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Bloque 5 Análisis de circuitos en
régimen transitorio
Teoría de Circuitos
5.1 Análisis de circuitos de primer orden en régimen transitorio
Régimen transitorio de los circuitos eléctricos
• En los capítulos anteriores se han analizado los circuitos en RÉGIMEN PERMANENTE: ESTADO DE EQUILIBRIO impuesto por los parámetros de la red.
• Ante cualquier maniobra (conmutación / encendido / apagado / fallos / variaciones de la carga...), antes de alcanzar el equilibrio: RÉGIMEN TRANSITORIO
• Las variables del circuito están sometidas a factores EXPONENCIALES DECRECIENTES cuyos valores dependen de los parámetros del circuito
• De corta duración (del orden de milisegundos) pero pueden ocasionar problemas en los circuitos y máquinas eléctricas.
Régimen transitorio de los circuitos eléctricos
• Al aplicar los lemas de Kirchhoff a los circuitos con bobinas y condensadores (elementos dinámicos) resultan ecuaciones diferenciales que deben resolver para conocer u, i.
• Estudiaremos únicamente circuitos de primer orden (=con un solo elemento dinámico)
)()()( tgtfbdt
tdfa =⋅+⋅
Circuito RL serie
R Lu u u= +
Ldiu Ldt
=uL
+u
iuR
R
t=t0
diu Ri Ldt
= + Ecuación diferencial de primer orden
Solución
Ru Ri=
Solución de la ecuación homogénea: Respuesta natural del sistema
+Solución particular: Respuesta forzada
es la que hemos estudiado hasta el
momento
Circuito RL• Solución de la ecuación homogénea
0diRi Ldt
+ =di R dti L= −∫ ∫ ln Ri t K
L= − +
RtL
hi Ae−
=Exponencial decreciente con constante de
tiempo L/R
La respuesta natural del sistema está superpuesta a la forzada
durante un cierto tiempo
RL
=τ
Función exponencial decreciente
0
2
4
6
8
10
12
0 0,5 1 1,5 2 2,5
f(t)f(0+)=K
tτ
2 τ
3 τ
4 τ
5 τ
• f(0+)=K
• f(inf)=0
•Para t= τ
f=0,368f(0) (decae un 63,2%)
• Para t= 5τ
fin del transitorio (<1% del valor inicial)
•Cuanto menor sea τ, más rápido pasa el transitorio
τt
eKtf−
⋅=)(
τ
es el tiempo que tarda la función f(t) en decaer un 63,2%
Circuito RL• Solución particular: es la respuesta del sistema a
una excitación( )pi i t∞=
• Solución de la ecuación diferencial: i(t)=ih +ip
( ) ( )ti t Ae i tτ−∞= +
Para hallar la constante A hay que imponer una condición de contorno
0 0( ) ( )i t i t+ −= La corriente no puede variar bruscamente en el momento de cerrar el interruptor
Circuito RL
00 0( ) ( )ti t Ae i tτ+ +−
∞= +
Aplicando la condición de contorno:
( ) 00 0( ) ( ) tA i t i t e τ+ +
∞= −
( ) ( )ti t Ae i tτ−∞= +
( ) 0( )0 0( ) ( ) ( ) ( )t ti t i t i t e i tτ+ + − −
∞ ∞= − +
Circuito RL
• Cualquier circuito de primer orden, por complejo que sea se puede sustituir por un circuito como el analizado mediante el cálculo de su equivalente Thevenin
uL
+uth
iuR
Rth
t=t0
th
LR
τ =
( ) 0( )0 0( ) ( ) ( ) ( )t ti t i t i t e i tτ+ + − −
∞ ∞= − +
Simulación conexión de una bobina en continua
El conmutador conecta en t=0
sRL 002.0
1002.0
===τ
t=5τ=10ms RP
t=τ=2ms 68%RP
Simulación conexión de una bobina en continua
Al disminuir la resistencia aumenta la constante de tiempo
τ=0.02s
Carga y descarga de una bobina
1. Antes de cerrar: UL=0
2. Primer transitorio: La bobina se carga y entre sus terminales aparece tensión: por la resistencia circula corriente
2. En régimen permanente UL=0
3. Segundo transitorio: La bobina se descarga por la resistencia (se comporta como una fuente de corriente)
Primer transitorio
Segundo transitorio
Circuito RC paralelo
N R Ci i i= +
Cdui Cdt
=
Nth
u dui CR dt
= +Ecuación diferencial de
primer orden
Rth
uiR
=
uiN Rth
iCiR
( ) h pu t u u= +
• Solución de la ecuación homogénea
0th
du uCdt R
+ = 1
th
du dtu R C
= −∫ ∫ th
tCR
hu Ae−
= thCRτ =
Circuito RC• Solución particular
( )pu u t∞=
• Solución de la ecuación diferencial: i(t)=ih +ip
( ) ( )tu t Ae u tτ−∞= +
condición de contorno
0 0( ) ( )u t u t+ −= La tensión en un condensador no puede variar bruscamente
Circuito RC
00 0( ) ( )tu t Ae u tτ+ +−
∞= +
Aplicando la condición de contorno:
( ) 00 0( ) ( ) tA u t u t e τ+ +
∞= −
( ) ( )tu t Ae u tτ−∞= +
( ) 0( )0 0( ) ( ) ( ) ( )t tu t u t u t e u tτ+ + − −
∞ ∞= − +
thCRτ =
Carga de un condensador
En t=0s se cierra el interruptor y en t=0.2s se vuelve a abrir
El condensador mantiene su carga
10
0.02
Carga de un condensador
Aunque un condensador en continua se comporta como un circuito abierto durante el transitorio circula corriente
10
0.002
Carga de un condensador
Aunque un condensador en continua se comporta como un circuito abierto durante el transitorio circula corriente
10
0.002
Carga y descarga de un condensador
Al abrir el interruptor el condensador se descarga por la resistencia de 5 Ω
Apertura interruptor
Resolución sistemática de circuitos en régimen transitorio
1. Dibujar el circuito para t<t0 y calcular el valor de la corriente en régimen permanente en la bobina o de la tensión en régimen permanente en el condensador.
0 0
0 0
( ) ( )
( ) ( )
i t i t
u t u t
+ −
+ −
=
=
2. Dibujar el circuito para t>t0 y calcular la Rth vista en bornes de la bobina o del condensador. Calcular τ
RC thCRτ =RLth
LR
τ =
Resolución sistemática de circuitos en régimen transitorio
3. Calcular la respuesta en régimen permanente y particularizar para t=t0
4. Escribir la solución completa
( ) 0( )0 0( ) ( ) ( ) ( )t tu t u t u t e u tτ+ + − −
∞ ∞= − +
( ) 0( )0 0( ) ( ) ( ) ( )t ti t i t i t e i tτ+ + − −
∞ ∞= − +
5. Calcular otras variables de interés del circuito