(Bài tập dùng ôn thi trắc nghiệm)

MA TRẬN

1. Tính hạng của ma trận

A

2 1 1 2 1

3 1 0 2 1

7 1 2 2 1

13 1 2 2 1

2. Tìm m để ma trận sau có hạng bằng 3

a. A

1 2 3 4

2 3 4 5

3 5 7 m

5 7 9 m

; b. B

1 m 1 2

2 3m 1 2 m 4

4 5m 1 m 4 2m 7

2 2m 2 m 4

3. Tìm m để ma trận sau có hạng bằng 2

A

3 m 0 1

6 2m m 2

9 3m 0 m 2

15 5m 0 7

ĐỊNH THỨCTính định thức theo cách khai triển theo dòng hay cột

1.

0 1 2 0

2 2 7 0

7 3 4 1

0 4 4 0

; 2.

m 0 2m m

1 m 1 m 0

1 1 0 0

m 0 0 0

3.

1 0 0 0 0 1

0 2 0 0 2 0

0 0 3 3 0 0

0 0 0 4 0 0

0 5 0 0 0 0

1 0 0 0 0 0

Tính định thức bằng cách biến đổi sơ cấp làm xuất hiện nhiều số 0, đưa về dạng tam giáctrên, khai triển,..

1

4.

1 1 2 0

2 3 4 1

1 1 7 0

2 2 2 1

; 5.

x 1 1 1

1 x 1 1

1 1 x 1

1 1 1 x

6.

x 1 x 1 1

2 x2 1 1

1 0 x 1

x 0 1 x

7.

2 1 1 1 0

1 0 1 1 1

1 1 4 1 2

1 1 1 2 0

0 1 2 0 0

Tính định thức bằng định lí Laplace (khai triển theo nhiều dòng)

8.

7 1 3 4

0 2 0 1

1 1 2 1

0 1 0 2

;

9. a./

1 0 0 0 0 1

0 2 0 0 2 0

0 0 3 3 0 0

0 0 0 4 0 0

0 5 0 0 0 0

1 0 0 0 0 0

; b. /

1 1 1 0 0 0

2 3 4 0 0 0

3 6 10 0 0 0

4 9 14 1 1 1

5 9 24 1 5 9

0 24 38 1 25 81

10.

m 0 2m m

1 m 1 m 0

1 1 0 0

m 0 0 0

; 11.

0 0 x 2

1 x 1 4

x 1 2 2

0 0 2 x

12. Ma trận nào sau đây khả nghịch

a) A

1 1 2

2 2 4

1 2 0

b) B

1 2 0

3 0 0

1 0 2

2

c) C

1 1 2

2 0 2

3 0 3

d) D

2 1 2

4 3 1

2 4 1

13. Tìm m để ma trận sau khả nghịch

A

m 1 1 3

2 m 2 0

2m 1 3

14. Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận

a) A 6 5

4 7 2

1 1

1 4; b) A

1 1

0 1

4 3

3 2

15.Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận

A 1 0 2

0 1 0

1 0

1 1

0 1

16. Cho

A 2 3

1 1và B

2 6

2 0

Tìm ma trận X thỏa XA B17. Cho

A 2 1 1

1 2 1và B

2 6

2 0

Tìm ma trận X thỏa AX B

a) X 1 1 1

1 1 1; b) X

1 1

1 1

1 1

;

c) X

1 1

1 1

1 1

; d) Không có ma trận nào ở trên thỏa

18. Cho

2 m 5 12

m 3 m 1 3m

3 m m 1 3m

. Tìm m để 0

19. Cho

m 8 7 6

m 1 m 2m 1

m 1 m 1 m 1

. Tìm m để 0

20. Tìm số nghiệm phân biệt r của phương trình:

3

a)

1 2x 1 1

1 x 1 1

3 1 1 1

0 2 0 2

0; b)

1 x 1 1

1 x2 1 1

0 1 1 1

0 2 0 2

0

HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

Phương pháp giải cho hệ có số phương trình bằng số ẩn1. Tìm m để hệ sau vô nghiệm: (hoặc có nghiệm)

a)m 1x m 1y 1

x my 0; b)

mx y 2m2 m 1

m 2x y m

2. Tìm m để hệ sau có nghiệm duy nhất:

a)2m 1x m 10y m

mx m 2y 2m; b)

m 1x 6m 4y 2m 4

x m 1y m2 4

3. Tìm m để hệ sau có vô số nghiệm:

m 1x m 1y 0

x my 0

Phương pháp tổng quátGhi nhớ: Phương trình AX B(i) rA|B rA Số lượng ẩn thì hệ có nghiệm duy nhất.

(ii) rA|B rA Số lượng ẩn thì hệ có vô số nghiệm.(iii) rA|B rA thì hệ vô nghiệm.

4. Tìm nghiệm của hệ:

a)2x 3y 2z 5

2x 5y 2z 7; b)

x 4y 5z 1

2x 7y 11z 2

3x 11y 6z 0

5. Tìm nghiệm của hệ

a)

2x 3y 3z 0

x 2y z 1

3x y 4z 1

; b)

3x 4y 3z 2

4x 7y 4z 6

2x 3y 2z 2

6. Tìm m để hệ sau có nghiệm:

a)

2x 2y 4z m

3x 5y z 3

4x 4y 8z 2

; b)

2x 3y z 1

4x m 5y m 3z m 1

8x 12y m 4z m 4

Hướng dẫn: (b)

4

2 3 1

4 m 5 m 3

8 12 m 4

1

m 1

m 4

2 3 1

0 m 1 m 1

0 0 m

1

m 1

m

Trường hợp : m 0 và m 1 thì hệ có nghiệm (duy nhất)

Trường hợp:m 0 do r(A)r(A|B)23: hệ có (vô số) nghiệmTrường hợp: m 1 do r(A)r(A|B)23: hệ có (vô số) nghiệm

Tóm lại: Hệ luôn có nghiệm với m tùy ý.7. Tìm m để hệ sau vô nghiệm

a)

x my z m

x 2y 2z 1

2x m 2y m2 2z 2m

; b)

x my z m

x 2y 2z 1

2x m 2y m2 2z m2 m

c)

x my z m

x 2y mz 1

2x 4m 1y m 2z 2m

Hướng dẫn: (c)

1 m 1

1 2 m

2 4m 1 m 2

m

1

2m

1 m 1

0 2 m m 1

0 2m 1 m

m

1 m

0

(Trước hết làm cho vị trí dòng 2 cột 2 mất tham số m)

1 m 1

0 5 3m 2

0 2m 1 m

m

2 2m

0

1 m 1

0 5 3m 2

0 0 6m2 6m 2

m

2 2m

4m2 2m 2

1 m 1

0 5 3m 2

0 0 3m2 3m 1

m

2 2m

2m2 m 1

Trường hợp 3m2 3m 1 0 m 3 21

6: Hệ có nghiệm (duy nhất)

Trường hợp 3m2 3m 1 0 m 3 21

6: Hệ vô nghiệm.

Trường hợp8. Tìm m để hệ sau có nghiệm duy nhất

x 2y m 5z 2

2x y 1

5 mx y m 5z 6

Hướng dẫn:Ta có thể áp dụng như trường hợp tổng quát được, tuy nhiên: hệ có nghiệm duy nhất

chỉ trong trong trường hợp detA 0 (A là ma trận hệ số)

5

KHÔNG GIAN VÉC TƠ

Tổ hợp tuyến tính

Ghi nhớ:

Điều kiện cần và đủ để véc tơ x là tổ hợp tuyến tính của các véc tơ u1,u2, . . . ,un là: Hệphương trình x1u1 x2u2 . . .xnun x có nghiệm.

Dạng ma trận của hệ trên là: Ma trận cột tọa độ của các véc tơ u1,u2, . . . ,un,x (theo thứtự).

1. Xác định m để véc tơ x 2,m 4,m 6 là tổ hợp tuyến tính của các véc tơ sau:

u 1,2,3;v 3,8,11;w 1,3,4Hướng dẫn:

1 3 1

2 8 3

3 11 4

2

m 4

m 6

1 3 1

0 2 1

0 2 1

2

m

m

1 3 1

0 2 1

0 0 0

2

m

0

Hệ phương trình luôn có nghiệm với mọi m. (là yêu cầu cần tìm)2. Xác định m để véc tơ x m, 2m 2,m 3 là tổ hợp tuyến tính của các véc tơ sau:u 3,6,3;v 2,5,3;w 1,4,3Hướng dẫn:

3 2 1

6 5 4

3 3 3

m

2m 2

m 3

3 2 1

0 1 2

0 1 2

m

2

3

3 2 1

0 1 2

0 0 0

m

2

1

Hệ trên vô nghiệm với mọi m. Vậy Không có giá trị nào thỏa yêu cầu.3. Xác định m để véc tơ x m, 2m 2,2m 3 là tổ hợp tuyến tính của các véc tơ sau:u 3,6,3;v 2,5,3;w 1,4,3Hướng dẫn:

3 2 1

6 5 4

3 3 3

m

2m 2

2m 3

3 2 1

0 1 2

0 1 2

m

2

m 3

3 2 1

0 1 2

0 0 0

m

2

m 1

Hệ có nghiệm khi và chỉ khi m 1(là yêu cầu cần tìm)4. Xác định m để véc tơ x m, 1, 2m là tổ hợp tuyến tính của các véc tơ sau:

u 1,1,2;v m, 2,m 2;w 1,2,m2 2

Hướng dẫn:

1 m 1

1 2 2

2 m 2 m2 2

m

1

2m

1 m 1

0 2 m 1

0 m 2 m2

m

1 m

0

6

1 m 1

0 2 m 1

0 0 m2 1

m

1 m

1 m

m 1 và m 2 thì hệ có nghiệm.m 1 : Hệ vô nghiệmm 1 : Hệ có nghiệmm 2 :

1 2 1

0 0 1

0 0 3

2

1

1

1 2 1

0 0 1

0 0 0

2

1

4

Hệ vô nghiệm.

Tóm lại: Hệ vô nghiệm khi và chỉ khi m 1 hoặc m 2.Vậy hệ có nghiệm khi và chỉ khi m 1 và m 2 (là yêu cầu cần tìm)

5. Tìm điều kiện để véc tơ x x1,x2,x3 là tổ hợp tuyến tính của các véc tơ sau:u 1,2,3;v 2,4,5;w 3,6,7Hướng dẫn:

1 2 3

2 4 6

3 5 7

x1

x2

x3

1 2 3

0 0 0

0 1 2

x1

x2 2x1

x3 3x1

1 2 3

0 1 2

0 0 0

x1

x3 3x1

x2 2x1

Suy ra hệ có nghiệm khi và chỉ khi x2 2x1 0(là yêu cầu cần tìm)6. Xác định m để véc tơ x 1,m 2,m 4 không là tổ hợp tuyến tính của các véc tơ sau:u 1,2,3;v 3,7,10;w 2,4,67. Tìm điều kiện để véc tơ x x1,x2,x3 không là tổ hợp tuyến tính của các véc tơ sau:u 1,2,1;v 1,1,0;w 3,6,3

Độc lập tuyến tính-phụ thuộc tuyến tínhGhi nhớ:(i) Hệ a1,a2, . . . ,am độc lập tuyến tính khi và chỉ khi hạng của hệ bằng m

(ii) Hệ a1,a2, . . . ,am phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi hạng của hệ bé hơn m(iii) Hạng của hệ véc tơ bằng hạng của ma trận dòng tọa độ của các véc tơ đó.(iv) Hai khái niệm độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính là phủ định nhau.

1. Xác định m để các véc tơ sau đây phụ thuộc tuyến tính:u m 1,m,m 1; v 2,m, 1; w 1,m,m 1Hướng dẫn:Tìm m để hạng của các véc tơ trên bé hơn 3, điều này tương đương với hạng của ma

trận sau bé hơn 3.

m 1 m m 1

2 m 1

1 m m 1

0 m2 m m2

0 m 2m 3

1 m m 1

1 m m 1

0 m 2m 3

0 m2 m m2

7

1 m m 1

0 m 2m 3

0 0 m2 2m

hạng ma trận bé hơn 3 khi và chỉ khi m2 2m 02. Xác định m để các véc tơ sau đây phụ thuộc tuyến tính:

u m, 1, 3, 4; v m,m,m 2,6; w 2m, 2, 6,m 103. Xác định m để các véc tơ sau đây phụ thuộc tuyến tính:

u m, 1, 3, 4; v m,m,m 2,6; w 2m, 2, 7,m 104. Xác định m để các véc tơ sau đây phụ thuộc tuyến tính:

u1 2,3,1,4; u2 4,11,5,10; u3 6,14,m 5,18; u4 2,8,4,75. Xác định m để các véc tơ sau đây phụ thuộc tuyến tính:

u1 1,2,1,4; u2 2,3,m, 7; u3 5,8,2m 1,19; u4 4,7,m 2,156. Tìm m để các véc tơ sau độc lập tuyến tính:

u m 1,1,m 1; v 1,1,1; w 2,0,m 2Hướng dẫn:Ta tìm m để hạng của ma trận sau bằng 3:

m 1 1 m 1

1 1 1

2 0 m 2

0 m 0

1 1 1

0 2 m

Nhận xét: Trong trường hợp ma trận trên vuông hạng ma trận bằng cấp ma trận khi vàchỉ khi ma trận đó không suy biến.

r3 khi và chỉ khi det

0 m 0

1 1 1

0 2 m

0 mm 0 m 0 (khai triển theo dòng

1)7. Tìm m để các véc tơ sau độc lập tuyến tính:a) u 2,1,1,m; v 2,1,4,m; w m 2,1,0,0b) u 2,1,1,m; v 2,1,4,m; w m, 1, 0, 0

Hướng dẫn:(a)Ta tìm m để hạng của ma trận sau bằng 3:

2 1 1 m

2 1 4 m

m 2 1 0 0

2 1 1 m

0 0 3 0

0 m m 2 m2 2m

2 1 1 m

0 m m 2 m2 2m

0 0 3 0

Trường hợp m 0 : r 3

Trường hợp m 0 :

2 1 1 0

0 0 2 0

0 0 3 0

2 1 1 0

0 0 2 0

0 0 0 0

; r 2

Hướng dẫn:(b)Ta tìm m để hạng của ma trận sau bằng 3:

8

2 1 1 m

2 1 4 m

m 1 0 0

2 1 1 m

0 0 3 0

0 m 2 m m2

2 1 1 m

0 m 2 m m2

0 0 3 0

Trường hợp m 2 : r 3

Trường hợp m 2 :

2 1 1 0

0 0 2 4

0 0 3 0

2 1 1 0

0 0 2 4

0 0 0 12

; r 3

Tóm lại r 3 m R8.Tìm m để các véc tơ sau độc lập tuyến tính:

u 2,1,1,m; v 2,1,1,m; w 10,5,1,5m

Hệ sinh-Cơ sở-Không gian conGhi nhớ:(i) Không gian Rn có số chiều bằng n.(ii) Số chiều của không gian con sinh bởi u1,u2, . . . ,um Rn bằng hạng của hệ này.(iii) u1,u2, . . . ,um Rn là hệ sinh của Rn khi và chỉ khi hạng của u1,u2, . . . ,um bằng n.(iv) u1,u2, . . . ,um Rn là cơ sở sinh của Rn khi và chỉ khi m n và hạng của

u1,u2, . . . ,um bằng n

1. Tìm m để các véc tơ sau tạo thành một cơ sở của R3 :a) u 1,2,m; v 1,m, 0; w m, 1, 0b) u m, 1, 1; v 1,m, 1; w 1,1,mc) u 1,2,3; v m, 2m 3,3m 3; w 1,4,6d) u 1,2,m; v m, 2m 3,3m 3; w 4,2m 7,5m 3Hướng dẩn:Yêu cầu tương đương: hạng của hệ bằng 3 (tương đương định thức cấp 3 khác không)

(a):A

m 1 1

1 m 1

1 1 m

m 2 m 2 m 2

1 m 1

1 1 m

detA m 2det

1 1 1

1 m 1

1 1 m

m 2

1 1 1

0 m 1 0

0 0 m 1

m 2m 12

Hạng hệ bằng 3 khi và chỉ khi detA 0 m 1,2

(b) A

1 2 m

2 2m 3 3m 3

4 2m 7 5m 3

1 2 m

0 2m 1 m 3

0 2m 1 m 3

1 2 m

0 2m 1 m 3

0 0 0

Hạng r(A)3 nên hệ luôn phụ thuộc tuyến tính (Hoặc có thể lý giải khác: detA 0 suy rahệ không độc lập tuyến tính)

9

2.Tìm m để các véc tơ sau tạo thành một cơ sở của R4 :a) u1 3,1,2,m 1; u2 0,0,m, 0; u3 2,1,4,0; u4 3,2,7,0b) u1 1,2,3,4; u2 2,3,4,5; u3 3,4,5,6; u4 4,5,6,mHướng dẫn: Tương tự bài tập trên, ta tìm m để hạng của hệ (Bằng hạng của ma trận

dòng) bằng 43. Tìm một cơ sở của không gian con W của R3 sinh bởi các véc tơ sau:

a) u1 2,3,4; u2 2,6,0; u3 4,6,8b) u1 2,3,4; u2 5,4,0; u3 7,1,5c) u1 1,2,4; u2 0,1,2; u3 0,0,1; u4 0,0,2Hướng dẫn:Biến đổi ma trận dòng để tìm số chiều của không gian con (bằng hạng của ma trận), từ

đó rút ra các véc tơ làm cơ sở4. Tìm một cơ sở của không gian con W của R4 sinh bởi các véc tơ sau:

a) u1 1,2,3,4; u2 0,2,6,0; u3 0,0,1,0;u4 0,2,4,4b) u1 1,2,3,4; u2 2,3,4,5; u3 3,4,5,6;u4 4,5,6,7Hướng dẫn: Tương tự bài tập trên

5. Tìm m để hệ các véc tơ sau có hạng bằng 2.(Lưu ý: có thể hỏi cách khác như: tìm m để số chiều của không gian sinh bởi các véc tơ

sau bằng 2)a) u 1,3,1; v 1,m 3,3; w 2,m 6,m 3b) u m, 1, 0, 2; v m,m 1,1,2; w 2m,m 2,1,5Hướng dẫn: (b)

m 1 0 2

m m 1 1 2

2m m 2 1 5

m 1 0 2

0 m 1 0

0 m 1 1

m 1 0 2

0 m 1 0

0 0 0 1

Trường hợp m 0 : hạng bằng 3

Trường hợp m 0 :

0 1 0 2

0 0 1 0

0 0 0 1

hạng bằng 3

Kết luận: không có m để hạng bằng 26. Tìm m để hệ các véc tơ sau có hạng bằng 3.

a) u m, 1, 0, 2; v m,m 2,0,2; w 2m,m 3,1,4b) u m, 1, 0, 2; v m,m 2,0,2; w 2m,m 3,0,5c) u m, 1, 0, 2; v m,m 2,0,2; w 2m,m 3,0,4Hướng dẫn: (b)

m 1 0 2

m m 2 0 2

2m m 3 0 5

m 1 0 2

0 m 1 0 0

0 m 1 0 1

m 1 0 2

0 m 1 0 0

0 0 0 1

Trường hợp m 0,m 1 : Hạng bằng 3Trường hợp m 0 :

10

0 1 0 2

0 1 0 0

0 0 0 1

0 1 0 2

0 0 0 2

0 0 0 1

0 1 0 2

0 0 0 2

0 0 0 0

; hạng bằng 2

Trường hợp m 1 :

1 1 0 2

0 0 0 0

0 0 0 1

hạng bằng 2

Tóm lại: hạng bằng 3 khi và chỉ khi m 0,m 1Tọa độ-Chuyển cơ sở.

Ghi nhớ:

(i) x1,x2, . . . ,xn là tọa độ của x đối với cơ sở u1,u2, . . . ,un khi và chỉ khi x1,x2, . . . ,xn là nghiệm của hệ phương trình:

x1u1 x2u2 . . .xnun x (ii) x x1,x2, . . . ,xn Rn thì tọa độ của x đối với cơ sở chính tắc là:x|e x1,x2, . . . ,xn

(iii) Ký hiệu: xa ma trận cột tọa độ của véc tơ x đối với cơ sở (a)

Tab là ma trận chuyển cơ sở từ cơ sở (a) sang cơ sở (b). (Ma trận này có được bằngcách biểu diển (b) theo cơ sở (a) rồi viết theo cột tọa độ vừa tìm được)

Ta có: xa Tabxb; và Tba Tab1 và Tab TacTca

1. Tìm tọa độ x1,x2,x3 của x m, 0, 1 đối với cơ sở

u1 1,0,0;u2 0,3,0;u3 0,0,22. Tìm tọa độ x1,x2,x3 của x 1,2,1 đối với cơ sở

u1 1,0,0;u2 1,1,0;u3 1,1,13. Tìm tọa độ x1,x2,x3 của x 2,3,6 đối với cơ sở

u1 1,2,3;u2 2,3,4;u3 2,4,74. Tìm tọa độ x1,x2,x3 của x m, 0, 1 đối với cơ sở

u1 1,0,0;u2 1,1,0;u3 0,1,15. Tìm tọa độ x1,x2,x3 của x m,m, 4m đối với cơ sở

u1 1,2,3;u2 3,7,9;u3 5,10,16Hướng dẫn:Cách 1: Ma trận phương trình (*):

1 3 5

2 7 10

3 9 16

m

m

4m

1 3 5

0 1 0

0 0 1

m

m

m

x1 m 3x2 5x3

x2 m

x3 m

x1 m

x2 m

x3 m

Cách 2: (Cách này thường không phù hợp cho dạng trắc nghiệm lắm)

11

Teu

1 3 5

2 7 10

3 9 16

P

22 2 3

3 1 0

5 0 1

;

detTeu 1 Teu1

22 3 5

2 1 0

3 0 1

xe Teuxu xu Teu1xe

22 3 5

2 1 0

3 0 1

m

m

4m

m

m

m

6. Tìm tọa độ x1,x2,x3 của x 1,2m, 2 đối với cơ sở

u1 1,0,0;u2 0,2,0;u3 2,1,17. Trong R2 cho cơ sở u u1 2,1;u2 1,1.

a) Tìm ma trận chuyển cơ sở từ cơ sở chính tắc (e) sang cơ sở u.b) Tìm ma trận chuyển cơ sở từ cơ sở u sang cơ sở chính tắc (e)Hướng dẫn:

(a): Teu 2 1

1 1; (b) Tue

2 1

1 1

1

8. Trong R3 cho cơ sở u u1 1,0,1;u2 0,1,1;u3 0,0,1.a) Tìm ma trận chuyển cơ sở từ cơ sở chính tắc (e) sang cơ sở u.b) Tìm ma trận chuyển cơ sở từ cơ sở u sang cơ sở chính tắc (e)Hướng dẫn:

a) Teu

1 0 0

0 1 0

1 1 1

b) Peu

1 0 1

0 1 1

0 0 1

;detTeu 1 Teu1

1 0 0

0 1 0

1 1 1

9. Trong R3 cho cơ sở u u1 1,0,0;u2 0,1,0;u3 0,0,1cơ sở v v1 1,0,1;v2 0,1,1;u3 0,0,1a) Tìm ma trận chuyển cơ sở từ cơ sở u sang cơ sở v.b) Tìm ma trận chuyển cơ sở từ cơ sở v sang cơ sở uHướng dẫn:Gọi (e) là cơ sở chính tắc, khi đó:

Teu

1 0 0

0 1 0

0 0 1

; Tev

1 0 0

0 1 0

1 1 1

12

Tuv TueTev Teu1 Tev

1 0 0

0 1 0

0 0 1

1

1 0 0

0 1 0

1 1 1

Tương tự: Tvu TveTeu Tev1 Teu

10. Trong không gian vec tơ E cho cơ sở a a1,a2,a3đặt b1 a1 a2 a3; b2 a1 a2; b3 a1i) Chứng minh b b1,b2,b3 là một cơ sở.

ii) Tìm ma trận chuyển cơ sở từ cơ sở (a) sang cơ sở (b)iii) Tìm ma trận chuyển cơ sở từ cơ sở (b) sang cơ sở (a)Hướng dẫn:(i) Chứng minh (b) độc lập tuyến tính (có thể theo định nghĩa)

b1|a 1,1,1;b2|a 1,1,0;b3|a 1,0,0

Hạng của (b) bằng 3, suy ra đpcm

(ii) Tab

1 1 1

1 1 0

1 0 0

; (iii) Tba Tab 1

11. Cho biết ma trận chuyển cơ sở từ cơ sở (b) sang cơ sở chính tắc (e) của R3 là:

a) P

1 1 2

0 1 0

1 1 1

. Tìm tọa độ của véc tơ u 1,0,1 theo cơ sở (b)

b) P

1 1 2

3 1 4

1 1 1

. Tìm tọa độ của véc tơ u 1,2,1 theo cơ sở (b)

Hướng dẫn: (b)

ub Tbeue Pue

1 1 2

3 1 4

1 1 1

1

2

1

5

5

4

12. Cho biết ma trận chuyển cơ sở từ cơ sở chính tắc (e) sang cơ sở (b) của R3 là:

a) P

1 1 0

0 1 0

1 1 1

. Tìm tọa độ của véc tơ u 2,1,0 theo cơ sở (b)

b) P

1 1 0

2 1 1

1 1 1

. Tìm tọa độ của véc tơ u 2,3,3 theo cơ sở (b)

Hướng dẫn: (b)ub Tbeue Teb

1ue P1ueTìm P1 :

13

Pa

0 3 3

1 1 2

1 1 1

;detP 3 P1 13

0 1 1

3 1 1

3 2 1

P1 13

0 1 1

3 1 1

3 2 1

ub 13

0 1 1

3 1 1

3 2 1

2

3

3

13

0

6

3

0

2

1

13. Trong R3 cho u u1 1,0,0;u2 0,1,0;u3 0,0,1a) Chứng tỏ u là một cơ sở của R3

b) Giả sử véc tơ x có tọa độ đối với cơ sở u là x1 1;x2 1;x3 0. Tìm véc tơ u.c) Tìm ma trận chuyển cơ sở từ cơ sở u sang a u3,u1,u2

Hướng dẫn: (b)

xe Teuxu; mà Teu

1 0 0

0 1 0

0 0 1

suy ra xe

1 0 0

0 1 0

0 0 1

1

1

0

1

1

0

(c): u3|u 0,0,1; u1|u 1,0,0; u2|u 0,1,0

Suy ra: Tua

0 1 0

0 0 1

1 0 0

ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH (Cho toán A2)

Nhận diện ánh xạ tuyến tính.1. Ánh xạ nào sau đây là ánh xạ tuyến tính từ R3 vào R2:

a) fx,y, z 2x 3xy 4z,x 3y zb) fx,y, z 2x 3y 4z,x 3xy zc) fx,y, z 2x y z 1,x 3xy zd) fx,y, z 2x y 4z,x 3xy z

2. Ánh xạ nào sau đây là ánh xạ tuyến tính từ R3 vào R3:a) fx,y, z 2x 3y 4z,x 3y z,xyb) fx,y, z 2x2 3y 4z,x 3xy z, 0

c) fx,y, z 2x y z,x 3y z, 0

14

d) fx,y, z 2x y 4z,x 3y z, 1

Ma trận của ánh xạ tuyến tính.

Ghi nhớ: V và W là các không gian véc tơ hữu hạn chiều có cơ sở lần lượt là (a) và (b).

f : V W là ánh xạ tuyến tính(i) Ma trận của f đối với cặp cơ sở (a), (b): là ma trận cột tọa độ của fa đối với cơ

sở (b)(ii) Công thức ma trận tìm ảnh: fxb Axa ( A là ma trận của f đối với cặp cơ sở

(a) và (b) )(iii) Gọi A là ma trận của f trong cơ sở a, b, A/ là ma trận của f trong cơ sở

a / , b / .Khi đó: A / Tbb/1 ATaa/ .

1. Cho ánh xạ tuyến tính f từ R3 vào R3 định bởi: fx,y, z x y 4z,x 3y z, z.a) Tìm ma trận của f theo cơ sở chính tắc.b) Tìm ảnh của véc tơ u 1,2,3 qua ánh xạ f

2. Cho ánh xạ tuyến tính f từ R2 vào R2 định bởi: fx,y x 2y,x 3y.b b1 0,1;b2 1,0i) Tìm ma trận của f theo cơ sở (e) chính tắc.ii) Tìm ma trận của f theo cặp cơ sở (b) và cơ sở chính tắc (e)iii)Tìm ma trận của f theo cặp cơ sở chính tắc (e) và cơ sở (b)iv)Tìm ma trận của f theo cơ sở (b)Hướng dẫn:

(i) Aee 1 2

1 3;

(ii) fb1 2,3; fb2 1,1 Abe 2 1

3 1

(iii)Cách 1: e1 f1,0 1,1; fe2 f0,1 2,3;Tìm tọa độ của fe1 đối với cơ sở (b): Giải hệ phương trình x1b1 x2b2 fe1

0 1

1 0

1

1

x1 1

x2 1 fe1 b

1

1

Tương tự x1b1 x2b2 fe2 fe1 b 3

2

Suy ra: Aeb 1 3

1 2

Cách 2: Sơ đồ eA

e

eA /

bA / Teb

1ATee Teb1A

15

Với Teb 0 1

1 0;A

1 2

1 3 Aeb

0 1

1 0

1

1 2

1 3

0 1

1 0

1 2

1 3

1 3

1 2

(iv) Xem bài dưới.3. Cho ánh xạ tuyến tính f từ R3 vào R3 định bởi: fx,y, z x y 4z,x 3y z, z và

a a1 1,1,1;a2 1,1,0;a3 1,0,0i) Tìm ma trận của f đối với cơ sở chính tắc (e).ii) Tìm ma trận của f đối với cặp cơ sở (a) và cơ sở chính tắc (e).iii) Tìm ma trận của f đối với cặp cơ sở chính tắc (e) và cơ sở (a).iv) Tìm ma trận của f đối với cơ sở (a).Hướng dẫn:

(i)

1 1 4

1 3 1

0 0 1

;

(ii) A / Tee1ATea ATea

1 1 4

1 3 1

0 0 1

1 1 1

1 1 0

1 0 0

4 2 1

1 4 1

1 0 0

(iii) A/ Tea1ATee Tea

1A

1 1 1

1 1 0

1 0 0

1

1 1 4

1 3 1

0 0 1

0 0 1

0 1 1

1 1 2

1 1 4

1 3 1

0 0 1

0 0 1

1 3 0

2 4 3

(iv) A/ Tea1ATea

1 1 1

1 1 0

1 0 0

1

1 1 4

1 3 1

0 0 1

1 1 1

1 1 0

1 0 0

0 0 1

1 3 0

2 4 3

1 1 1

1 1 0

1 0 0

1 0 0

2 4 1

1 6 2

4. Cho ánh xạ tuyến tính f từ R3 vào R3 có ma trận đối với cơ sở chính tắc là:

A

1 1 4

1 3 1

0 0 1

Tìm fx,y, z5. Cho ánh xạ tuyến tính f từ R2 vào R2 có ma trận theo cơ sở

16

b b1 0,1;b2 1,0 là:

A 1 2

1 3tìm fx,y

Hướng dẫn:Trước hết tìm ma trận của f đối với cơ sở chính tắc:

A/ Tbe1ATbe TebATeb

1 0 1

1 0

1

1 2

1 3

0 1

1 0

0 1

1 0

1 2

1 3

0 1

1 0

1 3

1 2

0 1

1 0

3 1

2 1

Suy ra fx,y 3x y,2x y6. Cho ánh xạ tuyến tính f từ R2 vào R2 có ma trận theo cặp cơ sở chính tắc (e) và cơ sởb b1 1,1;b2 0,1 là:

A 1 1

0 0tìm fx,y

Hướng dẫn: Trước hết tìm ma trận của f đối với cơ sở chính tắc:

A/ Tbe1ATee TebA

1 0

1 1

1 1

0 0

1 1

1 1

Suy ra fx,y x y,x y7. Cho ánh xạ tuyến tính f từ R2 vào R2 có ma trận theo cặp cơ sởb b1 1,1;b2 0,1 và cơ sở cính tắc (e) là:

A 1 1

0 0tìm fx,y

Hướng dẫn:

ma trận chính tắc của f là A/ Tee1ATbe ATeb

1 1 1

0 0

1 0

1 1

1

1 1

0 0

1 0

1 1

0 1

0 0 fx,y y, 0

Nhân và ảnh (số chiều của nhân, số chiều của ảnh, cơ sở)Ghi nhớ: V và W là các không gian véc tơ hữu hạn chiều có cơ sở lần lượt là (a) và (b).

f : V W là ánh xạ tuyến tính với ma trận là:A(i). Hạng của f là: DimIm f rA(ii) Số khuyết của f là: Dimker f DimV rA

1. Tìm số chiều của nhân (số khuyết) và số chiều của ảnh (hạng) của các ánh xạ tuyến tínhsau:

a) f từ R3 vào R3 : fx,y, z x y z,x 3y z,x yb) f từ R3 vào R3 : fx,y, z x y 2z,x 3y 4z,x yHướng dẫn: Viết ma trận chính tắc của f rồi sử dụng ghi nhớ (i) và (ii)

17

2. Cho f từ R3 vào R3 : fx,y, z x,x y 4z,x 2y 8z.

a) Tìm một cơ sở của Im fb) Tìm một cơ sở của ker fHướng dẫn:(a): Tìm hệ độc lập tối đại của hệ fe1 , fe2 , fe3

Tuy nhiên đối với loại hình trắc nghiệm thì có cách khác: Viết ma trận A của f,Tìmhạng của A, rồi căn cứ vào đây chỉ ra cơ sở phù hợp.

(b): ker f là không gian nghiệm của hệ tuyến tính thuần nhất với ma trận hệ số là matrận của f.

Tuy nhiên đối với loại hình trắc nghiệm thì có cách khác: Viết ma trận A của f,Tìmhạng của Ahạng của kerf, rồi căn cứ vào đây chỉ ra cơ sở phù hợp.3. Cho f từ R3 vào R3 : fx,y, z x 2y mz,mx,x 2y m2z.

a) Tìm m để hạng của f bằng 2.b) Tim m để hạng của f bằng 1.b) Tim m để hạng của f bằng 3.Hướng dẫn:Viết ma trận của f, sử dụng ghi nhớ (i)

4.Cho f từ R3 vào R3 : fx,y, z x 2y mz,mx,x 2y m2z.

a) Tìm m để số khuyết bằng 2.c) Tìm m để số khuyết bằng 3.Hướng dẫn:Viết ma trận của f, sử dụng ghi nhớ và (ii)

Ánh xạ tuyến tính là đơn ánh, toàn ánh, song ánhGhi nhớ: f : V W tuyến tính.(i) Dim(Im f Dim(ker f Dim(V)(ii) f đơn ánh ker f 0(iii) f toàn ánh hạng của f bằng Dim(W)(iv) Nếu Dim(W)Dim(V) thì các mệnh đề sau đây tương đương:

(a) f đơn ánh ; (b) f toàn ánh; (c) f song ánh1. Cho ánh xạ tuyến tính f từ R3 vào R4. Chứng minh rằng f không là toàn ánh.2. Cho ánh xạ tuyến tính f từ R4 vào R3. Chứng minh rằng f không là đơn ánh.3. Cho V và W là các không gian véctơ với dimV n; dimW m.

f là ánh xạ tuyến tính từ V vào W.Chứng minh:a) Nếu f là đơn ánh thì n mb) Nếu f là toàn ánh thì n mc) Nếu f là song ánh thì n mHướng dẫn: Sử dụng ghi nhớ (i), (ii), (iii)

Các bài tập dưới đây có chung hướng giảii quyết: Viết ma trận của ánh xạ tuyến tính trongcơ sở chính tắc, căn cứ vào các ghi nhớ (ii), (iii), (iv) tìm m để hạng của ma trận bằng sốthích hợp.4. Cho ánh xạ tuyến tính f từ R3 vào R3 định bởi: fx,y, z x 2y z, 2x 4y z, z. Chứng

tỏ f là song ánh.

18

5. Cho ánh xạ tuyến tính f từ R3 vào R3 định bởi: fx,y, z x y z,x 4y mz,mx. Tìm m

để f là đơn ánh.6. Cho ánh xạ tuyến tính f từ R3 vào R2 định bởi: fx,y, z x y z, 2x 2y mz. Tìm m

để f là đơn ánh.7. Cho ánh xạ tuyến tính f từ R3 vào R4 định bởi:fx,y, z x y z, 2x 4y mz,y,x y z. Tìm m để f là đơn ánh.

8. Cho ánh xạ tuyến tính f từ R3 vào R3 định bởi: fx,y, z x 2y z,y,mx 2my 3z. Tìm

m để f là toàn ánh.9. Cho ánh xạ tuyến tính f từ R3 vào R2 định bởi: fx,y, z x y z, 2x 5y mz. Tìm m

để f là toàn ánh.10.Cho ánh xạ tuyến tính f từ R3 vào R4 định bởi:fx,y, z x y z, 3x 3y mz,x y,x 2y 3z. Tìm m để f là toàn ánh.

11. Cho ánh xạ tuyến tính f từ R3 vào R4 định bởi:fx,y, z x y z, 3x 3y mz,x y,x 2y 3z. Tìm m để f là song ánh.12. Cho ánh xạ tuyến tính f từ R3 vào R3 định bởi:fx,y, z x 2y z,mx my,mx 2y 3z. Tìm m để f là song ánh.

CHÉO HÓA MA TRẬN VÀ CHÉO HÓA ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH.Đa thức đặc trưng, véc tơ riêng, trị riêng.

Ghi nhớ: A Mn

(i) Đa thức đặc trưng: detA I(ii) Giá trị riêng: Nghiệm của phương trình:detA I 0(iii) Véc tơ riêng ứng với trị riêng là: véc tơ u khác véc tơ không và Au u (hay

A Iu 0)(iv) Điều kiện cần và đủ để x là véc tơ riêng là: u khác không và hệ phương trình

Au u có nghiệm (ẩn là )(v) Không gian riêng ứng với trị riêng là: Không gian nghiệm của hệ phương trình

A Iu 01. Tìm đa thức đặc trưng và các giá trị riêng của các ma trận sau:

a) A

1 1 0

0 1 0

5 3 2

; b) A

0 1 1

1 0 1

1 1 0

c)A

1 2 1

0 2 0

2 1 0

;

d) A

1 2 3 4

0 1 2 3

0 0 2 3

0 0 0 2

; e)A

0 1 2 0

1 0 1 0

0 0 2 0

7 0 0 0

;

19

g)A

1 4 3 4

0 1 2 3

0 0 2 3

0 0 0 2

; h)A

1 4 3 4

0 1 2 3

0 0 0 4

0 0 1 0

;

Hương dẫn: Tinh detA I2. Tìm các trị riêng của ánh xạ tuyến tính sau: (Riêng cho Toán A2)

a) f : R3 R3 : fx,y, z 2x,y 4z, 2y zb) f : R4 R4 : fx,y, z, t x 4y 3z 4t,y 2z 3t, 2z 3t,2tc) f : R4 R4 : fx,y, z, t x 4y 3z 4t,y 2z 3t, 4t, z

3. Tìm m để vec tơ u m, 1 là véc tơ riêng của ma trận A 0 2

2 0

Hướng dẫn: Xem bài tập 6 bên dưới:

4. Tìm m để vec tơ u m,m,m là véc tơ riêng của ma trận A

5 0 0

0 5 0

0 0 5

Hướng dẫn: Trước hết điều kiệm m 0 để u khác véc tơ 0.Au u 5m m. Phương trình luôn có nghiệm với m tùy ý. Kết hợp điều

kiệm chọn m 0.

5. Tìm m để vec tơ u m, 1, 0 là véc tơ riêng của ma trận A

1 1 1

1 1 1

1 1 1

6. Tìm m để vec tơ u m, 0,m 1 là véc tơ riêng của ma trận A

1 1 0

0 1 1

0 0 1

(Câu hỏi tương ứng cho A2: Tìm m để vec tơ u m, 0,m 1 là véc tơ riêng của ánh xạtuyến tính f từ R3 vào R3 : fx,y, z x y,y z, z)

Hướng dẫn:

Au u

1 1 0

0 1 1

0 0 1

m

0

m 1

m

0

m 1

m m

m 1 0

m 1 m 1

Hệ trên có nghiệm khi và chỉ khi m 1.7. Tìm các giá trị riêng và không gian riêng tương ứng với các giá trị riêng đó của ma trậnsau:

a) A

0 1 2

2 2 1

3 4 0

; b)A

2 1 1

1 2 1

1 1 2

Hương dẫn: (b)

20

Đa thức đặc trưng: det

2 1 1

1 2 1

1 1 2

3 1 2

Trị riêng: 1 3;2 1;3 2 Không gian riêng ứng với 3 :

A I

1 1 1

1 1 1

1 1 1

1 1 1

0 0 1

0 0 0

x1

x2

x3 0

;

Véc tơ riêng dạng

1

1

0

; V3 u1 1,1,0

Không gian riêng ứng với 1 :

A I

1 1 1

1 1 1

1 1 1

1 1 1

0 0 0

0 1 0

x1

x2 0

x3

;

Véc tơ riêng dạng

1

0

1

; V1 u2 1,0,1

Không gian riêng ứng với 2 :

A I

0 1 1

1 0 1

1 1 0

1 1 0

1 0 1

0 1 1

1 1 0

0 1 1

0 1 1

1 1 0

0 1 1

0 0 0

x1

x2

x3

véc tơ riêng dạng

1

1

1

; V2 u3 1,1,1

Chéo hóa, chéo hóa trực giao

Ghi nhớ:

Đa thức đặc trưng detA I 1p 1 s1 2

s2 . . . n sn

1. Dim(V)n rA I2. Điều kiện chéo hóa được: si DimV (Tức là rA I n si) với mọi i

(Ta chỉ cần quan tâm tại nghiệm i mà bội lớn hơn 1)3. Ma trận trực giao khi và chỉ khi các véc tơ cột trực chuẩn (Tích vô hướng bằng

không và độ dài bằng 1)4. Ma trận đối xứng thì chéo hóa được bằng ma trận trực giao.

1. Tìm m để ma trận sau đây chéo hóa được:

21

a) A 1 0

m 0; b) A

0 m

m 0

Hướng dẫn: Tìm đa thức đặc trưng:(a) ĐTĐT1 luôn chéo hóa được

(b) ĐTĐT2 m2. Nếu A chéo được Phương trình 2 m2 0 có nghiệm m 0;Ngược lại m 0, A dạng chéo A chéo được.2. Tìm a ,b để ma trận sau cheo hóa được:

a) A

1 1 a

0 2 b

0 0 3

;b)A

0 1 a

0 1 0

0 0 1

;

c)A

0 1 1

0 1 a

0 0 1

; d)A

0 1 a

0 1 1

0 0 1

Hướng dẫn:(a): ĐTĐT: 1 2 3 có 3 (cấp ma trận) nghiệm đơn phân biệtChéo

được.(b): ĐTĐT: 1 2 : A chéo được (3DimV1 2)

Nghiệm bội 2: 1; rA I r

1 1 a

0 0 0

0 0 0

1 DimV1 3 1 2

Luôn chéo được.(c) ĐTĐT: 1 2 :

1,A I

1 1 1

0 0 a

0 0 0

; r1 khi và chỉ khi a0

(d) ĐTĐT: 1 2 :

1,A I

1 1 a

0 0 1

0 0 0

; r1 với mọi a.

3. Cho A

2 1 1

1 2 1

1 1 2

Tìm ma trận khả nghịch P sao cho P1AP là ma trận chéo.Hương dẫn:Tìm trị riêng: 3, 1, 2Không gian riêng: V3 u1 1,1,0; V1 u2 1,0,1;V2 u3 1,1,1

22

Ma trận làm chéo P

1 1 1

1 0 1

0 1 1

; ma trận P1AP

3 0 0

0 1 0

0 0 2

Lưu ý: Do tính chất thi trắc nghiệm nên các bài toán dạng này trong đề bài thường cho

trước thông tin sau:(i) Các trị riêng hoặc ma trận P1AP(ii) Các véc tơ riêng độc lập tuyến tính tương ứng hoặc ma trận P.

4. Các bài tập trong tài liệu trấc nghiệm:Đối với: B2;C2 các bài 345-356 (trang 99-103)Đối với: A2 các bài 416-426 (trang 126-130)

DẠNG SONG TUYẾN TÍNH VÀ DẠNG TOÀN PHƯƠNG (Cho toán B2, C2)Ghi nhớ:(i) Ma trận của dạng toàn phương phải đối xứng.(ii) Dạng toàn phương xác định dương khi và chỉ khi tất cả các định thức con chính

dương.1. Tìm ma trận của dạng toàn phương:

a) Qx 2x1x2 6x1x3 x22 2x3

2

b) Qx 2x12 2x1x2 2x2x3 x3

2

2. Tìm biểu thức của dạng toàn phương Qx1,x2,x3 biết ma trận của nó là:

a) A

4 2 0

2 2 1

0 1 0

; b) A

4 2 0

2 1 1

0 1 1

3. Đưa các dạng toàn phương sau đây về dạng chính tắc:a) Qx x1

2 2x1x2 2x22 x3

2

b) Qx 2x12 x2

2 2x2x3 2x32

c )Qx x12 4x1x2 5x2

2 7x32

Hướng dẫn:(a) Viết lại Qx x1 x2

2 x22 x3

2 y12 y2

2 y32

(b): Qx 2x12 x2 x3

2 x32 2y1

2 y22 y3

2

4. Các dạng toàn phương nào sau xác định dương:a) Qx x1

2 2x1x2 2x22 x3

2

b) Qx 2x12 x2

2 2x2x3 2x32

c )Qx x12 4x1x2 5x2

2 7x32

Hướng dẫn: ta có thể đưa về dạng chính tắc rồi xác định hoặc xem bài bên dưới5. Tìm m để dạng toàn phương sau xác định dương:

a) Qx x12 4x2

2 mx32 4x1x2

b) Qx 2x12 x2

2 2x2x3 mx32

c) Qx x12 mx2

2 4x1x2 2x1x3 mx32

d) Qx x12 mx2

2 4x1x2 2x1x3 mx32

Hướng dẫn:(d)

23

Ma trận của dạng toàn phương: A

1 2 1

2 m 0

1 0 m

1 |1| 1 0;2 1 2

2 m m 4;

3

1 2 1

2 m 0

1 0 m

1 2 2

0 m 4 2

0 2 m 1

m 4m 1 4 m2 5m

Q dương khi và chỉ khi:

1 0

2 0

3 0

m 4 0

m2 5m 0 m 5

24