biegeknicken von stäben und stabtragwerken - stahlbau und ......2019/11/25 · unter druck und...
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Fachgebiet Stahlbau und Verbundkonstruktionen
8 - 1
Kapitel 8Stabilitätsfälle
Biegeknicken von Stäben und Stabtragwerken
Bearbeitungsstand 25.11.2019
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Fachgebiet Stahlbau und Verbundkonstruktionen Inhalt
8 - 2
8.1 Einführung 8.2 Schnittgrößenermittlung nach Elastizitätstheorie II. Ordnung8.3 Ermittlung der Verzweigungslasten von Stäben und
Stabsystemen8.4 Tragfähigkeitsnachweise für einteilige Querschnitte bei
zentrischer Druckbeanspruchung und bei Druck und Biegung8.5 Tragfähigkeitsnachweise für mehrteilige Stäbe8.6 Aussteifungssysteme (Horizontal- und Vertikalverbände)
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Fachgebiet Stahlbau und Verbundkonstruktionen
8 - 3
Abschnitt 8.1
EinführungModellstab, Spannungs- und Verzweigungsprobleme,
Zusammenhang zwischen Verzweigungslast, Theorie II. Ordnung sowie Traglast
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Fachgebiet Stahlbau und Verbundkonstruktionen Literatur
9-4
Literatur/1/ Petersen, C.: Statik und Stabilität der Baukonstruktionen, Vieweg Verlag, 1980/2/ Pflüger, Alf: Stabilitätsprobleme der Elastostatik, Springer Verlag, Berlin, Heidelberg, New York,1975 /3/ Sedlacek, G. Eisel, H., Hensen, W. Kühn, B., Paschen, M.: Leitfaden zum DIN-Fachbericht 103
Stahlbrücken, Ernst & Sohn, März 2003/4/ Roik, Carl, Lindner, Biegetorsionsprobleme gerader dünnwandiger Stäbe,
Verlag Wilhelm Ernst und Sohn, Berlin, München, Düsseldorf, 1972/5/ Kollbrunner, Meister: Knicken, Biegedrillknicken, Kippen, Springer Verlag 1961/6/ Petersen, C,: Stahlbau, Vieweg Verlag, 1988 /7/ Lindner, J., Heyde, S.: Schlanke Stabtragwerke, Kapitel 2 des Stahlbaukalenders 2009,
Verlag Wilhelm Ernst & Sohn, 2009/8/ Wagenknecht, G.: Stahlbau-Praxis, Band 1, Verlag Bauwerk Basis Bibliothek,
Bauwerk Verlag GmbH 2002 /9/ Greiner, R., Lindner, J.: Die neuen Regelungen in der europäischen Norm EN 1993-1-1 für Stäbe
unter Druck und Biegung, Stahlbau 72, 2003/10/ Kuhlmann U., Zizza A.: Stahlbaunormen – DIN EN 1993-1-1, Kapitel 2 aus Stahlbau-Kalender 2011,
Ernst & Sohn Verlag, 2011/11/ Stroetmann R., Lindner J.: Knicknachweise nach DIN EN 1993-1-1, Stahlbau 79, Heft 11, 2010/12/ Naumes J. Strohmann I., Ungermann U., Sedlacek G.: Die neuen Stabilitätsnachweise im Stahlbau
nach Eurocode 3, Stahlbau 77, Heft 10, 2008
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Fachgebiet Stahlbau und Verbundkonstruktionen
8 - 5
StabilitätsnachweiseNachweismethoden, bei denen bei Druckbeanspruchung der Verformungseinfluss beim Tragsicherheitsnachweis zu berücksichtigen ist.
Stabilitätsprobleme treten bei
Stäben und Stabwerken (Biegeknicken und Biegedrillknicken),bei Platten (Plattenbeulen)und Schalen (Schalenbeulen) auf.
Tragfähigkeitsnachweise für stabilitätsgefährdete Bauteile
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Fachgebiet Stahlbau und Verbundkonstruktionen
Einführung :Versagensformen bei Stäben
8 - 6
N v
y
z
z
y
w
w,v
Biegeknicken
Biegeknicken um die z- Achse
Biegeknicken um die y- Achse
Biegedrillknicken
Beanspruchung durch Normalkräfte und Biegemomente
NF
v
w
ϑ
y
z
w
-
Fachgebiet Stahlbau und Verbundkonstruktionen Modellstab für Grundsatzuntersuchungen
8 - 7
e
N
x
z,w
wmL/2
L/2
e
N
HH wm
ϕ
cϕEJ
M
ϕ (κ)
Ideal elastisch
M
ϕ (κ)
ϕ (κ)
M
Mpl
M = cϕ ϕ
bilinear elastisch-plastisch
elastisch-plastisch
MplDie grundlegenden Zusammenhänge von stabilitätsgefährdeten Stäben werden zunächst an einem Modellstab untersucht, der aus starren Stäben und einer Drehfeder cϕ in Stabmitte besteht. Mit Hilfe der Drehfeder wird die Biegesteifigkeit des Stabes idealisiert. Dabei werden unterschiedliche Federkennlinien (M-ϕ-Beziehungen) betrachtet.
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Fachgebiet Stahlbau und Verbundkonstruktionen Imperfektionen
8 - 8
Geometrische Imperfektionen
strukturelle Imperfektionen
Eigen-spannungen σE
Streckgrenzen-verteilung
Lastexzentrizitäten, Vorkrümmung, Schiefstellung Geometrische
Ersatzimperfektionen
e0φ
σE fy
Bei stabilitätsgefährdeten Stäben sind die Beanspruchungen des Tragwerks unter Berücksichtigung der Tragwerksverformungen zu ermitteln. Dabei sind geometrische Imperfektionen (spannungslose Vorverformungen) und strukturelle Imperfektionen ( Eigenspannungen aus dem Schweißen und Walzen) sowie unterschiedliche Streck-grenzen in Abhängigkeit von der Materialdicke) zu berücksichtigen. In den Regelwerken werden die unterschiedlichen Imperfektions-arten durch geometrische Ersatz-imperfektionen in Form von Vorkrümmungen mit dem Stich e und und Schiefstellungen φ(Stabverdrehungen) erfasst .
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Fachgebiet Stahlbau und Verbundkonstruktionen Verzweigungslast - Einführung
8 - 9
cϕ
L/2
L/2
A B
N N
2/Lw ϕ=w
ϕ
M
ϕ (κ)
Ideal elastisch
M = cϕ ϕ
Es wird zunächst von einem ideal geraden Stab ohne Imperfektionen mit einem ideal elastischen Materialverhalten der Drehfeder und ideal zentrischer Lasteinleitung ausgegangen. Ferner werden kleine Verformungen vorausgesetzt.
Der Stab befindet sich dann bis zum erreichen der Verzweigungslast Ncr in einer stabilen Gleichgewichtlage. Unter der Verzweigungslast weicht der Stab seitlich in eine unbestimmte benachbarte Lager aus. Die Last Ncrwird als ideale Verzweigungslast oder auch ideale Knicklast bzw. ideale kritische Last bezeichnet, da die idealen Systemannahmen in der Realität nicht vorhanden sind.
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Fachgebiet Stahlbau und Verbundkonstruktionen Ermittlung der idealen Verzweigungslast
8 - 10
ϕϕ=ϕ= cLw4c2wN 0L
c4Nwc
Lw4wN =
−⋅=⋅
⋅− ϕϕGleichgewicht:
unverformtesSystem N
-
Fachgebiet Stahlbau und Verbundkonstruktionen Ermittlung der idealen Verzweigungslast
8 - 11
Gleichung besitzt zwei Lösungen:
1) w=0 (triviale Lösung)
2)
Verzweigungslast N=Ncr:
0Lc4
NwcLw4wN =
−⋅=⋅
⋅− ϕϕ
unverformtesSystem N
-
Fachgebiet Stahlbau und Verbundkonstruktionen Berücksichtigung großer Verformungen
8 - 12
crNN
cLN
sin
csinLN
==ϕ
ϕ
ϕ=ϕ
ϕ
ϕ
4
22
Bei Berücksichtigung großer Verformungen ist die Annahme sinϕ =ϕnicht mehr gültig.
Gleichgewichtsbedingung:
z.B: w=0,5 L ⇒ N/Ncr = 1,047
L/2
L/2
w
ϕ
NL/cNcr ϕ= 4
4,0
3,0
2,0
1,0
1,00,5
1,571
N/Ncr
w/L
überkritischer Bereich
unterkritischer Bereich
-
Fachgebiet Stahlbau und Verbundkonstruktionen
Gleichgewichtszustände bei Stabilitätsproblemen
8 - 13
N < Ncr stabiles GleichgewichtErfolgt eine Störung der Lage durch äußeren Arbeitsaufwand, so kehrt das System nach Fortfall der Störung in die Ausgangslage (unverformteLage) zurück.
N = Ncr indifferentes Gleichgewicht (Ver-zweigungspunkt)Kleine Lageänderungen verursachen weder Ver-lust noch Gewinn an Arbeit. Die Lösungskurve hat 2 Äste: Einer fällt mit der Ordinate zusammen, der andere zweigt rechtwinklig ab (Verzweigungs-punkt/Verzweigungslast Ncr). Nach Überschreitung des Verzweigungspunktes ist das Gleichgewicht labil, d.h. bei einer Störung wird die Ausgangslage verlassen. Das System gibt Energie ab und kehrt nicht mehr in die unverformte Lage zurück.
N > Ncr labiles GleichgewichtEin neuer stabiler Gleichgewichtszustand kann nur bei sehr großen Verformungen erreicht werden. In der Graden, unverformten Lage ist der Gleichgewichtszustand labil.
N/Ncr
A
B
C
D
w/L
1,0
A – stabiles Gleichgewicht
B - Verzweigungspunkt
C – labiles Gleichgewicht
D – stabiles Gleichgewicht bei großen Verformungen
1,0
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Fachgebiet Stahlbau und Verbundkonstruktionen
Berechnung nach Elastizitätstheorie II. Ordnung
8 - 14
e0 w
unverformtesSystemTheorie I. Ordnung
verformtes SystemTheorie II. Ordnung
MI MIIL/2
L/2
N Ne
ϕo ϕ
cϕ
Bei einer Berechnung nach Elastizitätstheorie II. Ordnung werden Imperfektionen, Lastexzentrizitäten und Querlasten bei der Berechnung berücksichtigt. Es wird wie bei der Ermittlung der Verzweigungslast von einem ideal elastischen Materialverhalten und von kleinen Verformungen ausgegangen. Die Gleichgewichts- und Verträglichkeitsbedingungen werden am verformten System formuliert. Die Schnittgrößen nach Theorie II. Ordnung werden nachfolgend mit MIIgekennzeichnet.
M
ϕ (κ)
Ideal elastisch
M = cϕ ϕ
-
Fachgebiet Stahlbau und Verbundkonstruktionen Berechnung nach Theorie II. Ordnung
8 - 15
)wwe(NM 0II ++=
ϕϕ =ϕ= cLw4c2M
0 0
cr
N (e w ) N (e w )w4 c / L N N N
+ ⋅ += =
− −φVerformung nach Theorie II Ordnung:
w0
w
unverformtes SystemTheorie I. Ordnung
verformtes SystemTheorie II. Ordnung
MI MIIL/2
L/2
N Ne
ϕo ϕ
Gleichgewicht:
Verträglichkeit: 2/Lw ϕ=
cϕ
)we(NM oI +=
M
ϕ (κ)
Ideal elastisch
M = cϕ ϕ
-
Fachgebiet Stahlbau und Verbundkonstruktionen
Berechnung nach Theorie II. Ordnung -Druckstab
8 - 16
NN)ee(N
NL/c)ee(Nw
cr −+⋅
=−ϕ
+= 00
4
crN/N)ee()eew(
−+=++
11
00
Verformung nach Theorie II. Ordnung:
Für die Gesamtverformung und das Biegemoment nach Theorie II. Ordnung:
cr
I
cr
II
NNM
NN
)ee(N)wee(NM−
=−
+=++=
1
1
1
00
cr
III
NNmitMM
−=αα⋅=
1
1
e
N N
L/2
L/2
e0 w
cϕLc
Ncrϕ=
4
Mit der Verzweigungslast ergibt sich
Das Biegemoment nach Theorie II. Ordnung ergibt sich im vorliegenden Fall aus dem Moment nach Theorie I. Ordnung multipliziert mit dem Vergrößerungsfaktor α, der auch als Dischinger-Faktor bezeichnet wird.
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Fachgebiet Stahlbau und Verbundkonstruktionen
Berechnung nach Theorie II. Ordnung -Zugstab
8 - 17
Biegemoment nach Theorie II Ordnung:
Biegemoment:
Gesamtverformung:
cr
III
NNMM
+=
1
1
Lcw
wNeNMII ϕ=⋅−=4
e
N
wcϕ
MI=N e MII=N (e-w)
MI MII
crNNe)ew(
+⋅=+1
1
cr
II
NNeN)we(NM
+=+=
1
N
Beim Zugstab ergeben sich bei Berücksichtigung der Verformungen kleinere Schnittgrößen als nach Theorie I. Ordnung, wenn die Schnittgrößen aus Querlasten oder Imperfektionen resultieren. Bei eingeprägten Defor-mationen (z.B. Stützensenkungen) ergeben sich dagegen größere Beanspruchungen als nach Theorie I. Ordnung, da der Stab „steifer“ reagiert.
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Fachgebiet Stahlbau und Verbundkonstruktionen
Biegemomente und Verformungen nach Elastizitätstheorie II. Ordnung
8 - 18
α= MII/MI
crNN
Druckstab
−=α
1
1
N/NcrN/Ncr
1,0
2,0
3,0
4,0
5,0
0,2 0,2 0,40,40,6 0,6 0,80,81,0 1,0
crNN
Zugstab
+=α
1
1
-
Fachgebiet Stahlbau und Verbundkonstruktionen
Biegemomente und Verformungen nach Elastizitätstheorie II. Ordnung
8 - 19
crNN
Druckstab
−=α
1
1
crNN
Zugstab
+=α
1
1
Bei Berechnung der Schnittgrößen nach Theorie zweiter Ordnung ergeben sich im Vergleich zu einer Berechnung am un-verformten System (Theorie I. Ordnung) bei Druckbeanspruchung größere und bei Zugbeanspruchung kleinere Biegemomente und Querkräfte.
Die Biegemomente und Querkräfte nach Theorie II. Ordnung können aus den Schnittgrößen nach Theorie I. Ordnung mit Hilfe des Vergrößerungsfaktors αberechnet werden, wenn die Biegelinie affin zur Knickbiegelinie (Eigenform des Stabes) ist.
cr
IIII
NNMMM
−=α=
1
1cr
IIII
NNMMM
+=α=
1
1Für N →Ncr werden die Biegemomente beim Druckstab bei ideal elastischem Materialverhalten unendlich groß.
N
NN
N
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Fachgebiet Stahlbau und Verbundkonstruktionen
Die Traglast des Druckstabes nach Fließgelenktheorie II. Ordnung
8 - 20
M
N4N3N2N1
Mel
MR
MS = N2 (e + w0 + w)
MS = N1 (e + w0 + w)
Elastizitätstheorie II. Ordnung
(Verzweigungslast)NKi N
e
N
cϕ ew0
w cϕ
ϕ0ϕ
M
Mel
MR= Mpl(N)
w
wϕcϕ
N1
N4N3N2
N
NR,FG NR
Einfluss von Eigenspannungen
-
Fachgebiet Stahlbau und Verbundkonstruktionen
Ermittlung der Traglast bei nichtlinearem Materialverhalten
8 - 21
Das Biegemoment MS nach Theorie II. Ordnung wird zusammen mit der Momententragfähigkeit MR bei gleichzeitiger Wirkung der Normalkraft in einem Diagramm aufgetragen. Die Gleichgewichtsbedingung ist erfüllt, wenn MS=MR. Wird N über der Verformung w aufgetragen, so ergibt sich die Traglastkurve des Stabes. Sie besteht aus einem ansteigenden stabilen Ast, dem Maximalwert (Traglast) und einem abfallenden labilen Ast.
Setzt man ein bilineares Federgesetz (ideal elastisch-plastisches Materialverhalten) voraus, so erhält man die Traglast NR,FG nach Fließgelenktheorie II. Ordnung.
M
ϕ (κ)
ϕ (κ)
MMpl(N)
bilinear (ideal elastisch-plastisch)
nichtlinear (elastisch-plastisch)
Mpl (N)
Die tatsächliche Traglast NR liegt wegen des nichtlinearen Momenten-Krümmungsverhaltens (Einfluss von strukturellen Imperfektionen) unterhalb von NR,FG..
-
Fachgebiet Stahlbau und Verbundkonstruktionen Traglastkurven
8 - 22
eN
wo
w
Ncr
Npl
NR,FG
NR,el
w
Elastizitätstheorie II. Ordnung (Vorverformung wo)
NR
Elastizitätstheorie II. Ordnung, (vergrößerte Vorverformung wo)
AC
B
D
A C
Fließgelenktheorie II. Ordnung B D Traglasttheorie (Fließzonentheorie)
-
Fachgebiet Stahlbau und Verbundkonstruktionen Traglastkurve und Traglast NR
8 - 23
Bei der Berechnung nach der Fließzonentheorie werden geometrische und strukturelle Imperfektionen (Eigenspannungen) berücksichtigt. Die Berechnung liefert die Traglast NR des Stabes.
Bei der Berechnung nach der Fließgelenktheorie werden die Einflüsse aus den strukturellen Imperfektionen nicht berücksichtigt. Eine exakte Bestimmung der Traglast ist möglich, wenn vergrößerte Imperfektionen (Geometrische Ersatzimperfektionen) angesetzt werden.
Bei druckbeanspruchten Stäben liegt die Traglast NR infolge von Imperfektionen und Einflüssen aus der Theorie II. Ordnung immer unterhalb der plastischen Querschnittstragfähigkeit Nplund unterhalb der idealen Verzweigungslast Ncr.
Bei der Berechnung nach Elastizitätstheorie II. Ordnung wird ideal elastisches Materialverhalten unterstellt und die Gleichgewichts- und Verträglichkeitsbedingungen werden am verformten System aufgestellt. Imperfektionen werden berücksichtigt. Die Berechnung liefert die elastische Grenzlast NR,el des Stabes.
-
Fachgebiet Stahlbau und Verbundkonstruktionen
8 - 24
Kapitel 8.2
Berechnung von Stäben und Stabtragwerken nach
Elastizitätstheorie II. Ordnung
Differentialgleichung nach Elastizitätstheorie II. Ordnung,Druck- und Zugstäbe, Einfluss von Schubverformungen,Näherungsverfahren zur Berechnung der Schnittgrößen
nach Theorie II. Ordnung
-
Fachgebiet Stahlbau und Verbundkonstruktionen
Einfluss der Verformungen auf die Schnittgrößen
Theorie I. und Theorie II. Ordnung
5-25
FEd
4LFM EdEd =
Theorie I. Ordnung
Linearer Zusammenhang zwischen Einwirkung FEdund Beanspruchung MEd
wN4
LFM EdEdEd +=
wN4
LFM EdEdEd −=
NEdNEd
M
F
w
w FEd
A
MA
B
Druckstab mit Querlast - Theorie II. Ordnung
Die Biegemomente wachsen mit steigender Normalkraft überlinear an.
FEd
A
B
C
MB
MC
Zugstab mit Querlast - Theorie II. Ordnung
Die Biegemomente wachsen mit steigender Normalkraft unterlinear an.
MI
C
NEdNEd FEd
Die Schnittgrößen dürfen bei druckbeanspruchten Bauteilen nach Theorie I. Ordnung berechnet werden, wenn die aus den Verformungen resultierende Vergrößerung der Schnittgrößen kleiner als 10% ist.
-
Fachgebiet Stahlbau und Verbundkonstruktionen
Ermittlung der Beanspruchungen –Schnittgrößenermittlung - Übersicht
5-26
Methoden der Schnittgrößenermittlung
Elastische Berechnungsverfahren(linearer Zusammenhang zwischen
Dehnungen und Spannungen)
Elastizitätstheorie I. Ordnung
Die Schnittgrößen können ohne Berücksichtigung des Einflusses aus Verformungen ermittelt werden. Einzelne Lastfälle können superponiert werden, da ein linearer Zusammenhang zwischen Einwirkungen und Schnittgrößen besteht.
ElastizitätstheorieII. Ordnung
Der Einfluss der Verfor-mungen auf die Schnittgrößen muss berücksichtigt werden (geometrische Nichtlinearitäten). Es besteht kein linearer Zusammenhang zwischen Einwirkungen und Schnittgrößen. Es ist somit keine Superposition von einzelnen Lastfällen möglich.
nichtlineare Berechnungsverfahren(es besteht kein linearer Zusammenhang zwischen
Dehnungen und Spannungen und /oder zwischen Schnittgrößen und Einwirkungen-
geometrische und physikalische Nichtlinearitäten)
FließgelenktheorieDie Schnittgrößen werden unter Berücksichtigung der plastischen Querschnitts-und Systemreserven ermittelt. Der Nachweis ausreichender Rotations-kapazität erfolgt indirekt durch Begrenzung der b/t –Werte.
FließzonentheorieDie Beanspruchungen werden unter Berücksichti-gung des nichtlinearen Materialverhaltens und gegebenfalls unter Berück-sichtigung der Verformungen ermittelt. Der Nachweis ausreichender Rotations-kapazität erfolgt durch Begrenzung der b/t-Werte oder durch direkte Ermittlung der erforderlichen und vorhandenen Rotationskapazität.
Flie
ßgel
enk-
theo
rie
I. O
rdnu
ng
Flie
ßgel
enk-
theo
rie
II. O
rdnu
ng
-
Fachgebiet Stahlbau und Verbundkonstruktionen
Ermittlung der Schnittgrößen von Stäben und Stabtragwerken nach Elastizitätstheorie
II. Ordnung
8 - 27
Die Gleichgewichts- und Verträglichkeitsbedingungen werden am verformten System aufgestellt.
H)ww(TH)ww(sinT)ww(cosHN
0
00
≈′+′−=
′+′−′+′=
)ww(HT)ww(sinH)ww(cosTV
0
00
′+′+=
′+′+′+′=
unverformte Stabachse
verformte Stabachse
NM
V
oww ′+′
HT
M
N
MV
H
N
TV
oww ′+′)ww(sinH o′+′
)ww(sinT o′+′
-
Fachgebiet Stahlbau und Verbundkonstruktionen Differentialgleichung - Druckstab
8 - 28
qz
Nw(x)L
x,
)x(wN)x(MM I +=Gleichgewichtsbedingung:
)x(wJEM ′′−=
Verträglichkeitsbedingung:
)x(MwNwEJ I−=+′′
Differentialgleichung:
JEN
L=εStabkennzahl
Lx
=ξ
)x(qwNwEJ z=′′+′′′′
EJqw
Lw z
2=′′
ε+′′′′
MI - Biegemoment nach Theorie I. Ordnung
Es wird ideal elastisches Materialverhalten unterstellt..
-
Fachgebiet Stahlbau und Verbundkonstruktionen Lösungsansatz beim Druckstab
8 - 29
22
4z
4321JE2
LqCCcosCsinC)(w ξε
++ξε+εξ+εξ=ξ
ξε
+ε
+ξεε
−ξεε
=ξ′JE
LqL
CsinL
CcosL
C)(w 23
z321
JELqcos
LCsin
LC)(w 2
2z
2
2
2
1ε
+ξε
ε−εξ
ε−=ξ′′
εξ
ε+εξ
ε−=ξ′′′ sin
LCcos
LC)(w
3
2
3
1
EJqw
Lw z
2=′′
ε+′′′′ JE
NL=ε
Die Konstanten C1 bis C4 ergeben sich aus den Randbedingungen
qzN
Lx,ξ
w(ξ)
M(ξ)
Lx
=ξ
-
Fachgebiet Stahlbau und Verbundkonstruktionen
Ermittlung der Schnittgrößen und Randbedingungen
8 - 30
qz
N
x,ξL
w(ξ)
M(ξ)
Randbedingungen an der Stelle x=0:
Randbedingungen an der Stelle x=L:
0CC0w 41 =+→=
0JE
LqL
C0w 22
z2
2 =ε
+
ε−→=′′
0LEJ2
LqCCcosCsinC
0w22
z4321 =
ε++ε+ε+ε
=
0JE
LqCcosL
CsinL
C
0w
2
2z
4
2
2
2
1 =ε
++ε
ε−ε
ε
=′′
-
Fachgebiet Stahlbau und Verbundkonstruktionen
Gleichungssystem zur Bestimmung der Konstanten C1 bis C4
8 - 31
0 1 0 1
0 1 0 0
sin ε cos ε 0 0
sin ε cos ε ε 1
C1
C2
C3
C4
0
=2
2z
NLqε
2
2z
NLqε
N2Lq 2z−
εε−
⋅ε
=sincos1
NLqC 2
2z
1
2
2z
2 NLqCε
=
ε⋅⋅
−=N2LqC
2z
3
2
2z
4 NLqCε
−=JE
NL=ε
M(ξ)
w(ξ)N
qz
x,ξL
-
Fachgebiet Stahlbau und Verbundkonstruktionen
Schnittgrößen und Verformung nach Theorie II. Ordnung
8 - 32
ξ−ξ+
−
εξ−ε
ε=ξ )1(
211
)2/(cos)5,0(cos1
NLq)(w 2
2z
Verformung w
)(wN)(M)(wEJ)(M I ξ+ξ=ξ′′−=ξ
Biegemoment M
−
εξ−ε
ε=ξ 1
)2/(cos)5,0(cosLq)(M 2
2z
Querkraft
)(wEJ)(Vz ξ′′′−=ξ
−
εξ−ε
ε=ξ 1
)2/(cos)5,0(sinLq)(V
2z
z
JEN
L=ε
N
qz
w(ξ)
x,ξL
M(ξ)
Vergrößerungsfaktor des Momentes bei ξ=0,5
)2/(cos)2/(cos18
MM
2I
II
εε−
ε=
-
Fachgebiet Stahlbau und Verbundkonstruktionen Der Stab mit sinusförmiger Vorverformung wo
8 - 33
)x(MwNwEJ I−=+′′Differentialgleichung
N N
w(ξ)
EJ
L
wo(ξ)
Lx
=ξ
πξπ
=ξ cosL
wN)(V omI
Lösungsansatz
πξ=ξ sinw)(w m
Einsetzen in die Differentialgleichung
0sinEJwNsinw
EJNsinw
Lom
mm2
2=πξ+πξ+πξ
π−
mit 22
Ki LEJN π= folgt:
cr
III
cr
III
crooges
N/NVV
N/NMM
N/N)(w)(w)(ww
−=
−=
−ξ=ξ+ξ=
11
11
11
πξ=ξ sinw)(w omo
Das Bildelement mit der Beziehungs-ID rId23 wurde in der Datei nicht gefunden.
-
Fachgebiet Stahlbau und Verbundkonstruktionen
Der Stab mit Randmomenten, Vorverformung und Querlasten
8 - 34
sin (1 ) sin cos (0,5 )( ) 1sin cos ( / 2)R o
M M Mψ ε ξ ε ξ ε ξξε ε
− + −= + −
cos (1 ) cos sin (0,5 )( ) 1sin cos ( / 2)
Rz o
MV ML
ε ψ ε ξ ε ξ ε ξξε ε
− + −= + −
Schnittgrößen nach Theorie II. Ordnung:
Extremales Moment an der Stelle ξM:
2
max 01[0,5 (1 ) ]
cos(0,5 )R oc
M M M Mψε
+= + + −
( 1) 1(1 ) 2 tan(0,5 )
R
R o
McM M
ψψ ε
−=
+ + ε+=ξ
carctan5,0M
2o o 2
1M (q L 8Nw )ε
= +N
LE J
ε =
=ξ
0ddM
maxM
ζMζ
Lwo
q
MR
ψMRN
EJ
MR
ψMR
-
Fachgebiet Stahlbau und Verbundkonstruktionen Der Druckstab mit Randmomenten
8 - 35
4,0
3,0
2,0
1,0
0,25 0,50 0,75 1,00
exakte Lösung
Näherungslösung
ψ=1,0
ψ=0,5
ψ= - 0,5
ψ=0
α
KiNN
MR
ψMR N
L
EJ
ζM
Exakte Lösung:
)5,0cos(c1)1(M5,0M
2
Rmax ε+
ψ+=
)5,0(tan1
11c
εψ+−ψ
=
ε+=ξ
carctan5,0M JEN
L=ε
Näherungslösung:
crR
max
NNM
M
−
β==α
1
ψ+=β 44,066,0
2
2
LEJNcr
π=
maxM
ζ
4401
1 ,
NNcr
≥−
≥β
MR
ψMR
-
Fachgebiet Stahlbau und Verbundkonstruktionen Differentialgleichung - Zugstab
8 - 36
qz
N
w(x)L
x,
)x(wN)x(MM I −=Gleichgewichtsbedingung:
)x(wJEM ′′−=Verträglichkeitsbedingung:
)x(MwNwEJ I−=−′′
Differentialgleichung:
JEN
L=εStabkennzahl
Lx
=ξ
)x(qwNwEJ z−=′′−′′′′
EJqw
Lw z
2=′′
ε−′′′′
MI - Biegemoment nach Theorie I. Ordnung
-
Fachgebiet Stahlbau und Verbundkonstruktionen Lösungsansatz beim Zugstab
8 - 37
22
4z
4321JE2
LqCCcoshCsinhC)(w ξε
++ξε+εξ+εξ=ξ
ξε
+ε
+ξεε
−ξεε
=ξ′JE
LqL
CsinhL
ChcosL
C)(w 23
z321
JELqcosh
LCsinh
LC)(w 2
2z
2
2
2
1ε
+ξε
ε−εξ
ε−=ξ′′
εξ
ε+εξ
ε−=ξ′′′ sinh
LCcosh
LC)(w
3
2
3
1
EJqw
Lw z
2=′′
ε−′′′′ JE
NL=ε
Die Konstanten C1 bis C4 ergeben sich aus den Randbedingungen
Lx
=ξ
qzN
x,ξL
w(ξ)
M(ξ)
N
-
Fachgebiet Stahlbau und Verbundkonstruktionen
Differentialgleichung – Druckstab unter Berücksichtigung der Schubverformung
8 - 38
qz
N
w(x)
L
x,
)x(wN)x(MM I +=
Gleichgewichtsbedingung:
Verträglichkeitsbedingung:
Lx
=ξ
wM(x)wV(x)
Verformung (Biegung und Querkraft)
)x(w)x(w)x(w VM +=
idV S
Vw =′ MV ′′=′
ididV S
MSVw
′′=
′=′′
idVM S
MJE
Mwww
′′+−=′′+′′=′′
Querkraftverformung:
id
II
id SEJ)M(MwN
SN1wEJ ′′+−=⋅+
−′′
Differentialgleichung
EJ, Sid
VV
wid
V SV
w =′
Schubsteifigkeit:Sid= GAv
-
Fachgebiet Stahlbau und Verbundkonstruktionen
Differentialgleichung – Druckstab unter Berücksichtigung der Schubverformung
8 - 39
qz
N
w(x)
Lx,
Lx
=ξ
wM(x)wV(x)
id
II
id SEJ)M(MwN
SN1wEJ ′′+−=⋅+
−′′
Differentialgleichung:
zid
qwNSN1wEJ =′′⋅+
−′′′′
zI q)M( −=′′mit
idS/N11
JENL
−=γ
γ=ε
Stabkennzahl bei Berücksichtigung der Schubverformung:
EJqw
Lw z
2=′′
ε+′′′′
EJ, Sid
Differentialgleichung:
Es können die Lösungen des für den Druckstab ohne Schubverformung verwendet werden, wenn die modifizierte Stabkennzahl ε verwendet wird.
-
Fachgebiet Stahlbau und Verbundkonstruktionen
Iterative Berechnung der Schnittgrößen nach Theorie II. Ordnung
8 - 40
πξ=ξ sinq)(q 0 ξ = πξπ
20
o 2q LM ( ) sin
2
20
00L
EIMwsinw)(w
π⋅=πξ=ξ
Durchbiegung nach Theorie I. Ordnung
1. Iterationsschritt
2
21
1o1L
EIM
wwNMπ
⋅∆
=∆⋅=∆
2. Iterationsschritt
2
22
212L
EIM
wwNMπ
⋅∆
=∆∆⋅=∆
n. Iterationsschritt
2
2n
n1nnL
EIMwwNM
π⋅
∆=∆∆⋅=∆ −
N N
L
Lx
=ξ
Ι0w
1w∆
2w∆
1nn wNM −∆⋅=∆
-
Fachgebiet Stahlbau und Verbundkonstruktionen
Iterative Berechnung der Schnittgrößen nach Theorie II. Ordnung
8 - 41
N N
L
Lx
=ξ
Ι0w
1w∆
2w∆
...MMMMM 321III +∆+∆+∆+=
Biegemoment und Verformung
...wwwww 321III ∆+∆+∆+=
∆++∆
+∆
+∆
+= IIIIIII
MM
...MM
MM
MM
1MMn321
)q....qqq1(MM n32III +++++=
M
+
∆∆∆
∆∆
+∆
∆∆
+∆
+= .MM
MM
MM
MM
MM
MM
1MM I1
1
2
2
3I1
1
2I
III 1
...)qqqqqq1(MM 123121III +⋅⋅+⋅++=
kiki1n2
1n2
1n
n
1n
nn
1NN
wEIwLN
ww
MMq
η==
∆⋅⋅π∆⋅⋅
=∆∆
=∆∆
=−
−
−−
πξ=ξ sinq)(q 0
-
Fachgebiet Stahlbau und Verbundkonstruktionen
Iterative Berechnung der Schnittgrößen nach Theorie II. Ordnung
8 - 42
N N
L
Lx
=ξ
Ι0w
1w∆
2w∆ crII N
Nww
ww
MM
MMq =
∆∆
=∆
=∆∆
=∆
=1
21
1
21
Unendliche geometrische Reihe mit dem Grenzwert:
q11ww
q11MM IIIIII
−=
−=
MDer Faktor q ist nur dann konstant, wenn die Biegelinie affin zur ersten Eigenform(Knickbiegelinie) ist.
)q....qqq1(MM n32III +++++=πξ=ξ sinq)(q 0
-
Fachgebiet Stahlbau und Verbundkonstruktionen
Iterative Berechnung der Schnittgrößen bei nicht affiner Verformungsfigur
8 - 43
Bei der Berechnung von Stäben mit anderen Belastungsanordnungen undmit von der Knickbiegelinie abweichenden Verformungen nach Theorie I.Ordnung stellt man fest, dass die Reihenglieder qn > q1 schnell konstanteWerte annehmen. Dies gilt insbesondere dann, wenn die Biegelinie nachTheorie I. Ordnung näherungsweise affin zur Eigenform des Stabes ist. Mitq2 ≈ q3 ≈ qn = q folgt dann:
⋅+
+⋅⋅+⋅+++=
− 21nn
2343221
IIIq....qq...
...qqqqqq1q1MM
−
+=
−
+=q1
q1wwq1
q1MM 1I1III
crcrII
qNN
ww
MMq
ww
MMq =≅
∆∆
=∆∆
=∆
=∆
=1
2
1
2111
Iw1w∆
2w∆
N
L)]q....qqq1(q1[MM n321
III ++++++=
-
Fachgebiet Stahlbau und Verbundkonstruktionen Zuschärfung der iterativen Berechnung
8 - 44
Da mit zunehmender Iteration die Reihenglieder gegen den Grenzwert qcrkonvergieren, ergibt sich:
mit
Wird bei jedem Reihenglied das letzte Reihenglied an subtrahiert undaddiert, so kann die Reihe in zwei Anteile aufspalten:
Die Reihenglieder in der letzten Reihe konvergieren sehr schnell gegenNull. Berücksichtigt man nur das erste Reihenglied, so folgt:
( ) ( ) ( )( )I 2 2n n cr n cr n 1 n cr 2 n crM M a a q a q ..... 1 a a a q a a q ... = + + + + − + − + − +
I 2 n1 1 2 1 2 ncr cr cr2 n
cr cr cr
q q q q q .....qM M 1 q q ... qq q q
⋅ ⋅= + + + +
( )I 2 n1 cr 2 cr n crM M 1 a q a q ..... a q= + ⋅ + ⋅ + + ⋅ 1 2 ii icr
q q .... qaq
⋅ ⋅=
( )I n ncr
1M M a 1 a1 q
= + − −
( )n crI crcr cr
1 a 1 q 1 qM M1 q 1 q
+ − + δ= =
− −
-
Fachgebiet Stahlbau und Verbundkonstruktionen
Korrekturfaktoren für die Ermittlung der Momente nach Theorie II. Ordnung
8 - 45
Nsinusförmig
δ = 0,0
δ = + 0,0324
δ = - 0,189
δ = + 0,273
Die Korrekturwerte δ ergeben sich aus dem Vergleich der Schnittgrößen mit den Werten der exakten Lösung.
Dischinger Faktor:
2
cr 2cr
EJNL
π=
II I
cr
cr
M M N1N
N1N
β= ⋅
−
β= + δ
-
Fachgebiet Stahlbau und Verbundkonstruktionen
Berücksichtigung von Imperfektionen durch Ersatzlasten - Vorkrümmung
8 - 46
L
eoNN
parabelförmiger VorkrümmungN
Leq o28=
N N
NLeo4 N
Leo4
sinusförmige Vorkrümmung
NLeq omax 2
2π=
NLeoπ N
Leoπ
N N
)x(w
Anstelle einer Berechnung am vorverformten System kann auch ein planmäßig gerades System mit Ersatzbelastungen untersucht werden.
N
N
dϕ
R
dx
qdϕ
q dxdxwN
RdxNdxq
wR1
Rdxddtan
dNdx)x(q
′′−==
′′−=κ==ϕ≈ϕ
ϕ=
wNq ′′−=
-
Fachgebiet Stahlbau und Verbundkonstruktionen
Berücksichtigung von Imperfektionen durch Ersatzlasten – Schiefstellung (Vorverdrehung)
8 - 47
N N
NN
vorverdrehte Lage
planmäßige Lage
Ersatzbelastung
∆H=N φ
Bei Stäben und Stabtragwerken, die am verformten System Stabdrehwinkel aufweisen und die durch Normalkräfte beansprucht werden, sind Schiefstellungen (Vorverdrehungen) zu berücksichtigen, wenn das Tragwerk nach Theorie II. Ordnung untersucht werden muss..
LHM
LNwNM
Lw
o
o
∆=
φ==
φ=
∆H=N φ
w0
L
φ∆H=N φ
-
Fachgebiet Stahlbau und Verbundkonstruktionen
Beispiel zu iterativen Berechnung der Schnittgrößen nach Theorie II. Ordnung
8 - 48
L
LR
EJREJ EJ
qSd
Hd
Fd3Fd2
φ
Vorverdrehung und ErsatzbelastungN1 N1φ N2 N3
qSd ,Fdi und Hd :
Bemessungswerte der Einwirkungen
RdRSd1 L/LH2/LqN −=
Normalkräfte in den Stielen nach Theorie I. Ordnung
2dRdRSd2 FL/LH2/LqN ++=
3d3 FN =
Resultierende Horizontalkraft aus Vorverdrehung: φ φ
N1φ
N2φ
N2φ
N3φ
N3φiH Nφ ∑= ϕ
-
Fachgebiet Stahlbau und Verbundkonstruktionen
Beispiel zu iterativen Berechnung der Schnittgrößen nach Theorie II. Ordnung
8 - 49
L
LR
EJR
EJ EJ
qSd Fd2
N3ϕo
ϕ+= HHH d
Fd3
Fd3
Vertikallasten:
M1V M2v
Biegemomente nach Theorie I. Ordnung:
M1H
M2H
R
R
2R
V2V1
LL
EJEJ812
LqMM+
−==
Horizontallasten:
H1H2
dH1
MM
L)HH(21M
−=
+= ϕ
-
Fachgebiet Stahlbau und Verbundkonstruktionen
Beispiel zu iterativen Berechnung der Schnittgrößen nach Theorie II. Ordnung
8 - 50
EJR
EJ
H
M1HM2H EJL
LR
wI wI wIN1
N2
N3
M
M
1H =
2L
JEL5,0LH5,0
312L
EJL5,0LH5,0
312dx
EIMMw R
RI
⋅+
⋅== ∫
-0,5 L
0,5 L ϕ+= HHH d
Ermittlung der Horizontalverformung nach Theorie I. Ordnung
H1H2dH1 MMLH5,0L)HH(21M −==+= ϕ
+
⋅=
R
R3
I EJEJ
LL
211
EJLH
61w
-
Fachgebiet Stahlbau und Verbundkonstruktionen
Beispiel zu iterativen Berechnung der Schnittgrößen nach Theorie II. Ordnung
8 - 51
EJR
EJ
iH∆
EJL
LR
N1
N2
N3
)NNN(LwH 321I1 ++=∆1. Iterationschritt
+
⋅∆=∆
R
R3
11 EJ
EJL
L211
EJLH
61w
iH∆
iw∆ iw∆iw∆
iM∆
iM∆
2. Iterationschritt )NNN(LwH 32112 ++
∆=∆
+
⋅∆=∆
R
R3
22 EJ
EJL
L211
EJLH
61w
∑
+=
∆=
∆=
R
R2
i1
I
11 EJ
EJL
L211
EJL
61N
HH
wwq
Reihenglieder:
11
22 qw
wq =∆∆
= Die Reihenglieder sind konstant.
-
Fachgebiet Stahlbau und Verbundkonstruktionen
Beispiel zu iterativen Berechnung der Schnittgrößen nach Theorie II. Ordnung
8 - 52
L
LR
EJR
EJ EJ
qSd Fd2
ϕ+= HHH d
Fd3
Fd3
M1V M2v
M1H
M2H
∑
+=
R
R2
i EJEJ
LL
211
EJ6LNq
Biegemoment und Verformungen nach Theorie II. Ordnung :
q11MMM IH
Iv
II−
+=
MV
MH
Bei der Anwendung des Vergrößerungsfaktors ist bei verschieblichen Systemen zu beachten, dass der Vergrößerungsfaktor nur auf diejenigen Einwirkungen anzusetzen ist, die eine affin zur Knickfigur verlaufende Verformung erzeugen. Bei dem unter-suchten Rahmen sind dies die Horizontalbelastung H und die aus der Imperfektion (Schiefstellung) resultierende Ersatzbelastung Hϕ.
q11ww III−
=
-
Fachgebiet Stahlbau und Verbundkonstruktionen
Ermittlung der Verzweigungslast mit Hilfe der iterativen Berechnung
8 - 53
N=N1 N2
N3
LR
L
w w w
EJR
EJ EJ∑
+=
R
R2
i EJEJ
LL
211
EJ6LNq
Linke Rahmenstütze:
rechte Rahmenstütze
Verzweigungslastfaktor
cr crcr cr
N 1q N NN
= = = αα
232 R
cr 1 1 R
NN L1 N L 1 EJ1 16EJ N N 2 L EJ
= + + + α
2
2
cr 232 R
1 1 1 R
EJL
NN L1 EJ1 16N N N 2 L EJ
π
α = π
+ + +
cr,1 1 crN N= α
cr,2 2 crN N= α
-
Fachgebiet Stahlbau und Verbundkonstruktionen
8 - 54
Kapitel 8.3
Ermittlung der Verzweigungslasten von
Stäben und Stabtragwerken
Spannungs- und Verzweigungsproblem bei biegesteifen Stäben, Ermittlung der Verzweigungslast von Stäben und
Stabtragwerken, elastisch gestützte Träger, Druckstab mit elastischer Bettung,nichtrichtungstreue
Belastung,Näherungsverfahren zur Ermittlung der Verzweigungslast
-
Fachgebiet Stahlbau und Verbundkonstruktionen
Ermittlung der idealen Verzweigungslast -Grundlagen
8 - 55
Spannungsproblem Theorie II. Ordnung Verzweigungsproblem
w0
qzN N
EJqw
Lw z
2=′′
ε+′′′′ 0wL
w2
=′′
ε+′′′′ JE
NL=ε
Ncr
w
A
A
B
BN
ε
σ
Eε=σ
-
Fachgebiet Stahlbau und Verbundkonstruktionen
Verzweigungslast - Differentialgleichung und Lösungsansatz
8 - 56
0wL
w2
=′′
ε+′′′′
4321 CCcosCsinC)(w +ξε+ξε+ξε=ξ
JEN
L=εNN
w(ξ)
L
x,ξ
0 1 0 1
0 1 0 0
sin ε cos ε 0 0
sin ε cos ε ε 1
C1
C2
C3
C4
= 0
Aus den Randbedingungen resultiert ein homogenes Gleichungssystem zur Bestimmung der Konstanten Ci
-
Fachgebiet Stahlbau und Verbundkonstruktionen Ermittlung der Eigenwerte εKi
8 - 57
)(D)(DC ii ε
ε=
Bestimmung der Konstanten mit der Cramerschen Regel
Liefert Ci=0, da das Gleichungssystem homogen ist und somit Di(ε)=0 . Diese triviale Lösung gibt den unverformten Grundzustand an.
1
2 Eine eindeutige Lösung existiert nur, wenn die Koeffizientendeterminante D(ε)=0
000
)(D)(DC ii ≠=ε
ε=
Dies bedeutet, dass eine benachbarte Gleichgewichtslage existiert, bei der der Betrag der Verformung jedoch unbestimmt bleibt. Die Determinante D(ε)=0 ist nur für ausgezeichnete Werte von ε ≠ 0 gleich Null. Diese Werte εKi werden als Eigenwerte bezeichnet.
-
Fachgebiet Stahlbau und Verbundkonstruktionen
Ermittlung der Eigenwerte und der Verzweigungslast
8 - 58
0 1 0 10 1 0 0
sin ε cos ε 0 0sin ε cos ε ε 1
D(ε) = = ε sin ε = 0
Eigenwerte:ε= εcr = 0 (triviale Lösung N=0)
sin ε = sin εcr = 0 ⇒ εcr = nπ
Kleinster Eigenwert:
εcr = π für n=1
Eigenform:
Einsetzen der Eigenwerte in das homogene Gleichungssystem
w(ξ) = f sin (εcr ξ) = f sin (n π ξ)
f bleibt dabei unbestimmt .
f f
w(ξ) w(ξ)
ξ
Ncr
n=1n=2
-
Fachgebiet Stahlbau und Verbundkonstruktionen Ermittlung der Verzweigungslast
8 - 59
w(ξ)
f
Ncr
ξ
L
EJ
cr crcr
N NL LEJ EJ
αε = = = π
2 2cr ki cr 2 2
EJ EJN NL L
= α = ε = π
Stabkennzahl und Eigenwert:
Normalkraft unter der kleinsten Verzweigungslast (Knicklast):
Eigenform (Knickbiegelinie)
)(sinf)(w πξ=ξ
Verzeigungslastfaktor des Stabes oder Stabsystems:
crcr
NN
α =
L
-
Fachgebiet Stahlbau und Verbundkonstruktionen Die Eulerfälle I bis IV (Euler 1759)
8 - 60
Eulerfall I Eulerfall II Eulerfall III Eulerfall IV
Knickbedingung ε cos ε =0 ε sin ε =0 ε / tan ε =1,0 cos ε = 1,0
Kleinster Eigenwert εcr εcr=0,5 π εcr= π εcr= 1,431 π εcr= 2 π
Verzweigungslast Ncr
Knicklängenbeiwert β 2,0 1,0 0,7 0,5
Eigenform w(ζ)
2cr 2
EJN(2 L)
= π2
cr 2EJNL
= π 2cr 2EJN
(0,7 L)= π 2cr 2
EJN(0,5 L)
= π
L
crcr
NLEJ
ε =
Lcr = β Lcr
πβ=
ε
crf (1 cos )− ε ξ crf (sin )ε ξ cr crcr cr
(1 cos )f
sin− ε ξ ε
+ ε ξ − ε ξ crf / 2 (1 cos )− ε ξ
ξ
-
Fachgebiet Stahlbau und Verbundkonstruktionen Definition der Knicklänge
8 - 61
Die Knicklänge Lcr eines Stabes mit beliebigen Randbedingungen ergibt sich aus dem Vergleich der Knicklast mit der Knicklast des Eulerfall II (Ersatzstab).
Sie ergibt sich aus dem Abstand der Wendepunkte des sinusförmigen Verlaufes der Knickbiegelinie.
( )
2 2cr
cr 2 2 2cr
EJ EJ EJNL L L
ε π π= = =
β
crcr
L L π=β β =ε
Ersatzstab
Lcr=L Lcr=βL
Wendepunkt
2
cr 2cr
EJNL
π=
β=0,5
Ncr
-
Fachgebiet Stahlbau und Verbundkonstruktionen Beispiele zur Knicklängenermittlung
8 - 62
Ncr Ncr
Lcr=β L
β=2,0
L
Ersatzstab
L L
Wendepunkt Ncr
NcrLcr=βL β=1,0
Ersatzstab2
cr 2cr
EJNL
π=
crL L=β
-
Fachgebiet Stahlbau und Verbundkonstruktionen Beispiele zur Knicklängenermittlung
8 - 63
Ncr
Ncr
Lcr=β L
β=2,0
L
Ersatzstab
L
L
Ncr
Ncr
Lcr=βL
β=0,7
Ersatzstab
NcrNcr
seitlich verschieblicher Rahmen
seitlich unverschieblicher Rahmen
EJ
2
cr 2cr
EJNL
π= cr
L L=β
EJR ⇒∞EJR ⇒∞
EJ
-
Fachgebiet Stahlbau und Verbundkonstruktionen
Ermittlung von Federsteifigkeiten für Ersatzsysteme
8 - 64
N N
LEJ
EJR
EJR
ϕ
M=1
M
LR
Ersatzsystem
EJ
cϕ
cϕ
ϕ
M
M=1
Federgesetz
Ermittlung der Drehfedersteifigkeit
R
R
R EJL0,10,1
31dx
EJMM
==ϕ ∫
ϕ=ϕ
1cR
RLEJ3c =ϕ
M= cϕ ϕ
Merke:
Es können nur normalkraftfreie Stäbe durch linear elastische Federn ersetzt werden.
-
Fachgebiet Stahlbau und Verbundkonstruktionen Ersatzsysteme bei Rahmenkonstruktionen
8 - 65
LR LR/2
L
cϕ
Wendepunkt
ϕM=1,0
EJ
EJR
EJR2
LEJ
10,10,131dx
EJMM R
RR==ϕ ∫
ϕ
M=1,0
M
cϕM= cϕ ϕ
R
RLEJ61c =
ϕ=ϕ
Ersatzsystem mit elastischer Randlagerung
-
Fachgebiet Stahlbau und Verbundkonstruktionen Ersatzsysteme bei Rahmenkonstruktionen
8 - 66
LR LR/2
L
cϕ
M=1,0
EJ
EJR
EJR 2L
EJ10,10,1dx
EJMM R
RR=∫=ϕ
ϕM=1,0
M
cϕ
M= cϕ ϕR
RLEJ21c =
ϕ=ϕ
Ersatzsystem mit elastischer Randlagerung
N N
M
ϕ
N
-
Fachgebiet Stahlbau und Verbundkonstruktionen Beispiel zur Ermittlung von Ersatzsystemen
8 - 67
a
a a
EJREJ
EAD L=a
cϕ
cw
Ersatzsystem
M=1
ϕ
0,50,5
RR
2
R EJ6a
EJa
21
312dx
EJMM
=
==ϕ ∫
aEJ61c R=
ϕ=ϕ
wF=1
DD
2
D EA2a
EA2a
212dx
EANNw =
== ∫
2aEA
w1c Dw ==
Federgesetz
M (F)
ϕ (w)
wcFcM w=ϕ= ϕ1,0EJ
-
Fachgebiet Stahlbau und Verbundkonstruktionen
Ermittlung der Verzweigungslast für Stäbe mit elastischen Randlagerungen
8 - 68
cw
EJ L
ζ=x/L
cϕ
N w11w′
0wL
w2
=′′
ε+′′′′ JE
NL=ε
4321 CCcosCsinC)(w +ξε+ξε+ξε=ξ
Differentialgleichung
Lösungsansatz
Randbedingungen an der Stelle x=0:
0w = 0w =′
Randbedingungen an der Stelle x=L:
M - cϕ⋅w1′ = -EJ⋅w″ - cϕ⋅w′ = 0
V- N . w´ + cw. w = + EJ w’’’ -N . w´ + cw . w= 01w′
NM
cw wϕ′ cw1
T1wNVT ′−=
-
Fachgebiet Stahlbau und Verbundkonstruktionen
Stäbe mit elastischen Randlagerungen -Knickbedingung
8 - 69
cw
EJ L
ζ=x/L
cϕ
N
0 1 0 1
0 0
0D(ε) =
Lε
εγ−εε cossin γ−
εδsin εδcos 3ε−εδ δ
= 0
JELc
JELc 3w=δ=γ ϕ
Knickbedingung:
Lε
εγ−εε sincos
( )( ) 0sin)cos1(2
sincossincos 34
=εε−ε−δγ+ε−εεεδ−εεγ+εε
-
Fachgebiet Stahlbau und Verbundkonstruktionen Auswertung der Knickbedingung [ 1 ]
8 - 70
JELc
JELc
3w=δ
=γ ϕ
cw
cϕ
cϕ cw
LEJ
Knicklänge: 2cr
2cr L
EJNπ
=Verzweigungslast:Lcr= β L
JELc
JELc
3w=δ
=γ ϕ
cwcϕ
LEJ
0 2 4 6 8 10 8 6 4 2 0 0 2 4 6 8 10 8 6 4 2 00,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
0,5
1,0
1,5
2,0
x 10² 1/δδ x 10² 1/δδ
γ=0
0,5
2,0
5
10
∞γ=0
0,52,0
510∞
β β
γ=0
0,2
0,5
1,0
2,05,0
10∞
-
Fachgebiet Stahlbau und Verbundkonstruktionen Auswertung der Knickbedingung [ 1 ]
8 - 71
γ =0
0 2 4 6 8 10 8 6 4 2 00,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
0,5
1,0
5,0 10
β
Knicklänge: 2cr
2cr L
EJNπ
=Verzweigungslast:Lcr= β L
JELc
JELc
uu
oo
ϕ
ϕ
=γ
=γ
cϕo
cϕuL
cϕo
cϕuL
JELc
JELc
uu
oo
ϕ
ϕ
=γ
=γ
EJ EJ
2,0
∞
100/γuγu
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
β
0 2 4 6 8 10 8 6 4 2 0
100/γuγu
γ =0
0,2
0,5
2,0
10
o
1,0
∞5,0
o
-
Fachgebiet Stahlbau und Verbundkonstruktionen Verzweigungslast bei Stabsystemen
8 - 72
N1
N2
N1 N2
L1L2EJ EJ
Verzweigungslastfaktor desGesamtsystems
1,cr cr 1N N=α
2,cr cr 2N N=α
2
1,cr cr 1 121 1
EJN N aus Literatur( L )π
=η = → ββ
22
2,cr cr 2 1,cr 21 2,cr 2
N EJN N NN N L
π=α = → β =
LR
EJR
R
1R
1
2
2
1LL
EJEJ
LL
NN
=δ=κ=χ
Knicklänge des Stabes 2
crα
crαcrα
-
Fachgebiet Stahlbau und Verbundkonstruktionen Knicklängenbeiwerte - Zweigelenkrahmen
8 - 73
R
1R
1
2
2
1
LL
EJEJLLNN
=δ
=κ
=χ
N1
N2
L1L2EJ
EJ
LR
EJR
0,8
0,9
1,4
1,6
1,8
2,1
1,1
1,3
1,9
1,0
1,2
1,5
1,7
2,0
0,25 0,5 1,0 1,5 4,02,0 2,5 3,0
κ = 1,0 κ = 0,5
χ0,25 0,5 1,0 1,5 2,52,0 3,0
0,5
0,6
1,1
1,3
1,5
1,8
0,8
1,0
1,6
0,7
0,9
1,2
1,4
1,7
β1 β1
χ
-
Fachgebiet Stahlbau und Verbundkonstruktionen Stab mit elastischer Einzelstützung
8 - 74
N EJcwL1 L1
L
symmetrisches Versagen
antimetrisches Versagen
δε
−=
εε
21
1tan JE
Lc5,0 31w=δ
EINL11 =π=ε (Eulerfall II)
Mindestfedersteifigkeit:
crε = πδ
π−=
ππ
21
1tan
31
2min,w
31w2
LEI2c
EILc 5,0
π=→=π=δ
31
2min,w L
EJ2c π=
cr2 2
NEJ / Lπ
4
1
22π=δ∗ δ
2010 30
2
3
A B
A
B
2cw
2cw
wc
2cw
Ersatzsystem bei symmetrischer Knicklinie:
-
Fachgebiet Stahlbau und Verbundkonstruktionen
Knicklängen von elastisch gestützten Stäben mit unterschiedlicher Stützweite
8 - 751
2LL
=κ
β1
2
112 L
Lβ=β
JE2Lc 31w=δ
JE2Lc 31w=δ
L1 L2
EJN N
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,6 0,7 0,8 0,9 1,01,0
1,1
1,4
1,6
1,7
1,9
1,2
1,3
1,8
2,0
21
2
21
cr LEJ1N π
β=
-
Fachgebiet Stahlbau und Verbundkonstruktionen
Beispiele für Druckstäbe mit elastischer Bettung
8 - 76
Obergurt einer Trogbrücke
Obergurt einer Fachwerkbrücke
Querrahmen
elastischer Endrahmen
steifer Endrahmen
w wH H
hhv
bH h
H hv
EJvEJq
EJv⇒∞
wcH w=Federgesetz
v
v2v
q
2
EJhhH
312
EJbhHdx
EJMMw2 +=∫=
v
3v
q
2w
EJ3h
EJ2bh
1wHc
+==
-
Fachgebiet Stahlbau und Verbundkonstruktionen
Stab mit elastischer Stützung -Differentialgleichung
8 - 77
EJqw
Lw z
2=′′
ε+′′′′ JE
NL=ε
Differentialgleichung nach Theorie II. Ordnung
mit qz= - cw w folgt
0wL
wL
w 422
=⋅η
+′′
ε+′′′ EI
Lc 4w=η
)nsin(L
nc)(w
)n(sinL
nc)(w
)nsin(c)(w
4
2
ξπ
π⋅⋅=ξ′′′′
ξπ
π⋅⋅−=ξ′′
ξπ⋅=ξ
Lösungsansatz:
n- Halbwellenanzahl
L
s s s s s
CW
sCc ww =
kontinuierliche elastische Bettung
N N
NN
EJ
-
Fachgebiet Stahlbau und Verbundkonstruktionen
Stab mit elastischer Stützung -Verzweigungslast
8 - 78
JEN
L=ε
Differentialgleichung
0wL
wL
w 422
=⋅η
+′′
ε+′′′ EJ
Lc 4w=η
0)n()n( 2224 =η+πε−π
Einsetzen des Lösungsansatzes in die Differentialgleichung liefert die charakteristische Gleichung zur Bestimmung von εKi
22 2cr (n ) n
η ε = π + π
( )2
22cr cr 2 2
EJ EJN nnL L
η = ε ⋅ = π + π
Stabkennzahl und Eigenwert:
Verzweigungslast:
-
Fachgebiet Stahlbau und Verbundkonstruktionen
Stab mit elastischer Stützung Verzweigungslast und Knicklänge
8 - 79
( )2
2cr 2
EJN nnL
η = π + π Verzweigungslast:
Die Verzweigungslast ist somit eine Funktion der Halbwellenzahl n. Das erste Glied gibt die Knicklast des Eulerfalls II für die n-Halbwellen und das zweite Glied die Erhöhung infolge der elastischen Bettung an. Die kleinste Verzweigungs-last und die zugehörige Halbwellenzahl n folgt aus der Bedingung: 2
2cr3
dN 20 2ndn n
η = = π − ⋅ π πη
=n
Knicklängenbeiwert:
Einsetzen von n in die Gleichung für NKi liefert liefert die kleinste Verzweigungslast:
cr,min w2EJN 2 2 c EJL
= η =2
cr w 2EJN 2 c EJ mitL 2
π π= = β =
β η
4
22 1
nn
1
π⋅
η+
=β EJLc 4w=η
-
Fachgebiet Stahlbau und Verbundkonstruktionen Stab mit elastischer Stützung - Knicklänge
8 - 80
Ls s s s s
CW
sCc ww =
kontinuierliche elastische Bettung
N N
NN
Zusammenhang zwischen Knicklänge und Halbwellenlänge
c crL Ls 2 Ln
π= = =
η
Annahme einer kontinuierlichen Bettung ist zulässig, wenn Lcr ≥1,2 s
EJLc 4w=ηη
π=β
2
2
cr cr2cr
EJN L LL
π= =β
Halbwellenlänge
EJ
scsK
-
Fachgebiet Stahlbau und Verbundkonstruktionen Stab mit elastischer Stützung
8 - 81
NKi
πη
EJLc 4w=η
EJ
cW
L
NN
n=1 n=2 n=3 n=4
1,0 2,0 3,0 4,02 6 12
Nki,min
cr,min w2EJN 2 2 c EJL
= η =
-
Fachgebiet Stahlbau und Verbundkonstruktionen Systeme mit nicht-richtungstreuer Belastung
8 - 82
Pylon einer Schrägseilbrücke
w w
L
Endrahmen einer Fachwerkbrücke
L
w angependelte Stütze
N2
w w
ϕ
N2ϕN2ϕN1
N1
ϕ
N2ϕ
-
Fachgebiet Stahlbau und Verbundkonstruktionen
Stab mit nicht-richtungstreuer Belastung Differentialgleichung
8 - 83
L
a
N
EJ
wma
wN m
awN m
w(x)
wm
N wm
N
awN m
N
)aL1(wNM m +=
Differentialgleichung:
)x(MwEJ lI−=′′
Biegemoment am verformten Tragwerk
+⋅−
⋅⋅+⋅=
aL1wN
axwNwN)x(M mm
lI
Differentialgleichung der Knickbiegelinie
++ξ
ε=⋅
ε+′′ )
aL1(
aL
Lww
Lw
2
m
2
Lx,x =ξ Lösungsansatz
JEN
L=ε
ξ++−ξε+ξε=ξ )1(
aL1CcosCsinC)(w 321
-
Fachgebiet Stahlbau und Verbundkonstruktionen
Stab mit nicht-richtungstreuer Belastung -Knickbedingung
8 - 84
L
a
N
EJ
wm
w(ζ)
ξ
JEN
L=ε
ξ++−ξε+ξε=ξ )1(
aL1CcosCsinC)(w 321
Lösungsansatz:
Randbedingungen:
mw)1(w0)0(w0)0(w ==ξ==ξ′==ξ
0 1
1 0
0
homogenes Gleichungssystem:
C1
C2
C3
=0aL1+
ε−
1aL
εsin εcos
Knickbedingung: D(ε) =0La1
1tan +
=ε
ε
-
Fachgebiet Stahlbau und Verbundkonstruktionen
Stab mit nicht-richtungstreuer Belastung-Knicklänge
8 - 85
La1
1tan +
=ε
ε
aL
0,1
0,2
0,3
0,4
0,1 0,2 0,3
0,5
0,4 0,50,1−0,2−0,3−
a
L
N
β
crL 2La
=
= −∞crL L
a L=
= −crL 2,7
a L=
=
a=0 Normalkraft greift direkt am Kragträger an β=0,7(Eulerfall III)
a=-L Die Wirkungslinie geht durch den Fußpunkt β=1,0
(Eulerfall II)
a=±∞ Kraft wirkt richtungstreuβ=2,0 (Eulerfall I)
a>0 Die Knicklänge ist erheblichgrößer als die Stablänge(gefährlicher Fall z.B. beiangependelten Stützen)
a
-
Fachgebiet Stahlbau und Verbundkonstruktionen Anwendung bei anderen Systemen
8 - 86
∑=i
mi LwNH
1i
m1i L
wN+
+Ni
wm wm
Ni+1
wm
i
mi LwN
Li
Li+1L
N
N
∑=i
iLL
NN
aL
awNH m=
N
a
L
wm
∑=i
mi
mL
wNa
wN
-
Fachgebiet Stahlbau und Verbundkonstruktionen
Näherungsverfahren zur Ermittlung von Verzweigungslasten
8 - 87
Beim Durchbiegungsverfahren nach Sattler wird der Verlauf der Knickbiegelinie durch eine Funktion w(ξ) approximiert, die von einem oder mehreren Bezugswerten abhängt. Die Bezugswerte werden mit Hilfe des Arbeitssatzes berechnet und durch Gleichsetzen die Knickbedingung aufgestellt. Als Funktion für die Knickbiegelinie w(ξ) kann näherungsweise eine quadratische Parabel angenommen werden.
∫ ==ξ= m2
mm wEJ
LN485L
4L
JEwN
125d
EJMMw
2
cr 2 248 EI EIN 0,975 L L
π= =
Durchbiegungsverfahren nach Sattler
wm
M(ξ)=N w(ξ)
w(ξ)
N wm
EJ
L
N
„1“
M L/4
N
x,ξ
-
Fachgebiet Stahlbau und Verbundkonstruktionen
Durchbiegungsverfahren nach Sattler -Beispiel
8 - 88
∑=i
mi LwNH
∫
+==
EJLLLH
31LwN
125dx
EIMMw mm
∑+=
i
i2
mm LL
NN
31
125
EJLNww
2
cr 2 2 2EJ 1 EJN 5 1L L
12 3
π= =
β+ χ
1i
m1i L
wN+
+Ni
wmwm
Ni+1
wm
i
mi LwN
LiLi+1EJL
N
N
EJL
„1“
N wm H L 1 L
Parabel
Verformung am Stützenkopf:
∑=χi
iLL
NN
χ+π=β31
125
Verzweigungslast und Knicklängenbeiwert
-
Fachgebiet Stahlbau und Verbundkonstruktionen
8 - 89
Kapitel 8.4Tragfähigkeitsnachweise für einteilige
Querschnitte bei zentrischer Druckbeanspruchung und bei
Druck und Biegung
-
Fachgebiet Stahlbau und Verbundkonstruktionen
8 - 90
Kapitel 8.4.1Tragfähigkeitsnachweise
nach Eurocode 3-1-1-Allgemeines
-
Fachgebiet Stahlbau und Verbundkonstruktionen
Tragfähigkeits-nachweis
EN 1993-1-1: Übersicht-Stabilitätsnachweise
Ersatzstabverfahren und Interaktionsgleichungen
Tragwerks-berechnung nach
Theorie I. Ordnung
Imperfektionen ezo,d nach EC 3-1-1,5.3.2 (3) affin zur Eigenform
(Vorverdrehung)
Tragwerksberechnung nach Theorie II. Ordnung
Methode I-A Methode I-B
1≤+χ
+⋅χ ⋅ Rd,z
Ed,zyz
Rd,yLT
Ed,yyy
Rdy
EdMM
kM
Mk
NN
Nachweis mit linearer Interaktion am Einzelstab mit Randmomenten nach
Theorie II. Ordnung, Abmin-derungsbeiwert χ wird mit der
Stablänge ermittelt. (EC 3-1-1, 6.3.3)
Nachweis mit linearer Inter-aktion am Einzelstab, Abmin-derungsbeiwert χ wird mit der am Gesamtsystem ermittelten Knicklänge (EC3-1-1,6.3.3)
1≤+χ
+⋅χ ⋅ Rd,z
Ed,zzz
Rd,yLT
Ed,yzy
Rdz
EdMM
kM
Mk
NN
Methode II
Allgemeines Verfahren mit Hilfe
des System-schlankheitsgrades
011
,M
ultop ≥γ
α⋅χ
op,cr
k,ultop α
α=λ
-
Fachgebiet Stahlbau und Verbundkonstruktionen EN 1993-1-1: Übersicht -Stabilitätsnachweise
92
Berechnung des Gesamtsystems nach Theorie II. Ordnung
Imperfektionen ezo,d und eyod nach der Eigenform nach EC 3-1-1,5.3.2 (11) in
Abhängigkeit von der Schlankheit
Elastische Tragwerks-berechnung
Tragfähigkeits-nachweis mit
linearer plastischer Interaktion (Torsion
nicht geregelt)
elastische Querschnittstrag-
fähigkeit(Klassen 3 u. 4)
Imperfektionen ezo,d nach EC 3-1-1,5.3.2 (3) und eyo,d nach
5.3.4 affin zur Eigenform(Vorverdrehung und Vorkrümmung
in Abhängigkeit von der Art der Tragwerksberechnung)
Elastische Tragwerks-berechnung
Plastische Tragwerks-berechnung
Tragfähigkeits-nachweis mit linearer plastischer Interaktion
(Torsion nicht geregelt)
elastische Querschnitts-tragfähigkeit
(Klassen 3 u. 4)
MethodeI III Methode V
21
20
1120
λ⋅χ−
γλ⋅χ−⋅−λα= M
Rk
Rk /)(NM),(e
-
Fachgebiet Stahlbau und Verbundkonstruktionen Abgrenzungskriterien
8 - 93
10≥=αEd
crcr N
N
Auf einen Stabilitätsnachweis darf verzichtet werden, wenn der Zuwachs der Schnittgrößen nach Theorie II. Ordnung bei elastischer Berechnung kleiner als 10% ist.
cr
EdNN
MM
wwq,
q=
∆=
∆=≤
−=α 11
11
Dieses Kriterium ist bei elastischer Tragwerksberechnung erfüllt, wenn die nachfolgende Bedingung eingehalten ist.
w, ∆w
NH
NEdNEd
Bei plastischer Tragwerksberechnung (z.B. Fließgelenktheorie) gilt wegen des Einflusses des nichtlinearen Materialverhaltens auf die Steifigkeiten:
15≥=αEd
crcr N
N
-
Fachgebiet Stahlbau und Verbundkonstruktionen
8 - 94
Kapitel 8.4.2Tragfähigkeitsnachweis nach Theorie II.
Ordnung
-
Fachgebiet Stahlbau und Verbundkonstruktionen
Tragfähigkeitsnachweis nach Theorie II.Ordnung
8 - 95
Die Schnittgrößen werden am Gesamtsystem nach Elastizitätstheorie II. Ordnung berechnet. Bei der Schnittgrößenermittlung sind geometrische Ersatzimperfektionenzur Erfassung der Einflüsse aus geometrischen und strukturellen Imperfektionen zu berücksichtigen. Die Imperfektionsansätze sind von der Ausnutzung der Querschnittstragfähigkeit /elastisch oder vollplastisch) abhängig.
Ermittlung der Schnittgrößen
Querschnittstragfähigkeit und Nachweisverfahren
Elastische Querschnittstragfähigkeit Vollplastische Querschnittstragfähigkeit
--
fyd
++
σ≤fyd
N
MM
N
-
Fachgebiet Stahlbau und Verbundkonstruktionen
Geometrische und strukturelle Imperfektionen– Geometrische Ersatzimperfektionen
5-96
geometrische Imperfektionen
strukturelle Imperfektionen
Eigen-spannungen σE
Streckgrenzen-verteilung
+
-
-
LastexzentrizitätenVorkrümmung e, Schiefstellung φ
Geometrische Ersatzimperfektionen
e0d
σE fy
e
φ
e NEdNEd
äquivalente Ersatzbelastungparabelförmige Vorkrümmung mit
maximalem Stich eod
L
8LqeN
2e
d0Ed =
2d,0Ed
e LeN8
q =
LeN4 d,0Ed
LeN4 d,0Ed
Vorkrümmung
Schiefstellung
NEdNEd
NEd
NEd
NEd
NEd
NEdφ
NEdφ
φ
Die bei der Tragwerks-berechnung anzusetzenden Werte für die Imperfektioneneod und φ sind in EN 1993-1-1 geregelt.
-
Fachgebiet Stahlbau und Verbundkonstruktionen Imperfektionen – Stich der Vorkrümmung
97
Imperfektionen für BiegeknickenKnicklinie DIN EN 1993-1-1 DIN EN 1993-1-1/NA
Querschnittsausnutzung
elastisch plastisch elastisch plastisch
ao L/350 L/300 L/900 wie elastisch jedoch
Mpl,k/Mel,k-facha L/300 L/250 L/550
b L/250 L/200 L/350
c L/200 L/150 L/250
d L/150 L/100 L/150
Toleranz nach DIN EN 1090 -2: L/750
eo
NN
parabelförmiger Vorkrümmung
NLeq o28=
N N
NLeo4 NL
eo4
sinusförmige VorkrümmungN
Leq omax 2
2π=
NL
eoπ NLeoπ
N N
L
Imperfektionen für die schwache Achse - BiegedrillknickenQuerschnittsabmessungen Querschnittsausnutzung
elastisch plastisch
Gewalzte I-Profile
h/b≤2,0 L/500 L/400
h/b>2,0 L/400 L/300
Geschweißte I-Profile
h/b≤2,0 L/400 L/300
h/b>2,0 L/300 L/200
-
Fachgebiet Stahlbau und Verbundkonstruktionen
Geometrische Ersatzimperfektionen -Vorverdrehung nach Eurocode 3-1-1
8 - 98
Bei der Ermittlung von m dürfen Stiele mit geringer Normalkraft (Ni< 0,50 Nm nicht mitgezählt werden. Dabei ist Nm der Mittelwert der Stützenlasten für die betrachtete Richtung
Vorverdrehung bei einteiligen StäbenN1 N2 N3
h1h2 h3
φ1
N1 N2 N3
N1 φ1Reduktionsfaktor zur Berücksichtigung von m voneinander unabhängigen Ursachen für Vorverdrehungen
Ersatzbelastung
Vorverdrehung
φ2 φ3
N1 φ1
N2 φ2
N2 φ2
N3 φ3
N3 φ3
2/3≤αh≤1,0
mh0 ααφ=φ
ih h
2=α
+=α
m11
21
m
2001/o =φ
-
Fachgebiet Stahlbau und Verbundkonstruktionen
Tragfähigkeitsnachweis bei elastischer Querschnittsausnutzung
(Querschnittsklassen 1, 2 und 3 )
8 - 99
zJ
MA
Ny
Ed,yEdEd +=σ
010101 ,,,Rd
Ed,v
Rd
Ed
Rd
Ed ≤σ
σ≤
ττ
≤σσ
Tragfähigkeitsnachweise:
Die Spannungen sind mit den Schnittgrößen nach Theorie II. Ordnung unter Ansatz von Imperfektionen zu berechnen
tJSV
y
yEd,zEd =τ
22 3 EdEd,xv τ+σ=σ
NEd
eo w MEd
qEd
FEd
My,Ed y
zVz,Ed
II 2Ed
Ed Ed ED o Ed dEd
cr
MM M N e q L / 8 F L / 4N1N
= = + +−
2
cr cr2cr
EJN L LL
π= =
-
Fachgebiet Stahlbau und Verbundkonstruktionen
Tragfähigkeitsnachweis bei plastischer Querschnittsausnutzung (Querschnitte der Klassen
1 und 2)
8 - 100
Tragfähigkeitsnachweis mit Interaktionsbedingung nach EC 3-1-1, 6.2.9 oder vereinfacht mit einer linearen Interaktionsbedingung
Die Schnittgrößen sind nach Theorie II. Ordnung unter Ansatz von geometrischen Ersatzimperfektionen zu berechnen. Die geometrische Ersatzimperfektion ergibt sich in Abhängigkeit von der maßgebenden Knickspannungskurve.
NEd
eo wMEd
qEd
1≤+d,pl
Ed
d,pl
EdNN
MM
d,plMM
d,plNN
1,0
1,0
fyd
II 2
Ed Ed Ed o dEd
cr
MM M N e q L / 8N1N
= = +−
2
cr cr2cr
EJN L LL
π= =
-
Fachgebiet Stahlbau und Verbundkonstruktionen
8 - 101
Kapitel 8.4.3Ersatzstabnachweis
-
Fachgebiet Stahlbau und Verbundkonstruktionen
8 - 102
Kapitel 8.4.3.1
Ersatzstabnachweis-Nachweis bei zentrischem Druck
-
Fachgebiet Stahlbau und Verbundkonstruktionen
Versagensformen beim Druckstab mit doppeltsymmetrischem Querschnitt
8 - 103
y
y
z
z w
v
ϑ
Beim zentrisch beanspruchten Druckstab mit doppelt-symmetrischem Querschnitt treten drei Versagensformen auf, Biegeknickenum die beiden Querschnittshauptachsen und Drillknicken um die x-Achse.
Biegeknicken um die y-Achse
Biegeknicken um die z-Achse
Drillknicken um die x-Achse
N
ϑ
Wird der Stab zusätzlich durch eine Druckkraft beansprucht entstehen in der verformten Lage zusätzliche elastische Abtriebskräfte in y- und z- Richtung und bei einem Verdrillen des Stabes zusätzliche Torsionsmomente .
y
z
y
z
L
Wird der Stab durch eine Normalkraft und ein Biegemomente My beansprucht, tritt immer ein kombiniertes Versagen mit Ausweichen in y-Richtung und gleichzeitigem Verdrehen auf (Biegedrillknicken )
ϑ vy
z
Stabilitätsversagen bei Druck und Biegung My
Stabilitätsversagen bei zentrischer Druckbeanspruchung
-
Fachgebiet Stahlbau und Verbundkonstruktionen Nachweisverfahren in den Regelwerken
8 - 104
NcrNplNR
Das Bild kann nicht angezeigt werden.
N
ϑ,v,w
pl
RNN
=χN idealer Druckstab(Euler-Hyperbel)
Druckstab mit geometrischen und strukturellen Imperfektionen
1,0
1,0
χDas Bild kann nicht angezeigt werden.
1,0
Tragfähigkeitsnachweis:Das Bild kann nicht angezeigt werden.
Das Bild kann nicht angezeigt werden.
21λ
NEd
yzϑ
Bei der Ermittlung der Tragfähigkeit des Stabes müssen das bilineare Spannungs-Dehnungsverhalten von Baustahl sowie der Einfluss von geometrischen und strukturellen Imperfektionen berücksichtigt werden. Diese Einflüsse werden bei der Bemessung von zentrisch gedrückten Stäben durch den Abminderungsfaktor κ (Knickspannungslinien) berücksichtigt. Die verschiedenen Knickspannungslinien berücksichtigen dabei in Abhängigkeit von der Querschnittsform und der Versagensrichtung den unterschiedlichen Einfluss der strukturellen und geometrischen Imperfektionen. Im allgemeinen Fall ist das Biegeknicken um die y- und z-Achse sowie das Biegedrillknicken zu untersuchen. Die Abminderungsfaktoren ergeben sich in Abhängigkeit von den zugehörigen bezogenen Schlankheiten .
mit χ= min (χy,χz,χϑ)
ϑϑ =λ
=λ
=λ
,cr
pl
y,cr
ply
z,cr
plz
NN
NN
NN
λ
N
pl,Rkb,Rd
M1
NN = χ
γ
-
Fachgebiet Stahlbau und Verbundkonstruktionen
Ermittlung des Abminderungsbeiwertes für Stabknicken
105
N
M
Npl
Mpl
NEd=NR
MR
eo
z
y
NEd
Querschnittstragfähigkeit(Sandwichquerschnitt) Ed Ed
pl pl
N M 1,0N M
+ =
Ed Ed oE cr
1 xM N e sin1 N / N L
π=
−
L
x
Ed Ed o
pl pl Ed cr
N N e 1 1,0N M 1 N / N
+ =−
pl,Rk2Ed
pl,Rk cr
NNN N
χ = λ =Abminderungsfaktor für NE= NR und bezogene Schlankheit
011
120 ,eM
N
Rk,pl
Rk,pl =λχ−
χ+χ
),(NM
eRk,pl
Rk,plo 20−λα=
Annahme für den maximalen Stich der Imperfektion eo:
Bestimmungsgleichung für den Abminderungsfaktor χ:
α- von der Querschnittsform abhängiger Imperfektionsbeiwert
011
120 2 ,),( =λχ−−λαχ+χ
Tragfähigkeitsnachweis
Querschnittstragfähigkeit (lineare Interaktion)
-
Fachgebiet Stahlbau und Verbundkonstruktionen Knicklinien
8 - 106
pl
crNN
=λ21
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
0,2 0,6 1,0 1,4 1,8
χ
λ
Eulerhyperbel
cr
plNN
=λ
a
Bezogene Schlankheit Abminderungsbeiwert κ
b cd
20,≤λ
22
1
λ−φ+φ=χ
0320 ,, ≤λ<
01,=χ
]),([,2
20150 λ+−λα+=φ
KSL α
ao 0,13
a 0,21
b 0,34c 0,49d 0,79
ao Bezogene Schlankheit
-
Fachgebiet Stahlbau und Verbundkonstruktionen
Zuordnung der Querschnitte zu den Knickspannungslinien (Eurocode 3)
8 - 107
Querschnitte BegrenzungAusweichen rechtwinklig zur Achse
KnickspannungslinieS235, S275 S355, S420 S460
h/b >1,2tf < 40mm
y-yz-z
ab
a0a0
40 mm < tf < 100mmy-yz-z
bc
aa
h/b 100mmy-yz-z
dd
cc
tf < 40mm y-yz-z
bc
bc
tf > 40mm y-yz-z
cd
cd
warm gewalzt y und z a a0
kalt gewalzt y und z c c
Gew
alzt
eI-P
rofil
eG
esch
wei
ßte
I-Pro
file
Hoh
l-pr
ofile
h
tf
b
z
z
y y
z
z
z
tl tf tfy y y y
y yy y
z
z
z
z
-
Fachgebiet Stahlbau und Verbundkonstruktionen
Zuordnung der Querschnitte zu den Knicklinien (Eurocode 3-1-1)
8 - 108
Querschnitte BegrenzungAusweichen rechtwinklig zur Achse
KnickspannungslinieS235, S275 S355, S420 S460
y und z b b
Schweißnaht: a > 0,5 tfb / tf < 30b / tw < 30
y und z c c
y und z c c
y und z b b
U-,
T-un
dVo
llque
rsch
nitte
L-Pr
ofile
Ges
chw
eißt
eK
aste
nque
rsch
nitte
h
tf
y y
tw
z
zb
-
Fachgebiet Stahlbau und Verbundkonstruktionen
8 - 109
Kapitel 8.4.3.2
Ersatzstabnachweis-Nachweis bei Druck und Biegung
-
Fachgebiet Stahlbau und Verbundkonstruktionen Nachweisverfahren im Eurocode 3
9-110
Der Eurocode 3 Teil 1-1 gibt für den Nachweis gegen Biegedrillknicken bei Druck und Biegung zwei Nachweisverfahren an.
Die Nachweismethode I: Der Nachweis wird am herausgeschnittenen Einzelstab geführt. Der Nachweis ist für das Biegeknicken, bzw. Biegedrillknicken um die z- und y-Achse zu führen. Die Interaktionsbeiwerte k wurden mit Hilfe geometrisch und physikalisch nichtlinearer Berechnungen unter Berücksichtigung von Eigenspannungen und geometrischen Imperfektionen ermittelt. Bei der Nachweismethode I sind wiederum zwei unterschiedliche Verfahren I-A und I-B zur Ermittlung des Abminderungsbeiwertes für Biegeknicken möglich.
Nachweismethode I
Ausweichen um die z-Achse
Ausweichen um die y-Achse
Bei der Nachweismethode II wird die Schlankheit und der Abminderungsbeiwert am Gesamtsystem unter Berücksichtigung der gleichzeitigen Wirkung von Normalkräften und Biegemomenten ermittelt.
Nachweismethode II
y,Ed z,EdEdzy zz
z pl,Rd LT pl.y,Rd pl,z,Rd
M MN k k 1,0N M M
+ + ≤χ ⋅ χ
y,Ed z,EdEdyy yz
y pl,Rd LT pl,y,Rd pl,z,Rd
M MN k k 1,0N M M
+ + ≤χ ⋅ χ
sys ult,k
M1,0
χ α≥
γ
-
Fachgebiet Stahlbau und Verbundkonstruktionen
Nachweis mit Interaktionsbedingungen bei kombinierter Beanspruchung durch Biege-
momente und Normalkräfte (Nachweismethode 1)
9-111
1,01,0
LTz,λλ
LTλ
)( zz λχ=χ
)( LTLT λχ=χ
1,0
RdMM
zλ
RdNN
Querschnittsinteraktions-kurve N-My ohne Stabilitätsgefahr y
z
v
Ncr,z y
z
ϑ
Ncr,ϑ
Biegeknicken um die z-Achse bzw. Drillknicken bei reiner Normalkraftbeanspruchung
Rd,plzRd
Rd
Ed
NN
0,1NN
χ=
≤
Biegedrillknicken bei reiner Momentenbeanspruchung
y
z
ϑ
v
w
Rd,y,plLTRd
Rd
Ed
MM
0,1MM
χ=
≤
NEd
MEd
Bei kombinierter Beanspruchung wird der Biegedrill-knicknachweis mit Hilfe einer Interaktionsbeziehung geführt. Der Beiwert kzy ist dabei von der Schlankheit λz, der Normalkraftausnutzung NEd/Npl,d und vom Momentenverlauf My(x) abhängig.
Interaktionsbedingung für Biegedrillknicken
1,0
Ed Edzy
Rd Rd
N M k 1,0N M
+ ≤
-
Fachgebiet Stahlbau und Verbundkonstruktionen
Ersatzstabnachweis nach Eurocode 3 bei Biegeknicken für Querschnitte der Klassen 1, 2
und 3
8 - 112
DIN EN 1993-1-1 (6.61)
DIN EN 1993-1-1 (6.62)
Dabei sind:NEd, My,Ed und Mz,Ed:
χy und χz:
kyy, kyz , kzy , und kzz :
Die Bemessungswerte der einwirkenden Druckkraft und der einwirkenden maximalen Momente um die y-y Achse und z-z Achse;
Die Abminderungsbeiwerte für Biegeknicken
Die Interaktionsfaktoren
1MM
kMM
kNN
1M
Rkz
Edzy z
1M
RkyLT
Edyyy
1M
Rky
Ed ≤
γ
+
γχ
+
γ
⋅χ⋅
,
,
,
,
1MM
kMM
kNN
1M
Rkz
Edzzz
1M
RkyLT
Edyzy
1M
Rkz
Ed ≤
γ
+
γχ
+
γ⋅χ
⋅,
,
,
,
-
Fachgebiet Stahlbau und Verbundkonstruktionen
= =χ ⋅ γ χ ⋅ γ
Ed Edy z
y Rk M1 z Rk M1
N Nn ; nN / N /
Querschnittstyp/Verdrehwiderstand Querschnitte der Klassen 1 und 2 Querschnitte der Klassen 3 und 4
I-Querschnitte, Quadrat- und
Rechteckhohlprofile
Verdrehsteife Stäbe
Verdrehweiche Stäbe
I-Querschnitte
Quadrat- und Rechteckhohlprofile
, , Äquivalente Momentenbeiwerte nach Tabelle 9 (s. auch Tabelle B.3, Anhang B nachDIN EN 1993-1-1unter Berücksichtigung der maßgebenden Momentenverteilung zwischen seitlichgehaltenen Punkten
Interaktionsbeiwerte für den Knicknachweisnach DIN EN 1993-1-1, Anhang B
113
( )( ) = ⋅ + λ − ⋅ λ ≤
= ⋅ + ⋅ λ ≥
yy my y y y
my y y
k C 1 0,2 n für 1,0
C 1 0,8 n für 1,0
( )( )
= ⋅ + ⋅ λ ⋅ λ ≤
= ⋅ + ⋅ λ ≥
yy my y y y
my y y
k C 1 0,6 n für 1,0
C 1 0,6 n für 1,0
= ⋅yz zzk 0,6 k
= ⋅zy yyk 0,6 k
=yz zzk k
= ⋅zy yyk 0,8 k
⋅ λ ⋅= − λ ≤
−
≤ + λ λ <
⋅= − λ ≥
−
z zzy z
mLT
z z
zz
mLT
0,1 nk 1 für 1,0C 0,25
0,6 für 0,40,1 n1 für 1,0
C 0,25
⋅ λ ⋅= − λ ≤
−
⋅= − λ ≥
−
z zzy z
mLT
zz
mLT
0,05 nk 1 für 1,0C 0,250,05 n1 für 1,0
C 0,25
( )( )
= ⋅ + ⋅ λ − ⋅ λ ≤ = ⋅ + ⋅ λ ≥
zz mz z z z
mz z y
k C 1 2 0,6 n für 1,0
C 1 1,4 n für 1,0
( )( )
= ⋅ + λ − ⋅ λ ≤ = ⋅ + ⋅ λ ≥
zz mz z z z
mz z y
k C 1 0,2 n für 1,0
C 1 0,8 n für 1,0
( )( )
= ⋅ + ⋅ λ ⋅ λ ≤
= ⋅ + ⋅ λ ≥
zz mz z z z
mz z y
k C 1 0,6 n für 1,0
C 1 0,6 n für 1,0
myC mzC mLTC
-
Fachgebiet Stahlbau und Verbundkonstruktionen
Momentenverlauf BereichMomentenbeiwerte Cmy, Cmz und Cm,LTGleichlast Einzellast
− ≤ ψ ≤1 1
Äquivalente Momentenbeiwertenach DIN EN 1993-1-1, Anhang B, Tabelle B3
114
+ ⋅ ψ ≥0,6 0,4 0,4
≤ α ≤s0 1
− ≤ α ≤s1 0
− ≤ ψ ≤1 1
≤ ψ ≤0 1
− ≤ ψ ≤1 0
+ ⋅ α ≥s0,2 0,8 0,4
− ⋅ α ≥s0,1 0,8 0,4
( )⋅ − ψ − ⋅ α ≥s0,1 1 0,8 0,4
+ ⋅ α ≥s0,2 0,8 0,4
− ⋅ α ≥s0,8 0,4
( )⋅ −ψ − ⋅ α ≥s0,2 0,8 0,4
≤ α ≤h0 1
− ≤ α ≤h1 0− ≤ ψ ≤1 0
≤ ψ ≤0 1
− ≤ ψ ≤1 1 + ⋅ αh0,95 0,05
+ ⋅ αh0,95 0,05
( )+ ⋅ α ⋅ + ⋅ ψh0,95 0,05 1 2
+ ⋅ αh0,90 0,10
+ ⋅ αh0,90 0,10
( )+ ⋅ α ⋅ + ⋅ ψh0,90 0,10 1 2
-
Fachgebiet Stahlbau und Verbundkonstruktionen Nachweismethode I-A
8 - 115
HEd NEd NEd
L
My,EdNEd
Bei der Methode I-A werden die Schnittgrößen bei seitlich verschieblichenRahmentragwerken nach Theorie II. Ordnung ermittelt. Anschließend wird der Einzelstab herausgeschnitten und mit den Randmomenten MEd nach Theorie II. Ordnung mit Hilfe der Interaktionsbedingungen nachgewiesen. Für den Fall der einachsigen Biegung mit Normalkraft sowie ohne Biegedrillknickgefahr ergibt sich für die Biegeachse y-y für die Querschnittsklassen 1 und 2:
Rahmen EinzelstabSchnittgrößen nach Theorie II. Ordnung
M
9-115
2
2
L
EJN
NN
yy,cr
y,cr
ply
π=
=λ
01,M
Mk
NN
Rd,y
Ed,yyy
Rdy
Ed ≤+χ 11 M
k,plyRd,y
M
ykRd
MM
fAN
γ=
γ=
My,Ed
-
Fachgebiet Stahlbau und Verbundkonstruktionen Nachweismethode I-B
8 - 116
HEd NEd NEdLcr=L
My,Ed
NEd
Bei der Methode I-B werden die Schnittgrößen bei seitlich verschieblichenRahmentragwerken nach Theorie I. Ordnung ermittelt. Anschließend wird der Einzelstab als Ersatzstab mit der Knicklänge lcr = βL betrachtet Für den Fall der einachsigen Biegung mit Normalkraft sowie ohne Biegedrillknickgefahr ergibt sich für die Biegeachse y-y für die Querschnittsklassen 1 und 2:
Rahmen
Ersatzstab
Schnittgrößen nach Theorie I. Ordnung
9-116
2
2
)L(
EJN
NN
yy,cr
y,cr
ply
β
π=
=λ
01,M
Mk
NN
Rd,y
Ed,yyy
Rdy
Ed ≤+χ 11 M
k,plyRd,y
M
ykRd
MM
fAN
γ=
γ=
-
Fachgebiet Stahlbau und Verbundkonstruktionen
Nachweis bei Doppelbiegung nach Eurocode 3 für Querschnitte der Klassen 1 und 2
9-117
yy
z
z
L
My,Ed
Mz,Ed
Fz
NEdMz,R Ausweichen um die z-Achse
Ausweichen um die y-Achse
y Ed Edyy my my
y pl,Rd y pl,Rd
( 0,2) N Nk C 1 C 1 0,8N N
λ −= + ≤ + ⋅ χ ⋅ χ ⋅
Die Faktoren kyy, kzz, kyz und kz,y werden in Anhang A bzw. B zu Euro-code 3-1-1 angegeben. Die Beiwerte sind abhängig vom Querschnitts-typ (I- Querschnitt oder Hohlprofil) sowie von der Querschnittsklasse.
Für I-Profile der Querschnittsklassen 1 und 2 gilt nach Anhang B:
Ed Edzzy
M,LT z pl,Rd M,LT z pl,Rd
N N0,1 0,1k 1 1C 0,25 N C 0,25 N
λ= − ≥ −
− χ − χ
yz zzk 0,6 k=
yz
My
Mz
Die Beiwerte Cmy,Cmz und Cm,LT erfassen den Momentenverlauf. Siehe hierzu Eurocode 3-1-1. Für die dargestellte Stütze ergibt sich z.B:
Mz My
Cmz=0,6 Cmy=CmLT=0,9
z Ed Edzz mz mz
z pl,Rd z pl,Rd
(2 0,6) N Nk C 1 C 1 1,4N N
λ −= + ≤ + ⋅ χ ⋅ χ ⋅
y,Ed z,EdEdzy zz
z pl,Rd LT pl.y,Rd pl,z,Rd
M MN k k 1,0N M M
+ + ≤χ ⋅ χ
y,Ed z,EdEdyy yz
y pl,Rd LT pl,y,Rd pl,z,Rd
M MN k k 1,0N M M
+ + ≤χ ⋅ χ
-
Fachgebiet Stahlbau und Verbundkonstruktionen
8 - 118
Kapitel 8.5Tragfähigkeitsnachweise
für mehrteilige Stäbe
Grundlagen der Bemessung von Rahmen- und Gitterstützen, Schubsteifigkeit
von Rahmen und Gitterstützen, Nachweisverfahren nach
Eurocode 3
-
Fachgebiet Stahlbau und Verbundkonstruktionen Gitter- und Rahmenstützen- Bezeichnungen
8 - 119
Bei Gitterstützen und Rahmenstäben muss der Einfluss aus den Verformungen der Diagonalen bei Gitterstützen sowie die Verformungen aus der Vierendeelwirkung bei Rahmenstäben berücksichtigt werden. Dies erfolgt näherungsweise durch Idealisierung des Systems als schubweicher Stab.
Gitterstab Rahmenstab
h0
a
b
tb
AchAD
aIch, Ach
h0
2eff 0 ch chI 0,5 h A 2I= +
2eff 0 ch chI 0,5 h A 2 I= + µ
-
Fachgebiet Stahlbau und Verbundkonstruktionen Rahmenstützen- Effektive Biegesteifigkeit
8 - 120
a
btb
Ich, Achh0
2eff 0 ch chI =0,5 h A +2 μI
L
Effektive Biegesteifigkeit beim Rahmenstab:
Wirkungsgrad µ
20 ch ch
ch
0,5h A 2IL ii 2A
+λ = =
Geometrische Schlankheit der Stütze ohne Berücksichtigung der Schubverformung :
λ µ
0
0
75≤λ
15075 ≤λ< 2 / 75−λ150>λ
-
Fachgebiet Stahlbau und Verbundkonstruktionen
Schubverformung und Schubsteifigkeit Sid bei Gitterstützen
8 - 121
h0
aα
d
Ad
V=1
V=1
γ
w
Normalkraft der Diagonale:
α=
sinVND
Verformung w:
dEA
NNdxAENNw ∑∫ ==
α=
cosad
2d
a 1wEA sin cos
=α α
Schubverformung idS
Vaw
==γ
Schubsteifigkeit Sid
2id d
VS E A sin cos= = α αγ
-
Fachgebiet Stahlbau und Verbundkonstruktionen
Schubverformung und Schubsteifigkeit Sid bei Rahmenstützen
8 - 122
h0
a/2 Ich
V=1
V=1
γ
w
Verformung w:
dxJEMMw ∫=
Schubverformung idS
Vaw
==γ
Schubsteifigkeit Sid2
chid 2 2
ch b
2 EIV 1Sa ah a
24EI 12EI
π= = ≤
γ +
a/2Ib
1/2a/4
a/2
Biegemomente
a/4
a
2 20
ch b
h1 a a 1 aw 4 23 4 2EI 6 2 EI
= +
1/2
-
Fachgebiet Stahlbau und Verbundkonstruktionen Ideelle Blechdicke von Fachwerkscheiben
6-123
Fachwerk mit wechselnden Diagonalenb b
hdAo
AuAD
b b
dAo
Au
ADAV h
b b
d
Ao
Au
ADAV h
d
b b
hADAo
Au
Fachwerk mit fallenden Diagonalen
K-Fachwerk
Rautenfachwerk
+++
=
uo
3
V
3
D
3V,id
A1
A1
12b
Ah
Ad
bhGEt
++
=
uo
3
D
3V,id
A1
A1
3b
Ad
bhGEt
+++
=
uo
3
V
3
D
3V,id
A1
A1
12b
A4h
Ad2
bhGEt
++
=
uo
3
D
3V,id
A1
A1
12b
A2d
bhGEt
hTVftPfostenkradTD:aftDiagonalkr
s
s
=
=
0VftPfostenkradTD:aftDiagonalkr s
=
=
2hTVftPfostenkra
dTD:aftDiagonalkr
s
s
=
=
2dTD:aftDiagonalkr s=
-
Fachgebiet Stahlbau und Verbundkonstruktionen
Verzweigungslast bei Berücksichtigung der Schubverformung
8 - 124
0wL
w2
=′′
ε+′′′′
id
N 1L NE J 1S
γε = γ =
−
Differentialgleichung
L
w(ξ)
f
ξ
Ncr
EJ
Sid
Knickbedingung
Verzweigungslast
2
cr 22
2id
EJNEJL 1
L S
π=
π+
crcr
cr
id
N1L NE J 1S
ε = = π−
-
Fachgebiet Stahlbau und Verbundkonstruktionen
Schnittgrößen des Gesamtstabes nach Theorie II. Ordnung (beidseitig gelenkig gelagerter Stab)
8 - 125
Lx
=ξ
womo L
NEd
crEdom
IImax
crEd
IIIN/N
wNMN/N
MM−
=−
=1
11
1
πξ=ξ sinwN)(M omI
πξπ
=ξ cosL
wN)(V omI
Schnittgrößen nach Theorie II.Ordnung
J - Flächenmoment zweiten Gradesdes Gesamtquerschnitts um die strofffreie Achse
π+
π=
id
cr
SLEJL
EJN
2
22
2
1
πξ=ξ sinw)(w omoVorverformung
LMV
N/NVV IImax
IImax
crEd
III π=−
=1