binomio newton radicacion

I.E.P. “DOSCIENTAS MILLAS PERUANAS” ÁLGEBRA

2º SECUNDARIA – III PERÍODO - 2008

VI.BINOMIO DE NEWTON

1. FACTORIAL

DEFINICIÓN: Se define el factorial de un número entero positivo “n” como el producto de todos los enteros consecutivos desde 1 hasta “n” inclusive. Así:

n ! = n =1x2x3x4x…. x(n-1)xn

n ! ; n =Se lee “factorial de n” o “n factorial”.Ejemplos:

1! = 1

2! = 1 x 2

3! = 1 x 2 x 3

4! = 1 x 2 x 3 x 4

5! = ......................................................6! = ........................................................7! = ......................................................8! = ......................................................9! = ......................................................10!= ......................................................

Por convención: 0 ! = 0 = 1

OBSERVACIONES:

I. Si: a ! =1 a = 1 ó a = 0

II. Sabemos que: 7 ! = 7 x

7 ! = 7 x 6 !

n ! =n x (n-1) !

PROBLEMAS RESUELTOS

1.- Simplifica:

2.- Simplifica:

3.- Simplifica:

4.- Simplifica:

Solución:

x + 4 = 7

x = 7 – 4

x = 3

5.- Simplifica:

Solución:

P = n - 3 – n + 4

P = 1

6.- Reduce:

Solución:

Descomponemos los factoriales.

R =

R =

R =

R =

R = n

7.- Halla el valor de “n” en:

Solución:

= 99(n-2)!

(n+1)(n-1) =99

n2 – 1 = 99

n2 =100

n = 10

PRÁCTICA DIRIGIDA Nº06

NIVEL I1).- Halla el resultado de:

a) 255/221 b) 256/225 c) 225/256 d) 125/256e) 256/125

2).- Halla el equivalente de:

a) 10403 b) 10304 c) 10203 d) 10404 e) 10303

3).- Reduce:

a) 1 b) 2 c) 4d) 6 e) 8

4).- Halla “n” de:

n! –24n = 48-(n+1)!

a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 6

5).-Calcula:

a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e)10

6).-Simplifica:

a) 7 b) 10 c) 6 d) 8 e) 11

7).- Simplifica:

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

8).-Simplifica:

65



a) b)

c) d) e)

9).- Halla:

a) 3 b) 2 c) 5 d) 6 e) 1

10).- Halla “M” en:

M =

a) 32 b) 64 c) 1/2 d) 1 e) N.A.

11).- Simplifica:

E 729 6 1 6 1 1( ! )( ! )

a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 9

12).- Efectúa: 3 22 0 3 1! !! ! ! !

a) -26 b) –28 c) –20d) -22 e) -24

13) .- Efectúa: 6! + 5!a) 840 b) 120 c) 720d) 680 e) 1200

14) .- Efectúa: 7! – 5!a) 120 b) 720 c) 4920d) 5040 e) N.A.

15) .- Efectúa:

a) 1/2 b) 1 c) 3/5d) 8 e) 3/8

NIVEL II

1) .- Simplifica :

a) 7/9 b) 1 c) 3d) 9 e) 7

2) .- Simplifica :

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) N.A.

3) .- Simplifica :

a) n b) 2 c) 1d) n2 e) n+1

4) .- Simplifica :

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 24

5).- Simplifica : 3 x 4 x 5 x X! = 5!

a) 5 b) 2 c) 4d) 3 e) 1

6).- Simplifica :

a) 5 b) 2 c) 4d) 3 e) 1

7).- .- Simplifica :

a) 5 b) 2 c) 4d) 3 e) 1

8).- .- Simplifica :

a) 4 b) 2 c) 4d) 3 e) 2

9).- Simplifica :

E =

a) 32 b) 33 c) 34d) 35 e) 31

10).- Determina el valor de :

E =

a) 600 b) 601 c) 599d) 602 e) 603

11).- Calcula: E =

a) 62 b) 84 c) 21d) 65 e) 60

12).- Calcula : E =

a) 700 b) 620 c) 290d) 500 e) 225

13).- Calcula el valor de A.

A =

a) 3500 b) 3620 c) 3600d) 4200 e) N.A.

14).- Hallar “x”en: (x+1)! = 30(x-1)!

a) 9 b) 7 c) 8d) 5 e) 2

CLAVES DE RESPUESTAS

NIVEL I

1) b 2) a 3) b

4) c 5) e 6) d

7) a 8) b 9) d

10)d 11)b 12)b

13)a 14)c 15)c

NIVEL II

1) e 2) d 3) a

4) d 5) b 6) d

7) c 8) c 9) d

10)b 11)c 12)b

13)c 14)d

2. NÚMERO COMBINATORIO

DEFINICIÓN: Se define como el número total de grupos que se pueden formar con “n” elementos tomados de k en k, en el cual cada grupo debe diferenciarse por lo menos en un elemento.

; donde n, k N

n ≥ k ≥ 0

NOTACIÓN:

Regla Práctica:

Ejemplos:

PROPIEDADES:

66



a) COMBINATORIOS COMPLEMENTARIOS:

Teorema :

Si :

b) DEGRADACIÓN DE ÍNDICES: ambos índices:

Sólo el superior:

Sólo el inferior:

c) SUMA DE COMBINATORIOS:

3. BINOMIO DE NEWTON: Expansión general del binomio de Newton: Se pueden desarrollar binomios para exponente natural con ayuda de los combinatorios.

(x+a)n= + +

+....+

FÓRMULA GENERAL DEL TÉRMINO DE POSICIÓN: k+1 ( )

=

Nota: La expansión del Binomio (x+a)n

a) Presenta n + 1 términos.

b) Es un polinomio homogéneo y ordenado descendentemente (para x), ordenado ascendentemente (para a).

Además:

=

* Si x = 1 =

2n

*Si x=-1 =

PROBLEMAS RESUELTOS:

1).- Reduce:

Solución:

E =

E =

2).- Reduce:

Solución:

Pero :

Luego :

E =

E = 3

3).- Reduce: EC C C

C C C

1222

1322

1422

721

821

921

2

2Solución :

E = 2,4

4).- Determina el valor de:

S =

Solución:

S=

S = 15 + 20 + 15

S = 50

5).- Halla el término independiente en el desarrollo de:

Solución:

tk+1 = (x2)12-k (-x -1) k

Luego : 2(12 – k) – k = 0

k = 8

Por lo tanto: = 495

6).- Halla el valor de “n” si el término de lugar 25 en el desarrollo de:

(x2 + )n contiene a x12.

Solución :

t25 = (x2)n-24 (x-3)24 = x12

2n – 48 – 72 = 12

n = 66

7).- El 4to término del desarrollo de: (x+2)n es 80xm.

Calcula :

Solución :

t4 = (x)n-3 (2)3 = 80xm

8 xn-3 = 80xm

Luego : 8 = 80 = 10

xn-3 = xm

n-3 = m n – m = 3Luego :

3

67



8).- Uno de los términos de la expresión de (x4 + x-3)15 es de la forma nx32. Calcula el valor de “n”.

Solución:

tk+1 = ( x4 )15-k( x-3 )k

x60-4k-3k = nx32

60 – 7k = 32k = 4

Luego: = n

n = 1365


1).- Sabiendo: 3 11777

7 176C Ck k

Calcula: K !

a) 3 b) 6 c) 9d) 11 e) N.A.

2).- Reduce: E C C C CX X X X 7 8 9 10

22

a) CX10

3 b) CX10

2 c) C X10

d) CX9

2 e) N.A.

3).- Reduce : EC C C

C C C

510

610

710

49

59

69

2

2

a) 12/7 b) 11/7 c) 9/7d) 5/7 e) 2/7

4).- Halla “n” si:

C C C C Cn n n n n4 5 5

26

15

3

a) 2 b) 3 c) 8d) 10 e) 18

5).- Reduce : EC

C 5

8

28

a) 2 b) -2 c) 1/2d) 3 e) 1/3

6).- Reduce:

a) 1 b) -1 c) 2d) -2 e) 1/2

7).- Reduce:

a) 3n-6 b) 3n-5 c) 3n-4d) 3n-3 e) N.A.

8).- Reduce y determina el valor de n en:

M C C C Cn n n n 4 5 6

17

2

resulta igual a: Cn10

3

a) 14 b) 12 c) 10 d) 18 e) 20

9).- Calcula “X” en :4

42 35

6

C

C

x

x /

a) 11 b) 12 c) 13d) 14 e) N.A.

10).- Dada la igualdad:

Determina el valor de (n2 + n)a) 10 b) 110 c) 120d) 130 e) 132

11).- Halla el valor de la expresión:n2 + 2n – 1, si =28

a) 79 b) 62 c) 98d) 34 e) 47

12).- Halla el valor de ,

si : 2( ) = 3( ) ; n Z+

a) 5/4 b) 9/7 c) 11/9d) 6/5 e) 4/3

13).- Halla “n” si el octavo término del desarrollo de:

contiene a “ x12 ”

a) 20 b) 25 c) 33 d) 35 e) 40

14).- Calcula el lugar que ocupa el término que contiene a “x5 “ en el desarrollo de:

a) 10 b) 11 c) 12 d) 15 e) 20

15).- Halla “n” si en el término 28 del desarrollo de (x + 3y)n el exponente de “x” es 3a) 30 b) 28 c) 25d) 15 e) 12

16).- Halla el valor de “n” si el término de

lugar 25 en el desarrollo de

contiene a “x12”.

a) 30 b) 40 c) 66d) 70 e) 78

17).- El noveno término del binomio (x+x-3)n

es de grado 8, halla el grado del quinto término.

a) 6 b) 14 c) 18d) 24 e) 28

18).- Halla el T.I del desarrollo de (x3-x-3)10

a) 252 b) 16 c) 168d) 206 e) 300

19).- En la expansión de: B(x,y)=(x2+y3)20

Determine el grado absoluto del 9no término

a) 24 b) 48 c) 60 d) 32 e) 44

20).- Halla el grado absoluto del 7mo término del desarrollo de:

(3x3y + 2z2)15

a) 48 b) 51 c) 52d) 24 e) 96

21).- Calcula el coeficiente del quinto término de:

a) 30 b) 35 c) 33 d) 40 e) 1

22).- Halla “n” si en el término 28 del desarrollo de (x+3y)n el exponente de “x” es 3.

a)30 b)28 c)25 d)15 e)12

23).- ¿Qué lugar ocupa el término de grado absoluto 48 en el desarrollo de:

(x2 + y3)18

a) 10 b) 11 c) 12d) 13 e) 14

24).- Hallar “p” si t16 de (x5+yp)30

contiene a x75 y60

a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7

CLAVES DE RESPUESTAS1) b 2) a 3) a4) c 5) a 6) a7) a 8) a 9) d10)b 11)a 12)a13)c 14)b 15)a16)c 17)d 18)a19)b 20)a 21)b22)a 23)d 24)b

VII. RADICACION

DEFINICIÓN:

Es la operación que tiene por objeto calcular una expresión llamada RAÍZ conociendo otras llamadas ÍNDICE y

68



RADICANDO; tal que dicha raíz elevada al índice, reproduzca el radicando.

= R

PROPIEDADES:

2.1)

2.2)

2.3)

2.4)

1. SIMPLIFICACIÓN DE RADICALES:

Se descompone el radicando en factores de modo que los exponentes sean divisibles entre el índice del radical, se extrae la raíz y se deja indicado el factor que no tiene raíz exacta.Ejemplo : Simplifica :

2. RADICALES SEMEJANTES:

Son aquellos que tienen el mismo índice y el mismo radicando.Ejemplo :

3 ; -5 ; ;

3. TRANSFORMACIÓN DE RADICALES DOBLES A RADICALES SIMPLES:

Fórmula general:

C =

Regla práctica:

donde a > b

PROBLEMAS RESUELTOS

1) Simplifica:2 + 3 - 3 -

Solución :

2 x

10 + 3 x 2 - 3 x 7 - 6

20 + 6 - 21 - 6

-

2) Reduce:

Solución :

6 x 15 + 49 - 2 x 18 - 3

90 + 49 - 36 - 3

100

3) Efectúa: (2 ) (5 ) (4 )

Solución:

2 x 5 x 4

40

40 x 6 = 240

4) Resuelve:(2 )4

Solución :

24

16 x 52 = 16 x 25

400

5) Simplifica:

Solución :

6) Transforma en radical simple:

Solución :

9 -

7) Transforma en radical simple:

Solución :

8) Reduce :

Solución :

=

9) Simplifica:

Solución :


I. Simplifica los radicales:

1. = 3

2. = 10

3. = 15

4. = 2

5. = 21

6. = 25

69

Índice

Radicando

Raíz



7. = 3

8. = 2

II. Efectúa las siguientes adiciones y sustracciones de radicales:

1. 12 = 16

2. = 7

3. =-2 -6

4. = 21

5. = -11

6. = 5

7. = 5

8. = -2

III. Efectúa las multiplicaciones y divisiones de radicales:

1. (3 ) (2 ) = 12

2. (-5 ) (-8 ) ( ) = 80

3. (-3 ) ( ) (4 ) =

4. =

5. =

IV. Efectúa las potencias y raíces de radicales:

1. (2 = 128

2. (-3 )3 = 81

3. (-1/2 )2 =

4. (-3/4 )2 =

5. ( ½ )4 =

6. = 25

7. = 7

8. = 49

9. = 4

10. = 11

11. = 9

V. Transforma a radicales simples:

1- =

2- =

3- = + 1

4- = 5 -

5- = + 1

6- = +

7- = +

8- = 2 +

9- = 2 +

10- = +

VI . Resuelve :

1).- Efectúa:

A =

a) 1 2 3d) e) N..A.

2).- Reduce:

M =

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) N.A.

3).- Simplifica:

a) -1 b) -2 c) -3d) -4 e) -5

4).- Simplifica:

a) 1 b) 2 c) 3d) 5 e) N.A.

5).- Reduce:

a) 1 b) + c) 3

d) 5 e) N.A

6).- Efectúa:

a) 3 b) 0 c) d) 1 e) 6

7).- Efectúa:

a) 3 b) 0 c) 7 5 d) 1 e) 6

4. RACIONALIZACION

4.1. DEFINICIÓN:

Es el proceso que transforma a uno de los términos de una fracción (numerador y denominador) escrito en forma irracional, en otro racional.

4.2. FACTOR RACIONALIZANTE: Llamamos así a aquella expresión irracional tal que, al multiplicar a otra que también es irracional la convierte en una expresión racional.

4.3. CASOS:

Expresión Irracional

Factor Racionalizante

Expres.Racional

70

CLAVE DE RESPUESTAS

1) a 2) b 3) b 4) b5) b 6) a 7) c



1° ; n > k A

2° a - b

3° a + b

4° a - b

PROBLEMAS RESUELTOS

1.-

Solución:

2.-

Solución:

3.-

Solución:

=

4.-

Solución:

= 97 - 11

5.- Racionaliza:

Solución:

=

6.- Racionaliza:

Solución:

=


I.- Racionaliza:

1)

a) b) 1/3 c)

d) e) N.A.

2)

a) b) c)

d) e) N.A.

3)

a) b) 2x c) 2ax

d) e) N.A.

4)

a) b)

c) d)

e) N.A.

5)

a) b)

c) d)

e) N.A.

6)

a) b)

c) d)

e) N.A.

7)

a) b)

c) d)

e) N.A.

8)

a) b)

c) d)

e) N.A.

II.- Racionaliza el denominador de:

5612011

71



1).-

a) b)

c) 5 + 4 d) e) N.A

2) .-

a) b)

c) d)

e) N.A

3).-

a) b)

c) d)

e) N.A.

4).-

a) b)

c) d)

e) N.A.

5) .-

a) b)

c) d) No se puede

e) N.A.

6).-

a) b)

c) d)

e) N.A.

7).- Racionaliza:

a) b) +2 c)

-2

d) 2+ e) N.A.

8).- Racionaliza:

a) b)

c) a d)

e) N.A.

9).- Racionaliza e indicar el denominador:

a)x –y b) x +y c)

d) xy e) N.A.

10).- Racionaliza:

a) 5- 4 b) 5 +4

c) 4 - 5 d) e) N.A.

11).- Racionaliza e indica el denominador:

a)1 b) 13 c) -1d) 10 e) N.A.


a) 5 b) 7 c) 3d) 4 e) -3

13).- Racionaliza:

a) b)

c) d)

e) N.A.

14).- Racionaliza e indica el denominador :

a) 3 b) –3 c) -5d) –10 e) N.A.


a) 3 b) –3 c) -5d) –10 e) N.A.

16).- Racionaliza:

a) b) c)

d) e) N.A.

17).- Racionaliza: +

a) b) 2 c) 2

d) 3 e) 2

72



73

CLAVES DE RESPUESTAS:

BLOQUE I:

1) d 2) a 3) a 4) a 5) b

6) b 7) a 8) a

BLOQUE II:

1) b 2) a 3) a 4) b 5) c

6) a 7) c 8) a 9) a 10)c

11)b 12)e 13)a 14)c 15)c

16)c 17)e

binomio newton radicacion

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