biblioteca de la universidad de la rioja - gamecuaciones: de … · 2015-08-26 · página - 10 -...

Iván Godoy San José

Clara Jiménez Gestal

Facultad de Letras y de la Educación

Máster universitario en Profesorado de ESO, Bachillerato, FP y Enseñanza de Idiomas

Matemáticas

2014-2015

Título

Director/es

Facultad

Titulación

Departamento

TRABAJO FIN DE ESTUDIOS

Curso Académico

GamEcuaciones: De ecuación a ecuación y tiro porqueme toca

Autor/es

© El autor© Universidad de La Rioja, Servicio de Publicaciones, 2015

publicaciones.unirioja.esE-mail: [email protected]

GamEcuaciones: De ecuación a ecuación y tiro porque me toca, trabajo fin deestudios

de Iván Godoy San José, dirigido por Clara Jiménez Gestal (publicado por la Universidadde La Rioja), se difunde bajo una Licencia

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TRABAJO FIN DE MASTER

GAMECUACIONES: DE ECUACIÓN A

ECUACIÓN Y TIRO PORQUE ME TOCA

AUTOR Iván Godoy San José TUTORA Clara Jiménez Gestal

CURSO 2014/2015

ESPECIALIDAD Matemáticas

Página - 2 - Iván Godoy San José - Máster de Profesorado

ÍNDICE

1. Introducción

2. Marco teórico

3. Memoria de prácticas 1. Análisis del centro

2. Breve análisis del PEC

3. Análisis de los grupo-clase 1. Características psicopedagógicas y psicosociales

2. Características socioculturales

4. Procesos de enseñanza aprendizaje empleados

5. Unidad didáctica de la ESO, primer curso, ud Ecuaciones.

4. Título proyecto innovación 1. Introducción y contextualización

2. Objetivos

3. Marco teórico

4. Descripción del proyecto

5. Criterios y métodos de evaluación

6. Conclusiones

5. Referencias y bibliografía

Anexos ANEXO I EJERCICIOS Y SOLUCIONES DE LA UD DE INICIACIÓN AL

ÁLGEBRA. ECUACIONES

ANEXO II PRUEBA ESCRITA FINAL DE LA UD DE INICIACIÓN AL

ÁLGEBRA. ECUACIONES

ANEXO III DOCUMENTOS A ENTREGAR DEL PROYECTO

ANEXO IV ENCUESTA PARA LOS ALUMNOS SOBRE EL PROYECTO

Iván Godoy San José - Máster de Profesorado Página - 3 -

ÍNDICE UD ECUACIONES:

1. Introducción

2. Justificación

3. Descripción de la unidad didáctica

4. Contextualización a. Legislación vigente

b. Ámbito curricular

5. Contribución a la adquisición de las competencias

básicas

6. Objetivos a. Introducción a la programación didáctica del curso

b. Capacidades generales

c. Objetivos generales

d. Objetivos específicos

7. Contenidos a. Conceptos

b. Procedimientos

c. Actitudes

d. Contenidos transversales

8. Criterios de evaluación a. Conexiones entre competencias básicas y criterios de

evaluación

9. Metodología a. Aspectos generales

b. Secuenciación

c. Actividades

10. Recursos

11. Atención a la diversidad

12. Evaluación a. Procedimientos de evaluación

b. Criterios de calificación

c. Evaluación de la unidad didáctica


1. INTRODUCCIÓN

En este documento se expone el Trabajo de Fin de Máster del alumno Iván Godoy San

José. En él quedarán reflejadas todas las competencias adquiridas a lo largo del año

tanto en las asignaturas cursadas en la universidad como en las prácticas externas

realizadas en el colegio "Salesianos Los Boscos".

Las asignaturas cursadas se dividen en dos grupos:

Asignaturas genéricas:

Sociedad, familia y educación.

Procesos y contextos educativos.

Aprendizaje y desarrollo de la personalidad.

Asignaturas específicas de matemáticas:

Complementos para la formación disciplinar.

Innovación docente e iniciación a la investigación educativa.

Aprendizaje y enseñanza de las matemáticas.

Este trabajo se divide en 4 grandes partes. Esta primera parte de introducción al

mismo. Una segunda parte que hace referencia al marco teórico. Dicho apartado

recoge los procesos de enseñanza-aprendizaje cursados en este Máster. El siguiente

apartado está relacionado con las prácticas externas realizadas al principio del

segundo semestre. En este apartado se optará por incluir un breve análisis del PEC y de

los procesos de enseñanza-aprendizaje utilizados a la hora de dar clase. Por último en


este tercer apartado también se incluirá una unidad didáctica. Finalmente en el cuarto

y último apartado de este trabajo de fin de máster se incluye un proyecto de

innovación relacionado con la gamificación.


2. MARCO TEÓRICO

¿Qué es aprender?

El aprendizaje es aquel cambio que se da en una persona y que de alguna forma,

permanece en ella. Cuando una persona aprende algo logra un cambio en su

conducta.

Cada alumno tiene un nivel de aprendizaje diferente y distintos factores que

condicionan este aprendizaje. Un buen profesor debe saber diferenciar qué necesita

cada alumno dentro de las posibilidades que tiene.

La misma clase no surte el mismo efecto en todos los alumnos, pues hasta el mismo

alumno en diferentes días es probable que no aprenda lo mismo.

Hoy en día contamos con un factor clave, la motivación. La motivación de los alumnos

de hoy en día es escasa. Herramientas tecnológicas como los móviles, tablets u

ordenadores despiertan en los alumnos más interés que cualquier profesor.

La última afirmación puede ser cierta si nos dejamos llevar por el pasotismo y la

desilusión. El error está en pensar que no podemos hacer nada. Aún estamos a tiempo

de utilizar estas tecnologías para que nuestros alumnos aprendan.

Si somos capaces de aprovechar las ganas que tienen de manejar estas tecnologías y

lo canalizamos hacia el estudio y el aprendizaje, el resultado puede ser sorprendente.

Ese es el objetivo del proyecto de innovación del presente documento.


¿Qué es enseñar?

Enseñar es favorecer que los alumnos construyan su conocimiento. El método más

utilizado por los profesores a lo largo de la historia para favorecer el aprendizaje de sus

alumnos ha sido la "teoría del aprendizaje conductista". Esta teoría favorece el papel

activo del profesor en clase que transmite sus conocimientos y sus alumnos lo reciben

de forma pasiva. El profesor es el responsable final de este proceso.

Por otro lado tenemos la "teoría constructivista" en la que el alumno aprende a través

del error. El alumno mantiene un papel activo y el profesor sirve de guía para que los

alumnos alcancen estos conocimientos. En esta teoría todos son responsables del

proceso de enseñanza-aprendizaje.

La teoría constructivista fomenta la creatividad y una actitud activa de los alumnos en

las clases. Los estudiantes desarrollan autonomía e independencia, además de que

aprenden a una velocidad adecuada a sus aptitudes personales. Por supuesto,

tenemos que motivar a los alumnos para que se auto-exijan y no se conformen con lo

que saben.

Los alumnos probablemente se sientan satisfechos al comprobar lo que han aprendido

mediante ellos mismos, con alguna ayuda puntual del profesor. Es de vital importancia

que los alumnos doten de sentido y significado aquello que están aprendiendo, es

decir, que sepan porqué lo aprenden, para qué les sirvió a nuestros antepasados y para

qué nos sirve ahora a nosotros.


3. MEMORIA DE PRÁCTICAS

1 ENTORNO DEL CENTRO

Salesianos Los Boscos es un colegio situado en el centro de Logroño en Calle Múgica,

entre la Gran Vía y la calle Pérez Galdós. Esta zona está próxima a diversas culturas y

religiones como cristianos y musulmanes. A este colegio viene gente de muchos países

extranjeros pertenecientes al sur y centro de América, así como de Rumanía, China,

Marruecos...

Es difícil adaptar a todos los estudiantes al mismo ritmo y, por tanto, éstos se

desdoblan en varias clases de apoyo y refuerzo en las que van adquiriendo habilidades

básicas que son necesarias para el curso en el que están.

2 BREVE ANÁLISIS DEL PEC

Los Boscos es un centro educativo cristiano, donde dedican su esfuerzo a ofrecer una

educación completa y humana a niños y jóvenes de 3 a 18 años, en un espíritu de

familia, favorecido por la presencia activa de los educadores entre los alumnos con la

finalidad de ayudar a los jóvenes, con especial atención a los más necesitados, a

situarse con dignidad en la sociedad.

Se trata de un alumnado de nivel socieconómico medio-bajo y multicultural que

alcanza a más de 25 nacionalidades distintas, aunque muchos de ellos ya tienen la

nacionalidad española.


La propuesta educativa está inspirada en los valores del Evangelio y en la manera de

como Don Bosco lo hizo realidad entre sus chavales. En el desarrollo de actividades, la

Comunidad Educativa sigue los criterios determinados en la propuesta educativa de las

escuelas salesianas. e m o Página 7

El centro se distingue de otros por:

Crear respuestas concretas a los nuevos retos sociales.

Cualificación de su acción pedagógica.

La calidad de una relación adecuada con las familias y su entorno.

La satisfacción y orgullo de todas las personas que pertenecen a esta

comunidad salesiana.

El compromiso de todos en la programación, ejecución y participación del

Proyecto Educativo.

Los Conciertos educativos garantizan que se impartan las clases básicas obligatorias y

gratuitas en los centros privados, mediante la asignación de fondos públicos. La

renovación de estos Conciertos Educativos indica la adecuación tanto del equipo

humano, como de las instalaciones y material utilizado para realizar la labor

pedagógica-didáctica que se propone.

A lo largo del tiempo, los espacios han ido acomodándose de acuerdo con las

innovaciones legislativas, a las necesidades del servicio educativo, del profesorado, de

las familias; mediante nuevas inversiones en la mejora de las instalaciones, equipos

didácticos, sistemas tecnológicos, maquinaria de talleres, etc.


3 ANÁLISIS DE LOS GRUPO CLASE

3.1 CARACTERÍSTICAS PSICOPEDAGÓGICAS Y PSICOSOCIALES

Los alumnos de 1ºA son muy trabajadores. Tienen un nivel intelectual medio y se

puede trabajar con ellos cualquier dinámica sin problemas. Responden muy bien a

todo tipo de actividades y obtienen buenos resultados a base de esfuerzo. A menudo

se ayudan entre ellos y se respetan, aunque siempre hay alguna excepción. Se puede

trabajar en grupo e individualmente. Siguen las normas y las aceptan como tales.

Los alumnos de 1ºB son todo lo contrario a sus compañeros. Es una clase difícil de

tratar. No están dispuestos a aprender ni a esforzarse para ello. Todo lo que se

consigue con ellos es porque se hace en clase a base de mucho insistir. El nivel

educativo es muy bajo. No obstante es un grupo en el que prima el buen trato, tanto

entre ellos como hacia los profesores. No es un grupo propenso a seguir las normas y a

menudo hay que llamarles la atención al respecto.

Los alumnos de 2ºB son un grupo agradable a los que les cuesta trabajar. En clase

prestan atención si estás muy encima de ellos pero en casa apenas estudian.

Hay diversos mini-grupos en esta clase lo que a veces provoca conflictos entre ellos.

No siempre respetan a los profesores así como tampoco siguen las normas. Esto

provoca que haya frecuentes expulsiones de alumnos a sus casas.

Los alumnos de 4ºB son los que han elegido seguir estudiando bachiller en años

posteriores. En general es un grupo trabajador y saben lo que deben hacer. Si es

necesario, estudian en casa y muestran una actitud activa en clase.


3.2 CARACTERÍSTICAS SOCIOCULTARALES

La mayoría de los alumnos de 1ºA son españoles. Hay un alumno de raza africana y un

musulmán adaptados totalmente al ritmo de la clase.

Pocos alumnos de 1ºB son españoles. Ya que muchos son extranjeros que han ido

llegando a España y han entrado al colegio en cursos diferentes durante la educación

Primaria. Por ello es muy difícil establecer un nivel de enseñanza ya que cada uno lo ha

ido adquiriendo de diferentes formas y tiempos.

Gran parte del alumnado de 2ºB son extranjeros. Llevan muchos años juntos y poseen

un nivel uniforme de estudios. No tienen dificultades con el idioma y están

completamente adaptados a nuestro país.

La mayoría de los alumnos de 4ºB son españoles. Los pocos alumnos extranjeros que

hay están totalmente adaptados al nivel de la clase y la siguen con normalidad a

excepción de un alumno proveniente de Inglaterra que no conoce nuestro idioma. Este

alumno sigue las clases con el correspondiente libro en Inglaterra sin ningún problema.

Se lleva un proceso de seguimiento con el que poder determinar si ha adquirido las

competencias mínimas de este cuarto curso.


4 PROCESOS DE ENSEÑANZA-APRENDIZAJE EMPLEADOS

Con 1ºA y 4ºB se ha seguido un proceso expositivo. El profesor presenta el tema que

se va a desarrollar y establece un punto de contacto previo, que le permite conocer

qué nivel de conocimientos previos poseen los alumnos. Se exponen los contenidos y

se realizan ejercicios básicos que permitan una toma de contacto con la que el alumno

se "quita el miedo". Cada ejercicio requiere de más esfuerzo que el anterior y ahí está

el aprendizaje. Ante los problemas surgen las dudas y con ellas los errores. Es a través

del error y la práctica como irán aprendiendo a superar estos ejercicios y problemas

prácticos propuestos por el profesor.

Con 1ºB se sigue un proceso diferente, que tiene parte práctica y parte expositiva. La

parte expositiva es muy dinámica y los contenidos introducidos son los mínimos

indispensables que nos permitan avanzar didácticamente.

Una vez se presentan estos contenidos mínimos se realizan multitud de ejercicios

básicos y no tan básicos para aquellos alumnos que tienen más interés por la

asignatura. Al igual que con el resto de clases, a través del error, se produce el

aprendizaje. Un aprendizaje más ralentizado debido a la falta de interés de los propios

alumnos.

Con 2ºB el proceso es una mezcla de los dos anteriores. Es una clase con la que si se

trabaja en exceso la exposición de contenidos tienden a distraerse y se consigue

avanzar poco. Por ello es conveniente comenzar exponiendo y al mínimo indicio de

distracción, comenzar a hacer ejercicios donde ellos sean los protagonistas y se les

exija explicarse con propiedad.


5 UNIDAD DIDÁCTICA. PRIMER CURSO. INICIACIÓN AL ÁLGEBRA. ECUACIONES.

5.1 INTRODUCCIÓN

Las ecuaciones son igualdades donde aparecen números y letras relacionados

mediante operaciones matemáticas. Esta unidad es importante porque ayuda a los

alumnos a sentar las bases del álgebra y comienzan a operar con expresiones

algebraicas. En esta unidad todo alumno debe agilizar su proceso de realización de

operaciones utilizando correctamente la jerarquía de las operaciones y los paréntesis.

5.2 JUSTIFICACIÓN

Las ecuaciones son una de las herramientas más útiles dentro del estudio de las

matemáticas. Podemos resolver innumerables situaciones utilizando ecuaciones,

desde problemas relacionados únicamente con las matemáticas hasta problemas

relacionados con las ciencias naturales, la física, la química, ó ramas como la

administración de empresas, la ingeniería, etc.

En esta unidad didáctica se pretende buscar una estrategia que genere el interés en el

alumno para comprender el uso de las letras para representar números y efectuar

operaciones.

A partir de datos abstractos podrá determinar valores numéricos identificando el uso

correcto de incógnitas, como X o Y. Es importante que el alumno sepa relacionar el

lenguaje matemático con un determinado contexto de su vida diaria.

Se resolverán ejercicios en los que el alumno entienda el significado de una incógnita y

el valor numérico de una expresión algebraica. Los alumnos deberán resolver los


problemas con sus procedimientos y para ello deberán encontrar variables y dotarlas

de significado.

5.3 DESCRIPCIÓN GENERAL DE LA UNIDAD DIDÁCTICA

Esta unidad didáctica pertenece al primer curso de la ESO, en la materia de

matemáticas. Se prevén once horas lectivas. Como el primer curso tiene 4 horas

lectivas semanales de esta materia, la unidad didáctica abarcará en total dos semanas

y tres días.

Esta unidad didáctica pertenece a la segunda evaluación y se desarrollará en Marzo de

2015. La unidad podrá ser modificada o alterada según se estime oportuno,

dependiendo del grado de adquisición de los contenidos por parte de los alumnos, con

el fin de maximizar el conocimiento que los alumnos puedan obtener en esta unidad

didáctica.

La principal novedad que se introduce en esta unidad es la utilización de un nuevo

software educativo, EDpuzzle y Kahoot, que se explica en el apartado de metodología.


5.4 CONTEXTUALIZACIÓN

5.4.1 LEGISLACIÓN VIGENTE

Son muchos los cambios que han ido afectando al proceso educativo en España desde

la Constitución Española de 1978. Hoy en día, cada Comunidad Autónoma es la

encargada de redactar sus propios decretos a partir la Ley Orgánica 2/2006, del 3 de

mayo, de Educación y el Real Decreto 1631/2006, del 29 de diciembre, por el que se

establecen las enseñanzas mínimas correspondientes a la Educación Secundaria

Obligatoria.

En el caso de la comunidad autónoma de la Rioja el decreto del que tenemos

referencia es el Decreto 5/2011, del 28 de enero, por el que se regula la ordenación y

se establece el currículo de la Educación Secundaria Obligatoria en la comunidad

autónoma de la Rioja.

5.4.2 ÁMBITO CURRICULAR

La unidad didáctica de "Iniciación al Álgebra. Ecuaciones", pertenece al primer curso de

la ESO. La normativa regula los siguientes aspectos:

En el Artículo 2. Principios generales (Decreto 5/2011):

“La etapa de Educación secundaria obligatoria tiene carácter obligatorio y gratuito y

constituye, junto con la Educación primaria, la educación básica. Comprende cuatro

cursos académicos, que se seguirán ordinariamente entre los doce y los dieciséis años

de edad. Con carácter general, los alumnos y las alumnas tendrán derecho a


permanecer en régimen ordinario hasta los dieciocho años de edad cumplidos en el

año en que finalice el curso.”

En el Artículo 6. Organización de los tres primeros cursos (Decreto 5/2011) se regula:

"Las materias de los tres primeros cursos de la ESO serán las siguientes: Ciencias de la

Naturaleza, Ciencias sociales, geografía e historia, Educación física, Lengua Castellana y

Literatura, Lengua extranjera, Matemáticas. Además en primero se cursará: Educación

Plástica y Visual y Tecnología.

La Consejería competente en materia de educación ordenará la oferta de las materias

optativas a lo largo de los tres primeros cursos de la etapa y establecerá su currículo y

las condiciones para su elección por parte de los alumnos. En todo caso, dicha oferta

deberá incluir una Segunda lengua extranjera y Cultura clásica.

La enseñanza de la Religión se impartirá en cada uno de los tres primeros cursos de la

etapa y se ajustará a lo establecido en la Disposición Adicional segunda del presente

Decreto."


5.5 CONTRIBUCIÓN A LA ADQUISICIÓN DE LAS COMPETENCIAS BÁSICAS

En el Decreto 5/2011 están redactadas las ocho competencias básicas. Estas

competencias, como bien dicta este Decreto: “Son aquellas competencias que debe

haber desarrollado un joven o una joven al finalizar la enseñanza obligatoria para

poder lograr su realización personal, ejercer la ciudadanía activa, incorporarse a la vida

adulta de manera satisfactoria y ser capaz de desarrollar un aprendizaje permanente a

lo largo de su vida.”

1. Competencia en comunicación lingüística.

En esta unidad se utiliza la expresión oral y escrita en la formulación y traducción de

enunciados a expresiones algebraicas y ecuaciones, teniendo especial importancia el

desarrollo de esta competencia en la resolución de problemas. El alumno ha de ser

capaz de leer y entender los enunciados planteados en la unidad, así como procesar la

información que en ellos se recoge para poder solucionarlos, es decir, tendrá que ser

capaz de redactar los procedimientos que le ayuden a resolverlos e interpretar las

soluciones.

2. Competencia matemática.

Todo el currículo de la materia contribuye a la adquisición de esta competencia. En

particular, en esta unidad de Iniciación al Álgebra, deben ser capaces de interpretar y

describir la realidad con el fin de elegir un proceso que les permita alcanzar una

solución lógica y correcta.


3. Competencia en el conocimiento y la interacción con el mundo físico.

Las clases expositivas, así como, los problemas planteados en esta unidad tienen el

propósito de ayudar al alumno a interpretar aspectos del mundo que les rodea. El

alumno ha de ser capaz de utilizar las ecuaciones para relacionar las magnitudes que le

rodean con los cálculos de sus operaciones.

4. Tratamiento de la información y competencia digital.

La incorporación de nuevas herramientas tecnológicas y de vídeos adecuados para su

aprendizaje ayudarán al alumno a mejorar el desarrollo de esta competencia. Los

alumnos deberán ser capaces de interactuar con las aplicaciones y con el resto de

compañeros para optar por la respuesta correcta.

5. Competencia social y ciudadana.

En esta unidad de Iniciación al Álgebra se intenta tratar esta competencia a la hora de

formular enunciados (por parte del profesor) y soluciones (por parte de los alumnos)

que ayuden a inculcar valores promovidos por el centro de amistad, justicia, igualdad...

6. Competencia cultural y artística.

La UD Iniciación al Álgebra permite acercarse a personas que cambiaron al mundo con

sus grandes descubrimientos científicos, los cuales tuvieron gran trascendencia en el

pensamiento y el desarrollo tecnológico de la humanidad.

7. Competencia para aprender a aprender.

En esta y en todas las unidades didácticas se ayuda al alumno a aprender a aprender.

El alumno debe labrarse su propio camino a través del continuo error-aprendizaje. El

alumno debe seguir aprendiendo a lo largo de toda su vida de una forma más eficaz y

autónoma.


8. Autonomía e iniciativa personal.

Esta unidad favorece el desarrollo de esta competencia al proponer al alumno elegir

entre los procesos aritméticos o algebraicos a la hora de resolver un problema. Los

alumnos también aprenderán a asignar a las incógnitas los valores adecuados a la hora

de traducir una ecuación del enunciado de un problema.

5.6 OBJETIVOS

5.6.1 INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN DIDÁCTICA DEL CURSO

Los Objetivos de la ESO se encuentran recogidos en el Artículo 4. Objetivos de la

Educación secundaria obligatoria (Decreto 5/2011). Los Objetivos de la enseñanza de

las Matemáticas en la ESO se recogen en el Anexo II. Matemáticas. Objetivos (Decreto

5/2011). En esta unidad se pretende alcanzar todos estos objetivos.

Mediante los criterios de evaluación, los profesores podemos comprobar si los

objetivos y las competencias básicas se han conseguido o no.


5.6.2 CAPACIDADES GENERALES

Según el Decreto 5/2011 las capacidades generales que un alumno debe adquirir en la

ESO son:

Conocer, asumir y ejercer sus derechos y deberes en el respeto a los demás,

practicar la tolerancia, la cooperación y solidaridad entre las personas y los

grupos, ejercitarse en el dialogo afianzando los derechos humanos como

valores comunes de una sociedad plural, abierta y democrática.

Adquirir, desarrollar y consolidar hábitos de disciplina, estudio y trabajo

individual y en equipo como condición necesaria para una realización eficaz de

las tareas del aprendizaje y como medio de desarrollo personal.

Fomentar actitudes que favorezcan la convivencia y eviten la violencia en los

ámbitos escolar, familiar y social.

Valorar y respetar, como un principio esencial de nuestra civilización, la

igualdad de derechos y oportunidades de todas las personas, con

independencia de su sexo, rechazando cualquier tipo de discriminación.

Desarrollar destrezas básicas en la utilización de las fuentes de información

para, con sentido crítico, adquirir nuevos conocimientos, así como una

preparación básica en el campo de las tecnologías, especialmente las de la

información y la comunicación.

Concebir el conocimiento científico como un saber integrado que se estructura

en distintas disciplinas, así como conocer y aplicar los métodos para identificar

los problemas en los diversos campos del conocimiento y de la experiencia.


Desarrollar el espíritu emprendedor y la confianza en sí mismo, la participación,

el sentido crítico, la iniciativa personal y la capacidad para aprender a aprender,

para planificar, para tomar decisiones y para asumir responsabilidades,

valorando el esfuerzo con la finalidad de superar las dificultades.

Analizar los mecanismos y valores que rigen el funcionamiento de las

sociedades, en especial los relativos a los derechos, deberes y libertades de los

ciudadanos, y adoptar juicios y actitudes personales respecto a ellos.

Además de los citados anteriormente, los siguientes son exclusivos de este primer ciclo

de la ESO:

Comprender y expresar con corrección textos y mensajes complejos, oralmente

y por escrito, en la lengua castellana, valorando sus posibilidades comunicativas

desde su condición de lengua común de todos los españoles y de idioma

internacional e iniciarse en el conocimiento, la lectura y el estudio de la

literatura.

Comprender y expresarse en una o más lenguas extranjeras de manera

apropiada.

Conocer los aspectos fundamentales de la cultura, la geografía y la historia de

España y del mundo; respetar el patrimonio artístico, cultural y lingüístico;

conocer la diversidad de culturas y sociedades a fin de poder valorarlas

críticamente y desarrollar actitudes de respeto por la cultura propia y por la de

las demás.


Conocer el funcionamiento del cuerpo humano, así como los efectos

beneficiosos para la salud del ejercicio físico y la adecuada alimentación,

incorporando la práctica del deporte para favorecer el desarrollo personal y

social.

Valorar los hábitos sociales relacionados con la salud, el consumo, el cuidado

de los seres vivos y el medio ambiente, contribuyendo a su conservación y

mejora.

Valorar la creación artística y comprender el lenguaje de las distintas

manifestaciones artísticas, utilizando diversos medios de expresión y

representación.

5.6.3 OBJETIVOS GENERALES

Los objetivos generales que se deben conseguir en este cuarto curso de la ESO según el

Decreto anteriormente citado son:

Mejorar la capacidad de pensamiento reflexivo e incorporar al lenguaje y

modos de argumentación las formas de expresión y razonamiento matemático,

tanto en los procesos matemáticos o científicos como en los distintos ámbitos

de la actividad humana, con el fin de comunicarse de manera clara, concisa y

precisa.

Aplicar con soltura y adecuadamente las herramientas matemáticas adquiridas

a situaciones de la vida diaria.


Reconocer y plantear situaciones susceptibles de ser formuladas en términos

matemáticos, elaborar y utilizar diferentes estrategias para abordarlas y

analizar los resultados utilizando los recursos más apropiados.

Detectar los aspectos de la realidad que sean cuantificables y que permitan

interpretarla mejor: utilizar técnicas de recogida de la información y

procedimientos de medida y realizar el análisis de los datos mediante el uso de

distintas clases de números y la selección de los cálculos apropiados.

Identificar los elementos matemáticos (datos estadísticos, geométricos,

gráficos, cálculos, etc.) presentes en los medios de comunicación, Internet,

publicidad u otras fuentes de información, analizar críticamente las funciones

que desempeñan estos elementos matemáticos y valorar su aportación para

una mejor comprensión de los mensajes.

Identificar las formas planas o espaciales que se presentan en la vida diaria y

analizar las propiedades y relaciones geométricas entre ellas, adquiriendo una

sensibilidad progresiva ante la belleza que generan.

Utilizar de forma adecuada los distintos medios tecnológicos (calculadoras,

ordenadores, etc.) tanto para realizar cálculos como para buscar, tratar y

representar informaciones de índole diversa y también como ayuda en el

aprendizaje.

Actuar ante los problemas que se plantean en la vida cotidiana de acuerdo con

modos propios de la actividad matemática, tales como la exploración

sistemática de alternativas, la precisión en el lenguaje, la flexibilidad para

modificar el punto de vista o la perseverancia en la búsqueda de soluciones.


Elaborar estrategias personales para el análisis de situaciones concretas y la

identificación y resolución de problemas, utilizando distintos recursos e

instrumentos y valorando la conveniencia de las estrategias utilizadas en

función del análisis de los resultados y de su carácter exacto o aproximado.

Manifestar una actitud positiva muy preferible a la actitud negativa ante la

resolución de problemas y mostrar confianza en la propia capacidad para

enfrentarse a ellos con éxito y adquirir un nivel de autoestima adecuado, que le

permitan disfrutar de los aspectos creativos, manipulativos, estéticos y

utilitarios de las matemáticas.

Integrar los conocimientos matemáticos en el conjunto de saberes que se van

adquiriendo desde las distintas áreas de modo que puedan emplearse de forma

creativa, analítica y crítica.

Valorar las Matemáticas como parte integrante de nuestra cultura: tanto desde

un punto de vista histórico como desde la perspectiva de su papel en la

sociedad actual y aplicar las competencias matemáticas adquiridas para

analizar y valorar fenómenos sociales como la diversidad cultural, el respeto al

medio ambiente, la salud, el consumo, la igualdad entre los sexos o la

convivencia pacífica.


5.6.4 OBJETIVOS ESPECÍFICOS

A continuación se detallan los objetivos específicos que se deben conseguir en esta

unidad didáctica de Iniciación al Álgebra y que son una ampliación de los objetivos

generales del currículo oficial.

1. Comprender el lenguaje algebraico y su utilidad.

2. Obtener el valor numérico de una expresión algebraica.

3. Conocer los conceptos de monomio y polinomio.

4. Realizar operaciones básicas con expresiones algebraicas.

5. Reconocer ecuaciones e identidades.

6. Resolver ecuaciones de primer grado.

7. Resolver problemas utilizando el lenguaje algebraico.

5.7 CONTENIDOS

5.7.1 CONCEPTOS

1. Lenguaje algebraico. Expresiones algebraicas.

2. Valor numérico de expresiones algebraicas.

3. Monomios y polinomios.

4. Ecuaciones e identidades. Solución de una ecuación.

5. Resolución de ecuaciones.


5.7.2 PROCEDIMIENTOS

1. Obtención de la expresión algebraica de un enunciado.

2. Cálculo del valor numérico de una expresión algebraica.

3. Suma y resta de monomios. Producto de un número por expresiones

algebraicas sencillas.

4. Identificación de soluciones de una ecuación.

5. Resolución de ecuaciones por tanteo y despejando la incógnita.

6. Planteamiento y resolución de problemas.

5.7.3 ACTITUDES

1. Valorar el lenguaje algebraico como un lenguaje sencillo que nos permite

interpretar situaciones de la vida cotidiana.

2. Confiar en las capacidades de cada uno a la hora de enfrentarse a un problema

y resolverlo con métodos algebraicos.

3. Respeto hacia todas las demás estrategias a la hora de resolver problemas

algebraicos.

4. Insistir sin cesar en la resolución de un problema, enfocándolo, si es necesario,

desde diferentes puntos de vista.


5.7.4 CONTENIDOS TRANSVERSALES

1. Educación del consumidor

Muchas de las actividades desarrolladas en esta unidad relacionan precios con

situaciones donde el consumidor es la víctima. Los alumnos pueden ver que comprar

de manera irresponsable es peligroso.

Este tema nos permite reflexionar con ellos sobre las distintas formas de vivir que hay

en el mundo (económicamente hablando), y de esta forma buscar soluciones para el

tercer mundo.

2. Educación moral y cívica

La resolución de problemas nos permite exigir precisión y orden en las soluciones.

Estos resultados son la base de una correcta educación moral y cívica. Esto podemos

potenciarlo con la realización de actividades en grupo.

De la misma forma, la diversidad de caminos que conducen a la solución de un mismo

problema nos permite respetar y debatir los resultados de otros compañeros.


5.8 CRITERIOS DE EVALUACIÓN

1. Relacionar expresiones algebraicas y enunciados de la vida cotidiana.

2. Hallar el valor numérico de una expresión algebraica.

3. Operar correctamente con expresiones algebraicas.

4. Reconocer cuándo un valor numérico dado es solución de una ecuación.

5. Hallar la solución de una ecuación de primer grado.

6. Resolver problemas reales utilizando ecuaciones y, en general, el lenguaje

algebraico.

5.8.1 CONEXIONES ENTRE LAS COMPETENCIAS BÁSICAS Y LOS CRITERIOS DE

EVALUACIÓN

En la siguiente tabla se indica, la relación entre las competencias básicas y los criterios

de evaluación de la unidad (correspondiente al apartado anterior). Cabe destacar que

solo aparecen aquellas competencias básicas que están presentes en la unidad. Cada

competencia básica se ha dividido en subcompetencias con el objetivo de aportar más

sencillez a la tabla.


COMPETENCIAS BÁSICAS / SUBCOMPETENCIAS CRITERIOS DE EVALUACIÓN

DE LA UNIDAD

Matemática

Utilizar el pensamiento matemático para interpretar y describir la realidad, así como para

actuar sobre ella. 1

Aplicar destrezas y desarrollar actitudes para razonar matemáticamente.

Todos

Comprender una argumentación matemática. 1

Expresar y comunicarse a través del lenguaje matemático.

1, 2, 3 y 6

Comunicación lingüística

Emplear el lenguaje matemático de forma oral y escrita

para formalizar el pensamiento. 2, 3, 5 y 6

Social y ciudadana

Enfocar los errores cometidos en los procesos de

resolución de problemas con espíritu constructivo, con

el fin de valorar los puntos de vista ajenos en un plano de igualdad con los propios.

4, 6

Autonomía e iniciativa personal

Aplicar los procesos de resolución de problemas para

planificar estrategias, asumir riesgos y controlar los

procesos de toma de decisiones.

6

Aprender a aprender

Ser capaz de comunicar de manera eficaz los

resultados del propio trabajo. 4, 6

Tabla 1. Muestra la relación entre las competencias básicas y los criterios de evaluación de esta UD de Iniciación al Álgebra. Ecuaciones.


5.9 METODOLOGÍA

5.9.1 ASPECTOS GENERALES

La metodología utilizada por el profesor para explicar esta unidad didáctica de

Iniciación al Álgebra se basa principalmente en:

Exposición tradicional: Los contenidos se explican en la pizarra. Los alumnos reciben

la información y preguntan las dudas manteniendo un papel activo en clase.

Exposición de vídeos educativos: Se presenta un vídeo en clase (que repasa alguno

de los contenidos expuestos por el profesor) por medio de las herramientas explicadas

a continuación. En el vídeo aparecen preguntas que los alumnos deben comprender y

resolver, ya sea por grupos de individualmente.

Descubrimiento guiado: Los alumnos intentan resolver los problemas con los

procedimientos que han ido aprendiendo en esta unidad. Se busca que el alumno sea

capaz de descubrir el camino correcto aplicando los conocimientos que ha adquirido.

Como se cita anteriormente, en esta unidad didáctica se utilizan dos herramientas que

ayudan a los alumnos a aprender. Hablamos de EDpuzzle (https://edpuzzle.com/) y de

kahoot (https://getkahoot.com/).

EDpuzzle es una herramienta informática que permite a los profesores crear y

reproducir vídeos con preguntas para que los alumnos puedan interactuar, a través de

una única pantalla, de forma individual o por equipos.


Kahoot es también una herramienta informática que permite a los profesores crear

preguntas con múltiples respuestas (al igual que la herramienta anterior). La diferencia

radica en que con esta herramienta, cada alumno necesita un dispositivo móvil (tablet,

teléfono, ordenador,...). Cada alumno da su respuesta a cada pregunta de forma que al

final el profesor obtiene los resultados de cada alumno de forma individual y

personalizada. El profesor puede saber dónde falla cada alumno, qué facilidades y qué

dificultades tienen...

Con ambas herramientas se puede crear una competición y se puede delimitar el

tiempo en el que el alumno tenga que dar una respuesta. También es posible crear

competiciones en equipo donde los alumnos tengan que ponerse de acuerdo (por

parejas, tríos,...) y dar una respuesta común, a la vez que compiten contra los demás

equipos.

En las clases en las que es necesario utilizar estas herramientas, previamente tenemos

que realizar un proceso de preparación para optimizar el tiempo de clase. Es necesario

comprobar los recursos que vamos a utilizar y dejar todo "en marcha" para poder

arrancar sin contratiempos cuando comience la clase.

Es una forma fácil y divertida de incorporar tecnología. Teniendo en cuenta que esta

unidad es un tema totalmente nuevo para los alumnos, he considerado necesario

presentarlo de una forma que me ayude a motivar a los alumnos a estudiar.


Por ello se presentarán diversos vídeos con ejercicios (utilizando EDpuzzle). Estos

vídeos me ayudarán a mantener el "hilo" de la clase y todos se adaptarán a un mismo

ritmo. Se llevarán ejercicios de más por si a algún alumno le parecen demasiado fáciles

(lo que puede propiciar que pierda motivación). Pero siempre se intentará que ningún

alumno se descuelgue debido a un ritmo demasiado alto en el planteamiento y

resolución de ejercicios y problemas.

También se propondrá una competición al final de la unidad (utilizando kahoot) que

únicamente contará para subir la nota del grupo ganador. Todos los problemas deben

ser motivadores y estarán contextualizados en situaciones reales.

Esta unidad es nueva para los alumnos de este curso, es decir, los alumnos de este

primer curso de la ESO nunca han cursado una unidad donde aparezcan operaciones

algebraicas (de ahí "Iniciación"). No se considera oportuno realizar una prueba inicial a

los alumnos, sino que se realizarán múltiples preguntas durante el transcurso de las

clases de forma aleatoria con las que podremos comprobar el grado de conocimiento

de cada uno ellos.

Antes de iniciar esta unidad didáctica se suponen asimilados los siguientes conceptos:

Unidades de medida: sistema métrico decimal.

Geometría: perímetros, superficies y volúmenes de cuerpos sencillos.


5.9.2 SECUENCIACIÓN

Se prevén once sesiones distribuidas de la siguiente manera:

Sesión 1:

1 Lenguaje algebraico. Expresiones algebraicas.

Combinación de números y letras relacionados mediante operaciones

aritméticas.

Sesión 2:

1 Lenguaje algebraico. Expresiones algebraicas.

Combinación de números y letras relacionados mediante operaciones

aritméticas.

Sesión 3:

2 Valor numérico de expresiones algebraicas.

Sustitución de una letra por un número.

Sesión 4:

3 Monomios y Polinomios.

Los monomios son multiplicaciones y divisiones de varios números o letras.

Los polinomios son sumas y restas de varios monomios.

Sesión 5:

4 Ecuaciones e identidades. Solución de una ecuación.

Una ecuación es una igualdad entre expresiones algebraicas donde aparece

al menos una incógnita. El valor numérico de la incógnita que satisface la

igualdad es la solución.


Sesión 6:

5 Resolución de ecuaciones sin denominadores.

Quitar paréntesis, trasponer términos semejantes, operar términos

semejantes, despejar la incógnita y comprobar la solución.

Sesión 7:

5 Resolución de ecuaciones con denominadores.

Aplicar mínimo común múltiplo, quitar paréntesis, trasponer términos

semejantes, operar términos semejantes, despejar la incógnita y comprobar

la solución.

Sesión 8:

Repaso de los contenidos explicados y problemas de aplicación.

Sesión 9:

Repaso de los contenidos explicados y problemas de aplicación.

Sesión 10:

Competición.

Mediante kahoot cada alumno se conecta a la partida desde su móvil, tablet,

portátil,... Deben introducir el pin de la partida que es único y esperar a que el

profesor de el pistoletazo de salida.

Cada pregunta dispone de un tiempo para ser respondida. En ese tiempo el alumno

debe responder o realizar las operaciones oportunas que den lugar a su respuesta.

Una vez el alumno se haya decantado por una opción debe elegir el color que

corresponda a su respuesta.


Esto es lo que ven en la pantalla digital del profesor:

Esto es lo que cada alumno ve en su dispositivo:


Cuando todos los alumnos respondan, cada uno de ellos verá si ha acertado o

fallado:

En la pantalla del profesor se mostrará la respuesta correcta:


Finalmente aparece la puntación obtenida por cada uno a modo de

clasificación:

El profesor puede obtener un documento donde se encuentran las respuestas

de cada alumno a cada pregunta y de esta forma ver donde sus alumnos están

más necesitados ó incluso ver donde un alumno especialmente ha fallado

mucho.


Sesión 11:

Evaluación.

5.9.3 ACTIVIDADES

Las actividades que se han planificado quedan divididas en tres grandes grupos de la

siguiente forma:

1. Participación en clase:

En las clases expositivas dando respuestas a las preguntas planteadas por

EDpuzzle ó Kahoot.

Mediante problemas que se propondrán durante la clase para que los alumnos

pongan a prueba sus conocimientos. El profesor atenderá las dudas de los

alumnos. Estas actividades se realizarán después de comprender las

exposiciones o vídeos y en las clases dedicadas a repasar el tema.

La competición también contará con ciertas actividades ordenadas de menor a

mayor dificultad que los alumnos responderán como si fuera el examen.

2. Trabajo en casa:

Los alumnos deben realizar los problemas propuestos en clase y respetar las

fechas de entrega. En el Anexo I a este documento se recogen los ejercicios y

soluciones propuestos para esta UD.


3. Prueba escrita final:

Por último, los alumnos realizarán una prueba escrita que les permitirá ser

evaluados en esta unidad didáctica. En el Anexo II a este documento se recoge

la prueba escrita final.

5.10 RECURSOS

Libro de texto: Matemáticas 1º de ESO:

El profesor explicará tanto en la pizarra convencional como en la digital

(EDpuzzle).

Competición final realizada con Kahoot como repaso previo a la prueba escrita,

para motivar a los alumnos a estudiar.

Prueba escrita final.

Los alumnos necesitarán disponer de cuaderno y material para escribir.

5.11 ATENCIÓN A LA DIVERSIDAD

En el caso de que fuera necesario las actividades se adaptarán para aquellos alumnos

que lo necesiten, ya sea por necesidad de ser reforzados como por necesidad de

ampliación de contenidos.

Las herramientas informáticas nos aportan innumerables ventajas. Entre ellas

cabe destacar el anonimato que permite dar respuesta a preguntas sin que

nadie sepa si has acertado o fallado. Estas aplicaciones también permiten

expresarse más abiertamente a personas que son más tímidas y calladas.


Se considera importante al principio de cada unidad resolver problemas

triviales con los que los alumnos cojan confianza y se refuerce a aquellos

alumnos que más lo necesiten. Esto nos ayudará a motivarlos y evitaremos que

"fracasen" continuamente.

En la competición final también existirán preguntas de todos los niveles de

forma que los alumnos noten que son capaces de resolver problemas sencillos

de una forma rápida y problemas un poco más complicados mediante el uso del

razonamiento lógico.

5.12 EVALUACIÓN

5.12.1 PROCEDIMIENTOS DE EVALUACIÓN

Los aspectos que se evaluarán son:

1. Actitud activa y positiva. Se evaluará la participación en las explicaciones del

profesor así como en las sesiones dedicadas a ejercicios, la formulación de

preguntas que demuestran interés por aprender, el respeto hacia los demás, el

diálogo entre el profesor y los compañeros...

2. Competición. Se evaluará la participación, la colaboración entre compañeros y

con el profesor, la superación de adversidades y problemas, la consecución de

sus propios logros y de los de sus compañeros, el respeto en el turno...

3. Tareas. Se evaluará la respuesta a preguntas efectuadas en cualquier momento

durante la clase, la realización de ejercicios tanto en clase como en casa, un

cuaderno ordenado, correcto y limpio.


4. Prueba escrita. Se evaluará la adquisición de conocimientos, procedimientos y

competencias durante toda la unidad.

En cualquier momento se puede realizar una evaluación formativa gracias a la

utilización de Kahoot, que permite conocer la evolución de todos los alumnos del

grupo clase mediante las respuestas de las preguntas y actividades propuestas.

5.12.2 CRITERIOS DE CALIFICACIÓN

La nota de cada alumno será la suma de cada uno de los siguientes apartados.

Actitud activa y positiva 10%

Competición 10%

Tareas 10%

Prueba escrita 70%

Si un alumno se esfuerza por no cumplir las normas obtendrá un 0% en la nota. De la

misma forma, si su actitud es negativa ó no realiza las tareas también obtendrá un 0%

en la nota.

5.12.3 EVALUACIÓN DE LA UD

Es importante saber si la unidad es adecuada para el contexto, situación del curso y

contenidos tratados. Para ello se recogerán (al finalizar la unidad) las opiniones de los

alumnos a través de una encuesta que podrán rellenar (de forma anónima si fuese

necesario). Según los resultados de la misma nos podemos plantear cambiar o mejorar

lo que menos les ha gustado o más difícil les ha resultado entender.


A partir de estos datos se redactará un informe sobre la unidad que responderá a

cuestiones tales como si se han alcanzado los objetivos, si los alumnos han participado

en clase, si los contenidos son adecuados para el contexto del grupo, si los recursos

han sido útiles, si los alumnos se han mantenido motivados a lo largo de toda la

unidad, si la secuenciación de actividades ha sido la adecuada, si se han adaptado las

actividades a los alumnos con necesidades educativas, etc.


6 MI ACTUACIÓN DURANTE LA UNIDAD

Me he sentido a gusto con todos los grupos y clases donde he estado. Desde el primer

día quise dar clase y a partir de la segunda semana que comencé a hacerlo sentí que

aquella experiencia fue una de las mejores que había tenido en mi vida.

Me he sentido muy cómodo y arropado por todos los profesores y compañeros. Había

momentos en los que pensaba que llevaba con aquel grupo de profesores varios

meses.

Respecto al tutor, decir que he quedado sorprendido con la forma de dar clase tan

amena. Transmite una vitalidad necesaria en las clases de hoy en día y todos los

alumnos permanecen activos durante toda la clase. Lo que más me ha gustado es la

forma de llevar el tempo de clase (debido a la gran experiencia que tiene).

Me sentí seguro de mí mismo a la hora de explicar y me sentía responsable de la

educación de aquéllos alumnos. Era yo el que estaba enseñándoles matemáticas

cuando hasta hace muy poco era yo el que estaba ahí sentado (y de alguna forma

todavía lo estoy).

Al principio seguía el libro porque estaba más nervioso, pero poco a poco fui cogiendo

soltura y empecé a introducir vídeos aclarativos de la unidad que estábamos tratando.

También realizábamos una pequeña competición al final de cada unidad que servía

como elemento motivador y divertido.


Cuando ya llevaba más o menos un mes, todo era mucho más fácil. Las palabras salían

con más fluidez y no necesitaba llevar tan preparadas las clases. Me inclinaba mucho

más hacia el diálogo con mis alumnos, dando lugar a conversaciones interesantes

sobre su futuro y sobre la practicidad del contenido tratado en nuestra asignatura.

En conclusión, creo que una educación a través de la diversión es posible, y por ello, he

tratado de hacer mis clases lo más amenas posibles.

No me extiendo más en este apartado y dejo lo más importante para el final. En el

siguiente apartado queda recogida mi opinión personal sobre la educación y, con ello

me despido.


7 VALORACIÓN PERSONAL DE LA EXPERIENCIA

Desde un punto de vista global, mi experiencia en Los Boscos ha sido genial:

Me he dado cuenta de que la gran mayoría de los alumnos de la ESO no han aprendido

a entender lo que leen. Simplemente se dedican a aprender un método sin

comprender el "porqué" ni el "para" y lo utilizan para resolver el tipo de ejercicios que

saben que con ese método van a resolver.

Pero ¿Y si el profesor plantea problemas donde no hay una solución? ¿Y si el profesor

plantea problemas donde hay varias o infinitas soluciones? Entonces el alumno

simplemente dice: "No lo sé hacer profe", cuando todos sabemos que si lo sabe hacer

pero no entiende la solución que ha obtenido.

Así pues, creo que un profesor puede aprender de sus alumnos tanto como los

alumnos pueden aprender del profesor. Una materia estática es aburrida, las cosas no

siempre son como el profesor dice y se pueden producir diálogos muy constructivos y

enriquecedores.

Por otro lado, nadie educa para la paz. A través de exámenes y calificaciones estamos

educando para la competencia, y la competencia es el principio de cualquier guerra.

Algo debemos cambiar a la hora de evaluar. ¿Para qué vale cualquiera que sea la nota

que saqué en cualquier asignatura de cualquier curso de la ESO? ¿No sería más preciso

preguntarse si adquirimos las competencias que nos hacen hoy en día mejores

personas y nos permiten desenvolvernos en la sociedad de hoy en día?


Tenemos que tener en cuenta que medimos a sujetos únicos, singulares e irrepetibles

a la hora de calificar sus competencias adquiridas. Cuando vemos a una persona no

decimos que es un 4 ó un 6 de guapa. Hablar con estos términos conllevaría

discriminar a unas personas en favor de otras. Lo mismo estamos haciendo en la

escuela hoy en día.

Es preciso, bajo mi punto de vista, encontrar una alternativa que, alcanzando los

mismos o mejores resultados, nos permita evaluar de una forma más cercana y

humana que un simple número o calificación.

Esto no acaba aquí, ninguno de nosotros dejamos de aprender nunca. La vida es un

proceso continuo de aprendizaje donde se aprende en cada momento y de cualquier

persona. Por ello intentaré ser un buen profesor, superándome día tras día.


4. GAMECUACIONES: DE ECUACIÓN

A ECUACIÓN Y TIRO PORQUE ME TOCA

1 INTRODUCCIÓN Y CONTEXTUALIZACIÓN

Las matemáticas son fundamentales en la educación de cualquier persona a lo largo de

toda la historia y durante toda su vida. Las matemáticas forman parte de la vida

cotidiana y debemos desenvolvernos con soltura para obtener una posición ventajosa

en un mundo globalizado y competitivo.

Sin embargo, los últimos estudios de los informes PISA del año 2012, afirman que en

España un gran número de adolescentes fracasan en esta asignatura. Tal es el número

de alumnos que fracasan que el dato es muy preocupante y, por ello, debemos tomar

medidas precisas lo antes posible.

Es común que los alumnos adolescentes de la ESO tomen las matemáticas como algo

aburrido, mecánico y sin vida... Esta falta de motivación dificulta enormemente su

aprendizaje. Muchos alumnos pueden llegar hasta el punto de abandonar la

asignatura.

Por ello en este proyecto se plantea mostrar las matemáticas desde un punto de vista

divertido, a través de la gamificación. La gamificación es el uso de juegos en entornos

no lúdicos (como es el caso de un aula normal), con el fin de potenciar la motivación, la

concentración, el esfuerzo, y cualquier otro valor positivo que promueva un juego.


Un juego no cabe duda de que es un elemento de diversión para el ser humano. Con

total seguridad es posible afirmar que cualquier juego posee un mínimo de

matemáticas, y eso es lo que se va a potenciar en este proyecto. Mediante la

utilización de juegos conseguiremos el aprendizaje matemático que deseamos, a la par

que trabajamos otras competencias transversales y se divierten.

No cabe duda que presentar las matemáticas en clase a través de juegos va a

despertar el interés y la motivación que necesitamos en nuestros alumnos. Esto será el

gancho que usaremos para hacerles pasar por el hilo conductor que será el contenido

matemático que nos interesa trabajar en cada momento con el fin de alcanzar el

aprendizaje deseado.

Por otro lado, al presentar las matemáticas como un juego estamos creando un vínculo

emocional positivo con la asignatura, a la vez que los alumnos utilizan los

conocimientos adquiridos para resolver problemas. Ellos mismos descubrirán la

utilidad de las matemáticas y su relación con otras áreas.

En muchos juegos hay que utilizar estrategias, considerar probabilidades de sucesos,

generar hipótesis, tomar decisiones, planificar tareas, realizar calcular, etc. Todo ello

está totalmente vinculado al uso del pensamiento y razonamiento matemático.

Esta estrategia nueva y poderosa vamos a utilizarla en nuestra clase.


2 OBJETIVOS

Los objetivos que se pretenden alcanzar son:

Despertar el interés, aumentar la motivación por el aprendizaje de las

matemáticas, y con ello obtener mejores resultados.

Conseguir que los alumnos enfoquen las matemáticas desde un punto de vista

ameno y divertido con el fin de crear un vínculo emocional positivo con la

asignatura.

Conseguir que el alumno relacione las matemáticas con situaciones del mundo

real y lo aplique a diferentes campos.

Potenciar la capacidad de generar hipótesis, defenderlas y tomar decisiones

correctas con el fin de resolver problemas.

Potenciar habilidades basadas en el razonamiento y pensamiento matemático.

También se trabajarán otras competencias transversales como:

La interacción social. Trabajar en grupos, aprender a escuchar a los demás y

respetar sus turnos.

Competencia comunicativa. Elaborar mi propia opinión sobre un tema y

defenderla ante el resto del grupo.

Aprender a aprender. Enfrentarse a situaciones nuevas con los conocimientos

que tenemos. Abordar el problema y aprender de los errores utilizando, si es

preciso, la ayuda del profesor.


3 MARCO TEÓRICO

Muchas han sido las investigaciones dedicadas a la investigación de las matemáticas.

Todas ellas llegan a la conclusión de que los juegos tienen un gran potencial educativo

que mejora el proceso de enseñanza-aprendizaje en las matemáticas. En muchas

propuestas se reutilizan los juegos para trabajar las matemáticas.

Uno de los mayores investigadores en el mundo de los juegos matemáticos (Gardner

1975) dice que “el mejor camino para hacer las Matemáticas interesante a alumnos y

profanos es acercarse a ellas en son de juego”

En 1990, Gairín Sallán publicó los resultados del estudio sobre los efectos de utilizar los

juegos educativos en la enseñanza de las matemáticas. Estos resultados muestran de

forma clara que el uso de dichos juegos es beneficioso para el aprendizaje de los

alumnos. Este estudio recoge opiniones de profesores que aplicaron este proceso en

sus alumnos. El 100% de los encuestados opinan que la utilización de los juegos es una

actividad que resulta entre "amena" y "muy amena" resultando entre "útiles" y "muy

útiles" para los alumnos.

No cabe duda que los juegos favorecen la motivación de los alumnos, pero además

también poseen un gran cantidad de contenido matemático que los alumnos deben

entender para elaborar una estrategia ganadora en una partida y ser buenos

jugadores.


Por otro lado las matemáticas contienen una gran cantidad de contenido lúdico, de

hecho, la vinculación de las matemáticas con el juego no es nueva, sino que a lo largo

de la historia múltiples matemáticos han utilizado el juego para sus descubrimientos y

estudios. Desde los matemáticos de la escuela pitagórica hasta los matemáticos más

contemporáneos pasando por los árabes, egipcios, ...

Leibniz (1646-1716) en vida promovió el uso de juegos didácticos: "Nunca son los

hombres más ingeniosos que en la invención de los juegos... Sería deseable que se

hiciese un curso entero de juegos, tratados matemáticamente", escribió en una carta

en 1715. Hasta Albert Einstein tenía toda una estantería de su biblioteca particular

dedicada a libros sobre juegos matemáticos.

Sin lugar a dudas estos antecedentes en la didáctica son muy esperanzadores para los

profesores que de una forma u otra están innovando con el fin de buscar que sus

alumnos aprendan en un entorno ameno y distendido.


4 DESCRIPCIÓN DEL PROYECTO

El proyecto está pensado para la unidad didáctica de ecuaciones del primer curso de la

ESO. Con este proyecto, los alumnos aprenderán los contenidos de la unidad didáctica

de ecuaciones de forma diferente a como lo aprenden actualmente.

Todo el proyecto se realizará por grupos de 4 personas aproximadamente. Este

número puede variar en función de lo más adecuado para la clase. Recordemos que los

contenidos de la unidad didáctica de ecuaciones para el primer curso de la ESO son:

Expresiones algebraicas. Valor numérico de una expresión.

Monomios y polinomios. Operaciones con expresiones algebraicas.

Ecuaciones e identidades. Solución de una ecuación.

Resolución de ecuaciones.

La unidad didáctica la podemos distribuir igualmente en 11 sesiones. Alguna de estas

sesiones consistirá en que los alumnos de cada grupo busquen información para

exponerla ante el grupo y que todos se enriquezcan de ello, en otras sesiones los

alumnos se dedicarán a jugar a la vez que piensan y efectúan algún tipo de ejercicios o

problema relacionado con las ecuaciones.

A continuación podemos ver el contenido de cada una de las 11 sesiones. En 5

sesiones el profesor recoge un documento realizado por el grupo que utilizará

posteriormente para evaluarlos.


4.1 SESIÓN 1. TOMA DE CONTACTO.

El profesor establece una pequeña toma de contacto con el tema. Habla brevemente

del origen y la utilidad de las ecuaciones y explica en que va a consistir el proyecto. En

esta primera sesión el profesor explicará el funcionamiento de todas las sesiones del

proyecto en general y la de la siguiente sesión en particular, haciendo especial

hincapié en la dinámica del primer juego.

En este primera sesión podemos aprovechar para confeccionar los grupos de trabajo.

4.2 SESIÓN 2. BÚSQUEDA DE INFORMACIÓN

Esta segunda sesión es la previa a la sesión que contiene el primer juego. Esta sesión

consta de dos partes bien diferenciadas. En el primer tramo de la sesión (40 minutos)

cada grupo de alumnos investigará sobre la historia de las ecuaciones e intentarán

averiguar la relación entre ecuación e igualdad apoyándose en el significado de una

balanza, por otra parte buscarán acerca de qué significa una expresión algebraica y

obtendrán su valor numérico. Como cada grupo está formado por 4 personas cada una

de ellas buscará información acerca de los siguientes puntos:

1. Historia de las ecuaciones. ¿Cuándo aparecen y para qué nos sirvieron?

2. Relación entre una ecuación y una igualdad. (Balanza)

3. ¿Qué es una expresión algebraica?

4. ¿Cómo obtenemos el valor de una expresión algebraica?

Como los dos últimos puntos están muy relacionados (el último depende del tercero)

estos dos alumnos trabajarán en parejas en lugar de individualmente buscando

información primero del punto 3 y posteriormente del punto 4.


En el segundo tramo (15 minutos) cada alumno explicará al resto del grupo su parte de

la investigación consiguiendo que cada miembro del grupo lo entienda.

Cada grupo deberá entregar al profesor una hoja respondiendo a las preguntas que

ésta propone con sus propias palabras. (esta hoja se encuentra en el Anexo III).

4.3 SESIÓN 3. LA CRUZ MÁGICA.

Antes de comenzar con el juego, será necesaria una breve explicación por parte del

profesor sobre cómo sumar y restar expresiones algebraicas. (5-10 minutos)

Una vez los alumnos han entendido el significado de una expresión algebraica y su

valor numérico podemos empezar a jugar. Para este primer juego usaremos un tablero

en forma de cruz de la siguiente forma:

x - 1 6

y - 2 x x + 3 3

3y y + 3 z + 2 t + z

z - 2 5


De forma que todos los cuadrados formados por cuatro cuadrados pequeños suman 5:

¿Cuánto deben valer x, y, z, t para que la cruz sea realmente mágica? También

podemos establecer alguna condición y pedir a cada grupo que fabrique una cruz

mágica con 3 ó 4 incógnitas.

Cada grupo debe entregar un documento con las soluciones a las cruces mágicas que

hayan conseguido (esta hoja se encuentra en el Anexo III) resolver junto a la cruz

mágica que propongan.

4.4 SESIÓN 4. LA CRUZ MÁGICA. REFLEXIONES.

Una vez que los alumnos se han peleado con sus primeras expresiones algebraicas,

muchos de ellos tendrán muchas dudas acerca de ello. El profesor usará esta sesión

para aclarar las ideas básicas que todo alumno debe saber acerca de las operaciones

con expresiones algebraicas. También los alumnos tendrán la oportunidad de

preguntar sus dudas. Finalmente, si da tiempo, se efectuará una "lluvia de ideas" entre

los grupos y el profesor, respondiendo a cuestiones sobre la cruz mágica como: ¿qué

os ha parecido el juego?, ¿porqué la cruz es mágica?. ¿qué es lo que más nos ha

costado?, ¿qué es lo que más nos ha gustado?, ...


4.5 SESIÓN 5. BÚSQUEDA DE INFORMACIÓN (II)

En esta sesión los alumnos buscarán información sobre los monomios, los polinomios y

las soluciones de una ecuación. Esta sesión (como la anterior sesión de búsqueda de

información) constará de dos partes. Una primera parte (40 minutos) donde cada

grupo investigará sobre los temas anteriormente mencionados y una segunda parte

(15 minutos) en la que cada miembro del grupo explicará al resto del grupo lo que ha

aprendido.

Dentro de cada grupo se trabajará por parejas. Como cada grupo está formado por 4

personas, todos los grupos tendrán 2 parejas. Una de las parejas del grupo se

informará sobre "monomios y polinomios" y la otra pareja sobre "soluciones de una

ecuación".




4.6 SESIÓN 6. EL PUZZLE.

El puzzle es el segundo juego de este proyecto. Consiste en encajar cada una de las

piezas en el tablero de la forma correcta para encontrar la solución final. El tablero es

un rectángulo como el siguiente:

monomio semejante a "3t"

solución de x + 1 = 2

polinomio reducido de

3x + 2x - 4x + 4 - 5

monomio de grado 4

monomio de grado 5


y + 3 - 2y + 5

solución de y - 4 = 0

monomio semejante a "x/2"

monomio semejante a " "

solución de 3z + 3 = 6


-z + 9 - 3z - 5 + 2 -z

monomio de coeficiente 9

monomio con parte literal a

solución de 2t + t + 1 = 6


3x + y + 3 + x + 2y - 5

monomio semejante a "5 "

En cada uno de los recuadros debemos situar una de las 30 o 40 fichas que tenemos en

un montón. En cada recuadro solo encaja una de esas fichas. Alguna de las fichas no

encajan en ningún recuadro y deberemos descartarlas del juego para no entorpecer la

labor. Un ejemplo de algunas de estas fichas pueden ser:

-t 2x - y +5 2ax 1

2y - 7 3y -2 7a

/3 x + y + 2 t + 7

-z + 5 -5z + 6 6 - z -1


Las 16 fichas que encajan, forman por detrás una frase del siguiente tipo:

¡ENHORABUENA! HABÉIS CONSEGUIDO RESOLVER EL PUZZLE. YA ESTÁIS LISTOS PARA DAR EL SIGUIENTE PASO. SI

PODÉIS LEER ESTE TEXTO COMPLETAMENTE Y SIN QUE FALTE NINGUNA PALABRA, TENÉIS QUE PEGAR CADA FICHA EN SU RECUADRO, DE FORMA QUE EL PROFESOR PUEDA LEER ESTE TEXTO Y COMPROBAR QUE HABÉIS ENCONTRADO LA SOLUCIÓN. UNA VEZ HAYÁIS TERMINADO ENTREGÁRSELO AL PROFESOR.

Una vez que tengamos colocadas todas las piezas del puzzle el profesor verificará que

todo está correcto. Si sobra tiempo pueden diseñar su propio puzzle y entregárselo al

profesor como tarea adicional.

4.7 SESIÓN 7. BÚSQUEDA DE INFORMACIÓN (III)

El profesor planteará una ecuación inicial sencilla de la que cada grupo hallará su

solución por tanteo. A partir de ahí cada grupo deberá investigar el mecanismo que

tienen que llevar a cabo para encontrar la solución sin tener que ir probando números

(es decir, sin tener que hacer la cuenta de la vieja).

Cuando un grupo considere que sabe resolver una ecuación simple el profesor les

planteará una ecuación al azar y éstos le explicaran el método descubierto intentando

resolverla.

Si lo consiguen se les propondrá que describan un método para resolver ecuaciones

con paréntesis y como tarea final tendrán que aportar un método que resuelva

ecuaciones con denominadores.




4.8 SESIÓN 8. LA OCA

En esta sesión usaremos el inicio de clase para que el profesor explique y deje claro el

método para resolver ecuaciones de cualquier tipo de primer grado. (20 minutos)

En la segunda parte de la sesión cada grupo jugará a la oca. Primero se deben

establecer de forma clara las normas del juego. Para ganar, al igual que en la oca

tradicional, es necesario llegar a la casilla final con el número exacto de tirada en el

dado.

El tablero ha sido elaborado completamente por mí apoyándome en un boceto

(http://farm5.static.flickr.com/4087/5057381704_cbaf50bba8.jpg). La idea de jugar a

la oca a través de ecuaciones está recogida en:

https://anagarciaazcarate.wordpress.com/2011/11/07/la-oca-futbolistica/


Cada jugador tiene una ficha y avanza con ella a lo largo del tablero. Para simular el

dado tendremos un montón con tarjetas de "Dado". Estas tarjetas contienen

ecuaciones sencillas con soluciones que van del 1 al 6. Cuando le toca a un jugador el

jugador anterior levanta una carta de "Dado" y se la dicta correctamente (la solución

está en la misma tarjeta) . El jugador tiene 30 segundos para responder. Si se equivoca

se salta la tirada y sigue jugando el siguiente. Si acierta, avanza tantas posiciones como

número indique la solución de dicha ecuación.


Ejemplo de ficha "dado":

x + 2 = 6 sol x=4

Cada tirada corresponde a un jugador diferente y en ella podemos caer en casillas de

varios tipos:

La cárcel son dos turnos sin tirar.

Si caigo en una oca voy a la siguiente oca y sigo tirando.

El signo + quiere decir que sigue tirando.

El signo - es un turno sin tirar.

La "muerte" indica que vuelves a empezar.

De un puente vas al otro puente, sin importar el puente en el que hayas caído.

El símbolo "E" es el que relaciona el juego con las ecuaciones (además del

dado). Cuando un jugador cae en la casilla "E", el jugador anterior saca una

tarjeta del montón de ecuaciones "E" y se la dicta correctamente al jugador que

cayó en esa casilla (la solución está en la misma tarjeta). Hasta que no resuelva

la ecuación no volverá a tirar. Cuando la resuelva la tarjeta se sitúa debajo de

este montón y cuando le toque podrá tirar de nuevo.

4.9 SESIÓN 9. LA OCA (II)

Toda una sesión para seguir jugando a la oca por grupos.


4.10 REPASO

En esta sesión el profesor resolverá cualquier duda sobre esta unidad didáctica ya que

en la siguiente sesión se realizará de forma individual una prueba escrita con el

objetivo de comprobar que se han alcanzado las competencias básicas sobre esta

unidad.

4.11 SESIÓN 11. EVALUACIÓN.

En esta sesión se realizará un prueba escrita sobre esta unidad didáctica.

5 CRITERIOS Y MÉTODOS DE EVALUACIÓN

5.1 CRITERIOS DE EVALUACIÓN PARA EL ALUMNO

1. El alumno debe adquirir las conocimientos básicos establecidos para esta

unidad didáctica, que se encuentran en el apartado "5.6.4 Objetivos

específicos" de la unidad didáctica expuesta anteriormente.

2. El alumno debe ser capaz de abstraer los contenidos matemáticos de los

juegos.

3. El alumno debe ser capaz de comprender la dinámica de los juegos.

4. El alumno debe ser capaz de relacionar los contenidos matemáticos de los

juegos con otras áreas y contenidos de esta u otras asignaturas.

5. El alumno debe ser capaz de trabajar en grupo y respetar a sus compañeros.

6. El alumno debe ser capaz de desarrollar estrategias matemáticas con las que

será capaz de enfrentarse a las demás estrategias de sus compañeros.


7. El alumno debe ser capaz de usar el álgebra para analizar de forma simple y

numérica las operaciones diarias.

8. El alumno debe aplicar los conocimientos que ha adquirido a la vida real.

5.2 CRITERIOS DE EVALUACIÓN PARA EL PROFESOR

1. Se ha mantenido buen ambiente en la clase.

2. La motivación de los alumnos ha sido máxima.

3. Se ha impartido todo el contenido en las sesiones dedicadas a ello.

5.3 CRITERIOS DE EVALUACIÓN PARA EL PROYECTO

1. Los juegos han permitido a los alumnos desarrollar y potenciar los

conocimientos matemáticos deseados.

2. Los diferentes juegos están correctamente organizados sin repeticiones ni

cambios brucos de dificultad.

3. Los procedimientos de evaluación han quedado explícitamente explicados en

clase.

5.4 MÉTODO DE EVALUACIÓN

En total se recogen 4 hojas evaluables de cada grupo y una prueba escrita por persona.

La nota que cada alumno obtendrá en cada hoja será la misma para los 4 miembros de

cada grupo. La nota final de cada alumno será la siguiente:

10% cada hoja evaluable (40% en total)

20% participación activa en clase y respeto entre compañeros y hacia el

profesor

40% prueba escrita individual


5.5 EVALUACIÓN DEL PROYECTO POR PARTE DE LOS ALUMNOS

Para finalizar el proyecto, en la última sesión se recomendará a los alumnos a evaluar

la experiencia, con el objeto de mostrar al profesor puntos a mejorar de cara a la

aplicación en sucesivos cursos. (esta hoja se encuentra en el Anexo IV).

6 CONCLUSIONES

Este trabajo ha sido desarrollado con unos objetivos muy claros: buscar la motivación,

relacionar las matemáticas con la vida real, mejorar la resolución de problemas y

mejorar el razonamiento matemático mediante la gamificación de los contenidos.

Numerosos son los autores que han escrito sobre gamificación y su eficiencia a la hora

de ser introducida en el proceso de enseñanza-aprendizaje. Apoyándonos en estos

hemos desarrollado un proyecto de innovación para la unidad didáctica de ecuaciones

de 1º de la ESO.

Los 3 juegos en los que se basa el proceso de gamificación proporcionan un contexto

perfecto tanto para motivar a los alumnos, como para ayudarles a encontrar relaciones

entre las matemáticas y otras áreas de la vida real.

A partir de este juego se han abordado diferentes contenidos existentes en el currículo

de educación secundaria, específicamente 1º de la ESO. Aunque las ecuaciones sean

uno de los principales contenidos abordados, también se trabajan nociones de

probabilidad.

El proyecto se puede adaptar a otras unidades didácticas de este curso o a otros cursos

de la ESO abordando temas más específicos y utilizando otros juegos más acordes.


5. REFERENCIAS

TEDUCA. Constructivismo. <https://teduca3.wikispaces.com/4.+CONSTRUCTIVISMO>

GARCÍA BACETE Y FERNANDO DOMENECH BETORET. (1996): Aplicaciones de las teorias del aprendizaje en la educación. Prácticas para psicólogos en contextos escolares. Aprendizaje y Desarrollo de la Personalidad.

ENRIQUE MARTÍNEZ-SALANOVA SÁNCHEZ. El proceso de enseñanza aprendizaje. <http://www.uhu.es/cine.educacion/didactica/0014procesoaprendizaje.htm#El_proceso_de_enseñanza-aprendizaje>

ANA GARCÍA CARATE. Pasatiempos y juegos en clase de matemáticas. <https://anagarciaazcarate.wordpress.com/>

JUNTA DE ANDALUCÍA. Ejercicios y soluciones para la unidad didáctica de Iniciación al Álgebra. <http://www.juntadeandalucia.es/averroes/iesarroyo/matematicas/materiales/1eso/unidad8.pdf>

BOLETÍN OFICIAL DEL ESTADO (2006). Ley Orgánica 2/2006, de 3 de mayo, de Educación. <http://www.boe.es/buscar/pdf/2006/BOE-A-2006-7899-consolidado.pdf>

BOLETÍN OFICIAL DEL ESTADO (2006). Real Decreto 1631/2006, de 29 de diciembre, por el que se establecen las enseñanzas mínimas correspondientes a la Educación Secundaria Obligatoria. < http://www.boe.es/buscar/pdf/2007/BOE-A-2007-238-consolidado.pdf>

BOLETÍN OFICIAL DE LA RIOJA (2011). Decreto 5/2011, de 28 de enero, por el que se establece el Currículo de la Educación Secundaria Obligatoria de la Comunidad Autónoma de La Rioja. <https://ias1.larioja.org//cex/sistemas/GenericoServlet?servlet=cex.sistemas.dyn.portal.ImgServletSis&code=oumCvWIgBUF6lChv9ZDgP%2FhXhSM%2FFmcHNm5aYVC%2FyqvApHyqPVxRsoD%2BHW0E2YV6LEXZYSr1AOF5%0AGEZrqxl%2F4N5cMMspwDsdf%2F5wfx5pENs%3D&&&>

EJERCICIOS DE LA UNIDAD

Expresiones algebraicas

1 Haz corresponder cada enunciado con su expresión alge-braica:

• La mitad de un número.

• El triple de la mitad de un número.

• La distancia recorrida en x horas por un tren que va a 60km/h.

• El precio de x kilos de naranjas que están a 1,3 €/kilo.

• La edad de Pedro, sabiendo que su abuelo, que ahora tienex años, tenía 60 años cuando nació Pedro.

• El área de un triángulo de base 1,3 m y altura x metros.

• La mitad de un número → �2x

�

• El triple de la mitad de un número → �32x�

• La distancia recorrida en x horas por un tren que va a 60 km/h → 60x

• El precio de x kilos de naranjas que están a 1,3 €/kilo → 1,3x

• La edad de Pedro, sabiendo que su abuelo, que ahora tiene x años, tenía 60años cuando nació Pedro → x – 60

• El área de un triángulo de base 1,3 m y altura x metros → �1,

23x�

2 Completa la tabla atendiendo a los siguientes enunciados:

• Teresa tiene x años.

• Su hija tiene 25 años menos que ella.

• Su madre tiene doble edad que ella.

• Su padre le saca 6 años a su madre.

• Teresa tenía 8 años cuando nació su hermano Lorenzo.

Pág. 1

SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD

Unidad 9. Álgebra

9

1,3x

3x2

x2

1,3x2

x – 60

60x

Pág. 2

3 Lee los enunciados y completa la tabla:

• Eva recibe, de paga semanal, x euros.

• A Leticia le faltan 10 € para recibir eldoble que Eva.

• Raquel recibe 50 € más que Leticia.

4 Completa:

5 Expresa algebraicamente las sucesivas transformaciones que sufre unnúmero, n, al ser sometido a la siguiente cadena de operaciones:

ENTRADA SALIDA

↓ ↓

Completa esta tabla de entradas-salidas para la anterior cadena de transforma-ciones:


Unidad 9. Álgebra

9

EDAD

TERESA

LA HIJA

LA MADRE

EL PADRE

LORENZO

x

EDAD

TERESA

LA HIJA

LA MADRE

EL PADRE

LORENZO

x

x�25

2x

2x�6

x �8

PAGA SEMANAL

EVA

LETICIA

RAQUEL

ENTRE LAS TRES

x

PAGA SEMANAL

EVA

LETICIA

RAQUEL

ENTRE LAS TRES

x

2x�10

2x �40

2x �30

n 1 3 7 10 15 20

3n + 2

n 1 5 9 15 21 27

�n

2

+ 1�

n

5 11 23 32 47 62

1 3 7 10 15 20

3n + 2

n

1 3 5 8 11 14

1 5 9 15 21 27

�n

2

+ 1�

n 4n· 4→

+ 6→

: 2→

– 1→

ENTRADAS

SALIDAS

1 2 4 7 10 … n

4

ENTRADA SALIDA

↓ ↓

6 Completa el valor que corresponde a un número cualquiera n :

Monomios y operaciones

7 Completa la tabla siguiente:

Pág. 3


Unidad 9. Álgebra

9

n 4n 4n�6· 4→

+ 6→

: 2→

– 1→2n�3 2n�2

ENTRADAS

SALIDAS

1 2 4 7 10 … n

4 6 10 16 22 … 2n�2

0 1 2 3 4

0 1 8 27 64

… n

…

2 4 8 16 20

2 3 5 9 11

… n

…

0 1 2 3 4

0 1 8 27 64

… n

… n3

2 4 8 16 20

2 3 5 9 11

… n

…�n2

� �1

MONOMIO 2x3 –5ax �2

3� x2y2 –x2y3

COEFICIENTE

PARTE LITERAL

GRADO

MONOMIO 2x3 –5ax �2

3� x2y2 –x2y3

2 –5 �23

� –1

x3 ax x2y2 x2y3

3 2 4 5

COEFICIENTE

PARTE LITERAL

GRADO

8 Reduce las siguientes expresiones:

a) x�x�x�x�x b) 3x�2x

c) 10x�6x d) 3x�7

e) 3x�2x�x f) 10x�6x�2x

g) a�a�b h) 5a�3a�4b�b

i) a2�2a2 j) a2�a�a

Pág. 4

k) 3a�5a�2a2�4a2 l) 2a2 �6a �a2 �a2

a) x�x�x�x�x�5x b) 3x�2x�5x

c) 10x�6x�4x d) 3x�7 → No se puede reducir más.

e) 3x�2x�x�6x f ) 10x�6x�2x�6x

g) a�a�b�2a�b h) 5a�3a�4b�b�2a�5b

i) a 2�2a 2 �3a 2 j) a 2 �a�a�a 2�2a

k) 3a�5a�2a 2�4a 2�8a�6a 2 l) 2a 2�6a�a 2�a 2 �6a

PÁGINA 192

9 Opera y reduce:

a) 2� (5a) b) (�4) � (3x)

c) (5x) � (�x) d) (2x) � (3x)

e) (2a) � (�5ab) f) (6b)��31

�b�g) ��

32

�x�� (3x) h) ��52

�x��25

�x 2�a) 2 � (5a)�10a b) (�4)� (3x)��12x

c) (5x)� (�x)��5x 2 d) (2x) � (3x)�6x 2

e) (2a)� (�5ab)��10a 2b f ) (6b)��31

�b��2b 2

g) ��32

�x�� (3x)�2x 2 h) ��52

�x��25

�x 2��x 3

10 Quita paréntesis:

a) 3� (1�x) b) 2a � (a� b)

c) (�3x)� (x�x 2) d) (�5) � (1�2a)

e) a2� (a�1) f) 3x � (2x�3y)

g) 5ab � (a�2b) h) a2b � (1�a�b)

a) 3 � (1�x)�3�3x b) 2a � (a�b)�2a 2 �2ab

c) (�3x)� (x�x 2)��3x 2�3x 3 d) (�5) � (1�2a)��5�10a

e) a 2 � (a�1)�a 3�a 2 f ) 3x � (2x�3y)�6x 2 �9xy


Unidad 9. Álgebra

9

g) 5ab� (a�2b)�5a 2b�10ab2 h) a 2b � (1�a�b)�a 2b�a 3b�a 2b2

11 Reduce:

a) 5(1�2x)�5 b) 3(x�1)�2(x�1)

c) a (1�a)� (1�a2) d) a (a�b)�b (a�b)

e) 5x (2x�3)�4x (2x�3) f) ab � (1�a)�ab (1�b)

a) 5 (1�2x)�5�5�10x�5�10x

b) 3 (x�1)�2 (x�1)�3x�3�2x�2�x�5

c) a (1�a)� (1�a 2)�a�a 2 �1�a 2�a�1

d) a (a�b)�b (a�b)�a 2�ab�ba�b2�a 2�b2

e) 5x (2x�3)�4x (2x�3)�10x 2�15x�8x 2�12x�2x 2�3x

f ) ab (1�a)�ab (1�b)�ab�a 2b�ab�ab 2�ab2�a 2b

12 Opera y reduce:

a) (2x) : (2x) b) (6a) : (�3a)

c) (3b) : (6b) d) (15x2) : (3x)

e) (�8x) : (4x2) f) (a3b2) : (ab2)

g) (10x) : (5x3) h) (2a2b) : (4ab2)

a) �22xx� �1 b) �

�

6

3

aa

��2�

�

3�

3��

�

a�a�

��2

c) �3

6

bb��

3�

3��2

�b��b�

�� 1

2� d) �

1

3

5

xx 2

��3� �

3�

5

�

�

x�x� �x��5x

e)��

4x8

2

x��

�

2�2��

�

2�2��

�

x2�x��x�

�� 2x

� f ) �aa

3

bb

2

2

��a� �

a�a �

�

ab�

�

�

b�b�

�b��a 2

g) �150xx3��

5�

2�x��5�

�x�x��x

�� x2

2� h) �24aab

2b2��

2�

2��2

�a��a��a

�b��b�

�b��

2ab�

Ecuaciones para resolver por tanteo

13 x 2�25

x � 5, x ��5

14 x 2 � 1 � 24

x � 5, x � �5

Pág. 5


Unidad 9. Álgebra

9

Pág. 6

15 x 2�10 � 35

x � 5, x � �5

16 x 2 � x � 30

x � 5, x � �6

17 (x � 1)2 � 36

x � 5, x � �7

18 (x � 1)2 � 100

x � 9, x � �11

19 ��2x

��2

� 4

x � 4, x � �4

20 (3x)2 � 81

x � 3, x � �3

21 x � (x � 1) � 30

x � 5, x � �6

22 x � (x � 1) � 20

x � 5, x � �4

23 x � (x � 2) � 120

x � 10, x � �12

24 x � (x � 2) � 80

x � 10, x � �8

25 �x� � 7

x � 49


Unidad 9. Álgebra

9

26 �x �1� � 7

x � 50

27 �x �9� � 4

x � 25

28 ��x �

28

�� 1

x � 10

Ecuaciones sencillas

29 2x � 1 � 21

2x � 20; x � �220�; x � 10

30 2x � x � 5

2x � x � 5; x � 5

31 7x � 15 � 1

7x � 1 � 15

x � ��174�

x � �2

32 4x � 1 � x �1

4x � x � 1 � 1

3x � 2

x � �23

�

33 2x � 3 �6x � 1

2x � 6x � 1 � 3

�4x � �2

x � ��

�

2

4�; x � �

1

2�

Pág. 7


Unidad 9. Álgebra

9

Pág. 8

34 2x � 5 � x � 4 � 2x

3x � 2x � 4 � 5

5x � �1; x � � �15

�

35 2�3x � 5 � x �5

3x � x � 5 � 2 � 5

2x � 8

x � 4

36 x � 8 � 2x � 18 � x

�x � x � 18 � 8

�2x � 10

x � ��120�; x � �5

37 9x � x � x � 4 � 7x

8x � 8x � 4

8x � 8x � 4

0x � 4 → No tiene solución.

38 6�5x � 9x � 4 � 6x

5x � 15x � �4 � 6

�10x � �10

x � ��

�

1

1

0

0�; x � 1

39 2x � 6 � 4x � 2 � 2x

2x � 6x � 8

8x � 8

x � �8

8�; x � 1

40 x � 2x � 4x � 14 � x � 2

7x � x � 2 � 14

6x � �12

x � ��162�; x � �2


Unidad 9. Álgebra

9

41 8x � 3 � 5x � x � 5 � 3x

3x � 2x � �5 � 3

5x � �8

x � � �85

�

42 5x � 8 � 7x � 3x � 9 � 7x

�2x � 4x � �9 � 8

2x � �17

x � ��127�

43 7x � 4 � x � 6x � x � 3 � x � 1

2x � 2x � �4 � 4

0 � 0

La ecuación tiene infinitas soluciones.

PÁGINA 193

Ecuaciones con paréntesis

46 5 � (3x � 2) � 4x

5 � 3x � 2 � 4x

�3x � 4x � �5 � 2

�7x � �7

x � ��

�

77�

x � 1

47 8x � 11 � 6 � (3 � 7x)

8x � 11 � 6 � 3 � 7x

8x � 7x � 3 � 11

x � �8

Pág. 9


Unidad 9. Álgebra

9

Pág. 10

48 3(x � 2) � 18

3x � 6 � 18

3x � 12

x � �132�

x � 4

49 2(x � 1) � 5x � 3

2x � 2 � 5x � 3

2x � 5x � �3 � 2

�3x � �1

x � �13

�

50 6 � 2(x � 1) � 2

6 � 2x � 2 � 2

2x � 2 � 8

x � � �62

�; x � �3

51 5x � (1 � x) � 3(x � 1) � 2

5x � 1 � x � 3x � 3 � 2

6x � 3x � �1 � 1

3x � 0; x � 0

52 5(2x � 1) � 3x � 7(x � 1) � 2

10x � 5 � 3x � 7x � 7 � 2

7x � 7x � �5 � 5; 0 � 0 → La ecuación tiene infinitas soluciones.

53 3(2x � 1) � 2(1 � 2x) � 5

6x � 3 � 2 � 4x � 5

2x � 5 � 1

x � �62

�; x � 3


Unidad 9. Álgebra

9

54 6(x � 2) � x � 5(x � 1)

6x � 12 � x � 5x � 5

5x � 5x � �5 � 12

0x � 7 → La ecuación no tiene solución.

55 4x � 2(x � 3) � 2(x � 2)

4x � 2x � 6 � 2x � 4

6x � 2x � 4 � 6

4x � �2; x � � �12

�

56 2(1 � x) � 3 � 3(2x � 1) � 2

2 � 2x � 3 � 6x � 3 � 2

�2x � 6x � 5 � 1

�8x � 6

x � � �68

� � � �34

�

57 6 � 8(x � 1) � 5x � 2(3 � 2x) � 5(3 � x)

6 � 8x � 8 � 5x � 6 � 4x � 15 � 5x

�2 � 13x � �9 � x

�13x � x � �9 � 2

�12x � �7

x � �172�

Ecuaciones con denominadores

58 �6x

� � 1 � 0

6��6x

� � 1� � 0

x � 6 � 0; x � 6

Pág. 11


Unidad 9. Álgebra

9

Pág. 12

59 �1x3� � �

153�

13��1x3�� 13��

153��

x � 5

60 �7x

� � 1 � �27

�

7��7x

� � 1� �7 � �27

�

x � 7 � 2; x � 9

61 �3x

� � �53

� � �73

�

3��3x

� � �53

�� 3 � �73

�

x � 5 � 7

x � 7 � 5; x � 2

62 x � 4 � �5x

�

5x � 5�4 � �5x

��5x � 20 � x

5x � x � 20

4x � 20; x � 5

63 6 � �3x

� � 2 � �53x�

3�6 � �3x

�� 3�2 � �53x��

18 � x � 6 � 5x

�x � 5x � 6 � 18

�6x � �12

x � ��

�

162

�; x � 2


Unidad 9. Álgebra

9

64 �3x

� � 1 � �12

� � �23x�

6��3x

� � 1� � 6��12

� � �23x��

2x � 6 � 3 � 4x

2x � 4x � 3 � 6

6x � 9

x � �96

� � �32

�

65 �2x

� � �45

� � �25x� � 1

10��2x

� � �45

�� 10��25x� � 1�

5x � 8 � 4x � 10

5x � 4x � 10 � 8

x � 2

66 x � �3x

� � �175� � �

23x�

15�x � �3x

�� 15��175� � �

23x��

15x � 5x � 7 � 10x

10x � 10x � 7

0x � 7

La ecuación no tiene solución.

67 �2x

� � �14

� � 1 � �32x�

4��2x

� � �14

�� 4�1 � �32x��

2x � 1 � 4 � 6x

2x � 6x � 4 � 1

8x � 5

x � �58

�

Pág. 13


Unidad 9. Álgebra

9

Pág. 14

68 �9x

� � �16

� � �29x� � �

12

�

18��9x

� � �16

�� 18��29x� � �

12

��2x � 3 � 4x � 9

2x � 4x � �9 � 3

�2x � �6

x � 3

69 x � �14

� � �2x

� � �34

� � �2x

� � 1

4�x � �14

� � �2x

�� 4��34

� � �2x

� � 1�4x � 1 � 2x � 3 � 2x � 4

2x � 2x � �1 � 1

0 � 0

La ecuación tiene infinitas soluciones.

Problemas para resolver con ecuaciones

70 El triple de un número, menos cinco, es igual a 16. ¿Cuál es el número?

Triple de un número → 3 �x

3x � 5 � 16

3x � 16 � 5

3x � 21

x � 7

El número es el 7.

71 La suma de tres números consecutivos es 702. ¿Cuáles son esos números?

Tres números consecutivos → x, x � 1, x � 2

x � x � 1 � x�2 � 702

3x � 3 � 702

3x � 699

x � 233

Los números son 233, 234 y 235.


Unidad 9. Álgebra

9

72 Un número, su anterior y su posterior suman 702. ¿Qué números son?(Compara el enunciado de este ejercicio con el anterior. ¿Qué relaciones ves?)

� PRIMER NÚMERO → x � 1SEGUNDO NÚMERO → x CONSECUTIVOS

TERCER NÚMERO → x � 1

x � 1 � x � x � 1 � 702

3x � 702

x � 234 → Su anterior es 233

→ Su posterior es 235

Los números son 233, 234 y 235.

73 Al sumar un número natural con el doble de su siguiente, se obtiene44. ¿De qué número se trata?

Número natural → x

Doble de su siguiente → 2(x � 1)

x � 2(x � 1) � 44

x � 2x � 2 � 44

3x � 42; x � 14

Se trata del número 14.

PÁGINA 194

74 Al sumarle a un número 60 unidades, se obtiene el mismo resultadoque al multiplicarlo por 5. ¿Cuál es el número?

x � 60 � 5x

x � 5x � �60

�4x � �60

x � ��

�

640

�; x � 15

Es el número 15.

75 Reparte 680 € entre dos personas de forma que la primera se lleve eltriple que la segunda.

La segunda se lleva x.

La primera se lleva 3x.

Pág. 15


Unidad 9. Álgebra

9

Pág. 16

x � 3x � 680

4x � 680

x � 170 → 3x � 510

La primera se lleva 510 € y la segunda, 170 €.

76 En un cine hay 511 personas. ¿Cuál es el número de hombres y cuál elde mujeres, sabiendo que el de ellas sobrepasa en 17 al de ellos?

� HOMBRES → xMUJERES → x � 17TOTAL → 511

x � x � 17 � 511

2x � 511 � 17

x � �4924

� � 247 → x � 17 � 264

Hay 247 hombres y 264 mujeres.

77 Marisa es tres años más joven que su hermana Rosa y un año mayorque su hermano Roberto. Entre los tres igualan la edad de su madre, que tie-ne 38 años. ¿Cuál es la edad de cada uno?

� MARISA → xROSA → x �3ROBERTO → x � 1

x � x � 3 � x � 1 � 38

3x � 38 � 2

3x � 36

x � 12

Marisa tiene 12 años; Rosa, 15, y Roberto, 11 años.

78 Pedro, Pablo y Paloma reciben 1 200 € como pago por su trabajo desocorristas en una piscina. Si Pablo ha trabajado el triple de días que Pedro, yPaloma el doble que Pablo, ¿cómo harán el reparto?

Pedro → x

Pablo → 3x

Paloma → 2 �3x � 6x

x � 3x � 6x � 1 200


Unidad 9. Álgebra

9

10x � 1 200

x � 120 → 3x � 360 → 6x � 720

Pedro, 120 €; Pablo, 360 €, y Paloma, 720 €.

79 Marta gasta la mitad de su dinero en la entrada para un concierto, y laquinta parte del mismo, en una hamburguesa. ¿Cuánto tenía si aún le que-dan 2,70 €?

Su dinero → x

Concierto → �2x

�

Hamburguesa → �5x

�

x � �2x

� � �5x

� � 2,7

10�x � �2x

� � �5x

�� 10 �2,7

10x � 5x � 2x � 27

3x � 27

x � 9

Marta tenía 9 €.

80 En una granja, entre gallinas y conejos, hay 20 cabezas y 52 patas. Es-tudia la tabla adjunta y traduce a lenguaje algebraico la siguiente igualdad:

Pág. 17


Unidad 9. Álgebra

9

CABEZAS PATAS

GALLINAS

CONEJOS

x 2x

20�x 4(20�x)

PATAS MÁS PATAS ES IGUAL A 52DE GALLINA DE CONEJO

¿Cuántas gallinas y cuántos conejos hay en la granja?

2x � 4(20 � x) � 52

2x � 80 � 4x � 52

�2x � 52 � 80

�2x � �28

x � 14

Hay 14 gallinas y 6 conejos.

Pág. 18

81 Un yogur de frutas cuesta 10 céntimos más que uno natural. ¿Cuál es elprecio de cada uno si he pagado 2,6 € por cuatro naturales y seis de frutas?

Yogur natural → x

Yogur de frutas → x � 10

4x � 6(x � 10) � 260

4x � 6x � 60 � 260

10x � 200

x � 20

El yogur natural vale 20 céntimos y el de frutas, 30 céntimos.

83 Paz y Petra tienen 6 y 9 años, respectivamente. Su madre, Ana, tiene 35años. ¿Cuántos años deben pasar para que, entre las dos niñas, igualen la edadde la madre?

6 � x � 9 � x � 35 � x

2x � 15 � 35 � x

2x � x � 35 � 15

x � 20

Han de pasar 20 años.

84 Tengo en el bolsillo 13 monedas, unas de 2 céntimos y otras de 5 cénti-mos. Si las cambio todas por una moneda de 50 céntimos, ¿cuántas tengo decada clase?

2x � 5(13 � x) � 50

2x � 65 � 5x � 50

�3x � �15

x � 5

Tiene 5 monedas de 2 céntimos y 8 de 5 céntimos.


Unidad 9. Álgebra

9

HOY DENTRO DE x AÑOS

PAZ

PETRA

ANA

6 6�x

9 9�x

35 35�x

MONEDAS DE

2 CÉNTIMOS

MONEDAS DE

5 CÉNTIMOS

NÚMERO

DE MONEDAS

VALOR

x 13�x

2x 5(13�x)

85 Montse tiene el triple de cromos que Rocío. Intercambian 8 de Montse(fáciles) por 3 de Rocío (más difíciles). Ahora Montse tiene el doble queRocío.

¿Cuántos cromos tiene ahora cada una?

→ Montse, doble que Rocío.

3x � 5 � 2(x � 5)

3x � 5 � 2x � 10

3x � 2x � 10 � 5

x � 15

Rocío tenía 15 cromos y Montse, 45 cromos.

Ahora, Rocío tiene 20 cromos y Montse, 40 cromos.

86 En una prueba de 20 preguntas, dan 5 puntos por cada respuesta co-rrecta y quitan 3 puntos por cada fallo.

¿Cuántas preguntas ha acertado Mario si ha obtenido 68 puntos?

5x � 3(20 � x) � 68

5x � 60 � 3x � 68

8x � 128

x � 16

Mario ha acertado 16 preguntas y ha fallado 4.

87 Un jardín rectangular es 6 metros más largo que ancho.

Si su perímetro mide 92 metros, ¿cuáles son las dimensiones del jardín?

2x � 2(x � 6) � 92

2x � 2x � 12 � 92

4x � 80

x � 20

El jardín tiene 20 m de ancho y 26 m delargo.

Pág. 19


Unidad 9. Álgebra

9

ROCÍO MONTSE

TENÍAN

CAMBIAN

x 3x

x�3�8 3x�8�3

ACIERTOS FALLOS

NÚMERO

PUNTUACIÓN

x 20�x

5x �3(20�x)

x�6

x x

x�6

Pág. 20

PÁGINA 195

PROBLEMAS DE ESTRATEGIA

Para realizar los ejercicios que te proponemos a continuación, aplica ordenada-mente esta estrategia:

88 Palillos y cuadrados

• ¿Cuántos palillos se necesitan para formar una tira de 5 cuadrados?

• ¿Y para una tira de 10 cuadrados?

• ¿Y para una tira de n cuadrados?

• Completa esta tabla:

El primer cuadrado se forma con 4 palillos, y para formar los siguientes hayque añadir 3 palillos al anterior.

4�4�3�4�3�3�4�3�3�3 …

Así, para hacer 5 cuadrados, por ejemplo, hay que poner:

4�3�3�3�3 palillos

el 3, 4 veces

Y para hacer n cuadrados se necesitarán

4�3�3�…�3 palillos

el 3, n�1 veces

La tabla queda así:

� 1�3n

ESTRATEGIA:

• Estudia, primeramente, los casos sencillos.

• Ordena en una tabla los datos que vayas obteniendo.

• Observa regularidades en esos datos y escribe la ley general.


Unidad 9. Álgebra

9

4 PALILLOS 7 PALILLOS 10 PALILLOS

No DE CUADRADOS

No DE PALILLOS

1 2 3 4 5 6 10 … n

4 7 10

No DE CUADRADOS

No DE PALILLOS

1 2 3 4 5 6 10 … n

4 7 10 13 16 19 31 … 4�3(n�1)

89 Palillos y parejas de cuadrados

Completa la siguiente tabla:

En este caso se necesitan, para la primera pareja de cuadrados, 7 palillos, y paralas siguientes, 5 más cada vez.

7�7�5�7�5�5�7�5�5�5 …

Para formar n parejas de cuadrados se necesitará este número de palillos:

7�5�5�…�5

el 5, n�1 veces

La tabla quedará así:

↓�2�5n

90 Palillos, bolas y cubos

Completa esta tabla:

Partiendo de 12 palillos para el primer cubo, para formar un nuevo cubo se ne-cesitan, cada vez, 8 palillos más.

Pág. 21


Unidad 9. Álgebra

9

No DE PAREJAS DE CUADRADOS

No DE PALILLOS

1 2 3 4 5 6 10 … n

7 12 17

No DE PAREJAS DE CUADRADOS

No DE PALILLOS

1 2 3 4 5 6 10 … n

7 12 17 22 27 32 52 … 7�5(n�1)

7 PALILLOS 12 PALILLOS 17 PALILLOS

No DE CUBOS

No DE PALILLOS

1 2 3 4 5 6 10 … n

12 20 28

No DE BOLAS 8 12 16

12 PALILLOS

8 BOLAS

20 PALILLOS

12 BOLAS

28 PALILLOS

16 BOLAS

Pág. 22

Partiendo de 8 bolas para el primer cubo, se necesitan, para formar nuevos cu-bos, 4 bolas más para cada uno.

Así, para formar n cubos necesitaremos:

12�8�8�…�8 palillos

n�1 veces

8�4�4�…�4 bolas

n�1 veces

La tabla queda así:

�4�8n

�4�4n


Unidad 9. Álgebra

9

No DE CUBOS

No DE PALILLOS

1 2 3 4 5 6 10 … n

12 20 28 36 44 52 84 … 12�8(n�1)

No DE BOLAS 8 12 16 20 24 28 44 … 8�4(n�1)

Ejercicio 1. (1 punto) Unos albañiles están construyendo un edificio. El primer día

construyeron la base, de 1 metro de altura, y cada día que pasa edifican 2 metros más de

altura.

a) Encuentra una expresión algebraica que nos permita obtener la altura del edificio

según los días que han transcurrido.

b) Si pasados 30 días aún no han terminado de construir el edificio ¿qué altura tendrá?

Ejercicio 2. (1,5 puntos) Escribe y resuelve la siguiente ecuación. La parte 1 (ó miembro 1) de

la ecuación está formada por 2 monomios. Ambos monomios tienen la misma letra en la parte

literal pero cada monomio tiene un grado diferente. El primer monomio es de grado 2 y el

segundo monomio de grado 1. La parte 2 (ó miembro 2) de la ecuación está formada por 3

monomios. El primer monomio es semejante al primer monomio de la primera parte y además

tiene el mismo coeficiente, el segundo monomio es semejante al segundo monomio de la

primera parte y tiene diferente coeficiente. El tercer monomio no tiene parte literal.

Ejercicio 3. (1,5 puntos) El perímetro de un triángulo isósceles es 180 cm. Cada uno de los

lados iguales es 30 cm mayor que la base. ¿Cuánto mide cada lado?

Ejercicio 4. (1 punto) La tercera parte de un número es 45 unidades menor que su doble ¿De

qué número se trata?

Ejercicio 5. (1 punto) Simplifica y resuelve la siguiente ecuación:

Ejercicio 6. (2 puntos) Resuelve las siguientes ecuaciones:

Nombres de los miembros del grupo:

1

HOJA 1. ECUACIONES. HISTORIA DE LAS ECUACIONES.

Responded a la siguientes cuestiones con vuestras palabras.

1. Historia de las ecuaciones. ¿Cuándo aparecen y para qué nos sirvieron?

2. Relación entre una ecuación y una igualdad. (Balanza)

3. ¿Qué es una expresión algebraica?

4. ¿Cómo obtenemos el valor de una expresión algebraica?


2

HOJA 2. ECUACIONES. LA CRUZ MÁGICA.

Observa la siguiente cruz:

0 1

1 1 3 1

1 2 -1 2

3 1

Ahora observa la siguiente cruz:

x - 1 6

y - 2 x x + 3 3

3y y + 3 z + 2 t + z

z - 2 5

Esta cruz es una cruz normal, pero dependiendo de los valores que tomen x,y,z,t; podemos

hacer que la cruz sea mágica si conseguimos que al sumar las expresiones algebraicas de los 4

cuadrados que forman otro cuadrado siempre nos de 5 como resultado.

¿Cuánto deben valer x, y, z, t para que la cruz sea realmente mágica?


3

HOJA 3. ECUACIONES. MONOMIOS, POLINOMIOS Y SOLUCIONES.


Monomios y polinomios

1. ¿Qué es un monomio? ¿Qué partes tiene?

2. ¿Cómo se suman ó restan monomios? Pon un ejemplo de cada uno de ellos.

3. ¿Cómo se multiplican o dividen monomios? Pon un ejemplo de cada uno de

ellos.

4. ¿Qué es un polinomio? ¿Qué partes tiene?

5. ¿Qué es el valor numérico de un polinomio?

6. ¿Cómo se suman o restar polinomios? Pon un ejemplo de cada uno de ellos.

Soluciones de una ecuación

1. ¿Qué significa la solución de una ecuación?

2. ¿Cuántas soluciones puede tener una ecuación? Pon un ejemplo de cada una

de ellas.

3. ¿Cuándo podemos decir que una ecuación no tiene solución? Pon un ejemplo.


4

HOJA 4. ECUACIONES. RESOLUCIÓN DE ECUACIONES.


Resolución de ecuaciones

1. ¿Cuál es el método para resolver una ecuación sencilla "ax + b = 0"?

2. ¿Cuál es el método para resolver una ecuación con operaciones con

paréntesis?

3. ¿Cuál es el método para resolver una ecuación denominadores y operaciones

con paréntesis?

ENCUESTA PARA LOS ALUMNOS ACERCA DEL PROYECTO

¿Qué es lo que más te ha gustado del proyecto?

¿Qué es lo que menos te ha gustado? ¿Se te ocurren puntos a mejorar?

¿Has tenido claro en todo momento lo que tenías que hacer? ¿Te has sentido desorientado en algún punto del proyecto?

Al final de algunas sesiones, cada grupo se reunía y ponía en común lo aprendido en clase. ¿Has participado a gusto? ¿En caso de que no, qué es lo que te ha molestado a la hora de explicarte?

¿Qué te ha parecido la duración del proyecto?

¿En general que te ha parecido el proyecto? ¿Te atreverías a ponerle una nota?

¿Qué punto te ha resultado más difícil?

¿El proyecto te ha hecho cambiar de actitud hacia las matemáticas? ¿Por qué?

¿Podrías nombrar las cosas más importantes que hayas aprendido?

biblioteca de la universidad de la rioja - gamecuaciones: de … · 2015-08-26 · página - 10 -...

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