binomial dan multinomial
TRANSCRIPT
-
7/25/2019 Binomial Dan Multinomial
1/25
BINOMIAL danMULTINOMIAL
Tim Pengantar Matematika
-
7/25/2019 Binomial Dan Multinomial
2/25
Segitiga Pascal dan Kombinasi
Sebetulnya, dapat ditemukan dari perkalian secara langsung. Dengan mudah,
kita bisa mengekspansikan , , dan selanjutnya seperti di bawah karena
pangkatnya cukup kecil.
=
=
= =
= =
-
7/25/2019 Binomial Dan Multinomial
3/25
Perhatikan pola dari suku-suku . Pasti selalu dimulai dari suku . (Ini
sebetulnya merupakan perjanjian saja). Lalu, suku berikutnya, pangkat dari a akan
berkurang 1, namun pangkat dari b akan naik sebesar 1. Jadi, dapat dideskripsikan
sebagai berikut.
= . + . + . + ... + . + . .
-
7/25/2019 Binomial Dan Multinomial
4/25
Lalu, untuk menentukan koefisien (c) tiap suku kita dapat menggunakansegitiga Pascal.
_____________________1
__________________1______1_____________==> koefisien untuk
_______________1_____2______1__________==> koefisien untuk
_____________1____3_____3______1_______==> koefisien untuk
___________1___4_____6______4____1_____==> koefisien untuk
_________1___5____10____10_____5____1___==> koefisien untuk
______1____6___15____20_____15____6___1_ ==> koefisien untuk
-
7/25/2019 Binomial Dan Multinomial
5/25
Namun, cara di atas hanya dipakai untuk pangkat yang kecil (sedikit).
Sulit untuk menjabarkan segitiga Pascal untuk baris yang sangat banyak
(untuk pangkat yang besar). Jadi, kita gunakan kombinasi.Cara untuk mengekspansikan dengan kombinasi inilah
yang disebut teorema binomial.
-
7/25/2019 Binomial Dan Multinomial
6/25
Hubungan kombinasi dengan teorema binomial
Perhatikan ilustrasi berikut.
Dalam aljabar, kita tahu bahwa
= .
Penjabaran dari merupakan perkalian dari 3 faktor.
=
-
7/25/2019 Binomial Dan Multinomial
7/25
-
7/25/2019 Binomial Dan Multinomial
8/25
Jika dikalikan menjadi:; ; ; ; ; ; ;
Jika semua suku-suku diatas dijumlahkan,
maka hasilnya adalah
Bilangan 3 yang merupakan koefisien dari
muncul dari pemilihan adari 2 faktor dan
bdari 1 faktor sisanya. Hal ini bisa dilakukan
dalam atau cara. Cara yang sama bisa
dilakukan untuk memperoleh koefisien yang
dalam hal ini merupakan pemilihan a dari
0 faktor dan bdari 3 faktor lainnya yang dapat
dilakukan dalam atau cara, dan seterusnya.
-
7/25/2019 Binomial Dan Multinomial
9/25
-
7/25/2019 Binomial Dan Multinomial
10/25
TEOREMA BINOMIAL
Untuk sembarang x dan y dengan n bilangan bulat positif
1 2 2( ) ... ...1 2
n n n n n k k nn n n n
x y x x y x y x y yk n
1 2 2( 1) ( 1)( 2)...( 1)... ...
2! !
n n n n k k nn n n n n n k x nx y x y x y y
k
0
nn k k
k
nx y
k
-
7/25/2019 Binomial Dan Multinomial
11/25
Bentuk umum suku ke-(k+1) dari penjabaran ( )nx y adalah
n k kn
x yk
atau( 1)( 2)...( 1)
!
n k kn n n n k x yk
2(1 ) 1 ... ...1 2
n k nn n n nx x x x x
k n
2( 1) ( 1)( 2)...( 1)1 ... ...2! !
k nn n n n n n k nx x x x
k
0
n
k
k
nx
k
-
7/25/2019 Binomial Dan Multinomial
12/25
Bentuk umum suku ke-(k+1) dari penjabaran (1 )nx adalah
kn
xk
atau( 1)( 2)...( 1)
!
kn n n n k x
k
2
(1 ) 1 ( ) ( ) ... ( ) ... ( )1 2
n k nn n n n
x x x x xk n
2( 1) ( 1)( 2)...( 1)1 ( ) ( ) ... ( ) ... ( )2! !
k nn n n n n n k n x x x x
k
0
( )n
k
k
nx
k
-
7/25/2019 Binomial Dan Multinomial
13/25
Bentuk umum suku ke-(k+1) dari penjabaran (1 )nx adalah
( )kn
xk
atau ( 1)( 2)...( 1) ( )
!k
n n n n k x
k
-
7/25/2019 Binomial Dan Multinomial
14/25
Untuk sembarang x dan y denganp
qbilangan pecahan positif
1 2 32 3
1 1 2( ) ...
2! 3!
p p p p p
q q q q q
p p p p p
q q q q qpx y x x y x y x y
q
-
7/25/2019 Binomial Dan Multinomial
15/25
Bentuk umum suku ke-(k+1) dari penjabaran ( )
p
qx y adalah
1 2 ... 1
!
p kkq
p p p p
kq q q qx y
k
2 3
1 1 2
(1 ) 1 ...2! 3!
p
q
p p p p p
q q q q qpx x x xq
-
7/25/2019 Binomial Dan Multinomial
16/25
Bentuk umum suku ke-(k+1) dari penjabaran (1 )
p
qx adalah
1 2 ... 1
!
k
p p p p
kq q q qx
k
-
7/25/2019 Binomial Dan Multinomial
17/25
Untuk sembarang x dan y dengan pangkat bilangan negative
1 2 2 3 3( )( 1) ( )( 1)( 2)( ) ( ) ...2! 3!
n n n n nn n n n nx y x n x y x y x y
-
7/25/2019 Binomial Dan Multinomial
18/25
Bentuk umum suku ke-(k+1) dari penjabaran ( ) nx y adalah
( )( 1)( 2)...( 1)!
kn n n n k xk
-
7/25/2019 Binomial Dan Multinomial
19/25
Beberapa bentuk penjabaran binomial yang harus diingat1 2 3(1 ) 1 ... ...kx x x x x 2 2 3
(1 ) 1 2 3 4 ... ( 1) ...k
x x x x k x
3 2 3 ( 1)( 2)(1 ) 1 3 6 10 ... ...
2!
kk kx x x x x
-
7/25/2019 Binomial Dan Multinomial
20/25
-
7/25/2019 Binomial Dan Multinomial
21/25
Theorema Multinomial
Multinomial merupakan perluasan dari Binomial.
Multinomial adalah jumlahan t buah suku
berbeda, yaitu x1, x2, , xt.
Binomial adalah kasus khusus multinomial untuk
t=2
-
7/25/2019 Binomial Dan Multinomial
22/25
Banyaknya suku pada
TEOREMA MULTINOMIAL
1 2
1 21 2 1 2, ,...,
1 2
( ... ) ..., , ...,
m
m
kk kn
m mk k k
m
nx x x x x x
k k k
1 2
1 21 2, ,...,
1 2
!...
! !... !
m
m
kk k
mk k k
m
nx x x
k k k
dengan1 2
...m
k k k n
n
1adalah)...( 21
mn
xxxn
m
-
7/25/2019 Binomial Dan Multinomial
23/25
Contoh
1. Uraikan ekspresi di bawah ini dengan menggunakan
teorema multinomial:
a. (2x+5y-z)5
b . (x1+ x2+ x3+ x4+ x5)6
2. Tentukan koefisien dari dalam ekspresi
(x1+ x2+ x3+ x4+ x5)10
4
5
3
43
2
1 xxxx
-
7/25/2019 Binomial Dan Multinomial
24/25
Latihan:
1.
Ekspansikan
2. Ekspansikan
3. Ekspansikan
4. Berapakah suku keenam dari ekspansi
5. Berapakah suku ke-4 dari ekspansi
6. Berapakah suku ke-7 dari ekspansi
7. Berapakah suku yang mengandung dari ekspansi
-
7/25/2019 Binomial Dan Multinomial
25/25
1. Berapakah koefisien suku yang mengandung dari ekspansi
2.
Berapakah koefisien suku yang mengandung dalam ekspansi
3. Tentukan koefisien dari dalam ekspansi
4. Berapakah koefisien suku dari ekspansi
5.
Tentukan koefisien suku yang mengandung dalam ekspansi
6. Tentukan nilai dari
7. Jika
A = banyaknya suku dari ekspansi
B = banyaknya suku dari ekspansi
Maka, berapakah selisih A dan B?