bibliografia ley de seno
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Universidad Pedagógica Nacional
Francisco Morazán
Facultad de Ciencia y Tecnología
Departamento de Matemáticas
Práctica profesional I
Catedrático: Lic. Luis Soto
Estudiantes: Heyzzi Carolina Perez Coello
Registro: 0801199206190
Ley de SenosFUNCIONES TRIGONOMETRICAS Sea t un número real y P=(a,b) el punto sobre el circulo
unitario que corresponde a t.
FUNCION SENO La función seno asocia con t la coordenada y de P y es denotada por
Sen ( t )=b
Si ninguno de los ángulos de un triángulo es recto, el triángulo es oblicuo. Así un triángulo oblicuo tendrá dos ángulos agudos o bien dos ángulos agudos y un ángulo obtuso (un ángulo entre 90 ° y
180 °). En el análisis siguiente siempre señalaremos un triángulo oblicuo de modo que el lado a sea opuesto al ángulo α, el lado b opuesto a β y el lado c opuesto a γ.
Resolver un triángulo oblicuo significa encontrar las longitudes de sus lados y las medidas de sus lados. Para hacer esto necesitamos conocer la longitud de un lado junto a otros dos
datos: dos ángulos, o dos lados, o un ángulo y otro lado. De ese modo existen 4 posibilidades: LAA o ALA, LLA, LAL y LLL.
La ley de senos se utiliza para resolver triángulos de los casos LAA o ALA Y LLA.
TEOREMA DE LEY DE LOS SENOS Para un triángulo de lados a,b, c y ángulos opuestos α, β, γ, respectivamente
sen (α )a
=sen (β)b
=sen (γ )c
Al aplicar la ley de los senos para resolver triángulos utilizamos el hecho de que la suma de los ángulos de cualquier triángulo es igual a 180°; es decir α+β+γ=180 °.
Uso de la ley de los senos para resolver un triángulo LAA
Resuelva el triángulo: α=40° , β=60 ° ,a=4
El tercer ángulo γ es fácil de encontrar con la ecuación:
α+β+γ=180 °
40 °+60 °+γ=180 °
γ=80°
Ahora utilizamos la ley de los senos dos veces para determinar los lados b y c.
sen (α )a
=sen (β)b
sen (α )a
=sen (γ )c
Como a=4 , α=40 ° , β=60° , γ=80 ° tenemos que:
sen (40 ° )4
=sen(60° )
b
sen (40 ° )4
=sen(80° )
c
De este modo, b=4 sen(60 ° )sen (40 ° )
≈5.39 y c=4 sen (80 °)sen(40 °)
≈6.13
Uso de la ley de los senos para resolver un triángulo ALA
Resuelva el triángulo: α=35 ° , β=15° , c=5.
Como conocemos dos ángulos (α=35 ° y β=15 ° ¿ encontramos el tercer ángulo mediante la ecuación α+β+γ=180 °
35 °+15 °+γ=180 °
γ=130 °
Ahora que conocemos los 3 ángulos y un lado (c=5¿del triangulo. Para determinar los otros dos lados a y b, utilizamos dos veces la ley de senos:
sen (α )a
=sen (γ )c
sen (β)c
=sen (γ )c
sen (35 °)a
=sen (130 °)
5
sen (15 °)b
=sen (130 °)
5
a=5 sen(35°)sen (130° )
≈3.74 b=5 sen(15°)sen (130° )
≈1.69
Uso de la ley de los senos para resolver un triángulo LLA
Resolver el triángulo: a=3 , b=2, α=40° .
Como conocemos a=3 , b=2, α=40° podemos utilizar la ley de los senos para encontrar β.sen (α )a
=sen (β)b
= sen (40 ° )
3=sen(β )2
por lo que sen (β )=2 sen(40)3
≈0.43
Existen dos ángulos β, 0 °<β<180 ° , para los que sen (β )≈0.43: β ≈25.4 ° y β≈154.6 ° .
Descartamos la segunda posibilidad pues α=40°, lo que hace que α+β≈196 °>180 °. Ahora con β ≈25.4 °, tenemos que γ=180 °−α−β≈114.6° .
Ahora podemos encontrar el lado c con la ley de los senos:
sen (α )a
=sen (γ )c
= sen (40 ° )3
=sen(114.6 °)
c
por lo que
c=3 sen (114.6° )sen (40 ° )
≈ 4.24
Referencia: Sullivan, M. (1997). Precálculo. Mexico: Pearson Educación.
Considere en triangulo ABC, que se muestra en la figura con ángulos α ,β , γ y con lados opuestos a, b y c respectivamente. Si conocemos la longitud de un lado y otras dos partes del triángulo, podemos encontrar tres las tres partes restantes utilizando la ley del seno:
sen (α )a
=sen (β )b
=sen (γ )c
Demostración:
Como muestra la figura, sea h la altura desde el vértice A hasta el lado BC. Se sigue que:
hc=sen(β )
o h=c sen (β)
Similarmente,
hb=sen(γ )
o h=bsen (γ )
Igualando las expresiones tenemos que:
c sen (β )=bsen (γ )
sen (β )b
=sen ( γ )c
De manera similar podemos probar que:
sen (α )a
=sen (β)b
Combinando las ecuaciones obtenemos que:
sen (α )a
=sen (β )b
=sen (γ )c
Referencia: Zill, D. y Dewer, J. (2004). Algebra y trigonometría. Bogotá, Colombia: Mc Graw Hill.
Para poder demostrar la ley de los senos construimos la altura DB del ∆ ABC, como se muestra la figura. Utilizamos los triángulos rectángulos ABD Y CBD para obtener
sen (A )=DBc
sen (C )=DBa
Entonces DB=c sen (A) y DB=a sen (C ) de lo que se obtiene
a sen (C )=c sen ( A )
sen ( A )a
=sen (C )c
Un razonamiento similar produce
sen ( A )a
=sen (B )b
Que combinamos con el resultado anterior
sen ( A )a
=sen (B )b
=sen (c )c
Determinemos la distancia AB=c a lo ancho de la pequeña laguna que ilustra la figura, si B=108 ° ,C=39 ° y AC=950m . Redondearemos a metro más cercano
Solución: Podemos utilizar para encontrar c la ley de los senos:
sen (B )b
=sen (C )c
c=b sen(C )sen (B)
=950 sen(39 ° )sen(108 ° )
=628.62129
Por lo que AB mide 629, redondeado al metro más cercano.
Referencia: Sobel, M. y Learner, N. (1998). Precálculo. México: Prentice Hall.