bölme işlemi her zaman basit gerçekleştirilemiyordubrahms.emu.edu.tr/ersin/documents/mate...
TRANSCRIPT
Derleyen: Ersin Kuset Bodur
Bölme işlemi her zaman basit gerçekleştirilemiyordu...
Burada iki kat alma işlemi bitiyor
Örneğin, 35 ÷ 8 işlemi şöyle gerçekleştiriliyordu:
Fakat 35 elde edilemediği için bu kez 8’in ikiye bölme işlemleri gerçekleştiriliyor
Derleyen: Ersin Kuset Bodur
Bölme işlemi her zaman az önce olduğu gibi basit gerçekleştirilemiyordu...
35 = 32 + 2 + 1 olduğundan
Örneğin, 35 ÷ 8 işlemi şöyle gerçekleştiriliyordu:
35÷8 = 4 + (1/4) + (1/8) olur
Derleyen: Ersin Kuset Bodur
16 = 12 + 3 + 1 olduğundan
Örnek: 16 ÷ 3 = ?
16÷3 = 4 + 1 + (1/3) = 5 + (1/3) olur
Derleyen: Ersin Kuset Bodur
Kesirleri birim kesir cinsinden ifade edebilmek için özel 2/n tabloları oluşturmuşlardır.
Derleyen: Ersin Kuset Bodur
Bu tabloyu oluştururken bazı kesirleri;
2/n = 1/[(n+1)/2]+1/[n(n+1)/2]
formülünü kullanarak birim kesirlere dönüştürdükleri anlaşılmaktadır.
Örnek: 2/7’yi bu şekilde yazmaya çalışalım.
2/7 = 1/[(7+1)/2]+1/[7(7+1)/2] =1/4 + 1/(7X4) =1/4 + 1/28 Örnek: 2/11’i bu şekilde yazmaya çalışalım.
2/11 = 1/[(11+1)/2]+1/[11(11+1)/2] =1/6 + 1/(11X6) =1/6 + 1/66
Derleyen: Ersin Kuset Bodur
Fakat 2/15’i yazarken bu kuralın çalışmadığı anlaşılmaktadır. Payda eğer 3k şeklinde ise
2/3k = [1/2k]+[1/6k] formülünü kullanarak birim kesirlere dönüştürdükleri anlaşılmaktadır.
Örnek: 2/15’i bu şekilde yazmaya çalışalım.
2/15 =2/(3X5)= [1/(2X5)]+[1/(6X5)] =1/10 + 1/30
Örnek: 2/21’i bu şekilde yazmaya çalışalım.
2/21 =2/(3X7)= [1/(2X7)]+[1/(6X7)] =1/14 + 1/42
Derleyen: Ersin Kuset Bodur
Yukarıda açıklanan iki metoda rağmen, örneğin 2/19’un yazılması esnasında kullanılan;
2/19 = 1/12 + 1/76 + 1/114 İfedesinin nasıl ve niye tercih edildiği halen tam olarak anlaşılamamıştır.
Örneğin 2/19’u yazarken niye aşağıdaki alternatifler tercih edilmemiştir?
veya
2/19 =1/12 + 1/57 + 1/228
2/19 = 1/[(19+1)/2]+1/[19(19+1)/2] =1/10 + 1/190
2/n tablosundaki tüm verilenleri açıklayan kesin bir metod halen bulunamamıştır.
Derleyen: Ersin Kuset Bodur
Tablonun oluşturulması esnasında aşağıda belirtilen tercihlerin yapıldığı anlaşılmaktadır: 1.Hiçbiri de 1000’den büyük olmayan, küçük paydalar tercih edilmektedir
2.Az sayıdaki birim kesir tercih sebebidir ve hiçbirinde 4’ten fazla birim kesir yoktur
3.Özellikle ilk birim kesir için, paydanın tek sayı değil, çift sayı olması tercih edilmektedir
4.Küçük paydalar öncelikle yazılmakta, ve hiçbir payda diğerinin aynisi olmamaktadır
5.Bazen küçük olan ilk payda, diğer paydaların değerinin azaltılması için artırılmaktadır.
Örneğin; 2/31 için (1/18 + 1/186 + 1/279) değil (1/20 + 1/124 + 1/155) kullanılmaktadır.
BU TERCİHLERİN NEDEN BU ŞEKİLDE YAPILDIĞI HALEN ANLAŞILMIŞ DEĞİLDİR
Derleyen: Ersin Kuset Bodur
Şimdi, kesirlerle ve kesir bulunan sayılarla çarpım işlemlerinin nasıl yapıldığını öğrenelim:
ÖRNEK: (2 + 1/4) X (1 + 1/2 + 1/7) işleminin nasıl yapıldığı aşağıda açıklanmıştır. Çarpma işleminde yaptığımız gibi iki katını alarak bu işlemi gerçekleştireceğiz
(2 + 1/4) X (1 + 1/2 + 1/7) = 3 + 1/2 + 1/8 + 1/14
= 3.6964285714285714285714285714286
Derleyen: Ersin Kuset Bodur
Şimdi, kesirlerle ve kesir bulunan sayılarla bölme işlemlerinin nasıl yapıldığını öğrenelim:
ÖRNEK: 37 ÷ (1 + 2/3 + 1/2 + 1/7) = ?
Bölme işleminde yaptığımız gibi bölenin iki katını alarak bu işlemi gerçekleştireceğiz
Bu sayı 37’ye çok yakındır ve eksik kalanı bulmak için;
z x
Derleyen: Ersin Kuset Bodur
Şimdi, kesirlerle ve kesir bulunan sayılarla bölme işlemlerinin nasıl yapıldığını öğrenelim:
ÖRNEK: 37 ÷ (1 + 2/3 + 1/2 + 1/7) = ?
Bölme işleminde yaptığımız gibi bölenin iki katını alarak bu işlemi gerçekleştireceğiz
37 ÷ (1 + 2/3 + 1/2 + 1/7) = 16 + 1/56 + 1/679 + 1/776
Ödev 3 Yunan yarımadasında hüküm süren Eski Yunan medeniyetleri ve bu medeniyetlerin en belirgin özelliklerinin anlatılacağı, bir sayfayı
geçmeyecek Ģekilde metin hazırlayınız.
Ödev teslimi : 20 Ekim 2011 tarihinde teslim edilecektir.
Derleyen: Ersin Kuset Bodur
Mezopotamya Matematiği
Derleyen: Ersin Kuset Bodur
BABĠL KULESĠ
Derleyen: Ersin Kuset Bodur
AKBABA KABARTMALARI
Derleyen: Ersin Kuset Bodur
SÜMER YAZISI
Derleyen: Ersin Kuset Bodur
BÜYÜK ZĠGGURAT
Derleyen: Ersin Kuset Bodur
BABĠLĠN ASMA BAHÇELERĠ
Derleyen: Ersin Kuset Bodur
HAMMURABĠ KANUNLARI
Derleyen: Ersin Kuset Bodur
GILGAMIġ
Derleyen: Ersin Kuset Bodur
Derleyen: Ersin Kuset Bodur
Mezopotamya’da yaşamış başlıca medeniyetler:
Mezopotamya coğrafyasında yaşamış bazı medeniyetleri Sümerler, Akatlar, Babiller, Kaldeyenler, Asurlar, Urlar, Huriler, Hititler, Persler...olarak biliyoruz.
Derleyen: Ersin Kuset Bodur
Günümüze Mısırlılardan çok daha fazla yazılı belgenin
Mezopotamyalılardan kaldığını görüyoruz. Bunun nedeni ise Mezopotamyalıların yazıyı kil tabletler üzerine yazmış olmalarından kaynaklanmaktadır. Kil tabletler bazen güneşde kurutuluyor, bazen ise pişiriliyordu. Bu sebeplerden dolayı tabletlerin ömrü oldukça uzun olmuştur. Tabletler dünyanın çeşitli müzelerinde korunmaktadırlar. Örneğin İstanbul arkeloji, Berlin, Lourve, Moskova gibi müzelerde halen sergilenmektedirler.
Derleyen: Ersin Kuset Bodur
Mezopotamyada yaşayan medeniyetlere ait olan matematik
bilgimiz okunabilen tabletler aracılığı ile olmuştur. Okunabilen-incelenebilen beş yüze yakın tabletde matematikle ilgili işlemlerin olduğu görülmüştür. Kesinlikle kalıntılardan Mezopotamyada yapılan matematiğin Mısırda yapılan matematik seviyesinden oldukça ileri düzeyde olduğu biliniyor.
Derleyen: Ersin Kuset Bodur
Mezopotamyada Mısırlda yapılan matematiğinin ötesinde ikinci
dereceden bazı polinomların köklerinin bulunması, iki bilinmeyenli iki denklemden oluşan bir sistemin çözümü gibi işlemler yapılıyordu. Fakat ikinci dereceden her polinomun köklerini bulamıyorlardı çünkü negatif ve irrasyonel sayılarını bilmiyorlardı.
Ayrıca Mezopotamyalılar sonradan Pisagor teoremi olarak adlandırılan teoremi de biliyorlardı. İlk önceleri pi sayısını karesi 10 olan bir sayı olarak bilmekte idiler. Ama daha sonraki yıllarda pi sayısını 3.15 olarak kullanmışlardır.
Derleyen: Ersin Kuset Bodur
Değişik sayı sistemleri yanında 60 tabanlı sayı sistemini
kullanmışlardır. 60 tabanlı sayı sistemini kullanmalarına dair farklı üç görüş mevcuttur:
1) 60 sayısının 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 20, 30 gibi çok sayıda bölenlerinin olması günlük hayatta kolaylık sağlıyordu.
Derleyen: Ersin Kuset Bodur
2) 60 tabanlı sayı sistemden önce o bölgede 10 ve 12
tabanlı sayı sistemlerinin kullananılıyordu. Daha sonra gelen medeniyetler, daha önceki ölçü birimleriyle uyum sağlayabilmek için, 10 ile 12 nin en küçük ortak katı olan 60 ‘ı sayı sistemlerinin tabanı olarak kullanmışlardır.
Derleyen: Ersin Kuset Bodur
3) O yıllarda insanlar sayı saymak için bir eldeki, baş parmak hariç,
dört parmakta bulunan üç eklem yerini kullanıyorlardı; 4 parmakta 12 eklem yeri olduğu ve bir elde de beş parmak olduğu için bu iki sayının çarpımı olan 60 ‘ ı sayı sistemlerinin tabanı olarak almışlardır.
60 sayısını niçin sayı sistemlerine taban diye seçtiklerini anlatan bir tablet bulunduğu zaman bu sayı sistemini kullanma amaçlarını iyice öğrenmiş olacağız.
Derleyen: Ersin Kuset Bodur
Günümüzdeki sayı sistemimizde 10 ve 10 nun kuvvetlerini
kullandığımız ve sayıları buna göre basamaklandırdığımız biliniyor. Mezopotamyadaki sayı sistemi ise 60 tabanlı bir sistemidir. Mezopotamyalılar sayıları 60 ve 60 ın kuvvetlerine göre basamaklandırmışlardır. Günümüzde bu sayı sistemi: denizcilik ve astronomi de kullanılmaktadır. Bu sayı sisteminin özelliği basamaklı bir sayı sistemi olmasıdır. Saatin 60 dakika, günün 24 saat ve dairenin 360 dereceye bölünmesi bize Mezopotamyadaki sayı sisteminden kalan miraslardır.
Rakamların Sembollerle gösterimi
Derleyen: Ersin Kuset Bodur
Mezopotamya’nın bir diğer özelliği ise, sayıları temsil eden soyut şekillerin kullanılması olmuştur. Soyut rakam sembolleri ilk kez Akadlar döneminde ortaya çıkmaya başlamıştır.
Akadlar döneminde, Sümer resim yazıları zaman geçtikçe unutulmuş ve bu resimler belirli kelimeleri veya sayıları temsil eden soyut simgeler haline dönüşmüşlerdir.
Rakamların Sembollerle Gösterimi
Derleyen: Ersin Kuset Bodur
Mezopotamyalıların 1 ve 10 sayıları için bir
ve diğerleri için 2 sembol kullanıldığı
görülmektedir
Sayıları ifade etmek için sadece iki
sembol kullanılması, bir dezavantaj
olarak ortaya çıkmaktadır. Bu
nedenden dolayı sayılar gösterilirken
sembollerin tekrarlanarak kullanılması
zorunluluğu ortaya çıkmaktadır.
SAYILARIN BASAMAK DEĞERĠ KULLANILARAK ĠFADE EDĠLMESĠ
Derleyen: Ersin Kuset Bodur
Babilliler, Sümer ve Akad sayı sistemlerini daha da geliştirdiler.
Sümer ve Akad dönemlerinde sayılar semboller ile gösterilmesine rağmen, bu dönemlerde basamak değeri ile ilgili bir bilginin olduğuna dair elimizde hiçbir veri bulunmamaktadır.Babilliler böylece, insanlık tarihinin önemli buluşlarından birini gerçekleştirmiş oldular.
1854 yılında, İngiliz yerbilimci William K. Loftus’un bulduğu ve sayıların karelerinin sıralandığı iki kil tablet, basamak değerlerinin Babilliler döneminde kullanıldığını kesinleştirmiş oldu.
Bu tabletlerde sıralanan sayılar; 1, 22 için 4, 32 için 9, ..., 72 için 49
Bunları takip eden 82 için 14, 92 için 121 ve diğerleri bulunmakta idi.
SAYILARIN BASAMAK DEĞERĠ KULLANILARAK ĠFADE EDĠLMESĠ
Derleyen: Ersin Kuset Bodur
Bu sayılarda basamakları gösteren herhangi bir işaret olmadığı
için sayıların kaç olduğu hakkındaki kararı, yazının genel
hükmüne göre vermek gerekmektedir.
82 için 14, 92 için 121 sayıların aslında basamak değerleri kullanılarak 64 ve 81 sayılarını ifade ettikleri anlaşılmaktadır.
82 için gösterilen 14’ün, gerçekte 1×601 + 4×600= 64, olduğu
92 için gösterilen 121’in ise, 1×601 + 21×600= 81 olduğu anlaşılmaktadır.
14=64 sayısının gösterilişi ve
121=81 sayısının gösterilişidir
SAYILARIN BASAMAK DEĞERĠ KULLANILARAK ĠFADE EDĠLMESĠ
Derleyen: Ersin Kuset Bodur
bu sayıyı günümüz rakamları ile ifade etmek için: 1,57,46,40 yazacağız.
1×603 + 57×602 + 46×601 + 40×600 = 424 000
SAYILARIN BASAMAK DEĞERĠ KULLANILARAK ĠFADE EDĠLMESĠ
Derleyen: Ersin Kuset Bodur
Babillilerin basamakları yazarken aralarında hafif bir boşluk bırakarak yazdıkları anlaşılıyor.
= 1×601 + 1×600 = 61
= 2×600 = 2
KESĠRLĠ SAYILARIN GÖSTERĠLMESĠ
Derleyen: Ersin Kuset Bodur
Tam sayı ile kesirli sayıyı ayıran bir işaret bulunmuyordu
Sayısının değişik şekillerde okunuşları:
= 2×60-1 + 12×60-2 = 11/300
= 2×600 + 12×60-1 = 11/5
= 2×601 + 12×600 = 132
Derleyen: Ersin Kuset Bodur
Bu belirsizliği, Babil sayılarını günümüz sayıları ile ifade ederken, ortadan
kaldırmak için basamak ayracı olarak virgül “ , ” ve tamsayı ayracı olarak ise
noktalı virgül “ ; ” kullanacağız.
1 0 1 21,30;20,15 1 60 30 60 20 60 15 60
20 15 60 30
60 3600
1215 90
3600
90.3375
Derleyen: Ersin Kuset Bodur
Tam sayı ile kesirli sayıyı ayıran bir işaret bulunmaması eksikliğinin yanında, sıfırın bulunmaması da önemli bir eksiklik idi.
Bu eksiklik bin yıl sonra Selevkoslar döneminde M.Ö 300 civarlarında çözüldü ve sıfır rakamının olduğu basamağı doldurmak için semboller kullanıldı
Çarpma
Derleyen: Ersin Kuset Bodur
Fırat nehri üzerindeki Senkerah’ta bulunan iki tablet ile çarpmayı nasıl yaptıkları anlaşılmıştır.
Bu tabletlerde;
59’a kadar olan sayıların karesi, ve
32’ye kadar olan sayıların küpleri tablo halinde sıralanmaktadır.
Derleyen: Ersin Kuset Bodur
ÇARPMA
Babillilerin çarpma işlemi için bu
formülü kullandıkları biliniyor.
İki sayının çarpımınını, bu sayıların toplam ve farklarının karelerini tablodan bulmak sureti ile elde ediyorlardı.
2 24a b a b a b
2 2
2 2
8 7 8 7 8 7 4
15 1 4
224 4
56
Bölme işlemini bizim burada gösterdiğimiz şekilde gerçekleştiremediklerini unutmayınız...
Derleyen: Ersin Kuset Bodur
BÖLME
Bölme, Babilliler için zor bir işlem idi. Bölme işlemini gerçekleştirmek için çarpma işlemini
kullanıyorlardı. a÷b işlemini a×(1/b) olarak hesaplamayı gerçekleştiriyorlardı. Kil
tabletlerde, bu amaçla kullanılan (1/n) tabloları bulunmuştur;
0;30 0;10 0;5 0;3
0;20 0;7,30 0;4 0;2,30
0;15 0;6,40 0;3,45 0;2,
1 1
24
1 1
2 6 12 20
1 1 1 1
3 8 15 24
1 1 1 1
4
0;12 0;6
9 16 25
1 1 1 1
5 10 180
3;3,20
00;2
Derleyen: Ersin Kuset Bodur
1/8 0; 7, 30
60:8 =7 kalan=4
4x60=240
240:8=30
Derleyen: Ersin Kuset Bodur
BÖLME
224÷4 işlemini gerçekleştirmek için ;
0;30 0;10 0;5 0;3
0;20 0;7,30 0;4 0;2,30
0;15 0;6,40 0;3,45 0;2,
1 1
24
1 1
2 6 12 20
1 1 1 1
3 8 15 24
1 1 1 1
4
0;12 0;6
9 16 25
1 1 1 1
5 10 180
3;3,20
00;2
(3,44)×(;15) = 3×60×(15/60) + 44×(15/60) = 45 + 660/60 = 45 + 11 = 56
İşlemini yapmaları gerekiyordu.
224 => 3, 44
Derleyen: Ersin Kuset Bodur
224:60=3 kalan 44
44x60=2640
2640:60=44
Derleyen: Ersin Kuset Bodur
DİK ÜÇGEN (PİSAGOR) ÜÇLÜLERİ
Babillilerin, Pisagor bağıntısı hakkında bilgi sahibi olduğunu gösteren 4 tane önemli tablet vardır.
1. Yale tablet YBC 7289
2. Plimpton 322
3. Susa Tableti
4. Tel Dibai (Tell Dhibai) tableti
Derleyen: Ersin Kuset Bodur
KAREKÖK HESAPLARI
Yale üniversitesinde bulunan YBC 7289 tableti
Buradaki resim bir kareyi göstermektedir. Kenarı 30 olarak belirtilen karenin köşegeninde, 1;24,51,10 ve 42;25,35 olmak üzere iki tane sayı yazılmıştır.
Derleyen: Ersin Kuset Bodur
KAREKÖK HESAPLARI
1;24,51,10 sayısını onluk sayı sisteminde ifade edersek: 1 + 24/60 + 51/602 +10/603 = 1.414213 elde edilir.
1.414213 sayısı ise yaklaşık olarak sayısını göstermektedir. 30 sayısı kenar uzunluğunu ve 42;25,35 sayısı ise köşegen uzunluğunu gösterirken, 1;24,51,10 sayısı da köşegen uzunluğunun kenar uzunluğuna oranını göstermektedir.
2
Derleyen: Ersin Kuset Bodur
KAREKÖK HESAPLARI
042;25,35 42 60 25 60 35 3600 42 0.4167 0.097 42.4264
2 230 30 1800 42.4264
30 1;24,51,10 42;25,35
olduğu dikkate alındığında köşegen uzunluğunun kenar uzunluğunu ile çarpmak sureti ile elde edildiği anlaşılmaktadır.
2
Derleyen: Ersin Kuset Bodur
KAREKÖK HESAPLARI
Bu kadar hassas ve doğru hesaplamayı nasıl başardılar?
Bununla ilgili çeşitli tahminler olmasına rağmen, en popüler olan tahmin, Babillilerin algoritma içeren bir metod kullanmak sureti ile bu kadar yüksek doğruluk oranına ulaştıkları şeklindedir.
Bu tahmine göre karekök ikiyi hesaplamak için başlangıç olarak biri ikiden küçük, diğeri ise ikiden büyük iki sayı seçtiler.
2 2a b
Sonra bu iki sayının aritmetik ortalamasını hesaplayıp, bu sayının karesini aldılar;
2
2
a b
Derleyen: Ersin Kuset Bodur
KAREKÖK HESAPLARI
Eğer hesapladıkları kare, ikiden küçük ise a sayısını ikiden büyük ise b sayısını aritmetik ortalama ile değiştirerek hesaplamaya devam ettiler.
a = 1 ve b = 2 ile bu hesaba başlandığı takdirde, 19 işlem sonra elde edilir.
2 1;24,51,10
İşlem Ondalık 60 Tabanı 1 1.500000 1;29,59,59 2 1.250000 1;14,59,59 3 1.375000 1;22,29,59 4 1.437500 1;26,14,59 5 1.406250 1;24,22,29 6 1.421875 1;25,18,44 7 1.414062 1;24,50,37 8 1.417969 1;25,04,41 9 1.416016 1;24,57,39 10 1.415039 1;24,54,08 11 1.414551 1;24,52,22 12 1.414307 1;24,51;30 13 1.414184 1;24,51;03 14 1.414246 1;24,51;17 15 1.414215 1;24,51;10 16 1.414120 1;24,51;07 17 1.414207 1;24,51;08 18 1.414211 1;24,51;09 19 1.414213 1;24,51;10
Bu kadar hassas ve doğru hesaplamayı nasıl başardılar?
Derleyen: Ersin Kuset Bodur
PLİMPTON 322
Columbia Üniversitesi’nde bulunan tablettir.
Bu tablette 4 sütun ve 15 satırda sayılar vardır.
Derleyen: Ersin Kuset Bodur
DİK ÜÇGEN (PİSAGOR) ÜÇLÜLERİ
Bu tablette yazılı olanlar, Babillerin kesinlikle dik üçgen üçlüleri (Pisagor bağıntısı) hakkında bilgileri olduğunu göstermektedir.
Babilli yazıcılar, c2 = a2 + b2 sayılarını kullanarak bu tabloyu hazırlamışlardır
Plimpton 322’nin pisagor üçlülerini sistematik olarak sunan bir tablo
olduğu anlaşılmıştır.
Derleyen: Ersin Kuset Bodur
SUSA TABLETİ
Bu tablette, 50, 50 ve 60 kenar uzunluklarına sahip bir ikizkenar üçgen ile ilgili problem verilmektedir. Bu problemde, üçgenin üç köşesinden geçen çemberin yarıçapı 31;15
olarak hesaplanmaktadır.
A, B ve C ikizkenar üçgenin köşeleri olsun.
O, üçgenin üç köşesinden geçen çemberin merkezi olsun.
AD, A köşesinden CB kenarına çizilen dik olsun.
ADB bir dik üçgen olur. Böylece |AD|2 + |DB|2 = |AB|2 yani |AD|2 = 502 - 302 = 402 ve |AD|= 40 elde edilir.
Çemberin yarıçapı r ise, |OA| = |OB| = r ve |OD| = 40 - r olur.
ODB dik üçgeninde; r2 = |OD|2 + |DB|2 ve r2 = (40 – r)2 + 302 buradan
r2 = 402 – 80r + r2 + 302, 80r = 2500 ve r = 31.2510 = 31;1560 bulunur.
2500:80=?
Derleyen: Ersin Kuset Bodur
2500x1/80=
2500:80=31 kalan 20
20X60=1200
1200:80=15
Cevap: 31; 15
Derleyen: Ersin Kuset Bodur
TEL DİBAİ TABLETİ
Bu tablette, alanı 0;45 ve köşegeni 1;15 olan dörtgenin kenar uzunlukları sorulmaktadır.
Tell Dhibayi Tablet
Alan 0;45
Köşegen 1;15
Bu sorunun çözümünü, günümüz notasyonları x ve y kullanarak, fakat aynen tablette gösterildiği gibi ve 60 tabanına göre elde edelim:
2xy = 1;30 eder, bunu (alan=2.(x.y/2)=0;45)
x2 + y2 = 1;33,45 ten çıkar
x2 + y2 - 2xy = 0;3,45 elde et
Karekök al ve x - y = 0;15 bul
İkiye böl (x - y)/2 = 0;7,30 olur
x2 + y2 - 2xy = 0;3,45 ‘i, 4’e böl
Böylece x2/4 + y2/4 –xy/2 = 0;0,56,15 olur
Derleyen: Ersin Kuset Bodur
DOĞRUSAL DENKLEMLER
Doğrusal denklem çözümlerini nasıl gerçekleştirdiklerini görmek için, yazıcının yazdığı şekli hiç değiştirmeden, bir örnek inceleyelim:
Yazıcı soruyu şöyle ifade ediyor:
Bir torbadaki arpanın 2/3’ünün 2/3’ü alınıyor.
Buna 100 birim arpa ekleniyor ve torbadaki kadar arpa elde ediliyor.
Torbadaki arpanın miktarı ne kadardır?
Yazıcının çözümü aynen aşağıda gösterildiği gibidir.
0;40 ile 0;40’ı çarp ve 0;26,40’ı elde et
Bundan 1;00 çıkar ve 0;33,20’yi bul
Kesirler tablosuna bak ve 1/0;33,20’ nin değerini 1;48 olarak bul
1;48’i 1;40 ile çarp ve cevabı 3,0 olarak bul.
Derleyen: Ersin Kuset Bodur
DOĞRUSAL DENKLEMLER
Şimdi, aynı soruyu günümüzün modern cebir yöntemlerini kullanarak çözelim; Verilen soruda aşağıdaki denklemin çözümü soruluyor
2 2100
3 3x x
41 100
9x
Bu denklem, yeniden düzenlenirse;
olur ve mezopotamyalı yazıcının da bunun farkında olduğu anlaşılıyor. Sorunun cevabı
1100 180
1 4 9x olarak elde edilir
Yazıcının çözümü: 3,0; = 3X60 + 0 = 180 olduğu gözlemlenir...
Derleyen: Ersin Kuset Bodur
İKİNCİ DERECE DENKLEMLER Babilliler, x2 + bx = c ve x2 - bx = c olmak üzere iki çeşit ikinci derece denklemlerini çözmeyi biliyorlardı.
xy c
y x b
3. Daha sonra bu sistemi çözmek için şöyle bir yöntem uygulanıyordu:
Bu denklemlerde b ve c tam sayı olmak zorunda olmayan pozitif iki sayı
Bu denklemlerin çözümü için standart bir formül uygulanıyordu. Buna göre;
1. Önce, x2 + bx = c denklemi x (x + b ) = c şeklinde yazılıyor
2. Sonra, y = x + b yazılarak aşağıdaki denklem sistemi elde ediliyordu
2 2
2 2
2
2
2
4 4
4
4
2 4
4
2
xy y x b c
y x b c
x y b c
x b b c
b b cx
Derleyen: Ersin Kuset Bodur
BİRİNCİ DERECE DENKLEM SİSTEMLERİ
Babilliler birinci derece, 2X2 denklem sistemlerini, algoritma kullanan bir yöntem ile çözmeyi başarıyorlardı.
Bu denklemi çözmek için;
* 900xböylece; bulunur;
* *x y seçilerek,
* * 2 * 1800x y x elde edilir
Daha sonra;
*x x d ve
*y y d kullanılarak
denklem sistemini dikkate alalım;
2 1500
3 2
1800
x y
x y2 1
900 900 5003 2
2 1 1800 900 500
3 2 3 2
7 500 150
6
300
d d
d
d
d
1200x ve 600y bulunur;
Derleyen: Ersin Kuset Bodur
Mısır-Mezopotamya dönemi matematiğinde teorem, formül ve ispat
yoktur. Bulgular emprik veya deneysel; işlemler sayısaldır. Bunun böyle olması kaçınılmazdır çünkü o dönemde matematik, simgesel olarak değil, sözel olarak ifade ediliyordu. Sözel ve sayısal matematikde ( geometrik çizimler hariç) formel ispat vermek olanaksız olmasa bile, kolay değildi.
Bu dönemin matematiği zanaat düzeyinde bir matematiktir; matematik “matematik için matematik “ anlayışıyla değil, günlük hayatın ihtiyaçları için, yani “halk için matematik “ anlayışıyla yapılmaktadır
Derleyen: Ersin Kuset Bodur
Pers istilası birinci dönem Mısır-Mezopotamya
matematiğinin son bulduğu ve ikinci dönem olan Yunan matematiği döneminin başladığı olay olarak biliniyor.
Kaynaklar
Derleyen: Ersin Kuset Bodur
1. Burton, `The History of Mathematics`, 6th Ed., McGraw Hill
2. Ali Ülger, Matematik Dünyası