Predmet statističkog istraživanja su masovne pojave

Da bi se sagledalo ponašanje jedne masovne pojave,

potrebno je obuhvatiti sve njene manifestacije –

posmatrati slučajeve na kojima se ona ispoljava.

Skup svih elemenata na kojima se izvjesna p

ojava posmatra zove se statistički skup ili populacija.

Statistički skup – masa stvari ili bića (preduzeća,

stanovi, poljoprivredne površine, zaposleni radnici ...

) čije se osobine posmatraju u datom momentu da bi se

utvrdila struktura skupa po tim osobinama.

Skup može sačinjavati masa događaja čije

se karakteristike posmatraju tokom vremena kako

se oni zbivaju.Formiranje statističkog skupa

zavisi od prirode pojave, cilja istraživanja i r

aspoloživih mogućnosti posmatranja.

Kod formiranja statističkog skupa mora se voditi

računa da statistički skup zadovolji svojstvo da

bude relativno homogen.

Da bi mnoštvo jedinica sačinjavalo statistički

skup, one moraju imati barem jednu zaj

ničku osobinu. Ukoliko jedinice imaju više

zajedničkih osobina, utoliko je skup homogeniji.

Kad jedinice nemaju ni jednu zajedničku osobinu,

one ne mogu sačinjavati statistički skup.

Statistički skup je homogen kada su jedinice koje ga s

ačinjavaju istovrsne, a pokazuju samo razlike u

pogledu ispitivanih odlika.

Statistički skupovi su relativno homogeni –

npr. penzioneri i đaci se međusobom razlikuju,

ali i jedni i drugi sačinjavaju radno neaktivno

stanovništvo.Jedinice koje sačinjavaju

statistički skup moraju biti istovrsne ali

ne i istovjetne.

Jedinice statističkog skupa iako istovrsne, r

azlikuju se međusobno po izvjesnim osobinama.

Karakteristika statističkog skupa je da j

e relativno homogen, ali takođe i diferenciran

u pogledu nekih osobina.

Statistički skup treba definisati PROSTORNO,

VREMENSKI I POJMOVNO.

Prostorno odrediti statističku skup z

nači odrediti prostor (teritoriju) na koji se

odnose ili kojem pripadaju određene statističke jedinice.

Vremenski odrediti statistički skup znači odrediti

momenat ili razdoblje vremena u kojem će se

obuhvatiti sve jedinice koje ulaze u statistički skup.

U zavisnosti od prirode pojave koju ispitujemo,

jedinice skupa i njihove karakteristike određujemo

ili u pojedinim momentima (tzv kritičnim momentima)

ili u intervalima vremena. Kod druge grupe pojava treba odrediti vremensko razdoblje,tzv i

zvještajni interval unutar kojeg se vrši kumuliranje

podataka; dobijeni kumulativni rezultat se

smatra u toku odabranog procesa kao

karakteristika date jedinice skupa (npr.

pojedinačna mjesečna proizvodnja svih proizvoda

jedne tvornice koja proizvodi sredstva za zaštitu bilja).

Sadržinsko – stvarno određenje statističkog skupa

iziskuje određivanje osobine koju mora da ima

svaka jedinica da bi bila uključena u skup

Osobine po kojima se jedinice određenog statističkog s

kupa razlikuju međusobno ili se mogu razlikovati

nazivaju se statističkim obilježjima. Različiti vidovi u

kojima se obilježje može javljati nazivaju se

modalitetima tog obilježja.

Obilježja se mogu djeliti prema više kriterija, ali

je najvažnija podjela n

a atributivna (opisna) i numerička.

Atributivna obilježja se izražavaju

opisno- riječima. Osnovna odlika atri

butivnog obilježja je da njegovi modaliteti ne

odražavaju intenzitet posmatrane osobine već

samo njene različite pojavne oblike

Obilježja koja se izražavaju brojčano nazivaju s

e numeričkim. U skupu stanovništva jedinice se

međusobno razlikuju po sljijedećim

numeričkim obilježjima:visini, tjelesnoj

masi, godinama starosti,

Numerička obilježja mogu biti prekidna i neprekidna.

Prekidna obilježja uzimaju samo izolovane –

diskontinuirane vrijednosti (najčešće

cijele brojeve); do ovih numeričkih vrijednosti

najčešće dolazimo prebrojavanjem.

Ako međutim numeričko obilježje može

imati ma koju vrijednost unutar jednog

intervala nazivamo ga neprekidnim ili

kontinuiranim.Do potpune i tačne informacije

skupa dolazimo samo ako obuhvatimo

sve jedinice na kojima se opisana pojav

a ispoljava, tj ako naparvimo POPIS.

Zahvaljujući primjeni  teorije vjerovatnoće,

potpunu obuhvatnost skupa zamjenjujemo

STATISTIČKIM ZAKLJUČIVANJEM.

Pod statističkim zaključivanjem podrazumijevamo

postupak donošenja zaključaka o karaktreistikama

statističkog skupa na osnovu posmatranja samo jednog

dijela tog skupa – UZORKA.

Informacije koje dobijamo uopštavanjem razultata

ovakvog posmatranja mogu sadržavati veće ili manje GREŠKE.

Dvije osnovne oblasti statističkog zaključivanja čine:

-ocjenjivanje nepoznatih parametara skupa i

 testiranje statističkih hipoteza

DESKRIPTIVNA ANALIZA

Statistički metodi istraživanja masovnih pojava se

mogu podijeliti u dvije osnovne grupe.

Jedna grupa obuhvata metode prikupljanja,

sređivanja i prikazivanja podataka i metode određiv

a parametara skupa. Ona spada u domen DESKRIPTIVNE

STATISTIKE.Drugu grupu sačinjavaju metodi statističke an

alize, čiji je osnovni zadatak objašnjenje varijabiliteta pomoću

klasifikacionih, korelacionih i drugih statističkih pokazatelja kao i

statističko zaključivanje na osnovu uzorka. Ovim metodama se bavi

ANALITIČKA STATISTIKA koja se ne može strogo razgraničiti

od deskriptivna statistike.

Ciojeli proces statističkog istraćivanja se može svesti

u tri osnovne etape:

-Statističko posmatranje,

Sređivanje, grupisnje i obrada podataka

-Statistička analiza.

2.1.2. Mjerne skale

Svaki nivo mjerenja ima posebnu skalu

sa određenim jedinicama mjere.

Postoje četiri nivoa mjerenja i četiri mjerne skale:

nominalna, ordinalna, intervalna i skala odnosa.

Nominalna skala je najnepreciznija. U ovoj skali se

brojevi koriste kod pojava koje se mogu klasifikovati 

samo na određen broj i tip modaliteta. Tako se

klasifikuje npr pol, bračno stanje.

Ordinalna skala svodi mjerenje modaliteta n

a njihovo rangiranje po značaju s obzirom n

a usvojene kriterijume i to brojevima koji označav

aju rang ali ne pokazuju veličinu njihovog razlikovanja.

Intervalna i skala odnosa pokazuju ne samo

redoslijed modaliteta nego i mjeru njihovog r

azlikovanja.  Pri tome obavještenje o apsolutnim

razlikama omogućuje intervalna a o relativnim r

azlikama odnosna skala.

Intervalnu skalu karakteriše određena jedinica

mjere, kao npr za kalendarsko vrijeme,

potencijalnu energiju, temperaturu.Najviši

nivo mjerenja se postiže primjenom skale odnosa

koja obezbjeđuje značenje bilo kog odnosa m

jerenih objekata kao što su: visina u centimetrima,

masa u kilogramima.

2.1.3. Metodi  prikupljanja podataka

Nastoji se izabrati metod prikupljanja podataka koji će

sa najmanje troškova da obezbijedi tražene rezultate.

Pojava koja se posmatra može se  obuhvatiti na

svim jedinicama statističkog skupa (potpuno posmatranje)

ili na samo jednom njegovom dijelu (djelimično posmatranje).

Statistički popis

Statistički popis je takav oblik

statističkog posmatranja pri kojem

se obuhvataju sve jedinice posmatranja jednog

statističkog skupa u određenom momentu

koji se zove ‘’kritični momenat’’.Kritični momenat

– vrijeme kada je posmatrani skup u najmanjem kretanju.

Statistički izvještaj

Statističkim izvještajem se obavlja snimanje

promjena statističkog skupa u sukcesivnim

vremenskim intervalima.

Statistički uzorak

Uzorci se primjenjuju kao zamjena ili dopuna

popisnog metoda, a u novije vrijeme i

kao zamjena izvještajnog metoda.

U toku prikupljanja kao i u toku obrade i analize

podataka mogu se javiti statističke greške,

jer idealni uslovi statističkog istraživanja parktično ne postoje.

Greške mogu biti slučajne i sistematske. Slučajne greške

se uglavnom međusobno potiru i nemaju naročitog značaja za

rezulate istraživanja, sistematske greške uvijek utiču na

rezultat, pa se moraju otkloniti ili barem sagledati i

o njima voditi računa.

2.1.4. Sređivanje i obrada podataka

Potrebno je napraviti plan sređivanja statističkog

materijala kojim se predviđa tehnika sređivanja,

rokovi u kojima pojedini zadaci treba da budu izvršeni.

U zavisnosti od toga gdje se vrši sređivanje

statističke građe, razlikujemo:Centralizovano,

Decentralizovano,

 Kombinovano sređivanje. Decentralizac

ija omogućuje brže objavljivanje rezultata posmatranj

a za pojedina područja, centralizovano sređivanje

se često primjenjuje jer omogućuje bolju organizaciju sređivanja,

upotrebu jedinstvenog metoda, stručnost obrade kao

i efikasnije korištenje tehnike za obradu podataka.

Kombinovanje sređivanje se koristi kod potpunih

statističkih akcija u cilju dobijanja brzih prethodnih

rezultata, pa se jedan dio sređivanja vrši dec

entralizovano, a drugi se obavlja centralizovano.

2.2. PRIKUPLJANJE PODATAKA

2.2.1. Statističke serije

Kao rezultat sređivanja statističkog materijala

dobijemo statističke serije. Prema načinu formiranja i

analitičkom sadržaju možemo ih podijeliti na:Serije strukture

Vremenske serije

Serije strukture

Serije strukture pokazuju raspored statističkog

skupa po modalitetima,odnosno vrijednostima

obilježje. Sastoje se iz dva reda obaviještenja.

 U jednom su modaliteti, a u drugom broj jedinica,

 odnosno frekvencije (učestalost) koje pokazuju

koliko se puta pojedini modaliteti javljaju unutar

posmatranog statističkog skupa. Postoje serije

 strukture sa atributnim i serije strukture sa

numeričkim obilježjem. Modaliteti atributivnih

 obilježja se iskazuju opisno i za njihovo grupisanje

 je potrebno imati jasnu shemu klasifikacije.

Za atributivna obilježja se postavlja problem klasifikacije

 atributa, za numerička obilježja se postavlja

problem gradiranja vrijednosti. Gradiranje brojčanih

vrijednosti obilježja se razlikuje u zavisnosti da li je obilježje

PREKIDNO (diskontinuirano) ili NEPREKIDNO (kontinuirano).

Vremenske serije

Vremenske (hronološke serije) su nizovi statističkih

podataka koji pokazuju varijacije tokom vremena.

One se prikazuju u dva niza, prvi niz se odnosi na

vrijeme (godina, kvartal, mjesec), a drugi na veličinu

(nivo) pojave u posmatranom periodu.Prema prirodi

podataka dijele se na momentne i intervalne.

Vremenske serije koje prikazuju veličinu ili nivo pojave

u tačno određenim sukcesivnim momentima nazivaju

se momentnim serijama, a dobijemo ih kao rezultate

više uzastopnih popisa.

Intervalne vremenske serije pokazuju tok (kretanje)

pojave u sukcesivnim vremenskim intervalima ove

serije dobijamo kao rezultate izvještajnog metoda

i podaci se mogu sabirati (kumulirati).

DESKRIPTIVNE MJERE

Pokazatelje rasporeda frekvencija koji pokazuju cijeli

osnovni skup nazivamo parameterima skupa i svrstavamo

ih u tri grupe:

srednje vrijednosti – kao mjere centralne

tendencije rasporeda

mjere disperzije – raspršenosti

mjere oblika rasporeda.

Mjere centralne tendencije

Srednja vrijednost treba da bude pokazatelj centralne

tendencije. Ona predstavlja mjeru centralne tendencije

i pokazuje lokaciju skupa. To je najznačajniji pokazatelj

numeričkih karakteristika serije, po datim mjerilima

reperezentatuje cijeli skup i omogućuje poređenje

između različitih skupova.

Srednje vrijednosti se dijele na:

IZRAČUNATE (ARITMETIČKA, GEOMETRIJSKA,

HARMONIJSKA, KVADRATNA, KUBNA) – izračunavaju

se na osnovu vrijednosti obilježja

 POZICIONE (MODUS I MEDIJANA) – određuju se

položajem u seriji.

Aritmetička sredina

Aritmetička sredina ili prosjek se dobije kada se zbir

svih vrijednosti obilježja podijeli sa njihovim brojem.

Ako je posmatrano obilježje X, njegove vrijednosti

x1, x2,... xi,  ..... Xn njihov broj N, aritmetička sredina

skupa koju ćemo obilježiti sa μ, dobiće se kao:

Za uzorak veličine n, aritmetička sredina negrupisanih

podataka uzorka, koju označimo sa

Ako označimo različite vrijednosti obilježja sa

x1, x2, x3, ... xi, ... Xn, a njihove odgovarajuće frekvencije

sa f1, f2, ..., fi, ...fk, aritmetička sredina skupa će biti:

to jest Ponderisana aritmetička sredina:

Aritmetička sredina ima osobine koje je karakterišu

kao srednju vrijednost i izvjesne osobine:

1)Aritmetička sredina veća je od najmanje i manja

od najveće vrijednosti posmatranog obilježja:

      x1  <  μ  <  xk

2)Aritmetička sredina se izjednačuje sa vrijednos

tima obilježja, kada su one među sobom jednake:

    x1  =  x2  =  ... = xi=  ... = xk  = a = μ

Za primjenu aritmetičke sredine, najveći značaj

imaju njene slijedeće osobine:

3)Zbir odstupanja aritmetičke sredine od pojedinih

3. vrijednosti obilježja jednak je nuli:

4)Zbir kvadrata odstupanja aritmetičke sredine

od pojedinih vrijednosti obilježja manji

je od zbira kvadrata odstupanja bilo  koje

vrijednosti obilježja xo (pa i drugih

srednjih vrijednosti ako nisu jednake

aritmetičkoj sredini) od ostalih vrijednosti

obilježja:

5)Ako su dva obilježja vezana linearnom funkcijom,

tada su i njihove aritmertičke sredine vezane

tom istom linearnom funkcijom:

Y= b0 + b1x

μy = b0 + b1 μx

Gdje je μx aritmetička sredina serije x,

a μy  aritmetička sredina serije y.

Geometrijska sredina

Geometrijska sredina je srednja vrijednost koja

izravnava relativne ili proporcionalne promjene

između vrijednosti podataka, za razliku od

aritmetičke sredine koja izravnava apsolutne

razlike između vrijednosti podataka posmatrane

serije.

Ona se dobija iz PROIZVODA vrijednosti

podataka, s tim što se iz ovog uzima pozitivna

vrijednost korijena čiji je izložitelj jednak

njihovom broju.

Ako posmatrano obilježje označimo sa X, a njegove

vrijednosti sa x1, x2, ..., xN, onda će geometrijska

sredina tih vrijednosti biti definisana formulom:

Obrazac za ponderisanu geometrijsku srednju

vrijednost glasi:

 

Harmonijska sredina

Harmonijska sredina je recipročna vrijednost

aritmetičke sredine recipročnih vrijednosti

obilježja. Kao kod aritmetičke i geometrijske

sredine imamo prostu harmonijsku sredinu:

i ponderisanu harmonijsku sredinu:

Harmonijsku sredinu ima tražiti smisla za ona

obilježja čije su vrijednosti različite od nule.

Ona ima osobine srednje vrijednosti i

primjenjuje se u slučajevima kada su obilježja

statističkih jedinica izražena u obliku recipročnih

pokazatelja.

Modus

Pored izračunatih srednjih vrijednosti; aritmetičke,

geometrijske, harmonijske sredine, kao pokazatelji

lokacije se javljaju pozicione srednje vrijednosti.

Najpoznatiji među njima su MODUS i MEDIJANA.

Kada se govori o srednjoj vrijednosti kao tipičnoj v

rijednosti onda se misli na modus.

Modus je vrijednost obilježja koja u posmatranoj seriji

ima najveću frekvenciju – najčešće se javlja i zato

je najtipičnija vrijednost u seriji. Kada je u jednoj

seriji samo jedna vrijednost obilježja sa najvećom

frekvencijom, (kao u prethodnom primjeru), kažemo

da je unimodalna, a ako postoje dvije ili više takvih

vrijednosti, serija je bimodalna, odnosno multimodalna.

Za serije grupisanih podataka, odnosno neprekidnih

vrijednosti obilježja, modus nije tako uočljiv. Određuje

se pomoću obrasca:

Medijana

Medijana je ona vrijednost obilježja koja se nalazi u

sredini serije uređene po veličini obilježja, odnosno,

to je vrijednost obilježja koja dijeli sumu svih frekvencija

na dva jednaka dijela, tako da jedna polovina bude

obuhvaćena slučajevima- ima manju, a druga polovina

slučajevima – ima veću vrijednost od medijane.Za serije

grupisanih podataka, medijana se dobija interpolacijom

između donje i gornje granice intervala grupe u kojoj se

medijana nalazi:

Medijana se ponekad naziva drugim kvartilom s obzirom na

mogućnost podjele jedne serije na 4 jednaka dijela. Ako se

serija podataka rangiranih po veličini podijeli u 4 jednaka

dijela, vrijednosti obilježja koja ih dijele nazivaju se kvartilima:

prvi kvartil Q1, drugi kvartil Q2 (ili medijana), treći Q3.

Ako seriju podijelimo u 10 ili 100 jednakih dijelova, dobićemo

decile, odnosno percentile.Za grupisane podatke se prvi i

treći kvartil određuju prema obrascima:

Mjere disperzije

Apsolutne mjere disperzije

Apsolutne mjere disperzije iskazuju varijabilitet u apsolutnim

iznosima onih mjernih jedinica u kojima su dati modaliteti

posmatranog obilježja (u milionima konvertibilnih maraka,

hiljadama tona, kilometrima, komadima). Ove mjere, kao i

mjere lokacije mogu biti pozicione i izračunate u odnosu na

srednju vrijednost (najčešće aritemtičku sredinu skupa ili uzorka).

Od pozicionih mjera varijacije, najčešće se koristi razmak ili

interval varijacije, koji predstavlja razliku između najviše i

najniže vrijednosti obilježja u seriji:

Interval varijacije i= Xmax – Xmin

Pošto je prosjek odstupanja pojedinih vrijednosti obilježja

od aritmetičke sredine jednak nuli,  možemo uzeti kao mjeru

disperzije prosjek kvadrata odstupanja, koja se naziva varijansom,

Za serije negrupisanih podataka, izračunava se po obrascu:

Za grupisane podatke je varijansa skupa:

Pošto je varijansa iskazana u mjernim jedinicama na kvadrat,

uzima se njen pozitivan kvadratni korijen i dobiva najčešće

korištena apsolutna mjera disperzije, standardna devijacija σ.

Formula za standardnu devijaciju za negrupisane podatke biće:

Za grupisane podatke je standardna devijacija skupa:

Relativne mjere disperzije

U relativne mjere disperzije ubrajaju se:

koeficijent varijacije, koeficijent interkvartilne varijacije, i

standardizovano (ili normalizovano) odstupanje.

Odnos standardne devijacije i aritmetičke sredine se

naziva koeficijent varijacije. Ako taj koeficijent označimo

sa V, formula za njegovo izračunavanje biće:

                                             σ

Koeficijent varijacijeV= --------

                                             μ

Za upoređenje disperzije više skupova ili uzoraka upotrebljava

se koeficijent interkvartilne varijacije:

Kad se odstupanje aritmetičke sredine od bilo koje vrijednosti

obiljžja izražava u jedinicama standardne devijacije, dobija se

tzv normalizovano ili standardizovano odstupanje:

                                                        X - μ

Standardizovano odstupanje    Z = --------

                                                            σ

Standardizovano odstupanje predstavlja opštu mjeru odstupanja

individualnih podataka od aritmetičke sredine.

OSNOVNI POJMOVI TEORIJE VJEROVATNOĆE

Statistički eksperiment i prostor uzorka

Pod statističkim ili slučajnim eksperimentom

podrazumijevamo svaki potpunoodređen proces

posmatranja koji možemo neograničeno da ponavljamo

u identičnim uslovima (npr bacanje novčića ili kocke).

Događaj

U svakom statističkom eksperimentu postoji karakteristika

koju posmatramo, to je neka osobina koju svaki ishod

eksperimenta može ali ne mora da ima. Na primjer.

U bacanju novčića to može biti pismo u bacanju kocke

paran broj, broj veći od 4 ili samo broj 6.

Nemoguć i siguran događaj

Kao podskup od S, događaj E može da bude prazan skup,

pravi podskup skupa S ili jednak prostoru uzorka skupa S.

Nemoguć događaj – ako među ishodima datog slučajnog

eksperimenta nema povoljnih slučajeva događaja E, onda

se događaj ne može realizovati u tom eksperimentu.

Događaj nazivamo nemogućim događajem i obilježavamo E = 0

Unija događaja

Unija i presjek predstavljaju operacije koje su definisane na

skupovima. Unija događaja E1 i E2 koji su definisani

u prostoru uzorka S 

VJEROVATNOĆA DOGAĐAJA

Neka je događaj E definisan u prostoru uzorka S;

događaju E pripisujemo jedan realan broj koji se obilježava

sa P(E) i nazivamo vjerovatnoćom događaja E. Broj P(E)

ima slijedeće osobine:

1.Vjerovatnoća događaja E je nenegativan broj, P(E)≥0

2.Vjerovatnoća cjelokupnog prostora uzorka jednaka je 1, P(S)=1

3.Ako je

Koncepcija vjerovatnoće o kojoj smo do sada govorili naziva se

KLASIČNOM MATEMATIČKOM ili A PRIORI vjerovatnoćom.

Njena primjena se zasniva na preetpostavci jednako vjerovatnih

elementarnih događaja, koje često ne možemo da prihvatimo.

Klasična definicija vjerovatnoće važi samo u slučaju kada je

prostor uzorka n(S) konačan.

Pored klasične vjerovatnoće, u statističkoj literaturi su prisutne

još dvije koncepcije – tzv statistička vjerovatnoća (vjerovatnoća kao

granična vrijednost relativne frekvencije)  i subjektivna vjerovatnoća.

Klasična i statistička vjerovatnoća za razliku od subjektivne

vjerovatnoće se nazivaju i objektivnim vjerovatnoćama.

Vjerovatnoća kao granična vrijednost relativne frekvencije

Prema ovoj koncepciji, vjerovatnoća je definisana kao granična

vrijednost relativne frekvencije i naziva se statističkom

vjerovatnoćom ili vjerovatnoćom a posteriori. Statistička vjerovatnoća

se određuje poslije izvršenog eksperimenta na osnovu prikupljenih

empirijskih podataka (a posteriori).

Subjektivna vjerovatnoća

U praksi često susrećemo dagađaje koji se javljaju samo jedanput

ili su okolnosti u kojima se oni ponavljaju među sobom toliko

različite da događaje moramo posmatrati kao jedinstvene (npr

plasman novog proizvoda). U ovakvim situacijama, vjerovatnoće

neizvjesnih događaja ne možemo da odredimo empirijskim putem,

a često ne možemo ni da prohvatimo pretpostavku klasične

koncepcije o jednakim vjerovatnoćama svih elementarnih događaja.

Tada koristimo tzv subjektivnu vjerovatnoću.

Pravilo sabiranja vjerovatnoća (aditivno pravilo)

Do sada smo vjerovatnoću izračunavali kao količnik broja

povoljnih i ukupnog broja mogućih ishoda slučajnog eksperimenta.

Vjerovatnoću događaja možemo da izračunamo i preko vjerovatnoća

nekih drugih događaja sa kojima je posmatrani događaj u nekom odnosu.

Vjerovatnoću unije dva događaja izračunavamo primjenom slijedećeg

općeg pravila za sabiranje:

Vjerovatnoća unije dva događaja jednaka je zbiru vjerovatnoća

tih događaja, umanjenom za vjerovatnoću njihovog zajedničkog javljanja

a to je:

Dva događaja su među sobom nezavisna ako javljanje ili nejavljanje je

dnog događaja nema uticaja na vjerovatnoću javljanja drugog događaja,

odnosno, važe jednakosti:

P(E1/E2) =P(E1)

P(E2/E1) =P(E2)

Pravilo množenja vjerovatnoć

Ako znamo pojam uslovne vjerovatnoće, može se izračunati vjerovatnoća

zajedičkog (istovremenog) javljanja dva događaja u jednom eksperimentu.

To je vjerovatnoća presjeka dva  događja koju na osnovu formule 3

izračunavamo na osnovu formula:

Vjerovatnoća presjeka dva događaja jednaka je proizvodu vjerovatnoća

jednog od događaja i uslovne vjerovatnoće drugog kada se prvi događaj

ostvario. Pravilo za izračunavanje  ove vjerovatnoće zove se pravilom

množenja vjerovatnoća.

Vjerovatnoća presjeka dva događaja se zove i složenom

vjerovatnoćom jer predstavlja vjerovatnoću složenog događaja,

tj događaja koji čini istovremeno javljanje dva događaja.

Slučajna promjenljiva je neprekidna (ili kontinuirana9 ako može

da uzme bilo koju vrijednost u nekom intervalu. Između bilo koje

dvije vrijednosti x1 i x2 slučajne promjenljive postoji slijedeća

moguća vrijednost x3 koja je različita od x1 i x2. Broj vrijednosti

koje može uzeti neprekidna slučajna promjenljiva je beskonačan.

  Primjeri neprekidnih slučajnih promjenljivih: visina  i obim drveta,

vrijeme potrebno da se obavi neka proizvodna operacija,

Funkcija rasporeda prekidne slučajne promjenljive

Raspored vjerovatnoće prekidne slučajne promjenljive koja ima konačan

broj vrijednosti se može predstaviti kao lista pojedinih vrijednosti slučajne

promjenljive sa odgovarajućim vjerovatnoćama

Funkcija rasporeda (naziva se i kumulativna funkcija rasporeda)

prekidne slučajne promjenljive pokazuje VJEROVATNOĆU da slučajna

promjenljiva X uzme vrijednost koja je manja ili jednaka bilo kojoj

vrijednosti x. Funkcija rasporeda slučajne promjenljive X označava se sa

F(x) i data je vjerovatnoćom: