bifurcaÇÕes em sistemas de tempo contÍnuo universidade federal da bahia engf97 - controle e...
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BIFURCAÇÕES EM SISTEMAS DE TEMPO CONTÍNUO
UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIAENGF97 - CONTROLE E SISTEMAS NÃO LINEARES
ADRIANO SILVA MARTINS BRANDÃO, SUBSTITUTO
BIFURCAÇÕES EM SISTEMAS DE TEMPO CONTÍNUO 2
Conteúdo
• Noção de estabilidade estrutural;
• Conceito de bifurcações e diagrama de
bifurcação;
• Bifurcações de codimensão um:
• Bifurcação sela-nó;
• Bifurcação transcrítica;
• Bifurcação forquilha;
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Diagrama de fases do atrator de LorentzFonte: https://jmth21202f08.wordpress.com/my-second-problem/
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Noção de estabilidade estrutural
“Seja o fluxo , que depende dos parâmetros . Para valores fixos
dos parâmetros , o fluxo é estruturalmente estável se há tal
que é topologicamente equivalente a , para todos os valores
de , tais que .”
14/05/2015? Fonte: Monteiro
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Noção de estabilidade estrutural• Em outras palavras, um sistema é estruturalmente instável onde ocorre
uma mudança qualitativa no retrato de fases, com a variação de um parâmetro deste sistema. • Exemplo 1:
14/05/2015Fonte do exemplo: http://en.wikipedia.org/wiki/Saddle-node_bifurcation
é um parâmetro(não varia no tempo)
Mudanças no alteram o retrato de fases
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Conceito de bifurcação• A mudança topológica no diagrama de fases, causada pela variação
de um ou mais parâmetros do sistema, é chamada de bifurcação;• Os valores de parâmetros nos quais ocorrem as mudanças no plano
de fase são chamados de pontos críticos, ou pontos de bifurcação.• Exemplo 1:
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A bifurcação deste sistema ocorre em , portanto, o sistema é estruturalmente instável neste ponto
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Diagrama de bifurcação• É o gráfico dos pontos de equilíbrio x valores do parâmetro.• Exemplo 1:
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Autovalores negativos (nó, estável)
Autovalores com sinais diferentes (sela, instável)
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Codimensão da bifurcação• É o número de parâmetros a serem variados para produzir as
bifurcações;
• Estudaremos apenas bifurcações de codimensão um:
• Bifurcação sela-nó;
• Bifurcação transcrítica;
• Bifurcação forquilha.
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Bifurcação sela-nó• Também conhecida como bifurcação tangente ou bifurcação de
dobra;• Ocorre quando dois pontos de equilíbrio colidem e se anulam;• Exemplo 1:
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Autovalores negativos (nó, estável)
Autovalores com sinais diferentes (sela, instável)
Plano de fases Diagrama de bifurcação
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Bifurcação sela-nó• Exemplo 2:
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𝒅 𝒙(𝒕)𝒅𝒕 =𝟏+𝒓 . 𝒙 (𝒕 )+𝒙𝟐(𝒕 )
Fonte do exemplo: http://texas.math.ttu.edu/~gilliam/s06/m4330/4330_ds_2.pdf
𝒙=−𝒓∓√𝒓𝟐−𝟒𝟐
𝝀=∓ √𝒓𝟐−𝟒
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Bifurcação transcrítica• Na bifurcação transcrítica, existe sempre um ponto de equilíbrio fixo, para
todos os valores do parâmetro variado (este ponto nunca é destruído). • A estabilidade deste ponto fixo muda, com a variação do parâmetro.• Exemplo 3:
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𝒅 𝒙(𝒕)𝒅𝒕 =𝒓 .𝒙 (𝒕 )− 𝒙𝟐(𝒕)
ou rP/ , P/ ,
Fonte do exemplo: http://en.wikipedia.org/wiki/Transcritical_bifurcation
Ponto fixo, que têm a estabilidade alterada
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Bifurcação forquilha• Definição formal:Uma EDO , descrita pela função, de um parâmetro, com , satisfazendo:
(f é uma função ímpar);
Têm uma bifurcação forquilha em . A forma da forquilha é dada pelo sinal da terceira derivada:
14/05/2015Fonte: http://en.wikipedia.org/wiki/Pitchfork_bifurcation
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Bifurcação forquilha
14/05/2015Fonte: http://en.wikipedia.org/wiki/Pitchfork_bifurcation
Caso supercrítico Caso subcrítico
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Bifurcação forquilha• Exemplo 4 (supercrítico): • Exemplo 5 (subcrítico):
14/05/2015Fonte do exemplo: http://en.wikipedia.org/wiki/Pitchfork_bifurcation
𝒅 𝒙(𝒕)𝒅𝒕 =𝒓 .𝒙 (𝒕 )− 𝒙𝟑(𝒕)
ou P/ , P/ ,
𝒅 𝒙(𝒕)𝒅𝒕 =𝒓 .𝒙 (𝒕 )+𝒙𝟑(𝒕 )
ou P/ , P/ ,
FIMObrigado pela atenção
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BIFURCAÇÕES EM SISTEMAS DE TEMPO CONTÍNUO 1614/05/2015
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Estabilidade
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Fonte: ftp://ftp.dca.fee.unicamp.br/pub/docs/vonzuben/ea619_1s09/topico6_03.pdf