7/28/2019 Binomialverteilung

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Binomialverteilung

Aufgaben

Aufgabe 1Eine faire Mnze wird 10mal geworfen. Wenn dabei 3mal Wappen erscheint gewinnen Sie.

Wie groist die Wahrscheinlichkeit dass Sie gewinnen?

Aufgabe 2Eine faire Mnze wird 11mal geworfen. Wenn dabei 2 oder 3 mal Wappen erscheint gewin-nen Sie. Wie groist bei diesem Spiel Ihre Gewinnwahrscheinlichkeit?

Aufgabe 3Die Wahrscheinlichkeit dafr dass ein Mensch die Blutgruppe 0 hat, sei 40 %.

a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit haben von 10 zufllig ausgewhlten Personen strickt we-niger als 4 die Blutgruppe 0?

b) Angenommen die Wahrscheinlichkeit dafr Trger eines positiven Rhesusfaktor zu seinsei 90% unabhngig von der Blutgruppe. Mit welcher Wahrscheinlichkeit haben dann echtweniger wie 3 die Blutgruppe 0+?

Aufgabe 4Die Wahrscheinlichkeit dafr, dass ein Mensch die Blutgruppe A+ hat ist 37 %, bei 0+ ist sie35 %, bei B+ ist sie 9 % und bei AB+ betrgt sie 4 %. Wie gro ist die Wahrscheinlichkeit dasvon 10 zufllig ausgewhlten Studenten

a) genau einer Rhesus negativ hat?

b) strikt weniger als 2 Rhesus negativ haben?

Aufgabe 5Die Wahrscheinlichkeit einer Knabengeburt betrgt 18/35. Innerhalb einer Studie werden Fa-milien mit 3 Kindern untersucht.

a) Wie gro ist die Wahrscheinlichkeit das es in einer Familie zwei Mdchen und einenKnaben?

b) Wie gro ist die Wahrscheinlichkeit dafr das eine Familie 3 Knaben hat?

Aufgabe 6Die Wahrscheinlichkeit einer Knabengeburt betrgt 18/35. Innerhalb einer Studie werden Fa-milien mit 6 Kindern untersucht.

a) Berechnen Sie jeweils die Wahrscheinlichkeit fr i = 0, . . . 6 Knaben pro Familie.

b) Fertigen Sie anhand der Ergebnisse aus Aufgabenteil a) ein Histogramm an. WelcherVerteilung hnelt dieses Histogramm?

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Lsungen

Lsung zu Aufgabe 1Die Wahrscheinlichkeit das Wappen bzw. Kopf erscheint ist gleich,d.h. p = 1

2und q = 1p = 1

2.

P(X = k) = n

kp

k(1 p)nk

k = 3 n = 10 p = 12

q = 12

P(X = 3) =

10

3

1

2

3 12

7

=

10

3

1

2

10

= 120 1

1024

0.1171875

Die Wahrscheinlichkeit zu gewinnen betrgt ca. 11.72 % .

Lsung zu Aufgabe 2Die Wahrscheinlichkeit das Wappen bzw. Kopf erscheint ist gleich,d.h. p = 1

2und q = 1p = 1

2.

P(X = k) =

n

k

pk(1 p)nk

k = {2, 3} n = 11 p = 12 q = 12

P(X = 2 X = 3) =

11

2

1

2

2 12

9+

11

3

1

2

3 12

8

=

11

2

1

2

11+

11

3

1

2

11

= 55 1

2048+ 165

1

2048

=220

2048

0.10742188

Die Wahrscheinlichkeit zu gewinnen betrgt ca. 10.74 % .

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Lsung zu Aufgabe 3

a) Die Wahrscheinlichkeit fr die Blutgruppe 0 ist p = 0.4 und die Wahrscheinlichkeit nichtdieser Gruppe anzugehren betrgt daher q = 1 p = 0.6.

P(X = k) =

nk

pk(1 p)nk

k < 4 n = 10 p = 0.4 q = 0.6

P(X < 4) =

10

0

(0.4)0 (0.6)10 +

10

1

(0.4)1 (0.6)9

+

10

2

(0.4)2 (0.6)8 +

10

3

(0.4)3 (0.6)7

= 0.0060466176 + 0.040310784 + 0.12093235 + 0.21499085 0.37502458

Die Wahrscheinlichkeit dafr das weniger als 4 Personen die Blutgruppe 0 haben, ist ca.37.5 %.

b) Unter der Annahme, dass 90 % einen positiven Rhesusfaktor besitzen, ist p = 0.4 0.9 =0.36 und q = 1 p = 0.64.

P(X = k) =n

k

pk(1 p)nk

k < 3 n = 10 p = 0.36 q = 0.64

P(X < 3) =

10

0

(0.36)0 (0.64)10 +

10

1

(0.36)1 (0.64)9

+

10

2

(0.36)2 (0.64)8

= 0.011529214 + 0.06485182 + 0.164156175

0.240537209

Die Wahrscheinlichkeit dafr das weniger als 3 Personen die Blutgruppe 0+ haben, istca. 24.05 %.

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Lsung zu Aufgabe 4

a) Zuerst einmal wird bestimmt welchen Wert p hat, d.h. die Wahrscheinlichkeit Rhesusnegativ zu sein. p = 1 0.37 0.35 0.09 0.04 = 0.15 und q = 1 p = 0.85.

P(X = k) =

nk

pk(1 p)nk

k = 1 n = 10 p = 0.15 q = 0.85

P(X = 1) =

10

1

(0.15)1 (0.85)9

= 10 0.15 0.859

0.34742542

Die Wahrscheinlichkeit dafr betrgt ca. 34.74 %.

b)

P(X = k) =

n

k

pk(1 p)nk

k < 2 n = 10 p = 0.15 q = 0.85

P(X < 2) =10

0

(0.15)

0

(0.85)

10

+10

1

(0.15)

1

(0.85)

9

= 1 0.8510 + 10 0.15 0.859

0.1968744 + 0.34742542

0.54429982

Die Wahrscheinlichkeit dafr betrgt ca. 54.4 %, es ist also wahrscheinlicher weniger als2 als 2 oder mehr zu finden.

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Lsung zu Aufgabe 5

a) Die Wahrscheinlichkeit einer Knabengeburt ist p = 18/35 und die Anzahl n ist 3, diegesuchte Anzahl Knaben k ist 1.

P(X = k) =

nk

pk(1 p)nk

k = 1 n = 3 p = 18/35 q = 17/35

P(X = 1) =

3

1

(p)1 (1 p)2

=

3

1

18

35

17

35

2

= 3 0.12132945

= 0.36398834

Die Wahrscheinlichkeit dafr betrgt ca. 36.4 %.

b)

P(X = k) =

n

k

pk(1 p)nk

k = 3 n = 3 p = 18/35 1 p = q = 17/35

P(X = 3) =

33

1835

3

1735

0

= 1

18

35

3 1

= 0.13602332

Die Wahrscheinlichkeit das alle drei Kinder Knaben sind betrgt ca. 13.6 %.

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Lsung zu Aufgabe 6

a) Die Wahrscheinlichkeit einer Knabengeburt ist p = 18/35 und die Anzahl n ist 6, diegesuchte Anzahl Knaben k = i mit i = 0, . . . 6. Insgesamt mssen hier also sieben Werteberechnet werden.

P(X = k) = n

kp

k(1 p)nk

P(X = 0) =

6

0

18

35

0 1735

6

0.01313062

P(X = 1) =

6

1

18

35

1 1735

5

0.08341806

P(X = 2) =

6

2

18

35

2 1735

4

0.22081251

P(X = 3) =

6

3

18

35

3 1735

3

0.3117353

P(X = 4) =

64

1835

4

1735

2

0.24755451

P(X = 5) =

6

5

18

35

5 1735

1

0.104846616

P(X = 6) =

66

18356

17350

0.018502344

b) Das Histogramm hnelt der Normalverteilung.

Quelle: StochastikAutor: Sascha Frank

Mit freundlicher Untersttzung von: Whitecar Sport

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