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Binômio de Newton
1. (Uepg 2014) Sobre os polinômios nP(x) (2x 1) e nQ(x) (2x 1) , com n *, assinale o
que for correto.
01) Se n 6, o termo médio de P(x) vale 340x .
02) A soma dos coeficientes de Q(x) é 1, qualquer que seja n.
04) Se n 4, então P(x) Q(x) tem 3 termos.
08) Se n 10, o último termo de Q(x) é negativo.
16) Se n 5, então P(x) Q(x) tem 10 termos.
2. (Uem 2014) Dados os inteiros não negativos n e k, sendo k n, define-se o símbolo
n n!.
k k! n k!
Para cada inteiro n 1, considere np x como sendo o polinômio
n n 1 n 2n n n n nx x x ... x .
n n 1 n 2 1 0
Assinale o que for correto.
01) 4 3 24p x x 4x 6x 4x 1.
02) Para todo inteiro n positivo, o polinômio pn (x) admite raízes não reais. 04) Para todos os valores de n, o polinômio pn (x) é divisível por x +1. 08) Para todo inteiro n > 2 , existem dois números racionais distintos, a e b , para os quais pn
(x) é divisível por x − a e por x − b . 16) Para cada inteiro positivo n, a soma de todos os coeficientes de pn (x) é 2
n.
3. (Ufrgs 2014) Considere a configuração dos números dispostos nas colunas e linhas abaixo.
Colu
na
0
Colu
na
1
Colu
na
2
Colu
na
3
Colu
na
4
Colu
na
5
Colu
na
6
Colu
na
7
...
Linha 0 1
Linha 1 1 1
Linha 2 1 2 1
Linha 3 1 3 3 1
Linha 4 1 4 6 4 1
Linha 5 1 5 10 10 5 1
Linha 6 1 6 15 20 15 6 1
Linha 7 1 7 21 35 35 21 7 1
... ... ... ... ... ... ... ... ...
O número localizado na linha 15 e na coluna 13 é a) 15. b) 91. c) 105. d) 120. e) 455.
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4. (Fgv 2013) Desenvolvendo-se o binômio 5P(x) (x 1) , podemos dizer que a soma de seus
coeficientes é a) 16 b) 24 c) 32 d) 40 e) 48 5. (Unioeste 2013) O valor da expressão
4 3 2 2 3 4153 4 153 3 6 153 3 4 153 3 3
é igual a
a) 3153(153 3) 3.
b) 4147 .
c) 4 415 3 .
d) 4153 .
e) 4 415 10 . 6. (Uern 2013) A soma dos algarismos do termo independente de x no desenvolvimento do
binômio de Newton
82
xx
é
a) 3 b) 4 c) 6 d) 7
7. (Esc. Naval 2013) O coeficiente de 5x no desenvolvimento de
732
xx
é
a) 30 b) 90 c) 120 d) 270 e) 560 8. (Uepg 2013) Assinale o que for correto.
01) n n
2 n 2
02) 4 4 4 4
151 2 3 4
04) A soma das soluções da equação 11 10 10
x 3 2
é 11.
08) A equação 10 10
x 2x 4
tem duas soluções distintas.
16) n n n 1
1 2 2
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9. (Unioeste 2013) Seja
10n
n 1
10!f(x) 1 x
n!(10 n)!
uma função real de variável real em que n!
indica o fatorial de n. Considere as afirmações: I. f(0) = 0. II. f(1) = 10. III. f(−1) = 0. Pode-se afirmar que a) somente I é correta. b) todas as afirmações são corretas. c) II e III são corretas e I é incorreta. d) III é correta e I e II são incorretas. e) todas as afirmações são incorretas. 10. (G1 - ifal 2012) A expressão (x + y)
n, com “n” natural, é conhecida como binômio de
Newton. Seu desenvolvimento é dado assim:
n n 0 n 1 1 n p p n nn,0 n,1 n,p n,n
3 3 0 3 1 1 3 2 2 3 3 33,0 3,1 3,2 3,3
3 2 2 3
(x y) C x y C x y C x y C x y
Por exemplo :
(x y) C x y C x y C x y C x y
x 3x y 3xy y .
Assim, a expressão 4x
2 + 4xy + y
2 corresponde a
a) 2 0 1 1 0 22,0 2,1 2,2C (2x) y C (4x) y C (2x) y .
b) 2 0 1 1 0 22,0 2,1 2,2C (2x) y C (2x) y C (4x) y .
c) 2 0 1 1 0 22,0 2,1 2,2C (x) y C (2x) y C (2x) y .
d) 2 0 1 1 0 22,0 2,1 2,2C (4x) y C (4x) y C (4x) y .
e) 2 0 1 1 0 22,0 2,1 2,2C (2x) y C (2x) y C (2x) y .
11. (Fgv 2012) O termo independente de x do desenvolvimento de
12
3
1x
x
é
a) 26. b) 169. c) 220. d) 280. e) 310.
12. (Uern 2012) Qual é o valor do termo independente de x do binômio
n
2
2x ,
x
considerando que o mesmo corresponde ao sétimo termo de seu desenvolvimento? a) 435 b) 672 c) 543 d) 245
13. (Uespi 2012) Qual o coeficiente de x7 na expansão de 2 4(2 3x x ) ?
a) 18 b) 16 c) 14 d) 12 e) 10
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14. (Ufpe 2012) Encontre o inteiro positivo n para o qual o quinto termo da expansão binomial
de
n3 1
xx
seja independente de x na expansão em potências decrescentes de x.
15. (Esc. Naval 2012) Seja m a menor raiz inteira da equação (x 1)(5x 7)
! 1.3
Pode-se
afirmar que o termo médio do desenvolvimento de 3 12m( y z ) é
a)
318 2
12!y z
6!6!
b) 3 1812!y z
6!6!
c)
15452
30!y z
15!15!
d)
15452
30!y z
15!15!
e) 3 1812!y z
6!6!
16. (Ufpe 2011) No desenvolvimento binomial de
101
13
, quantas parcelas são números
inteiros? 17. (Uepg 2011) Considerando que, a
5 + 5a
4b + 10a
3b
2 + 10a
2b
3 + 5ab
4 + b
5 = 32 e a – b = –1,
assinale o que for correto. 01) a > 1. 02) b < 0.
04) b
aé um número natural.
08) a2 + b
2 =
5.
2
16) a 1
.b 3
18. (Uem 2011) Assinale o que for correto.
01) O coeficiente do termo 3x em
92
xx
é - 672.
02)
x
x
2 12 1 2 2
2 1
são maiores que 1.
04) Se x e y são números reais tais que y > x, então y xa a , em que a é uma constante real
positiva. 08) A equação x 2,2 x,34!C A 0 possui exatamente duas soluções no conjunto dos números
inteiros maiores ou iguais a 4.
16) 1
49
1log 7 .
4
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19. (G1 - ifal 2011) No desenvolvimento
n2 3
x ,x
n , os coeficientes binominais do
quarto e do décimo terceiro termos são iguais. Então, o termo independente de x é o:
a) décimo. b) décimo-primeiro. c) nono. d) décimo-segundo. e) oitavo. 20. (Uff 2010) Povos diferentes com escrita e símbolos diferentes podem descobrir um mesmo
resultado matemático. Por exemplo, a figura a seguir ilustra o Triângulo de Yang Yui, publicado
na China em 1303, que é equivalente ao Triângulo de Pascal, proposto por Blaise Pascal 352
anos depois.
Na expressão algébrica:
(x + 1)100
= a0 + a1 . x + a2 . x2
+...+a99 . x99
+ a100 . x100
=100
nn
n 0
a x
o coeficiente a2 de x2 é igual a:
a) 2 b) 100 c) 4950 d) 9900 e) 2
100
21. (Ita 2010) A expressão (2 3 5 )5 – (2 3 5 )
5 é igual a
a) 2630 5 .
b) 2690 5 .
c) 2712 5 .
d) 1584 15 .
e) 1604 15 .
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22. (Uff 2010)
Em computação gráfica, o sistema RGB identifica uma cor a partir de três números R, G e B
que especificam, respectivamente, as quantidades de vermelho (Red), verde (Green) e azul
(Blue) que compõem a cor. Outro sistema de identificação de cores é o NTSC (usado em TV).
Nesse sistema, uma cor também é definida por três números: Y (luminância), I (sinal em fase) e
Q (quadratura). Os dois sistemas estão relacionados através da seguinte equação matricial:
Y 0,299 0,587 0,114 R
I 0,596 0,274 0,322 G
Q 0,211 0,523 0,312 B
Se 0 ≤ R ≤ 1, 0 ≤ G ≤ 1 e 0 ≤ B ≤ 1, então
a) 0 ≤ Y ≤ 1, 0 ≤ / ≤ 1 e 0 ≤ Q ≤ 1 b) 0 ≤ Y ≤ 1, – 0,596 ≤ / ≤ 0,596 e – 0,523 ≤ Q ≤ 0,523 c) 0 ≤ Y ≤ 0,299, 0 ≤ / ≤ 0,596 e 0 ≤ Q ≤ 0,211 d) 0,114 ≤ Y ≤ 0,587, – 0,322 ≤ / ≤ 0,596 e – 0,523 ≤ Q ≤ 0,312 e) 0,211 ≤ Y ≤ 0,596, – 0,523 ≤ / ≤ 0,587 e – 0,322 ≤ Q ≤ 0,312 23. (Uel 1994) Se um dos termos do desenvolvimento do binômio (x + a)
5, com a ∈ IR, é 80x
2,
então o valor de a é
a) 6 b) 5 c) 4 d) 3 e) 2
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Gabarito: Resposta da questão 1:
02 + 04 = 06.
Os termos gerais de P e Q são, respectivamente, n p n pp 1
nT 2 x
p
e
q n q n qq 1
nT ( 1) 2 x .
q
[01] Incorreto. Se n 6, o termo médio de P(x) vale
6 3 6 34
3
3
6T 2 x
3
20 8 x
160x .
[02] Correto. Tomando x 1, segue que a soma dos coeficientes de Q(x) é n n(2 1 1) 1 1,
qualquer que seja n.
[04] Correto. Se n 4, temos
4 4 2 2 0 0
4 2
4 4 4P(x) Q(x) 2 2 x 2 2 x 2 2 x
0 2 4
32x 48x 2.
Portanto, P(x) Q(x) tem 3 termos.
[08] Incorreto. Se n 10, então o último termo de Q(x) é
10 10 10 10 1010( 1) 2 x 1 0.
10
[16] Incorreto. Se n 5, então
5 5
5
2 5
P(x) Q(x) (2x 1) (2x 1)
[(2x 1)(2x 1)]
(4x 1) .
Por conseguinte, P(x) Q(x) tem 5 1 6 termos.
Resposta da questão 2:
01 + 04 + 16 = 22. [01] Verdadeira, pois x
4 + 4x
3 + 6x
2 + 4x + 1 = (x + 1)
4 e admite -1 como raiz.
[02] Falsa, para n = 2, P(x) = x
2 + 2x + 1, possui duas raízes reais e iguais.
[04] Verdadeira, pois p(x) = (x + 1)
n.
[08] Falsa, pois p(x) = (x +1 )
n, portanto, a = b = - 1.
[16] Verdadeira, pois a soma dos coeficientes de (x + 1)
n = (1 + 1)
n = 2
n.
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Resposta da questão 3:
[C] A tabela acima é o famoso triângulo de Pascal.
15 15! 15 14105
13 2! 13! 2
Resposta da questão 4: [C]
A soma dos coeficientes de P é dada por
5 5P(1) (1 1) 2 32.
Resposta da questão 5:
[E]
4 3 2 2 3 4 4 4 4 4153 4 153 3 6 153 3 4 153 3 3 (153 3) 150 15 10 .
Resposta da questão 6: [B] O termo geral do binômio é
8 pp
p 1
8 p 2p 8
8 2T x
p x
8!2 x .
p! (8 p)!
O termo independente de x, se existir, é o natural p que torna o expoente de x igual a zero,
ou seja,
2p 8 0 p 4.
Em consequência, o termo independente de x existe e é igual a
8 45
4
8!T 2
4! (8 4)!
8 7 6 52
4 3 2
1120.
Portanto, segue-se que o resultado é 1 1 2 0 4.
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Resposta da questão 7:
[E]
7 p p
3 7 p 4p 77 72x 2 x
p px
Como o expoente de x é 5, temos 4p – 7 = 5, isto é p = 3. Fazendo, agora, p = 3, temos:
7 3 4 3 7 5 572 x 35 16 x 560x .
3
Portanto, o coeficiente pedido é 560. Resposta da questão 8: 01 + 02 + 04 + 16 = 23. [01] (Verdadeira), pois n - 2 + 2 = n (binomiais complementares).
[02] (Verdadeira). 44 4 4 4 42 15.
1 2 3 4 0
[04] (Verdadeira). 11 10 10 11 11
x 3 ou x 3 11 x 2 ou x 8x 3 2 x 3
e 8 + 3 = 11. [08] (Falsa).
10 10 142x 4 x ou 2x 4 x 10 x 4 ou x (não convém).
x 2x 4 3
[16] (Verdadeira). n n n 1
1 2 2
(relação de Stifel).
Resposta da questão 9:
[D]
n
10n
10
10
n 1
f(x) 1 1
10!f(x) 1 x
n!(10 n
x 1
1
)
(x) x
!
f
Então, [I] f(0) = (1 + 0)
10 = 1
[II] f(1) = (1 + 1)10
= 1024 [III] f(-1) = (1+(-1))
10 = 0
Portanto, [III] é correta e [I] e [II] são incorretas. Resposta da questão 10:
[E]
2 0 1 1 0 2 2 2 22,0 2,1 2,2C (2x) y C (2x) y C (2x) y (2x y) 4x 4xy y
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Resposta da questão 11:
[C]
O termo Geral do Binômio de Newton será dado por: p
12 p 3 12 4p12 12x x x
p p
Para que T seja o termo independente do desenvolvimento de
12
3
1x
x
, devemos admitir
12 4p 0 p 3
Logo, 12 12!
T 2203 3! 9!
Resposta da questão 12:
[B] O termo geral do binômio é dado por
n pp
p 1 2
n pp
2n 2p
n p 3p 2n
n 2T x
p x
n 2x
p x
n2 x .
p
Sabendo que o termo independente de x é o sétimo, segue que p 6 e, assim,
n 6 18 2n6 1
nT 2 x .
6
Daí, impondo 18 – 2n = 0, concluímos que n = 9 e, portanto,
9 6 37
9 9! 9 8 7T 2 2 8 672.
6 6! 3! 3 2
Resposta da questão 13: [D] Reescrevendo o polinômio, obtemos
31 2
2 31 2
2 4 2
1 2 3
2
1 2 3
4!(2 3x x ) 2 (3x) (x )
! ! !
4!2 3 x .
! ! !
Para que o expoente de x seja 7, devemos ter 1 2 3 4 e 2 32 7. Desse modo,
como 1 2 3( , , ) (0,1,3) é a única terna coordenada que satisfaz essas condições, temos
que o coeficiente de 7x é dado por
0 14!2 3 12.
0! 1! 3!
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Resposta da questão 14:
16.
O termo geral do binômio n
3 1x
x
é dado por
k3 n k
k 1
n k
3k
n 4k
3
n 1T ( x )
k x
n 1x
k x
nx .
k
Sabendo que o quinto termo é independente de x, temos que k 4 e, portanto,
n 4 4
0 n 16.3
Resposta da questão 15:
[E]
Sabendo que 0! 1 e 1! 1, vem
(x 1)(5x 7) 70 x 1 ou x
3 5
ou
2(x 1)(5x 7)1 5x 12x 4 0
3
2x 2 ou x .
5
Donde concluímos que m 1.
Assim, como o termo geral de 3 12( y z ) é
p
p 3 12 p 12 p 36 3p212 12
( y ) ( z ) ( 1) y z ,p p
e o termo médio é tal que
12p 1 1 p 6,
2
concluímos que o termo médio é igual a
612 6 36 3 6 3 182
12 12!( 1) y z y z .
6 6!6!
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Resposta da questão 16:
O termo geral do binômio é dado por
p10 p
p 1 p
10 1 10! 1T 1 .
3 p!(10 p)!p 3
Como 410! 10 9 8 7 6 5 4 3 2 3 10 8 7 2 5 4 2, segue que a maior potência de 3
que divide 10! é 43 . Assim, p {0,1, 2, 3, 4}. Desses valores, os únicos que produzem parcelas
inteiras são 0 e 2. Portanto, duas parcelas do binômio dado são números inteiros. Resposta da questão 17: 04 + 08 + 16 = 28. Cálculos auxiliares
a5 + 5a
4b + 10a
3b
2 + 10a
2b
3 + 5ab
4 + b
5 = 32 (a + b)
5 = 32 a + b = 2.
Portanto:
1a
a b 2 2
a b 1 3b
2
Item (01) – Falso
1a 1
2
Item (02) – Falso
3b 0
2
Item (04) – Verdadeiro
3
b 23 N
1a
2
Item (08) – Verdadeiro
2 22 2 1 3 5
a b2 2 2
Item (16) – Verdadeiro
1
a 12
3b 3
2
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Resposta da questão 18:
01 + 08 + 16 = 25.
01) Correto. O termo geral do binômio 9
2x
x
é dado por
k
9 kk 1
k9 k k
k
k k 9 2k
9 2T x
k x
9 2x ( 1)
k x
9( 1) 2 x .
k
Para determinarmos o coeficiente de 3x devemos impor 9 2k 3 k 3.
Logo, o resultado pedido é
3 43 3
1 1
9 9! 9 8 7( 1) 2 8 8 672.
3 3! 6! 3 2
02) Incorreto. Fazendo x( 2 1) y, *y , segue que
22 1y 2 2 y ( 2 2)y 2 1 0
y
2 2 2y
2
y 2 1 ou y 1.
Portanto, como x( 2 1) 2 1 x 1 e x( 2 1) 1 x 0, temos que nenhuma das
raízes da equação é maior do que 1.
04) Incorreto. Se 0 a 1 e y x, então y xa a , sendo a uma constante real positiva.
08) Correto. Temos que
x 2,2 x,3
2
(x 2)! x!4!C A 0 4! 0
2! (x 4)! (x 3)!
4 3 (x 2) (x 3) x (x 1) (x 2) 0
(x 2) ( x 13x 36) 0
(x 2) (x 4)(x 9) 0
x 4 ou x 9.
Note que o conjunto universo das soluções da equação dada é {x | x 4}.
16) Correto. Temos que 2
1
21 77
49
1 1 1log 7 log 7 log 7 .
2 2 4
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Resposta da questão 19:
[B]
O termo geral do binômio
n2 3
xx
é
p2 n p
p 1
n 3T (x ) .
p x
Se os coeficientes binominais do quarto e do décimo terceiro termos são iguais, então
n nn 3 12 15.
3 12
Logo,
p2 15 p
p 1
p30 2p
p
30 3p p
15 3T (x )
p x
15 3x
p x
15x 3
p
Como o desenvolvimento do binômio apresenta um termo independente de x, deve-se ter
30 3p 0 p 10.
Portanto, o termo pedido é o décimo primeiro. Resposta da questão 20: [C]
2982
100100
49501..98
100
: temos98 p ,982100
1.100
xTxT
fazendopp
xp
T pp
Logo o coeficiente de x2 é 4950.
Resposta da questão 21:
[B] Utilizando o Binômio de Newton, temos
(a + b) 5 = a
5 + 5.a
4.b+10.a
3.b
2 + 10.a
2.b
2 + 5.a.b
4 + b
5
(a - b) 5 = a
5 - 5.a
4.b + 10.a
3.b
2 - 10.a
2.b
2 + 5.a.b
4 - b
5
(a + b) 5 - (a - b)
5 = 10a
4.b + 20.a
2.b
3 + 2b
5
Logo:
5324555.25.)32.(205.)32.(10532532
550512005144053253255
5269053253255
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Resposta da questão 22:
[B] Multiplicando as matrizes temos:
BGR
BGR
BGR
O
I
Y
312,0523,0211,0
322,0274,0596,0
114,0]587,0299,0
Menor Y = 0,299.0 + 0,587.0 + 0,114.0 = 0
Maior Y = 0,299.1 + 0,587.1 + 0,114.1 = 1
Menor I = 0,596.0 – 0,274.1 – 0,322.1 = - 0,596
Maior I = 0,596.1 – 0,274.0 – 0,322.0 = 0,596
Menor O = 0,211.0 - 0,523.1 + 0,312.0 = - 0,523
Maior O = 0,211.1 - 0,523.0 + 0,312.1 = 0,523 Resposta da questão 23:
[E]