binom

Nastavna cjelina: BROJEVI Razred: IV

MATEMATIKA INDUKCIJA

Uvod

dodatni uvijeti

matematika indukcija

induktivni pristup

uvijek dao ispravne rezultate

deduktivni pristup

Dva osnovna naina logikog zakljuivanja

Deduktivni pristup kreemo od opih spoznaja i izvodimo istinite injenice u nekom konkretnom sluaju. Induktivni pristup kreemo od injenica koje vrijede u konkretnim primjerima i na temelju toga zakljuujemo o istinama koje vrijede u openitoj situaciji. Princip matematcke indukcije

Ako neka tvrdnja vrijedi za broj 1 i ako iz pretpostavke vrijedi za prirodni broj n slijedi da ta tvrdnja vrijedi i za slijedei broj n+1, tada vrijedi za svaki prirodni broj n.

Autor:E.M. Fotografije:E.M.


Koraci provoenja matematike indukcije

1. Dokai matematikom indukcijom da je za svaki prirodni broj n vrijedi odnosno pokazati istinitost formule-tvrdnje.

1. Baza indukcije T (1) za n = 1

vrijedi 2. Pretpostavka indukcije vrijedi za sve sve n-ove



3. Korak indukcije T (n+1) Trebamo dobiti formulu za broj n+1 koja je istovjetna zadanoj za broj n na desnoj strani:

2. Dokai matematikom indukcijom da je za svaki prirodni broj n




2. Pretpostavka indukcije vrijedi za sve sve n-ove 3. Korak indukcije T (n+1) Trebamo dobiti formulu za broj n+1 koja je istovjetna zadanoj za broj n na desnoj strani:



3. Dokai matematikom indukcijom da je za svaki prirodni broj n


Samostalno! 2. Pretpostavka indukcije vrijedi za sve sve n-ove 3. Korak indukcije T (n+1) Trebamo dobiti formulu za broj n+1 koja je istovjetna zadanoj za broj n na desnoj strani:

Samostalno provjeriti da li nakon sreivanja odgovara gornjem izrazu



4. Dokai matematikom indukcijom da za svaki prirodni broj n vrijedi

, 1. Baza indukcije T (1) za n = 1

vrijedi 2. Pretpostavka indukcije vrijedi za sve sve n-ove 3. Korak indukcije T (n+1)


, Samostalno! R:





vrijedi 2. Pretpostavka indukcije vrijedi za sve sve n-ove 3. Korak indukcije T (n+1)


, Samostalno! R:



Formule za zbrojeve potencija

8. Izraunaj



9. Izraunaj Samostalno! R: 10. Izraunaj Samostalno rijeite!

R:



BINOMNI POUAK

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )6321!3

221!2

2n1nn2n1nn2n1nn3n

1nn1nn1nn2n

n1n

! 1n

1n

10n

takoefi cj enabi nomni hneki haunanj e

NnR,ba,svakia

=

==

===

===

=

+++

+++=+

nb0an n1nb1a1n

n3b3na3n

2b2na2n1b1na1

n0bna0nnb

K

R

Z

a

Slobodni lan u razvoju binoma ne sadri x. Opi lan binomnog rastava:

Zbroj binomnih koeficijenata u razvoju potencije je .



1. Prikai pomou binomne formule:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1

4321

1234

4321

3424144

!4

4321

234

321

24144

!3

632

12

32

4144

41

4;1

1

1114

=////////=

==

=////=

==

==//=

==

====

=++

+++=

3n2n1nn4 4

2n1nn34

212!1nn

24

1!n

14

04

40x4 431-1x3

4

22x2413x1

404x041-x



( ) ( ) ( )

( )

( ) 1x42x 63x44x41-

1-

1-x

++=

++=

++++=

11144

1411114

x2x 63x44x

0x11-1x2x 63x44x

x

x



( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

154321

12345

54321

453525155

!5

54321

2345

4321

3525155

!4

1025321

32

45

321

25155

!3

1025

12

245

21

155

51

5;1

51551

111

=//////////=

==

=//////=

==

==////=

==

==//=

==

====

=+++

+++=+

4n3n2n1nn5 5

3n2n1nn45

2n1nn3 5

2!1nn

25

1!n

15

0x41x45312x3 5

23x2514x1

505x0 55 1x2

0 5

2

Samostalno nastavite rjeavati!



5x1

3x5

x10x103x55x

5x1x

++=

=++=

=

//+

/////

/+/

/=

=++

+++=

=+++

+++=

5x1

x1

1x11x13x5x

5x1

34x

1x13x

12x2x113x1

x134x5x

x10x

4

x11x

3

x12x

2

x13x1

1

x4x0

x15x1

x10x

4

x11x4

53

x12x3 5

2

x13x2

51

x4x1

50x15x0 5

13

51005

1

510051

52010

01

5

5

55

1)3



( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

154321

12345

54321

453525155

!5

54321

2345

4321

3525155

!4

1025321

32

45

321

25155

!3

1025

12

245

21

155

51

5;1

=//////////=

==

=//////=

==

==////=

==

==//=

==

====

4n3n2n1nn5 5

45

3 5

0 5

3n2n1nn

2n1nn

2!1nn

25

1!n

15

4. Odredi zbroj koeficijenata u razvoju binoma (5 x2 4 y3)7. a = 5 x2 b = - 4 y3

n = 7 R: 1



5. Zbroj binomnih koeficijenata u razvoju potencije

iznosi 128. Odredi lan koji sadri Zbroj binomnih koeficijenata u razvoju potencije je .

- Odreivanje lana koji sadri

Opi lan binomnog rastava: kbkna

k

n

( ) ( ) ( )

=

=

+=

kk31k72

3ak

k31-k72

3ak

k31-ak72

3a 7777k

( ) 5k31k723 akak 77

=

( ) 5k 31k7 =23



5asadri lan k =5

6. Odredi onaj lan u razvijenom obliku potencije , koji

ne sadri a.

kbkna

k

n1

kak

32

akka

k32

akk

a1k2a 151515

=k

=

1

15

1

15153

1opi lan binomnog rastava:



=

=

kaakkaak

kak

32

ak151515

32152)15(

32

1

15 kk

=

=

=

k3k230

akk3

k230ak

kaak151515

3230 k

=

=

=

3k530

ak3

3k-k230ak

33k-k230

ak151515

0=3k503

0=3k503

6530

30kk50

==

== 0

k

5 3

0n

1.

6

n7.

5n

4n

3n

2n

1n

6.5.4.3.2.



Sedmi lan ne sadri a. 8. Zbroj koeficijenata prvog, drugog i treeg lana u raspisu izraza

jednak je 46. Odredi onaj lan raspisa koji ne sadri x.

kbkna

k

n

Zbroj koeficijenata prvog, drugog i treeg lana je 46. 1. 2. 3.



Potencije binoma su uvijek pozitivne vrijednosti.

- Odreivanje lana koji ne sadri x

Opi lan binomnog rastava:

lan ne sadri x (slobodni lan)



9. U raspisu izraza binomni koeficijent treeg lana

za 44 je vei od binomnog koeficijenta drugog. Odredi slobodni lan. Slobodni lan u razvoju binoma ne sadri x. Uputa: Binomni koeficijent treeg lana za 44 je vei od binomnog koeficijenta drugog lana trei lan

drugi lan

Odreivanje slobodnog lana koji ne sadri x isti postupak kao u prethodnom zadatku

10. lan od

64 x1x

+ koji ne sadri x

n = 6

41x

21x

==

==

4 x1

x

b

a

__________ U binomnom razvoju broj lanova je za jedan vei od zadanog eksponenta.



n = 6 sedam lanova u binarnom razvoju Opi lan binomnog rastava:

Samostalno!

11. U prikazu binoma

nx12x

koeficijenti etvrtog i desetog se

podudaraju. Odredi onaj lan koji ne sadri x.

+

nx12

+x

a

2x=

1== xx1b

0n

1.

a) etvrti i deseti lan se podudaraju

9

n3n

10.4.,8

n,7n,6

n,5n,4

n,,2n,1

n,9.8.7.6.5.3.2.



( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )987654321

8n7n6n5n4n3n2n1nn9

3212n1nn

3

k211kn1nn

9n

=

=

=

=

+=

=

KK

9n

k

3n

k

kn

3n

0n

1.

9

n3n

10.4.,8

n,7n,6

n,5n,4

n,,2n,1

n,9.8.7.6.5.3.2.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

121239

938n7n6n5n4nn87654

9876548n7n6n5n4n3n

9876543218n7n6n5n4n3nn

321

9n

=

=+=

=

=

=

////=///

/

=

39

1

2n1n2n1n

nnn

n

3n



b) Nai lan koji ne sadri x 2x=a

1== xx1b

R:

12. Odredi 11. lan u raspisu potencije ( )13i2 gdje je i imaginarna jedinica.

i2

13

===

ban

ije

Samostalno !

13. Odredi 13. lan u raspisu potenc ( )153i1 gdje je i imaginarna jedinica.

Samostalno ! R: 331 695



TRIGONOMETRIJSKI PRIKAZ KOMPLEKSNOG BROJA

Prisjetimo se gradiva drugog razreda koji nam je potreban da savladamo Trigonometrijski prikaz kompleksnog broja

Algebarski prikaz kompleksni broj

1. Odredi realni i imaginarni dio svakog od kompleksnih brojeva:

1)



2)

3)

4)

5)



Potencije imaginarne jedinice

uionica br. 4 (mala ploa pored prozora)



2. Izraunaj: 1)

Broj 24 djeljiv je s 4 i zadovoljava izraz

2)

Broj 123 pri dijeljenju sa 4 daje ostatak 3. i zadovoljava izraz

Kompleksna ravnina

(4, 7) Prvi element ureenog para: 4 Drugi element ureenog para: 7

Napiite jedan ureen par ?

SVAKI KOMPLEKSNI BROJ MOE SE ZAPISATI KAO UREEN PAR REALNIH BROJEVA. Prvi element ureenog para je realni dio kompleksnog broja, a drugi element ureenog para je imaginarni dio. z = 2 + 3i = M (2, 3) Re (z) = 2 Im (z) = 3



x os - realna os (realni brojevi = realni dio kompleksnog broja) y os - imaginarna os (imaginarni brojevi = imaginarni dio kompleksnog broja) Kompleksna ravnina ili Gaussova ravnina je koordinatna ravnina u kojoj su smjeteni svi kompleksni brojevi.

8

6

4

2

-2

-4

-6

-8

-15 -10 -5 5 10 15

z4 = - i

z3 = - 3

z2 = 4 -2i = M

z1= 1 + 4i

z4 = - i

z3 = - 3

z2 = 4 - 2i

z1 = 1 + 4i

imaginarna os

realna os2 (4, -2)

M1 (1, 4) =

Re (z4) = 0Im (z4) = -1 M4 (0, -1) = z4

Re (z3) = - 3Im (z3) = 0 M3 (-3, 0) = z3

Re (z2) = 4Im (z2) = -2 M2 (4, -2) = z2

Re (z1) = 1Im (z1) = 4 M1 (1, 4) = z1

z = x + yi - kompleksni broj Re (z) = x Im (z) = y ureenom paru (x, y) odgovara toka M (x, y)

3. Napiite ureene parove kompleksnih brojeva: a) z = -2 + 2i

Re (z) = -2 Im (z) = 2

ureen par kompleksnog broja je (-2, 2)



b) z = - 4

Re (z) = - 4 Im (z) = 0

ureen par je (- 4, 0)

c) z = i

Re (z) = 0

Im (z) =

ureen par kompleksnog broja je (0, )

4. Odredite skup toaka z kompleksne ravnine za koje vrijedi Re (z) = Im (z + i) Samostalno!

Trigonometrijski prikaz kompleksnog broja Kartezijeve i polarne koordinate vezane su relacijama:

Trigonometrijski prikaz kompleksnog broja Kut se naziva argument kompleksnog broja.



Modul kompleksnog broja r

Udaljenost toke M (X, Y) od ishodita koordinatnog sustava je modul kompleksnog broja odnosno pozitivan realan broj

r=|z| = modul

j

M (x, y)z

y

x

Imaginarnaos

realna os

Kada su zadana dva kompleksna broja ,

tada je njihova udaljenost

5. Prikai u kompleksnoj ravnini skup toaka odreenih uvjetima 1. |z| = |z + i| Uputa:

Samostalno! 6. Prikai u kompleksnoj ravnini skup toaka odreenih uvjetima | z - 1 - i | = | z + 2 + i | Samostalno!


Nastavna cjelina: Razred: IV


BROJEVI

7. Odredi argument i modul kompleksnog broja koji je a) suprotan; b) konjugiran; c) reciproan kompleksnog broja Uputa:

Samostalno! R: a)

b)

c)

8. Ako je

koliko je Samostalno! R:

Potovani uenici !

U daljnjem vremenskom periodu nadopuniti u s jo rijeenih zadataka.

binom

Documents