ERRATA BIRD Fenmenos de Transporte 2 Edio/04 1 Impresso

Obs.: As correes da 2 Edio/04 1 Impresso esto destacadas nas pginas abaixo.

Nota: As operaes diferenciais no podem ser generalizadas de forma simples para coordenadas curvilneas; verTabelas A.7-2 e A.7-3.

zerobird 09.03.10, 12:371

genes.tec.1Retngulo

EXPRESSES DE FLUXOS MOLECULARES (VER APNDICE B B.1, B.2 E B.3)

Momento ( constante, fluido newtoniano):

Calor (somente fluido puro):

Massa (para uma mistura binria de A e B):

EXPRESSES DE FLUXOS CONVECTIVOS (VER SEES 1.7, 9.7, 17.7)

Momento:

Energia:

Massa:

EXPRESSES COMBINADAS DE FLUXOS

Momento:

Energia:

Massa:

Nota: A grandeza [ v] o fluxo do trabalho molecular (ver Seo 9.8) e = p (ver Tabela 1.2-1). Todos osfluxos obedecem mesma conveno de sinal: eles so positivos, quando a entidade sendo transportada est semovendo do lado negativo de uma superfcie para o lado positivo.

indicebird 04.03.10, 14:54840

genes.tec.1Realce

EQUAES DE BALANO EM TERMOS DOS FLUXOS COMBINADOS

Essas equaes so vlidas somente para sistemas em que a gravidade a nica fora externa. Mais informaespodem ser encontradas na Seo 19.2.

Momento:

Energia:

Massa:

EQUAES DE BALANO (FORMAS ESPECIAIS)

Momento (para fluidos newtonianos com e constantes):

Energia (para fluidos newtonianos com e k constantes):

Massa (para misturas binrias de A e B com AB constante):

GRUPOS ADIMENSIONAIS

(l0 e 0 so o comprimento caracterstico e a velocidade caracterstica, respectivamente)

(Seo B.6)

(Seo B.9)

(Seo B.11)

guardabird 04.03.10, 14:512

genes.tec.1Retngulo

genes.tec.1Retngulo

genes.tec.1NotaDesconsiderar o negrito do smbolo

genes.tec.1NotaNo est em negrito!

16 CAPTULO UM

dinmica dos fluidos.1 Em vez disso explicamos resumidamente as principais idias que levaram descoberta da requeri-da generalizao da lei de Newton da viscosidade.

Para fazer isso consideramos um configurao de escoamento muito geral, na qual a velocidade do fluido pode ter di-ferentes direes em locais distintos e pode depender do tempo t. As componentes da velocidade so ento dadas por

Em tal situao existiro nove componentes de tenso ij (onde i e j podem ter as designaes x, y e z), em vez do compo-nente yx que aparece na Eq. 1.1-2. Portanto, devemos comear definindo essas componentes de tenso.

Na Fig. 1.2-1 mostrado um pequeno elemento de volume com forma de cubo no interior do campo de escoamento,cada face tendo uma rea unitria. O centro do elemento de volume est na posio x, y, z. Em qualquer instante do tempopodemos seccionar o elemento de volume de maneira a remover metade do fluido nele contido. Como mostrado na figura,podemos seccionar o volume perpendicularmente a cada uma das trs direes coordenadas sucessivamente. Podemosento perguntar que fora deve ser aplicada na superfcie livre (sombreada) de modo a repor a fora que era exercida sobreaquela superfcie pelo fluido que foi removido. Existiro duas contribuies para a fora: aquela associada com a pressoe aquela associada com as foras viscosas.

A fora de presso ser sempre perpendicular face exposta. Ento em (a) a fora por unidade de rea na superfciesombreada ser um vetor px isto , a presso (um escalar) multiplicada pelo vetor unitrio x da direo x. Similarmen-te, a fora na superfcie sombreada em (b) ser py, e em (c) a fora ser pz. As foras de presso sero exercidas quandoo fluido estiver em repouso bem como quando estiver em movimento.

As foras viscosas entram em jogo somente quando existirem gradientes de velocidade no fluido. Em geral elas no sonem perpendiculares nem paralelas superfcie do elemento, formando com a mesma algum ngulo (ver Fig. 1.2-1). Em(a) vemos uma fora por unidade de rea x exercida na rea sombreada, e em (b) e em (c) vemos foras por unidade derea y e z. Cada uma dessas foras (que so vetores) tem componentes (escalares); por exemplo, x tem componentes xx,xy e xz. Ento podemos resumir as foras que agem nas trs reas sombreadas da Fig. 1.2-1 na Tabela 1.2-1. Essa tabulao

1 W. Prager, Introduction to Mechanics of Continua, Ginn, Boston (1961), pp. 89-91; R. Aris, Vectors, Tensors, and the Basic Equations of Fluid Mechanics, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, N.J. (1962), pp. 30-34, 99-112; L. Landau and E. M. Lifshitz, Fluid Mechanics, Pergamon, London, 2nd edition (1987), pp. 44-45. Lev DavydovichLandau (1908-1968) recebeu o prmio Nobel em 1962 por seu trabalho com hlio lquido e dinmica de superfluidos.

Fig. 1.2-1 Foras de presso e viscosas agindo sobre planos no fluido perpendiculares s trs direes coordenadas. Os planos sombreadostm rea unitria.

001-bird-a 03.03.10, 14:3416

genes.tec.1Realce

VISCOSIDADE E OS MECANISMOS DE TRANSPORTE DE MOMENTO 19

As tenses cisalhantes so geralmente fceis de serem visualizadas, mas as tenses normais podem causar problemasconceituais. Por exemplo, zz uma fora por unidade de rea na direo z sobre um plano perpendicular direo z. Parao escoamento de um fluido incompressvel no canal convergente da Fig. 1.2-3, sabemos intuitivamente que vz aumentaquando z diminui; conseqentemente, de acordo com a Eq. 1.2-6, existe uma tenso no-zero zz 2 (vz/z) agindo nofluido.

Nota sobre a Conveno de Sinais para o Tensor Tenso Temos enfatizado em conexo com a Eq. 1.1-2 (e na generali-zao nesta seo) que yx uma fora na direo positiva de x sobre um plano perpendicular direo y, e que esta afora exercida pelo fluido da regio de menor y sobre o fluido de maior y. Na maioria dos livros de dinmica dos fluidos

Fig. 1.2-2 (a) Alguns elementos de superfcie e tenses cisalhantes tpicos no sistema de coordenadas cilndricas. (b) Alguns elementos desuperfcie e tenses cisalhantes tpicos no sistema de coordenadas esfricas.

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24 CAPTULO UM

Essa expresso para a viscosidade foi obtida por Maxwell 2 em 1860. A grandeza d2 chamada de seo transversal decoliso (ver Fig. 1.4-2).

A deduo anterior, que d uma imagem qualitativamente correta da transferncia de momento em um gs a baixasdensidades, torna claro por que desejvamos introduzir o termo fluxo de momento para designar yx na Seo 1.1.

A previso da Eq. 1.4-9 de que independente da presso concorda bem com dados experimentais at cerca de 10atm para temperaturas acima da temperatura crtica (ver Fig. 1.3-1). A dependncia prevista com a temperatura bemmenos satisfatria; dados para vrios gases indicam que aumenta mais rapidamente do que . Para descrever melhora dependncia de com a temperatura, necessrio substituir o modelo de esfera rgida por um que considere forasatrativas e repulsivas mais acuradamente. tambm necessrio abandonar as teorias de livre percurso mdio e utilizar aequao de Boltzmann de modo a se obter mais precisamente a distribuio de velocidades moleculares em sistemas forado equilbrio. Deixando os detalhes para o Apndice D, apresentamos aqui os principais resultados. 3,4,5

Uma rigorosa teoria cintica de gases monoatmicos a baixas densidades foi desenvolvida no incio do sculo vinte porChapman na Inglaterra e independentemente por Enskog na Sucia. A teoria de Chapman-Enskog fornece expresses paraas propriedades de transporte em termos da energia potencial intermolecular (r), em que r a distncia entre duas mo-lculas em processo de coliso. A fora intermolecular ento dada por F(r) d/dr. A forma funcional exata de (r)no conhecida; todavia, para molculas no-polares uma expresso emprica o potencial de Lennard-Jones 6 (6-12)dado por

na qual um dimetro caracterstico das molculas, freqentemente denominado dimetro de coliso, e uma energiacaracterstica, na verdade a energia mxima de atrao entre duas molculas. Essa funo, mostrada na Fig. 1.4-3, descre-ve o comportamento caracterstico das foras intermoleculares: atraes fracas para separaes grandes e repulses fortespara separaes pequenas. Para muitas substncias os valores dos parmetros e so conhecidos; uma listagem parcial dada na Tabela E.1 e uma mais extensa est disponvel em outro local. 4 Quando e no so conhecidos, eles podem

2 James Clerk Maxwell (1831-1879) foi um dos maiores fsicos de todos os tempos; ele particularmente famoso pelo desenvolvimento que deu rea de eletromag-netismo e por suas contribuies para a teoria cintica dos gases. Em relao a esta ltima, veja J. C. Maxwell, Phil. Mag., 19, Prop. XIII (1860); S. G. Brush, Am. J.Phys., 30, 269-281 (1962). Existe alguma controvrsia sobre as Eqs. 1.4-4 e 1.4-9 (veja S. Chapman and T. G. Cowling, The Mathematical Theory of Non-UniformGases, Cambridge University Press, 3rd edition (1970), p. 98; R. E. Cunningham and R. J. J. Williams, Diffusion in Gases and Porous Media, Plenum Press, New York(1980), 6.4).3Sydney Chapman (1888-1970) ensinava no Imperial College em Londres, e, posteriormente, trabalhou no Observatrio de Grande Altitude em Boulder, Colorado.Alm do seu trabalho seminal na teoria cintica dos gases, ele contribuiu para a teoria cintica dos plasmas e para a teoria das chamas e detonaes. David Enskog(1884-1947) famoso por seu trabalho nas teorias cinticas de gases a baixas e altas densidades. A referncia padro para a teoria cintica de gases diludos de Chapman-Enskog S. Chapman and T. G. Cowling, The Mathematical Theory of Non-Uniform Gases, Cambridge University Press, 3rd edition (1970); um resumo histrico dateoria cintica dado nas pp. 407-409. Veja tambm a Dissertao Inaugural, Uppsala (1917). Adicionalmente, J. H. Ferziger and H. G. Kaper, Mathematical Theoryof Transport Processes in Gases, North-Holland, Amsterdam (1972), expem a teoria molecular de um modo muito fcil de se ler.4A extenso da teoria de Chapman-Enskog para misturas multicomponentes de gases feita por Curtiss-Hirschfelder5, bem como o desenvolvimento de tabelas teis emclculos, pode ser encontrada em J. O. Hirschfelder, C. F. Curtiss, and R. B. Bird, Molecular Theory of Gases and Liquids, Wiley, New York, 2nd corrected printing(1964). Veja tambm C. F. Curtiss, J. Chem. Phys., 49, 2917-2919 (1968), bem como referncias dadas no Apndice E. Joseph Oakland Hirshfelder (1911-1990),diretor fundador do Instituto de Qumica Terica da Universidade de Wisconsin, especializou-se em foras intermoleculares e aplicaes da teoria cintica.5 C. F. Curtiss and J. O. Hirschfelder, J. Chem. Phys., 17, 550-555 (1949).6 J. E. (Lennard-) Jones, Proc. Roy. Soc., A106, 441-462, 463-477 (1924). Veja tambm R. J. Silbey and R. A. Alberty, Physical Chemistry, Wiley, New York, 3rdedition (2001), Chapter 17, ou R. S. Berry, S. A. Rice, and J. Ross, Physical Chemistry, Oxford University Press, 2nd edition (2000), Chapter 28.

Fig. 1.4-2 Quando duas esferas rgidas de dimetro daproximam-se uma da outra, o centro de uma esfera (emO) v um crculo de rea d2 em torno do centro daoutra esfera (em O) em que a coliso pode ocorrer. A read2 referida como seo transversal de coliso.

Crculo de rea d2

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genes.tec.1Realce

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30 CAPTULO UM

1.6 VISCOSIDADE DE SUSPENSES E EMULSESAt agora temos discutido fluidos que consistem em uma nica fase homognea. Agora voltamos nossa ateno, sucinta-mente, para sistemas com duas fases. A descrio completa de tais sistemas , naturalmente, muito complexa, mas fre-qentemente til substituir a suspenso ou a emulso por um sistema hipottico de uma fase, que ento descrevemos pelalei de Newton da viscosidade (Eq. 1.1-2 ou 1.2-7) com duas modificaes: (i) a viscosidade substituda pela viscosi-dade efetiva, eff, e (ii) a velocidade e as componentes da tenso so redefinidas (sem modificao de smbolos) como ovalor mdio de grandezas anlogas, calculado para um volume grande comparado s distncias entre as partculas, pormpequeno em relao s dimenses do sistema de escoamento. Esse tipo de teoria satisfatrio desde que o escoamentoseja permanente; para escoamentos dependentes do tempo, j foi mostrado que a lei de Newton da viscosidade inapro-priada, e o sistema bifsico deve ser considerado como um material viscoelstico. 1

A primeira grande contribuio para a teoria da viscosidade de suspenses de esferas deve-se a Einstein. 2 Ele conside-rou uma suspenso de esferas rgidas, to diluda que o movimento de uma esfera no influencia o escoamento do fluidonas vizinhanas de qualquer outra esfera. Assim, suficiente analisar somente o movimento do fluido em torno de umanica esfera e os efeitos individuais de cada esfera so aditivos. A equao de Einstein

onde 0 a viscosidade do meio dispergente, e a frao em volume das esferas. O resultado pioneiro de Einstein sofreumuitas modificaes, algumas das quais descreveremos a seguir.

Para suspenses diludas de partculas de vrios formatos a constante 5/2 tem que ser substituda por um coeficienteque depende do prprio formato de partcula. Suspenses de partculas elongadas ou flexveis exibem viscosidade no-newtoniana. 3,4,5,6

Para suspenses concentradas de esferas (isto , maior que cerca de 0,05) as interaes entre as partculas tornam-serelevantes. Numerosas expresses semi-empricas foram desenvolvidas sendo a equao de Mooney 7 uma das mais simples

onde 0 uma constante emprica entre cerca de 0,74 e 0,52, sendo que esses valores correspondem, respectivamente, aosvalores de para os empacotamentos mais fechado e cbico.

Um outro enfoque para suspenses concentradas de esferas a teoria das clulas, na qual examinamos a dissipaode energia no escoamento entre as esferas. Como um exemplo desse tipo de teoria citamos a equao de Graham 8

em que , onde max a frao em volume correspondente ao empacotamento de esferasmais fechado, determinado experimentalmente. Essa expresso simplifica-se para a equao de Einstein quando 0 epara a equao de Frankel-Acrivos 9 quando max.

1 Para suspenses diludas de esferas rgidas, o comportamento viscoelstico linear foi estudado por H. Frohlich and R. Sack, Proc. Roy. Soc., A185, 415-430 (1946), epara emulses diludas uma deduo anloga foi feita por J. G. Oldroyd, Proc. Roy. Soc., A218, 122-132 (1953). Nessas duas publicaes o fluido descrito pelo modelode Jeffreys (veja Eq.8.4-4), e os autores estabeleceram relaes entre os trs parmetros do modelo de Jeffreys e as constantes que descrevem a estrutura do sistemabifsico (a frao em volume do material em suspenso e as viscosidades das duas fases). Para mais comentrios a respeito de suspenses e reologia, veja R. B. Bird andJ. M. Wiest, Chapter 3 in Handbook of Fluid Dynamics and Fluid Machinery, J.A. Schetz and A. E. Fuhs (eds.), Wiley, New York (1996).2 Albert Einstein (1879-1955) recebeu o prmio Nobel por sua explicao do efeito fotoeltrico, e no pelo desenvolvimento da teoria especial da relatividade. Seutrabalho seminal com suspenses apareceu em A. Einstein, Ann. Phys. (Leipzig), 19, 289-306 (1906); errata, ibid., 34, 591-592 (1911). Na publicao original, Einsteincometeu um erro na deduo e obteve em vez de 5/2. Depois que experimentos mostraram que sua equao no concordava com dados experimentais, ele recalculouo coeficiente. A deduo original de Einstein bastante longa; para um deduo mais compacta, veja L. D. Landau and E. M. Lifshitz, Fluid Mechanics, Pergamon Press,Oxford, 2nd edition (1987), pp. 73-75. A formulao matemtica do comportamento de um fluido multifsico pode ser encontrada em D. A. Drew and S. L. Passman,Theory of Multicomponent Fluids, Springer, Berlin (1999).3H. L. Frisch and R. Simha, Chapter 14 in Rheology, Vol. 1, (F. R. Eirich, ed.), Academic Press, New York (1956), Sections II and III.

4E. W. Merril, Chapter 4 in Modern Chemical Engineering, Vol. 1, (A. Acrivos, ed.), Reinhold, New York (1963), p.165.5E. J. Hinch and L. G. Leal, J. Fluid Mech., 52, 683-712 (1972); 76, 187-208 (1976).6W. R. Schowalter, Mechanics of Non-Newtonian Fluids, Pergamon, Oxford (1978), Chapter 13.7 M. Mooney, J. Coll. Sci., 6, 162-170 (1951).8 A. L. Graham, Appl. Sci. Res., 37, 275-286 (1981).9 N. A. Frankel and A. Acrivos, Chem. Engr. Sci., 22, 847-853 (1967).

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genes.tec.1Realce

42 CAPTULO DOIS

Usando as grandezas xz e zz levamos em conta o transporte de momento de direo z por todos os mecanismos, convectivoe molecular. Note que tomamos os sentidos entrada e sada idnticos aos sentidos positivos dos eixos x e z (nesseproblema esses ltimos coincidiram com os sentidos do transporte do momento de direo z). A notao x+x significacalculado em x x, e g a acelerao da gravidade.

Quando esses termos so substitudos no balano de momento da Eq. 2.1-1, obtemos

Fig. 2.2-2 Casca de espessura x sobre a qual umbalano de momento de direo z feito. As setasmostram os fluxos de momento associados ssuperfcies da casca. Como vx e vy so ambas zero,vxvz e vyvz so zero. Como vz no depende de y e z,segue-se da Tabela B.1 que yz 0 e zz 0. Ento, osfluxos sublinhados com linha tracejada no precisamser considerados. Ambos p e vzvz so iguais em z 0 e z L, e portanto no aparecem na equao finalpara o balano de momento de direo z, Eq. 2.2-10.

Quando essa equao dividida por LWx, e toma-se o limite quando x se aproxima de zero, obtemos

O primeiro termo do lado esquerdo exatamente a definio da derivada de xz em relao a x. Ento a Eq. 2.2-7 fica

Nesse ponto temos que explicitar as componentes xz e zz fazendo uso da definio de , Eqs. 1.7-1 a 3, e das expressesde xz e zz do Apndice B.1. Isso assegura que no esqueceremos de considerar nenhuma das formas de transporte demomento. Desse modo obtemos

Em conformidade com as postulaes de que vz = vz(x), vx = 0, vy 0 e p p(x), vemos que (i) como vx 0, o termo vxvz 0; (ii) como vz = vz(x), o termo 2(vz/z) na Eq. 2.2-9b zero; (iii) como vz vz(x), o termo vzvz o mesmo em z 0 e emz L, e (iv) como p p(x), a contribuio de p a mesma em z 0 e em z L. Assim xz depende apenas de x e a Eq.2.2-8 simplifica-se para

Essa a equao diferencial para o fluxo de momento xz. Ela pode ser integrada obtendo-se

A constante de integrao pode ser calculada usando-se as condies de contorno na interface gs-lquido (veja a Seo 2.1):

A substituio dessa condio de contorno na Eq. 2.2-11 mostra que C1 0. Portanto a distribuio de fluxos de momento

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genes.tec.1Retngulo

BALANOS DE MOMENTO EM CASCAS E DISTRIBUIO DE VELOCIDADES EM REGIME LAMINAR 55

Quando essas trs condies de contorno so usadas, obtemos trs equaes simultneas para as constantes de integrao:

Dessas trs equaes obtemos

Os perfis de fluxos de momento e velocidade resultantes so

Essas distribuies so mostradas na Fig. 2.5-1. Se as viscosidades forem iguais, ento a distribuio de velocidades parablica, tal como esperaramos para um fluido puro escoando entre placas paralelas (veja Eq. 2B.3-2).

A velocidade mdia em cada camada pode ser obtida e os resultados so

A partir das distribuies de velocidades e fluxos de momento dados anteriormente, podemos calcular a velocidade mxima,a velocidade na interface, o plano onde a tenso cisalhante zero, e o arraste sobre as paredes da fenda.

2.6 ESCOAMENTO LENTO EM TORNO DE UMA ESFERA1,2,3,4

Nas sees anteriores diversos problemas de escoamento viscoso foram resolvidos. Todos eles tratavam de escoamen-tos retilneos com somente uma componente de velocidade no-nula. Como o escoamento em torno de uma esfera envolveduas componentes de velocidade no-nulas, vr e v, ele no pode ser prontamente analisado com as tcnicas

1G. G. Stokes, Trans. Cambridge Phil. Soc., 9, 8-106 (1851). Para o escoamento lento em torno de um objeto com formato arbitrrio, veja H. Brenner, Chem. Engr. Sci.,19, 703-727 (1964).2L. D. Landau and E. M. Lifshitz, Fluid Mechanics, 2nd edition, Pergamon, London (1987), 20.3G. K. Batchelor, An Introduction to Fluid Dynamics, Cambridge University Press (1967), 4.9.4S. Kim and S. J. Karrila, Microhydrodynamics: Principles and Selected Applications, Butterworth-Heinemann, Boston (1991),4.2.3; este livro contm uma discussodetalhada de problemas de escoamento lento.

002-bird-b 03.03.10, 14:3755

genes.tec.1Realce

BALANOS DE MOMENTO EM CASCAS E DISTRIBUIO DE VELOCIDADES EM REGIME LAMINAR 69

Qual o valor da constante K? Incorpore a fora centrfuga como uma fora adicional tendendo a dirigir o fluidoatravs do canal. Mostre que isso conduz seguinte expresso para a vazo mssica:

Aqui i pi gLi cos .

2C.7 Um indicador simples de velocidade de subida (veja a Fig. 2C.7). Sob circunstncias apropriadas, o aparelhosimples mostrado na figura pode ser usado para medir a velocidade de subida de um avio. A presso manomtricano interior do dispositivo de Bourdon tomada como sendo proporcional velocidade de subida. Para os objetivosdo problema pode-se assumir que o aparelho tem as seguintes caractersticas: (i) o tubo capilar (de raio R e compri-mento L, com L R) tem volume desprezvel mas resistncia ao escoamento aprecivel; (ii) o dispositivo deBourdon tem um volume constante V e oferece resistncia desprezvel ao escoamento; e (iii) o escoamento no capilar laminar e incompressvel, e a vazo volumtrica depende somente das condies nas extremidades do capilar.

Velocidade de subida

Tubocapilar

Pressoexterna p0

Pressointerna pi

Dispositivode Bourdon

Fig. 2C.7 Um indicador de velocidade de subida.

(a) Desenvolva uma expresso para a variao da presso do ar com a altitude, desprezando as variaes de tempe-ratura e considerando o ar como um gs ideal de composio constante. (Sugesto: Faa um balano para uma cas-ca na qual o peso do gs balanceado pela presso esttica.)(b) Por meio de um balano de massa sobre o medidor, desenvolva uma relao aproximada entre a pressomanomtrica, pi p0, e a velocidade de subida, vz, para uma longa subida com velocidade constante. Despreze avariao da viscosidade do ar, e suponha que as variaes em sua densidade sejam pequenas.(c) Desenvolva uma expresso aproximada para o tempo de relaxamento, trel, do medidor isto , o tempo reque-rido para o valor da presso diminuir de 1/e a partir do valor original, quando a presso externa subitamente modifi-cada de zero (relativo ao interior do medidor) para algum valor constante e mantida indefinidamente nesse novo valor.(d) Discuta a utilidade desse tipo de medidor para avies pequenos.(e) Justifique os sinais mais e menos na figura.Respostas: (a) dp/dz g = (pM/RT)g

(b) pi p0 vz(8L/R4)(MgV/RgT), onde Rg a constante dos gases e M o peso molecular.

2D.1 Viscosmetro de bola rolante. Uma anlise aproximada do experimento da bola rolante foi feita, na qual os resul-tados do Problema 2B.3 foram usados.8 Leia o trabalho original e verifique os resultados. Veja a Figura 2D.1.

2D.2 Drenagem de lquidos9 (veja a Fig. 2D.2). Que quantidade de lquido adere superfcie interna de um vaso grandequando ele drenado? Conforme mostrado na figura, um filme fino de lquido permanece sobre a parede conformeo nvel de lquido no vaso cai. A espessura local do filme funo tanto de z (distncia medida de cima para baixoa partir do nvel inicial do lquido) quanto de t (tempo transcorrido).

8H. W. Lewis, Anal. Chem., 25, 507 (1953); R. B. Bird and R. M. Turian, Ind. Eng. Chem. Fundamentals, 3, 87 (1964); J. estak and F. Ambros, Rheol. Acta, 12, 70-76(1973).9J. J. van Rossum, Appl. Sci. Research, A7, 121-144 (1958); veja tambm V. G. Levich, Physicochemical Hydrodynamics, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, N. J. (1962),Chapter 12.

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genes.tec.1Realce

70 CAPTULO DOIS

(a) Faa um balano de massa transiente em uma poro do filme entre z e z + z obtendo

(b) Use a Eq. 2.2-18 e a hiptese de regime quase-permanente para obter a seguinte equao diferencial parcial para(z, t):

(c) Resolva essa equao obtendo

Que restries devem ser impostas a esse resultado?

Fig. 2D.2 Aderncia de um fluido viscoso sparedes de um vaso durante sua drenagem.

Fig. 2D.1 Desenho esquemtico de umviscosmetro de bola rolante; a quantidade(,z) dada aproximadamente como:

Nvel inicial do lquido

Nvel do lquido semovendo para baixo

com velocidade s

Parede do vaso

(z, t) espessura do filme

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genes.tec.1Realce

genes.tec.1Retngulo

86 CAPTULO TRS

As condies de contorno so as de que o fluido no desliza sobre as duas superfcies cilndricas:

Essas condies de contorno podem ser usadas para obter as constantes de integrao, as quais so inseridas na Eq. 3.6-26.Isto fornece

Escrevendo o resultado dessa forma, com termos semelhantes no numerador e denominador, fica claro que ambas ascondies de contorno so satisfeitas e que a equao dimensionalmente consistente.

A partir da distribuio de velocidades podemos achar o fluxo de momento usando a Tabela B.2;

O torque que age no cilindro interno ento dado pelo produto do fluxo de momento para dentro (r), a rea da superfciedo cilindro, e o brao de alavanca, conforme segue:

O torque tambm dado por Tz = ktb. Portanto, medindo-se a velocidade angular do copo e a deflexo angular do corpo de prova, possvel determinar a viscosidade do fluido. O mesmo tipo de anlise est disponvel para outros tipos de viscosmetros rotacionais.3

Seja l qual for o tipo de viscosmetro, essencial saber quando a turbulncia ir ocorrer. O nmero de Reynolds crtico(0R2/)crit, acima do qual o sistema se torna turbulento, mostrado na Fig. 3.6-2 como uma funo da razo de raios, .

Poderamos perguntar o que aconteceria se mantivssemos o cilindro externo fixo e girssemos o cilindro interno comuma velocidade angular i (o subscrito i indica de dentro, do ingls inner). Nesse caso a distribuio de velocidades

3J. R. Van Wazer, J. W. Lyons, K. Y. Kim, e R. E. Colwell, Viscosity and Flow Measurement, Wiley, New York (1963); K. Walters, Rheometry, Chapman and Hall,London (1975).

Fig. 3.6-2 Nmero de Reynolds crtico para o escoamento tangencial emum nulo, com o cilindro de fora girando e o de dentro estacionrio [H.Schlichting, Boundary Layer Theory, McGraw-Hill, New York (1955), p. 357].

003-bird-b 03.03.10, 14:4486

genes.tec.1Realce

92 CAPTULO TRS

Por uma questo de simplicidade vamos nos restringir aqui a fluidos de densidade e viscosidade constantes, para osquais as equaes de balano so as Eqs. 3.1-5 e 3.5-7

Na maioria dos sistemas com escoamento podemos identificar os seguintes fatores de escala: um comprimentocaracterstico l0, uma velocidade caracterstica 0, e uma presso modificada caracterstica 0 p0 gh0 (por exemplo,elas poderiam ser o dimetro de um tubo, a velocidade mdia de escoamento, e a presso modificada na sada do tubo).Podemos ento definir variveis e operadores adimensionais conforme segue

Sugeriu-se duas alternativas para a presso adimensional, sendo a primeira conveniente para nmeros de Reynolds altos ea segunda para nmeros de Reynolds baixos. Quando as equaes de balano correspondentes s Eqs. 3.7-1 e 3.7-2 soreescritas em termos das grandezas adimensionais, elas se transformam em

ou

Nessas equaes adimensionais os quatro fatores de escala l0, 0, e aparecem em um grupo adimensional. O inversodesse grupo recebeu o nome de um famoso cientista da rea de dinmica de fluidos 3

A magnitude desse grupo adimensional d uma indicao da importncia relativa das foras de inrcia e viscosas no sistema.A partir das duas verses da equao do movimento dadas na Eq. 3.7-9, podemos ganhar alguma perspectiva sobre

formas especiais da equao de NavierStokes vista na Seo 3.5. A Eq. 3.7-9a transforma-se na equao de Euler, Eq.3.5-9, quando Re e a Eq. 3.7-9b na equao do escoamento lento, Eq. 3.5-8, quando Re 1. A aplicabilidadedestas e de outras formas assintticas da equao do movimento so analisadas nas Sees 4.3 e 4.4.

Outros grupos adimensionais podem surgir nas condies iniciais e de contorno; dois que aparecem em problemasenvolvendo interfaces fluido-fluido so

3Veja nota 1 na Seo 2.2.4William Froude (1810-1879) estudou em Oxford e trabalhou como engenheiro civil ligado a ferrovias e a navios a vapor. O nmero de Froude s vezes definido comoa raiz quadrada do grupo dado pela Eq. 3.7-11.5Moritz Weber (1871-1951) foi professor de arquitetura naval em Berlim; outro grupo adimensional envolvendo a tenso superficial o nmero capilar, definido comoCa [[0 /]].

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94 CAPTULO TRS

onde Re D/. As correspondentes condies iniciais e de contorno so:

Se fssemos brilhantes o suficiente para resolver as equaes adimensionais de balano juntamente com as condiesadimensionais de contorno, as solues deveriam ter a seguinte forma:

Isto , a velocidade adimensional e a presso modificada adimensional dependem somente dos parmetros adimensionaisRe e L/D e das variveis adimensionais independentes , , e .

Isso completa a anlise dimensional do problema. No resolvemos o problema de escoamento, mas dispomos agora deum conjunto conveniente de variveis adimensionais que nos permite reenunci-lo e sugerir a forma da soluo. A anlisemostra que se desejamos catalogar as configuraes de escoamento sobre um cilindro, suficiente grav-las (por exemplo,fotograficamente) para uma srie de valores de nmeros de Reynolds, Re = D /, e L/D; assim desnecessrio estudarseparadamente os efeitos de L, D, , e . Tal simplificao economiza muito tempo e gastos. Comentrios semelhantesse aplicam tabulao de resultados numricos caso decidamos abordar o problema com tcnica numrica.7, 8

Experimentos envolvem necessariamente algumas diferenas em relao anlise anterior: a corrente fluida tem tamanhofinito e, inevitavelmente, flutuaes de velocidade esto presentes no fluido tanto no estado inicial quanto na regio amontante. Prximo ao cilindro essas flutuaes desaparecem rapidamente para Re 1. Para Re prximo de 40 oamortecimento de perturbaes torna-se lento, e se esse limite aproximado for excedido observa-se sempre escoamentotransiente.

A configurao de escoamento observada para valores grandes de , varia fortemente com o nmero de Reynolds con-forme mostrado na Fig. 3.7-2. Para Re 1 o escoamento ordenado, conforme mostrado em (a). Para Re em torno de10 um par de vrtices aparece atrs do cilindro, conforme pode ser visto em (b). Esse tipo de escoamento persiste at cercade Re 40, quando ento aparecem dois pontos de separao, nos quais as linhas de corrente se separam da superfcieslida. Alm disso o escoamento se torna transiente; vrtices comeam a se desprender do cilindro e so transportadoscom o fluido para a regio a jusante. Aumentos subseqentes em Re fazem com que os vrtices se separem regularmentede lados alternados do cilindro, conforme mostrado em (c); tal arranjo regular de vrtices conhecido como esteira devrtices de von Krmn. Para valores de Re ainda mais altos, ocorre um movimento desordenado flutuante (turbulncia)na esteira do cilindro, conforme mostrado em (d). Finalmente, com Re prximo de 106, turbulncia aparece a montante doponto de separao e a esteira abruptamente estreita-se, conforme mostrado em (e). Com toda certeza seria muito difcilanalisar os escoamentos transientes mostrados nos trs ltimos desenhos, com base nas equaes de balano. muito maisfcil observ-los experimentalmente e correlacionar os resultados em termos das Eqs. 3.7-23 e 24.

As Eqs. 3.7-23 e 24 tambm podem ser usadas para aumento de escala a partir de um nico experimento. Suponha quedesejamos prever a configurao de escoamento em torno de um cilindro com DI 5 ft em torno do qual ar ir escoar comvelocidade de aproximao ()I 30 ft/s, por meio de um experimento com um modelo em escala com DII 1 ft. Paratermos similaridade dinmica, devemos escolher condies tais que ReII ReI. Ento, se usarmos no experimento emescala menor o mesmo fluido da escala maior, de modo que II/II I/I, resulta que ()II 150 ft/s que a velocidaderequerida para o ar no modelo em escala menor. Dessa forma, com os nmeros de Reynolds iguais, as configuraes deescoamento no modelo e no sistema em escala plena sero parecidas: isto , elas sero geomtrica e dinamicamente similares.

Alm disso, se Re situa-se na faixa de formao peridica de vrtices, o intervalo de tempo adimensional t /D entrevrtices ser o mesmo nos dois sistemas. Assim a taxa de gerao de vrtices ser 25 vezes maior no modelo em comparaocom o sistema em escala plena. A regularidade da gerao de vrtices para nmeros de Reynolds entre 102 e 104 utilizadacomercialmente na medio de vazes em tubulaes de grandes dimetros.

7Solues analticas desse problema para valores de Re muito pequenos e L/D infinito foram revistas em L. Rosenhead (ed.), Laminar Boundary Layers, Oxford UniversityPress (1963), Cap. IV. Uma caracterstica importante desse problema bidimensional a ausncia de soluo do tipo escoamento lento (creeping flow). Assim, o termo[v v] na equao do movimento deve ser includo mesmo no limite quando Re 0 (veja o Problema 3B.9). Isto est em flagrante contraste com a situao de escoamentolento em torno de uma esfera (veja as Sees 2.6 e 2.4) e em torno de objetos tridimensionais finitos.8Para estudos computacionais sobre o escoamento em torno de um cilindro, veja F. H. Harlow e J. E. From, Scientific American, 212, 104-110 (1965), e S. J. Sherwin eG. E. Karniadakis, Comput. Math., 123, 189-229 (1995).

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112 CAPTULO TRS

onde um tensor de terceira ordem cujos componentes correspondem ao smbolo de permutao, ijk (veja a SeoA.2), e / a viscosidade cinemtica.(b) Como as equaes de (a) simplificam-se para o caso de escoamentos em duas dimenses?

3D.3 Forma alternativa para a equao do movimento.8 Mostre que para um fluido newtoniano incompressvel comviscosidade constante, a equao do movimento pode ser posta da seguinte forma

onde

Alguma restrio adicional tem de ser colocada neste resultado?

8P. G. Saffman, Vortex Dynamics, Cambridge University Press, corrected edition (1995).

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126 CAPTULO QUATRO

EXEMPLO 4.3-1Escoamento Potencial em Torno de um Cilindro(a) Mostre que o potencial complexo

descreve o escoamento potencial em torno de um cilindro de seo circular de raio R, quando a velocidade de aproxima-o v no sentido positivo de x.(b) Determine as componentes do vetor velocidade.(c) Determine a distribuio de presses sobre a superfcie do cilindro quando a presso modificada longe dele for .

SOLUO(a) Para determinar a funo de corrente e o potencial de velocidades, escrevemos o potencial complexo na forma (z) (x, y) i(x, y):

Ento a funo de corrente

Para fazer um grfico das linhas de corrente conveniente escrever a Eq. 4.3-18 na forma adimensional

onde / R, X x/R e Y y/R.Na Fig. 4.3-1 as linhas de corrente so plotadas como curvas de constante. A linha de corrente 0 corresponde

a um crculo unitrio, que representa a superfcie do cilindro. A linha de corrente 3/2 passa pelo ponto X 0, Y 2e assim por diante.(b) As componentes da velocidade podem ser obtidas da funo de corrente usando-se as Eqs. 4.3-6 e 7. Elas tambmpodem ser obtidas da velocidade complexa de acordo com a Eq. 4.3-12, conforme segue:

Portanto, as componentes da velocidade em funes da posio so

(c) Na superfcie do cilindro, r R, e

Quando zero ou , a velocidade do fluido zero; tais pontos so conhecidos como pontos de estagnao. Da Eq. 4.3-5sabemos que

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144 CAPTULO QUATRO

4 H. Markovitz, J. Appl. Phys., 23, 1070-1077 (1952) resolveu o problema sem fazer a hiptese de espaamento pequeno entre o copo e o corpo de prova. O instrumentocopoe-corpo de prova foi usado por L. J. Wittenberg, D. Ofte, e C. F. Curtiss, J. Chem. Phys., 48, 3253-3260 (1968), para medir a viscosidade de ligas lquidas deplutnio.

(d) Simplifique as equaes iniciais, Eqs. 4C.2-1 a 6, fazendo a hiptese de que a apenas ligeiramente maior quea unidade, de modo que a curvatura possa ser desprezada (o problema pode ser resolvido sem que se faa essa hip-tese4). Isto sugere que uma varivel distncia adimensional adequada x (r R)/[(a 1)R]. Reestruture todo oproblema usando grandezas adimensionais de tal modo que 1/0 seja um tempo caracterstico e que a vis-cosidade aparea apenas em um grupo adimensional. A nica escolha fica sendo:

Mostre que o problema pode ser recolocado como se segue:

A partir dessas duas equaes queremos obter R e como funes de x e , com M e A como parmetros.(e) Obtenha a soluo senoidal permanente tomando a funo estmulo aR (o deslocamento do copo) como sendoda forma

onde uma freqncia adimensional. Suponha ento que os movimentos do corpo de prova eo do fluido sero tambm senoidais, porm com diferentes amplitudes e ngulos de fase:

Verifique que a razo de amplitudes dada por |R|/aR onde | | indica a magnitude absoluta de uma grandezacomplexa. Alm disso mostre que o ngulo de fase, , dado por tg {R}/{R}, onde e representam aspartes real e imaginria, respectivamente.(f) Substitua as solues adotadas em (e) nas equaes de (d) para obter equaes para as amplitudes complexas R e .(g) Resolva a equao para (x) e verifique que

(h) A seguir, resolva a equao para R obtendo

a partir da qual a razo de amplitudes, |R|/aR , e a diferena de ngulos de fase, , podem ser calculadas.

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160 CAPTULO CINCO

O primeiro termo das Eqs. 5.4-8 e 10 deve ser igual a zero devido condio de no-deslizamento; o primeiro termo daEq. 5.4-9 igual a zero na ausncia de transferncia de massa. A seguir, podemos escrever a Eq. 5.2-11 em y 0,

O primeiro e o terceiro termos desta equao so iguais a zero devido condio de no-deslizamento. Portanto, somoslevados a concluir que o segundo termo deve ser igual a zero tambm. Ento, todos os termos sublinhados por uma linhatracejada nas Eqs. 5.4-8 a 10 so iguais a zero, ento

Isto sugere mas no prova8 que o primeiro termo na tenso de Reynolds prximo da parede deve ser proporcional ay3. Todavia, extensos estudos sobre taxas de transferncia de massa em canais fechados9 mostraram que A 0.(b) Para o escoamento entre placas planas e paralelas, podemos usar a expresso da mdia temporal do perfil de velocidades,Eq. 5.3-12, de modo a obter o fluxo turbulento de momento:

onde A 4C( */)4. Isto est de acordo com a Eq. 5.4-12.

5.5 ESCOAMENTO TURBULENTO EM TUBOSIniciamos essa seo com uma pequena discusso sobre medies experimentais para escoamentos turbulentos em dutosretangulares, de modo a fornecer algumas impresses sobre as tenses de Reynolds. Nas Figs. 5.5-1 e 2 so mostradasalgumas medidas experimentais de mdias temporais das grandezas, e , para o escoamento na direo z em umduto retangular.

Na Fig. 5.5-1, note que, bem junto parede, cerca de 13% da mdia temporal da velocidade sobre a linha decentro, z, mx, enquanto cerca de 5% apenas. Isso significa que, prximo da parede, as flutuaes de velocidade nadireo do escoamento so apreciavelmente maiores que aquelas na direo transversal. Prximo do centro do duto, asamplitudes das duas flutuaes so aproximadamente iguais e dizemos que ali a turbulncia quase isotrpica.

Na Fig. 5.5-2 a tenso cisalhante turbulenta, , comparada com a tenso cisalhante total, ,transversal ao duto. evidente que a contribuio turbulenta mais importante sobre a maior parte da seo transversal,enquanto a contribuio viscosa relevante somente nas vizinhanas da parede. Isso ilustrado, adicionalmente, no Exemplo5.5-3. Comportamento anlogo observado em tubos de seo transversal circular.

EXEMPLO 5.5-1Estimativa da Velocidade Mdia em um Tubo CircularAplicar os resultados da Seo 5.3 para obter a velocidade mdia para escoamento turbulento em um tubo circular.

SOLUOPodemos usar a distribuio de velocidades mostrada na legenda da Fig. 5.5-3. Para obter a velocidade mdia no tubo,devemos integrar sobre quatro regies: a subcamada viscosa (y 5), a camada tampo (5 y 30), a subcamadainercial e a corrente turbulenta principal que possui um perfil de velocidades com forma aproximadamente parablica.

8 H. Reichardt, Zeits. f. angew. Math. u. Mech., 31, 208-219 (1951). Veja tambm J. O. Hinze, Turbulence, McGraw-Hill, Nova York, 2a ed. (1975), pp. 620621.9 R. H. Notter e C. A. Sleicher, Chem. Eng. Sci., 26, 161171 (1971); O. C. Sandall e O. T. Hanna, AIChE Journal, 25, 190192 (1979); D. W. Hubbard e E. N. Lightfoot,Ind. Eng. Chem. Fundamentals, 5, 370379 (1966).

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DISTRIBUIES DE VELOCIDADES NO ESCOAMENTO TURBULENTO 161

Fig. 5.5-1 Medies de H. Reichardt [Na-turwissenschaften, 404 (1938), Zeits. F. angew.Math. u. Mech., 13, 177180 (1933), 18, 358361(1938)] para o escoamento turbulento de ar em umduto retangular com z,mx 100 cm/s. So mos-tradas as grandezas e .

Fig. 5.5-2 Medies de H. Reichardt (veja aFig. 5.5-1) para a grandeza em um dutoretangular. Note que essa grandeza difere de

apenas nas proximidades da parede doduto.

Certamente podemos fazer isso, porm j foi mostrado que ao integrar o perfil logartmico da Eq. 5.3-4 (ou o perfil da leida potncia, Eq. 5.3-6) sobre toda a seo transversal, obtemos resultados com a forma aproximadamente correta. Para operfil logartmico resulta

Se esse resultado comparado com dados experimentais de vazo versus queda de presso, temos que uma boa concordnciapode ser obtida trocando-se 2,5 por 2,45 e 1,75 por 2,0. Essa maquiagem das constantes provavelmente no seria necessriase a integrao sobre a seo transversal fosse feita usando as expresses locais da velocidade para as diversas camadas.Por outro lado, interessante dispor de uma relao logartmica simples tal como a Eq. 5.5-1 para descrever a queda depresso versus vazo.

De maneira similar, o perfil lei da potncia pode ser integrado sobre toda a seo transversal resultando (veja referncia4 da Seo 5.3)

onde 3/(2 ln Re). Essa relao til sobre a faixa 3,07 103 Re 3,23 106.

EXEMPLO 5.5-2Aplicao da Frmula de Prandtl para o Comprimento de Mistura no Escoamento Turbulento em um TuboCircularMostre como as Eqs. 5.4-4 e 5 podem ser usadas para descrever o escoamento turbulento em um tubo circular.

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164 CAPTULO CINCO

incluem, por exemplo, jatos e esteiras. A mdia temporal da velocidade nesses tipos de escoamentos pode ser descritaadequadamente usando a expresso de Prandtl para a viscosidade turbulenta, conforme Eq. 5.4-3, ou usando a teoria docomprimento de mistura de Prandtl juntamente com o empirismo dado na Eq. 5.4-6. O primeiro mtodo mais simples e,portanto, ser usado no exemplo ilustrativo que se segue.

EXEMPLO 5.6-1Mdias Temporais da Distribuio de Velocidades em um Jato Circular Proveniente de uma Parede 1-4

Um jato de fluido emerge de um orifcio circular para o interior de um reservatrio que contm o mesmo fluido, conformemostrado na Fig. 5.6-1. Na mesma figura aparece um esboo do perfil esperado para a componente z da velocidade. Paradiferentes valores de z esperaramos que os perfis tivessem formatos similares, diferindo apenas por um fator de escalapara a distncia e a velocidade. Tambm podemos imaginar que conforme o jato se afasta da parede, ele ir criar umescoamento radial em sua prpria direo, de tal modo que o fluido das vizinhanas ser arrastado com ele. Queremosdeterminar a distribuio de velocidades independentes do tempo no jato e tambm a quantidade de fluido atravessandocada plano de z constante. Antes de trabalhar na soluo, pode ser til revisar as informaes sobre jatos na Tabela 5.1-1.

1 H. Schlichting, Boundary-Layer Theory, McGraw-Hill, Nova York, 7a ed. (1979), pp. 747750.2 A. A. Townsend, The Structure of Turbulent Shear Flow, Cambridge University Press, 2a ed. (1976), Cap. 6.3 J. O. Hinze, Turbulence, McGraw-Hill, Nova York, 2a ed. (1975), Cap. 6.4 S. Goldstein, Modern Developments in Fluid Dynamics, Oxford University Press (1938), e Dover reprint (1965), pp. 592597.

Fig. 5.6-1 Jato circular emergindo de uma parede plana.

Orifcio circular

SOLUOPara usarmos a Eq. 5.4-3 necessrio saber como b e z,mx z,mn variam com z no jato circular. Sabemos que a taxa totalde momento de direo z, J, ser a mesma para todos os valores de z. Presumimos que o fluxo convectivo de momento muito maior que o viscoso. Isso nos permite postular que a largura, b, do jato depende de J, da densidade, , e da viscosidadecinemtica, , do fluido e da distncia, z, a jusante da parede. A nica combinao dessas variveis que tem a dimenso decomprimento b Jz/ 2 de modo que a largura do jato proporcional a z.

A seguir postulamos que os perfis de velocidades so similares, isto ,

o que parece uma proposta plausvel; nessa equao, z,mx a velocidade ao longo da linha de centro. Quando esse resultado substitudo na expresso da taxa de transferncia de momento no jato (desprezando-se a contribuio de )

encontramos que

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168 CAPTULO CINCO

5A.2 Distribuio de velocidades no escoamento turbulento em tubos. gua escoa atravs de uma seo longa, reta ehorizontal com dimetro interno de 6,00 in, na temperatura de 68oF. O gradiente de presso ao longo do comprimentodo tubo de 1,0 psi/milha.(a) Determine a tenso cisalhante na parede, 0, em psi (lbf/in2) e em Pa.(b) Suponha que o escoamento seja turbulento e determine a distncia radial a partir da parede do tubo onde se tem

z /z,mx 0,0, 0,1, 0,2, 0,4, 0,7, 0,85, 1,0.(c) Plote o perfil completo de velocidades z /z,mx versus y R r.(d) A hiptese de escoamento turbulento justificada?(e) Qual a vazo mssica?

5B.1 Velocidade mdia no escoamento turbulento em tubos.(a) Para o escoamento turbulento em tubos circulares lisos, a funo1

algumas vezes til para o propsito de ajustes: prximo a Re 4 103, n 6; prximo a Re 1,1 105, n 7;e prximo a Re 3,2 106, n 10. Mostre que a razo entre as velocidades mdias e mxima

e verifique o resultado da Eq. 5.1-5.(b) Esboce o perfil logartmico da Eq. 5.3-4 como uma funo de r quando aplicado a um tubo circular de raio R.Mostre ento como essa funo pode ser integrada sobre a seo transversal do tubo para obter a Eq. 5.5-1. Listetodas as hipteses feitas para obter esse resultado.

5B.2 Vazo mssica em um jato circular turbulento.(a) Verifique que as distribuies de velocidades das Eqs. 5.6-21 e 22 realmente satisfazem s equaes diferenciaise condies de contorno.(b) Verifique que a Eq. 5.6-25 obtida da Eq. 5.6-21.

5B.3 A expresso da viscosidade turbulenta na subcamada viscosa. Verifique que a Eq. 5.4-2 para a viscosidadeturbulenta vem diretamente da expresso da srie de Taylor, Eq. 5.3-13.

5C.1 Jato bidimensional turbulento. Um jato de fluido perpendicular ao plano xy emerge de uma fenda e escoa na direoz para o interior de um meio semi-infinito do mesmo fluido. A largura da fenda na direo y W. Siga a metodologiado Exemplo 5.6-1 para encontrar a mdia temporal dos perfis de velocidades nesse sistema.(a) Adote os perfis similares

Mostre que o princpio da conservao do momento leva ao fato de que a velocidade na linha central deve serproporcional a z1/2.(b) Introduza uma funo de corrente tal que z /x e x /z. Mostre que o resultado de (a) juntamentecom consideraes dimensionais leva seguinte forma para :

Nessa equao, F() a funo de corrente adimensional que ser determinada a partir da equao do movimentopara o fluido e J o escoamento do momento total definido analogamente pela Eq. 5.6-2.(c) Mostre que a Eq. 5.4-2 e consideraes dimensionais leva seguinte forma para a viscosidade cinemticaturbulenta:

Nessa equao, uma constante adimensional que deve ser determinada a partir de experimentos.

1 H. Schlichting, Boundary-Layer Theory, McGraw-Hill, Nova York, 7.a ed. (1979), pp. 596600.

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174 CAPTULO SEIS

permanente, a fora Fk contrabalanada pela fora gravitacional sobre a esfera menos a fora de empuxo (veja aEq. 2.6-14):

Eliminando-se ento Fk entre as Eqs. 6.1-5 e 6.1-6 vem

Essa expresso pode ser usada para obter f a partir de dados de velocidade terminal. O fator atrito usado nas Eqs. 6.1-5 e7 algumas vezes denominado coeficiente de arrasto e simbolizado por cD.

Vimos que o coeficiente de arrasto para objetos submersos e o coeficiente de atrito para escoamento em canais sodefinidos da mesma maneira geral. Por essa razo, preferimos usar o mesmo smbolo e nome para ambos.

6.2 FATORES DE ATRITO PARA O ESCOAMENTO EM TUBOS

ReservatrioPresso Presso

Fig. 6.2-1 Seo de um tubo circular de z 0 a z L para discusso daanlise dimensional.

Agora combinamos a definio de f, Eq. 6.1-2, com a anlise dimensional da Seo 3.7 para mostrar de quem f dependenesse tipo de sistema. Consideramos uma seo de teste de raio interno R e comprimento L, mostrada na Fig. 6.2-1,transportando um fluido de densidade e viscosidade constantes a uma vazo mssica tambm constante. As presses 0e L nas extremidades da seo de testes so conhecidas.

O sistema est em regime laminar permanente ou em escoamento turbulento permanente (isto , escoamento turbulentocom vazo total constante). Em ambos os casos a fora na direo z que o fluido faz sobre a parede interna da seo detestes

No escoamento turbulento, a fora pode ser uma funo do tempo, no somente devido s flutuaes turbulentas, mastambm por causa do ocasional descolamento da camada limite sobre a parede, resultando em alguns distrbios com escalasmaiores de tempo. No escoamento laminar entendido que a fora ser independente do tempo.

Igualando as Eqs. 6.2-1 e 6.1-2 obtemos a seguinte expresso para o coeficiente de atrito:

A seguir introduzimos as grandezas adimensionais da Seo 3.7: r/D, z/D, z z/ z, zt/D, ( 0)/ z2 e Re D z/. Ento, a Eq. 6.2-2 pode ser reescrita como

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190 CAPTULO SEIS

6C.1 Trajetrias de partculas em duas dimenses. Uma esfera de raio R atirada horizontalmente (na direo x) auma velocidade alta em ar parado acima do nvel do cho. Conforme ela deixa o dispositivo de arremesso, umaesfera idntica cai a partir da mesma altura acima do nvel do cho (na direo y).(a) Desenvolva equaes diferenciais a partir das quais as trajetrias das partculas possam ser calculadas, e quepermitam uma comparao do comportamento das duas esferas. Inclua os efeitos do atrito do fluido e adote a hiptesede que fatores de atrito de regime permanente possam ser usados (isto , a hiptese de regime quasi permanente).(b) Qual esfera atingir o cho em primeiro lugar?(c) A resposta de (b) seria a mesma se o nmero de Reynolds fosse na regio da lei de Stokes?

Respostas: (a) onde f f (Re) conforme dado

pela Fig. 5.3-1, sendo

6C.2 Efeito de parede para uma esfera caindo em um cilindro.5-7

(a) Experimentos sobre fatores de atrito para esferas so geralmente conduzidos em tubos cilndricos. Mostre poranlise dimensional que, para tal arranjo, o fator de atrito para uma esfera ter a seguinte dependncia:

f f(Re, R/Rcil) (6C.2-1)

onde Re 2R / , sendo R o raio da esfera, a velocidade terminal da esfera e Rcil o raio interno do cilindro.Para a regio de escoamento lento, mostra-se empiricamente que a dependncia de f com R/Rcil pode ser descritapela correo de LandenburgFaxn,5 de modo que

Efeitos de parede para gotas em queda tambm foram estudados.6

(b) Projete um experimento para checar o diagrama da Fig. 6.3-1 para esferas. Selecione tamanhos de esferas,dimenses do cilindro e materiais apropriados para os experimentos.

6C.3 Potncia cedida a um tanque agitado (Fig. 6C.3). Mostre, por anlise dimensional, que a potncia, P, cedida porum impelidor rotativo a um fluido incompressvel em um tanque agitado pode ser correlacionada para qualquerformato especfico de tanque e impelidor pela expresso

onde N velocidade de rotao do impelidor, D o dimetro do impelidor, t o tempo desde o incio da operaoe uma funo cuja forma deve ser determinada experimentalmente.

5 R. Ladenburg, Ann. Physik (4), 23, 447-458 (1907); H. Faxn, dissertao, Uppsala (1921). Para maiores discusses sobre o efeito de parede para esferas caindo, vejaJ. Happel e H. Brenner, Low Reynolds Number Hydrodynamics, Martinus Nijhoff, The Hague (1983).6 J. R. Strom e R. C. Kintner, AICHE Journal, 4, 153156 (1958).7 L. Landau e E. M. Lifshitz, Fluid Mechanics, Pergamon Press, Oxford (1987), pp. 182183.

Impelidor

Vista de cima

Chicana

Vista lateral

Fig. 6C.3 Tanque agitado com impelidor de seis lminas e quatrochicanas verticais.

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TRANSPORTE ENTRE FASES EM SISTEMAS ISOTRMICOS 191

Para a geometria comumente usada mostrada na Fig. 6C.3, a potncia dada pela soma de duas integraisrepresentando as contribuies do arrasto por atrito do corpo e do fundo do tanque cilndrico e do arrasto de formadas chicanas radiais respectivamente:

onde Tz a magnitude do torque necessria para girar o impelidor, S a rea superficial total do tanque, A a reasuperficial das chicanas (considerada positiva no lado de montante e negativa no lado de jusante), R a distnciaradial a qualquer elemento de superfcie dS ou dA a partir do eixo de rotao do impelidor e n a distncia normalmedida a partir de qualquer elemento dS da superfcie do tanque para o seio da massa fluida.

A soluo desejada pode ser obtida ento por anlise dimensional das equaes do movimento e continuidade,reescrevendo-se as integrais anteriores em uma forma adimensional. Aqui conveniente usar D, DN e N2D2 paracomprimento caracterstico, velocidade e presso, respectivamente.

6D.1 Fator de atrito para uma bolha em um lquido limpo.7, 8 Quando uma bolha de gs se move atravs de um lquido,o mesmo se comporta como se existisse um escoamento potencial; isto , o campo de escoamento na fase lquida, com boa aproximao, dado pelas Eqs. 4B.5-2 e 3.

A fora de arrasto est diretamente relacionada dissipao da energia na fase lquida (veja a Eq. 4.2-18)

Mostre que, para um escoamento irrotacional, a expresso geral para a dissipao de energia pode ser transformadana seguinte integral de superfcie:

Em seguida, mostre que a insero do perfil de velocidades do escoamento potencial na Eq. 6D.1-2, e o uso da Eq.6D.1-1 levam a

Um clculo ligeiramente melhorado, que leva em conta a dissipao na camada limite e na esteira turbulenta, conduzao seguinte resultado:9

Este resultado parece valer razoavelmente bem at um nmero de Reynolds de cerca de 200.

8 G. K. Batchelor, An Introduction to Fluid Dynamics, Cambridge University Press, (1967), pp. 367370.9 D. W. Moore, J. Fluid Mech., 16, 161176 (1963).

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BALANOS MACROSCPICOS PARA SISTEMAS ISOTRMICOS EM ESCOAMENTO 195

A frmula de Hagen-Poiseuille foi deduzida para escoamento permanente, porm a usamos aqui uma vez que o volume delquido no tanque est mudando lentamente com o tempo; esse um exemplo de uma aproximao quasi-estacionria.Quando essas expresses para mtot e w2 so substitudas na Eq. 7.1-2, obtemos, depois de rearranjos,

Abreviamos agora a constante do lado direito da equao como A. A equao ser mais fcil de integrar se fizermos amudana de varivel H h L, de modo que

Integramos agora essa equao entre t 0 (quando h 2R ou H 2R L) e t tdescarga (quando h 0 ou H L). Issoresulta em um tempo de descarga dado por

em que A dado pelo lado direito da Eq. 7.1-6. Note que obtivemos esse resultado sem qualquer anlise detalhada domovimento do fluido dentro da esfera.

7.2 BALANO MACROSCPICO DE MOMENTOAplicaremos agora a lei de conservao de momento para o sistema na Fig. 7.0-1, usando as mesmas duas suposiesmencionadas na seo prvia, mais duas suposies adicionais: (iii) as foras associadas com o tensor tenso so negli-genciadas nos planos 1 e 2, visto que elas so geralmente pequenas se comparadas s foras de presso nos planos deentrada e de sada, e (iv) a presso no varia ao longo da seo transversal nos planos de entrada e de sada.

Uma vez que momento uma grandeza vetorial, cada termo no balano tem de ser um vetor. Usamos os vetores unit-rios u1 e u2 para representar a direo do escoamento nos planos 1 e 2. A lei de conservao de momento fica ento

Aqui Ptot vdV o momento total no sistema. A equao estabelece que o momento total dentro do sistema varia porcausa da conveco de momento para dentro e para fora do sistema e por causa das vrias foras que atuam no sistema: asforas de presso nas extremidades do sistema, a fora das superfcies slidas que atua no fluido no sistema e a fora degravidade que atua no fluido contido entre as paredes do sistema. O subscrito s f serve como um lembrete da direoda fora.

Introduzindo os smbolos para a vazo mssica e o smbolo , finalmente obtemos o balano macroscpico transientede momento

Se a quantidade total de momento no sistema no variar com o tempo, ento obteremos o balano macroscpico perma-nente de momento

Novamente, enfatizamos que essa uma equao vetorial. Ela til para calcular a fora do fluido nas superfcies slidas,Ffs, tal como a fora na curva de um tubo ou na p de uma turbina. Na verdade, j usamos uma verso simplificada daequao anterior na Eq. 6.1-3.

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196 CAPTULO SETE

Notas relativas a escoamento turbulento: (i) Para escoamento turbulento, comum trocar v por v e v2 por v 2 ;nesse ltimo caso, estamos negligenciando o termo

v 2 , que geralmente pequeno com relao a v 2 . (ii) Trocamos

ainda v 2 / v por v . O erro ao fazer isso bem pequeno; para o perfil emprico de velocidades da lei de potncia 1/7,dado na Eq. 5.1-4, v 2 / v v , de modo que o erro cerca de 2%. (iii) Quando fazemos essa suposio, normalmenteno usamos os colchetes e as barras, com o objetivo de simplificar a notao. Ou seja, fazemos v1 v1 e v12, com sim-plificaes similares para as grandezas do plano 2.

EXEMPLO 7.2-1Fora Exercida por um Jato (Parte a)Um jato turbulento de gua sai de um tubo de raio R1 = 2,5 cm, com uma velocidade v1 = 6 m/s, conforme mostrado na Fig.7.2-1. O jato colide em um arranjo de disco-basto de massa m = 5,5 kg, que est livre para se mover verticalmente. Oatrito entre o basto e a manga ser desprezado. Encontre a altura h na qual o disco flutuar como um resultado do jato.1Considere que a gua seja incompressvel.

1 K. Federhofer, Aufgaben aus der Hydromechanik, Springer-Verlag, Vienna (1954), pp. 36 e 172.

Arranjo disco-basto,com massa m

Plano 2

Jato ascendentede gua

Plano 3Plano 2

Plano 1

Tubo com raio R1

Plano 1

Fig. 7.2-1 Esquemas correspondentes s duas soluespara o problema do jato e disco. Em (a), considera-se queo jato de gua tenha um raio uniforme R1. Em (b), per-mite-se que haja um espalhamento do jato lquido.

SOLUOPara resolver esse problema, tem-se de imaginar como o jato se comporta. Na Fig. 7.2-1(a), fazemos a suposio de que ojato tem um raio constante, R1, entre a sada do tubo e o disco, enquanto na Fig. 7.2-1(b), consideramos que o jato se espa-lha levemente. Nesse exemplo, fazemos a primeira suposio e no Exemplo 7.4-1, consideraremos o espalhamento dojato.

Aplicamos a componente z do balano permanente de momento entre os planos 1 e 2. Os termos de presso podem seromitidos, j que a presso atmosfrica em ambos os planos. A componente z da velocidade do fluido no plano 2 zero.O balano de momento torna-se ento

Resolvendo para h, obtemos (nas unidades SI)

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200 CAPTULO SETE

EXEMPLO 7.4-1Fora Exercida por um Jato (Parte b)Continue o problema no Exemplo 7.2-1, considerando o espalhamento do jato quando ele se move para cima.

SOLUOPermitimos agora o dimetro do jato aumentar medida que z aumenta, conforme mostrado na Fig. 7.2-1(b). convenientetrabalhar com trs planos e fazer balanos entre pares de planos. A separao entre os planos 2 e 3 considerada bem pequena.

Um balano de massa entre os planos 1 e 2 fornece

A seguir, aplicamos o balano de energia mecnica da Eq. 7.4-5 ou 7.4-7 entre os mesmos dois planos. As presses nosplanos 1 e 2 so ambas atmosfricas e no h trabalho feito pelas partes mveis Wm. Consideramos que o termo de dissipaoviscosa Ev pode ser negligenciado. Se z for medida para cima a partir da sada do tubo, ento ,uma vez que os planos 2 e 3 esto muito prximos. Assim, o balano de energia mecnica fornece

Aplicamos agora a componente z do balano de momento entre os planos 2 e 3. Uma vez que a regio muito pequena,desprezamos o ltimo termo na Eq. 7.2- 3. Ambos os planos esto sob presso atmosfrica; logo, os termos de presso nocontribuem. O componente z da velocidade do fluido zero no plano 3; desse modo, sobram somente dois termos no ba-lano de momento

Das trs equaes anteriores, obtemos

em que mg e v1w1 R21 v21 so conhecidos. Quando os valores numricos so substitudos na Eq. 7.4-10, obtemos h =0,77 m. Esse provavelmente um resultado melhor do que o valor de 0,87 m obtido no Exemplo 7.2-1, visto que ele con-sidera o espalhamento do jato. No consideramos no entanto a adeso da gua ao disco, que fornece ao arranjo disco-basto uma massa efetiva um pouco maior. Ademais, a resistncia por atrito do basto na manga foi negligenciada. necessrio realizar um experimento para verificar a validade da Eq. 7.4-10.

7.5 ESTIMAO DA PERDA VISCOSAEsta seo dedicada aos mtodos de estimao da perda viscosa (ou perda por atrito), Ev, que aparece no balano macros-cpico de energia mecnica. A expresso geral para Ev dada na Eq. 7.4-4. Para fluidos newtonianos incompressveis, aEq. 3.3-3 pode ser usada para reescrever Ev como

que mostra que ele igual integral da taxa local de dissipao viscosa ao longo do volume do sistema inteiro em escoamento.Queremos agora examinar Ev do ponto de vista de anlise dimensional. A grandeza v a soma dos quadrados dos

gradientes de velocidade; conseqentemente, ela tem dimenses de (v0 /l0)2, sendo v0 e l0 a velocidade e o comprimentocaractersticos, respectivamente. Podemos ento escrever

em que so grandezas adimensionais. Se fizermos uso dos argumentos dimensionaisdas Sees 3.7 e 6.2, veremos que a integral na Eq. 7.5-2 depender somente de vrios grupos adimensionais nas equaes

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214 CAPTULO SETE

ambiente, Wm, e conseqentemente desempenhar o papel das partes mecnicas mveis na Seo 7.4. Aplicamos o balanode energia mecnica da Eq. 7.4-2, com Ec estabelecido igual a zero (uma vez que o lquido manomtrico consideradocomo incompressvel). Por causa da escolha do sistema, tanto w1 como w2 so iguais a zero, de modo que os nicos termosno lado direito so Wm e Ev.

Com a finalidade de avaliar dKtot/dt e Ev, necessrio fazer algum tipo de suposio acerca do perfil de velocidades.Aqui, adotamos o perfil de velocidades como sendo parablico:

em que v dh/dt uma funo do tempo, definida como positiva quando o escoamento for da esquerda para a direita.O termo da energia cintica pode ento ser avaliado como segue:

Aqui, l uma coordenada que fica ao longo do eixo do tubo manomtrico e L a distncia ao longo desse eixo a partir deuma interface do manmetro at a outra; isto , o comprimento total do fluido manomtrico. A coordenada adimensional

r/R e S a rea da seo transversal do tubo.

A variao da energia potencial com o tempo dada por

O termo de perda viscosa pode tambm ser avaliado como segue:

Alm disso, o trabalho lquido feito pelo ambiente no sistema

A substituio dos termos anteriores no balano de energia mecnica e fazendo v dh/dt, resulta na equao diferencialpara h(t) como

que deve ser resolvida com as condies iniciais de h 0 e dh/dt 0 em t 0. Essa equao de segunda ordem, linear eno homognea pode ser tornada homognea, introduzindo-se uma nova varivel k, definida por

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BALANOS MACROSCPICOS PARA SISTEMAS ISOTRMICOS EM ESCOAMENTO 219

Resposta: 903 lbf para a direita

7A.6 Clculo de vazo (Fig. 7A.6). Para o sistema mostrado na figura, calcule a vazo volumtrica de gua a 68oF.

Plano 2

Dimetrointerno de 4

Plano 1Fig. 7A.5 Escoamento em uma curva em forma de U;ambos os braos da curva esto na mesma elevao.

O dimetro internode todo o tubo 5

Fig. 7A.6 Escoamento de umtanque com carga constante.

7A.7 Avaliao de vrias mdias de velocidades a partir de dados do tubo de Pitot. A seguir, so apresentados al-guns dados experimentais1 para um tubo de Pitot transversal ao escoamento de gua em um tubo de raio interno de3,06 in:

1 B. Bird, C.E. thesis, University of Wisconsin (1915).

Distncia, Distncia,em polegadas, a partir Velocidade local em polegadas, a partir Velocidade local

Posio do centro do tubo (ft/s) Posio do centro do tubo (ft/s)

1 2,80 7,85 6 0,72 11,702 2,17 10,39 7 1,43 11,473 1,43 11,31 8 2,17 11,104 0,72 11,66 9 2,80 9,265 0,00 11,79

Plote esses dados e verifique se o escoamento laminar ou turbulento. Use ento a regra de Simpson para integraonumrica de modo a calcular v/vmx, v2/v2mx e v3/v3mx. Esses resultados so consistentes com os valores de 50/49(apresentados exatamente antes do Exemplo 7.2-1) e 43.200/40.817 (apresentados exatamente antes do Exemplo 7.4-1)?

7.B.1 Mdias de velocidade provenientes da lei de potncia de 1/7. Avalie as razes de velocidades no Problema 7A.7,de acordo com a distribuio de velocidades na Eq. 5.1-4.

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226 CAPTULO OITO

Lquidos polimricos so encontrados na fabricao de objetos plsticos e como aditivos para lubrificantes, alimentose tintas. Eles representam uma vasta e importante classe de lquidos, e muitos cientistas e engenheiros trabalham com eles.A fluidodinmica de polmeros, a transferncia de calor e a difuso so reas de rpido crescimento em fenmenos detransporte, e existem muitos livros-texto,1 tratados2 e peridicos sobre o assunto. O assunto tem sido enfocado tambm doponto de vista da teoria cintica e teorias moleculares sobre lquidos polimricos tm contribudo muito para a compreen-so dos comportamentos mecnico, trmico e difusional desses fluidos.3 Finalmente, os leitores interessados na histriado assunto devem consultar o livro de Tanner e Walters.4

8.1 EXEMPLOS DE COMPORTAMENTODE LQUIDOS POLIMRICOS

Nesta seo discutimos diversos experimentos que contrastam o comportamento de escoamento de fluidos newtonianos epolimricos.1

ESCOAMENTO LAMINAR PERMANENTE EM TUBOS CIRCULARESMesmo para o escoamento laminar, axial permanente em tubos circulares, existe uma importante diferena entre o com-portamento de lquidos newtonianos e o de lquidos polimricos. Para lquidos newtonianos, a distribuio de velocida-des, a velocidade mdia e a queda de presso so dadas pelas Eqs. 2.3-18, 2.3-20 e 2.3-21, respectivamente.

Para lquidos polimricos, dados experimentais sugerem que as seguintes equaes so razoveis:

onde n um parmetro positivo caracterizando o fluido, usualmente com um valor menor que a unidade. Isto o perfil develocidades mais achatado do aquele de um fluido newtoniano, para o qual n 1. Alm disso, determinou-se experi-mentalmente que

Assim, a queda de presso aumenta muito menos rapidamente com a vazo mssica do que para fluidos newtonianos, paraos quais a relao linear.

Na Fig. 8.1-1 mostramos perfis de velocidades tpicos para o escoamento laminar de fluidos newtonianos e polimricospara uma mesma velocidade mxima. Esse experimento simples sugere que fluidos polimricos tm uma viscosidade quedepende do gradiente de velocidade. Esse ponto ser elaborado na Seo 8.3.

Para o escoamento laminar em tubos de seo transversal no-circular, lquidos polimricos exibem escoamento se-cundrio superposto ao movimento axial. Lembre-se de que no escoamento turbulento de fluidos newtonianos tambmocorriam escoamentos secundrios na Fig. 5.1-2 mostrado que o fluido se move em direo aos vrtices da seotriangular do duto para depois retornarem a seu centro. Para o escoamento laminar de fluidos polimricos, os escoamentossecundrios ocorrem na direo oposta a partir dos vrtices do duto e ento de volta s paredes.2 Nos escoamentosturbulentos, os escoamentos secundrios resultam de efeitos inerciais, enquanto no escoamento de polmeros os escoa-mentos secundrios esto associados s tenses normais.

1 A. S. Lodge, Elastic Liquids, Academic Press, Nova York (1964); R. B. Bird, R. C. Armstrong e O. Hassager, Dynamics of Polymeric Liquids, Vol. 1, Fluid Mechanics,Wiley-Interscience, Nova York, 2.a ed. (1987); R. I. Tanner, Engineering Rheology, Clarendon Press, Oxford (1985).2 H. A. Barnes, J. F. Hutton e K. Walters, An Introduction to Rheology, Elsevier, Amsterdam (1989); H. Giesekus, Phnomenologische Rheologie: Eine Einfhrung,Springer Verlag, Berlin (1994). Livros enfatizando os aspectos de engenharia do assunto incluem Z. Tadmor e C. G. Gogos, Principles of Polymer Processing, Wiley,Nova York (1979), D. G. Baird e D. I. Collias, Polymer Processing: Principles and Design, Butterworth-Heinemann, Boston (1995), J. Dealy e K. Wissbrun, Melt Rheologyand its Role in Plastics Processing, Van Nostrand Reinhold, Nova York (1990).3 R. B. Bird, C. F. Curtiss, R. C. Armstrong e O. Hassager, Dynamics of Polymeric Liquids, Vol. 2, Kinetic Theory, Wiley-Interscience, Nova York, 2.a ed. (1987); C. F.Curtiss e R. B. Bird, Adv. Polymer Sci., 125, 1-101 (1996) e J. Chem. Phys., 111, 10362-10370 (1999).4 R. I. Tanner e K. Walters, Rheology: An Historical Perspective, Elsevier, Amsterdam (1998).1 Mais detalhes a respeito desses e de outros experimentos podem ser encontrados em R. B. Bird, R. C. Armstrong e O. Hassager, Dynamics of Polymeric Liquids, Vol.1, Fluid Mechanics, Wiley-Interscience, Nova York, 2.a ed. (1987), Cap. 2. Veja tambm A. S. Lodge, Elastic Liquids, Academic Press, Nova York (1964), Cap. 10.2B. Gervang e P. S. Larsen, J. Non-Newtonian Fluid Mech., 39, 217-237 (1991).

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LQUIDOS POLIMRICOS 233

Fig. 8.2-4. As funes materiais ( ), 1( ), (), e () para uma soluo de1,5% poliacrilamida em uma mistura 50/50 de gua e glicerina. As grandezas , e so dadas em Pa s, e 1 em Pa s2. Tanto quanto esto em s1. Osdados so de J. D. Huppler, E. Ashare e L. Holmes, Trans. Soc. Rheol., 11, 159-179 (1967), conforme replotados por J. M. Wiest. As tenses normais oscilatriastambm foram estudadas experimentalmente e teoricamente (veja M. C. Williamse R. B. Bird, Ind. Eng. Chem. Fundam., 3, 42-48 (1964); M. C. Williams, J. Chem.Phys., 42, 2988-2989 (1965); E. B. Christiansen e W. R. Leppard, Trans. Soc. Rheol.,18, 65-86 (1974), onde a ordenada da Fig. 15 deve ser multiplicada por 39,27).

Fig. 8.2-5. Dependncia do segundo coeficiente da tenso normal com ataxa de cisalhamento, para uma soluo de poliacrilamida a 2,5% em uma mis-tura 50/50 de gua e glicerina. A grandeza 2 dada em Pa s2 e em s1.Os dados de E. B. Christiansen e W. R. Leppard, Trans. Soc. Rheol., 18, 65-86 (1974), foram replotados por J. M. Wiest.

Fig. 8.2-6. (a) Viscosidade elongacional para estiramento uniaxial de polietileno de baixa e alta densidade. [De H. Mnstedt e H. M. Laun,Rheol. Acta, 20, 211-221 (1981).] (b) Viscosidade elongacional para estiramento biaxial de polietileno de baixa densidade, deduzida de dadosde birrefringncia de escoamento. [De J. A. van Aken e H. Janeschitz-Kriegl, Rheol. Acta, 20, 419-432 (1981).] Em ambos os grficos a gran-deza dada em Pa s e em s1.

Escoamento cisalhantepermanenteMovimento senoidal depequena amplitude

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242 CAPTULO OITO

Este resultado tem a mesma forma que a Eq. 4.1-57, mas as grandezas e dependem da freqncia:

Isto , aumentando-se a freqncia, diminui e aumenta devido elasticidade do fluido. Este resultado mostra como aelasticidade afeta a transmisso de ondas de cisalhamento perto de uma superfcie oscilante.

Nota-se que existe uma importante diferena entre os problemas dos dois ltimos exemplos. No Exemplo 8.4-1, o per-fil de velocidades dado, e derivamos uma expresso para a tenso cisalhante necessria para manter o movimento; aequao de movimento no foi usada. No Exemplo 8.4-2 nenhuma hiptese foi feita a respeito da distribuio de veloci-dades, e obtivemos a distribuio de velocidades usando a equao do movimento.

8.5 DERIVADAS CO-ROTACIONAIS E MODELOSVISCOELSTICOS NO-LINEARES

Na seo anterior foi mostrado que a incluso de derivadas temporais ou (integrais temporais) na expresso do tensor ten-so possibilita a descrio de efeitos elsticos. Os modelos viscoelsticos lineares podem descrever a viscosidade comple-xa e a transmisso de ondas cisalhantes de pequena amplitude. Tambm pode ser mostrado que modelos lineares podemdescrever o recuo elstico, embora os resultados sejam restritos a escoamentos com gradientes de deslocamento desprez-veis (e, portanto, de pouco interesse prtico).

Nesta seo, introduzimos as hipteses1, 2 de que a relao entre o tensor tenso e tensores cinemticos para uma part-cula fluida deve ser independente da orientao instantnea da partcula no espao. Essa parece ser uma hiptese razovel;se voc mede a relao tenso-deformao em uma tira de borracha, no deveria importar se voc fizer o estiramento damesma na direo norte-sul ou leste-oeste, ou mesmo girando, conforme voc obtm os dados (desde que, naturalmente,voc no gire to rapidamente que foras centrfugas interfiram nas medidas).

Uma maneira de implementar a hiptese anterior introduzir em cada partcula fluida um referencial co-rotativo. Essereferencial ortogonal gira com a velocidade angular local instantnea, conforme ele se move juntamente com a partculafluida atravs do espao (veja a Fig. 8.5-1). Podemos agora escrever algum tipo de relao entre o tensor tenso e o tensor

1 G. Jaumann, Grundlagen der Bewegungslehre, Leipzig (1905); Sitzungsberichte Akad. Wiss. Wien, IIa, 120, 385-530 (1911); S. Zaremba, Bull. Int. Acad. Sci., Cracovie,594-614, 614-621 (1903). Gustaf Andreas Johannes Jaumann (1863-1924) que lecionou na universidade alem em Brnn (atual Brno), em homenagem a quem aderivada de Jaumann denominada, foi um importante pesquisador na rea de mecnica do contnuo no incio do sculo XX; ele foi o primeiro a fornecer a equaode variao de entropia incluindo o fluxo de entropia e a taxa de produo de entropia (veja Seo 24.1).2J. G. Oldroyd, Proc. Roy. Soc., A245, 278-297 (1958). Para uma extenso da idia de co-rotacional veja L. E. Wedgewood, Rheol. Acta, 38, 91-99 (1999).

Fig. 8.5-1. Sistema de coordenadas fixo com origem em O e sistema co-rotativo com vetores unitrios x, y, z que se move com a partculafluida e gira com a velocidade angular instantnea local, [ v], do fluido.

Partcula fluida noinstante t Trajetria da

partcula fluida

Partcula fluidano instante t

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254 CAPTULO OITO

teriais que so altamente viscosos. Mostre que a equao anloga Eq. 3C.1-16, da lei da potncia,

8C.3 Verificao da funo viscosidade de Giesekus.5

(a) Para checar as entradas da Tabela 8.5-1 de escoamento cisalhante, introduza componentes adimensionais dotensor tenso Tij (/0)ij e uma taxa de cisalhamento adimensional , e ento mostre que, para o escoa-mento cisalhante permanente, a Eq. 8.5-4 transforma-se

Existe tambm uma quarta equao que leva a Tzz 0.(b) Reescreva essas equaes em termos das diferenas de tenso normais adimensionais, N1 Txx Tyy e N2 Tyy Tzz e Tyx.(c) difcil resolver as equaes do item (b) para obter a tenso cisalhante e as diferenas de tenso normaladimensionais em termos da taxa de cisalhamento adimensional. Em vez disso, ache N1, Tyx e em funo de N2:

(d) Resolva a ltima equao para N2 como uma funo de obtendo

onde

Ento, obtenha a expresso da viscosidade no-newtoniana e plote a curva ( ).

8C.4 Escoamento em tubos para modelo de Oldroyd para 6 constantes. Determine a vazo mssica para o escoa-mento permanente em um tubo circular longo6 usando a Eq. 8.5-3.

8C.5 Modelos de cadeia com conectores do tipo basto rgido. Leia e discuta as seguintes publicaes: M. Gottlieb,Computers in Chemistry, 1, 155-160 (1977); O. Hassager, J. Chem. Phys., 60, 2111-2124 (1974); X. J. Fan e T. W.Liu, J. Non-Newtonian Fluid Mech., 19, 303-321 (1986); T. W. Liu, J. Chem. Phys., 90, 5826-5842 (1989); H. H.Saab, R. B. Bird e C. F. Curtiss, J. Chem. Phys., 77, 4758-4766 (1982); J. D. Schieber, J. Chem. Phys., 87, 4917-4927, 4928-4936 (1987). Por que os conectores do tipo basto so mais difceis de trabalhar do que os do tipomola? Que tipos de problemas podem ser resolvidos com simulaes por computador?

5 H. Giesekus, J. Non-Newtonian Fluid Mech., 11, 69-109 (1982).6 M. C. Williams e R. B. Bird, AIChE Journal, 8, 378-382 (1962).

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genes.tec.1NotaAs palavras em destaque devem estar em minscula.

genes.tec.1NotaAs palavras em destaque devem estar em minscula.

BALANOS DE ENERGIA EM CASCAS E DISTRIBUIES DE TEMPERATURAS EM SLIDOS E EM ESCOAMENTO LAMINAR 283

A quantidade Se a fonte de calor resultante da dissipao eltrica. Supomos aqui que o aumento da temperatura no fio noseja to grande a ponto de a dependncia com a temperatura das condutividades trmica ou eltrica ter que ser considera-das. A superfcie do fio mantida temperatura T0. Agora mostraremos como determinar a distribuio radial de tempe-ratura no fio.

Para o balano de energia tomamos o sistema como uma casca cilndrica de espessura r e comprimento L (ver Fig.10.2-1). Como v = 0 nesse sistema, as nicas contribuies para o balano de energia so

Taxa de entrada de caloratravs da superfciecilndrica em r

Taxa de sada de caloratravs da superfciecilndrica em r + r

Taxa de energia trmicaproduzida peladissipao eltrica

A notao qr significa o fluxo trmico na direo de r, e (...)|rr significa avaliada em rr. Note que tomamos en-trada e sada em relao direo positiva de r.

Agora substitumos essas quantidades na equao de balano de energia Eq. 10.1-1. A diviso por 2Lr e a passagemao limite quando r tende a zero d

A expresso ao lado esquerdo a derivada primeira de rqr em relao a r, ento a Eq. 10.2-5 transforma-se em

Essa uma equao diferencial ordinria de primeira ordem para o fluxo trmico, e ela pode ser integrada para dar

Fig. 10.2-1 Um fio eletricamente aquecido, mostrando acasca cilndrica sobre a qual o balano de energia feito.

Gerao uniforme decalor por aquecimento

eltrico Se

Calor que entrapor conduo

Calor que saipor conduo

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BALANOS DE ENERGIA EM CASCAS E DISTRIBUIES DE TEMPERATURAS EM SLIDOS E EM ESCOAMENTO LAMINAR 297

O balano de energia feito sobre um segmento z da aleta. Como a aleta estacionria, os termos contendo v no vetor dofluxo combinado de energia e podem ser descartados, e a nica contribuio ao fluxo de energia q. Portanto o balano deenergia

A diviso por 2BWz e passagem ao limite quando z tende a zero d

Agora inserimos a lei de Fourier (qz kdT/dz), na qual k a condutividade trmica do metal. Supondo que k constantechegamos a:

Essa equao deve ser resolvida com auxlio das condies de contorno

As seguintes quantidades adimensionais so introduzidas

O problema toma a forma

A Eq. 10.7-9 pode ser integrada em termos de funes hiperblicas (ver a Eq. C.1-4 e Seo C.5). Quando as duas cons-tantes de integrao so determinadas obtm-se

Esta pode ser reapresentada sob a forma

Uma descrio razoavelmente boa do sistema pode ser obtida aproximando-se a situao real a um modelo simplificado

2A quantidade N2 pode ser reescrita como N2(hL/k)(L/B)Bi(L/B), onde Bi denominado nmero de Biot, em honra a Jean Baptiste Biot (1774-1862). Professor defsica do Collge de France, ele recebeu a medalha Rumford pelo desenvolvimento de um teste simples, no-destrutivo para a determinao da concentrao de acar.

Situao Real Modelo

1. T funo de x, y e z mas a dependncia 1. T funo de z apenas.em z a mais importante.

2. Uma pequena quantidade de calor perdida 2. Nenhum calor perdido pelas reas final e lateral.pelas reas final (2BW) e lateral (2BL2BL).

3. O coeficiente de transferncia de calor 3. O fluxo trmico na superfcie dado por qz h(T Ta ),depende da posio. onde h constante e T depende apenas de z.

temperatura adimensional

distncia adimensional

coeficiente de transferncia de caloradimensional2

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BALANOS DE ENERGIA EM CASCAS E DISTRIBUIES DE TEMPERATURAS EM SLIDOS E EM ESCOAMENTO LAMINAR 299

madamente a mesma que aquela ao longo de uma aleta de espessura 2B, em contato com a corrente gasosa dos dois lados.De acordo com a Eq. 10.7-13, a temperatura ao final do poo (registrada pelo termopar) satisfaz

Portanto a temperatura real do ambiente obtida da soluo dessa equao para Ta:

e o resultado

Assim a leitura inferior em 10oF temperatura correta.Esse exemplo est focado sobre um tipo de erro que pode ocorrer na termometria. Freqentemente anlises simples

podem ser utilizadas para a estimativa de erros de medidas.4

10.8 CONVECO FORADANas sees precedentes a nfase foi aplicada conduo em slidos. Nesta e nas sees seguintes estudaremos dois tiposlimites de transporte de calor em fluidos: conveco forada e conveco livre (tambm chamada de conveco natural).

4Para discusses adicionais ver M. Jakob, Heat Transfer, Vol. II, Wiley, New York (1949), Chapter 33, pp. 147-201.

Transferncia de Calorem Conveco Forada

Transferncia de Calorem Conveco Natural

Tuboaquecido

Tuboaquecido

Calor varrido para a direita pelacorrente de ar forada

Calor transportado para cima pelo araquecido que sobe

1. O padro do escoamento determinado primeiramente poruma fora externa

2. Primeiro, os perfis de velocidadeso determinados; depois eles sousados para determinar os perfisde temperatura (procedimentousual para fluidos compropriedades fsicas constantes)

3. O nmero de Nusselt depende dosnmeros de Reynolds e de Prandtl(ver Cap. 14)

1. O padro do escoamento determinado pela fora do empuxosobre o lquido aquecido

2. Os perfis de velocidade etemperatura so interdependentes

3. O nmero de Nusselt depende dosnmeros de Grashof e de Prandtl(ver Cap. 14)

(semventilador)

Fig.10.8-1 Uma comparao entre a conveco foradae a natural em sistemas no-isotrmicos.

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314 CAPTULO DEZ

Temperatura da superfcie interna do isolante 183oCTemperatura da superfcie externa do isolante 0oCPonto de ebulio do O2 183oCCalor de vaporizao do O2 1636 cal/g-molCondutividade trmica do isolante a 0oC 9,0 104 Btu/hftFCondutividade trmica do isolante a 183oC 7,2 104 Btu/hftF

10B.15Gradiente radial de temperatura em reator qumico anular. Uma reao cataltica est se processando, pres-so constante, em um reator recheado entre cilindros coaxiais com paredes de raio interno r0 e raio externo r1. Essaconfigurao ocorre quando as temperaturas so medidas com um poo termomtrico central, e adicionalmente til para o controle do gradiente de temperatura se o nulo usado estreito. Toda a parede interna est tempera-tura T0, e admissvel supor que no haja transferncia de calor atravs dessa parede. A reao libera calor taxavolumtrica Sc uniforme por todo o reator. A condutividade trmica efetiva do contedo do reator deve ser consi-derada constante.(a) Por um balano de energia deduza uma equao diferencial de segunda ordem para o perfil de temperatura, supondoque o gradiente de temperatura axial pode ser desprezado. Que condies de contorno devem ser usadas?(b) Reescreva a equao diferencial e as condies de contorno em termos da coordenada radial adimensional etemperatura adimensional definidas como

Explique por que essas so escolhas lgicas.(c) Integre a equao diferencial adimensional para obter o perfil radial de temperatura. A que problema de esco-amento laminar esse problema de conduo anlogo?(d) Determine expresses para a temperatura na parede externa e para a temperatura mdia do leito cataltico.(e) Calcule a temperatura da parede externa quando r0 0,45 in, r1 0,50 in, kef 0,3 Btu/hftF, T0 900oF eSc 4800 cal/hcm3.(f) Como os resultados do item (e) seriam modificados se os raios das duas paredes fossem multiplicados por 2?Resposta: (e) 888oF

10B.16Distribuio de temperatura em anemmetro de fio quente. Um anemmetro de fio quente essencialmenteum fio fino, usualmente feito de platina, aquecido eletricamente e exposto a um fluido em escoamento. Sua tempe-ratura, que funo da temperatura do fluido, da velocidade do fluido e da taxa de aquecimento, pode ser determi-nada pela medida de sua resistncia eltrica. usado para medir velocidades e flutuaes de velocidade em esco-amentos turbulentos. Nesse problema analisamos a distribuio de temperatura ao longo do fio.

Consideramos um fio com dimetro D e comprimento 2L suportado em suas extremidades (z L e z L)e montado perpendicularmente a uma corrente de ar. Uma corrente eltrica de densidade I amp/cm2 percorre o fioe o calor gerado parcialmente perdido por conveco para a corrente de ar (ver a Eq.10.1-2) e parcialmente porconduo em direo s extremidades do fio. Devido ao seu tamanho e s altas condutividades eltrica e trmica,os suportes no so apreciavelmente aquecidos pela corrente eltrica, mas permanecem temperatura TL, igual temperatura do ar que se aproxima. As perdas por radiao podem ser desprezadas.(a) Deduza uma equao para a distribuio de temperatura do fio no regime permanente, supondo que T depende ape-nas de z; isto , a variao radial da temperatura no fio desprezada. Suponha tambm que as condutividades eltrica etrmica so uniformes no fio, e que o coeficiente de transferncia de calor entre o fio e o ar , tambm, uniforme.(b) Esboce o perfil de temperatura obtido em (a).(c) Calcule a corrente, em ampres, necessria para aquecer o fio de platina temperatura de 50oC no ponto mdiosob as seguintes condies:

TL 20oC h 100 Btu/hft2FD 0,127 mm k 40,2 Btu/hftFL 0,5 cm ke 1,00 105 ohm1cm1

Resposta:

Resposta:

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BALANOS DE ENERGIA EM CASCAS E DISTRIBUIES DE TEMPERATURAS EM SLIDOS E EM ESCOAMENTO LAMINAR 315

1R.B. Bird, Chem.-Ing. Technik, 31, 569-572 (1959).2Baseado nos trabalhos de G. Damkhler, Z. Elektrochem., 43, 1-8, 9-13 (1937), J.F. Wehner and R.H. Wilhelm, Chem. Engr. Sci., 6, 89-93 (1956); 8, 309 (1958) parareatores isotrmicos de escoamento em pisto com difuso longitudinal e reao de primeira ordem. Gerhard Damkhler (1908-1944) alcanou fama por seus trabalhosem sistemas com reaes qumicas em escoamento com difuso; uma publicao chave foi em Der Chemie-Ingenieur, Leipzig (1937), pp. 359-485. Richard HermanWilhelm (1909-1968), chefe do Departamento de Engenharia Qumica da Universidade de Princeton, foi bem conhecido por seu trabalho em reatores catalticos de leitofixo, transporte em leitos fluidizados, e processos de separao com bombeamento paramtrico.

Tem

pera

tura

adi

men

sion

al

Direo doescoamento

Zona IZona II na qual calor gerado

pela reao qumica Zona III

Coordenada adimensional axial Z z/L

Fig. 10B.18 Previso dos perfis de tempe-ratura em um reator de fluxo axial em leitofixo para B = 8 e vrios valores de N.

10B.17Escoamento no-newtoniano com transferncia de calor por conveco forada.1 Para estimar o efeito da vis-cosidade no-newtoniana na transferncia de calor em dutos, o modelo da potncia do Cap. 8 descreve muito bemos desvios da forma parablica dos perfis de velocidade.(a) Refaa o problema da Seo 10.8 (transferncia de calor em tubo circular) para o modelo de lei da potnciadado pelas Eqs.8.3-2, 3. Mostre que o perfil da temperatura final

na qual s 1/n.(b) Refaa o Problema 10B.7 (transferncia de calor entre placas paralelas) para o modelo de lei da potncia. Obtenhao perfil adimensional de temperatura:

No