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1. Cristalização.
2. Coleta de dados de difração de raios X.
3. Interpretação do padrão de
difração de raios X
4. Resolução da estrutura.
5. Análise.
Etapas para resolução da
estrutura 3D de
macromoléculas biológicas por
cristalografia
2
Cristalografia
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Fenômenos ondulatórios são comuns,
desde de exemplos bucólicos, como uma
onda formada num lago a fenômenos não
tão óbvios, como as ondas
eletromagnéticas que compõem a luz. A
representação gráfica de ondas,
normalmente satisfatória para os
propósitos da biologia estrutural, faz uso
de funções periódicas, como a função
seno. Na figura ao lado, temos uma gota
d’água que caiu sobre uma superfície
calma de um reservatório de água. O
impacto da gota deforma a superfície,
criando uma cratera na água. A fluidez da
água faz com que a cratera formada seja
rapidamente preenchida gerando um
padrão de ondas. A foto é um instante
congelado do fenômeno, onde vemos as
ondas que se formaram a uma certa
distância de onde a gota incidiu.
Foto de alta velocidade de uma gota incidindo sobre a
superfície d’ água.
Disponível em: <
http://www.sciencephoto.com/media/75567/view >
Acesso em: 21 de setembro de 2018. 3
Ondas
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Para representarmos o instante
congelado da figura, temos que
considerar a variação senoidal da
amplitude (altura da onda) em função da
posição (x). A origem é o ponto x = 0,
indicado ao lado. Picos sucessivos de
amplitude máxima (A) têm uma distância
fixa entre eles, indicada na figura, tal
distância é o comprimento de onda ().
Como o instante está congelado no
tempo, o fenômeno não apresenta
variação com o tempo. A amplitude (y),
varia com a posição (x), ou seja, y(x).
Assim, a representação da variação da
amplitude (y(x)) em função da posição (x)
da onda ao lado, com amplitude máxima
(A) e comprimento de onda (), tem a
seguinte forma:Imagem que se forma devido à queda de uma gota
d´água sobre a superfície.
Disponível em: <
http://www.sciencephoto.com/media/75566/view >
Acesso em: 21 de setembro de 2018.
X =0
)2
Asen( y(x) x
Eixo x
4
Ondas
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Vamos considerar a onda mostrada na
foto ao lado (parte superior). A onda
apresenta um comprimento de onda ()
de 1,5 cm e a amplitude máxima (A) é 0,5
cm. Assim, sua representação matemática
é dada por:
O gráfico de y(x) está mostrado na figura
abaixo, onde vemos claramente a relação
entre o fenômeno físico (figura superior) e
a representação gráfica (figura inferior).
As linhas tracejadas verticais indicam a
equivalência entre os picos da onda na
água (fenômeno físico) e os picos da
função seno da representação
matemática.
x)1,5cm
2πcm)sen( (0,5 y(x)
x)λ
2π Asen( y(x)
Fonte da imagem: http://www.sciencephoto.com/media/2470/enlarge
5
Ondas
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Da mesma forma que representamos a
onda em função da sua variação com a
distância x, podemos analisar a variação
temporal da onda. Podemos pensar na
representação em função do tempo, como
se fixássemos nossa visão em um ponto
específico da água (ponto vermelho da
figura). Tal ponto subiria e desceria,
submetido a um movimento oscilatório,
devido à passagem da onda. A onda viaja
com velocidade v, assim, o tempo (t) que
a onda demora da origem até o nosso
ponto de observação (ponto vermelho da
figura), com coordenada x é dado por:
v
x t
0 x
Um ponto x (indicado em vermelho) cuja a altura (y) varia
com
o tempo (t).
Disponível em: <
http://www.sciencephoto.com/media/2470/enlarge >
Acesso em: 21 de setembro de 2018.
6
Ondas
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A altura da onda no ponto x (y(t)) varia
com o tempo t. O tempo que o ponto x
demora para descrever um ciclo completo
do movimento é o período da onda (T).
Considerando que o ponto x está na
altura máxima, ele demora um tempo T
para voltar a este ponto de altura máxima.
O número de vezes que o ponto x sobe e
desce em 1 segundo é a frequência da
onda (f), e é dada pelo inverso do
período, como segue:
A frequência é medida em Hertz (Hz).
T
1 f
0 x
Um ponto x (indicado em vermelho) cuja a altura (y) varia
com
o tempo (t).
Disponível em: <
http://www.sciencephoto.com/media/2470/enlarge >
Acesso em: 21 de setembro de 2018.
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Ondas
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Se consideramos uma situação particular,
onde a onda se deslocou um
comprimento de onda, ou seja, onda x =
, temos que o tempo que a onda leva
para percorrer 1 é o período (T), assim t
= T. Usando tal informação, temos que,
para t = T e x = a seguinte relação:
Se lembrarmos que 1/T é a frequência (f),
temos:
Ou seja,
T
t
x v
0 x
T
1.
T v
f v
Um ponto x (indicado em vermelho) cuja a altura (y) varia
com
o tempo (t).
Disponível em: <
http://www.sciencephoto.com/media/2470/enlarge >
Acesso em: 21 de setembro de 2018.
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Ondas
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Agora podemos representar a amplitude
(y) em função do tempo, sabemos que:
Onde e
Substituindo tais igualdades, temos:
Chegando à relação que representa a
onda em função do tempo:
0 x
)2
Asen( y(x) x
f
v v.t x
v.t).v
fAsen(2 )
2Asen( y(t)
x
f.t) Asen(2 y(t)
Um ponto x (indicado em vermelho) cuja a altura (y) varia
com
o tempo (t).
Disponível em: <
http://www.sciencephoto.com/media/2470/enlarge >
Acesso em: 21 de setembro de 2018.
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Ondas
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Assim temos duas formas principais de
representarmos a variação da amplitude
(y) de uma onda. Em função da posição
(x),
Onde é o comprimento de onda.
Ou em função do tempo (t):
Onde f é a frequência. A igualdade 2f
aparece rotineiramente no estudo das
ondas, e recebe o nome de frequência
angular ().Disponível em: <
http://www.sciencephoto.com/media/2302/enlarge >
Acesso em: 21 de setembro de 2018.
)2
Asen( y(x) x
f.t) Asen(2 y(t)
A variação da amplitude da onda pode ser representada em
função do tempo (y(t) ou em função da posição (y(x)), como
indicado nas equações ao lado.
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Ondas
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Caracterizamos as ondas mecânicas periódicas, ou ondas periódicas, pela oscilação
dos átomos e moléculas que compõem o meio onde a onda se propaga. A frequência
da onda (f) é a frequência de oscilação dos átomos e moléculas do meio. O período (T
= 1 / f ) é o tempo que leva para um átomo ou molécula particular passar por um ciclo
completo do movimento de oscilação. O comprimento de onda () é a distância entre
dois átomos (ou moléculas) que oscilam em fase, ao longo da direção de propagação
da onda mecânica. Na representação abaixo temos a variação da amplitude (A) em
função da posição x.
A
11
Ondas
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E
B
x
As ondas eletromagnéticas são constituídas de campos elétricos (E) e magnéticos (B)
oscilantes, que propagam-se com velocidade constante. Podemos imaginar o campo
como uma região do espaço onde atuam forças. O campo gravitacional é a região do
espaço onde atuam forças gravitacionais. O campo elétrico é a região do espaço onde
atuam forças elétricas. O campo elétrico é perpendicular ao campo magnético, como
vemos na figura abaixo.
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Ondas Eletromagnéticas
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Exemplos de ondas eletromagnéticas: raios X, radiação gama, ondas de rádio, luz
visível, radiação ultravioleta e radiação infravermelha. A onda eletromagnética pode
propagar-se no vácuo, o que não acontece com ondas mecânicas como as ondas
sonoras. Para efeitos da interação dos raios X com a matéria, desconsideramos o
campo magnético, visto que este é bem menos intenso que o campo elétrico.
E
B
x
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Ondas Eletromagnéticas
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f = cComprimento de onda
frequência
Velocidade da luz
Para ondas eletromagnéticas deslocando-se no vácuo temos c = 3.108 m/s.
14
Ondas Eletromagnéticas
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Comprimento de onda (m) Radiação
10-15
10-12
10-11
10-10
10-9
10-8
10-7
10-6
10-5
10-4
10-3
10-2
10-1
1
10
102
103
Raios gama e raios X
Ultravioleta
Luz visível
Infravermelha
Ondas de rádio
A radiação eletromagnética pode ser
representada pelo comprimento de onda.
Ondas de rádio apresentam
comprimentos de onda da ordem de
metros. Se diminuirmos mais o
comprimento de onda, chegamos na faixa
do infravermelho, a radiação presente no
seu controle remoto. A próxima faixa é o
espectro visível. Avançando temos
radiação ultravioleta, que pode causar
danos nas células. Raios X e radiação
gama são as radiações mais energéticas
do espectro de radiação.
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Ondas Eletromagnéticas
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As figuras ao lado mostram interferência
entre ondas, temos duas ondas em fase,
ondas 1 e 2, onde seus máximos e
mínimos coincidem e as ondas
apresentam o mesmo comprimento de
onda. O resultado da soma das duas
ondas (1 e 2) é uma onda com a
amplitude resultante igual à soma das
amplitudes das ondas 1 e 2 e
comprimento de onda igual ao das ondas
1 e 2. No caso de interferência destrutiva,
temos as ondas fora de fase (3 e 4),
exatamente meio comprimento de onda,
onde o máximo da onda 3 coincide com o
mínimo da onda 4. O resultado da soma é
uma onda de amplitude zero.
Interferência construtiva Interferência destrutiva
1 3
2 4
1 + 2 3 + 4
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Interferência de Ondas
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Podemos representar matematicamente ondas e, consequentemente, fenômenos
ondulatórios, por meio de funções periódicas como seno e cosseno, ou combinações
dessas funções. A onda abaixo pode ser representada pela seguinte função:
E1 (t) = A . sen ( .t) , onde A indica a amplitude da onda, é a frequência angular (
= 2.f ), onde f é a frequência. O campo é expresso em unidades de campo (uc) e o
tempo em unidades de tempo(ut)
A
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Representação Matemática de Ondas
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As figuras abaixo mostram os gráficos de duas ondas, sendo que a segunda
apresenta o dobro da frequência da primeira. Vemos claramente que dobramos o
número de ondas completas no mesmo período.
E1 = 2.sen(.t); = 2.f, com f = 0,159 Hz
E2 = 2.sen(.t); = 2.f, com f = 0,318 Hz
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Representação Matemática de Ondas
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Abaixo temos a representação gráfica de 6 ondas, com a frequência variando de 0,159
Hz até 15,9 Hz.
f = 0,159 Hz f = 1,59 Hz f = 2,385 Hz
f = 3,18 Hz f = 3,975 Hz f = 15,9 Hz
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Representação Matemática de Ondas
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Vamos considerar agora a influência da amplitude na representação gráfica das
ondas. Temos abaixo a representação gráfica de 3 ondas, com amplitudes 1, 2 e 4. A
representação matemática de cada onda está colocada abaixo. Todas as ondas têm a
mesma frequência (f = 0,159 Hz).
E1 = 1.sen(.t); = 2.f, com f = 0,159 Hz
E2 = 2.sen(.t); = 2.f, com f = 0,159 Hz
E3 = 4.sen(.t); = 2.f, com f = 0,159 HzE1
E2
E3
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Representação Matemática de Ondas
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Outra característica física da onda é sua fase. A fase representa a posição da onda
com relação a origem do sistema de coordenadas no qual a onda é desenhada. Por
exemplo, a onda E2 = 2.sen(.t + ) está deslocada radianos em relação à onda E1
= 2.sen(.t). Abaixo temos a representação gráfica de duas ondas, sendo que a
segunda está deslocada /2 radianos com relação à primeira.
E1 = 2.sen(.t)
E2 = 2.sen(.t + /2)E1E2
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Representação Matemática de Ondas
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Na figura abaixo temos 3 ondas representadas. A onda 1 com fase zero, a onda 2 com
fase /6 e a onda e com fase /3. Vemos que a adição da fase positiva desloca a onda
para a esquerda, como se tivéssemos adiantado a onda com relação à origem. Todas
as ondas têm a mesma amplitude (A = 2) e frequência (f = 0,159 Hz).
E2 = 2.sen(.t + /6)
E3 = 2.sen(.t + /3)
E1 = 2.sen(.t )
E1
E2
E3
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Representação Matemática de Ondas
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Na sequência abaixo temos 6 ondas desenhadas, a onda 1 com fase zero, e as
seguintes somando-se /6, sucessivamente até chegar na onda 6 com uma fase de
5/6.
1 2 3 4 5 6
-2
-1
1
2
E
t(s)
E1 = 2.sen(.t )
1 2 3 4 5 6
-2
-1
1
2
E E2 = 2.sen(.t + /6)
1 2 3 4 5 6
-2
-1
1
2
E3 = 2.sen(.t + /3)E
1 2 3 4 5 6
-2
-1
1
2
E
t(s)
E4 = 2.sen(.t + /2)
t(s)
1 2 3 4 5 6
-2
-1
1
2
E5 = 2.sen(.t + 2/3)
t(s) 1 2 3 4 5 6
-2
-1
1
2
t(s)
E E E6 = 2.sen(.t + 5/6)
t(s)
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Representação Matemática de Ondas
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1 2 3 4 5 6
-2
-1
1
2
1 2 3 4 5 6
-2
-1
1
2
1 2 3 4 5 6
-2
-1
1
2
1 2 3 4 5 6
-2
-1
1
2
1 2 3 4 5 6
-2
-1
1
2
Subtraindo-se uma fase /6, teremos a ondas representadas abaixo. Vemos
claramente que com a subtração a onda fica atrasada com relação à origem.
1 2 3 4 5 6
-2
-1
1
2
E
t(s)
E1 = 2.sen(.t ) E
E2 = 2.sen(.t - /6) E3 = 2.sen(.t - /3)
E
E
t(s)
E4 = 2.sen(.t - /2)
t(s)
E5 = 2.sen(.t - 2/3)
t(s)t(s)
E EE6 = 2.sen(.t - 5/6)
t(s)
24
Representação Matemática de Ondas
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Vamos considerar a soma de duas ondas (E1 e E2), ambas com mesma frequência,
mas com amplitudes 2 uc e 4 uc, respectivamente, como representado abaixo, uc é
unidade de campo elétrico, para deixarmos de uma forma geral.
E1 (t) = 2.sen(.t)
E2 (t) = 4.sen(.t)
E(t) =E1(t) + E2(t) =
E(t) =2.sen(.t ) + 4.sen(.t) = 6. sen(.t)
25
Representação Matemática de Ondas
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Consideremos agora uma segunda onda (onda 2) com a mesma amplitude A,
comprimento de onda e deslocada um ângulo de fase , em relação a onda 1.
Podemos representar matematicamente a onda 2 por meio da seguinte função: E2 (t)
= A . sen ( .t + ), onde A indica a amplitude da onda, é a frequência angular =
2.f , onde f é a frequência, indica a fase da onda, como vimos anteriormente.
E1 (t) = 2.sen(.t)
E2 (t) = 2.sen(.t+)
26
Representação Matemática de Ondas
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Estamos em condições de considerar a soma de duas ou mais ondas de fase
qualquer. Por exemplo, as ondas E1 e E2, quando somadas geram a onda E1 + E2, o
resultado gráfico mostrado abaixo.
E1 (t) = 2.sen(.t)
E2 (t) = 2.sen(.t+)
E1+E2 = 2[sen(.t) + sen(.t+)]
E1+E2
27
Representação Matemática de Ondas
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Vamos considerar a soma de 3 ondas, E1, E2 e E3, como indicado abaixo.
E1 (t) = 2.sen(.t)
E2 (t) = 2.sen(.t+1)
E3 (t) = 2.sen(.t+2)
E1+E2 + E3= 2[sen(.t) + sen(.t+1) + sen(.t+2) ]
E1+E2+E3
Uma forma alternativa de representarmos
soma de ondas, é a partir da soma no
plano complexo, que será descrita a
seguir.
28
Representação Matemática de Ondas
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Uma onda com comprimento de onda
constante () é caracterizada por duas
quantidades, a amplitude (A) e o ângulo
de fase (). Essas duas quantidades
caracterizam um vetor de módulo (A), no
plano complexo, que faz um ângulo ()
com o eixo dos reais. Quantidades
complexas (Z) são representadas no
plano complexo (diagrama de Argand),
onde o eixo x é chamado de eixo real, e o
eixo y eixo complexo. A projeção do vetor
A ao longo do eixo real é representado
por “a=Acos()”, e a projeção ao longo do
eixo imaginário por “b=Asen()”, assim
uma quantidade complexa “Z”, pode ser
representada por: Z = a + ib .
Eixo Real
Eix
o I
ma
gin
ário
Z = a + ib
a
bA
29
Diagrama de Argand
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A representação gráfica indicada no
diagrama de Argand permite três
representações equivalentes das
características geométricas das ondas.
Inicialmente a representação simples:
Z = a + ib,
onde a e b já foram definidos como
projeções. Depois a indicação explícita
das projeções (representação
trigonométrica):
Z = a + ib = A.cos() + iA.sen() =
= A. [cos() + isen() ]
Por último a representação exponencial,
como cos + isen é o exponencial ei,
temos:
Z = A.ei.
Z = a + ib = A.cos() + iA.sen() =
= A. [cos() + isen() ]
= A. ei, onde i é o número
complexo i = (-1)1/2
Eixo Real
Eix
o I
ma
gin
ário
Z = a + ib
a
bA
30
Diagrama de Argand
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E2
E12 4 6 8 10 12
-6
-4
-2
2
4
6
E(t)
t
Eix
o I
ma
gin
ário
Eixo Real
Abaixo temos o diagrama de Argand (plano complexo) à esquerda e a representação
gráfica de duas ondas E1 e E2, à direita. As representações são equivalentes, as
ondas E1 e E2 estão com uma diferença de fase (figura da direita), o que equivale a
uma diferença no diagrama de Argand à esquerda.
E2
E1
31
Diagrama de Argand
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2 4 6 8 10 12
-6
-4
-2
2
4
6
E2
E1
E(t)
t
Eix
o I
ma
gin
ário
Eixo RealE2
E1 (t) = A.sen(.t)E2 (t) = E1e
i.
A onda E1 tem fase zero, ou seja, começa na origem. A onda E2 apresenta uma fase
com relação à E1. Usando-se a notação complexa exponencial, podemos representar
a onda E2 em função da onda E1, levando-se em conta a diferença de fase. Tal
realidade física é expressa matematicamente como: E2=E1.ei, indicando a diferença
de fase () entre as duas ondas.
32
Diagrama de Argand
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2 4 6 8 10 12
-6
-4
-2
2
4
6
A somatória das duas ondas pode ser representada como
segue:
E(t) = E1(t) + E2(t) = E1(t) + E1(t).ei. =E1[1 + ei.]
E2
E1
E(t)
t
Eix
o I
ma
gin
ário
Eixo RealE2
E1 (t) = A.sen(.t)E2 (t) = E1e
i.
33
Diagrama de Argand
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2 4 6 8 10 12
-6
-4
-2
2
4
6
A representação complexa permite mostrar de forma compacta as ondas, facilitando
operações matemáticas, como a soma de ondas mostrada abaixo. A interação dos
raios X com os cristais nada mais é que o resultado da soma de várias ondas
que incidem sobre o cristal. Aplicaremos os conceitos vistos aqui ao estudarmos
difração de raios X.
E(t) = E1(t) + E2(t) = E1(t) + E1(t).ei. =E1[1 + ei.]
E2
E1
E(t)
t
Eix
o I
ma
gin
ário
Eixo RealE2
E1 (t) = A.sen(.t)E2 (t) = E1e
i.
34
Diagrama de Argand
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Drenth, J. (1994). Principles of Protein X-ray Crystallography. New York: Springer-
Verlag.
Stout, G. H. & Jensen, L. H. (1989). X-Ray Structure Determination. A Practical Guide.
2nd ed. New York: John Wiley & Sons.
http://www.wolfram.com/
Última atualização em 21 de setembro de 2018. 35
Referências