bài tập và tính toán thự · pdf filebài tập và...

Bài tập và tính toán thực hành Chương 2

1. Các bài tập về hàm nhiều biến.........................................................................................62

1.1. Tập xác định của hàm nhiều biến....................................................................................... 62 1.2. Đường mức của hàm nhiều biến ........................................................................................ 63 1.3. Vẽ đồ thị hàm hai biến ....................................................................................................... 63 1.4. Giới hạn của hàm nhiều biến.............................................................................................. 64 1.5. Vi phân của hàm nhiều biến............................................................................................... 65 1.6. Cực trị của hàm nhiều biến ................................................................................................ 66

2. Thực hành tính toán...........................................................................................................67 2.1. Vẽ đồ thị hàm số ................................................................................................................ 67 2.2. Giới hạn của hàm nhiều biến.............................................................................................. 72 2.3. Vi phân của hàm nhiều biến............................................................................................... 77 2.4. Tính gradient của hàm nhiều biến ...................................................................................... 81 2.5. Cực trị của hàm nhiều biến ................................................................................................ 81 2.6. Công thức Taylor cho hàm nhiều biến ............................................................................... 82

1. Các bài tập về hàm nhiều biến

1.1. Tập xác định của hàm nhiều biến

Hãy tìm tập xác định của các hàm nhiều biến sau:

Bài 1. a) 2 2

19

zx y

=− −

; b) 2 2 2 2( 4)(25 )z x y x y= + − − − .

Bài 2. a) 22

2 21 yxza b

= − − ; b) 1 1zx y x y

= ++ −

.

Bài 3. a) lnz xy= ; b) ln( )z y x= + .

Bài 4. 1arctan yz x−= .

Bài tập và tính toán thực hành Chương 2 63

1.2. Đường mức của hàm nhiều biến

Vẽ đường mức hoặc mặt mức của các hàm nhiều biến sau:

Bài 1. a) z x y= + ; b) 2 2z x y= − .

Bài 2. a) 2yz

x= ; b) 2 2

2xzx y

=+

.

Bài 3. a) 2 2z x y= + ; b) z x y= + .

Bài 4. a) yz xe−= ; b) u x y z= + + .

Bài 5. a) 2 2 2u x y z= + − ; b) 2 2 2 2u x y z t= + + + .

Bài 6. Hãy vẽ trên mặt phẳng tập tất cả những điểm ( , )x y mà 1 1 1x y+ > .

1.3. Vẽ đồ thị hàm hai biến

Chọn các giá trị cụ thể của tham số , ,a b c rồi vẽ đồ thị các hàm hai biến sau đây:

Bài 1. Vẽ mặt ellipsoid 22 2

2 2 2 1yx za b c+ + = .

Bài 2. Vẽ mặt paraboloid elliptic 22

2 2yx z

a b+ = .

Bài 3. Vẽ mặt paraboloid hyperbolic (mặt yên ngựa) 22

2 2yxz

a b= − .

Bài 4. Vẽ mặt hyperboloid một tầng 22 2

2 2 2 1yx za b c+ − = .

Bài 5. Vẽ mặt hyperboloid hai tầng 22 2

2 2 2 1yx za b c+ − =− .

Bài 6. Vẽ mặt trụ elliptic 22

2 2 1yxa b+ = .

Bài 7. Vẽ mặt trụ hyperbolic 22

2 2 1yxa b

− = .

Bài 8. Vẽ mặt trụ parabolic 2 2y ax= .

Bài 9. Vẽ mặt nón bậc hai 22 2

2 2 2 0yx za b c+ − = .

64 Giải tích các hàm nhiều biến

1.4. Giới hạn của hàm nhiều biến

Cho hàm số ( , )z f x y= . Cố định một biến, thí dụ biến y , khi ấy ta được một hàm một biến của x . Giả sử, với y cố định, giới hạn của hàm số ( , )f x y khi 0x x→ tồn tại. Như vậy, ta được một hàm của một biến y . Cho 0y y→ , ta được giới hạn lặp:

0 0lim lim ( , )y y x x

f x y→ →

.

Tương tự, ta có giới hạn lặp:

0 0lim lim ( , )x x y y

f x y→ →

Ta nói ( , )z f x y= có giới hạn bằng L khi ( , )x y tiến tới 0 0( , )x y và viết

0

0

lim ( , )x xy y

f x y L→→

=

nếu với mỗi số 0ε> tồn tại số 0δ> sao cho ( , )f x y L ε− < với mọi ( , )x y mà

0 0( , ) ( , )x y x y δ− < .

Khi 0x hoặc 0y (hay cả hai) bằng vô cùng thì định nghĩa cũng tương tụ.

Bài 1. Tìm giới hạn của hàm số 1z x y= + khi x tiến tới 0 và y tiến tới vô cùng.

Bài 2. Chứng minh rằng hàm số x yz x y−= + có tính chất:

0 0

lim lim 1x y

x yx y→ →

− =−+ và 0 0

lim lim 1y x

x yx y→ →

− =+ ,

do đó không tồn tại 00

limxy

x yx y→

→

−+ .

Bài 3. Cho hàm số: 2 2

2 2 2( , )( )

x yf x yx y x y

+=+ + −

. Hãy chỉ ra rằng

0 0 0 0lim lim ( , ) lim lim ( , ) 0x y y x

f x y f x y→ → → →

= = ;

tuy nhiên không tồn tại 00

lim ( , )xy

f x y→→

.

Bài 4. Tính các giới hạn lặp và giới hạn của các hàm số sau đây:

a) 2 2

2 2x yx y

−+

khi x và y tiến tới 0 .

b) 2 2x y

x xy y+

− + khi x và y tiến tới 0 .


c) 1 1sin sinx yy x+ khi x và y tiến tới 0 .

d) 2 2

4 4x yx y++

khi x và y tiến tới vô cùng.

e) 2 2 ( )( ) x yx y e− ++ khi x và y tiến tới vô cùng.

f) 22 2( )x

xy

x y+ khi x và y tiến tới vô cùng.

g) 3 3

2 2x yx y++

khi x và y tiến tới 0.

h) tan( )xyx khi x và y tiến tới 0.

i) 2 22 2( )x yx y ++ khi x và y tiến tới 0.

j) 2

1(1 )x

x yx++ khi x tiến tới vô cùng và y tiến tới 0.

k) 2 2

ln( )yx e

x y

+

+ khi x tiến tới 1 và y tiến tới 0.

l) sin( )xyx khi x tiến tới 2 và y tiến tới 0.

1.5. Vi phân của hàm nhiều biến

1. Tính đạo hàm riêng

Bài 1. (Thi vào giai đoạn 2, hệ tại chức, ĐHBK Hà Nội)

Cho yu x= . Tính 2

, ,u u ux y x y

∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂

.


Cho 2 6z y x y x y= − − + . Tính 2

, ,u u ux y x y

∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂

.


Cho 23 2 8 8z x x y y x= − + − + . Tính 2

, ,u u ux y x y

∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂

.

Bài 4. Cho hàm số


2 22 2

2 2 0( , )

0 0

x yxy khi x yf x y x y

khi x y

− + ≠= + = =

.

Đẳng thức sau đây có đúng không 2 2( , ) ( , )f x y f x y

x y y x∂ ∂=∂ ∂ ∂ ∂ .

Bài 5. Tìm một hàm hai biến x và y hai lần khả vi liên tục theo từng biến trong miền

{ }2 2( , ) : 1U x y x y= + <

và không có đạo hàm hỗn hợp 2 ( , )f x y

x y∂∂ ∂ và

2 ( , )f x yy x

∂∂ ∂ tại điểm (0,0).

2. Tính gradient của hàm nhiều biến

Bài 1. Tìm gradient của hàm số 23 2x yz+ .

Bài 2. Tìm gradient của hàm số 2xy z− tại điểm ( 9,12,10)M − .

Bài 3. (Thi môn Giải tích, học kỳ 2, 1999-2000, ĐHBK Hà Nội) Cho 2

2 2( , )2

= − +yP x y xy xx

, 2 3( , ) 2 1= − + +Q x y y x x y y .

Chứng minh rằng tồn tại hàm ( , )u x y có ( , ) ( , )du P x y dx Q x y dy= + . Tìm hàm ( , )u x y thỏa mãn: ( , ) ( , )du P x y dx Q x y dy= + .

3. Đạo hàm theo hướng

Bài 1. (Thi môn Giải tích, học kỳ 2, 1999-2000, ĐHBK Hà Nội)

Tính đạo hàm của hàm số 2 3=u xy z , tại điểm M(1,2,-1) theo hướng xác định

bởi MN với N(0,4,-3).

Bài 2. (Thi môn Giải tích, học kỳ 2, 1999-2000, ĐHBK Hà Nội)

Cho hàm số 4 4 565

u x y z= + − .

Tính ue

∂∂

tại 0 (1,2,1)M theo hướng 0 1e M M= với 1(2,0,3)M .

1.6. Cực trị của hàm nhiều biến

Bài 1. Tìm cực trị địa phương của các hàm sau đây:


a) 2 2

2 2x yx y

−+

; b) 4 4 2 22x y x xy y+ − − − ;

c) 4 4 2 22 2x y x y+ − − ; d) 2 3(6 )x y x y− − .

Bài 2. Tìm giá trị lớn nhất và bé nhất của hàm 1z x y x y= − + − − với

0 1; 0 1x y≤ ≤ ≤ ≤ .

Bài 3. (Thi vào giai đoạn 2, hệ chính qui, ĐHBK Hà Nội, 1992) Tìm cực trị của hàm

2 2z xy x y= − .

Bài 4. (Thi vào giai đoạn 2, hệ chính qui, ĐHBK Hà Nội, 1993) Tìm cực trị của hàm

1 1z xyx y= + − .

2. Thực hành tính toán

Bằng thủ công, chúng ta hầu như không thực hiện được các tính toán và vẽ đồ thị của các hàm nhiều biến (ngay cả trong trường hợp hai hoặc ba biến). Vì vậy, cũng dễ hiểu tại sao trong các giáo trình từ trước tới nay, vấn đề tính toán và biểu diễn đối với hàm nhiều biến thường ít được quan tâm và luôn tồn tại như một "lĩnh vực mơ hồ" đối với hầu hết mọi học sinh. Nhờ máy, chúng ta có thể dễ dàng đi sâu vào vấn đề này và sẽ thấy được đây là một lĩnh vực có nhiều điều thú vị. Ta có thể thực hiện các tính toán cực kỳ phức tạp hoặc vẽ được đồ thị của những hàm rất "hiểm hóc" nhờ một vài lệnh đơn giản.

2.1. Vẽ đồ thị hàm số

Trước hết chúng ta cần nạp các gói chuyên dụng cho vẽ đồ thị, bằng lệnh:

[> with(plots): [> with(plottools): 1. Vẽ đồ thị hàm một biến

a. Vẽ đồ thị hàm thông thường

Muốn vẽ đồ thị hàm thông thường ( )y f x= ta dùng lệnh:

[> plot(f(x),x=a..b); trong đó, f(x)là hàm cần vẽ đồ thị, [ , ]a b là khoảng thay đổi của biến số.

Thí dụ. Vẽ đồ thị hàm số sinx x trong khoảng 3π− đến 3π . [> plot(x*sin(x),x=-3*Pi..3*Pi);


Hình 2.3

b. Vẽ đồ thị một số dạng hàm không thông thường

Nhiều hàm số không biểu diễn được thông qua các hàm cơ bản, thí dụ như

nguyên hàm của một số hàm thường gặp như sin xx

. Việc vẽ đồ thị của chúng

thường rất khó khăn. Với lệnh plot của Maple, ta có thể vẽ đồ thị của những hàm này một cách dễ dàng.

Thí dụ. Định lý Newton-Leibnitz cho biết nguyên hàm của sin xx

có thể biểu diễn

dưới dạng tích phân xác định với cận biến 0

sinSix

tx dtt= ∫ . Ta cho máy vẽ đồ thị

hàm này trong khoảng [ 10,10]− . [> plot(Si(x),x=-10..10);

Hình 2.4

c. Vẽ đồ thị hàm cho dưới dạng ẩn.

Muốn vẽ đồ thị hàm ẩn ( , ) 0f x y = ta dùng lệnh implicitplot:


Thí dụ. Vẽ lá Descartes 3 3 3 0x y xy+ − = . [> implicitplot(x^3+y^3-3*x*y=0,x=-3..3,y=-3..3);

Hình 2.5

2. Vẽ đồ thị hàm hai biến

(i) Muốn vẽ đồ thị hàm hai biến ( , )z f x y= khi x và y thay đổi trong khoảng [ , ]x a b∈ , [ , ]y c d∈ ta dùng lệnh

[> plot3d(f(x,y),x=a..b,y=c..d); Thí dụ. Vẽ mặt paraboloid hyperbolic (mặt yên ngựa) 2 2z x y= − khi x và y thay đổi trong khoảng [ 1,1]x∈ − , [ 1,1]y ∈ − :

[> plot3d(x^2-y^2,x=-1..1,y=-1..1);

Hình 2.6

(ii) Vẽ đồ thị hàm ẩn (ba biến) ta dùng lệnh [> implicitplot3d(f(x,y,z)=0,x=a..b,y=c..d,z=m..n); Chú ý: Khi dùng lệnh implicitplot3d cần khai báo miền thay đổi của cả ba biến x=a..b,y=c..d,z=m..n, nếu thiếu miền thay đổi z=m..n của biến z thì máy sẽ báo lỗi.

Thí dụ . Vẽ mặt hyperboloid một tầng 22 2

2 2 2 1yx za b c+ − = .


[> implicitplot3d(x^2+y^2-z^2/4=1,x=-2..2,y=-2..2,z=-2..2);

Hình 2.7

3. Vẽ đường mức

Một trong những phương pháp khảo sát các hàm số nhiều biến là xét các đường mức của đồ thị, tức là những đường cong ( , )f x y c= . Với mỗi c ta được một đường mức, khi cho c thay đổi ta được một họ các đường mức (trong mặt phẳng 2 chiều). Muốn vẽ các đường mức, ta dùng lệnh contourplot.

Thí dụ 1. Vẽ đường mức của sin( )xy khi x và y thay đổi trong miền [ 3,3]− × [ 3,3]− .

[> contourplot(sin(x*y),x=-3..3,y=-3..3);

Hình 2.8


Thí dụ 2. Vẽ đường mức của 2 25

1x

x y−+ +

khi x và y thay đổi trong miền

[-3,3] [-3,3]× .

[> contourplot(-5*x/(x^2 + y^2 + 1),x=-3..3,y=-3..3);

Hình 2.9

Có thể vẽ đồng thời đường mức của nhiều đồ thị trên cùng một hệ trục.

Thí dụ 3. Vẽ đường mức của

c1 := [cos(x) - 2 cos(0.4 y), sin(x) - 2 sin(0.4 y), y]

c2 := [cos(x) + 2 cos(0.4 y), sin(x) + 2 sin(0.4 y), y]

[> c1:=[cos(x)-2*cos(0.4*y),sin(x)-2*sin(0.4*y),y]: [> c2:=[cos(x)+2*cos(0.4*y),sin(x)+2*sin(0.4*y),y]: [> contourplot({c1,c2},x=0..2*Pi,y=0..10);


Hình 2.10

2.2. Giới hạn của hàm nhiều biến

1. Giới hạn của hàm một biến

Muốn tính giới hạn của hàm một biến ( )f x khi x tiến tới a , ta dùng lệnh:

[> limit(f(x),x=a); Thí dụ 1. (Thi vô địch sinh viên Liên xô, 1977)

Tính giới hạn của hàm số tan(tan ) sin(sin )tan sin

x xx x−− khi x tiến tới 0.

[> limit((tan(tan(x))-sin(sin(x)))/(tan(x)-sin(x)),x=0); 2

Muốn tính giới hạn của hàm một biến ( )f x tại điểm x=∞ , ta thay x=a trong lệnh limit(f(x),x=a) bằng x=infinity.

Muốn tính giới hạn một phía của hàm một biến ( )f x khi x tiến tới a từ bên phải, ta thay x=a trong lệnh limit(f(x),x=a) bằng x=+a:

Thí dụ 2. Tính giới hạn của hàm số 1 1 cossin

xe xx

−− − − khi x tiến tới 0+ .

[> limit((sqrt(1-exp(-x))-sqrt(1-cos(x)))/sqrt(sin(x)), x=+0);

1


2. Giới hạn của hàm nhiều biến

Muốn tìm giới hạn của hàm hai biến ( , )f x y khi đồng thời x tiến tới a , y tiến tới b ta dùng lệnh:

[> limit(f(x,y),{x=a,y=b}); Thí dụ 1. Tìm giới hạn của hàm số 1x

y+ khi x tiến tới 0 và y tiến tới vô cùng.

[> limit(x+1/y, {x=0,y=infinity}); 0

Thí dụ 2. Tìm giới hạn của hàm số 2

4 2x y

x y+ khi x tiến tới 1 và y tiến tới 2.

[> limit((x^2*y)/(x^4+y^2),{x=1,y=2}); 25

Muốn tìm giới hạn lặp của hàm hai biến ( , )f x y khi x tiến tới a , sau đó y tiến tới b ta dùng lệnh:

[> limit(limit(f(x,y),x=a),y=b); Thí dụ 3. Tìm giới hạn của hàm số x y

x y−+ khi x tiến tới 0 và sau đó y tiến tới 0.

[> limit(limit((x-y)/(x+y),x=0),y=0); −1

Tìm giới hạn của hàm số trên khi y tiến tới 0 và sau đó x tiến tới 0.

[> limit(limit((x-y)/(x+y),y=0),x=0); 1

Hai giới hạn trên không bằng nhau, suy ra giới hạn của hàm số trên khi cả x và y đồng thời tiến tới 0 không tồn tại, máy trả lời “undefined” (không xác định):

[> limit((x-y)/(x+y),{y=0,x=0}); undefined

Thí dụ 4. Cho hàm số: 2 2

2 2 2( , )( )

x yf x yx y x y

=+ −

. Chứng minh rằng

0 0 0 0lim lim ( , ) lim lim ( , ) 0x y y x

f x y f x y→ → → →

= = .

Tuy nhiên, 00

lim ( , )xy

f x y→→

không tồn tại.


Trước tiên ta tính giới hạn lặp khi x tiến tới 0, sau đó y tiến tới 0:

[> limit(limit(x^2*y^2/(x^2*y^2+(x-y)^2),x=0),y=0); 0

và giới hạn lặp khi y tiến tới 0, sau đó x tiến tới 0:

[> limit(limit(x^2*y^2/(x^2*y^2+(x-y)^2),y=0),x=0); 0

Tính giới hạn khi x và y đồng thời tiến tới 0:

[> limit(x^2*y^2/(x^2*y^2+(x-y)^2),{x=0,y=0}); Máy không trả lời.

Thí dụ 5. Tính giới hạn lặp của 2 2

2 2x yx y

−+

khi x tiến tới 0, sau đó y tiến tới 0:

[> limit(limit((x^2-y^2)/(x^2+y^2),x=0),y=0); −1

Tính giới hạn lặp của hàm số trên khi y tiến tới 0, sau đó x tiến tới 0:

[> limit(limit((x^2-y^2)/(x^2+y^2),y=0),x=0); 1

Tính giới hạn của hàm số trên khi x và y đồng thời tiến tới 0:

[> limit((x^2-y^2)/(x^2+y^2),{x=0,y=0}); undefined

Chú ý là máy dễ dàng tính các giới hạn lặp (như là giới hạn của hàm một biến) hoặc các giới hạn bình thường (xem các bài tập 4,5), tuy nhiên, đối với những bài tập khó, nếu không có tác động gì thêm, máy thường không tính được giới hạn theo cả hai biến. Dưới đây là các ví dụ. (Bạn đọc có thể thử tìm cách tác động để máy tính được).

Thí dụ 6. Tìm giới hạn của hàm số 2 2x y

x xy y+

− + khi x và y tiến tới vô cùng.

[> f(x,y):=(x+y)/(x^2-x*y+y^2); 2 2( , ) : x yf x y

x xy y+=

− +

[> limit(limit(f(x,y),x=infinity),y=infinity); 0

[> limit(limit(f(x,y),y=infinity),x=infinity);


0

[> limit(f(x,y),{y=infinity,x=infinity}); Máy không tính được. Ta có thể tự tính được giới hạn trên bằng 0.

Thí dụ 7. Tìm giới hạn của hàm số 2 2

4 4x yx y++


[> f(x,y):=(x^2+y^2)/(x^4+y^4); 2 2

4 4( . ) : x yf x yx y+=+

[> limit(limit(f(x,y),x=infinity),y=infinity); 0

[> limit(limit(f(x,y),y=infinity),x=infinity); 0

[> limit(f(x,y),{y=infinity,x=infinity}); Máy không tính được. Ta có thể tự tính được giới hạn trên cũng bằng 0.

Thí dụ 8. Tìm giới hạn của hàm số 2 2 ( )( ) x yx y e− ++ khi x và y tiến tới dương vô cùng. [> f(x,y):=(x^2+y^2)*exp(-(x+y));

2 2 ( )( , ) : ( ) x yf x y x y e− += + [> limit(limit(f(x,y),x=+infinity),y=+infinity);

0

[> limit(limit(f(x,y),y=+infinity),x=+infinity); 0

[> limit(f(x,y),{y=+infinity,x=+infinity}); Máy không tính được. Nhưng ta dễ thấy rằng đáp số là 0.

Thí dụ 9. Tìm giới hạn của hàm số 2 22 2 ( )( ) x yx y ++ khi x và y tiến tới 0.

[> f(x,y):=(x^2+y^2)^(x^2*y^2): [> limit(limit(f(x,y),x=0),y=0);

1

[> limit(limit(f(x,y),y=0),x=0);


1

[> limit(f(x,y),{y=0,x=0});

Thí dụ 10. Tìm giới hạn của hàm số 2

1(1 )x

x yx++ khi x tiến tới vô cùng và y tiến

tới 0. [> f(x,y):=(1+1/x)^(x^2/(x+y)): [> limit(limit(f(x,y),x=infinity),y=0);

exp(1)

[> limit(limit(f(x,y),y=0),x=infinity); exp(1)

[> limit(f(x,y),{y=0,x=infinity}); Chú ý: Ta biết rằng exp(1)= e1 = e . Tuy nhiên, máy không dùng kí hiệu số e như chúng ta vẫn quen dùng.

Bạn đọc tự cho máy thực hiện các lệnh tìm giới hạn sau đây:

1) Tìm giới hạn của hàm số sin( )xyx khi x tiến tới 2 và y tiến tới 0.

[> limit(sin(x*y)/y,{x=2,y=0}); 2) Tìm giới hạn của hàm số y

x y+ khi x và y tiến tới 0.

[> limit(y/(x+y),{x=0,y=0});

3) Tìm giới hạn của hàm số 1 1sin sinx yy x+ khi x và y tiến tới 0 .

[> limit(x*sin(1/y)+y*sin(1/x),{x=0,y=0});

4) Tìm giới hạn của hàm số 2

2 2( )xxyx y+


[> f(x,y):=((x*y)/(x^2+y^2))^(x^2); [> limit(limit(f(x,y),x=+infinity),y=+infinity); [> limit(limit(f(x,y),y=+infinity),x=+infinity); [> limit(f(x,y),{y=+infinity,x=+infinity});

5) Tìm giới hạn của hàm số 3 3

2 2x yx y++

khi x và y tiến tới 0.


[> limit((x^3+y^3)/(x^2+y^2),{x=0,y=0});

2.3. Vi phân của hàm nhiều biến

1. Vi phân của hàm một biến

a) Muốn tính đạo hàm (cấp 1) của hàm một biến ( )f x theo x , ta dùng lệnh:

[> diff(f(x),x); Thí dụ: Cho 1 1 1( ) sin sin 3 sin 5 sin 73 5 7f x x x x x= + + + . Tính ( )9f π′ .

[> diff(sin(x)+sin(3*x)/3+sin(5*x)/5+sin(7*x)/7 ,x); cos(x) + cos(3x) + cos(5x) + cos(7x)

[> subs(x=Pi/9,%); cos(π/9) + cos(π/3) + cos(5π/9) + cos(7π/9)

Muốn rút gọn biểu thức trên ta dùng lệnh

[> simplify(%);

( ) ( ) ( )1 cos cos 4 cos 22 9 9 9π π π+ − −

Nếu không tác động gì thêm, máy không biến đổi được biểu thức trên để được kết

quả chính xác bằng 12 . Tuy nhiên, ta có thể bắt nó kiểm tra xem “phần đuôi” có

bằng 0 hay không bằng lệnh:

[> is(cos(1/9*Pi)=cos(4/9*Pi)+cos(2/9*Pi)); true

Cho nên, khi làm việc với máy ta chớ vội thỏa mãn với những gì mà máy đem lại, mà cần phải “đào sâu suy nghĩ” xem ta có thể làm gì tốt hơn được hay không?

b) Muốn tính đạo hàm cấp k của hàm một biến ( )f x theo x , ta dùng lệnh:

[> diff(f(x),x$k); Thí dụ: Tính đạo hàm cấp 10 của hàm số 2 cos 2x x tại 0x= bằng các lệnh:

[> diff(x^2*cos(2*x),x$10); [> subs(x=0,%); [> simplify(%);


23040

Như vậy, nếu làm thủ công ta phải mất 10 lần tính đạo hàm (với lần sau phức tạp hơn hẳn lần trước), nhưng với máy ta chỉ cần 1 lệnh (đơn giản như tính đạo hàm cấp 1.

2. Vi phân của hàm nhiều biến

Muốn tính đạo hàm riêng của hàm hai biến ( , )u x y theo x , ta dùng lệnh:

[> diff(u(x,y),x); Muốn tính đạo hàm riêng cấp hai của hàm hai biến ( , )u x y theo x , sau đó theo y ta dùng lệnh:

[> diff(u(x,y),x,y); Thí dụ 1. (Thi vào giai đoạn 2, hệ tại chức, ĐHBK Hà Nội)

Cho yu x= . Tính 2

, ,u u ux y x y

∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂

.

[> u:=x^y: [> diff(u,x);

yx yx

[> simplify(%); 1yx y−

[> diff(u,y); lnyx x

[> diff(u,x,y); lny yx x xx x+

[> diff(u,y,x); lny yx x xx x+

Thí dụ 2. (Thi vào giai đoạn 2, hệ tại chức, ĐHBK Hà Nội )

Cho 2 6z y x y x y= − − + . Tính 2

, ,u u ux y x y

∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂

tại điểm (4,1).

[> z:=y*sqrt(x)-y^2-x+6*y: [> diff(z,x);

1 12yx−


[> diff(z,y); 2 6x y− +

[> diff(z,x,y); 1

2 x

[> diff(z,y,x); 1

2 x

Tính giá trị của 2 u

x y∂∂ ∂

tại điểm (4,1) bằng lệnh

[> subs(x=4,y=1,%); 1 48

[> simplify(%); 14

Thí dụ 3. (Thi vào giai đoạn 2, hệ tại chức, ĐHBK Hà Nội )

Cho 23 2 8 8z x x y y x= − + − + . Tính 2

, ,u u ux y x y

∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂

tại điểm (1,1).

[> z:=3*x^2-2*x*sqrt(y)+y-8*x+8: [> diff(z,x);

6 2 8x y− − [> diff(z,y);

1xy

− +

[> diff(z,x,y); 1y

−

[> diff(z,y,z); 1y

−

[> subs(x=1,y=1,%); −1

Thí dụ 4. Tính các đạo hàm riêng của hàm số 3 xy .

[> f(x,y):=(x*y)^(1/3):


[> diff(f(x,y),x);

2 233

y

x y

[> diff(f(x,y),y); 2 233

xx y

.

Nhiều bài tập tính đạo hàm khá phức tạp, tuy nhiên sẽ không khó khăn nếu dùng máy. Dưới đây là một số ví dụ.

Thí dụ 5. Tính đạo hàm riêng theo biến x của hàm

( , ) ( 1)arcsin xf x y x y y= + −

tại điểm y=1.

[> f(x,y):=x+(y-1)*arcsin(sqrt(x/y)): [> diff(f(x,y),x);

111

yx xy y y

−+−

[> subs(y=1,%); 1

Thông thường, để tính được đạo hàm cấp cao, ta phải lần lượt tính các đạo hàm cấp thấp hơn. Một trong những ưu điểm của việc dùng máy là nó tính trực tiếp ngay cho ta đạo hàm cấp cao.

Thí dụ 6. Tính đạo hàm riêng cấp hai của hàm sinxy yxe x+ .

[> z:=x*exp(x/y)+sin(y/x): [> diff(z,x$2);

2

2 4 3

sin cos2 2

x xy y

y yy ye xe x xy y x x+ − +

[> diff(z,x,y); 2

2 3 3 2

sin cos2

x xy y

y yyxe x e x xy y x x

− − − −

[> diff(z,y,y); 2 3

3 4 2

sin2

x xy y

yx e x e x

y y x+ − .


2.4. Tính gradient của hàm nhiều biến

Muốn tính gradient của hàm hai hay nhiều biến ( , )f x y , ta sử dụng gói công cụ "Đại số tuyến tính" và gọi nó ra bằng lệnh:

[> with(linalg): Sau đó ta dùng lệnh:

[> grad(f,[x,y]); Thí dụ 1. Tìm gradient của hàm số 23 2x yz+ .

[> grad(3*x^2 + 2*y*z, vector([x,y,z])); [6 ,2 ,2 ]x z y .

Thí dụ 2. Tìm gradient của hàm số 2xy z− tại điểm ( 9,12,10)M − .

[> f:=x*y-z^2; 2( , )f x y xy z= − .

[> grad(f,[x,y,z]); [ , , 2 ]y x z− .

[> subs(x=-9,y=12,z=10,%); [12, 9, 20]− − .

2.5. Cực trị của hàm nhiều biến

Muốn tìm cực tiểu của hàm nhiều biến ta dùng lệnh minimize .

Thí dụ 1. Tìm giá trị cực tiểu của 2 2 3x y+ + .

[> minimize(x^2+y^2+3); 3

Khi dùng lệnh minimize(f(x,y),{x}) thì máy sẽ hiểu là tìm cực tiểu của hàm số đã cho theo biến x , các biến còn lại là hằng số.

Thí dụ 2. Tìm cực tiểu theo x của 2 2 3x y+ +

[> minimize(x^2+y^2,{x}); 2 3y +


Muốn tìm cực tiểu của một hàm ( , )f x y trên đoạn [ , ] [ , ]a b c d× thì dùng lệnh

[> minimize(f(x,y),{x,y},{x=a..b,y=c..d}) .

Thí dụ 3. Tìm cực tiểu theo x của 2 2x y+ khi x thay đổi trên đoạn [ 10,10]− và y thay đổi trên đoạn [10,20] .

[> minimize(x^2+y^2,{x,y},{x=-10..10,y=10..20}); 100

Nhiều khi máy cũng chịu, không tính nổi cực trị.

Thí dụ 4. Tìm cực tiểu và cực đại của hàm số 2 2

2 2x yx y

−+

.

[> minimize((x^2-y^2)/(x^2+y^2)); [> maximize((x^2-y^2)/(x^2+y^2)); Máy không cho kết quả. Bạn hãy tìm hiểu vì sao?

2.6. Công thức Taylor cho hàm nhiều biến

Muốn tính chuỗi Taylor cho hàm nhiều biến trước tiên ta phải vào thư viện bằng lệnh readlib(mtaylor) (gọi công cụ về chuỗi Taylor cho hàm nhiều biến trong thư viện, chỉ cần một lần gọi trong suốt ca làm việc). Sau đó vào lệnh mtaylor(f(x,y),[x,y],n), trong đó n là chỉ số lớn hơn bậc cao nhất của các thừa số đầu tiên trong chuỗi Taylor.

Thí dụ 1. Tính các thừa số đầu tiên trong khai triển Taylor của hàm hai biến 2 2sin( )x y+ .

[> readlib(mtaylor): [> mtaylor(sin(x^2+y^2), [x,y]);

2 2x y+

Thí dụ 2. Tính các thừa số đầu tiên nhỏ hơn 8 trong khai triển Taylor của 2 2sin( )x y+ .

[> mtaylor(sin(x^2+y^2),[x,y],8); 2 2 6 2 4 4 2 61 1 1 1

6 2 2 6x y x y x y x y+ − − − −

Muốn có khai triển Taylor theo một biến tại một điểm a nào đó của biến ấy ta dùng lệnh mtaylor(f(x,y),[x=a,y],n).


Thí dụ 3. Tính các thừa số đầu tiên nhỏ hơn 3 trong khai triển Taylor theo biến x tại điểm π của hàm hai biến 2 2sin( )x y+ và đơn giản kết quả:

[> mtaylor(sin(x^2+y^2),[x=sqrt(Pi),y],3); 2 22 ( ) ( )x x yπ π π− − − − −

[> simplify(%); 2 2x yπ− − .

bài tập và tính toán thự · pdf filebài tập và...

Documents