bÖlÜm 7 tÜrbÜlansli sinir tabakalar20t%fcrb... · 2011-05-06 · uzb 386 sınır tabaka ders...

1

UZB 386 Sınır Tabaka Ders notları - M.

Adil Yükselen

1

BÖLÜM 7TÜRBÜLANSLI SINIR TABAKALAR

sabit-yoğunluklu, sabit-özellikli, harici,

türbülanslı sınır tabaka akımları


Adil Yükselen

2

TÜRBÜLANSLI SINIR TABAKALAR

Türbülans analizindeki gereksinimler

Türbülanslı akımlar zamana bağlı ve üç-boyutludur. Zamana bağlılığın frekansı ve ölçeği çeşitli büyüklük mertebelerinde dağılır.

Bu nedenlerle türbülanslı akımın bütün ayrıntılarıyla analizi, düz levha üzerindeki gibi basit bir akım olsa bile çok hacimli bir problemdir.

Türbülanslı hareketin ölçeği çeşitli büyüklük mertebelerinde dağılım gösterdiğine göre sayısal bir hesaplama için (∆x, ∆y) hücre genişliklerinin uygun seçimi önemlidir.

Hücre büyüklüğü hareketin önemli bir kısmının ölçeğinden büyük ise sonuçlar çok kaba olur.

Bu bakımdan genel olarak türbülanslı bir sınır tabakanın bir istasyonunda 103÷104 ağ noktası ve toplam 106÷107 ağ noktasına gereksinim duyulmaktadır.

Pratikteki bir türbülanslı akımın bütün ayrıntıları için günümüzde genel bir analiz yöntemi geliştirmek henüz mümkün olmamıştır. Komple bir simülasyonun hesaplama maliyeti Re3 ile değişmektedir. Dolayısıyla çok büyük miktarda bilgisayar süreleri harcansa bile günümüz imkanlarıyla ancak çok düşük Re sayısındaki akımlar incelenebilir.

2


Adil Yükselen

3



Genel değerlendirme karamsar olmakla birlikte tasarım için türbülanslı akım analizinden beklenen bilgi sınırlı olup, laminer halde olduğu gibi sınır tabaka analizinden beklenen bilgi öncelikle Cf(x) yüzey sürtünme katsayısı, daha sonra da δ(x), δ*(x) ve θ(x) gibi sınır tabaka kalınlıklarıdır. Tasarımda çoğu halde ayrıntılı hız ve sıcaklık profili gibi bilgilerin kullanımı daha kısıtlıdır.

Ayrıca türbülanslı akım için örneğin Cf(x) in ne anlama geldiğini düşünmekte yarar vardır.

Örnek olarak sabit hızdaki bir gemi için sürtünme direncinin tahmini problemi göz önüne alınırsa, bunun için yüzey üzerindeki herhangi bir noktada yüzey gerilmesinin çalkantı değerlerinin bilinmesi gerekmez. Daha ziyade bu gemiyi çekmek için gerekli pervane kuvvetinin bilinmesine ihtiyaç vardır. Bunun için de Cf(x) in zaman ortalamasının bilinmesi yeterlidir.

Buna göre türbülanslı akımın analizinde ihtiyaç daha ziyade sadece zaman-ortalaması veya ortalama değerlerin bulunması olarak gözükmektedir.

Bu gibi büyüklükler daimi veya zamana bağlı, iki-boyutlu veya üç-boyutlu olabilir.


Adil Yükselen

4



Tasarımcı açısından yeterli gözüken, sadece ortalama büyüklüklerin tahminini amaçlayan bir türbülans analizinin günümüz analitik ve sayısal imkanları içerisinde kalacağı görülebilir. Ancak bu güne kadar türbülanslı akımların güvenilir ve etkin tahmini yolunda sadece sınırlı bir başarı elde edilebilmiştir.

Pratikteki bazı durumlarda akımın ayrıntılı çalkantı karakteristiğinin bilinmesi önemlidir. Buna bir örnek yakıt-yakıcı karışımı şeklindeki akımın tutuşma ve yanması olayıdır. Alev içerisinde kimyasal enerjinin ısıenerjisine dönüşüm hızı anlık lokal sıcaklıklara hayli non-lineer bir biçimde bağlıdır. Buna göre herhangi bir noktadaki daimi ısı üretimini tahmin etmek için sadece T(x,y) nin bilinmesi yeterli olmaz, T’(x,y,z,t) ninhesaplanması ve sonuçların zaman ortalamasının alınması gerekir.

Ortalama akım analizine girmeden önce mevcut ampirik bilgilerin bir kısmını gözden geçirmekte yarar bulunmaktadır. Zira bu bilgiler analitik geliştirmelerin tabanını oluşturacaktır. Anlık çalkantı hareketinin bütün ayrıntılarını dikkate almadan ortalama akımın incelenebilmesi için daha ziyade deneysel veri tabanına ağırlık vermek gerekecektir. Böylece ampirik bilgiler hareket denklemleri çerçevesinde kullanılarak yarı-ampirik bir analiz geliştirilecektir

3


Adil Yükselen

5

Ortalama akımla ilgili ampirik bilgiler

Bir düz levha üzerinde laminer ve türbülanslı hallerde ölçülen boyutsuz hız profilleri, arasında önemli bir farklılık vardır.

Türbülanslı halde şekilde gösterilen boyutsuz ortalama hız profiliduvarı sıfırdan daha büyük bir hızda kesiyor gibi gözükmektedir. Aslında hız duvar yakınında yavaş bir değişme gösterirken çok kısa bir aralıkta aniden sıfıra gitmektedir.

Bu hız profili iki farklı tabakaya sahip,

- 0.05≤y/δ≤1.00 aralığında yüksek viskoziteli- 0≤y/δ≤0.05 aralığında daha düşük viskoziteli

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0

0.2 0.4 0.0 0.6 0.8 1.0

y / δ

u / Ue

Laminer

Türbülanslı

bir akışkanın yer aldığı laminer bir sınır tabakaya benzetilebilir.

Bu iki tabakanın birleştiği yüzeyde kayma gerilmeleri eşit olacağından

arakesitarakesity

u

y

u

∂

∂µ=

∂

∂µ 21

Bu durumda hız gradyantının arakesiti geçerken µ2/µ1 gibi bir oranla ani bir değişim göstermesi gerekir. Bu husus türbülanslı sınır tabaka modellemesindeki en önemli fikirlerden birinin esasıdır


Adil Yükselen

6


Düz levha üzerindeki laminer ve türbülanslı sınır tabakalar arasında önemli bir fark daha vardır. Şöyle ki:

Laminer sınır tabakada akışkan cinsi, Reynolds sayısı, pürüzlülük vs ne olursa olsun boyutsuz hız profilleri aynıdır.

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0

0.2 0.4 0.0 0.6 0.8 1.0

y / δ

U / Ue

Artan Cf

Klebanoff ve Diehl – düz duvar

Hama – düz duvar

Hama – 28 hücreli elek

Hama 1 hücreli elek

Buna karşılık türbülanslı sınır tabakada Reynoldssayısı ve/veya pürüzlülükteki değişim Cf yi değiştirir. Bu da boyutsuz hız profilinin şeklini etkiler. Hız profillerinin bu tabiatı sınır tabakaların analizinde doğrudan önem kazanmaktadır.

Farklı koşullarda oluşan hız profillerinin şeklini tanımlamak üzere

H=δ*/θ - şekil parametresinden

yararlanmak istenebilir. Bir düz levha üzerindeki laminer sınır tabaka için H büyüklüğü daima 2.6 dır.

4


Adil Yükselen

7


Ancak türbülanslı sınır tabakada H büyüklüğünün Cf ye bağlı olacağı tahmin edilebilir.

Buna göre belli bir dP/dx basınç dağılımına sahip herhangi bir cisim üzerindeki türbülanslı sınır tabakada oluşacak hız profillerinin şeklini H parametresi ile belirlemek mümkün değildir.

Mevcut ampirik bilgilerin olabilen en kısa biçimde sunumu ve kullanımı açısından güçlü ve kapsamlıkorelasyon değişkenleri geliştirilmesi çok önemlidir.

Problem karmaşık olup çok miktarda da veri bulunmaktadır. Bu yüzden mevcut verileri en basit biçimde dikkate almak faydalı olacaktır.

Düz levha üzerindeki basit türbülanslı sınır tabaka halinde bile korelasyon için u/Ue ve y/δ değişkenlerini almanın yeterli olmayacağı açıktır.

Varılacak sonuca bir çok araştırmacının katkısı olmakla birlikte en açık ve en kapsamlı katkı Clauser (1956)tarafından yapılmıştır.


Adil Yükselen

8


Buna göre kenar hızıyla boyutsuzlaştırılmış hız kayıplarının yüzey sürtünme katsayısıyla orantılı olduğu söylenebilir

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0

0.2 0.4 0.0 0.6 0.8 1.0

y / δ

U / Ue

Artan Cf


Hama – düz duvar



Şekil de yer alan hız profillerinin herhangi bir ölçek faktörüile çarpılarak tek bir eğriye dönüştürülmesi beklenemez.

Bununla birlikte, sınır tabaka içerisinde kenar hızına nazaran meydana gelen

(U-Ue) hız kayıpları

dikkate alınırsa, şekle göre Cf değeri büyüdükçe daha büyük hız kaybı oluşmaktadır.

Daha büyük bir Cf , sınır tabaka içindeki akışkana daha büyük bir yavaşlatıcı kuvvet etkimesi ve dolayısıyla hızda(ve momentumda) daha büyük bir kayıp olması anlamına gelmektedir.

f

ee

e CU

U1

U

UU∝−=

−

5


Adil Yükselen

9


Bu iki büyüklüğün oranıyla tanımlanan bir değişkenle bütün eğrilerin korelasyonu sağlanabilir:

Sağ taraftaki ifadenin paydası hız boyutunda bir büyüklüktür

ρτ

−=

ρ

τ

−=

−

/2/

½

2/

1/

2

w

e

e

we

e

f

e UU

UU

UU

C

UU

2/* wu τ=

sürtünme hızı

Klebanof ve Diehl

Schultz-Grunow

Hama

J.H.U. – pürüzlü duvar

-20 -10 0

y / δ

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0

U - Ue u*

Böylece düz levha üzerindeki sınır tabakada hız profillerinin ordinatıiçin korelasyon değişkeni *2/

1/

u

UU

C

UU e

f

e −=

−

Diğer eksen için y/δ oranının kullanılması yeterli olacaktır . Böylece:

δ=

− yf

u

UU e

*

kayıp kanunu

Türbülanslı sınır tabaka hız profilleri için koordinatların bu şekildeki seçiminin ne denli başarılı olduğu şekilden görülmektedir.


Adil Yükselen

10


Ancak bu korelasyonun genel başarısı y/δ nın küçükdeğerlerinde yani duvara yakın bölgede görülmemektedir.

Bu bölgede hız çabuk bir biçimde değişmekte olup çeşitli haller arasındaki farklılık bu şekilde sunulan bir grafikten kolay anlaşılamaz.

Bu grafikte, sınır tabakanın üst kısımlarındaki lokal ortalama hızların sınır tabaka kenar hızına göre büyüklüklerinin, (U-Ue), önemli olduğu görülürken lokal ortalama hızların duvar üzerindeki sıfır hız değerine kıyasla durumu doğrudan dikkate alınmamıştır. Oysa duvara yakın en alt tabakada bu karşılaştırma önemli olacaktır.

Duvar bölgesinde hızlar için ölçekleyici büyüklük olarak yine sürtünme hızının alınması uygun gözükmektedir.

Klebanof ve Diehl

Schultz-Grunow

Hama

J.H.U. – pürüzlü duvar

-20 -10 0

y / δ

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0

U - Ue u*

+= uu

U

*

6


Adil Yükselen

11


Sınır tabakanın üst bölgesindeki korelasyonlarda y konumu δ

y

Duvarın etkisinin baskın olduğu alt bölgede ise δ sınır tabaka kalınlığının öneminin daha az olduğu kabul edilebilir.

Bu alt bölge sınır tabakanın toplam kalınlığının sadece küçük bir kısmını (≈%10) teşkil etmekte olup y=δcivarında oluşan değişikliklerin etkisi alt bölgede çok az hissedilir.

Bu durumda y büyüklüğünün duvara yakın bölgede bir başka biçimde boyutsuzlaştırılması daha uygun olacaktır.

şeklinde bir oranla temsil edilmiştir.

ν=+ *

yuy

Bu korelasyon büyüklüğü sürtünme hızı cinsinden yazılmış bir tür lokal Reynolds sayısıdır

Bu değişkenler kullanılarak

ν= *

*

yuf

u

Uveya ( )++ = yfu duvar kanunu


Adil Yükselen

12


ν== ++ *,

*

yuy

u

Uu( )++ = yfuduvar kanunu

Laminer alt tabaka U/u* = yu*/ν

U/u* = 5.6 log (yu* / ν) + 4.9 Ludwig ve Tillmann

Klebanof ve Diehl

Freeman

Schultz-Grunow

Laufer - pipe

40

30

20

U/u* =u+

10

0

yu* /ν = y+

1 2 5 10 20 50 100 200 500 1000 2000 5000 10000

7


Adil Yükselen

13


Bu noktada belirtilmelidir ki, u* büyüklüğü hız profillerinin anlaşılmasında böylesine kilit bir rol oynadığıiçin τw duvar gerilmesinin doğru tespiti önem kazanmaktadır.

Yüzey gerilmesi ilk kez 1950 li yıllarda başarılı yüzey gerilmesi balanslarının geliştirilmesiyle ölçülebilir hale gelmiştir (Dhawan, 1953). Bu tip bir cihaz yüzeyin ilgilenilen kısmında yüzeyle temas etmeyen küçük bir parça şeklinde olup, böylece yüzeyin bu küçük alanındaki gerilme kuvveti doğrudan ölçülür. Daha

önceki araştırmacılar τw yi tespit etmek için hız profilinin yüzey üzerindeki eğimini kullanmayı denemişler, ancak profilin duvar yakınındaki şekli nedeniyle doğru sonuçlara ulaşamamışlardır

Tekrar duvar bölgesine dönülecek olursa, düzgün katı bir yüzeyin çok yakınındaki hız çalkantıları, tam duvar üzerinde u’=v’=w’=0 olması nedeniyle kuvvetli biçimde sönümlenir.

Buna göre türbülanslı sınır tabakanın duvar yakın çok ince bir kısmındaki akım laminer yapıdadır. Bu bölge literatürde “laminer alt tabaka” olarak adlandırılır.


Adil Yükselen

14


y+ duvar bölgesindeki akımı tanımlayan bir lokal Reynolds sayısı olduğuna göre bu Reynolds sayısının, hakim akımın laminer olduğunu belirleyen, bir alt sınır değeri olmalıdır. Bu alt sınırla belirlenecek bir yyüksekliğinin altında kalan sınır tabaka bölgesi laminer alt tabaka olacaktır

0

y

τw

δ

τtot

τ (y) nin tipik değişimi

olduğu varsayılabilir. Duvar üzerinde olduğundan laminer alt bölgede 0=∂

τ∂

ywτ=τ

( )yfy

Uw ≠τ=

∂

∂µ=τ U(0)=0 olmak üzere

integre edilerek µ

τ= wy

U

u* ile boyutsuzlaştırılarak

ρµ=

ρτµ

τ=

µ

τ= ∗∗

∗

∗

∗ //2

yuuy

u

uy

u

U

w

ww

ν= ∗

∗

yu

u

U

veya duvar kanunu değişkenleri cinsinden

++ = yu

8


Adil Yükselen

15



U/u* = 5.6 log (yu* / ν) + 4.9 Ludwig ve Tillmann

Klebanof ve Diehl

Freeman

Schultz-Grunow

Laufer - pipe

40

30

20

U/u* =u+

10

0

yu* /ν = y+

1 2 5 10 20 50 100 200 500 1000 2000 5000 10000

Yukarıdaki şekildendeneysel verilerin

değerlerine kadar izlediği görülmektedir

++ = yu 75 ÷≈+ybağıntısını

Bu görüntü laminer bir alt tabakanın varlığını doğrulamaktadır. Tabakanın kalınlığı δ ‘nın %1 ‘inden daha küçüktür.

Sınır tabakanın kalınlığı kabaca δ+= O(5000) mertebesinde olup y+ ≈ 5-7 büyüklüğü de δ+ nın 1/1000 i civarındadır.


Adil Yükselen

16


Böylece biri alt tabakaya diğeri de dış tabakaya ait olmak üzere başarılı iki korelasyon kanunu ortaya konulmuştur.

Bu bağıntılar yeniden düzenlenerek

ν=

δ=

−*

**

;yu

gu

Uyf

u

UU e

ν

δ

δ=+

δ= *

***

;uy

gu

U

u

Uyf

u

U e

Fizik gereği bu iki bölge arasındaki geçiş ani olamaz. Aksine arada ortak bir birleşme bölgesi yer almalıdır ve bu bölgede her iki bölgedeki bağıntılar geçerli olmalıdır.

Verilmiş bir sınır tabaka hız profili için

Buna göre, gfonksiyonu içindeki

büyüklükleri birer sabit olup yile değişmez. ν

δ*

*

;u

u

U e

sabit çarpanı fonksiyonun dışında toplam şeklindeki bir sabitle aynı etkiye sahip olmalıdır.

ν

δ*

u

Böyle bir özellik sadece bir logaritma fonksiyonunda vardır. Çünkü çarpımın logaritması iki logaritmanın toplamı şeklinde yazılabilir.

9


Adil Yükselen

17


ν=

δ=

−

*

*

*

yug

u

U

yf

u

UU eBuna göre, duvar bölgesindeki ve dışbölgedeki hız profilleri için logaritmik bağıntılar tanımlanarak:

Düz levhaya ait verilerle daha önce sunulan, duvar kanununa ait grafik logaritmik ölçekte tekrar çizilmiş olup şekilde görülmektedir.

Cyu

Au

U

By

Au

UU e

+

ν=

+

δ=

−

*

*

*

log

log

Freeman

Klebanof ve Diehl

Schultz-Grunow

Hama

JHU – pürüzlü duvar

Hama – pürüzlü duvar

Moore – çok pürüzlü duvar

0

-2

-4

-6

-8

-10

-12

-14

y/δ 0.01 0.02 0.05 0.10 0.20 0.50 1.0

+

∗

=−

uu

UU e

Clauser (1956) bu şekilde çizilen veriyi dikkate alarak logaritmik bağıntılardaki sabitler için

A=5.6, B=-2.5 ve C=4.9

değerlerini önermiştir.


Adil Yükselen

18


Bazı araştırmacılar aynı veri için Clauser ’inkinden çok az farklı başka sabit değerleri elde etmiştir.

Coles (1956) sınır tabakanın dış bölgesindeki hız profillerini tanımlamak için “iz kanunu” kavramınıortaya koymuştur.

Coles, hızlarda logaritmik kanuna göre görülen sapmaların, y=δ daki maksimum sapma ile normalizeedildiği takdirde sadece y/δ nın fonksiyonu olduğunu dikkate almıştır.

Bu normalize edilmiş sapmaları, bir W(y/δ) iz fonksiyonu ile belirterek W(0)=0 ve W(1)=2 olmak üzere korelasyon gerçekleştirmiştir.

Cyu

Ku

U+

ν= *ln

1

*

Başka araştırmacılar bağıntıları tabii logaritma ile yazarak Asabitine K=ln(10)/A şeklinde bağlı olan bir başka K sabiti kullanmışlardır.

A=5.6 için K=0.41

Coles iz fonksiyonu

δ=

+

ν

δ−

+

ν−

yW

Cu

KuU

Cyu

KuU

e

2

1

ln1

/

ln1

/

*

*

*

*

10


Adil Yükselen

19


şeklinde önermiştir.

u+

Log y’

eu

u

2

W

∆

′∆≡

∆ue

+

∆u+

Logaritmik kanun’

Đz fonksiyonu

Coles (1956) W fonksiyonunu

δ

π=

δ

yyW

2sin2 2

Sonuç olarak iz kanunu birleşme bölgesini ve üst bölgeyi birlikte tanımlayacak biçimde

δ

Π++

ν=

yW

KC

yu

Ku

U *

*

ln1

Burada Π=-KB/2 bir iz parametresi olup, B=-2.5, için Π=0.51 dir (Coles 0.55 değerini tavsiye etmiştir).


Adil Yükselen

20


Sonuç olarak türbülanslı sınır tabakanın tamamı dört bölgeden oluşmuş gibi düşünülebilir. Kovaszny’e (1967) göre her bir bölgenin kendi uzunluk ve hız skalası vardır.

- En alttaki laminer alt-tabakanın uzunluk skalası ν/u*, hız skalası ise u* dır.

- İç bölgenin uzunluk ve hız skalaları sırasıyla y ve u* dır.

- Dış bölgenin uzunluk skalası δ, hız skalası ise Ue dir.

- Corrsin ve Kistler (1955) “süper-tabaka” adında dördüncü bir tabaka daha tanımlamıştır.

Süper tabaka sınır tabakanın dış kenarındaki viskoz tabaka ile viskoz olmayan dış akım arasında yer alan ince ve kıvrımlı bir geçiş bölgesidir.

Bu bölgede hız skalası olarak “katılım hızı” alınabilir. Bu, dış akımdan sınır tabaka içerisine birim zamanda giren akım debisi ile orantılı bir hızdır. Aynı zamanda türbülans ara-yüzünün türbülanslı olmayan dış akıma nazaran ilerleme hızını ifade eder.

Kovaszny (1967) katılım hızını

şeklinde tanımlayıp süper-tabaka için

( )*0 δ−δ=

dx

dUV e

0

10

V

ν şeklinde bir uzunluk skalası oluşturmuştur

11


Adil Yükselen

21


Alt ve dış bölgeler için yazılan logaritmik bağıntılardan U ve y elimine edilerek

By

Au

UU e +

δ=

−log

*

Cyu

Au

U+

ν= *

*

log

BCu

Au

U e −+

ν

δ= *

*

log BCC

RAC

f

f

−+

= δ

2log

2

şeklinde bir yüzey sürtünme kanunu bulunabilir

Bu bağıntı yaklaşık biçimde yazılarak veya ampirik verilere eğri uydurularak başka, daha basit açık formüller de türetilmiştir.

En basit birisi Blasius ’un, Schultz-Grunow (1940) tarafından da doğrulanan bağıntısıdır

( ) 4/10456.0

−δ= RC f

(yaklaşık Rx = 107 değerine kadar geçerli)

Çoğu kimse tarafından kullanılan bir başka bağıntı

Schoenherr (1932)( ) 7.1log15.41

+= fx

f

CRC

L uzunluğunda bir düz levha üzerinde türbülanslı sınır tabaka halinde sürtünme direnci katsayısı, CD, için bu iki araştırmacı şu bağıntıları elde etmiştir:

64.2)407.0(log

427.0

−=

L

DR

C )log(13.41

DL

D

CRC

=


Adil Yükselen

22

Seçilmiş ampirik türbülans bilgileri

Önceki kısımda yapılan analizin amacı her ne kadar ortalama akımın genel özelliğinin anlaşılması olarak ortaya konulmuş olsa da türbülanslı akımın çalkantılı doğasının anlaşılması da esastır.

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4

0.10

0.08

0.06

0.04

0.02

0.0

y / δ

0.0 0.005 0.015 0.025

y / δ

u’

w’

v’

0.12

0.10

0.08

0.06

0.04

0.02

0.0

Şekilde bir düz levha üzerindeki türbülanslı sınır tabakada üçdoğrultudaki türbülans şiddeti dağılımları yer almaktadır.

Akım doğrultusunda türbülans şiddetinin en büyük olduğu, yanal yöndeki türbülans şiddetinin de dikey yöndekinden daha büyük olduğu görülmektedir:

( ) ' ²

eU

−−−−−

•

eee U

v

U

w

U

u

__2

__2

__2 ′

>′

>′

Bunun nedeni akımın yanal doğrultularda salınım serbestisi olmasına karşın duvarın direkt kısıtlayıcı etkisi nedeniyle aynı serbestinin dikey doğrultuda olmayışıdır.

Klebanoff, 1955

12


Adil Yükselen

23


Pürüzlü bir düz levha üzerindeki akım için Corrsin ve Kistler (1954) tarafından elde edilen türbülans şiddeti profilleri de şekil de yer almaktadır.

Buradaki pürüzlülük buruşturulmuş kağıtbiçiminde olup iki-boyutlu ve yaklaşık sinüzoidaldir.

Pürüz yüksekliği 0.2 cm olup bu yükseklik akımı tamamen pürüzlü rejime sokmak için yeterlidir.

Bulunan türbülans şiddeti düzeyleri düzgün duvar halindekinden çok daha fazladır. Fakat üç bileşenin birbirine göre sıralaması aynıdır.

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

0.10

0.09

0.08

0.07

0.06

0.05

0.04

0.03

0.02

0.01

0.0

y / δ

u’

w’

v’

055.0

107.6Re4

≅

×≅ν

δ=δ

e

e

U

u

U

( ) ' ²

eU

−−−−−

•


Adil Yükselen

24


Türbülanslı bir sınır tabakanın dış kenarı zamana bağlı, düzgün olmayan bir sınırla karakterize edilir. Bunu anlamak için y=δ ortalama konumuna bir sıcak-tel anemometresi yerleştirilirse anemometrenin aralıklıolarak türbülanslı akım ve viskoz olmayan akım ölçtüğü görülür.

Bu durum “aralıklılık (intermittency)” adı verilen ve (0 ÷ 1) arasında değişen bir Ω büyüklüğü ile yansıtılır. Ω büyüklüğü akımın ne kadar süre ile türbülanslı olduğunu oransal olarak belirtmektedir.

Bazı ölçme sonuçları şekilde sunulmuştur.

Sınır tabakanın dışına yaklaşıldıkça aralıklılığın 1 değerinden hayli küçük kaldığı görülmektedir.

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0

Corrsin ve Kistler

Klebanof

y / δ

Ω

13


Adil Yükselen

25


Sınır tabaka içinde akışkanın x-doğrultusundaki momentumunun türbülans tarafından dikey doğrultudataşındığı bilinen bir husustur.

Bu olay boylamasına ve dikey doğrultudaki çalkantı hızlarının

_____

''vu− şeklindeki korelasyonu ile ilişkilidir.

Bu büyüklük akışkanın yoğunluğu ile çarpılırsa gerilme boyutunu alır

_____

''vuρ−Türbülanslı kayma gerilmesiReynolds gerilmesi

12

11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

0

y /δ 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

1.0

0.9

0.8

0.7

0.6

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

034.0

108

*

4

≅

×≅δ

eU

u

R

2u

vu

*

_____

′′

K -u’ v’ 2

u

2

∗

Κ

Ölçülmüş Reynolds gerilmelerinin sürtünme hızıyla normalize edilmişbiçimdeki bir grafiği şekilde sunulmuştur.

Bu büyüklük duvar yakınında en büyük değerini almakta olup duvarın daha yakınındaki ince laminer alt-tabakanın içerisinde aniden sıfıra düşmektedir.

K : Türbülans kinetik enerjisi


Adil Yükselen

26


Laminer alt bölgedeki değişim şekilde genişletilmiş olarak görülmektedir.

K : Türbülans kinetik enerjisi üççalkantı hız bileşeninin birim kütle başına kinetik enerjisi olup

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0

Reδ ≅ 8 × 104

u*

Ue ------- ≅ 0.037

yu* / ν

y/δ

0 0.005 0.010 0.015 0.020 0.025 0.030

τ = τw

2u

vu

*

_____

′′

τlam

şeklinde tanımlanmaktadır.

Akımın ne kadar türbülanslı olduğunu tarif etmek için herhangi bir büyüklük kullanılması gerekirse, en mantıklı seçim türbülans kinetik enerjisi olacaktır.

2

2_________________

222

222

wvuK

wvuK

′+′+′≡

′+′+′≡′

14


Adil Yükselen

27


Türbülans çalkantılar geniş bir zaman ölçeği aralığındaoluşur. Bunu göstermek üzere boylamasına türbülans çalkantılarının spektra ölçümlerinin bazıları dalga numarasının (k1) fonksiyonu olarak şekilde sunulmuştur.

Burada

10-2 10

-1 1 10 10

2 10

3

10

1

10-1

10-2

10-3

10-4

10-5

10-6

10-7

k1 (cm-1)

y/δ = 0.0011

0 .05

0 .80’

Reδ = --------- ≅ 7.5 × 104

--------- ≅ 0.037

Ueδ ν u*

Ue

___ __

)(

2

11

u

kE

′

ızhortalama

frekansk

×π≡

21

E1(k1) büyüklüğü de (k1) ÷÷÷÷ (k1 + dk1) bandındaki boylamasına türbülans enerjisinin miktarı olup

Buna göre ( )∫∞

=0

111

2dkkEu

_____

'

Dalga sayısının büyük değerlerinde farkedilir bir hareket görülmektedir.

Katı duvar büyük ölçekli hareketleri engellediği için duvara yaklaştıkça daha büyük ölçekli girdapçıklar (eddy) içerisindeki enerji azalmaktadır


Adil Yükselen

28


Herhangi bir türbülanslı kaymalı akımda türbülans enerjisinin

üretimi, taşınımı, yayınımı ve dissipasyonu söz konusudur

Dissipasyon başlıca laminer viskozitenin daha küçük ediler üzerindeki etkisinden kaynaklanır.

Bu büyüklüğü ölçmek zordur. Fakat bazısonuçlar şekilde gösterilmiştir.

Akımın tam türbülanslı bölgelerinde dağılımıgörmek için bu gibi sonuçları aralıklılığın etkisine bağlamak alışılagelmiştir.

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

30

20

0.02

0.0

y/δ

× 10

---o---o-- dissipasyon

- - - - - 1 /Ω × dissipasyon’

3u*

δε

15


Adil Yükselen

29


Yukarıdaki belirtilen bütün proseslerin dağılımı şekilde sunulduğu gibi bir türbülanslı kinetik enerji dengesi biçiminde gösterilebilir.

Dış kenar yakınları hariç bütünsel dengeye ana katkılar üretim ve dissipasyondankaynaklanmaktadır.

Bu ikisi hemen hemen birbirini dengelemektedir

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

20

10

0

10

-20

y/δ

kazanç

Taşınım

Yayınım

Üretim

dissipasyon’

kayıp

--------- = 3.630 ÷ 5.080 --------- ≅ 0.055 eδ u*

ν Ue


Adil Yükselen

30


Geçirgen yüzeyler üzerindeki akımların türbülans büyüklükleriyle ilgili bilgi, ortalama akımla ilgili olanlardaki gibi katı yüzeydekilere kıyasla daha zayıftır.

0 1.25 2.50 3.75 5 6.25 7.50 8.75 10

10

8

6

4

2

0

y / δ*

Düzgün katı yüzey Pürüzlü katı yüzey Gözenekli, sinterlenmiş yüzey Gözenekli, delikli Ti tabakası Gözenekli, ızgaralı yüzey Izgaralı, arkası katı yüzey

u’² Ue

Daha önce ortalama akımın tartışıldığıaltı yüzey üzerinde (üçü katı üçügeçirgen) eksenel ve normal doğrultulardaki türbülans şiddetleri ve Reynolds gerilmelerine ait bir kısım veri izleyen şekillerde sunulmuştur.

16


Adil Yükselen

31


Geçirgen yüzeyler üzerindeki akımların türbülans büyüklükleriyle ilgili bilgi, ortalama akımla ilgili olanlardaki gibi katı yüzeydekilere kıyasla daha zayıftır.

0 1.25 2.50 3.75 5 6.25 7.50 8.75 10

4

3.20

2.40

1.60

0.80

0

y / δ*

Düzgün katı yüzey Pürüzlü katı yüzey Gözenekli, sinterlenmiş metal Gözenekli, delikli Ti tabakası Gözenekli, ızgaralı yüzey Izgaralı, arkası katı yüzey

u’v’ U²

----------- × 103


Adil Yükselen

32


Türbülansın çalkantı doğasını yansıtan çeşitli büyüklüklere ilişkin ölçüm sonuçlarına ilaveten bu büyüklüklerle ilgili proseslerin fiziksel bir tasviri de faydalıdır.

Türbülans şiddetleri gibi bu büyüklükler de zaman üzerinde ortalamalardır.

Türbülanslı akımın gerçek fiziğini anlamak için ayrık, zamana bağlı türbülans olaylarının davranışınıbilmeye ihtiyaç vardır. Buradaki kısa anlatım ana hatlarıyla Kline ve Robinson (1990) tarafından yapılan incelemeye dayanmaktadır.

Münferit edi fikri gerçekten açık ve özellikle yardımcı değildir. Zira türbülanslı akımda aynı zamanda ve aynı yerde çok çeşitli boyutlarda ediler mevcuttur. Bu bakımdan akışkan kümeleri ve girdap çizgileri düşünmek daha faydalıdır.

Bir türbülanslı akım içerisinde bir akışkan kümesinin bir konumdan diğerine hareket ettiği söylenebilir. Bu nosyon Reynolds gerilmesini tanımlamak için kullanılacaktır.

Türbülanslı akım kabaca girdap çizgilerinin süperpozisyonu olarak dikkate alınabilir.

17


Adil Yükselen

33


Türbülanslı akım kabaca girdap çizgilerinin süperpozisyonu olarak dikkate alınabilir.

Buna göre d çapında, L uzunluğunda ve açısal hızı ω olan bir girdap çizgisi göz önüne alınırsa, bunun

kütlesi ρLd2 ile,

kinetik enerjisi ρLd4ω2 ile,

açısal momentumu da ρLd4ω ile orantılıdır.

Bu girdap elemanı, kütlesi ve açısal momentumu sabit kalmak kaydıyla sündürülürse (ki bu düşük yayınım için iyi bir yaklaşımdır), L arttıkça çap azalacak ve açısal hız artacak bu da kinetik enerjiyi arttıracaktır.

Böylece elemanı uzatmak için uçları üzerinde yapılan iş elemanın kinetik enerjisinde artış yaratmaktadır.

Bu durum daha önce belirtilen enerji kaskadının tasvirini sağlar. Enerji büyük ölçekli hareketlerden bunlar içindeki küçük ölçekli hareketlere doğru, küçük ölçekli hareketlerdeki girdap çizgilerinin büyük ölçekli hareketlerle sündürülmesi sonucu, akmaktadır.


Adil Yükselen

34


Ortalama hareketin iki-boyutlu olduğu türbülanslı bir akımda girdap çizgileri daha ziyade akımla çaprazdır. Sündürme de bu doğrultuda olacağından türbülans üç-boyutlu olacaktır. Ortalama girdaplılığın çoğu, ortalama hız profilinin şekline göre duvar civarında yoğunlaşmıştır (Şekil 7.2). Bu husus girdap sünmesinin bir başka sonucunu ortaya koyar: girdap elemanlarının duvar civarında rastgele yükselmesini ani çalkantılar ve patlama (bursting) ve dış bölgeye sıçramalar izler.

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0

0.2 0.4 0.0 0.6 0.8 1.0

y / δ

U / Ue

Artan Cf


Hama – düz duvar



18


Adil Yükselen

35

Türbülanslı akımların analizi

Sabit özellikli akışkanın

daimi olmayan,

sıkıştırılamaz akımı için

Navier-Stokes denklemleri

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂ν+

∂

∂

ρ−=

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂ν+

∂

∂

ρ−=

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂ν+

∂

∂

ρ−=

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂

=∂

∂+

∂

∂+

∂

∂

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

1

1

1

0

z

w

y

w

x

w

z

p

z

ww

y

wv

x

wu

t

w

z

v

y

v

x

v

y

p

z

vw

y

vv

x

vu

t

v

z

u

y

u

x

u

x

p

z

uw

y

uv

x

uu

t

u

z

w

y

v

x

u

Bu denklemler çıkartılırken rastgele çalkantılı bir hareket hariç tutulmamıştır.

Türbülans olayı üç-boyutlu, çok geniş bir aralıktaki ölçek ve frekanslara sahip çalkantılar içeren biçimde zamana rastgele bağlı, büyük bir hesaplama problemi yaratmakta olup, denklemler yukarıdaki şekliyle bu hesaplamaları kolaylaştırmamaktadır.


Adil Yükselen

36


Buna göre akıma ait her bir büyüklük

),,,(),,(),,,( tzyxuzyxUtzyxu ′+=şeklinde bir ortalama büyüklük ile bir çalkantı kısmına ayrılıp

Türbülanslı sınır tabaka konusuna başlarken tasarım ve analiz amacı için ekseriyetle sadece zaman-ortalamalı akımla ilgilendiği belirtilmişti.

denklemlerde yerleştirilir. Sonra her bir terimin zaman üzerinde ortalaması alınabilir.

Ortalama alma ile ilgili bazı kurallar

'

'

gGg

fFf

+=

+=

∫∫ ≡∂

∂≡

∂

∂

⋅≡⋅≡

+≡+≡

dsFdsfs

F

s

f

GFgfFF

GFgff

___________

_______

__________

0'

şeklindeki iki fonksiyon için

ortalama kurallarıgeçerlidir

Buradaki üst çizgi yer aldığı büyüklüğün ortalamasının alındığını belirtmektedir.

19


Adil Yükselen

37


Burada sadece2-B, türbülanslı sınır tabakalarla ilgilenilmektedir.

Süreklilik denklemi için ortalama

Zaman ortalamasıyla

2

21

0

y

u

x

p

y

uv

x

uu

t

u

y

v

x

u

∂

∂ν+

∂

∂

ρ−=

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂

=∂

∂+

∂

∂

0=∂

∂+

∂

∂

y

v

x

u

0)()(

=∂

′+∂+

∂

′+∂

y

vV

x

uU0=

∂

′∂+

∂

′∂+

∂

∂+

∂

∂

y

v

x

u

y

V

x

U

y

V

y

v

x

U

x

u

∂

∂≡

∂

∂

∂

∂≡

∂

∂________

, 0=∂

∂+

∂

∂

y

V

x

U

Ayrıca

0=∂

′∂+

∂

′∂

y

v

x

u

Görüldüğü gibi ortalama akım için süreklilik denklemi laminer akımdakiyle aynıdır. Anlık çalkantılar da aynı biçimde bir süreklilik denklemini sağlamaktadır.


Adil Yükselen

38


Momentum denklemi için ortalama

Ortalama ve çalkantı büyüklükleri cinsinden ifadeler kullanılarak

2

21

y

u

x

p

y

uv

x

uu

t

u

∂

∂ν+

∂

∂

ρ−=

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂

x

u

x

u

x

uU

x

U

x

U

∂

′∂=

∂

′∂=

∂

′∂

∂

∂=

∂

∂ 2_____

2___________

2____

2

0)2(

Taşınım terimlerine süreklilik denklemi eklenerek

Momentum denklemindeki non-lineer terimlerin incelenmesi sırasında dikkatli olunmalıdır

y

uv

x

u

y

vu

y

uv

x

uu

y

v

x

uu

y

uv

x

uu

∂

∂+

∂

∂=

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂=

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂ )()(2

2

0

43421

y

vuvUuVUV

x

uuUU

y

vVuU

x

uU

y

uv

x

u

∂

′′+′+′+∂+

∂

′+′+∂=

∂

′+′+∂+

∂

′+∂=

∂

∂+

∂

∂ )()2())(()()()( 2222

Her bir terimin zaman ortalamaları alınarak

y

vu

x

u

y

UV

x

U

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂ )''()'()()(__________

22

y

vu

y

vu

y

vU

y

vU

y

uV

y

uV

x

UV

x

UV

∂

′′∂=

∂

′′∂

∂

′∂=

∂

′∂

∂

′∂=

∂

′∂

∂

∂=

∂

∂

______

__________________

20


Adil Yükselen

39



İlk iki türev açılarak ve süreklilik denklemi kullanılarak

Momentum denklemindeki diğer terimlerin ortalamaları da kolaylıkla alınır

y

vu

x

u

y

UV

x

UU

y

vu

x

u

y

UV

x

UU

y

V

x

UU

y

vu

x

u

y

UV

y

VU

x

UU

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂=

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂=

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂

)''()'(

)''()'()''()'(2

__________2

__________2

0

__________2

43421

2

2

2

_________2

2

2__________________

)'()'()'(

y

U

y

uU

y

u

x

P

x

pP

x

p

t

U

t

uU

t

u

∂

∂=

∂

+∂=

∂

∂

∂

∂=

∂

+∂=

∂

∂

∂

∂=

∂

+∂=

∂

∂

Görüldüğü gibi viskoz terimde önemli bir değişiklik yoktur


Adil Yükselen

40



Sonuç olarak daimi akımdaki türbülanslısınır tabaka denklemleri

Elde edilen bütün ortalama değerler momentum denkleminde yerleştirilerek

2

2__________

2 1)''()'(

y

U

x

P

y

vu

x

u

y

UV

x

UU

t

U

∂

∂ν+

∂

∂

ρ−=

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂

Şayet ortalama akım daimi ise ilk terim ortadan kalkacaktır 0=∂

∂

t

U

Ayrıca deneylerle doğrulanmıştır ki y

vu

x

u

∂

∂<<

∂

∂ )''()'(__________

2

y

vu

y

U

x

P

y

UV

x

UU

y

V

x

U

∂

ρ−∂

ρ+

∂

∂ν+

∂

∂

ρ−=

∂

∂+

∂

∂

=∂

∂+

∂

∂

)''(11

0

_____

2

2

Duvardan yeterince uzakta laminer kayma gerilmesi terimi türbülansla momentum transportuterimi yanında küçük kabul edilerek ihmal edilebilir.

21


Adil Yükselen

41



Şüphesizdir ki momentum denkleminde momentum transportu terimi ihmal edilemez. Aksi halde denklem tamamıyla laminer akım halindekine döner.

Belirtilen bu terim denklemde türbülanslı akımın çalkantılı doğasının etkisini yansıtan tek terimdir.

Herhangi bir sınır tabaka probleminde olduğu gibi

y

vu

y

U

x

P

y

UV

x

UU

y

V

x

U

∂

ρ−∂

ρ+

∂

∂ν+

∂

∂

ρ−=

∂

∂+

∂

∂=

∂

∂+

∂

∂ )''(11,0

_____

2

2

denklemleriyle ifade edilen türbülanslı akım probleminde de viskoz olmayan bir dış akım tarafından sınır tabaka üzerine etki eden P(x) basınç dağılımının bilindiği kabul edilmektedir.

Buna göre bu iki denklemin iki bilinmeyen için (U ve V) çözülmesi beklenmektedir.

Bununla birlikte momentum denkleminin sağ taraftaki en son terim (momentum transport terimi) ilave bir bilinmeyen olarak yer almaktadır.


Adil Yükselen

42


Reynolds gerilmesi

Bu bakımdan

y

vu

∂

ρ−∂

ρ

)''(1_____Momentum denkleminin sağ

tarafında yer alan

terimi momentum transferi terimi olup, laminerakımdaki basit Newtonien kayma ile aynı rolüoynamaktadır.

Bu türbülanslı kayma teriminin laminer viskoz terimden gelmediği, fakat viskoz olmayan taşınımsalterimlerden geldiği belirtilmelidir.

Türbülanslı sınır tabaka denklemleriyle çalışırken denklem sisteminin çözülebilir hale gelmesi için Reynolds gerilmesini içeren terimin de diğer bağımsız veya bağımlı değişkenler cinsinden ifade edilmesigereklidir.

Diğer değişkenlerin hepsi de ortalama değerler olarak dikkate alındığından böyle bir bağıntı ortalama akım modeli olarak nitelendirilir.

_____

''vuρ−türbülanslı kayma gerilmesi veya Reynolds gerilmesi

olarak adlandırılmaktadır.

22


Adil Yükselen

43


Kapama (closure) problemi

ve sistemi matematiksel olarak kapatmak için hep fazladan, genellikle yarı-ampirik bağıntılara gerek olacaktır.

Bu durum türbülanslı akımların “kapatma (closure) problemi” olarak anılır.

Aslında ortalama akım ve çalkantı büyüklüklerini belirterek veya hareket denklemlerini kullanarak, ya da burada yapıldığı gibi zaman üzerinde ortalama alarak gerçekten önemli hiçbir şey yapılmadığı üzerinde düşünülürse bu şaşırtıcı duruma nasıl gelindiğini kavramak daha kolay olur.

Bu noktaya kadar, matematiksel formülasyonun geliştirilmesinde türbülanslı akımların gerçek doğasıhakkında hiçbir şey söylenmemiştir. Formülasyonun tamamlanmasından önce bu konu üzerinde durulmalıdır.

_____

''vuρ−

Belirtilen zorluğu yenmenin kolay bir yolu yoktur. Konu, bölümün sonunda daha karmaşık formülasyonlara varacak, fakat hep denklemlerden daha fazla bilinmeyen olacaktır.

Bu fazladan bilinmeyen(ler) hep gibi türbülans büyüklükleri olacak,


Adil Yükselen

44


Şayet akışkan kümesi alt tabakadan daha üst bir tabakaya yer değiştirirse bunun tersi olacaktır.

Türbülanslı kayma modeli geliştirme konusunda ilerlemeden önce çalkantılarla momentum transferiolgusunun fiziksel bir izahını hatırlatmakta yarar vardır.

Şekilde gösterildiği gibi sınır tabakanın y0+∆y seviyesindebulunan bir akışkan kümesi daha alt seviyedeki bir y0

konumuna yer değiştirdiği takdirde eski konumundaki

U(y0+∆y) ortalama hızını koruma eğiliminde olacaktır.

Bu hız akışkan kümesinin yeni konumunda U(y0) ortalama hızına göre pozitif işaretli bir u’ çalkantı hızı kadar artmışgözükecektir.

Bu durumda y0+∆y konumundan y=y0 düzlemine taşınan anlık kütle akımı –ρv’ olup bu kütle yeni konumdaki u’çalkantı hızı ile –ρu’v’ kadar bir momentum artışıyaratacaktır.

Kayma gerilmesi modeli

y

u

y = y0

∆ y

U ( y0 + ∆ y )

U ( y0 ) v ’ < 0

u ’ < 0

23


Adil Yükselen

45


Bir ortalama akım türbülans analizi geliştirmek için önceki incelemeler çerçevesinde

Şayet zaman üzerinde bir ortalama alınırsa hız çalkantıları vasıtasıyla boylamasına momentumda dikey doğrultuda oluşan momentum transferi ( ) olarak elde edilir.

şeklinde bir bağıntı bulmaya çalışılmalıdır.

Bu bağıntının ampirik bilgilere dayanması gerektiği açıktır. Bağıntının sağ tarafında türbülans büyüklüklerinin yer almadığı belirtilmelidir .

Bu noktada modelleme çabalarının amacını açıkça belirtmek için sınır tabaka alt bölgesini örnek olarak dikkate almak faydalı olacaktır.

Kayma gerilmesi modeli

_____

''vuρ−

Ortalama akım türbülans transportu formülasyonları

( )ρµ=ρ−≡τ ,,,,;,''______

eT UveyaPVUyxfvu


Adil Yükselen

46


bulunacak bağıntı sınır tabaka denklemlerinde kullanıldığında şekildeki veri arasından geçen dolu çizgi elde edilecektir.


( )ρµ=ρ−≡τ ,,,,;,''______

eT UveyaPVUyxfvuBiçimsel olarak ile belirtilen

Bu tipten bir analiz yarı-ampirik olarak nitelendirilir. Ampirik bir yaklaşım basitçe veriye uydurulmuşeğrileri kullanacaktır.


U/u* = 5.6 log (yu* /ν) + 4.9 Ludwig ve Tillmann

Klebanof ve Diehl

Freeman

Schultz-Grunow

Laufer - pipe

40

30

20

U/u* =u+

10

0

yu* /ν = y+

1 2 5 10 20 50 100 200 500 1000 2000 5000 10000

24


Adil Yükselen

47


Belirtilen amaç birbiriyle ilişkili iki formülasyonla başarılmıştır.


İkinci formülasyon Prandtl (1925) tarafından önerilmiştir

Karışım uzunluğu bir etkileşim mesafesi olarak, moleküller arası ortalama serbest yörüngeye benzetilebilir. Sadece, moleküller arasında değil de türbülans kümeleri arasında tanımlanmaktadır.

İlki Boussinesq (1877) tarafından, laminer akıma benzetme yoluyla ortaya konmuştur y

Uvu TT

∂

∂µ=ρ−≡τ

______

''edi viskozitesiformülasyonu

Buradaki µT edi viskozitesinin sadece akışkanın değil akımın durumuna bağlı olacağı beklenmelidir. Yani edi viskozitesi laminer viskozite gibi yalnızca akışkanın termofiziksel bir özelliği değildir.

y

U

y

Ulvu mT

∂

∂

∂

∂ρ=ρ−=τ 2

______

''karışım uzunluğuformülasyonu


Adil Yükselen

48



Akışkan kümelerinin hareket mesafesi olarak ∆y değil de şekide gösterildiği gibi lm alınırsa:

( ) ( ) ( )y

UlyUlyUyu mm

∂

∂≈−+= 000'

şeklinde bir bozuntu hızı tanımlanabilir.

Şayet akışkan kümesi aşağıdan yukarıya çıkıyorsa bu defa v’(y0) > 0olup, u’(y0) bozuntu hızı da

( ) ( ) ( )y

UlyUlyUyu mm

∂

∂−≈−−= 000'

y

u

l m

U ( y0 + l m )

U ( y0 ) v ’ < 0

u ’ > 0

y

U

y

U

∂

∂

∂

∂

şeklindedir.

Şayet akışkan üst tabakadan alt tabakaya yer değiştiriyorsa, v’(y0) < 0 dir ve

Süreklilik gereği, olup, bu son iki bağıntıdoğrudan karışım uzunluğu bağıntısını verir.

uv ′−′ ~

Yalnız bu bağıntıda τT nin işaretini doğru verebilmek için

2

∂

∂

y

Uyerine

yazmak daha doğru olur.

25


Adil Yükselen

49



Karışım uzunluğu formülasyonundaki lm için de bağımsız değişken veya parametrelerin ya da ortalama bağımlı değişkenlerin fonksiyonu olan ilave bir bağıntıya ihtiyaç vardır. Bu bağıntı da edi viskozitesi gibi, akışkanın değil akımın durumunun bir fonksiyonu olacaktır.

bağıntıları da gradyant transport formülasyonları olmaktadır. Türbülanslı kaymalı akımlar için bu gibi formülasyonların özel bir zaafiyeti vardır

y

Tkq

y

U

∂

∂−=

∂

∂µ=τ ,

İlkin, edi viskozitesi ve karışım uzunluğu formülasyonları, transport prosesini temsilen ilgili bağımlı

değişkenin gradyantını (∂U/∂y) içermeleri nedeniyle gradyan transport formülasyonları olarak anılır.

Buna göre laminer momentum ve ısıl enerji transportu için yazılan

Bu aşamada y

Uvu TT

∂

∂µ=ρ−≡τ

______

''y

U

y

Ulvu mT

∂

∂

∂

∂ρ=ρ−=τ 2

______

'' formülasyonlarıyla ilgili bazıgözlemler uygun olacaktır


Adil Yükselen

50



Bu zafiyeti şekildeki gibi bir hız profili halinde kolayca görmek mümkündür. Bu tip profiller, örneğin, duvardaki bir yarıktan türbülanslı akıma teğetsel doğrultuda yüksek hızla akışkan enjeksiyonu halinde elde edilir.

y

U(y)

∂U ∂y

--------- = 0

U(x) ortalama hız profili bir maksimuma sahip olup ∂U/∂y=0olan bir nokta mevcuttur. Bu noktada her iki formülasyon da

0=ρ−=τ______

'' vuT

Formülasyonların bu zayıflıklarını gidermenin basit bir yolu yoktur. Bununla birlikte çoğu sınır tabaka akımında bu şekildeki maksimum veya minimumlar bulunmamaktadır.

verir.

Bir iz bölgesinde olduğu gibi simetrik bir hız profili için simetri düzleminde ∂U/∂y=0 olup yine aynıdurum görülmektedir.

26


Adil Yükselen

51



İki formülasyonla ilgili ikinci genel gözlem de bu ikisinin esasen eşdeğer olmasıdır.

Dolayısıyla µT için bir bağıntı biliniyorsa bu son bağıntıdan lm için mütekabil bağıntı bulunabilir.

y

Ul

mT∂

∂ρ=µ 2

Edi viskozitesi ve karışım uzunluğu için özel modeller ileride çıkartılacaktır.

Bundan önce, türbülanslı sınır tabakaların analizi için integral yöntemlere göz atılacaktır.

formüllerine bakılarak

y

Uvu TT

∂

∂µ=ρ−≡τ

______

''

y

U

y

Ulvu mT

∂

∂

∂

∂ρ=ρ−=τ 2

______

''

yazılabilir.


Adil Yükselen

52


Ortalama akım integral yöntemleri

Türbülanslı akımların analizi için de laminer akımlardaki integral yöntemlerinin benzeri yöntemler mevcuttur.

Bunlar türbülanslı analizde kabaca, laminer haldeki gibi diferansiyel formülasyonlara dayanan bağıntıları kullanırlar.

Yöntemlerin uygulanması genellikle basit olup mühendislik çalışmaları için uygun sonuçlar vermektedir.

Burada yöntemlerden ikisi kısaca izah edilecektir.

Bunlardan daha eski olan Prandtl yöntemi sadece çok basit problemler için uygundur.

Daha yeni olanı ise Moses (1969) tarafından ortaya konmuş olup daha genel akımlar için kullanılabilmektedir.

Her iki halde de gerekli türbülanslı kayma modellemesinin analize nasıl girdiği dikkati çekmektedir.

27


Adil Yükselen

53


Prandtl yöntemi

İntegral yöntemin türbülanslı akımda ilk uygulaması Prandtl (1927) tarafında düz-levha problemi için yapılmıştır.

( )2

*21 f

e

we

e

C

U

v

dx

dU

Udx

d=−δ+θ+

θ Von Karman momentum-integral denklemi

Bu denklem, türbülanslı daimi bir ortalama akım için, bütün bağımlı değişkenler “ortalama büyüklükler”şeklinde değerlendirilmek suretiyle kullanılabilir.

Geçirgen olmayan bir düz-levha üzerindeki akım için 2

fC

dx

d=

θ

Momentum kalınlığı ∫δ

−=θ

0

1 dyU

U

U

U

ee

buradaki U(y) ortalama hız profilidir

Çözüm için, laminer halde olduğu gibi, “kabul edilmiş” bir hız profiline ihtiyaç vardır


Adil Yükselen

54


Prandtl yöntemi

Düz levha üzerindeki türbülanslı akım için ortalama hız profili kabaca

Bu hız profili ile öteleme ve momentum kalınlıkları

Bu hız profilinin izleyen aşamada duvar kaymasını hesaplamak için kullanılması beklenmektedir.

Ancak duvar kayma gerilmesi tanımı içerisinde (∂U/∂y)w türevi yer almakta olup, hız profili için verilen üssel bağıntıya göre

n

e

y

U

U/1

δ= 76 1010 ÷≈xR için 7≈n

72

7,

8

1*=

δ

θ=

δ

δ

e

n

nn

n

n

n

n

e U

U

ny

y

nyyy

ny

yy

yU

U

y

1111/1

/11/1

/1

/1

/1

/1

=δ

=δ

=∂

∂

δ=

δ∂

∂=

∂

∂ −

n=7 için duvar üzerinde ∞→

=

∂

∂

== 007

yyy

U

y

U

28


Adil Yükselen

55


Prandtl yöntemi

Buna göre türbülanslı akım hesabında kayma için ilave bir bilgiye gerek duyulacaktır .

Prandtl yönteminde, δ öncelikli bağımlı değişken olup, sadece duvar üzerindeki Cf kaymasının δcinsinden Cf (Rδ) şeklinde bilinmesine ihtiyaç vardır.

Laminer analiz için duvar kayması farklı biçimde ele alınmış olmakla birlikte δ aynı rolü oynamıştır.

Prandtl (1927) gereken Cf için bağıntısını kullanmıştır.

Böylece

( )/

. R1 4

fC 0 0456−

δ=

Düzenlenerek

2

fC

dx

d=

θ4/1

2

0456.0

72

7

δ

ν=

δ

eUdx

d

( ) 4/12

0456.0

2δ

==θ

R

C

dx

d f

dxU

de

4/1

4/1 2345.0

ν=δδ

δ(0)=0 olmak üzere (0 ÷ x) aralığında integre edilerek xU e

4/14/5

2345.04/5

ν=

δ


Adil Yükselen

56


Prandtl yöntemi

Laminer sınır tabaka için Blasius çözümü

xxU

xU ee

5/1

5/4

5/1

5/4 375.0)29314.0(

ν=

ν=δ

( )5/1

375.0

xRx

x=

δ

( )2/1

0.5

xRx

x=

δ

Bu iki bağıntıya göre:

laminer halde

türbülanslı halde

( )

( ) 8.05/1

5.02/1

~~

~~

xRx

x

xRx

x

x

x

δδ

δδ

−

−

Bu sonuç türbülanslı sınır tabakanın laminer sınır tabakaya kıyasla daha çabuk şekilde kalınlaştığınıgöstermektedir.

29


Adil Yükselen

57


Prandtl yöntemi

Prandtl yönteminden elde edilen sonuç nispeten kabadır. Zira:

- Türbülanslı bir sınır tabaka için en iyi bir değişken gruplaması üzerine oturmayan bir hız profili kullanmaktadır.

- Yöntem geçişi ve levhanın başlangıcındaki laminer akım bölgesini tamamıyla ihmal etmektedir.

Bu yöntemle daha fazlasını yapmak mümkün değildir.

Örneğin, basınç gradyantı içeren problemler çözülmek istenseydi dP/dx türevinin genel halleri için Cf (Rδ ,dP/dx) şeklinde bilgiye ihtiyaç olacaktı.

Ama, şayet bu fazla bilgi mevcut olsaydı, zaten bu analize de ihtiyaç olmayacaktı


Adil Yükselen

58


Moses yöntemi

Moses yöntemi (1969) momentum denkleminin daha genel bir halini kullanmaktadır:

Burada y1/δ büyüklüğü 0 - 1.0 arasında herhangi bir değer alabilir.

y1/δ=1.0 için bu denklem alışılagelen momentum integral denklemine dönüşür.

( ) ( ) ( )dx

dU

U

Ry

U

yyd

U

URU

dx

d

U

yd

U

UR

dx

d

U

yU e

ee

w

y

e

e

e

y

ee

δ

δ

δ

δ

δ

δ−

µ

δτ−τ=

δ

−

δ

δ∫∫

//1/ 11

/

0

2/

0

1

11

y1/δ nın başka değerleri için, ayrı, ilave denklemler elde edilir.

Daha sonra y1 < δ olmak üzere (dx:y1:1) boyutlarındaki bir kontrol hacmine kütle ve momentumun korunumu ilkeleri uygulanacaktır (ki daha önce H ≥ δ olmak üzere (dx:H:1) boyutlarındaki bir kontrol hacmi kullanılmıştı). Sonuçlar arasındaki en büyük farklılık, daha önceki incelemelerde y = H da kayma sıfır olup denklemlerde gözükmüyor iken buradaki incelemelerde y = y1 de kaymanın gözükmesidir.

dx

dU

U

yd

U

URU

dx

d

U

yd

U

UR

dx

d e

e

w

e

e

ee ν

δ−

µ

τ=

δ

−

δ ∫∫ δδ

1

0

21

0

1

30


Adil Yükselen

59


Moses yöntemi

Moses y1/δ = 1.0 ve y1/δ = 0.3 kullanarak iki denklem elde etmiştir. İkinci değer kabaca tabaka boyunca momentum kaybının ikiye bölünmesine karşılık gelmektedir.

denklemini ve

büyüklüğünükullanarak

ve iz fonksiyonun

δ−

δ=

δ

32

232yyy

W

Gereken hız profili için Moses iz kanununun yaklaşık bir biçimini kullanmıştır. W(y/δ) büyüklüğünün tanımıyla birlikte

denklemini yeniden yazmış

sonuçta

şeklinde yaklaşık biçimini elde etmiş

δ−

Π−

δ+≅

yW

C

K

y

K

C

U

U ff

e 2

11

2

2ln

2/1 İfadesine erişmiştir

δ

Π=+

ν=

yW

KC

uy

Ku

U *

*

ln1

2

* f

e

C

U

u=

( )

( )

δ≡

+νδ−

+ν−

yW

CuK

uU

CuyK

uU

e

2

1

/ln1

/

/ln1

/

**

**


Adil Yükselen

60


Moses yöntemi

Moses, laminer alt tabaka için bir başka polinom kullanmış, yüksek Reynolds sayısındaki akımlarda integral yöntem için bu ince tabaka içerisinde profilin seçiminin önemli olmadığını belirtmiştir. Bu seçim integrallerin değerini önemli ölçüde etkilememektedir.

Moses, Coles (1962) tarafından verilen bir kısım veriye eğri uydurarak elde ettiği

Türbülanslı kayma modeli

yerine böyle birleşik bir hız profili almak daha doğrudur

şeklinde tamamiyle ampirik bir edi-viskozitesi modeli kullanmıştır.

Moses ’in kullandığı momentum denkleminde sadece τ(y1/δ) büyüklüğü geçtiğinden bu integralyöntemi için türbülanslı kaymanın bir tek y/δ = y1/δ noktasında modellenmesi yeterlidir. Bu husus yöntemin kuvvetli tarafıdır. Zira türbülans modellemesi sadece gerçekte problemin çıktısı olan yüzey sürtünmesini basitçe almak yerine çok daha temel bir seviyede yapılmıştır.

δδ

+=θρ

µ+µ

Re

1250225.0

/1ye

T

U

n

e

y

U

U/1

δ=

y

Uvu TT

∂

∂µ=ρ−≡τ

______

'' edi-viskozitesi modeli

31


Adil Yükselen

61


Moses yöntemi

Bütün bunlarla birlikte sistem momentum denkleminin y1/δ = 1.0 ve y1/δ = 0.3 de

δ−

Π−

δ+≅

yW

C

K

y

K

C

U

U ff

e 2

11

2

2ln

2/1

hız profiliyle birlikte değerlendirilmesi sonucu elde edilen iki adi diferansiyel denklemden oluşmaktadır.

Denklem sisteminin iki bilinmeyeni olup bunlar Reδ ile ifade edilen δ(x) ve Cf dir. Bu iki denklem adi-diferansiyel denklem çözümünde kullanılan herhangi bir sayısal yöntemle çözülebilir.

Moses (1969), yöntemini bazı deneysel haller için uygulamış, mevcut integral yöntemlerinden herhangi biri kadar uygun sonuçlar elde etmiştir.

Genel olarak uyum Cf ve δ(x) gibi bütünsel büyüklükler için en iyi diferansiyel yöntemlerle elde edilenler kadar iyidir.


Adil Yükselen

62


Moses yöntemi

Çeşitli hesap yöntemlerinin performansını ortaya koyabilmek için, giderek artan karmaşıklıkta üç adet ters-basınç-gradyantlı akım örnek olarak seçilmiştir.

Ele alınan yöntemlerin hepsi düz levha halinde (sıfır basınç gradyantı) iyi performans sergilemektedir. Olumlu basınç gradyantı halinde performans biraz daha iddiasızdır.

Sözü edilen üç örnek halde

(1) Clauser’in (1956) daha önce belirtilen denge (equiliblium) hali,

(2) Schubauer ve Klebanof’un (1950) klasik deneyi,

(3) Newman’ın (1951) kanat profili ele alınmıştır.

Bu üç akımla ilgili bilgiler de anlamsız hesaplamalara yol açmayacak ve veri ile karşılaştırmaya imkan verecek biçimde yeterince iyi bir şekilde dokümante edilmiştir.

Bu akımlar 1968 de Stanford’da gerçekleştirilen AFOSR-IFP konferansında sınır tabaka hesaplama yöntemleri için test hali olarak seçilmiş en karmaşık akımlardan üçüdür (Kline ve arkadaşları, 1969).

32


Adil Yükselen

63


Moses yöntemi

Moses’in (1969) hesaplama sonuçları θ(x) ve Cf(x) büyüklükleri için bu üç halde elde edilen verilerle karşılaştırılmıştır.

Schubauer- Klebanof ile Newman hallerinde ayrılmaya kadar uyum iyi iken, Clauser’in denge hali için uyumun zayıf olduğu görülmektedir.

Yüzey sürtünmesi

0.004

Cf

0.002

0.0 Momentum kalınlığı

8×104

Reθ

4×104

0

Moses yöntemi

Schubauer- Klebanof

Yüzey sürtünmesi

0.002

Cf

0.001


4×104

Reθ

4×104

0

Moses yöntemi

Newman

Yüzey sürtünmesi

0.003

Cf

0.002


2×104

Reθ

104

0

Moses yöntemi

Clauser


Adil Yükselen

64


Moses yöntemi

Çeşitli yöntem ve modellerin performansını göstermek için, 1981 de Stanford’da gerçekleştirilen bir başka konferanstaki bazı haller daha ele alınmıştır (Kline ve arkadaşları, 1982).

Samuel ve Joubert (1974) tarafından düşük-hızda ters-basınç gradyantlı halde gerçekleştirilen deney sonuçlarıyla Moses yöntemi sonuçları karşılaştırılmış olup uyum genel olarak iyi gözükmektedir.

Veri

Analiz

0.004

Cf

0.002

0.000

x (m)

0 1.0 2.0 3.0

33


Adil Yükselen

65


Moses yöntemi

Burada incelenen Moses integral yöntemi laminer akım için daha ince izah edilen Thwaites-Walzintegral yöntemiyle birlikte kullanılabilir.

Komple akımı çözecek bir yöntem elde etmek için geçişsel bölgede de Dey ve Nararshima (1990) tarafından önerilen aralıklılık dağılımı alınabilir.

Buradaki temel fikir γ aralıklılık faktörü olmak üzere geçişsel bölgede öteleme kalınlıkları için

( ) * *

lam turb1 − γ δ + γδ

şeklinde bir dağılım almaktır.


Adil Yükselen

66


Örnek problem

5m uzunluğundaki bir düz levha U∞ =10 m/s hızdaki akıma maruz olup düz levhanın bitiminden itibaren yer alan rampa Ue(x)=15-x m/s şeklinde değişen bir dış akım yaratmaktadır. Akışkanın viskozitesini ν = 10-5 m²/s alarak bu yüzey boyunca x = 7.0 m mesafesine kadar türbülanslı sınır tabakanın gelişimini inceleyiniz. Sınır tabaka ayrılır mı, belirleyiniz.

Akımın ilk kısmı düz levha üzerinde ve basınç gradyantsız olup bu bölgede basit bir integralçözümü uygulanarak x=5 de δ, θ ve Cf büyüklükleri hesaplanabilir. Hesaplanan bu değerler yüzeyin kalan rampa kısmındaki hesaplar için başlangıç değerleri olarak kullanılacaktır.

Levhanın düz kısmındaki hesaplar için Prandtl yöntemi uygulanırsa

ν=

xUR e

x

5/1

375.0

xR

x=δ

2.06)105(

5375.0

×

×=δ 0857447.0=δ

00001.0

510 ×=xR

6105 ×=xR

sm

mx

smU

/00001.0

5

/10

2=ν

=

=∞

34


Adil Yükselen

67


Örnek problem

( ) 25.0

2.0

25.0

25.0

25.0

25.025.0

375.0

0228.00228.00228.0

2

0456.0

2

ν=

δ

ν=

ν

δ===

θ−−

δ

x

ee

e

f

R

x

UU

UR

C

dx

d

ν

δ=δ

eUR

002665.0=fC( ) 4/10456.0

−δ= RC f

7.85744=δR00001.0

0857447.010 ×=δR

( ) 25.0857447

0456.0=fC

( ) ( ) ( ) 25.0

05.0

25.0

2.0

25.0

05.0

25.0

25.0

25.0

05.0

25.0

25.0

375.0

0228.0

375.0

0228.0

375.0

0228.0

x

xU

x

xU

U

x

RU

dx

d e

e

exe

−−−

ν=

ν

ν=

ν=

θ

( ) 2.0

2.0

25.0

1

375.0

0228.0

xUdx

d

e

ν=

θ

( ) ∫∫

ν=θ

θx

e x

dx

Ud

0

2.0

2.0

25.00 375.0

0228.0


Adil Yükselen

68


Örnek problem

Hesaplamalar x=7 m noktasına erişinceye kadar ∆x=0.10 m aralıklarla 21 adımda gerçekleştirilmiştir.

Hesaplamalar Schetz tarafından verilen bir FORTRAN programı VBASIC diline uyarlanarak gerçekleştirilmiş olup elde edilen sonuçlar aşağıdaki tabloda yer almaktadır.

( ) ( ) ( ) 8.0

1

375.0

0228.0

8.0375.0

0228.0

2.01375.0

0228.08.0

25.0

8.02.0

25.0

2.012.0

25.0

ν

ν=

ν=

−

ν=θ

− xU

U

x

U

x

U

e

eee

( )8.08.0

25.00364198.0

375.0)8.0(

0228.0xx RRR ==θ

( )( ) 8.061050364198.0 ×=θR 5.8327=θR

( )8.0

25.0375.0)8.0(

0228.0x

e RU

=ν

θ

Buna göre rampa başlangıcında Cf = 0.002665 ve Reθ = 8327.5 değerleri elde edilmektedir.

35


Adil Yükselen

69


X Ue C f δ θ Re δ H

5.0 10.0 0.00266 0.0771 0.00834 8336.4 1.337

5.1 9.9 0.00260 0.0792 0.00876 8667.5 1.347

5.2 9.8 0.00253 0.0814 0.00919 9004.7 1.356

5.3 9.7 0.00247 0.0837 0.00964 9348.9 1.365

5.4 9.6 0.00241 0.0862 0.01010 9700.5 1.374

5.5 9.5 0.00235 0.0888 0.01059 10060.3 1.383

5.6 9.4 0.00230 0.0916 0.01109 10429.0 1.392

5.7 9.3 0.00224 0.0945 0.01162 10807.2 1.401

5.8 9.2 0.00219 0.0975 0.01217 11195.7 1.410

5.9 9.1 0.00213 0.1007 0.01274 11595.2 1.419

6.0 9.0 0.00208 0.1040 0.01334 12006.6 1.428

6.1 8.9 0.00203 0.1075 0.01397 12430.7 1.438

6.2 8.8 0.00198 0.1111 0.01462 12868.5 1.448

6.3 8.7 0.00192 0.1149 0.01531 13320.9 1.458

6.4 8.6 0.00187 0.1188 0.01603 13789.1 1.469

6.5 8.5 0.00182 0.1229 0.01679 14274.1 1.481

6.6 8.4 0.00176 0.1272 0.01759 14777.3 1.493

6.7 8.3 0.00171 0.1317 0.01843 15299.9 1.506

6.8 8.2 0.00165 0.1364 0.01932 15843.5 1.519

6.9 8.1 0.00160 0.1413 0.02026 16409.8 1.534

7.0 8.0 0.00154 0.1465 0.02125 17000.4 1.550

Örnek problem

Görüldüğü gibi sınır tabaka kalınlığıgiderek artmaktadır.

Nispeten kuvvetli sayılabilecek bu ters basınç gradyantı altında sınır tabaka x=7m mesafesine kadar ayrılmamaktadır (Cf>0).

Ancak sınır tabaka kalınlığı neredeyse ikiye katlanmakta ve sürtünme katsayısı da %40 azalmaktadır.


Adil Yükselen

70


Head yöntemi

Head integral yöntemi, momentum ve süreklilik integral denklemlerinin eş zamanlı olarak integrasyonuesasına dayanır.

Von Karman momentum integral denklemi ( )dx

dUH

U

C

dx

d e

e

f+

θ−=

θ2

2

Süreklilik integral (katılım) denklemi dx

dU

UC

dx

d e

e

EE

E δ−=

δ1δ−δ=δ E

Bu iki denklemde toplam 5 bilinmeyen (θ, δE, Cf, CE, H) bulunmakta olup çözüm için ilave ampirik bağıntılar aşağıdaki gibi verilmiştir (Cousteix)

268.0

678.010246.0

θ

⋅−×=

RC

H

f

653.0)3(

0306.0

−=

∗H

C E

7.03.3

535.1 715.2

1

*+

−=

HH

Ludwieg-Tillman bağıntısı

Burada θ

δ= EH *

ν

θ=θ

eUR

36


Adil Yükselen

71


Head yöntemi

Bu iki adi diferansiyel denklemin çözümü herhangi standart bir yöntemle (örneğin Runge-Kutta yöntemi) gerçekleştirilebilir.

Daha basit bir çözüm yolu ise 1. dereceden Taylor açılımına dayanan Euler yöntemidir

i

i

ii xdx

d∆

θ+θ=θ +1 i

i

EiEiE x

dx

d∆

δ+δ=δ +1

Çözüm için başlangıç değerleri x=xtr deki laminer sınır tabaka çözümlerinden alınacaktır.


Adil Yükselen

72


Head yöntemi Akış şeması

*

*,,

H

HH

E ⋅θ=δ

θ

x=xtr de

653.0

268.0678.0

)3/(0306.0

/10246.0

−=

×=

∗

θ⋅−

HC

RC

E

Hf

( )

dx

dU

UC

dx

d

dx

dUH

U

C

dx

d

e

e

EE

E

e

e

f

i

δ−←

δ

+θ

−←

θ2

2

xxx ii ∆+←+1

( ) ( )

( ) ( ) i

i

EiEiE

i

i

ii

xdx

d

xdx

d

∆

δ+δ←δ

∆

θ+θ←θ

+

+

1

1

θδ= /*EH7.0

3.3

535.1 715.2

1

*+

−=

HH

Türbülanslıayrılma

Evet

Hayır

3.3* ≤H

37


Adil Yükselen

73


Örnek problem

Daha önce Moses yöntemi ile incelenen Levha+rampa üzerindeki türbülanslı sınır tabakayı Head yöntemi ile inceleyiniz.

Hatılatma: XI=5m, XL=7m, U∞=10m/s, Ue(x)=15-x m/s, ν = 10-5m²/s

Levhanın düz kısmında Prandtl yöntemi ile yapılan hesaplama sonuçları:

0857447.0375.0

5/1==δ

xR

x6105 ×=

ν=

xUR e

x

0095.9008327.0

0750266.0* ==θ

δ= EH

8

1*=

δ

δAyrıca

( )008327.0

375.0)8.0(

0228.0 8.0

2.0

25.0=

ν=θ x

U e

0107181.08

0857447.0

8* ==

δ=δ

0750266.00107181.00857447.0* =−=δ−δ=δ E

bÖlÜm 7 tÜrbÜlansli sinir tabakalar20t%fcrb... · 2011-05-06 · uzb 386 sınır tabaka ders...

Documents