v v= = = − = ;

5) 1 2 3

{ (1; 1; 1), (2; 0; 0), (1; 1; 0)}U u u u= = − = = , [ ] (1 0 2)TU

x = và

1 2 3

{ (1; 1; 0), (1; 1; 1), (2; 1; 0)}V v v v= = − = − = − ;

6) 1 2 3

{ (3; 2; 1), (2; 2; 3), (1; 2; 1)}U u u u= = = = − , [ ] (3 2 1)TU

x = và

1 2 3

{ (1; 1; 0), (1; 1; 1), (1; 0; 1)}V v v v= = = = − ;

7) 1 2 3

{ (1; 1; 0), (1; 1; 1), (2; 1; 0)}U u u u= = − = − = − , [ ] (1 0 2)TU

x = và

1 2 3

{ (1; 1; 1), (2; 0; 0), (1; 1; 0)}V v v v= = − = = ;

8) 1 2 3

{ (1; 1; 0), (1; 1; 1), (1; 0; 1)}U u u u= = = = − , [ ] (3 2 1)TU

x = và

1 2 3

{ (3; 2; 1), (2; 2; 3), (1; 2; 1)}V v v v= = = = − .

Câu 9. Tìm 1 cơ sở và số chiều của các không gian con W sinh bởi hệ vector sau trong nℝ

1) 1

(2; 3; 4)u = , 2

(5; 4; 0)u = − , 3

(7; 1; 5)u = − , 4

(3; 2; 6)u = − trong 3ℝ ;

2) 1

( 2; 1; 1)u = − , 2

(2; 3; 1)u = − , 3

(0; 1; 4)u = − , 4

(1; 2; 7)u = − trong 3ℝ ;

3) 1

(1; 0; 0; 1)u = − , 2

(2; 1; 1; 0)u = , 3

(1; 1; 1; 1)u = trong 4ℝ ;

4) 1

(1; 0; 0; 1)u = − , 2

(2; 1; 1; 0)u = , 3

(1; 2; 3; 4)u = trong 4ℝ ;

5) 1

(1; 1; 1; 1)u = , 2

(1; 2; 3; 4)u = , 3

(0; 1; 2; 3)u = trong 4ℝ ;

6) 1

(1; 1; 1; 1; 0)u = , 2

(1; 1; 1; 1; 1)u = − − − , 3

(2; 2; 0; 0; 1)u = − trong 5ℝ ;

7) 1

(1; 1; 1; 1; 0)u = , 2

(2; 2; 0; 0; 1)u = − , 3

(1; 1; 5; 5; 2)u = trong 5ℝ ;

8) 1

(2; 2; 0; 0; 1)u = − , 2

(1; 1; 5; 5; 2)u = , 3

(1; 1; 1; 0; 0)u = − − trong 5ℝ .

Câu 10. Tìm một cơ sở và số chiều của không gian nghiệm của các hệ phương trình tuyến tính thuần nhất sau

1)

2 3 3 0

2 0

3 4 0

x y z

x y z

x y z

+ + = − + = + + =

2)

3 4 0

2 0

3 2 0

x y z

x y z

x y z

+ − = − + = − − =

3)

5 12 12 0

2 5 5 0

3 7 7 0

x y z

x y z

x y z

+ − = + − = + − =

4)

2 0

3 2 0

4 3 0

x y z

x y z

x y z

− + = − − = − + =

5)

0

2 3 0

3 4 2 0

x y z

x y z

x y z

+ + = + + = + + =

6)

3 0

4 0

2 2 5 0

x y z

x y z

x y z

− − = + + = − − =

7)

3 5 2 0

4 7 5 0

2 9 6 0

4 0

x y z

x y z

x y z

x y z

+ + = + + = + + = + − =

8)

3 2 0

2 5 0

2 7 6 0

2 4 0

x y z

x y z

x y z

x y z

+ + = + + = + + = + − =

9)

3 5 2 0

7 15 0

2 7 6 0

5 3 4 0

x y z

x y z

x y z

x y z

+ + = + + = + + = − − =

10)

2 2 2 0

2 3 2 0

2 4 7 0

x y z t u

x y z t u

x y z t u

+ − + − = + − + − = + − + + =

11)

2 3 4 0

2 4 2 5 0

2 2 0

x y z t u

x y z t u

x y z t u

+ − + − = + − − + = + − + − =

12)

2 3 4 0

2 2 0

2 2 0

x y z t u

x y z t u

x y z t u

+ − + − = + − + + = + − + − =

…………………………………………………….


Trang 15

CHƯƠNG IV. ÁNH X Ạ TUYẾN TÍNH

Câu 1. Tìm biểu thức của các ánh xạ tuyến tính : n mf →ℝ ℝ , biết ảnh của các vector trong các không gian tương ứng như sau:

1) (1; 1) (1; 2; 2)f = − − và (3; 5) (1; 0; 3)f = − ;

2) (1; 2) (1; 2; 8)f = − và (2; 3) (2; 3; 5)f − = − ;

3) (1; 1) (3; 1; 2)f − = − − và ( 3; 5) (1; 2; 3)f − = − ;

4) (1; 2) (1; 2; 1)f − = − và (1; 3) (2; 0; 5)f − = − ;

5) (1; 1; 0) (1; 2)f = , (1; 0; 1) (2; 1)f = − và (0; 1; 1) ( 1; 1)f = − − ;

6) (1; 1; 0) (3; 1; 2)f = − , (1; 0; 1) (1; 2; 2)f = và (0; 1; 1) (0; 1; 2)f = − ;

7) (1; 1; 1) (1; 2)f = , (1; 1; 0) (2; 1)f = − và (1; 0; 0) ( 1; 1)f = − − ;

8) (1; 0; 0) (3; 1; 2)f = − , (1; 1; 0) (1; 2; 2)f = và (1; 1; 1) (0; 1; 2)f = − .

Câu 2. Tìm Ker( )f , ( )d f , Im( )f và ( )r f của các ánh xạ tuyến tính sau:

1) 2 3:f →ℝ ℝ , ( ; ) ( ; 2 ; 2 )f x y x y x y x y= − + + ;

2) 2 3:f →ℝ ℝ , ( ; ) (2 ; 2 ; )f x y x y x y x y= − + − ;

3) 3 2:f →ℝ ℝ , ( ; ; ) ( ; 2 3 )f x y z x y x y z= + − − ;

4) 3 2:f →ℝ ℝ , ( ; ; ) (2 3 ; )f x y z x y z x y= − − + ;

5) 3 3:f →ℝ ℝ , ( ; ; ) (3 ; ; 2 )f x y z x x z x y z= − + + ;

6) 3 3:f →ℝ ℝ , ( ; ; ) ( ; ; )f x y z x y z x y z x y z= + + − + + − ;

7) 3 3:f →ℝ ℝ , ( ; ; ) ( ; ; )f x y z x y z x y z x y z= + + + + − − ;

8) 3 3:f →ℝ ℝ , ( ; ; ) ( 2 3 ; 4 5 6 ; 7 8 9 )f x y z x y z x y z x y z= + + + + + + .

Câu 3. Tìm m để các toán tử tuyến tính sau là song ánh:

1) 3 3:f →ℝ ℝ , ( ; ; ) ( 2 ; ; 2 )f x y z x y mz my z x y mz= − + + + − ;

2) 3 3:f →ℝ ℝ , ( ; ; ) (3 5 2 ; 4 7 ( 1) ; 4 )f x y z x y z x y m z x y mz= + + + + + + − ;

3) 3 3:f →ℝ ℝ , ( ; ; ) ( 2 3 ; ; 2 )f x y z x y z mx y z x y mz= − + − + + − ;

4) 3 3:f →ℝ ℝ , ( ; ; ) ( 5 2 ; 4 7 ; )f x y z x y mz x y mz x y z= + + + + + − ;

5) 3 3:f →ℝ ℝ , ( ; ; ) ( 2 ; ; 2 )f x y z x y z y mz x my z= − − + + − ;

6) 3 3:f →ℝ ℝ , ( ; ; ) (3 2 ; 3 ( 1) ; )f x y z x my z x y m z x y z= + + + + + + − ;

7) 4 4:f →ℝ ℝ , ( ; ; ; ) ( ; ; ; )f x y z t x y mz x my z y z mt mz t= + + + + + + + ;

8) 4 4:f →ℝ ℝ , ( ; ; ; ) ( ; ; ; )f x y z t mx y z x my z my z t mz t= + + + + + + + .


Trang 16

Câu 4. Trong 2ℝ cho cơ sở chính tắc 2

E và cơ sở 1 2

{ (3; 1), (1; 2)}B u u= = = − . Cho toán tử tuyến tính

2 2:f →ℝ ℝ và vector v . Tìm 1[ ( )]B

f v− trong các trường hợp sau:

1) 1 2

3 4Bf

= và

2

2[ ]

1Ev

− = ; 2)

1 4

3 2Bf

= và

2

2[ ]

1Ev

= − ; 3)

4 1

3 2Bf

= và

2

1[ ]

2Ev

− = ;

4) 1 3

2 4Bf

= và

2

1[ ]

2Ev

= − ; 5)

3 1

2 4Bf

= và

2

3[ ]

1Ev

= ; 6)

4 2

3 1Bf

= và

2

1[ ]

3Ev

= ;

7) 1 5

3 4Bf

= và

2

2[ ]

0Ev

= ; 8)

5 1

3 4Bf

= và

2

0[ ]

1Ev

= ; 9)

1 2

5 4Bf

= và

2

0[ ]

1Ev

= − ;

10) 1 3

5 7Bf

= và

2

0[ ]

1Ev

= ; 11)

1 7

3 5Bf

= và

2

1[ ]

0Ev

= ; 12)

7 1

5 3Bf

= và

2

0[ ]

1Ev

= .

Câu 5. Trong 3ℝ , xét cơ sở chính tắc 1 2 3

{ (1; 0; 0), (0; 1; 0), (0; 0; 1)}E e e e= = = = . Toán tử tuyến tính

3 3:f →ℝ ℝ có

2 1 0

[ ] 0 1 1

0 0 1E

f

− = −

. Tìm [ ]B

f trong các trường hợp cơ sở B sau:

1) 1 1 2 2 2 3 3 1 3

{ 2 , 2 , 3 }B u e e u e e u e e= = + =− + = + ;

2) 1 1 3 2 1 3 3 1 3

{ 2 , 2 , 3 }B u e e u e e u e e= = + =− + = + ;

3) 1 1 2 2 1 3 3 2 3

{ 2 , 2 , 3 }B u e e u e e u e e= = + =− + = + ;

4) 1 1 2 3 2 2 3 3 1 3

{ 2 , 2 , 3 }B u e e e u e e u e e= = + + = − + = + ;

5) 1 1 2 2 1 2 3 3 1 3

{ 2 , 2 , 3 }B u e e u e e e u e e= = + = − + = + ;

6) 1 1 2 2 2 3 3 1 2 3

{ 2 , 2 , 3 }B u e e u e e u e e e= = + =− + = − + ;

7) 1 1 2 3 2 1 2 3 3 1 3

{ 2 , 2 , 3 }B u e e e u e e e u e e= = + − = − + = + ;

8) 1 1 2 3 2 1 2 3 3 1 2 3

{ 2 , 2 , 3 }B u e e e u e e e u e e e= = + − = − + = − + .

Câu 6. Trong 4ℝ cho cơ sở {(1; 1; 0; 0), (0; 1; 1; 0), (0; 0; 1; 1), (0; 0; 0; 1)}B = − − − . Cho ánh xạ tuyến

tính 3 4:f →ℝ ℝ , tìm 3

[ ]BE

f trong các trường hợp sau:

1) ( ; ; ) ( ; ; ; )f x y z x y z x y x z y z= + + + + − ; 2) ( ; ; ) ( ; ; ; )f x y z x y x y z x z y z= + + + + − ;

3) ( ; ; ) ( ; ; ; )f x y z x y z x y x z y z= + + − − + ; 4) ( ; ; ) ( ; ; ; )f x y z x y x y z x z y z= − − + + − ;

5) ( ; ; ) ( ; ; ; )f x y z x y z x z x z y z= − + − + − ; 6) ( ; ; ) ( ; ; ; )f x y z x y x y z x z y z= − + + − − ;

7) ( ; ; ) ( ; ; ; )f x y z x y z x y x z y z= + − − + + ; 8) ( ; ; ) ( ; ; ; )f x y z x y x y z x z y z= + − − + − ;

9) ( ; ; ) ( ; ; ; )f x y z x y z x y x z y z= − − − + − ; 10) ( ; ; ) ( ; ; ; )f x y z x y x y z x z y z= + − − − + ;

11) ( ; ; ) ( ; ; ; )f x y z y z x y y z x y z= − − + − − ; 12) ( ; ; ) ( ; ; ; )f x y z x y y z x y z x z= + − + − + .


Trang 17

Câu 7. Cho các ánh xạ tuyến tính 2 3:f →ℝ ℝ và 2 3:g →ℝ ℝ . Xác định ánh xạ tuyến tính 2f g− biết:

1) ( ; ) ( ; 2 ; )f x y x x y x y= + − và ( ; ) ( ; 2 ; 3 )g x y x y x y y= + − ;

2) ( ; ) ( 2 ; ; )f x y x y x y x y= + + − và ( ; ) ( ; 2 ; 3 )g x y x y x y y= + − ;

3) ( ; ) ( ; 2 ; )f x y x x y x y= + − và ( ; ) ( ; 2 ; 3 )g x y x y x y x y= + − + ;

4) ( ; ) ( ; 2 ; )f x y x y x y x= − + và ( ; ) ( ; 2 ; 3 )g x y x y x y y= + − ;

5) ( ; ) ( ; 2 ; )f x y x x y x y= + − và ( ; ) ( ; 2 ; )g x y x y x y x y= − − + ;

6) ( ; ) ( ; 2 ; )f x y x y x y x y= + + − và ( ; ) ( ; 2 ; )g x y x y x y x y= + − − ;

7) ( ; ) ( 4 ; 2 ; )f x y x y x y x y= − + − và ( ; ) ( 2 ; ; 2 )g x y x y x y x= + − ;

8) ( ; ) (2 ; 3 ; 5 2 )f x y y x y x y= − − và ( ; ) (3 ; 2 3 ; 3 5 )g x y x y x y x y= + − + .

Câu 8. Tìm trị riêng và vector riêng của các toán tử tuyến tính sau:

1) ( ; ; ) ( ; 2 3 2 ; 2 )f x y z x y x y z x y z= − + + + + ; 2) ( ; ; ) ( ; ; 2 )f x y z x y y z y z= + + − − ;

3) ( ; ; ) ( 2 ; 2 3 2 ; )f x y z x y z x y z x y= − + + + + ; 4) ( ; ; ) ( ; ; 2 )f x y z x y y z x y z= + + − − ;

5) ( ; ; ) ( ; 2 3 2 ; 2 )f x y z x y x y z y z= − + + + ; 6) ( ; ; ) ( ; ; 2 )f x y z x y z y z x y z= + − + − − ;

7) ( ; ; ) ( ; 2 3 ; )f x y z x y z x y z x y z= − − + + + + ; 8) ( ; ; ) ( 2 3 ; 2 ; 2 )f x y z x y z y z y z= + − + − − ;

9) ( ; ; ) ( 2 ; 2 3 ; 3 5 )f x y z x y y z y z= − − + ; 10) ( ; ; ) (3 ; 3 ; 2 2 )f x y z y z y z x y z= − + − − ;

11) ( ; ; ) (2 3 ; 2 5 ; 2 3 )f x y z x z x z x y z= − − + + ; 12) ( ; ; ) ( 3 ; 3 2 ; 2 )f x y z y z y z x y z= − + − − .

Câu 9. Tìm trị riêng và một cơ sở của các không gian con riêng của toán tử tuyến tính 3 3:f →ℝ ℝ , biết:

1) 3

2 1 2

[ ] 5 3 3

1 0 2E

f

− = − − −

; 2) 3

0 1 0

[ ] 4 4 0

2 1 2E

f

= − −

; 3) 3

1 3 3

[ ] 2 6 13

1 4 8E

f

− = − − − −

;

4) 3

4 5 2

[ ] 5 7 3

6 9 4E

f

− = − −

; 5) 3

1 3 4

[ ] 4 7 8

6 7 7E

f

− = − −

; 6) 3

7 12 6

[ ] 10 19 10

12 24 13E

f

− = − −

;

7) 3

1 4 8

[ ] 4 7 4

8 4 1E

f

− − = − − − −

; 8) 3

15 18 16

[ ] 9 12 8

4 4 6E

f

− − = − − − −

.

Câu 10. Dùng định lý Cayley – Hamilton để tính detB trong các trường hợp sau:

1) 8 6 5 33 3 3B A A A A A= − + − + , với

1 1 0

0 1 0

5 3 2

A

= −

;


Trang 18

2) 5 4 3 25 8 3 7B A A A A A= − + − + , với

4 2 1

6 4 3

6 6 5

A

− = − − − −

;

3) 5 4 3 2

35 8 4 7B A A A A I= − + + − , với

4 2 1

6 4 3

6 6 5

A

− = − − − −

;

4) 5 4 2

33 6 7B A A A I= + − − , với

2 4 3

4 6 3

3 3 1

A

= − − −

;

5) 5 4 23 2 7B A A A A= + + − , với

2 4 3

4 6 3

3 3 1

A

= − − −

;

6) 5 4 3 2

35 8 3 7B A A A A I= − + − − , với

3 1 1

2 2 1

2 2 0

A

− = −

;

7) 5 4 3 25 8 3 2B A A A A A= − + + − , với

3 1 1

2 2 1

2 2 0

A

− = −

;

8) 6 5 3 23 4 3B A A A A A= − − + + − , với

1 3 3

3 5 3

3 3 1

A

= − − −

.

Câu 11*. Chéo hóa các ma trận vuông sau:

1)

1 4 2

3 4 0

3 1 3

A

− − = − −

; 2)

2 2 1

1 3 1

1 2 2

B

− = − − −

; 3)

1 3 3

3 5 3

6 6 4

C

− = − −

;

4)

3 1 1

1 1 1

1 1 1

D

− = −

; 5)

1 3 3

3 5 3

3 3 1

E

= − − −

; 6)

1 1 1 1

1 1 1 1

1 1 1 1

1 1 1 1

F

− − = − − − −

.

.........................................................................................


Trang 19

CHƯƠNG V. DẠNG TOÀN PHƯƠNG

PHẦN I. PHẦN CHUNG CHO A-2 VÀ C-2 Câu 1. Trong 2ℝ , cho

1 2( ; )x x x= và

1 2( ; )y y y= . Xét xem các ánh xạ sau đây có phải là dạng song tuyến

tính trên 2ℝ không. Nếu có, hãy lập ma trận của dạng song tuyến tính đó trong cơ sở chính tắc.

1) 1 2 1 2 2 1

( , ) 3 3f x y x x y y x y= + − ; 2) 1 1 1 2 2 1

( , ) 3 3f x y x y x y x y= + − ;

3) 1 1 2 2 1 2 2 1

( , ) 3 5 7f x y x y x y x y x y= − + + ; 4) 2 2

1 2 2 1 2 2( , ) 3 5f x y x x y x y y= − + + ;

5) 1 1 1 2 2 1 2 2

( , ) 3 2f x y x y x y x y x y= − + − ; 6) 2

1 1 1 2 2 1 1( , ) 3 3 2f x y x y x y x y y= + − + ;

7) 2

1 1 1 2 2 2 2( , ) 3 5f x y x y x y x y y= − + + ; 8) 2 2

1 2 1 2 1 2( , ) 3 5 4f x y x x y x y y= − + − .

Câu 2. Trong 2ℝ , cho hai cơ sở A và B . Cho dạng song tuyến tính trên 2ℝ xác định như sau:

1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 2 1(( ; ), ( ; )) 2 5 5f x x y y x y x y x y x y= − + + .

Chứng tỏ rằng f là đối xứng và kiểm chứng [ ] [ ]T

B Af P f P= , với

A BP P

→= trong các trường hợp sau:

1) {(1; 1), (2; 1)}A = − và {(1; 1), (2; 1)}B = − ; 2) {(2; 1), ( 1; 1)}A = − − và {(2; 3), (2; 5)}B = − ;

3) {(1; 2), (2; 1)}A = − và {(1; 1), (2; 1)}B = − ; 4) {(2; 1), ( 1; 1)}A = − − và {(2; 5), (2; 3)}B = − ;

5) {(1; 3), (2; 1)}A = − và {(1; 1), (2; 1)}B = − ; 6) {(2; 1), ( 1; 1)}A = − − và {(1; 3), (3; 5)}B = − − ;

7) {(1; 4), (2; 1)}A = − và {(1; 1), (2; 1)}B = − ; 8) {(2; 1), ( 1; 1)}A = − − và {(3; 5), (1; 3)}B = − − ;

9) {(3; 1), (2; 1)}A = − và {(1; 1), (2; 1)}B = − ; 10) {(2; 1), ( 1; 1)}A = − − và {(2; 5), (3; 4)}B = − ;

11) {(4; 1), (1; 2)}A = và {(1; 1), (2; 1)}B = − ; 12) {(2; 1), ( 1; 1)}A = − − và {(3; 4), (2; 5)}B = − .

Câu 3. Tùy theo m , hãy biện luận tính suy biến ( ([ ])r f n< ) hay không suy biến ( ([ ])r f n= ) của các dạng

toàn phương trên 3ℝ xác định như sau:

1) 2 2 2( ; ; ) 2 2f x y z x y z xz myz= + + + + ; 2) 2 2 2( ; ; ) 2 2f x y z x y z mxz yz= + + + + ;

3) 2 2 2( ; ; ) 2 2f x y z x y mz xz yz= + + + + ; 4) 2 2 2( ; ; ) 2 2f x y z x my z xz yz= + + + + ;

5) 2 2 2( ; ; ) 2 3 2 2f x y z x y z xy mxz= + + + + ; 6) 2 2 2( ; ; ) 2 3 2 2f x y z x y z mxy xz= + + + + ;

7) 2 2 2( ; ; ) 2 3 2 2f x y z x y mz xy xz= + + + + ; 8) 2 2 2( ; ; ) 2 2 2f x y z x my z xy xz= + + + + ;

9) 2 2 2( ; ; ) 3 2 4 2f x y z x y mz xy xz= + + + + ; 10) 2 2 2( ; ; ) 3 4 2f x y z x my z xy xz= + + + + ;

11) 2 2 2( ; ; ) 3 2 2 2f x y z x y z mxy xz= + + + + ; 12) 2 2 2( ; ; ) 3 2 4 2f x y z x y z xy mxz= + + + + . Câu 4. Tìm ma trận trực giao P làm chéo hóa các ma trận A sau:

1)

5 4 2

4 5 2

2 2 2

A

− − = − −

; 2)

3 1 1

1 3 1

1 1 3

A

=

; 3)

6 2 2

2 5 0

2 0 7

A

− = −

;

4)

1 3 1

3 1 1

1 1 5

A

− = − − −

; 5)

3 2 0

2 2 2

0 2 1

A

=

; 6)

7 2 1

2 10 2

1 2 7

A

− = − − −

.


Trang 20

Câu 5. Dùng thuật toán chéo hóa trực giao để đưa các dạng toàn phương ( ; ; )f f x y z≡ trên 3ℝ xác định như sau về dạng chính tắc:

1) 2 2 25 5 2 8 4 4f x y z xy xz yz= + + − − + ; 2) 2 2 26 5 7 4 4f x y z xy xz= + + − + ;

3) 2 2 23 3 3 2 2 2f x y z xy xz yz= + + + + + ; 4) 2 2 23 3 3 2 2 2f x y z xy xz yz= − − − + + + ;

5) 2 2 25 5 5 2 2 2f x y z xy yz xz= + + + + + ; 6) 2 2 25 5 5 2 2 2f x y z xy yz xz= − − − + + + ;

7) 2 2 29 9 9 2 2 2f x y z xy yz xz= − − − + + + ; 8) 2 2 29 9 9 2 2 2f x y z xy yz xz= + + + + + ;

9) 2 2 28 8 8 2 2 2f x y z xy yz xz= − − − + + + ; 10) 2 2 28 8 8 2 2 2f x y z xy yz xz= + + + + + ;

11) 2 2 210 10 10 2 2 2f x y z xy yz xz= + + + + + ; 12) 2 2 210 10 10 2 2 2f x y z xy yz xz= − − − + + + ;

13) 2 2 26 3 3 4 8 4f x y z xy yz xz= + + + − + ; 14) 2 2 22 5 2 4 4 2f x y z xy yz xz= + + − + − ;

15) 23 4 4 10f y xy yz xz= − + − + ; 16) 2 2 25 4 6f x y z yz xz= − + − + + .

Câu 6*. Dùng thuật toán Lagrange để đưa các dạng toàn phương 1 2 3

( ; ; )f f x x x≡ trên 3ℝ xác định như sau

về dạng chính tắc và tìm ma trận đổi biến P :

1) 2 2 2

1 2 3 1 2 1 35 4 2 4f x x x x x x x= + − + − ; 2)

1 2 2 3 1 3f x x x x x x= + + ;

3) 1 2 2 3 1 3

2 4f x x x x x x= + + ; 4) 2 2 2

1 2 3 1 2 2 3 1 34 4 3 4f x x x x x x x x x= + + − − + ;

5) 2 2 2

1 2 3 1 2 2 32 2 4 2f x x x x x x x= + + − − ; 6) 2 2 2

1 2 3 1 2 1 3 2 33 6 2 2 2f x x x x x x x x x= + + + + − ;

7) 2 2

1 3 1 2 1 3 2 32 2 2 4f x x x x x x x x=− + − + + ; 8) 2 2 2

1 2 3 1 2 1 3 2 32 3 2 2 2f x x x x x x x x x=− − − + + − .

Câu 7. Dùng thuật toán Jacobi hoặc thuật toán biến đổi sơ cấp ma trận đối xứng để đưa các dạng toàn phương

xác định như sau về dạng chính tắc:

1) 2 2( ; ) 2 6q x y x y xy= + − ;

2) 2 2( ; ) 3 8q x y x y xy= − + ;

3*) 2( ; ; ) 4 2q x y z x xy yz= + − ;

4*) 2 2( ; ; ) 2 2 2 4q x y z x z xy xz yz=− + − + + ;

5*) 2 2 2( ; ; ) 7 8 6 4 10q x y z x y z xy xz yz= + + − + − ;

6*) 2 2 2( ; ; ) 6 4 4 6 18q x y z x y z xy xz yz= + + − + − ;

7*) 2 2 2 2( ; ; ; ) 2 6 11q x y z t x y z t= + + + 2 4 6 10 2 18xy xz xt yz yt zt+ − − − − + .

………………………………….

PHẦN II. PHẦN RIÊNG CHO A-2 Câu 1. Nhận dạng và lập phương trình chính tắc (nếu đường không suy biến) các đường bậc hai cho bởi phương trình tổng quát sau:

1) 2 22 4 8 0x y xy− − + = ; 2) 2 211 4 24 15 0x y xy+ + − = ;

3) 2 2 2 8 0x y xy x y+ + + + = ; 4) 2 22 4 6 8 25 0x y xy x y− − − + − = ;


Trang 21

5) 2 2 0x y xy x y+ + + + = ; 6) 23 4 16 12 36 0y xy x y+ + + − = ;

7) 2 29 4 12 8 14 3 0x y xy x y+ + + + + = ; 8) 2 29 6 12 24 15 0x y xy x y+ + − + + = ;

9) 2 227 3 10 0x y xy+ − = ; 10) 2 25 8 4 36 0x y xy+ − − = ;

11) 2 22 4 8 0x y xy− − + = ; 12) 2 2 2 8 0x y xy x y+ + + + = ;

13) 2 25 5 4 9 0x y xy+ + − = ; 14) 2 2 18 0x y xy+ + − = ;

15) 2 211 4 24 15 0x y xy+ + − = ; 16) 2 29 16 24 20 110 50 0x y xy x y+ − − + − = . Câu 2. Nhận dạng và lập phương trình chính tắc (nếu mặt không suy biến) của các mặt bậc hai cho bởi phương trình tổng quát sau:

1) 2 2 25 5 5 10 30 20 15 0x y z x y z+ + − + − + = ;

2) 2 2 25 3 4 2 4 2 4 2 4 0x y z xy xz yz x y z+ + + + + − − − − = ;

3) 2 2 26 14 4 2 8 2 4 2 1 0x y z xy xz yz x y z+ + − + + + − + − = ;

4) 2 2 25 4 4 4 8 4 2 4 6 0x y z xy xz yz x y z+ + − + − − − − − = ;

5) 2 2 2 4 2 5 0x y z y z+ + − + + = ;

6) 2 2 23 8 8 8 6 9 0x y z yz x+ + − − − = ;

7) 2 2 220 3 14 48 0x y z xz y− − + − = ;

8) 2 2 248 14 96 48 0x y z xy z+ + − − + = ;

9) 2 2 22 2 3 2 2 16 0x y z xz yz+ + − − − = ;

10) 2 2 22 2 5 4 2 2 10 2 26 0x y z xy xz yz x z+ + − − + + − − = ;

11) 2 23 3 4 4 2 4 1 0y z xy xz yz x+ + + − + + = ;

12) 2 2 211 5 2 16 4 20 2 2 2 1 0x y z xy xz yz x y z+ + + + − + + + + = .

……………………………………………Hết…………………………………………

bÀi t Ập th ƯỜng k Ỳffs.iuh.edu.vn/files/doanvuongnguyen/bttkya2-c2dh-11-12.pdfsinh viên...

Documents