bilangan keterhubungan pelangi kuat pada ...repository.usd.ac.id/9287/2/133114002_full.pdflanjut...
TRANSCRIPT
i
BILANGAN KETERHUBUNGAN PELANGI KUAT
PADA GRAF
SKRIPSI
Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat
Memperoleh Gelar Sarjana Sains
Program Studi Matematika
Disusun oleh:
Natalya Dewi Hutami
NIM: 133114002
PROGRAM STUDI MATEMATIKA
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
UNIVERSITAS SANATA DHARMA
YOGYAKARTA
2017
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
ii
STRONG RAINBOW CONNECTION NUMBER
IN GRAPH
A THESIS
Presented as Partial Fulfillment of the
Requirements to Obtain the Degree of Sarjana Sains
Mathematics Study Program
Written by:
Natalya Dewi Hutami
Student ID: 133114002
MATHEMATICS STUDY PROGRAM
DEPARTMENT OF MATEMATICS
FACULTY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY
SANATA DHARMA UNIVERSITY
YOGYAKARTA
2017
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
iii
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
iv
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
v
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
vi
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
vii
ABSTRAK
Pada skripsi ini akan dibahas bilangan keterhubungan pelangi kuat untuk
graf terhubung tak trivial dan graf lainnya seperti pohon, graf siklus, graf roda
dan graf bipartit. Pendistribusian soal ujian nasional dan kertas suara PILKADA
merupakan beberapa penerapan dari bilangan keterhubungan pelangi kuat pada
graf. Pada pendistribusian soal ujian nasional dan kertas suara PILKADA,
bilangan keterhubungan pelangi kuat digunakan untuk menentukan jumlah
kelompok pengawalan pendistribusian.
Kata kunci: bilangan keterhubungan pelangi kuat, graf, graf bipartit, graf
siklus,graf terhubung tak trivial, graf roda, pohon.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
viii
ABSTRACT
In this thesis strong rainbow connection number of a nontrivial connected
graph and other graphs such as tree, cycle graph, wheel graph and bipartite graph
will be discussed. The distribution of the national examination papers and
PILKADA ballot papers are some applications of strong rainbow connection
numbers of a graph. In the distribution of the national examination papers and
PILKADA ballot papers strong rainbow connection numbers are used to
determine the number of distributing escort groups.
Keywords: strong rainbow connection number, graph,bipartite graph, cycle
graph,nontrivial connected graph, wheel graph, tree.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
ix
DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL DALAM BAHASA INDONESIA………………………….i
HALAMAN JUDUL DALAM BAHASA INGGRIS…………………………….ii
LEMBAR PERSETUJUAN PEMBIMBING…………………………………….iii
LEMBAR PENGESAHAN……………………………………………………...iv
PERNYATAAN KEASLIAN KARYA…………………………………………..v
LEMBAR PERSETUJUAN PUBLIKASI KARYA ILMIAH…………………...vi
ABSTRAK………………………………………………………………………vii
ABSTRACT……………………………………………………………………viii
DAFTAR ISI……………………………………………………………………..ix
BAB I PENDAHULUAN………………………………………………………....1
A. Latar Belakang………………………………………………………...1
B. Rumusan Masalah……………………………………………………..7
C. Batasan Masalah……………………………………………………….7
D. Tujuan Penelitian……………………………………………………...7
E. Manfaat Penelitian…………………………………………………….8
F. Metode Penelitian……………………………………………………...8
G. Sistematika Penelitian…………………………………………………8
BAB II GRAF DAN PEWARNAAN SISI………………………………………10
A. Himpunan…………………………………………………………….10
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
x
B. Fungsi………………………………………………………………...14
C. Teori Graf……………………………………………………….........18
D. Jarak dan Keterhubungan………………………………………….....26
E. Macam-macam Graf………………………………………………….32
F. Pewarnaan Sisi Pada Graf………………………………………..…..38
BAB III BILANGAN KETERHUBUNGAN PELANGI KUAT PADA GRAF..45
A. Bilangan Keterhubungan Pelangi Pada Graf…………………………46
B. Bilangan Terhubung Pelangi Kuat Pada Graf………………………..52
C. Aplikasi………………………………………………………………83
BAB IV PENUTUP
A. Kesimpulan…………………………………………………………..98
B. Saran………………………………………………………………...100
DAFTAR PUSTAKA
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
1
BAB I
PENDAHULUAN
Pada bab ini akan dibahas tentang latar belakang, rumusan dan batasan
masalah, tujuan dan manfaat penulisan, serta akan disertakan sistematika
penulisan skripsi.
A. Latar Belakang
Teori graf merupakan salah satu cabang matematika yang penting untuk
dipelajari karena dapat memberikan banyak manfaat dalam menyelesaikan per-
masalahan dalam kehidupan. Konsep teori graf diperkenalkan oleh seorang
matematikawan Swiss yang bernama Leonhard Euler pada tahun 1736 ketika
mencoba menyelesaikan masalah Jembatan Königsberg. Kota Königsberg di
Prussia (sekarang menjadi Kaliningrad di Rusia) dibangun pada pertemuan dua
buah cabang sungai Pregel. Kota Königsberg terdiri dari sebuah pulau dandaratan
sepanjang tepi sungai yang dihubungkan oleh tujuh jembatan yang ditunjukkan
pada Gambar 1.1.
Gambar 1.1. Ilustrasi Jembatan Kota Königsberg
Pertanyaan yang muncul yaitu apakah mungkin seseorang dapat berjalan –
jalan mengelilingi kota dengan diawali dan diahkiri di tempat yang sama dan tepat
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
2
melewati setiap jembatan satu kali. Dalam menyelesaikan masalah tersebut,
Euler merepresentasikan peta Kota Königsberg ke dalam graf pada Gambar 1.2, di
mana titik menggambarkan daratan dan dan
menggambarkan tujuh jembatan.
Gambar 1.2. Graf Kota Königsberg
Euler memberikan jawaban bahwa tidak mungkin seseorang dapat berjalan – jalan
mengelilingi kotadiawalidan diakhiri di tempat yang sama dengan melewati setiap
jembatan tepat satu kali.
Graf adalah pasangan himpunan (V(G), E(G)),dengan adalah
himpunan tak kosong dari obyek – obyek yang disebut titik dan adalah
himpunan (mungkin kosong) pasangan tak berurutan dari titik – titik yang berbeda
dari V yang disebut sisi, di mana setiap sisi dipasangkan dengan himpunan yang
elemennya disebut titik ujung dari sisi tersebut. Dua buah titik dan dikatakan
bertetangga jika dan hanya jika terhubung oleh sebuah sisi. Sebuah jalan dari
titik uke titik v adalah barisan selang seling berhingga yang terdiri dari titik dan
sisi yang bertetangga pada G dari titik – titik di G (Epp, 2010). Graf tak trivial
jika banyaknya titik minimal dua (Chartrand dan Zhang, 2009).Dua titik u dan v
dalam G dikatakan terhubung jika dan hanya jika ada jalan dari u ke v. Graf
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
3
Gdikatakan terhubung jika dan hanya jika setiap dua titik u, v terhubung(Epp,
2010).
Sebuah pewarnaan sisi pada graf Gadalah sebuah pemberian warna pada sisi
– sisi dalam graf G, di mana satu warna untuk setiap sisi. Jika sisi- sisi yang
bertetangga diwarnai dengan warna yang berbeda maka pewarnaan sisi dikatakan
pewarnaan sisi sejati. Pewarnaan sisi - k adalah suatu pewarnaan sisi sejati yang
menggunakan kwarna. Suatu graf G disebut graf yang sisi – sisinya dapat
diwarnai –k jika terdapat pewarnaan sisi –k pada G. Indeks kromatik G
dinotasikan dengan adalah bilangan bulat positif terkecil k sedemikian
sehingga G merupakan graf yang sisinya dapat diwarnai–k (Chartrand dan Zhang,
2009).
Dalam teori graf,konsep pewarnaan sisi mengalami perkembangan. Salah
satu konsep baru dari pewarnaan sisi yaitu keterhubungan pelangi pada graf.
Konsep keterhubungan pelangi pada graf diperkenalkan pada tahun 2006 oleh G.
Chartrand, G.L. Johns, K.A. McKeon dan P. Zhang.Konsep ini termotivasi oleh
ditemukannya kelemahan dalam pegiriman informasi pada agen pemerintahan
Departemen Keamanan Dalam Negeri Amerika Serikat yang dibentuk tahun 2003,
sebagai respon atas ditemukannya kelemahan dalam pengiriman informasi setelah
terjadinya serangan teroris pada 11 September 2001. Keamanan informasi harus
terjaga karena berhubungan langsung dengan keamanan nasional dan juga
terdapat prosedur yang memungkinkan para agen pemerintah untuk mengakses
informasi, sehingga setiap jalur pengiriman informasi membutuhkan suatu kata
sandi dengan angka yang banyak. Muncul pertanyaan, berapa angka yang
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
4
dibutuhkan sedemikian sehingga tidak terjadi pengulangan kata sandi angka pada
setiap agen pemerintahan.
Lintasan dari u ke v adalah jalan dari u ke vdi mana tidak terjadi pe-ngulangan
titik maupun sisi (Epp, 2010). Misalkan graf G adalah graf terhubung tak trivial
dank adalah sebuah bilangan bulat positif, didefinisikan pewarnaan sisi
, sehingga setiap dua sisi yang bertetangga boleh memiliki
warna yang sama. Suatu lintasan u – v di G disebut lintasan pelangi jika tidak ada
dua sisi pada lintasan tersebut yang memiliki warna yang sama. Graf dengan
pewarnaanc disebut graf terhubung pelangi jika terdapat lintasan pelangi - ,
untuk setiap pasang titik . Dalam hal ini pewarnaan c disebut pewarnaan
pelangi. Jika terdapat k warna di G maka pewarnaan c disebut pewarnaan-k
pelangi. Selanjutnya bilangan bulat positif terkecilk sedemikian sehingga terdapat
pewarnaan pelangi-k pada G disebut bilangan keterhubungan pelangi. Bilangan
keterhubungan pelangi dari G dinotasikan dengan (Chatrand dan Zhang,
2009).
Jumlah sisi dalam sebuah jalan pada graf G disebut panjang jalan
tersebut.Suatu lintasan geodesik antara dua titik u dan v pada graf G adalah
lintasan u-v dengan panjang minimum. Jumlah sisi dalam suatu lintasan geodesik
antara u dan v disebut jarak, yang dinotasikan dengan (Buckley dan
Lewinter, 2003).Geodesik pelangi antara titik u dan v di G adalah suatu lintasan
pelangi dengan panjang .Graf G disebut terhubung pelangi kuat dengan
pewarnaan jika terdapat geodesik pelangi u – v untuk setiap dua titik u dan v
pada G. Dalam kasus ini pewarnaan disebut pewarnaan pelangi kuat pada G.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
5
Selanjutnya bilangan keterhubungan pelangi kuat pada suatu graf terhubung
Gadalah bilangan bulat positif terkecilk sedemikian sehingga terdapat pewarnaan
pelangi kuat- pada G. Bilangan keterhubungan pelangi kuat dinotasikan dengan
(Chartrand dan Zhang, 2009). Dapat ditunjukkan bahwa )
untuk setiap graf terhubung. Yang dimaksud dengan ukuran adalah jumlah sisi
pada graf G. Eksetrisitas pada adalah jarak dari titik ke suatu titik terjauh diG.
Diameter dari Gadalah maksimum dari eksentrisitas titik-titik di G(Buckley dan
Lewinter, 2003). Jika terdapat graf terhubung tak trivial Gdengan ukuran
dan memiliki diameter yang dinotasikan dengan yaitu jarak
maksimum antara dua titik di G maka
Salah satu penerapan bilangan keterhubungan pelangi kuat pada graf adalah
pendistribusian soal-soal ujian nasional. Pendidikan Nasional (Diknas) akan
mendistribusikan soal-soal ujian nasional (UN) ke seluruh sekolah di kabupaten
Jember (pelaksanaan UN SMA 2014). Soal ini bersifat rahasia sehingga
membutuhkan tim pengawas pendistribusian soal UN yang terdiri dari unsur
Universitas Negeri Jember (UNEJ), Lembaga Penjaminan Mutu Pendidikan
(LPMP), Polisi resort (Polres), Diknas, dan pihak sekolah. Misal jalur untuk
menjangkau sekolah-sekolah direpresentasikan pada Gambar 1.3di manaj
merupakan pusat penyimpanan soal dan titik awal pendistribusian soal.
Permasalahan yang muncul adalahbagaimana cara menentukan jumlah kelompok
pengawalan pendistribusian soal UN.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
6
Gambar 1.3.ContohJalur Pendistribusian Soal UN Ke Sekolah- Sekolah Di
Kabupaten Jember
Peta jalur distribusi dapat digambar secara ulang menjadi graf dengan bentuk
berbeda seperti pada Gambar 1.4.
Gambar 1.4. Graf Jalur Pendistribusian Soal UN
Misalkan titik adalah SMA yang akan
dituju dan setiap sisi pada graf tersebut menggambarkan jalur pendis-tribusian
soal UN. Setiap sisi pada graf di atas dapat diberi warna sedemikian sehingga
memenuhi pewarnaan pelangi.Dengan menggunakan bilangan keterhu-bungan
pelangi kuat pada graf permasalahan ini dapat diselesaikan dengan lebih mudah.
Didapatkan bahwa minimal warna yang digunakan untuk mewarnai seluruh sisi
pada graf sehingga memenuhi sifat pewarnaan pelangi yaitu lima warna atau
. Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa dibutuhkan lima
kelompok pengawal untuk mendistribusikan soal – soal UN dengan aman ke
setiap sekolah yang ada.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
7
Berdasarkan penjelasan di atas dalam tugas ahkir ini akan dibahas lebih
lanjut mengenai bilangan keterhubungan pelangi kuat pada graf .
B. Rumusan Masalah
Perumusan masalah yang akan dibicarakan pada tugas akhir ini adalah:
1. Apa yang dimaksud dengan bilangan keterhubungan pelangi kuat pada
graf?
2. Bagaimana cara menentukan bilangan keterhubungan pelangi kuatpada
graf?
3. Bagaimana penerapan bilangan keterhubunganpelangi kuat pada graf
dalam kehidupan?
C. Batasan Masalah
Pada tugas akhir ini dibatasi pada masalah-masalah sebagai berikut:
1. Graf yang digunakan yaitu grafpohon, graf siklus, graf roda, graf bipartit.
2. Pewarnaan yang digunakan adalah pewarnaan sisi pada graf.
3. Penulis tidak membahas mengenai algoritma perhitungan.
D. Tujuan Penulisan
Tujuan dari penulisan tugas ahkir ini adalah sebagai berikut:
1. Mengetahui apa yang dimaksud bilangan keterhubungan pelangi pada
graf.
2. Menentukan bilangan keterhubungan pelangi kuat pada graf.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
8
3. Mengetahui penerapan bilangan keterhubungan pelangi kuat pada dalam
kehidupan.
E. Manfaat penulisan
Manfaat yang diharapkan dari penulisan tugas ahkir ini adalah memberikan
motivasi kepada pembaca untuk mempelajari salah satu konsep baru dari teori
graf yaitu bilangan keterhubungan pelangi kuat dan dapat mengetahui penerapan
bilangan keterhubungan pelangi kuat dalam kehidupan.
F. Metode Penulisan
Metode yang digunakan dalam penulisan tugas akhir ini adalah metode studi
pustaka yaitu dengan membaca dan mempelajari buku-buku atau jurnal-jurnal
yang berkaitan dengan bilangan keterhubungan pelangi kuat pada graf.
G. Sistematika Penulisan
BAB I PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
B. Rumusan Masalah
C. Batasan Masalah
D. Tujuan Penelitian
E. Manfaat Penelitian
F. Metode Penelitian
G. Sistematika Penelitian
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
9
BAB II GRAF DAN PEWARNAAN SISI
A. Himpunan
B. Fungsi
C. Teori Graf
D. Jarak dan Keterhubungan
E. Macam-macam Graf
F. Pewarnaan sisi pada graf
BAB III BILANGAN KETERHUBUNGAN PELANGI PADA GRAF
A. Bilangan keterhubungan Pelangi Pada Graf
B. Bilangan keterhubungan Pelangi Kuat Pada Graf
C. Aplikasi
BAB IV PENUTUP
A. Kesimpulan
B. Saran
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
10
BAB II
GRAF DAN PEWARNAAN SISI
Pada bab ini akan dijelaskan dasar-dasar teori graf yang digunakan dalam
penulisantugas akhir ini. Dasar-dasar teori meliputi: himpunan,fungsi, teori graf,
jarak dan keterhubungan, macam-macam graf dan pewarnaan sisi pada graf.
A. Himpunan
Dalam kehidupan sehari-hari sering dijumpai penggunaan konsep
himpunan, misalnya himpunan hewan berkaki empat, himpunan warna
pelangi, himpunan fakultas di Universitas Sanata Dharma, Himpunan
Mahasiswa Matematika (HMM), dan lain-lain. Konsep himpunan tidak hanya
diterapkan secara intuitif dalam kehidupan, namun konsep himpunantelah
dikembangkan menjadi konsep dasar dalam matematika. Pada subbab ini akan
dijelaskan mengenai himpunan.
Definisi 2.1
Himpunan adalah suatukumpulan atau koleksi objek-objek yang mempunyai
kesamaan sifat tertentu dan dilambangkan dengan huruf besar.
Contoh 2.2
adalah himpunan semua bilangan asli.
adalah himpunan semua bilangan bulat.
adalah himpunan semua bilangan real.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
11
Definisi 2.3
Suatu himpunanA dalam semesta X dikatakan himpunan bagian dari
himpunan B jika dan hanya jika setiap anggota dari himpunanA juga
merupakan anggota dari himpunanB. Secara matematis ditulis dengan
Definisi 2.4
Suatu himpunan Adikatakanberhinggajika banyaknya elemen yang termuat di
Adapat dihitung.
Definisi 2.5
Kardinalitas dari himpunan berhinggaX adalah jumlah elemen yang termuat
di dalamX. Kardinalitas dari himpunan berhingga X dinotasikan dengan |X|.
Definisi 2.6
Gabungan dua buah himpunan A dan B adalah himpunan semua elemen dari
semesta yang merupakan anggota himpunanA atau anggota himpunan Bdan
dinotasikan dengan . Secara matematis ditulis dengan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
12
Definisi 2.7
Irisan dua himpunan dan adalah himpunan semua elemen dari semesta
yang merupakan anggota dan anggota , dinotasikan dengan . Secara
matematis ditulis dengan
Bila maka dan disebut dua buah himpunan saling asing atau
saling lepas.
Definisi 2.8
Selisih dua buah himpunan dan adalah himpunan semua elemen dalam
semesta yang merupakan anggota himpunan dan bukan anggota himpunan
dan dinotasikan dengan . Secara matematis ditulis dengan
Definisi 2.9
Hasil kali kartesius buah himpunan adalah himpunan A
yang memuat semua rangkap terurut ( dengan untuk
setiap , yaitu
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
13
Definisi 2.10
Hasil kali kartesius dua buah himpunan dan adalah himpunan semua
pasangan terurut dengan dan dan dinotasikan dengan .
Secara matematis ditulis dengan
Berikut merupakan contoh dari himpunan berhingga, himpunan bagian,
kardinalitas dua buah himpunan, gabungan dua buah himpunan, irisan dua
buah himpunan, selisih dua buah himpunan, hasil kali kartesius dua buah
himpunan.
Contoh 2.11
Misalkan dan . Maka diperoleh bahwa:
1. dan merupakan himpunan berhingga.
2.
3. dan
4.
5.
6.
7.
Definisi 2.12
Partisi dari suatu himpunan A adalah keluarga berhingga himpunan-
himpunan bagian dari A yang memenuhi:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
14
a. untuk setiap , yaitu setiap himpunan bagian tidak
kosong.
b. untuk setiap i dan j dengan , yaitu setiap dua himpunan
bagian yang tidak sama adalah saling lepas (atau secara ekivalen, jika dua
himpunan bagian beririsan, maka kedua himpunan bagian itu adalah
sama).
c. yaitu gabungan semua himpunan bagian adalah himpunan
.
Contoh 2.13
Misalkan . Maka keluarga himpunan- himpunan
bagian dari yaitu merupakan suatu partisi dari .
B. Fungsi
Pada subbab ini akan dibahas konsep relasi dan fungsi secara formal dam
matematis meliputi definisi dan contoh tentang relasi, fungsi dan jenis fungsi.
Definisi 2.14
Relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah himpunan bagian dari .
Ada beberapa cara untuk menyatakan relasi dua himpunanX dan Y, salah
satunya menggunakan diagram panah. Pada diagram panah setiap elemen di X
yang berelasi dengan elemen di Y dihubungkan dengan suatu anak panah.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
15
Berikut merupakan contoh dari relasi dua himpunan dan cara penyajian relasi
menggunakan diagram panah.
Contoh 2.15
Diberikan dua buah himpunan dan maka
. Jadi merupakan
relasi dari himpunan Cdan himpunanD seperti pada Gambar 2.1
Gambar 2.1. Relasi Dari Himpunan C Ke HimpunanD
Selanjutnya adalahrelasi khusus antara elemen-elemen dalam himpunan X
dan elemen-elemen dalam himpunan Y.
Definisi 2.16
Fungsi (pemetaan) adalah relasi khusus f antara elemen-elemen dalam suatu
himpunan X dengan elemen-elemen dalam himpunan Y. Kekhususannya
terletak dalam dua hal, yaitu
a. Setiap elemen dalam himpunan Xberelasi dengan suatu elemen dalam
himpunanY.
b. Elemen dalam himpunan Yyang berelasi dengan elemen dari himpunan
Xitu tunggal.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
16
Fungsi dari himpunan X ke himpunan Y dinotasikan dengan . Jika
, maka elemen yang berelasi dengan elemen itu oleh fungsi f
disebut bayangan dari dan dilambangkan dengan .
Contoh 2.17
Misalkan dan . Maka relasi
merupakan suatu fungsidari himpunan F ke
himpunan G, sedangkanrelasi bukan merupakan fungsitetapi
merupakan relasi dari himpunan Fke himpunan G, sebab berelasi
dengan lebih dari satuelemen di G yaitu a dan b,seperti yang terlihat pada
Gambar 2.2.(b).
Gambar 2.2. (a) Fungsi Dari Himpunan FKe Himpunan G, (b) Relasi
Himpunan FKe Himpunan G
Berikut ini dijelaskan pengertian fungsi injektif, surjektif dan bijektif
beserta contohnya.
Definisi 2.18
Suatu fungsi disebut fungsi injektif jika dan hanya jika untuk setiap
berlaku maka .Sedangkan suatu fungsi
disebut fungsi surjektif jika dan hanya jika untuk setiap terdapat
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
17
sedemikian sehingga . Lalu suatu fungsi disebut fungsi
bijektif (korespondensi satu-satu) jika fungsi tersebut adalah fungsi injektif
dan sekaligus surjektif.
Contoh 2.19
Misalkan , dan adalah suatu fungsi maka
merupakan fungsi injektif tetapi tidak surjektif sebab
untuk tidak terdapat sedemikian sehingga seperti terlihat
pada Gambar 2.3. Selanjutnya misalkan , dan
adalah suatu fungsi maka merupakan
fungsi surjektif tetapi tidak injektif sebab tetapi seperti terlihat
pada Gambar 2.3. Sedangkan misalkan adalah suatu fungsi maka
merupakan fungsi injektif dan surjektif
sehingga dapat disebut fungsi bijektif seperti terlihat pada Gambar 2.3.
Gambar 2.3. (a) Fungsi Injektif, (b) Fungsi Surjektif,(c) Fungsi Bijektif
.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
18
Definisi 2.20
Atap dari suatu bilangan real x adalah bilangan bulat terkecil yang lebih besar
atau sama dengan x dan dinotasikan dengan .
Contoh 2.22
Misalkanx = 8.3 dan x = 9 maka berdasarkan Definisi 2.21 berturut-turut
diperoleh dan .
C. Teori Graf
Pada subbab ini akan dibahas mengenai teori graf meliputi definisi dan
contoh graf, keterhubungan dan jenis graf
Definisi 2.23
Graf G adalah pasangan himpunan dengan adalah himpunan
tak kosong dari obyek – obyek yang disebuttitik dan adalah himpunan
(mungkin kosong) pasangan tak berurutan dari titik–titik yang berbeda dari
yang disebut sisi,di mana setiap sisi dipasangkan dengan himpunan yang
elemennya disebut titik ujung dari sisi tersebut.
Contoh 2.24
Gambar 2.4 menyatakan graf A dengan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
19
Gambar 2.4Graf A
Sedangkantitik dan adalah titik ujung dari sisi
Definisi 2.25
Graf trivialadalah graf dengan satu titik. Sedangkangraf tak trivialadalah graf
yang memiliki dua titik atau lebih.
Contoh 2.26
Perhatikan gambar di bawah ini.
Gambar 2.5. (a)Graf Taktrivial B, (b) Graf Trivial C
Gambar 2.5 menunjukkan bahwa dan sehingga
jumlah titik pada graf B dan C berturut-turut 3 dan 1. Jadi graf B merupakan
graf tak trivial sedangkan graf C merupakan graf trivial.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
20
Definisi 2.27
Dua buah titik dikatakan bertetangga jika dan hanya jika terhubung oleh suatu
sisi. Sisi tersebut dikatakan bersisiandengan setiap titik ujungnya.
Contoh 2.28
Perhatikan pada Gambar 2.5(b). Pada gambar tersebut titik dan
dihubungkan oleh sisi sehingga titik dan dikatakan bertetangga, tetapi
titik tidak bertetangga dengan titik sebab tidak dihubungkan oleh suatu
sisi, sehingga sisi dikatakan bersisian dengan titik .
Definisi 2.29
Dua buah sisi yang bersisian pada titik ujung yang sama disebut bertetangga.
Contoh 2.30
Perhatikan Gambar 2.5(a). Gambar tersebut menunjukkan sisi dan sisi
bersisihan pada titik ujung , sehingga dan dikatakan bertetangga.
Definisi 2.31
Misalkan G adalah suatu graf. Gelung dari G adalah suatu sisi dengan satu
titik ujung.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
21
Contoh 2.32
Perhatikan gambar di bawah ini.
Gambar 2.6. Graf D
Sisi memiliki satu titik ujung yaitu titik , sehingga merupakan gelung
dariD.
Definisi 2.33
Misalkan Gadalah suatu graf. Sisi – sisi di G yang mempunyai himpunan ttik
ujung yang sama disebut sisi pararel dari G.
Contoh 2.34
Pada Gambar 2.6, sisi dan menghubungkan dua titik yang sama yaitu
dan sehingga dan merupakan sisi pararel. Sedangkan dan tidak
menghubungkan dua titik yang sama, maka dan bukan merupakan sisi
pararel.
Definisi 2.35
Misalkan Gadalah graf dan v adalah titik pada G. Derajat v atau deg(v)
adalah banyaknya sisi yang bersisian dengan titik v. Sedangkanderajat
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
22
maksimal dari G adalah derajat terbesar dari titik-titik pada G dan dinotasikan
dengan .
Contoh 2.36
Perhatikan Gambar2.6.Gambar tersebut menunjukkan bahwa
1. Terdapat tiga sisi yang bersisihan dengan titik yaitu sisi , dan
sehinggadeg .
2. Terdapat dua sisi yang bersisihan dengan titik yaitu sisi dan
sehinggadeg .
3. Terdapat satu sisi dan satu gelung yang bersisihan dengan titik yaitu
sisi dan sehinggadeg .
Jadi .
Definisi 2.37
Suatu graf sederhana adalah graf yang tidak mempunyai gelung atau sisi
pararel.
Contoh 2.38
PerhatikanGambar 2.5(a). Pada grafB tidak terdapat gelung atau sisi pararel,
sehingga graf B merupakan salah satu contoh dari graf sederhana.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
23
Definisi 2.39
Misalkan G adalah graf. Orde dari adalah jumlah titik - titik dalam graf
G, dinotasikan dengan .
Contoh 2.40
Graf A pada Gambar 2.4 menunjukkan bahwa ,
sehingga .
Definisi 2.41
Misalkan G adalah graf, ukuran dari G adalah jumlah sisi dalam graf G.
Ukuran graf G dinotasikan dengan .
Contoh 2.42
Graf A pada Gambar 2.4 menunjukkan bahwa ,
sehingga .
Definisi 2.43
Misalkan G adalah graf. Sebuah jalan W dari titik u ke titik v adalah
barisan selang seling berhingga yang terdiri dari titik dan sisi yang bertetangga
pada G dari titik – titik di G. Sehingga jalan disajikan dalam bentuk
- ,
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
24
di mana menyatakan titik-titik dan menyatakan sisi-sisi, , ,
dan untuk setiap , - dan adalah titik ujung dari . Jalan dari
titik u ke titik v singkatnya disebut jalan u-v.
Jalan pada suatu graf bisa dinyatakan hanya dengan barisan titik asalkan
tidak memuat sisi pararel. Jika tidak memuat sisi pararel maka setiap jalan
di tidak menimbulkan dwimakna dan dapat dijelaskan dengan barisan titik
saja. Pada skripsi ini jalan dinyatakan dengan barisan titik apabila graf tidak
memuat sisi pararel.
Contoh 2.44
Perhatikan Gambar 2.6. Untuk titik dan , merupakan jalan .
Oleh karena merupakan sisi pararel maka jalan dinyatakan menggunakan
barisan titik dan sisi. Untuk titik dan , merupakan jalan dan
bisa nyatakan menggunakan barisan titik saja karena bukan merupakan sisi
pararel.
Definisi 2.45
Misalkan adalah graf. Lintasan dari u ke v pada Gadalah jalan dari uke v di
mana tidak terjadi pengulangan sisi maupun titik. Lintasan dari uke v
singkatnya disebut lintasan u-v.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
25
Contoh 2.46
Perhatikan Gambar 2.5(a). Pada gambar tersebut, merupakan
lintasan .
Definisi 2.47
Jalan tertutup adalah jalan yang diawali dan diakhiri di titik yang sama.
Contoh 2.48
Perhatikan Gambar 2.6. Untuk titik di graf D, jalan merupakan
jalan tertutup pada graf D.
Definisi 2.49
Sirkuit pada G adalah jalan tertutup yang terdiri dari minimal satu sisi dan
tidak terjadi pengulangan sisi.
Contoh 2.50
Perhatikan gambar di bawah ini.
Gambar 2.7. Graf E
Jalan merupakan sirkuit pada graf E sebab tidak terjadi
pengulangan sisi.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
26
Definisi 2.51
Siklus adalah lintasan yang diawali dan diakhiri di titik yang sama.
Contoh 2.52
Perhatikan Gambar 2.7. Pada gambar tersebut jalan
bukan merupakan siklus karena terdapat pengulangan titik yaitu dan .
Sedangkan jalan merupakan siklus pada graf E.
Definisi 2.53
Panjang dari suatu jalan adalah jumlah dari sisi – sisi di dalam sebuah jalan
Contoh 2.54
Perhatikan pada Gambar 2.7. Pada graf E, jalan merupakan
jalan dari titik ke , di mana , , adalah sisi-sisi pada jalan, maka
panjang jalan dari titik ke adalah jumlah sisi-sisi pada jalan tersebut yaitu
tiga.
Definisi 2.55
Misalkan adalah graf. Sebuah lintasan gedoesik antara titik dan titik
pada adalah lintasan - dengan panjang minimum. Lintasan gedoesik
antara titik udan vpada singkatnya disebut geodesik - .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
27
Contoh 2.56
Perhatikan Gambar 2.7. Untuk dua titik dan , lintasan merupakan
lintasan dengan panjang dua, selanjutnya lintasan merupakan
lintasan dari titik dengan panjang dua, lalu lintasan
merupakan lintasan dari titik ke dengan panjang dua, sedangkan lintasan
merupakan lintasan dari titik dengan panjang satu. Oleh karena
itu lintasan merupakan lintasan geodesik antara titik dan , sebab
lintasan tersebut memiliki panjang yang minimal dibanding lintasan lainnya.
D. Jarak dan Keterhubungan
Definisi 2.57
Misalkan adalah graf. Dua titik dan di dikatakan terhubung jika dan
hanya jika terdapat sebuah jalan dari ke .
Contoh 2.58
Perhatikan gambar di bawah ini.
Gambar 2.8. Graf F
Untuk dua titik dan terdapat jalan dari ke , sehingga
titik dan dapat dikatakan terhubung.
Definisi 2.59
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
28
Suatu graf dikatakan graf terhubung jika dan hanya jika untuk setiap dua
titik dan pada terhubung.
Contoh 2.60
Perhatikan Gambar 2.8. Untuk setiap dua titik u dan v pada F terdapat jalan
dari titik u kev maka Fmerupakan graf terhubung seperti yang terlihat pada
Tabel 2.1.
Tabel 2.1. Jalan dari titik u ke v untuk setiap , di F
Titik u
Jalan titik u ke v
Titik v
Selanjutnya perhatikan gambar di bawah ini.
Gambar 2.9. Graf G
Untuk dua titik dan pada graf G, tidak terdapat jalan dari titik ke ,
sehingga graf G tidak terhubung.
Definisi 2.61
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
29
Misalkan diberikan dua buah titik pada graf G Jarak antara titik dan
didefinisikan sebagai banyaknya sisi dari suatu geodesik - diG dan
dinotasikan dengan d(u,v).
Contoh 2.62
Perhatikan gambar berikut
Gambar 2.10. Graf H
Untuk dua titik ke pada graf H, merupakan geodesik antara titik
dan , dengan jumlah sisi adalah satu. Jadi d(u,v) = 1.
Definisi 2.63
Misal diberikan suatu titik padaG,eksentrisitas pada v adalah jarak dari
titikv ke suatu titik terjauh di G.Eksentrisitas pada vdinotasikan dengane(v).
Secara matematis ditulis dengan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
30
Contoh 2.64
Perhatikan gambar berikut , akan dicari e( ).
Gambar 2.11. Graf I
Untuk suatu titik pada grafI diperoleh bahwa:
1. Lintasan merupakan geodesik - dengan jumlah sisi 1.
2. Lintasan merupakan geodesik - dengan jumlah sisi 2.
3. Lintasan merupakan geodesik - dengan jumlah sisi 3.
4. Lintasan merupakan geodesik - dengan jumlah sisi 2.
5. Lintasan merupakan geodesik - dengan jumlah sisi 2.
6. Lintasan merupakan geodesik - dengan jumlah sisi 3.
7. Lintasan merupakan geodesik - dengan jumlah sisi 3.
Sehingga diperoleh jarak ke setiap titik di Iseperti pada tabel dibawah ini.
Tabel 2.2.Jarak titik v1 ke setiap titik di I
Jadi e( ) .
Titik
Nilai d(v1, v)
Titik v
1 2 3 2 2 3 3
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
31
Definisi 2.65
Misalkan G adalah graf. Diameter dari Gadalah maksimum dari eksentrisitas
titik-titik diG dan dinyatakan dengan diam(G).
Contoh 2.66
PerhatikanGambar 2.11, akan cari diam (I). Untuk dua titik setiap u, v di I
diperoleh jarak dari titik u ke v dan eksentrisitas titik u, seperti pada Tabel 2.3.
Tabel 2.3. Jarak setiap dua titik dan eksentrisitas setiap titik pada graf I
Titik
Nilai d(u,v)
e(u)
V
u
1 2 3 2 2 3 3 3
1 1 2 1 1 2 2 2
2 1 1 2 2 3 3 3
3 2 1 3 3 4 4 4
2 1 2 3 1 1 2 3
2 2 2 3 1 2 2 3
3 3 3 4 1 2 2 4
3 2 3 5 4 2 2 4
Jadi menurut Tabel 2.3, diam .
Definisi 2.67
Graf G dan H dikatakan isomorfis jika terdapat sebuah fungsi
bijektif sedemikian sehingga setiap pasang titik u dan
vbertetangga di G jika dan hanya jika dan bertetangga di H. Fungsi
fyang mememenuhi syarat di atas disebut isomorfisma dari GkeH, dan
Gdikatakan isomorfis dengan H,dinotasikan dengan .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
32
Contoh 2.68
Gambar 2.12menyatakan graf Jdan K. Fungsi didefinisikan
dengan , , , . Dapat ditunjukkanbahwa
f adalah fungsi bijektifdari ke dan untuk setiap dua titik u dan v di
E, u dan v bertetangga jika dan hanya jika f (u)dan f (v) bertetangga pada
Gambar 2.12.
(a) (b)
Gambar 2.12.(a)Fungsi bijektif dari ke , (b) Graf
E. Macam-Macam Graf
Pada bagian ini akan dibahas definisi dan contoh dari macam-macam graf
dan gabungan graf.
Definisi 2.69
Graf lengkap dengan n titik adalah suatu graf sederhana dengan n titik dan
tepat satu sisi yang menghubungkan setiap pasang dari titik yang berbeda.
Graf lengkap dengan n titik dinotasikan dengan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
33
Contoh 2.70
Gambar 2.13 merupakan salah satu contoh dari graf lengkap.
Gambar 2.13. Graf
Definisi 2.71
Misalkan adalah graf sederhana. Graf disebut pohon jika dan hanya jika
tidak memuat sirkuit dan terhubung.
Contoh 2.72
Gambar 2.14. Graf PohonL
Gambar 2.14merupakan sebuah pohon, sedangkan Gambar 2.15 bukan
merupakan sebuah pohon sebab memuat sirkut .
Gambar 2.15. Graf M
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
34
Definisi 2.73
Graf bipartit lengkap dengan titik adalah sebuah graf sederhana di mana
titik-titiknya dapat dipartisi menjadiU danW, dengan
dan yang memenuhi sifat-sifat berikut: untuk semua
i, dan untuk semuaj,
1. Terdapat sisi dari setiap titik ke setiap titik .
2. Tidak terdapat sisi dari suatu ke suatu titik .
3. Tidak terdapat sisi dari suatu ke suatu titik
Graf bipartit lengkap dengan titik dinotasikan dengan .
Contoh 2.74
Perhatikan gambar di bawah ini.
Gambar 2.16. Graf
Himpunan titik pada V( ) dapat dipartisi menjadi U( ) dan W( )
dengan U( ) = {v1, v3} dan U( ) = {v2, v4, v6}yang memenuhi sifat- sifat
berikut: untuk semua i, dan untuk semua j,
1. Terdapat sisi dari setiap titik ke setiap titik .
2. Tidak terdapat sisi dari suatu ke suatu titik .
3. Tidak terdapat sisi dari suatu ke suatu titik
Jadi graf di atas adalah graf bipartit .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
35
Definisi 2.75
Untuk , graf siklusdengan n titik adalah suatu siklus dengan titik. Graf
siklus dengan titik dinotasikan dengan .
Contoh 2.76
Gambar 2.17merupakan salah satu contoh dari graf siklus.
Gambar 2.17. Graf
Definisi 2.77
Jika dan adalah graf yang saling asing, gabungan adalah graf
dengan dan .
Contoh 2.78
Misalkan diberikan dua buah graf K2 dan K3 seperti gambar di bawah ini.
(a) (b)
Gambar 2.18. (a) Graf K2, (b) Graf K3
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
36
HimpunanV(K2) = {v1, v2} dan V(K3) = {v3, v4, v5} maka diperoleh himpunan
V(K2 K3) = { v1, v2, v3, v4, v5} dan E(K2 K3) = { v1, v2, v3, v4, v5} sehingga
dapat dibentuk gaf K2 K3, seperti pada gambar berikut.
Gambar 2.19. Graf K2 K3
Definisi 2.79
Jika G danHadalah dua graf yang saling asing, penggabungan
terbentuk dengan menambahkan sisi pada setiap titik sedemikian
sehingga setiap titik terhubung dengan setiap titik . Jika
dan berturut-turut memiliki m(G) dan n(H) titik, maka untuk membentuk
graf haruslah menambahkan sisi pada graf .
Contoh 2.80
Perhatikan Gambar 2.18, akan dibentuk grafK2 K3.Graf K2 dan K3 berturut-
turut memiliki m(K2) = 2 dan m(K3) = 3 sehingga m(K2).m(K3) = 6. Untuk
membentuk graf K2 K3 menambahkan sisi pada setiap titik di K2 sedemikian
sehingga setiap titik di K2 terhubung dengan setiap titik K3, dengan langkah-
langkah nya yaitu tambahkan berturut-turut e5, e6 dan e7pada v1
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
37
sedemikiansehingga v1beturut-turut terhubung dengan v3,v4 dan v5seperti pada
Gambar 2.20.
Gambar 2.20. Ilustrasi penambahan sisi pada v1
Selanjutnya tambahkan berturut-turut sisi e5, e6 dan e7 pada v2 sedemikian
sehingga v1 berturut-turut terhubung dengan v3, v4 dan v5 seperti pada gambar
berikut seperti pada Gambar 2.21.
Gambar 2.21. Ilustrasi penambahan sisi pada v2
Jadi terbentuklah penggabungan K2 K3 seperti pada gambar berikut.
Gambar 2.22. Penggabungan K2 K3
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
38
Definisi 2.81
Untuk graf roda adalah graf hasil penggabungan dari dengan .
Graf roda dinotasikan dengan .
Contoh 2.82
Perhatikan gambar-gambar di bawah ini.
Gambar 2.23. (a) Graf , (b) Graf , (c) Graf
Gambar 2.23(a) merupakan penggabunganK1 C4 yang disebut
.Selanjutnya Gambar 2.23(b) merupakan penggabungan K1 C5 yang
disebut . Sedangkan Gambar 2.23(c) merupakan penggabungan K1 C6
yang disebut .
F. Pewarnaan Sisi Pada Graf
Pada subbab ini akan dibahas mengenai pewarnaan sisi pada graf, yang
diberikan dalam definisi dan contoh-contoh.
Definisi 2.83
Misalkan G adalah graf dengan himpunan sisi – sisi . Himpunan bagian
dari dikatakan himpunan bebas jika tidak ada dua sisi di dalam himpunan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
39
tersebut yang bertetangga. Sedangkan bilangan kebebasan sisi adalah jumlah
maksimal sisi dari G dalam himpunan bebas.Bilangan kebebasan sisi
dinotasikan dengan .
Contoh 2.84
Diberikan sebuah graf N. Akan dicari bilangan kebebasan sisi dari N.
Gambar 2.24. Graf N
Berdasarkan gambar diatas diperoleh bahwaH= , I= ,
J= ,K= merupakan himpunan kebebasan sisi. Jadi
= 3.
Definisi 2.85
Sebuah pewarnaan sisi pada graf Gadalah pemberian warna pada sisi – sisi
dalam graf , di mana satu warna untuk setiap sisi .
Contoh 2.86
Gambar2.25 menunjukkan pewarnaan sisi pada grafO, dengan himpunan
warna {1, 2, 3, 4, 5}di mana 1=warna merah, 2=warna biru, 3=warna hijau,
4=warna jingga, 5=warna ungu.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
40
Gambar 2.25. Graf Dengan Pewarnaan Sisi-5
Definisi 2.87
Jika sisi- sisi yang bertetangga diwarnai dengan warna yang berbeda maka
pewarnaan sisi dikatakan pewarnaan sisi sejati.
Contoh 2.88
Gambar 2.25 menunjukkan bahwa setiap dua sisi yang bertetangga memiliki
warna yang berbeda, sehingga graf O menggunakan pewarnaan sisi sejati.
Definisi 2.89
Pewarnaan sisi - k adalah suatu pewarnaan sisi sejati yang menggunakan k
warna.
Contoh 2.90
Pada Gambar 2.25, pewarnaan pada grafO menggunakan pewarnaan sisi-3.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
41
Definisi 2.91
Misalkan diberikan pewarnaan sisi – k pada graf tak kosong G, dengan
menggunakan 1,2,….,k warna dan misalkan adalah himpunan
sisi – sisi di G yang diberi warna i. Maka himpunan – himpunan tak kosong
dari E(G) disebut kelas warna sisi dari G untuk pewarnaan
sisi – k yang diberikan.
Contoh 2.92
Perhatikan Gambar 2.25, akan dicari kelas warna sisi dari graf O. Gambar
2.25 menunjukkan bahwa
1. Sisi dan diberi warna warna merah. Jadi , , dengan 1 =
warna merah.
2. Sisi dan diberi warna warna biru. Jadi , , dengan 2 =
warna biru.
3. Sisi dan diberi warna warna hijau. Jadi , dengan 3 =
warna hijau
4. Sisi diberi warna warna hijau. Jadi dengan 4 = warna
jingga.
5. Sisi diberi warna warna ungu. Jadi dengan 4 = warna ungu.
Definisi 2.93
Misalkan G adalah graf. Suatu graf G disebut graf yang sisi – sisinya dapat
diwarnai –k jika terdapat pewarnaan sisi –k pada G.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
42
Contoh 2.94
Perhatikan gambar di bawah ini.
Gambar 2.26. Graf O Dengan Pewarnaan Sisi -
Karena terdapat pewarnaan sisi denganpadaO maka O adalah graf yang sisi-
sisinya dapat diwarnai .
Definisi 2.95
Misalkan G adalah graf dengan pewarnaan sisi sejati. Indeks kromatik dari G
adalah jumlah minimum warna yang diperlukan sedemikian sehingga sisi –
sisi yang bertetangga di G diwarnai dengan pewarnaan sisi sejati. Indeks
kromatik pada graf G dinotasikan dengan .
Contoh 2.96
Perhatikan Gambar 2.26. Gambar tersebut menunjukkan bahwa graf O dapat
diwarnai menggunakan minimal tiga warna, sehingga indeks kromatiknya
atau .
Teorema 2.97
Jika G adalah graf tak kosong dengan ukuran maka
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
43
Bukti:
Misalkan G adalah graf dan . Himpunan adalah kelas
warna sisi pada pewarnaan sisi – k dari graf G. Berarti ada sisi di G yang tidak
termuat di Karena maka merupakan partisi
dariE(G). Sehingga untuk setiap i . Oleh karena itu
Jadi yang ekivalen dengan , sehingga
.
Karena grafG diwarnai dengan pewarnaan sisi-k berarti sisi – sisi yang
bertetangga di G diberi kwarna berbeda. Suatu sisi dikatakan bertetangga jika
bersisian dengan suatu titik yang sama. Pewarnaan sisi pada sebuah grafG
harus memberikan warna yang berbeda pada sisi-sisi yang bertetangga
sehingga untuk setiap titik v di G jumlah warna yang digunakan untuk
mewarnai sisi yang bersisian dengan titik v harus sesuai dengan derajat titik v
pada G atau deg . Jadi
(1)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
44
Contoh 2.98
Diberikan graf P dan pewarnaan sisi-4, dengan himpunan warna {1,2,3,4} di
mana1=warna merah, 2=warna biru, 3=warna hijau, 4=warna jingga. Akan
dicari .
Gambar 2.27.GrafP
Gambar 2.27 menunjukkan graf P dengan orde dan ukuran .
Himpunan kebebasan sisi yang dapat dibentuk antara lain:A={ , , },
B={ , , }, C={ , , }. Sehingga berdasarkan Definisi 2.83didapatkan
, maka menurut Teorema 2.97 diperoleh bahwa .
Karena merupakan bilangan bulat maka . Pewarnaan sisi-4
pada Gambar 2.27 menunjukkan bahwa . Jadi didapatkan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
45
BAB III
BILANGAN KETERHUBUNGAN PELANGI KUAT PADA GRAF
Konsep bilangan keterhubungan pelangi merupakan salah satu variasi dari
pewarnaan sisi. Bilangan keterhubungan pelangi diperkenalkan oleh
Chartrand, Johns, McKeon and Zhang pada tahun 2006. Konsep baru ini
dilatarbelakangi oleh ditemukannya kelemahan dalam pegiriman informasi
pada agen pemerintahan. Departemen Keamanan Dalam Negeri Amerika
Serikat dibentuk tahun 2003 sebagai respon atas ditemukannya kelemahan
dalam pengiriman informasi setelah terjadinya serangan teroris pada 11
September 2001. Keamanan informasi harus terjaga karena berhubungan
langsung dengan keamanan nasional dan juga terdapat prosedur yang
memungkinkan para agen pemerintah untuk mengakses informasi, sehingga
setiap jalur pengiriman informasi membutuhkan kata sandi angka yang
banyak.
Muncul pertanyaan, berapa jumlah minimal angka yang dibutuhkan
sedemikian sehingga tidak terjadi pengulangan kata sandi angka pada setiap
satu lintasan komunikasi atau lebih antara dua agen pemerintahan.
Pertanyaan tersebut dapat dimodelkan dengan bilangan keterhubungan
pelangi. Pada bab ini akan dijelaskan mengenai bilangan keterhubungan
pelangi kuat pada graf meliputi definisi, contoh dan teorema.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
46
A. Bilangan Keterhubungan Pelangi Pada Graf
Pada subbab ini akan dibahas mengenai lintasan pelangi, graf terhubung
pelangi, pewarnaan pelangi dan bilangan terhubung pelangi meliputi definisi,
contoh dan teorema.
Definisi 3.1
Misalkan graf G adalah graf terhubung tak trivial dan adalah sebuah
bilangan bulat positif. Didefinisikan pewarnaan sisi ,
sehingga dua sisi yang bertetangga dapat memiliki warna yang sama. Suatu
lintasan dari titik u ke v di G disebut lintasan pelangi jika tidak ada dua sisi
pada lintasan tersebut yang memiliki warna yang sama.
Contoh 3.2
Perhatikan graf dengan pewarnaan sisi – 3, dengan himpunan
warna {1, 2, 3} di mana 1=warna merah, 2=warna biru, 3=warna hijau. Akan
ditunjukkan bahwa terdapat lintasan pelangi di P.
Gambar3.1. Graf Petersen Dengan Pewarnaan Sisi
Untuk setiap dua titik u dan v terdapat lintasan pelangi dari titik u ke
vsepertiyang dijelaskan pada Tabel 3.1.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
47
Tabel 3.1. Lintasan pelangi untuk setiap dua titik pada graf
Titik
Jalan -
v
Tabel 3.2. Lanjutan Tabel 3.1
Titik
Jalan -
v
Definisi 3.3
Misalkan graf G adalahgraf terhubung tak trivial dan sebuah bilangan bulat
positif . Didefinisikan pewarnaan sisi , sehingga dua
sisi yang bertetangga dapat memiliki warna yang sama. Graf G dengan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
48
pewarnaan sisi disebut terhubung pelangi jikauntuk setiap pasang titik
terdapat lintasan pelangi.
Contoh 3.4
Graf Petersen pada Gambar3.1dapat dikatakan terhubung pelangi sebab
menurut Tabel3.1 dan Tabel 3.2 setiap dua titik dan di terdapat lintasan
pelangi . Sedangkan graf Q dengan pewarnaan sisi 3 yang himpunan
warnanya {1, 2, 3} seperti pada Gambar 3.2 bukan terhubung pelangi, sebab
tidak terdapat lintasan pelangi - .Warna merah menyatakan warna 1, warna
biru menyatakan warna 2 dan warna hijau menyatakan warna 3.
Gambar3.2. Graf Q Dengan Pewarnaan Sisi
Definisi 3.5
Misalkan adalah graf. Pewarnaan sisi pada dikatakan pewarnaan pelangi
jika pewarnaan itumenyebabkan graf terhubung pelangi. Sedangkan
pewarnaan pelangi yang menggunakan warna disebut pewarnaan pelangi
– .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
49
Contoh 3.6
Pewarnaan sisi graf pada Gambar3.1 merupakan pewarnaan pelangi
karena menyebabkan terhubung pelangi. Sedangkan pewarnaan sisi graf
Q dengan pada Gambar3.2 bukan pewarnaan pelangi karena tidak
menyebabkan Qterhubung pelangi.
Definisi 3.7
Misalkan adalah graf terhubung tak trivial.Bilangan bulat positif terkecil
sedemikian sehingga terdapat pewarnaan pelangi pada disebut bilangan
keterhubungan pelangi pada G. Bilangan keterhubungan pelangi pada
dinotasikan dengan .
Selain dalam pengamanan informasi rahasia antar agen pemerintahan,
bilangan keterhubungan pelangi juga diterapkan pada bidang jaringan.
Misalkan menyatakan suatu jaringan seluler. Misalkan akan dikirim sebuah
pesan antara dua titik, pengiriman informasi tersebut dengan syarat bahwa rute
antara dua titik (direpresentasikan sebagai sisi pada lintasan di ) diberikan
suatu saluran atau (saluran direpresentasikan sebagai warna).Akan
diminimalkan jumlah saluran berbeda yang digunakan. Jumlah saluran
minimal yang digunakan dimodelkan dengan bilangan keterhubungan pelangi
pada graf . Permasalahannya adalah bagaimana cara untuk menentukan
bilangan keterhubungan pelangi tersebut.Selanjutnya diberikan Teorema 3.8
untuk mempermudah menentukan bilangan keterhubungan pelangi.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
50
Teorema 3.8
Misalkan adalah graf terhubung tak trivial maka .
Bukti:
Misalkan G adalah graf dengan pewarnaan sisi c dan . Sehingga
berdasarkan Definisi 2.61 danDefinisi 2.63maka
Ini berarti terdapat dua titik di , misal dan yang dihubungkan geodesik
dengan panjang . Oleh karena geoesik adalah geodesik
terpanjang sehingga minimal warna yang diperlukan untuk mewarnai graf
sedemikian sehingga setiap dua titik dan di terdapat lintasan pelangi
adalah warna .Oleh karena itu
Contoh 3.9
Berdasarkan Gambar3.1 terdapat pewarnaan pelangi pada graf Petersen
berarti Oleh karena maka akan dicari .
Sebelum mencari terlebih dahulu dicari jarak setiap dua titik dan
eksentrisitas setiap titik di P yang yang disajikan pada Tabel 3.3.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
51
Tabel 3.3. Jarak setiap dua titikdi graf
Titik
Nilai
e(v)
v
u
1 2 2 2 1 2 1 2 2 2
1 1 2 2 2 1 2 2 2 2
2 1 1 2 2 2 2 2 1 2
2 2 1 1 2 2 1 2 2 2
2 2 2 1 1 1 2 2 2 2
2 2 2 2 1 2 2 2 1 2
2 1 2 2 1 2 2 1 2 2
1 2 2 1 2 2 2 1 2 2
2 2 2 2 2 2 1 1 1 2
2 2 1 2 2 1 2 2 1 2
Berdasarkan Tabel 3.2 dan Tabel 3.3didapatkan , sehingga
menurut Teorema 3.8 diperoleh bahwa Namun tidak terdapat
pewarnaan pelangi di , sebab jika diberikan suatu pewarnaan sisi pada
dan didefinisikan sebagai pemberian dua warna pada sisi-sisi di terdapat
dua sisi yang berwarna sama yaitu dan seperti pada Gambar3.3.
Gambar3.3. Graf Petersen Dengan Pewarnaan Sisi
Sehingga lintasan bukan lintasan pelangi, maka tidak terhubung
pelangi. Jadi . Oleh karena maka .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
52
B. Bilangan Keterhubungan Pelangi Kuat Pada Graf
Pada subbab ini akan dibahas mengenai pelangi geodesik, pewarnaan
pelangi kuat, terhubung pelangi kuat,bilangan keterhubungan pelangi dan
bilangan keterhubungan pelangi kuat pada graf terhubung tak trivial, graf
pohon, graf siklus, graf roda dan graf bipartit meliputi definisi, contoh dan
teorema.
Definisi 3.10
Misalkan adalah pewarnaan sisi pada graf terhubung tak trivialG. Untuk dua
titik u dan v di G, suatu pelangi geodesik adalah lintasan pelangi -
dengan panjang .
Contoh 3.11
Gambar3.4 menunjukkan graf Petersen dengan pewarnaan sisi . Untuk
suatu titik dan , lintasan adalah lintasan pelangi dengan panjang
. Sehingga lintasan pelangi adalah pelangi geodesik - .
Sedangkan lintasan bukan pelangi geodesik - sebab tidak
memiliki panjang minimum.
Gambar3.4. Graf Petersen Dengan Pewarnaan Sisi
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
53
Definisi 3.12
Suatu graf terhubung tak trivial G dikatakan terhubung pelangi kuat jikaG
memuat pelangi geodesiku-v untuk setiap titik u dan v diG.
Contoh 3.13
Graf Petersen P dengan pewarnaan sisi pada Gambar3.4 terhubung pelangi
kuat sebab graf P memuat lintasan pelangi geodesik u-v untuk setiap titik u
danv di .
Tabel 3.5. Pelangi geodesik untuk setiap dua titik pada graf P
Titik
Pelangi geodesik
Tabel 3.6. Lanjutan Tabel 3.5
Titik
Pelangi geodesik
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
54
Sedangkan graf P dengan pewarnaan sisi pada Gambar3.1 terhubung
pelangi tapi tidak terhubung pelangi kuat sebab tidak terdapat pelangi
geodesik .
Definisi 3.14
Misalkan G adalah graf. Pewarnaan sisi pada G dikatakan pewarnaan sisi
pelangi kuat jika pewarnaan itu menyebabkan graf terhubung pelangi kuat.
Pewarnaan sisi pelangi kuat singkatnya disebut pewarnaan pelangi kuat.
Sedangkan pewarnaan pelangi kuat yang menggunakan warna disebut
pewarnaan pelangi kuat – .
Contoh 3.15
Pewarnaan sisi graf Petersen pada Gambar3.4 merupakan pewarnaan
pelangi kuat sebab menyebabkan graf Pterhubung pelangi kuat. Sedangkan
pewarnaan sisi graf Petersen pada Gambar3.1 bukan merupakan pewarnaan
pelangi kuat sebab tidak menyebabkan graf P terhubung pelangi kuat.
Definisi 3.16
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
55
Misalkan G adalah graf terhubung tak trivial.Bilangan bulat positif terkecil
sedemikian sehingga terdapat pewarnaan pelangi kuat pada Gdisebut
bilangan keterhubungan pelangi kuat pada G. Bilangan keterhubungan
pelangi kuat pada dinotasikan dengan .
Teorema3.17
Misalkan G adalah graf terhubung tak trivial, maka
Bukti:
Misalkan G adalah suatu graf terhubung tak trivial dengan . Karena
sehingga terdapat pewarnaan pelangi pada G Oleh karena
terdapat pewarnaan pelangi di G, ini berarti terhubung pelangi. Sehingga
terdapat lintasan pelangiu-v, untuk setiap pasang titik u,v .
Kasus 1: Misalkan untuk setiap pasang titik , terdapat lintasan
pelangi yang merupakan pelangi geodesik , berarti
terhubung pelangi kuat sehingga pewarnaan sisi merupakan
pewarnaan pelangi kuat . Jadi
Kasus 2: Misalkan untuk suatu titik dan , setiap lintasan pelangi
bukan merupakan pelangi geodesik, ini berarti tidak terhubung
pelangi kuat. Oleh karena itu pewarnaan sisi bukan pewarnaan
pelangi kuat. Sehingga
Jadi berdasarkan kasus 1 dan 2
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
56
Teorema3.18
Misalkan adalah graf terhubung tak trivial, dengan ukuran m(G) maka
.
Bukti:
Sudah cukup jelas bahwa pasti tidak pernah melampaui ukuran graf .
Contoh 3.19
Misalkan adalah graf Petersen dengan . Menurut Contoh 3.9
maka menurut Teorema 3.17 dan Teorema3.18 diperoleh bahwa
. Namun pewarnaan pelangi pada Gambar3.1 bukan
merupakan pewarnaan pelangi kuat karena tidak menyebabkan terhubung
pelangi maka . Karena pewarnaan sisi merupakan
pewarnaan pelangi kuat sehingga Oleh karena dan
maka
Dari Teorema 3.8, Teorema 3.17 dan Teorema3.18 maka didapatkan
sebuah pertidaksamaan
(2)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
57
Contoh 3.20
Akan dicari dan untuk graf . Perhatikan gambar berikut
T
Gambar 3.5. Graf
Penyelesaian:
Akan dicari
Tabel 3.7. Jarak tiap dua titik dan eksentrisitas tiap titik pada T
Titik
Nilai
v
1 2 3 2 1 1 2 3
1 1 2 3 2 2 3 3
2 1 1 2 3 3 2 3
3 2 1 1 2 2 1 3
2 3 2 1 1 3 2 3
1 2 3 2 1 2 3 3
1 2 3 2 3 2 1 3
2 3 2 1 2 3 1 3
Berdasarkan Tabel 3.7 didapatkan diam maka menurut per-
tidaksamaan (2) diperoleh bahwa . Diasumsikan ,
berarti terdapat pewarnaan pelangi di dengan himpunan warna {1,
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
58
2, 3} di mana 1=warna merah, 2=warna biru, 3=warna hijau.
Misalkan
, .
Gambar 3.6. Graf T Dengan Pewarnaan Sisi
Menurut Gambar 3.6 , tidak terdapat lintasan pelangi , berarti
tidak terhubung pelangi, sehingga tidak terdapat pewarnaan pelangi di
, muncul kontradiksi. Jadi maka dengan kata lain
terdapat pewarnaan pelangi-4 dengan himpunan warna {1, 2, 3, 4}, seperti
pada Gambar 3.7di mana 1=warna merah, 2=warna biru, 3=warna hijau
dan 4=warna ungu.
Gambar 3.7. Graf T Dengan Pewarnaan Sisi
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
59
Akan dicari
Karena maka menurut pertidaksamaan (2)
Diasumsikan .Bilangan berarti terdapat pewarnaan
pelangi seperti pada Gambar 3.7. Untuk setiap dua titik dan di
akan dicari lintasan pelangi dengan panjang .
Tabel 3.8.Pelangi geodesik tiap dua titik diT
Titik
Pelangi geodesik
Tabel 3.9. Lanjutan Tabel 3.8
Titik
Pelangi geodesik
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
60
Karena untuk setiap dua titik dan terdapat lintasan pelangi kuat, maka
T terhubung pelangi kuat, sehingga pewarnaan pelangi juga merupakan
pewarnaan pelangi kuat . Jadi .
Teorema 3.21
Misalkan dan adalah graf terhubung tak trivial. Maka
jika dan hanya jika
Bukti :
Untuk , akan dibuktikan jika dan hanya jika
Jika , akan ditunjukkan . Menurut pertidaksamaan
(2) dan karena terhubung maka , sehingga adalah graf
lengkap. Karena berarti terdapat pewarnaan pelangi pada
. Graf adalah graf lengkap maka setiap dua titik dan dihubungkan
oleh sebuah sisi. Sehingga pewarnaan pelangi juga merupakan
pewarnaan pelangi kuat . Jadi .
Jika , akan ditunjukkan . Menurut pertidaksamaan
(2) diperoleh bahwa . Karena adalah graf terhubung maka
.
Untuk , akan dibuktikan jika dan hanya jika
Jika , akan ditunjukkan . Maka menurut Teorema
3.8 diperoeh bahwa diam dan menurut Teorema 3.17 diperoleh
bahwa . Graf bukan graf lengkap maka diam ,
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
61
dengan kata lain jumlah maksimum sisi-sisi dari suatu geodesik di
adalah 2. Selanjunya karena maka terdapat pewarnaan
pelangi di . Karena diam dan terdapat pewarnaan
pelangi di , maka lintasan pelangi adalah pelangi geodesik
maka pewarnaan pelangi adalah pewarnaan pelangi kuat . Jadi
.
Misalkan adalah graf terhubung tak trivial dengan . Menurut
Teorema 3.17diperoleh bahwa . Karena bukan merupakan
graf lengkap maka .
Contoh 3.22
Perhatikan gambar berikut,
(a) (b)
Gambar3.8. (a) Graf , (b) Graf Dengan Pewarnaan Sisi
Karena graf lengkap maka diam dan menurut Teorema 3.8
diperoleh bahwa . Karena setiap dua titik dan di
dihubungkan oleh sebuah sisi sehingga minimal warna yang digunakan
sedemikian sehingga terdapat lintasan pelangi untuk setiap dua titik dan di
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
62
adalah 1 warna, misalkan warna warna merah. Jadi . Maka
menurut Teorema3.21
Teorema 3.23
Misalkan adalah graf terhubung tak trivial dengan ukuran . Maka
jika dan hanya jika adalah sebuah pohon.
Bukti
Misalkan akan dibuktikan adalah sebuah
pohon. Diasumsikan adalah bukan sebuah pohon. Maka memuat suatu
sirkuit
di mana . Maka pewarnaan sisi yang memberikan
warna 1 untuk sisi dan dan warna berbeda dari
himpinan warna untuk sisi lainnya pada
adalah pewarnaan pelangi, dengan 1=warna merah, 2=warna biru,
=warna kuning, =warna cokelat dan =
warna hitam, seperti pada Gambar3.9.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
63
Gambar3.9. Graf Dengan Pewarnaan
Jadi . Kontradiksi dengan . Sehingga
haruslah sebuah pohon.
Misalkan adalah sebuah pohon dengan ukuran . Akan dibuktikan
.
Diasumsikan bahwa . Oleh karena
sehingga terdapat pewarnaan pelangi
dari . Maka terdapat sisi dan yang diwarnai dengan
warna yang sama. Misalkan diambil salah satu titik atau dan salah satu
titik atau yaitu titik dan sehingga terdapat lintasan yang
memuat sisi dan diilustrasikan Gambar3.10.
Gambar3.10. Graf pohon
Karena terdapat dua sisi pada lintasan yang berwarna sama maka
lintasan bukan lintasan pelangi , sehingga terdapat lintasan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
64
lain yang tidak memuat sisi dan yang merupakan lintasan
pelangii , hal tersebut menunjukkan bahwa terdapat sirkuit di ,
kontradiksi dengan adalah pohon dengan ukuran . Jadi
Contoh 3.24
Gambar3.11 menyatakan suatu graf
Gambar3.11. Graf pohon
Karena graf merupakan pohon dengan , jadi menurut
Teorema3.42 diperoleh bahwa .
Teorema 3.25
Misalkan adalah graf siklus dengan banyak titik di mana . Maka
.
Bukti:
Misalkan terdapat graf siklus : dan untuk setiap dengan
dan . Untuk membuktikan pernyataan di atas, akan
dibagi menjadi 2 kasus tergantung nilai dari
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
65
Kasus 1:
Untuk genap. Misalkan , untuk setiap bilangan bulat sehingga
. Maka menurut pertidaksamaan (1),
. Pewarnaan sisi dari didefinisikan sebagai berikut,
Diilustrasikan dalam Gambar3.12 dengan 1=warna merah, 2=warna biru,
k=hijau, (k-1)=ungu.
Gambar3.12. Graf Dengan Pewarnaan Sisi
Untuk setiap dua titik dan terdapat pelangi geodesik seperti yang
terlihat dalam Gambar3.11 maka terhubung pelangi kuat, maka pewarnaan
sisi adalah suatu pewarnaan pelangi kuat– . Karena merupakan
pewarnaan pelangi kuat – maka dan menurut pertidaksamaan
(2) . Oleh karena , jadi
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
66
Kasus 2:
Untuk ganjil. Misalkan , untuk bilangan bulat .
Didefinisikan pewarnaan sisi dari sebagai berikut,
Dengan kata lain , ,…,
, sehingga untuk setiap dua titik dan terdapat
pelangi geodesik , maka pewarnaan pelangi adalah suatu pewarnaan
pelangi kuat . Karena pewarnaan pelangi adalah pewarnaan pelangi
kuat sehingga , maka menurut pertidaksamaan
(2) . Karena diam sehingga , jadi
atau Akan dibuktikan bahwa .
Asumsikan sehingga terdapat suatu pewarnaan pelangi ,
misalkan dan tanpa mengurangi perumuman misalkan .
Dipandang titik-titik dan . Misalkan lintasan
adalah pelangi geodesik dan lintasan : adalah
pelangi geodesik maka terdapat sisi di dan yang diberi warna .
Karena lintasan juga merupakan geodesik , sehingga
.
Sebaliknya karena lintasan adalah geodesik ,
sehingga . Diilustrasikan pada Gambar 3.13 dengan 1=warna
merah, 2=warna biru, 3=warna hijau, k=ungu, (k-1)=warna jingga.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
67
Gambar 3.13. Graf Dengan Pewarnaan Sisi
Ini berarti tidak terdapat lintasan pelangi . Jadi bukan pewarnaan
pelangi . Kontradiksi dengan pewarnaan pelangi . Jadi
. Oleh karena berdasarkan persamaan (2) di-
peroleh bahwa , sehingga .
Jadi
Contoh 3.26
Diketahui graf siklus , akan dicari nilai dan .
Penyelesaian:
Menurut Teorema3.46 diperoleh bahwa .
Karena berarti terdapat pewarnaan pelangi di dengan himpunan
warna {1,2,3} di mana 1=warna merah, 2=warna biru, 3=warna hijau, seperti
pada Gambar3.14.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
68
Gambar3.14. Graf Dengan Pewarnaan Sisi
Teorema 3.27
Bilangan keterhubungan pelangi dari graf roda untuk adalah
Bukti:
Berdasarkan definisi , itu berarti terdapat dengan
dan satu titik yang terhubung dengan setiap titik di .
Akan dibagi menjadi 3 kasus:
Kasus1:
Untuk , karena , menurut pembuktian Teorema3.22 diperoleh
bahwa .
Kasus 2:
Untuk , karena graf bukan graf lengkap sehingga .
Didefinisikan pewarnaan sisi , dengan 1=warna merah,
2= warna biru sebagai berikut,
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
69
dan
Seperti yang terlihat dalam Gambar3.15
(a) (b) (c)
Gambar 3.15.(a) Graf Dengan Pewarnaan Sisi , (b) Graf Dengan
Pewarnaan Sisi , (c) Graf Dengan Pewarnaan Sisi
Oleh karena pewarnaan sisi merupakan pewarnaan pelangi , maka
diperoleh bahwa .
Kasus 3:
Untuk ,karena bukan graf lengkap sehingga diperoleh
wa . Diasumsikan . Ini berarti terdapat pewarnaan
pelangi di dengan himpunan warna {1, 2} di mana 1=warna merah dan
2=warna biru. Karena terdapat pewarnaan pelangi di berarti untuk
setiap dua titik dan terdapat lintasan pelangi
Misalkan adalah pewarnaan pelangi dari . Diasumsikan
dan adalah satu-satunya lintasan pelangi dengan panjang ,
sehingga untuk setiap dengan yang ditunjukkan
oleh Gambar3.16 dengan 1=warna merah, 2=warna merah.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
70
Gambar3.16. Graf
Karena satu- satunya lintasan yang memiliki panjang 2 adalah
sehingga jika maka supaya terdapat lintasan pelangi
. Dengan cara yang sama didapatkan jika maka
. Karena maka Selanjutnya jika
maka . Sehingga karena dan
maka tidak terdapat lintasan pelangi . Ini kontradiksi
dengan terdapat pewarnaan pelangi pada Jadi .
Didefinisikan pewarnaan sisi dengan pada sebagai
berikut
dan untuk setiap yang ditunjukan oleh Gambar3.17
dengan 1=warna merah, 2=warna biru, 3=warna hijau.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
71
Gambar3.17. Graf Dengan Pewarnaan Sisi
Karena setiap dua titik dan terdapat lintasan pelangi sehingga
pewarnaan sisi adalah pewarnaan pelangi sehingga diperoleh
Oleh karena , jadi untuk .
Contoh 3.28
Diberikan sebuah graf , akan dicari nilai dari . Menurut
Teorema3.46 diperoleh bahwa , sehingga terdapat pewarnaan
pelangi di dengan himpunan warna {1,2},di mana 1=warna merah,
2=warna biru, 3=warna hijau.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
72
Gambar3.18. Graf Dengan Pewarnaan Pelangi
Teorema3.29
Bilangan keterhubungan pelangi pada graf roda untuk adalah
Bukti:
Misalkan terdiri dari graf dan satu titik yang
terhubung dengan setiap titik di . Akan dibagi menjadi 3 kasus
Kasus 1: Untuk , graf dan menurut Teorema 3.27diperoleh
bahwa maka berdasarkan Teorema 3.21diperoleh bahwa
.
Kasus 2: Untuk ,menurut Teorema 3.27 diperoleh bahwa
maka berdasarkan Teorema 3.21. diperoleh bahwa
untuk .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
73
Kasus 3: Untuk , akan dibuktikan . Misalkan maka
terdapat suatu bilangan bulat sehingga . Selanjutnya
akan ditunjukkan
Pertama-tama akan ditunjukkan . Diasumsikan
maka terdapat pewarnaan pelangi kuat pada . Karena
maka dapat dibentuk himpunan sedemikian sehingga
dan semua sisi dengan memiliki warna yang sama. Maka
terdapat dua titik sehingga jumlah sisi pada geodesik di
lebih dari sam dengan 3 atau dan jumlah sisi pada geodesik
di sama dengan 2 atau . Karena
merupakan satu-satunya geodesik di , akibatnya tidak terdapat
pelangi geodesik di . Ini berarti tidak terdapat pewarnaan pelangi
kuat ,kontradiksi dengan . Jadi .
Selanjutnya, akan ditunjukkan Didefinisikan suatu pewarnaan
sisi pada sebagai berikut
Karena setiap dua titik terdapat pelangi geodesik di sehingga
pewarnaan sisi adalah pewarnaan pelangi kuat . Maka diperoleh
bahwa . Jadi untuk .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
74
Contoh 3.30
Diberikan graf sebuah graf , akan dicari nilai dari . Menurut
Teorema3.29 terdapat pewarnaan pelangi kuat pada , dengan kata lain
3 dengan himpunan warna {1, 2, 3} di mana 1= warna merah, 2=
warna biru, 3= warna hijau, seperti pada gambar dibawah ini.
Gambar3.19. Graf Dengan Pewarnaan Sisi
Teorema 3.31
Bilangan keterhubungan pelangi kuat dari graf bipartit untuk suatu
bilangan bulat dan dengan adalah
Bukti:
Untuk himpunan titik-titik pada dapat dipartisi menjadi dua
himpunan, misalkan dan , karena di
dihubungkan ke setiap titik di sehingga merupakan satu-satunya
lintasan dan juga merupakan geodesik dengan dan
, sehingga jumlah warna yang digunakan sedemikian sehingga
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
75
terdapat pewarnaan pelangi kuat di adalah seperti yang ditunjukkan pada
Gambar3.20. Jadi benar bahwa .
Gambar3.20. Graf Dengan Pewaranaan Pelangi Kuat
Selanjutnya diasumsikan untuk , , maka
Sehingga maka .
Akan ditunjukkan bahwa . Asumsikan . Maka
terdapat pewarnaan yaitu pewarnaan pelangi kuat . Himpunan
titik-titik dapat dipartisi menjadi dua himpunan, misalkan dan
, dengan dan , sehingga
kardinalitas dan berturut- turut dan . Untuk setiap titik
didefinisikan suatu kode yang disebut kode
warna dari , di mana untuk seperti pada Gambar3.21.
Gambar3.21. Graf Dengan Pewarnaan Sisi
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
76
Karena terdapat pewarnaan pelangi kuat sehingga untuk
setiap , maka banyaknya warna berbeda pada kode warna dari titik-
titik di paling banyak . Tetapi karena karena maka
terdapat dua titik berbeda yaitu dan di sehingga kode
kode . Lintasan dan berturut- turut merupakan satu- satunya
geodesik dan geodesik dan karena untuk
setiap sehingga tidak terdapat pelangi geodesik di .
Sehingga tidak terdapat pewarnaan pelangi kuat di . Hal tersebut
kontradiksi dengan Jadi .
Selanjutnya, akan ditunjukkan . Misalkan dan
. Himpunan adalah hasil kali kartesian dan
sebanyak kali dan himpunan adalah hasil kartesian dan sebanyak
kali. Sehingga
s kali
sehingga,
dan adalah himpunan hasil kali seluruh elemen dalam setiap pasangan
terurut di . Selanjutnya
s kali
sehingga,
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
77
dan adalah himpunan hasil kali seluruh elemen dalam setiap pasangan
terurut di .Jadi .
Misalkan titik- titik di dilabeli dengan
anggota dari sedemikian sehingga dilabeli dengan
anggota dari . Untuk setiap dengan didefinisikan label
dari dengan
untuk setiap yang diilustrasikan dengan Gambar3.22.
Gambar3.22. Graf
sehingga untuk . Didefinisikan pewarnaan
dengan untuk dan
. Sehingga kode warna dari adalah kode
, maka titik-titik berbeda di memiliki kode warna berbeda.
Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa adalah pewarnaan pelangi kuat
. Untuk dan merupakan satu-satunya
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
78
geodesik dan karena kode warna berbeda untuk setiap titik- titik
berbeda di maka geodesik adalah pelangi geodesik .
Diambil sebarang dua titik dan di . Karena titik-titik tersebut
memiliki kode warna berbeda sehingga adalah pelangi geodesik
di untuk suatu dengan . Selanjutnya diambil sebarang dua
titik dan di sedemikian sehingga . Lintasan
merupakan satu-satunya geodesik dan karena terdapat suatu
dengan sehingga , maka geodesik
adalah pelangi geodesik . Oleh karena itu terbukti bahwa
adalah pewarnaan pelangi kuat dari . Jadi .
Contoh 3.32
Diberikan graf bipartit , akan dicari nilai dari Menurut Teorema
3.31 bahwa , dengan kata lain terdapat
pewarnaan pelangi kuat di , dengan himpunan warna {1, 2} di mana
1=warna merah, 2=warna biruseperti yang ditunjukkan Gambar3.23.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
79
Gambar3.23. Graf Dengan Pewarnaan Sisi
Toerema 3.33
Bilangan keterhubungan pelangi dari graf untuk suatu bilangan bulat dan
dengan adalah
Bukti:
Diketahui bahwa sehingga maka .
Misalkan himpunan titik- titik di dipartisi menjadi himpunan dan
, di mana dan ,
sehingga kardinalitas dan berturut- turut dan . Akan dibagi menjadi 3
kasus:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
80
Kasus 1: Jika maka . Menurut Teorema 3.31 diperoleh bahwa
dan karena diam maka menurut
pertidaksamaan (2) diperoleh bahwa . Jadi
.
Kasus 2: Jika maka . Menurut Teorema 3.31 diperoleh
bahwa dan karena diam maka menurut
pertidaksamaan (2) diperoleh bahwa . Jadi
atau . Akan dibuktikan .
Asumsikan maka terdapat pewarnaan pelangi di
. Sehingga terdapat kode untuk setiap di
dengan untuk . Karena
maka terdapat dua titik berbeda dan sedemikian
sehingga kode . Ini berarti
untuk setiap sehingga tidak terdapat lintasan pelangi
di jadi tidak terdapat pewarnaaan pelangi di .
Hal ini kontradiksi dengan . Jadi .
Kasus 3: Jika maka . Akan ditunjukkan
Asumsikan ini berarti terdapat pewarnaan
pelangi di . Sehingga terdapat kode
untuk setiap di dengan untuk
. Karena maka terdapat dua titik berbeda dan
sedemikian sehingga kode . Karena jumlah
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
81
sisi pada lintasan genap, maka lintasan pelangi
yang terdapat di adalah lintasan pelangi yang
memiliki panjang 2. Namun setiap sisi pada lintasan pelangi
tersebut berwarna sama sehingga tidak terdapat lintasan
pelangi di . Sehingga tidak terdapat pewarnaan
pelangi pada . Ini kontradiksi dengan . Jadi
Selanjutnya akan dibuktikan Untuk membuktikan ,
akan ditunjukan terdapat pewarnaan pelangi di .
Misalkan , dan .
Himpunan adalah hasil kali kartesius dari himpunan sebanyak . Dengan
kata lain
Untuk setiap titik di didefinisikan,
kode ,
untuk dan dengan .Dengan kata
lain , , …., , dan seterusnya.
Sedangkan untuk setiap titik di didefinisikan,
kode
untuk dan .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
82
Selanjutnya diambil sebarang dua titik akan dibuktikan terdapat
pewarnaan pelangi pada dengan membagi menjadi 3 kasus:
Kasus 1: Untuk . Karena kode kode maka terdapat dengan
yang ). Maka lintasan adalah
lintasan pelangi . Jadi terdapat pewarnaan pelangi di .
Kasus 2: Untuk dan . Misalkan dengan
. Karena maka dan dengan
. Sehingga lintasan merupakan lintasan pelangi yang
sisi-sisinya berwarna dan Jadi terdapat pewarnaan pelangi di
Kasus3: Untuk . Ambil sebarang sedemikian sehingga
c dan maka lintasan adalah lintasan
pelangi yang sisi-sisinya berwarna , 1, 2 dan 3.
Misalkan dengan dan di mana .
Sehingga terdapat suatu titik yang mana . Jadi
lintasan adalah lintasan pelangi di , maka terdapat pewarnaan
pelangi di . Jadi
Contoh 3.34
Diberikan graf bipartit , akan dicari nilai dari Menurut Teorema
3.33 diperoleh bahwa
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
83
, dengan kata lain terdapat pewarnaan pelangi di seperti
yang ditunjukkan Gambar3.24.
Gambar3.24
C. Aplikasi
Pada subbab ini akan dijelaskan aplikasi bilangan keterhubungan pelangi
kuat pada graf dalam kehidupan sehari-hari.
Contoh 3.35
Salah satu penerapan bilangan keterhubungan pelangi kuat pada graf
adalah pendistribusian soal-soal ujian nasional. Contoh ini diambil daripidato
pengukuhan guru besar berjudul Teori Graf, Aplikasi dan Tumbuhnya
Keterampilan Berfikir Tingkat Tinggi, yang ditulis oleh Prof. Drs. Dafik,
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
84
M.Sc, Ph.D. Diknas akan mendistribusikan soal-soal ujian nasional ke seluruh
sekolah di kabupaten Jember (pelaksanaan UN SMA 2014). Soal ini bersifat
rahasia sehingga membutuhkan tim pengawas pendistribusian soal UN yang
terdiri dari unsur Universitas Negeri Jember (UNEJ), Lembaga Penjaminan
Mutu Pendidikan (LPMP), Polisi resort (Polres), Pendidikan Nasional
(Diknas), dan pihak sekolah. Misal jalur untuk menjangkau sekolah-sekolah
direpresentasikan pada graf Rdi manaj merupakan pusat penyimpanan soal
dan titik awal pendistribusian soal, sedangkan titik a, b, c, d, e, f, g, h, i, k, l,
m, n, o, p mewakili sekolah-sekolah di kabupaten Jember . Permasalahan yang
muncul adalah:Bagaimana caramenentukan jumlah kelompok pengawalan
pendistribusian soal UN?
Gambar3.25. Graf R
Solusi:
Gambar 3.26. Graf S
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
85
Diberikan graf S seperti pada gambar di atasdan didefinisikanfungsi
dengan , , , , ,
, , , , ,
, , dan . Dapat ditunjukkan bahwa f adalah
fungsi bijektif dari ke seperti pada berikut.
Gambar 3.27. Fungsi Bijektif Dari V(R) Ke V(S)
Kemudian dapat ditunjukkan untuk setiap dua titik u dan v di R, u dan v
bertetangga jika dan hanya jika f (u)dan f (v) bertetangga di S, yang dijelaskan
pada tabel di bawah ini. Jadi graf
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
86
Tabel 3.10. Dua titik u dan v yang bertetangga di R dan dua titik f(u)dan f(v)
yang bertetangga di S
Pada graf R Para graf S
Titik a bertetangga dengan b Titik f(a) = bertetangga dengan f(b) =
Titik a bertetangga dengan j Titik f(a) = bertetangga dengan f(j) =
Titik a bertetangga dengan k Titik f(a) = bertetangga dengan f(k) =
Titik a bertetangga dengan e Titik f(a) = bertetangga dengan f(e) =
Titik b bertetangga dengan c Titik f(b) = bertetangga dengan f(c) =
Titik b bertetangga dengan l Titik f(b) = bertetangga dengan f(l) =
Titik b bertetangga dengan f Titik f(b) = bertetangga dengan f(f) =
Titik b bertetangga dengan m Titik f(b) = bertetangga dengan f(m) =
Titik c bertetangga dengan d Titik f(c) = bertetangga dengan f(d) =
Titik c bertetangga dengan n Titik f(c) = bertetangga dengan f(n) =
Titik c bertetangga dengan g Titik f(c) = bertetangga dengan f(g) =
Titik c bertetangga dengan o Titik f(c) = bertetangga dengan f(o) =
Titik d bertetangga dengan i Titik f(c) = bertetangga dengan f(i) =
Titik d bertetangga dengan p Titik f(c) = bertetangga dengan f(p) =
Titik d bertetangga dengan h Titik f(c) = bertetangga dengan f(h) =
Titik e bertetangga dengan j Titik f(e) = bertetangga dengan f(j) =
Titik e bertetangga dengan k Titik f(e) = bertetangga dengan f(k) =
Titik e bertetangga dengan f Titik f(e) = bertetangga dengan f(f) =
Titik f bertetangga dengan l Titik f(f) = bertetangga dengan f(l) =
Titik f bertetangga dengan m Titik f(f) = bertetangga dengan f(m) =
Titik f bertetangga dengan g Titik f(f) = bertetangga dengan f(g) =
Titik g bertetangga dengan n Titik f(g) = bertetangga dengan f(n) =
Titik g bertetangga dengan o Titik f(g) = bertetangga dengan f(o) =
Titik g bertetangga dengan h Titik f(g) = bertetangga dengan f(h) =
Titik h bertetangga dengan p Titik f(h) = bertetangga dengan f(p) =
Titik h bertetangga dengan i Titik f(h) = bertetangga dengan f(i) =
Titik k bertetangga dengan l Titik f(k) = bertetangga dengan f(l) =
Titik m bertetangga dengan n Titik f(m) = bertetangga dengan f(n) =
Titik o bertetangga dengan p Titik f(o) = bertetangga dengan f(p) =
Titik merepresentasikan titik j pada graf R, sedangkan
merepresentasikan sekolah–sekolah pada kabupa-
ten Jember dan sisi-sisi di graf S merepresentasikan jalur pendistribusian dari
satu sekolah ke sekolah lainnya. Permasalahan ini dapat diselesaikan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
87
menggunakan konsep bilangan terhubung pelangi dan bilangan terhubung
pelangi kuat, sebab apabila menggunakan konsep tersebut akan didapatkan
minimumjumlah kelompok pengawalan pendistribusian soal UN. Oleh karena
graf S tidak termasuk kedalam graf khusus yang dijelaskan pada bab
sebelumnya, sehingga untuk menentukan dan menggunakan
pertidaksamaan berikut.
.
Bilangan dan menyatakan minimal jumlah kelompok pengawalan
dan warna tiap sisi pada pewarnaan pelangi kuat menunjukkan kelompoknya.
Pertama-tama akan dicari . Untuk menentukan maka terlebih
dahulu dicari jarak tiap dua titik dan eksentrisitas dari setiap titi di S,seperti
yang dijelaskan pada tabel berikut.
Tabel 3.11. Jarak setiap dua titik di
Titik
Nilai
2 3 3 4 4 5 5
2 1 3 4 4 5 5
3 1 2 3 3 4 5
3 3 2 1 3 4 4
4 4 3 1 2 3 3
4 4 3 3 2 1 3
5 5 4 4 3 1 2
5 5 5 4 3 3 2
1 1 2 2 3 3 4 4
2 2 1 1 2 2 3 3
3 3 2 2 1 1 2 2
4 4 3 3 2 2 1 1
1 1 2 2 3 3 4 4
2 2 1 1 2 2 3 3
3 3 2 2 1 1 2 2
4 4 3 3 2 2 1 1
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
88
Tabel 3.12. Lanjutan dari Tabel 3.11 dan eksentrisitas tiap titik di
Titik
Nilai
1 2 3 4 1 2 3 4 5
1 2 3 4 1 2 3 4 5
2 1 2 3 2 1 2 3 5
2 1 2 3 2 1 2 3 4
3 2 1 2 3 2 1 2 4
3 2 1 2 3 2 1 2 4
4 3 2 1 4 3 2 1 5
4 3 2 1 4 3 2 1 5
1 2 3 1 2 3 4 4
1 1 2 2 1 2 3 3
2 1 1 3 2 1 2 3
3 2 1 4 3 2 1 4
1 2 3 4 1 2 3 4
2 1 2 3 1 1 2 3
3 2 1 2 2 1 1 3
4 3 2 1 3 2 1 4
Menurut Definisi 2.65 diperoleh bahwadiam , sehingga menurut
pertidaksamaan (2) diperoleh bahwa . Akan dibuktikan ,
asumsikan , berarti terdapat pewarnaan pelangi di S, dengan
himpunan warna {1, 2, 3, 4, 5} di mana 1=warna merah, 2=warna biru,
3=warna hijau, 4=warna jingga, 5=warna ungu, seperti yang ditunjukkan pada
Gambar3.28.
Gambar3.28. Graf S Dengan PewarnaanPelangi
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
89
Akan ditunjukkan bahwa terdapat pewarnaan pelangi-5 pada graf.
Perhatikan tabel-tabeldi bawah ini.
Tabel 3.13. Lintasan pelangi setiap dua titik di
Titik
Lintasan pelangi
Tabel 3.14. Lanjutan dari Tabel 3.13
titik
Lintasan pelangi
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
90
Tabel 3.15. Lanjutan dari Tabel 3.14
Titik
Lintasan pelangi
Tabel 3.16. Lanjutan dari Tabel 3.15
Titik
Lintasan pelangi
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
91
Tabel- tabel di atas menunjukkan bahwa untuk setiap dua titik dan di S
terdapat lintasan pelangi di S. Jadi terdapat pewarnaan pelangi di
dengan kata lain .
Oleh karena maka menurut pertidaksamaan (2) diperoleh
bahwa . Akan dibuktikan . Asumsikan bahwa .
Tabel 3.13-Tabel 3.16 juga menunjukkan bahwa lintasan pelangi untuk
setiap dua titik dan di S juga merupakan pelangi geodesik dengan
panjang , sehingga pewarnaan pelangi-5 juga merupakan pewarnaan
pelangi kuat-5.
Jadi . Oleh karena graf R S
maka .Apabila dihubungkan dengan permasalahan
pendistribusian soal UN dapat disimpulkan bahwa jumlah minimal kelompok
pengawalan pendistribusian soal UN ke seluruh sekolah di kabupaten Jember
adalah 5 kelompok danwarna-warna pada pewarnaan pelangi-5 menyatakan
kelompok pengawalan, di mana warna 1=kelompok 1, warna 2=kelompok 2,
warna 3=kelompok 3, warna 4=kelompok 4 dan warna 5=kelompok 5, seperti
pada Gambar 3.29.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
92
Gambar3.29. Jalur Pendistribusian Soal UNKeSekolah-Sekolah
Contoh 3.36
Komisi pemilihan umum (KPU) merilis tahapan Pemilihan Kepala Daerah
(PILKADA) serentak pada tahun 2017. PILKADA gelombang kedua serentak
dilakukan pada tahun 15 Februari 2017. Salah satu Kota yang melakukan
PILKADA adalah Kota Bekasi. KPU Kota Bekasi menargetkan akan selesai
mendistribusikan kertas suara selesai sehari sebelum PILKADA. Pada Kota
Bekasi kertas suara akan didistribusikan pada 12 kecamatan. Kertas suara ini
bersifat rahasia sehingga membutuhkan tim pengawalan pendistribusan yang
terdiri dari unsur Polres, Satpol PP, Camat, Panitia Pengawas Pemilu
(PANWASLU), KPU Bekasi. Misal jalur untuk menjangkau kecamatan-
kecamatan direpresentasikan pada graf Xdi manaP merupakan pusat
penyimpanan kertas suara dan titik awal pendistribusian kertas suara,
sedangkan titik A, B, C, D, E, F, G, H, I, K mewakili kecamatan-kecamatan di
Kota Bekasi . Permasalahan yang muncul adalah adalah: Bagaimana cara
menentukkan banyaknya kelompok pengawalan pendistribusian kertas suara?
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
93
Gambar 3.30. Graf X
Penyelesaian:
Gambar 3.31. Graf
Diberikan graf seperti pada gambar di atasdan didefinisikanfungsi
dengan , , , , ,
, , , , dan .
Dapat ditunjukkan bahwa f adalah fungsi bijektif dari ke seperti
pada Gambar 3.32.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
94
Gambar 3.32.Fungsi Bijektif Dari Himpunan V(X) Ke V( )
Kemudian dapat ditunjukkan untuk setiap dua titik u dan v di X, u dan v
bertetangga jika dan hanya jika f(u)dan f(v) bertetangga di , yang
dijelaskan pada tabel di bawah ini. Jadi graf .
Tabel 3.10. Dua titik u dan v yang bertetangga di X dan dua titik f(u)dan f(v)
yang bertetangga di
Pada graf X Para graf
Titik A bertetangga dengan B Titik f(A) = bertetangga dengan f(B) =
Titik B bertetangga dengan C Titik f(B) = bertetangga dengan f(C) =
Titik C bertetangga dengan D Titik f(C) = bertetangga dengan f(D) =
Titik D bertetangga dengan D Titik f(D) = bertetangga dengan f(E) =
Titik E bertetangga dengan F Titik f(E) = bertetangga dengan f(F) =
Titik F bertetangga dengan G Titik f(F) = bertetangga dengan f(G) =
Titik G bertetangga dengan H Titik f(G) = bertetangga dengan f(H) =
Titik H bertetangga dengan I Titik f(H) = bertetangga dengan f(I) =
Titik I bertetangga dengan J Titik f(I) = bertetangga dengan f(J) =
Titik J bertetangga dengan K Titik f(J) = bertetangga dengan f(K) =
Titik K bertetangga dengan L Titik f(K) = bertetangga dengan f(L) =
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
95
Titik vdi merepresentasikan titik P diX, sedangkan titik
merepresentasikan kecamatan di Kota
Bekasi dan sisi-sisi di graf Y merepresentasikan jalur pendistribusian dari satu
kecamatan ke kecamatan lain.Permasalahan pendistribusian kertas suara
PILKADA dapat diselesaikan menggunakan konsep bilangan terhubung
pelangi dan bilangan terhubung pelangi kuat, sebab apabila menggunakan
konsep tersebut akan didapatkan minimum jumlah kelompok pengawalan
pendistribusian kertas suara.Pada permasalahan ini bilangan rc(X) dan src(X)
menyatakan minimum jumlah kelompok pengawalan pendistribusian kertas
suara.
Selanjutnya akan dicari rc(X) dan src(X), karenaX Y sehingga
rc(X)=rc( ) dan src(X)=src( ). Menurut Teorema 3.27 diperoleh bahwa
rc( )=3, sehingga terdapat pewarnaan pelangi pada , dengan
himpunan warna {1, 2, 3},di mana 1= warna merah, 2=warna biru, 3=warna
hijau, seperti pada Gambar 3.33.
Gambar 3.33. Graf Dengan Pewarnaan Pelangi
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
96
Sedangkan menurut Teorema 3.29 diperoleh bahwa ,
sehingga terdapat pewarnaan pelangi kuat pada dengan himpunan
warna {1, 2, 3, 4} di mana 1=warna merah, 2=warna biru, 3=warna hijau dan
4=warna unguseperti pada Gambar 3.34.
Gambar 3.34. Graf Dengan Pewarnaan Pelangi Kuat
Berdasarkan perhitungan sebelumnya didapatkan rc(X)=3 dan src(X)=4. Pada
permasalahan pendistribusian kertas suara rc(X)=3 menyatakan bahwa minimum
jumlah kelompok pengawal pendistribusian kertas suara adalah 3 kelompok.
Sedangkan src(X)=4 menyatakan bahwa minimum jumlah kelompok pengawal
pendistribusian kertas suara adalah 4 kelompok. Jadi untuk menyelesaikan
persoalan pendistribusian kertas suara akan lebih baik menggunakan bilangan
terhubung pelangi kuat karena akan lebih cepat mendistribusikan surat
menggunakan minimal 4 kelompok pengawalan dibanding 3 kelompok
pengawalan.Selanjutnya warna-warna pada pewarnaan pelangi-4 menunjukkan
kelompok pengawalan pendistribusian kertas suara di mana warna 1=kelompok 1,
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
97
warna 2=kelompok 2, warna 3=kelompok 3 dan warna 4=kelompok 4, seperti
pada gambar berikut.
Gambar 3.35. Jalur Pendistribusian Kertas Suara Dilengkapi Kelompok
Pengawalan Pendistribusian
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
98
BAB IV
PENUTUP
Pada bab ini dituliskan kesimpulan dari pembahasan bab-bab sebelumnya,
serta saran bagi penelitian selanjutnya.
A. Kesimpulan
Misalkan G adalah graf terhubung tak trivial.Bilangan keterhubungan
pelangi kuat pada grafGmerupakan bilangan bulat positif terkecil
sedemikian sehingga terdapat pewarnaan pelangi kuat padaG.
Untuk graf terhubung tak trivial dalam skripsi ini telah dibuktikan
beberapateorema:
Untuk menunjukkan hubungan antara diameter graf, bilangan
keterhubungan pelangi, bilangan keterhubungan pelangi kuat dan
ukuran graf, yaitu
.
Untuk menentukan apabila diketahui ,
yaitu
jika dan hanya jika .
Sedangkan untuk graf- graf khusus yang digunakan dalam skripsi ini telah
dibuktikan beberapa teorema untuk menentukan bilangan keterhubungan
pelangi kuat antara lain:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
99
Untuk graf pohon: Misalkan adalah graf terhubung tak trivial
dengan ukuran , maka
jika dan hanya jika adalah sebuah pohon.
Untuk graf siklus: Misalkan adalah graf siklus dengan banyak titik
di mana , maka
.
Untuk graf roda, bilangan keterhubungan pelangi pada graf roda
untuk adalah
.
Untuk graf bipartit,bilangan keterhubungan pelangi kuat dari graf
bipartit untuk suatu bilangan bulat s dant dengan adalah
.
Dalam kehidupan sehari-hari salah satu penerapan bilangan
keterhubungan pelangi kuat yang dibahas dalam skripsi ini yaitu pada
pendistribusian barang yang bersifat rahasia sehingga membutuhkan
kelompok pengawalan keamanaan, seperti soal UN dan kertas suara
PILKADA. Pada pendistribusian barangbilangan keterhubungan pelangi
kuat berguna dalam menentukan jumlah kelompok pengawalan.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
100
B. Saran
Bilangan keterhubungan pelangi kuat yang dibahas dalam skrpsi ini
merupakan bilangan keterhubungan pelangi kuat untuk graf dengan ukuran
kecil dan tidak semua bilangan pelangi tehubung kuat pada graf dibahas
dalam skripsi ini,sehingga masih terbuka untuk diteliti lebih lanjut
khususnya untuk graf dengan ukuran besar.
Selain itu sampai saat skripsi ini selesai ditulis, belum ada literatur
tentang algoritma untuk memudahkan mencari bilangan keterhubungan
pelangi suatu graf, sedangkan secara umum cukup sulit untuk menentukan
bilangan keterhubungan kuat terutama bila grafnya berukuran besar,
sehingaa masih terbuka kesempatan meneliti algoritma untuk mencari
bilangan keterhubungan pelangi kuat khususnya untuk graf dengan ukuran
besar.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
101
DAFTAR PUSTAKA
Buckley, F. and Lewinter, M. (2003). A Friendly Introduction To Graph
Theory.New Jersey: Pearson Education Inc.
Chartrand, G. and Zhang, P. (2009). Chromatic Graph Theory. New York: CRC
Press Company.
Chartrand, G.,Johns, G. L., McKeon, K.A. and Zhang, P. (2008).Rainbow
Connection in graphs.Math.Bohemica, 133(2): 85-98.
Dafik. (2015). Teori Graf, Aplikasi dan Tumbuhnya Keterampilan Berfikir
Tingkat Tinggi. Pidato Pengukuhan Guru Besar. Universitas Jember.
Epp, S.S. (2010). Discrete Mathematics with Applications.Fourth Edition.
Boston: Brooks/Cole Cengage Learning.
Jek, J.S. (2002). Matematika Diskrit dan Aplikasinya pada Ilmu Komputer.Edisi
Kedua. Yogyakarta: Andi Offset.
Johnsonbaugh,R. (1997).Discrete Mathematics. New Jersey: Prentice Hall Inc.
Susilo, F. (2012). Landasan Matematika. Yogyakarta: Graha Ilmu.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI