birinci mertebeden adi diferansiyel denklemlermurat/math2/diffdenk.pdf · •denklemdeki en yüksek...
TRANSCRIPT
![Page 1: Birinci Mertebeden Adi Diferansiyel Denklemlermurat/math2/diffdenk.pdf · •Denklemdeki en yüksek mertebeden türevin mertebesine diferansiyel denklemin mertebesi denir. Eğer diferansiyel](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022040317/5e2d993c45cb887a166f7431/html5/thumbnails/1.jpg)
Birinci Mertebeden Adi Diferansiyel Denklemler
1
Bir veya daha çok bağımlı değişken, bir veya daha çok
bağımsız değişken ve bağımlı değişkenin bağımsız
değişkene göre (diferansiyel) türevlerini içeren bağıntıya
diferansiyel denklem denir.
![Page 2: Birinci Mertebeden Adi Diferansiyel Denklemlermurat/math2/diffdenk.pdf · •Denklemdeki en yüksek mertebeden türevin mertebesine diferansiyel denklemin mertebesi denir. Eğer diferansiyel](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022040317/5e2d993c45cb887a166f7431/html5/thumbnails/2.jpg)
diff
Birinci Dereceden Diferansiyel Denklemler
Diferansiyel denklemler,
uygulamalı matematiğin çok önemli kollarından biri olup,
bir çok pratik problemin çözümünde önemli bir araçtır.
Bu problemlere örnek olarak salınım problemleri, roket, uydu ve
gezegenlerin hareketleri, kimyasal reaksiyonlar, radioaktif maddelerin
parçalanması problemleri vb. gösterilebilir.
Amacımız diferansiyel denklemlerle tanışmak ve basit denklemlerin
çözümünü göstermektir.
DİFERANSİYEL DENKLEMLERİN ÇÖZÜMLERİ
Bağımsız değişken;
![Page 3: Birinci Mertebeden Adi Diferansiyel Denklemlermurat/math2/diffdenk.pdf · •Denklemdeki en yüksek mertebeden türevin mertebesine diferansiyel denklemin mertebesi denir. Eğer diferansiyel](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022040317/5e2d993c45cb887a166f7431/html5/thumbnails/3.jpg)
Değişkenlerin değişim oranlarını değişkenlerin kendilerinin ve çeşitli parametrelerin fonksiyonları cinsinden ifade eden bir yapıya sahiptirler.
Bir çok fiziksel olay, en iyi, değişim oranları şeklinde matematiksel olarak formüle edilebildiğinden, bu tür denklemlere mühendisliğin her alanında sıklıkla rastlanır ve bu nedenle diferansiyel denklemler mühendislikte önemli bir yere sahiptirler.3
![Page 4: Birinci Mertebeden Adi Diferansiyel Denklemlermurat/math2/diffdenk.pdf · •Denklemdeki en yüksek mertebeden türevin mertebesine diferansiyel denklemin mertebesi denir. Eğer diferansiyel](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022040317/5e2d993c45cb887a166f7431/html5/thumbnails/4.jpg)
4
•Temel yasalar: konuma ve zamana bağlı değişimler. Mühendislikte daha çok değişimle ilgilenilir.
dt
diLv 21 q =
dt
TdC 2
t
T = dt
wdJ 2
F = dt
vdM 2
•Bir sistemin nasıl değiştiğini (dinamik karakteristiğini) bilirsek, hangi zaman veya hangi konumda nasıl tepki vereceğini tahmin ederek, tasarımlarımızı buna göre yapabiliriz.
• Gösterim biçimi:dy/dx=f(x)
![Page 5: Birinci Mertebeden Adi Diferansiyel Denklemlermurat/math2/diffdenk.pdf · •Denklemdeki en yüksek mertebeden türevin mertebesine diferansiyel denklemin mertebesi denir. Eğer diferansiyel](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022040317/5e2d993c45cb887a166f7431/html5/thumbnails/5.jpg)
![Page 6: Birinci Mertebeden Adi Diferansiyel Denklemlermurat/math2/diffdenk.pdf · •Denklemdeki en yüksek mertebeden türevin mertebesine diferansiyel denklemin mertebesi denir. Eğer diferansiyel](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022040317/5e2d993c45cb887a166f7431/html5/thumbnails/6.jpg)
• Diferansiyel denklemler, bilinmeyen y = y(x) fonksiyonunun türevlerini içeren bir eşitliktir.
• Bu eşitlikte türevlerle beraber y = y(x) fonksiyonunun kendisi x in bilinen fonksiyonları ve sabitler de bulunabilir. Türevler denildiğinde I. Mertebeden, II. mertebeden, . . . türevler kastediliyorlar
• Denklemdeki en yüksek mertebeden türevin mertebesine diferansiyel denklemin mertebesi denir.
Eğer diferansiyel denklem tek bir bağımsız değişken içeriyorsa, bu tür diferansiyel denklemlere adi diferansiyel denklemler (ADD) denir.
![Page 7: Birinci Mertebeden Adi Diferansiyel Denklemlermurat/math2/diffdenk.pdf · •Denklemdeki en yüksek mertebeden türevin mertebesine diferansiyel denklemin mertebesi denir. Eğer diferansiyel](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022040317/5e2d993c45cb887a166f7431/html5/thumbnails/7.jpg)
7
• Bir sistemin durumu hakkında gözlemler ve deneyler sonucunda
y
4 -
-
-
-
-
+ + +
3 x
▪Sistemi genel olarak karakterize
eden y=f(x) fonksiyonu
.
xi xi+1 xi+n x
y
y
Eğim=
+ +
1i i
Adım büyüklüğü h
x x
x
1i iy y h
.
-
-
0
+ + +
3 x
(b)
dy/dx
8 -
-
-
-
-8 -
y= dxdx
dy
![Page 8: Birinci Mertebeden Adi Diferansiyel Denklemlermurat/math2/diffdenk.pdf · •Denklemdeki en yüksek mertebeden türevin mertebesine diferansiyel denklemin mertebesi denir. Eğer diferansiyel](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022040317/5e2d993c45cb887a166f7431/html5/thumbnails/8.jpg)
• Diferansiyel denklemler fiziksel olayların modellenmesinde sık karşılaşılan denklemlerdendir.
• Dolayısıyla bu denklemlerin sayısal ve analitik çözümünün bulunması çok önemlidir.
• Örneğin, mekanikte harmonik salınıcı problemi veya kuantummekaniğinde bir boyutlu schrödinger denklemi veyaelektromagnetik teoride bir boyutlı Laplace denklemi …gibi.
8
Eğer diferansiyel denklem tek bir bağımsız değişken içeriyorsa, bu tür diferansiyel denklemlere adi diferansiyel denklemler (ADD) denir.
Eğer birden fazla bağımsız değişken söz konusu ise, bu tür diferansiyel denklemlere de kısmi türevli diferansiyel denklemler (KDD) denir.
![Page 9: Birinci Mertebeden Adi Diferansiyel Denklemlermurat/math2/diffdenk.pdf · •Denklemdeki en yüksek mertebeden türevin mertebesine diferansiyel denklemin mertebesi denir. Eğer diferansiyel](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022040317/5e2d993c45cb887a166f7431/html5/thumbnails/9.jpg)
9
![Page 10: Birinci Mertebeden Adi Diferansiyel Denklemlermurat/math2/diffdenk.pdf · •Denklemdeki en yüksek mertebeden türevin mertebesine diferansiyel denklemin mertebesi denir. Eğer diferansiyel](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022040317/5e2d993c45cb887a166f7431/html5/thumbnails/10.jpg)
10
Bilgisayar olmaksızın ADD’ler genellikle analitik integrasyon
teknikleriyle çözülür.
Şu anda, pratik öneme sahip olan bir çok ADD’in kesin çözümü
yoktur. Sayısal yöntemler, bu gibi durumlar için güvenilebilecek tek
alternatiftir. Sayısal yöntemler, genelde bilgisayar gerektirdiği için
öncesi çağda, mühendislerin araştırmaları büyük oranda sınırlanmıştı.
![Page 11: Birinci Mertebeden Adi Diferansiyel Denklemlermurat/math2/diffdenk.pdf · •Denklemdeki en yüksek mertebeden türevin mertebesine diferansiyel denklemin mertebesi denir. Eğer diferansiyel](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022040317/5e2d993c45cb887a166f7431/html5/thumbnails/11.jpg)
9.1. Mühendislik Uygulamaları
• Temel yasalar, fiziksel özelliklerdeki ve sistemin konumundaki değişimleri açıklayan deneysel gözlemlere dayanır.
11
Yasalar, fiziksel sistemin durumunu doğrudan açıklamak yerine, genellikle, konuma ve zamana bağlı değişimlerini ifade ederler.
![Page 12: Birinci Mertebeden Adi Diferansiyel Denklemlermurat/math2/diffdenk.pdf · •Denklemdeki en yüksek mertebeden türevin mertebesine diferansiyel denklemin mertebesi denir. Eğer diferansiyel](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022040317/5e2d993c45cb887a166f7431/html5/thumbnails/12.jpg)
12
▪Tablo’da bazı yasalara ilişkin örnekler verilmiştir.
Bu değişimler, sürekli durumda (lim t ) türevlerle ifade edilirse, diferansiyel
denklemler ortaya çıkar. Daha sonra bu diferansiyel denklemler integre edilirse, enerji, kütle
ve hız değişimleri açısından bir sistemi konuma ve zamana göre tanımlayan matematiksel
işlevler elde edilir.
![Page 13: Birinci Mertebeden Adi Diferansiyel Denklemlermurat/math2/diffdenk.pdf · •Denklemdeki en yüksek mertebeden türevin mertebesine diferansiyel denklemin mertebesi denir. Eğer diferansiyel](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022040317/5e2d993c45cb887a166f7431/html5/thumbnails/13.jpg)
![Page 14: Birinci Mertebeden Adi Diferansiyel Denklemlermurat/math2/diffdenk.pdf · •Denklemdeki en yüksek mertebeden türevin mertebesine diferansiyel denklemin mertebesi denir. Eğer diferansiyel](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022040317/5e2d993c45cb887a166f7431/html5/thumbnails/14.jpg)
14
![Page 15: Birinci Mertebeden Adi Diferansiyel Denklemlermurat/math2/diffdenk.pdf · •Denklemdeki en yüksek mertebeden türevin mertebesine diferansiyel denklemin mertebesi denir. Eğer diferansiyel](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022040317/5e2d993c45cb887a166f7431/html5/thumbnails/15.jpg)
5.820122'23
xxxdx
dyy
![Page 16: Birinci Mertebeden Adi Diferansiyel Denklemlermurat/math2/diffdenk.pdf · •Denklemdeki en yüksek mertebeden türevin mertebesine diferansiyel denklemin mertebesi denir. Eğer diferansiyel](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022040317/5e2d993c45cb887a166f7431/html5/thumbnails/16.jpg)
![Page 17: Birinci Mertebeden Adi Diferansiyel Denklemlermurat/math2/diffdenk.pdf · •Denklemdeki en yüksek mertebeden türevin mertebesine diferansiyel denklemin mertebesi denir. Eğer diferansiyel](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022040317/5e2d993c45cb887a166f7431/html5/thumbnails/17.jpg)
y’ = 2x + 5 ve y(1)=-3 ise y(x) denkleminin genel çözümünü ve başlangıç
değer problemi çözümünü bulunuz
![Page 18: Birinci Mertebeden Adi Diferansiyel Denklemlermurat/math2/diffdenk.pdf · •Denklemdeki en yüksek mertebeden türevin mertebesine diferansiyel denklemin mertebesi denir. Eğer diferansiyel](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022040317/5e2d993c45cb887a166f7431/html5/thumbnails/18.jpg)
18
![Page 19: Birinci Mertebeden Adi Diferansiyel Denklemlermurat/math2/diffdenk.pdf · •Denklemdeki en yüksek mertebeden türevin mertebesine diferansiyel denklemin mertebesi denir. Eğer diferansiyel](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022040317/5e2d993c45cb887a166f7431/html5/thumbnails/19.jpg)
19
![Page 20: Birinci Mertebeden Adi Diferansiyel Denklemlermurat/math2/diffdenk.pdf · •Denklemdeki en yüksek mertebeden türevin mertebesine diferansiyel denklemin mertebesi denir. Eğer diferansiyel](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022040317/5e2d993c45cb887a166f7431/html5/thumbnails/20.jpg)
![Page 21: Birinci Mertebeden Adi Diferansiyel Denklemlermurat/math2/diffdenk.pdf · •Denklemdeki en yüksek mertebeden türevin mertebesine diferansiyel denklemin mertebesi denir. Eğer diferansiyel](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022040317/5e2d993c45cb887a166f7431/html5/thumbnails/21.jpg)
21
![Page 22: Birinci Mertebeden Adi Diferansiyel Denklemlermurat/math2/diffdenk.pdf · •Denklemdeki en yüksek mertebeden türevin mertebesine diferansiyel denklemin mertebesi denir. Eğer diferansiyel](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022040317/5e2d993c45cb887a166f7431/html5/thumbnails/22.jpg)
22
Ayrılabilir Dif Denk
![Page 23: Birinci Mertebeden Adi Diferansiyel Denklemlermurat/math2/diffdenk.pdf · •Denklemdeki en yüksek mertebeden türevin mertebesine diferansiyel denklemin mertebesi denir. Eğer diferansiyel](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022040317/5e2d993c45cb887a166f7431/html5/thumbnails/23.jpg)
23
![Page 24: Birinci Mertebeden Adi Diferansiyel Denklemlermurat/math2/diffdenk.pdf · •Denklemdeki en yüksek mertebeden türevin mertebesine diferansiyel denklemin mertebesi denir. Eğer diferansiyel](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022040317/5e2d993c45cb887a166f7431/html5/thumbnails/24.jpg)
24
![Page 25: Birinci Mertebeden Adi Diferansiyel Denklemlermurat/math2/diffdenk.pdf · •Denklemdeki en yüksek mertebeden türevin mertebesine diferansiyel denklemin mertebesi denir. Eğer diferansiyel](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022040317/5e2d993c45cb887a166f7431/html5/thumbnails/25.jpg)
25
![Page 26: Birinci Mertebeden Adi Diferansiyel Denklemlermurat/math2/diffdenk.pdf · •Denklemdeki en yüksek mertebeden türevin mertebesine diferansiyel denklemin mertebesi denir. Eğer diferansiyel](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022040317/5e2d993c45cb887a166f7431/html5/thumbnails/26.jpg)
26
![Page 27: Birinci Mertebeden Adi Diferansiyel Denklemlermurat/math2/diffdenk.pdf · •Denklemdeki en yüksek mertebeden türevin mertebesine diferansiyel denklemin mertebesi denir. Eğer diferansiyel](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022040317/5e2d993c45cb887a166f7431/html5/thumbnails/27.jpg)
Genel Çözümü
27
![Page 28: Birinci Mertebeden Adi Diferansiyel Denklemlermurat/math2/diffdenk.pdf · •Denklemdeki en yüksek mertebeden türevin mertebesine diferansiyel denklemin mertebesi denir. Eğer diferansiyel](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022040317/5e2d993c45cb887a166f7431/html5/thumbnails/28.jpg)
28
![Page 29: Birinci Mertebeden Adi Diferansiyel Denklemlermurat/math2/diffdenk.pdf · •Denklemdeki en yüksek mertebeden türevin mertebesine diferansiyel denklemin mertebesi denir. Eğer diferansiyel](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022040317/5e2d993c45cb887a166f7431/html5/thumbnails/29.jpg)
y’ = y denkleminin genel çözümü nedir
![Page 30: Birinci Mertebeden Adi Diferansiyel Denklemlermurat/math2/diffdenk.pdf · •Denklemdeki en yüksek mertebeden türevin mertebesine diferansiyel denklemin mertebesi denir. Eğer diferansiyel](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022040317/5e2d993c45cb887a166f7431/html5/thumbnails/30.jpg)
𝑦′ + 2𝑦𝑥2 = 0diferansiyel denklemi genel çözümü nedir?
y(0)=5 ise c integral sabiti kaçtır?
![Page 31: Birinci Mertebeden Adi Diferansiyel Denklemlermurat/math2/diffdenk.pdf · •Denklemdeki en yüksek mertebeden türevin mertebesine diferansiyel denklemin mertebesi denir. Eğer diferansiyel](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022040317/5e2d993c45cb887a166f7431/html5/thumbnails/31.jpg)
x’ - 2xt + 5 = 0 çözümü nedir?• X(t) denklemi ve
• değişken t olmaktadır.
![Page 32: Birinci Mertebeden Adi Diferansiyel Denklemlermurat/math2/diffdenk.pdf · •Denklemdeki en yüksek mertebeden türevin mertebesine diferansiyel denklemin mertebesi denir. Eğer diferansiyel](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022040317/5e2d993c45cb887a166f7431/html5/thumbnails/32.jpg)
𝑑𝑦
𝑑𝑥=
4−2𝑥
3𝑦2−5ise y=?
biçiminde yazılabilen denklemlere değişkenlerine ayrılabilir diferansiyel
denklemler denir.
![Page 33: Birinci Mertebeden Adi Diferansiyel Denklemlermurat/math2/diffdenk.pdf · •Denklemdeki en yüksek mertebeden türevin mertebesine diferansiyel denklemin mertebesi denir. Eğer diferansiyel](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022040317/5e2d993c45cb887a166f7431/html5/thumbnails/33.jpg)
y’ = k ( y - 30) denkleminin genel çözümü nedir?
![Page 34: Birinci Mertebeden Adi Diferansiyel Denklemlermurat/math2/diffdenk.pdf · •Denklemdeki en yüksek mertebeden türevin mertebesine diferansiyel denklemin mertebesi denir. Eğer diferansiyel](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022040317/5e2d993c45cb887a166f7431/html5/thumbnails/34.jpg)
![Page 35: Birinci Mertebeden Adi Diferansiyel Denklemlermurat/math2/diffdenk.pdf · •Denklemdeki en yüksek mertebeden türevin mertebesine diferansiyel denklemin mertebesi denir. Eğer diferansiyel](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022040317/5e2d993c45cb887a166f7431/html5/thumbnails/35.jpg)
![Page 36: Birinci Mertebeden Adi Diferansiyel Denklemlermurat/math2/diffdenk.pdf · •Denklemdeki en yüksek mertebeden türevin mertebesine diferansiyel denklemin mertebesi denir. Eğer diferansiyel](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022040317/5e2d993c45cb887a166f7431/html5/thumbnails/36.jpg)
36