1.- La diferencia de los cuadrados de dos cantidades dividida por la suma de las cantidades es igual y la diferencia de las cantidades

2.- La diferencia de los cuadrados de dos cantidades dividida por la diferencia de las cantidades es igual a la suma de las cantidades.

BINOMIO DE NEWTON O TEOREMA DEL BINOMIO

(x+y)n = xn + nxn-1y + n(n-1) x n-2 y 2 + n(n-1)(n-2)x n-3 y 3 + . . . + nxyn-1+yn

2! 3!

NOTA: El factorial de un número es el producto obtenido al multiplicar un número dado por todos los enteros sucesivos inferiores

BINOMIO DE NEWTON: (4b+c)5 = (4b)5 + 5 (4b)4c + 5(4)(4b)3c2 + 5(4)(3)(4b)2c3 + 5(4b)c4+c5 =

= 1024b5 + 1280b4c + 640b3c2 + 160b2c3 + 20bc4 + c5

TRIANGULO DE PASCAL (4b+c)5 = 4b)5 + 5(4b)4c + 10(4b)3c2 + 10(4b)2c3 + 5(4b)c4 + (c)5 == 1024b5 + 1280b4c+ 640b3c2 + 160b2c3 + 20bc4 + c5

COCIENTES NOTABLES

Se llaman cocientes notables a ciertos cocientes que obedecen a reglas fijas y que pueden ser escritos por simple inspección.

1.- COCIENTE DE LA DIFERENCIA DE LOS CUADRADOS DE DOS CANTIDADES ENTRE LA SUMA O LA DIFERENCIA DE LAS CANTIDADES

Sea el cociente:

1) = a – b

2) = a + b

EJEMPLOS:

Hallar por simple inspección el cociente de :

= x – 2 = 3+x2 = (x+y)+z

2.- COCIENTE DE LA SUMA O DIFERENCIA DE LOS CUBOS DE DOS CANTIDADES ENTRE LA SUMA O LA DIFERENCIA DE LAS CANTIDADES.

Sea el cociente

1.- 2.-

De lo anterior, se deduce que:

1. La suma de los cubos de dos cantidades divididas por la suma de las cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad, menos el producto de la primera por la segunda mas el cuadrado de la segunda cantidad.

2. La diferencia de los cubos de dos cantidades dividida por la diferencia de las cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad, mas el producto de la primera por la segunda, mas el cuadrado de la segunda cantidad

Hallar por simple inspección el resultado de:

3.- COCIENTE DE LA SUMA O DIFERENCIA DE POTENCIAS IGUALES DE DOS CANTIDADES ENTRE LA SUMA O DIFERENCIA DE LAS CANTIDADES.

I.

II.

III.

IV. La división es inexacta

NOTA: Una suma de cuadrados es indeductible (no se puede factorizar)

De lo anterior se deduce que:

La diferencia de potencias iguales a4-b4 es siempre divisible

FACTORIZACION

II.1. CONCEPTO DE FACTORIZACION Y FACTORIZACION POR UN FACTOR COMUN-

Descomponer en factores o factorizar una expresión algebraica es convertirla en el producto indicado de sus factores.

Para factorizar expresiones algebraicas por factor común y por agrupación de términos primeramente se tiene que calcular el máximo común divisor (factor común) y posteriormente hacer la factorización.

MAXIMO COMUN DIVISOR (M.C.D.).. El máximo común divisor de dos o más expresiones algebraicas es la expresión algebraica de mayor coeficiente numérico y de mayor grado que está contenida exactamente en cada una de ellas.

Ejemplo: El M.C.D. de 10a2b y 20a3 es

M.C.D. = 10a2 porque 10a2 divide exactamente a 10a2b y 20a3

EL M.C.D. DE 8a3n2, 24an4 y 40 a3n4p M.C.D. = 8an2

REGLA PARA CALCULAR EL M.C.D.- Se descomponen los coeficientes en sus factores primos y el máximo común divisor es el producto de todos los factores y literales comunes con su menor exponente.

Ejemplo: Hallar el M.C.D. de:

36a2b4, 48a3b3c y 60a4b3m M.C.D. 2.3.a2.b3 = 12a2b3

Posible por a-b siendo “n” cualquier número entero, ya sea par o impar.

2.- La diferencia de potencias iguales an-bn es divisible por a+b siendo “n” un número entero.

3.- La suma de potencias iguales an+bn es divisible por a+b siendo “n” un número entero impar.

4.- La suma de potencias iguales; an+bn nunca es divisible por a+b ni por a-b siendo “n” un número entero par.

Ejemplos: Hallar por simple inspección el cociente de:

36 2 48 2 60 218 2 24 2 30 2 9 2 12 2 15 3 3 3 6 2 5 5 1 = 22.3° 3 3 1 =22.3.5

1 = 24.3

Hallar el M.C.D. de 12x2yz3, 18xy2z, 24x3yz2 M.C.D. = 6xyz 42am2n, 56m3n3x, 70 m4n2y M.C.D. = 14 m2n

FACTORIZACION DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS POR FACTOR COMUM(CASO No. 1)

REGLA.- Se obtiene el M.C.D. de todos los términos de la expresión dada. El M.C.D. o factor común se ubica como coeficiente de una pareja de paréntesis y se divide cada uno de los términos de la expresión algebraica entre la expresión algebraica dada como el factor común y sus coeficientes se van colocando dentro de los paréntesis o signos de agrupación.

Factorizar: 36a2b4 + 48a3b3 – 60a4b3m =

f.c = a ax+ay-az = a

= a (x+y-z) FORMULA

F.C. = 12a2b2 36a2b4+49a3b3-60a4b3m=

12a2b3 =12a2b3

=12a2b3(3b+4a-5a2m)

Factorizar: m (x+2)+x+2 = m (x+2) + (x+2) = (x+2) (m+1)

m(x+2)+ (x+2) = (x+2)

II.2.- FACTORIZACION DE EXPRESIONES ALEBRAICAS POR AGRUPACION DE TERMINOS (CASO No. 2)

Frecuentemente un polinomio que contiene cuatro o más términos se puede reducir a una forma factorizable mediante una adecuada agrupación de sus términos.

La agrupación puede hacerse generalmente de más de un modo con tal que los dos términos que se agrupan tengan algún factor común y siempre que las cantidades que quedan dentro del paréntesis después de sacar el factor común en cada grupo sean exactamente iguales. Si esto no es posible lograrlo la expresión dada no se puede descomponer por este método.

Factorizar la expresión:

ax+bx+ay+by = (ax+bx) + (ay+by) = x (a+b) + y(a+b) = (a+b) (x+y) f.c.= x f.c.= y

Factorizar la expression

2x2-3xy-4x+6y = (2x2-4x) – (3xy-6y) = 2x (x-2) – 3y (x-2) = f.c.=2x f.c.=3y (x-2) (2x-3y)

II.3. FACTORIZACION DE UN TRINOMIO CUADRADO PERFECTO(CASO No. 3)

Los trinomios x2+2xy+y2 y x2-2xy+y2 son cuadrados perfectos y en cada caso se observa que dos de los términos son cuadrados perfectos y positivos y que el tercer término es el doble producto es positivo, el trinomio es el cuadrado de la suma de las dos raíces cuadradas si el término del doble producto es negativo, el trinomio es el cuadrado de la diferencia de las dos raíces cuadradas.

x2+2xy+y2 = (x+y) (x+y) = (x+y)2

x2-2xy+y2 = (x-y) (x-y) = (x-y)2

Producto de dos Binomios

Ejemplos: Factorizar la expresión 9x2 – 30x + 25 = (3x-5)2

(m+n)2-2(a-m)(m+n)+(a-m)2 = (m+n) - (a-m) (m+n)-(a-m) =

= (m+n-a+m) (m+n-a+m) = (2m+n-a) (2m+n-a)

II.4.- FACTORIZACION DE UMA DIFERENCIA DE CUADRADOS (CASO No. 4)

En los productos notables se vio que la suma de dos cantidades multiplicadas por su diferencia es igual al cuadrado del minuendo menos el cuadrado del sustraendo, o sea, (a+b) (a-b) = a2-b2 (diferencia de cuadrados)a2-b2 = (a+b) (a-b) binomios conjugados

REGLA PARA FACTORIZAR UNA DIFERENCIA DE CUADRADOS

Se extrae la raíz cuadrada al minuendo y la raíz del sustraendo

Ejemplos: Factorizar o descomponer en dos factores:

a2-4 = a2-22 = (a+2) (a-2)

4x2n-

CASO ESPECIAL: La regla empleada en los ejercicios anteriores es aplicable a las diferencias de cuadrados en que uno o ambos cuadrados son expresiones compuestas.

EJEMPLOS: Descomponer en dos factores y simplificar, si es posible:

(x+y)2-a2 = (x+y) +a (x-y)-a = (x+y+a) (x+y-a)

25(x-y)2 -4 (x+y)2 = 5(x-y)+2 (x+y) 5(x-y)+2(x+y) = 5x-5y+2x+2y

5x-5y-2x-2y = (7x-3y) (3x-7y)

II.5 FACTORIZACION DE CASOS ESPECIALES (COMBINACION CASOS 3 Y 4)

Para factorizar este tipo de expresiones algebraicas que pueden ser de cuatro términos o seis términos se agrupan tres términos que forman un trinomio cuadrado perfecto y la expresión resultante se convierte en una diferencia de cuadrados perfectos que se factoriza como tal.

Ejemplos: Factorizar o descomponer en dos factores

4a2-x2+4x-4 = 4a2-(x2-4x+4) = 4a2-(x-2)2 = 4a2-(x-2)2 = 2a+(x-2) 2a-(x-2) == (2a+x-2) (2a-x+2)

a2+4 - 4a-9b2 = (a2-4a+4)-9b2 = (a-2)2-9b2 = (a-2)+3b (a-2)-3b =(a-2+3b) (a-2-3b) = (a+3b-2) (a-3b-2)

II.6.- FACTORIZACION DE TRINOMIOS CUADRADOS NO PERFECTOS POR ADICION Y SUSTRACION (CASO No. 5)

Para factorizar trinomios cuadrados que no son perfectos, se les obliga matemáticamente a que cumplan la condición para que sean trinomios cuadrados perfectos, estos se logran sumando y restando al mismo tiempo la misma cantidad que les falte para que sean trinomios cuadrados perfectos, pero al factorizarse se convierten en una diferencia de cuadrados perfectos que tendremos que factorizar inmediatamente.

EJEMPLOS. Factorizar o descomponer en dos factores

a4+a2+1 = a4a2+a2+1-a2 = a4+2a2+1-a2 = (a2+1)2-a2 = (a2+1)+a (a2+1)-a == (a2+a+1) (a2-a+1) trinomio cuadrado perfecto diferencia de cuadrados

a4+2a2+9 = a4+2a2+4a2+9-4a2 = (a4+ba2+9)-4a2 = (a2+3)2 -4a2 = (a2+3)+2ª (a2+3)-2a = (a2+2a+3) (a2-2a+3)

II7.- FACTORIZACION DE UN TRINOMIO DE LA FORMA x2+bx+c (CASO No. 6)

1. El coeficiente del primer término es 12. El primer término es una letra cualquiera elevada al cuadrado3. El segundo término tiene la misma letra que el primero con exponente 1 y su

coeficiente es una cantidad cualquiera positiva o negativa4. El tercer término es independiente de la letra que aparece en el 1° y 2° término y

es una cantidad cualquiera positiva o negativa.

REGLA PARA FACTORIZAR UN TRINOMIO DE LA FORMA x2+bx+c

1. El trinomio se descompone en dos factores binomios cuyo primer término es “x”, o sea, la raíz cuadrada del primer término del trinomio

2. En el primer factor después de “x” se escribe el signo del segundo término del trinomio y en el segundo factor después de “x” se escribe el signo que resulta de multiplicar el signo del segundo término del trinomio por el signo del tercer término del trinomio.

3. Si los 2 factores binomios tienen en el medio SIGNOS IGUALES se buscan dos números cuya suma sea el valor absoluto del segundo término del trinomio y cuyo producto sea el valor absoluto del tercer término del trinomio. Estos números son los segundos términos de los binomios.

4. Si los dos factores binomios tienen en el medio SIGNOS DISTINTOS se buscan dos números cuya diferencia sea el valor absoluto del segundo término del trinomio y cuyo producto sea el valor absoluto del tercer término del trinomio. El mayor de estos números es el segundo término del primer binomio, y el menor, el segundo término del segundo binomio.

EJEMPLOS: Factorizar o descomponer en dos factores:

x2 + 7x + 10 = (x+5) (x+2)x2 + 14x + 13 = (x+13) (x+1)x2 + 6x - 216 = (x+18) (x-12)x2 - 5x + 6 = (x-3) (x-2)CASOS ESPECIALES: El procedimiento anterior es aplicable a la factorización de trinomios que siendo de la forma x2+bx+c difieren en algo de los estudiados anteriormente.

EJEMPLOS: Factorizar:

x4 + 5x2 + 4 = (x2 + 4) (x2 + 1)x6-6x3-7 = (x3-7) (x3+1)(c+d)-18(c+d)+65 = (c+d)-13 (c´d)-5 = (c+d-13) (c+d-5)

II.8.- FACTORIZACION DE TRINOMIOS DE LA FORMA ax2 + bx+c (CASO No. 7)Estos trinomios se diferencian de los trinomios estudiados ene. Caso anterior en que el primer término tiene un coeficiente distinto de 1.

EJEMPLOS: Factorizar:

2x2+3x-2 = 2 (2x2+3x-2) = 4x2+2 (3x)-4 = (2x)2+3 (2x)-4 = (2x+4) (2x-1) =

= mediante un proceso

2x2+3x-2 = (2x-1) (x+2) Por simple inspección

3x2-5x-2 = 3 (3x2-5x-2) = 9x2-3(5x)-6 = (3x)2 -5(3x)-6 = (3x-6)

(3x+1) =

3x2-5x-2 = (3x+1) (x-2)

CASOS ESPECIALES:

1.- Factorizar 15x4 – 11x2-12Multiplicando por 15: (15x2)2 – 11 (15x2) – 180

Descomponiendo este trinomio el primer término de cada factor será la raíz cuadrada de

(15x2), o sea 15x2:15x2-20) (15x2+9)

Dividiendo por 15:

2.- Facturar 12x2y2 + xy-20

Multiplicando por 12: (12xy)2 + 1 (12xy)-240

Factorizando este trinomio: (12xy+16) (12xy-15)

Dividiendo por 12:

3.- Facturar 6x2-11ax-10a2

Multiplicando por 6: (6x)2-11a(6x)-60a2

Facturando este trinomio: (6x-15ª) (6x+4a)

Dividiendo por 6:

4.- Facturar 20-3x-9x2

Ordenando el trinomio en forma descendente respecto de x: -9x2-3x+20

Introduciéndolo en un paréntesis precedido del signo - : - (9x2+3x-20)

Multiplicando por 9: - (9x)2 +3 (9x)-180

Facturando este trinomio: -(9x+15) (9x-12)

Dividiendo por 9:

Para que desaparezca el signo – de este producto, o sea, para convertirlo en +, hay que cambiar el signo a un factor, por ejemplo, a (3x-4), que se convierta en (4-3x) y tendremos: 20-3x-9x2 = (3x+5) (4-3x).

II.9.- FACTORIZACION DE CUBOS PERFECTOS DE BINOMIOS (CASO No. 8)En los productos notables se vio que:(a + b )3 = a3+3a2b+ 3ab2+b3

(a – b )3 = a3-3a2b + 3ab2-b3

Un cubo perfecto de binomios tiene que cumplir con las siguientes condiciones:1. Tener cuatro términos2. Que el primero y último término sean cubos perfectos3. Que el segundo término sea más (+) o menos (-) el triple del cuadro de la raíz

cúbica del primer término multiplicado por la raíz cúbica del último término.4. El tercer término sea mas (+) el triple de la raíz cúbica del primer término por el

cuadrado de la raíz cúbica del último.

Hallar si una expresión dada es el cubo de un binomio

EJEMPLOS: Factorizar, si es posible las siguientes expresiones ordenándolas previamente:

a3+3a2+3a+1 = (a+1)3 27-27x+9x2-x3 = (3-x)3

raíz cúbica de a3 = a raíz cúbica de 27 =3

raíz cúbica de 1 = 1 raíz cúbica de x3 = x

3(a)2 (1)=3a2 2do. Término 3(3)2(x) = 27x

3(a)(1)2 = 3a 3er. término 3(3)(x2)=9x2

II.10.- FACTORIZACION DE SUMAS Y DIFERENCIAS DE CUBOS PERFECTOS (CASO No. 9)

Por cociente notables sabemos que:

Dividendo

Divisor cociente

Dividendo = (divisor) (cociente)

a3+b3 = (a+b) (a2-ab+b2) . . . 1a3-b3 = (a-b) (a2+ab+b2) . . . 2

Factorizar una suma o diferencia de cubos perfectos

EJEMPLOS:

1+a3 = (1+a) (12-1(a)+(a)2) = (1+a) (1-a+a2)

8x3+y3=(2x+y) (2x)2-2(x)(y)+(y)2) = (2x+y)(4x2-2xy+y2)= (2x+y)(4x2-2xy)

8x3-27y3 = (2x-3y) (4x2+6xy+9y2)

8x9-125y3z6 = (2x3-5yz2) (4x6+10x3yz2+25y2z4)

CASOS ESPECIALES.

1.- Factorar (a+b)3+1

La raíz cúbica de (a+b)3 es (a+b), la de 1 es 1. Tendremos:

(a+b)3+1 = (a+b)+1 (a+b)2-(a+b)(1)+12 = (a+b+1) (a2+2ab+b2-a-b+1)

2.- Factorar 8-(x-y)3

La raíz cúbica de 8 es 2, la de (x-y)3 es (x-y). Tendremos

8-(x-y)3 = 2-(x-y) 22+2 (x-y) + (x-y)2 = (2-x+y) (4+2x-2y+x2-2xy+y2

3.- Factorar (x+1)3 + (x-2)3

(x+1)3+(x-2)3 = (x+1) + (x-2) (x+1)2 – (x+1) (x-2) + (x-2)2 = (x+1+x-2)

(x2+2x+1-x2+x+x+x2-4x+4) = ) reduciendo (2x-1) (x2-x+7)

4.- Factorar (a-b)3 – (a+b)3

(a-b)3-(a+b)3 = (a-b) – (a+b) (a-b)2+(a-b) (a+b) + (a+b)2 = (a-b-a-b)

a2-2ab+b2+a2-b2+a2+2ab+b2) = (reduciendo) (-2b) (3a2 + b2)

II.11.- FACTORIZACION DE SUMAS Y DIFERENCIAS DE DOS POTENCIAS IGUALES (CASO No. 10)

En los cocientes notables establecimos y probamos que:1. an-bn es divisible por a-b siendo “n” par o impar2. an+bn es divisible por a+b siendo “n” impar3. an-bn es divisible por a+b cuando “n” es par4. an+bn nunca es divisible por a-b ni a+b cuando “n” es par

BINOMIOS DEL TIPO an-bn para “n” MAYOR QUE 3 Y DIVISIBLE POR 2

an-bn = (a 2 – (b 2)

EJEMPLOS: Factorizar

x4-y4 = (x 4/2)2-(y4/2)2 = (x2)2-(y2)2 = (x2+y2) (x2-y2) = (x2+y2) (x+y) (x-y)

una suma de cuadrados no se puede factorizar

x8-y8 = (x8/2)2-(y8/2)2 = (x4)2-(y4)2 = (x4+y4) (x4-y4) = (x4+y4) (x2)2-(y2) = (x4+y4)(x2+y2) (x2-y2) = (x4+y4) (x2+y2) (x+y) (x-y) x8-y8 = (x4+y4) (x2+y2) (x+y) (x-y)

BINOMIOS DEL TIPO an + bn PARA “n” MAYOR QUE 3 Y DIVISIBLE POR 3an + bn = (an/3)5 + (bn/3)3

Factorizar:

x6+y6= (x6/3)3 + (y6/3)3 = (x2)3 + (y2)3 = (x2+y2) (x4-x2y2+y4) x6+y6 = (x2+y2) (x4-x2y2+y4)x6-y6=(x6/3)3-(y6/3)3= (x2)3-(y2)3 = (x2-y2) (x4+x2y2+y4) = (x+y) (x-y) (x4+x2y2+y4)x9-y9 = (x9/3)3-(y9/3)3 = (x3)3-(y3)3 = (x3-y3) (x6+x3y3+y6) = (x-y) (x2+xy+y2) (x6+x3y3+y6)

BINOMIOS DEL TIPO an + bn PARA “n” MAYOR QUE 3 Y NO DIVISIBLE POR 2 O NI POR 3

EJEMPLOS:

an+bn = (a+b) (an-1-an-2b+an-3b2- . . .+a2bn-3-abn-2+bn-1)an-bn = (a+b)(an-1+an-2b+an-3b2+. . . +a2bn-3+abn-2+bn-1

x7-y7=(x-y) (x6+x5y+x4y2+x3y3+x2y4+xy5+y6)

una suma de cuadrados no se puede reducir asi que se divide por 3

x12+y12=(x6)2+(y6)2 = (x6y6) (x12-x6y6+y12) = (x4)3+(y4)3 = (x4+y4)(x8-x4y4+y8)

x12-y12=(x6)2-(y6)2=(x6+y6)(x6-y6)= (x2)3+(y2)3(x2)3-(y2)3) =(x2+y2)(x4-x2y2+y4)

(x2-y2) (x4+x2y2+y4) = (x2+y2) (x+y) (x-y) (x4-x2y2+y4) (x2+x2y2+y4)Se factoriza quedando un binomio conjugado

(2x)7+(3y)7=(2x+3y) (2x)6-(2x)5(3y)+(2x)4(3y)2+(2x)3(3y)3+(2x)2(3y)4-(2x)(3y)5+(3y)6

= (2x+3y)(64x6-96x5y+144x4y2-216x3y3+324x2y4-486xy5+129y6

II.12.- RADICACION

Raíz de una expresión algebraica es toda expresión algebraica que elevada a una potencia reproduce la expresión dada. Por Ejemplo:

2a es raíz cuadrada de 4a2 porque (2a)2 = 4a2 y -2a también es raíz cuadrada de 4a2

porque (-2a)2 = 4a2

3x es raíz cúbica de 27x3 porque (3x)3 = 27x3

El signo de raíz es llamado signo radical. Debajo de este signo se coloca la cantidad a la cual se extrae la raíz llamada por eso cantidad radical.

El signo lleva un índice que indica la potencia a que hay que elevar la raíz para que reproduzcan la cantidad sub-radica. Por convención el índice 2 se suprime y cuando el signo no lleve índice, se entiende que el índice es 2.

Ejemplos:

Exponentes fraccionarios (radicales)Potencia a la cual se eleva el radical

cantidad sub-radical índice del radical

a = ( )n = m indice del radical

Expresión radical.- Es toda raíz indicada de un número o de una expresión algebraica. Ejemplos: son expresiones radicales.

Si la raíz indicada es exacta la expresión es racional; si no es exacta es irracional.Las expresiones irracionales como son las que comúnmente se llaman radicales.

El grado de un radical lo indica su índice, Así es un radical de 2° grado; es radical de tercer grado; es un radical de cuarto grado.

SIGNO DE LAS RAICES

1.- Las raíces impares de una cantidad tiene el mismo signo que la cantidad subradical.

ASI, = 3a porque (3a)3 = 27a3

= -3a porque (-3a)3 = -27a3

= x2 porque (x2)5 = x10

= x2 porque (-x2)5 = -x10

2.- Las raíces pares de una cantidad positiva tienen doble signo: +, -

ASI, = 5x ó -5x porque (5x)2 = 25x2 y (-5x)2 = 25Esto indicado de este modo: = + 5xDel propio modo, = 2a y -2a porque (2a)4 = 16 y (-2a)4 = 16a4

Esto indica: = + 2a

CANTIDADES IMAGINARIASLas raíces pares de una cantidad negativa no se pueden extraer, porque toda cantidad, ya sea positiva o negativa, elevada a una potencia par, de un resultado positivo. Estas raíces se llaman cantidades imaginarias.

Así, no se puede extraer. La raíz cuadrada de -4 no es 2 porque 22=4 y no -4 y tampoco es -2 porque (-2)2 = 4 y no -4 . es una cantidad imaginaria..

Del propio modo, , , 4216x

CANTIDAD REALCantidad Real es una expresión que no contiene ninguna cantidad imaginaria. Así 3a, 8,

son cantidades reales.

VALOR ALGEBRAICO Y ARITMETICO DE UN RADICALEn general, una cantidad tiene tantas raíces de un grado dado como unidades tiene el grado de la raíz. Así, toda cantidad tiene dos raíces cuadradas, tres raíces cúbicas, cuatro raíces cuartas, etc. Pero generalmente una o más raíces de estas son imaginarias. Más adelante hallaremos las tres raíces cúbicas de la unidad, dos de las cuales son imaginarias.

El valor real y positivo de un radical si existe, o el valor real negativo si no existe el positivo, es lo que se llama valor aritmético del radical. Así, = +3; el valor aritmético de es +3, = +2; el valor aritmético de es +2.

Al tratar de radicales, siempre nos referimos a su valor aritméticoRAIZ DE UNA POTENCIAPara extraer una raíz a una potencia se divide el exponente de la potencia por el índice de la raíz

Decimos que = a

En efecto: (am/n)n = a xn = am, cantidad sub-radicalAplicando esta regla, tenemos: = a4/2 = a2

Si el exponente de la potencia no es divisible por el índice de la raíz, se deja indicada la división, originándose de este modo el exponente fraccionario.

Así, = a1/2 = x2/3

Para extraer una raíz a un producto de varios factores se extrae dicha raíz a cada uno de los factores.

Así, = . . , porque ( . . )n = ( )n . ( )n . ( )n = abc, cantidad sub-radical.

I. RAIZ DE UN MONOMIODe acuerdo con lo anterior, para extraer una raíz a un monomio se sigue la siguiente:REGLA.- Se extrae la raíz del coeficiente y se divide el exponente en cada letra por el índice de la raíz.Si el índice del radical es impar, la raíz tiene el mismo signo que la cantidad subradical, y si el índice es par y la cantidad subradical positiva, la raíz tiene el doble signo +.

1. Hallar la raíz cúbica de 9a2b4 = + 3ab2

2. Hallar la raíz cúbica de -8a3x6y9

3. Hallar la raíz cuarta de 16a4m8x4m = + 2am2xm

4. Hallar la raíz quinta de -243m15n10x = -3mn2x

5. Hallar la raíz cuadrada de 4a2/9b4

Cuando el monomio es una fracción, como en este caso, se extrae la raíz al numerador y denominador.

= =

6.- Hallar la raíz cúbica de - = -

II.13.- TEORIA DE LOS EXPONENTESEXPONENTE CERO ORIGEN

El exponente cero proviene de dividir potencia iguales de la misma base. Así, a2 ÷ a2 = a2-2 = a° x5 ÷ x5 = x5-5 = x°.

Interpretación del exponente cero. Toda cantidad elevada a cero equivale a 1.Decimos que a° = 1En efecto: Según las leyes de la división, an ÷an = an-n y por otra parte, como toda cantidad dividida por sí misma equivale a 1, se tiene an ÷an = 1.

Ahora bien, dos cosas (a° y 1) iguales a una tercera (an ÷an) son iguales entre sí, luego a° = 1.

EXPONENTE FRACIONARIO

El exponente fraccionario proviene de extraer una raíz a una potencia cuando el exponente de la cantidad subradical no es visible por el índice de la raíz.

27a3m12

Sabemos que para extraer una raíz a una potencia se divide el exponente de la potencia por el índice de la raíz. Si el exponente no es divisible por el índice, hay que dejar indicada la división y se origina el exponente fraccionario. Así,

= a = a

INTERPRETACION DE EXPONENTE FRACCIONARIO.- Toda cantidad elevada a una raíz cuyo índice es el denominador del exponente y la cantidad subradical, la misma cantidad elevada a la potencia que indica el numerador del exponente. Decimos que:

En efecto: Se ha probado que = a , luego recíprocamente, a =

Ejemplos: Expresar con signo radical x , 2a , x , y

x = 53x 2a = x = y =

Expresar con exponente fraccionario: , 2 ,

= a ; 2 = 2a = x y

El exponente negativo proviene de dividir dos potencias de la misma base cuando el exponente del dividendo es menor que el exponente divisor, Así,

a2 ÷ a3 = a2-3 = a-1 x3 ÷ x7 = x3-7 = x-4

Interpretación del exponente negativo.- Toda Cantidad elevada a un exponente negativo equivale a una fracción cuyo numerador es 1, y su denominador la misma cantidad con el exponente positivo.

Decimos que: a-n =

En efecto: = am-(m+n) = a-n y también: = = , y

como dos cosas: an y iguales a una tercera son iguales entre s´, tendremos que:

a-n = .

De acuerdo con lo anterior, se tiene que:

a-2 = a- = x-3 y- =

PASAR LOS FACTORES DEL NUMERDOR DE UNA EXPRESION AL DENOMINADOR O VICEVERSA.

Cualquier factor del numerador de una expresión se puede pasar al denominador y viceversa con tal de cambiarle el signo a su exponente.

Sea la expresión de acuerdo con el significado del exponente negativo,

tendremos:

= = = x =

Así que nos queda que: = (1) y recíprocamente = (2)

En la igualdad (1) vemos que los factores a-2 y b-3 que están en el numerador del primer miembro con exponentes negativos, pasan al denominador del segundo miembro con exponente positivo y los factores x-4 e y-5 que están en el denominador del primer miembro con exponentes negativos, pasan al numerador del segundo con exponentes positivos.

En la igualdad (2) vemos que los factores x4 e y5 que están en el numerador del primer miembro con exponentes positivos pasan al denominador del segundo miembro con exponentes negativos y los factores a2 y b3 que están con exponentes positivos en el denominador del primer miembro, pasan al numerador del segundo miembro con exponentes negativos.

TRANSFORMAR UNA EXPRESION CON EXPONENTES NEGATIVOS EN LA EXPRESION EQUIVALENTE CON EXPONENTE POSITIVO.

Ejemplos:

(1) Expresar con exponentes positivos x-1 y-2 y 3ab-1c-3 , según el número anterior

tenemos: x-1 y-2 = 3ab-1c-3 =

(2) Expresar con exponentes positivos

= 2a2 b3

= =

Obsérvese que al pasar un factor del numerador al denominador o viceversa el coeficiente numérico no se pasa.

(3) Expresar con exponentes positivos

= =

(4) Expresar con exponentes positivos

= =

II.14.- RADICALESRADICAL.- En general es toda raíz indicada de una cantidad.Si una raíz indicad es exacta, tenemos una cantidad racional y si no lo es, irracional.Así es una cantidad racional y es una cantidad irracional.Las raíces indicadas inexactas o cantidades irracionales son los radicales propiamente dichos. El grado de un radical es el índice de la raíz. Así es un radical de segundo grado,

es un radical de tercer grado.

RADICALES SEMEJANTES.- Son radicales del mismo grado y que tienen la misma cantidad subradical.

Así, 2 ; 5 y son radicales semejantes 2 y 5 no son semejantes.

REDUCCION DE RADICALESREDUCIR UN RADICAL.- Es cambiar su forma sin cambiar su valor.SIMPLIFICAR RADICAL.- Es reducirlo a su más simple expresión.

Un radical está reducido a su más simple expresión cuando la cantidad subradical es entera y del menor grado posible.

Para simplificar radicales debe tenerse muy presente que para extraer una raíz a un producto se extrae dicha raíz a cada uno de sus factores, o sea:

= . .

En la simplificación de radicales consideramos los dos casos siguientes:

CASO I.- Cuando la cantidad subradical contiene factores cuyo exponente es divisible por el índice.

Ejemplos:(1) simplificar = = . . = 3a

(2) simplificar 2 = 2 = 2 . . . == 2.5.x2.y2. = 10x2y2

En la práctica no se indican las raíces, sino que una vez arreglados los factores de la cantidad subradical, aquellos cuyo exponente sea divisible por el índice, se sacan del radical dividiendo su exponente por el índice.

(3) simplificar = = = xy3

(4) simplificar 4 = 4 = 4.5ab2 = 20ab2

(5) simplificar = = = 3n2

(6) simplificar = = = 2a

(7) simplificar = = = x-2

Cuando la cantidad subradical es una fracción y el denominador es irracional, hay que multiplicar ambos términos de la fracción por la cantidad necesaria para que el denominador tenga raíz exacta, Así:

= = =

8.- Simplificar 2 = 2 = 2 = x2 =

Caso II

Cuando los factores de la cantidad subradical y el índice tienen un divisor común.

Simplificar = =

Simplificar = = 3

Simplificar = =

INTRODUCCION DE CANTIDADES BAJO EL SIGNO RADIALEsta operación es inversa a la simplificación de radicalesPara introducir el coeficiente de un radical bajo el signo radical se eleva dicho coeficiente a la potencia que indique el índice del radical.

Introducir el coeficiente de 2 bajo el signo radical 2 = = Cuando el coeficiente de un radical es 1 el radical es entero

Hacer entero el radical 3a2

3a2 = =

Hacer entero (1-a) aa

11

(1-a) =

3.- REDUCCION DE RADICALES AL MINIMO COMUN INDICEEsta operación tiene por objeto convertir radicales de distinto índice en radicales equivalentes que tengan el mismo índice. Para ello se aplica la siguiente:

REGLA.- Se halla el M.C.M. de los índices que será el índice común y se eleva cada cantidad subradical a la potencia que resulta de dividir el índice común entre el índice de su radical.

Reducir al mínimo común índice , El m.c.m. de los índices 2, 3 y 4 es 12. Este es el índice común. Tendremos

= =

= =

= =

5.- REDUCCION DE RADICALES SEMEJANTES

Los radicales semejantes, o sea los radicales del mismo grado que tienen igual cantidad subradical, se reducen como términos semejantes que son hallando la suma algebraica de los coeficientes y poniendo esta suma como coeficiente de la parte radical común..

EJEMPLOS:

+ = (3+5) =

- = ( ) = -

OPERACIONES CON RADICALES1.- SUMA Y RESTA DE RADICALESREGLA: Se simplifican los radicales dados, se reducen los radicales semejantes y a continuación se escriben los radicales no semejantes con su propio signo.

* Esto nos permite conocer las magnitudes relativas de varios radicales de distinto índice. El orden decreciente de magnitudes es , y .

EJEMPLOS: Simplificar

2973

Entonces:

Simplificar hay que relacionar los denominadores

Entonces:

=

NOTA: Radicales no semejantes no se pueden reducir. Para sumar radicales no semejantes simplemente se forma con ellos una expresión algebraica que los conenga a todos sin alterar los signos.

3. MULTIPLICACION DE RADICALESMULTIPLICACION DE RADICALES DEL MISMO INDICEREGLA.- Se multiplican los coeficientes entre si y las cantidades subradicales entre si colocando este último producto bajo el signo radical común y se simplifica el resultado.

Vamos a probar que a

En efecto: a

Multiplicar 2

Multiplicar

Multiplicación de radicales de distinto índice.

REGLA.- Se reducen los radicales al mínimo común índice y se multiplican como radicales del mismo índice.

Multiplicar 5Reduciendo los radicales al mínimo común índice, tendremos:5

Entonces: 5

DIVISION DE RADICALESDivisión de radicales del mismo radical

REGLA.- Se dividen los coeficientes entre sí y las cantidades subradicales entre si, colocando este último cociente bajo el signo radical común y se simplifica el resultado.

Vamos a probar que a

En efecto: El coeficiente multiplicado por el divisor reproduce el dividendo

2

DIVISION DE RADICALES DE DISTINTO INDICEREGLA.- Se reducen los radicales al mínimo común índice y se dividen como radicales del mismo índice.

Dividir

Entonces

4.. POTENCIA DE RACALESREGLA.- Para elevar un radical a una potencia se eleva a dicha potencia el coeficiente y la cantidad subradical y se simplifica el resultado.

Vamos a probar que (a )m = am

En efecto: (a )m = (ab )m = amb = am

Ejemplos: Elevar 5 y 4 al cuadrado

(5 )252. =25.2 ) = 50 (4 )2 = 42. = 16.3 = 48

Obsérvese que el exponente 2 y la raíz cuadrada se destruyen

Elevar al cuadrado Se desarrolla como el cuadrado de un binomio:( )2 = ( )2 - 2 2 = 5-6

5.. RADICACION DE RADICALESREGLA.- Para extraer una raíz a un radical se multiplica el índice del radical por el índice de la raíz y se simplifica el resultado.

Vamos a probar que

En efecto

Ejemplos: Hallar la raíz cuadrada de

Hallar la raíz cúbica de 5 Como el coeficiente 5 no tiene raíz cúbica exacta lo introducimos bajo el signo de la raíz cuadrada y tendremos:

Racionalizar el denominador de una expresiónVerter una fracción cuyo denominador sea irracional en una expresión equivalente cuyo denominador sea irracional.

Cuando se racionaliza el denominador irracional de una fracción, desaparece todo signo radical del denominador

Consideramos dos casos:

CASO I.- Racionalizar el denominador de una fracción cuando el denominador es monomio.

REGLA: Se multiplican los dos términos de la fracción por el radical del mismo índice que el denominador que multiplicado por éste de cómo producto una cantidad racional.

Ejemplos: Racionalizar el denominador de

Multiplicamos ambos términos de la fracción por tenemos:

Racionalizar el denominador de

El denominador Para que en el denominador quede una raíz exacta hay

que multiplicar por y parece que la fracción no varíe se multiplica también

el numerador por tendremos:

Racionalizar el denominador de se multiplican ambos términos por

porque esta cantidad multiplicada por da una raíz exacta y tenemos:

Expresiones conjugadas

Dos expresiones que contienen radicales de 2do. Grado como y ó a+ y a- , que difieren solamente en el signo que une sus términos, se dicen que son

conjugados.

Así la conjugada de 3 es 3 ; la conjugada de 4-3 es 4+3

El producto de dos expresiones conjugadas es racional Así: 3 (3 ) = (3 )2-( )2 = 18-5=13

CASO IIRacionalizar el denominador de una fracción cuando el denominador es un binomio que contiene radicales de segundo grado.

REGLA:- Se multiplican ambos términos de la fracción por la conjugada del denominador y se simplifica el resultado.

Racionalizar el denominador de multiplicando ambos términos de la fracción

por 2-5 tenemos:

Como el denominador -23 era negativo le cambiamos el signo al numerador de la fracción. También podía haberse cambiado el signo del denominador y de la fracción y

hubiera quedado -

Racionalizar el denominador de multiplicando ambos términos por la

conjugada del denominador tenemos:

Para racionalizar el denominador de una expresión que contiene tres radicales de segundo grado hay que verificar dos operaciones como se indica en el siguiente:

Racionalizar el denominador de

Consideremos como un binomio ( Se multiplican los dos términos de la fracción por la conjugada de esta expresión que es ( y tendremos:

=

(Multiplicando ambos términos nuevamente por la conjugada del denominador)

DIVISION DE RADICALES CUANDOELDIVISOR ES COMPUESTO.

Cuando el divisor es compuesto, la división de radicales efectúa expresando el cociente en forma de fracción y racionalizando el denominador de esta fracción.

Dividir entre 2

II.5.- ECUACIONES

Ecuaciones de primer grado

Una ecuación es la proposición de dos expresiones que son iguales, las dos expresiones se llaman miembros de la ecuación.

3x-6 = 2x+1

Primer miembro segundo miembro ECUACIÓN

SOLUCION DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO

Si en una ecuación no hay fracciones en cuyos denominadores aparezca la incógnita y si ésta es de primer grado la ecuación se llama ecuación de primer grado.

Una ecuación de este tipo se resuelve mediante la transposición de los términos.