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Material original de M.A. González-MedieroActualizado por M.J. León-Bonillo y M. González-Cuadrado
Bloque 5 - Tema 16: Medida Indirecta de
Alturas
TOPOGRAFÍADepartamento de Ingeniería Gráfica
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G. Mediero 1
P1
P2
MÉTODO I
H= T’ + i - D
DAB= ± T + i - m
T= DR / tg Z
T’= DR’ / tg Z’
A
B
DRDR’
i
V
AV’
i
HT’
D V’
Z’DI
Z
½a
m
DR
A
B
B’
G. Mediero 2
Ejemplo Método I
A la vista del croquisadjunto y de los datos quea continuación se facilitan,se desea conocer la alturade la torre, representadaen el dibujo, desde la baseP1-P2 hasta el vértice V,sabiendo que el vértice seencuentra en el centrogeométrico de la basesuperior del edificio.
Visuales i. m. Áng. Horiz. Áng. Cenit. Dist. Incl.E-P1 1,58 1,30 118,7008 83,7113 87,091E-V " - - 61,6921 -E-P2 " 1,30 123,4930 84,4492 91,135
G. Mediero 3
Croquis de Posición
Ejemplo Método I
G. Mediero 4
Ejemplo Método I
P2
P1E
Croquis vista en planta
Coordenadas de P:XP=XP1+XP2= 180,647 + 182,477= 181,562
2 2YP=YP1+YP2= 75,604 + 68,103= 71,854
2 2Distancia E-P:E-P= ΔX2 + ΔY2= 81,5622 + 28,1462 = 86,283
DR1= DI1 * sen Z1= 87,091 * sen 83,7113= 84,256 m
DR2= DI2 * sen Z2= 91,135 * sen 84,4492= 88,430 m
Suponiendo unas coordenadas para E (100,000 / 100,000)
Coord. de P1 XP1= 180,647 YP1= 75,604
Coord. de P2 XP2= 182,477 YP2= 68,103
N
P
G. Mediero 5
Desnivel E-P1 y E-P2 :DE
P1= T’ + i - m= (87,091*cos 83,7113) +1,58 - 1,30= 22,041 + 1,58 - 1,30= 22,321 mDE
P2= T’’ + i - m= (91,135*cos 84,4492) +1,58 - 1,30= 22,041 + 1,58 - 1,30= 22,321 m
Desnivel E-V:DE
V= T + i= (DR / tg Z) + i= (86,283 / tg 61,6921) + 1,58= 59,245 + 1,58= 60,823 m
Altura de la Torre: H = DEV - DE
P = 60,823 - 22,321= 38,509 m
Ejemplo Método I
G. Mediero 6
MÉTODO IIV
B
A
DImB
V’’
V’Z’ Z
Z’’
DR
T
T’’
Ángulos:A’= Z+Z’B’= (200–Z’) - Z’’V= 200 – (A’+B’)
i
B’
A’
i’DI= DR / sen Z’
DI = a = b sen V sen A’ sen B’
a= DI * sen A’sen V
b= DI * sen B’sen V
T’’= a * cos Z’’
T = b * cos Z
Restricciones:
A, B y V están en el mismo plano vertical, es decir, en planta estarían los tres puntos alineados.
i= mA e i’= mB
a
b
G. Mediero 7
MÉTODO II
Cota de A = Cota V – (T + i)
Cota de B = Cota V – (T’’+ i’)
V
B
A
DI
V’’
V’Z’ Z
Z’’
DR
T
T’’
i
B’
A’
i’
a
b
DAB= Cota B – Cota A
G. Mediero 8
MÉTODO II (Tipología 1)
B
A
V
A
B
V
A' B'V' V' A'B'
Alinea. Ang. Horiz. Ang. CenitalA-V 142,2563 58,6020A-B 342,2563 64,3225B-A 52,9640 132,8132B-V 52,9640 89,1141
Alinea. Ang. Horiz. Ang. CenitalA-V 34,6589 89,1141A-B 34,6589 132,8132B-A 95,4621 64,3225B-V 295,4621 58,6020
G. Mediero 9
MÉTODO II (Tipología 2)
BA
V V
B A
A' B'V' B' A'V'
Alinea. Ang. Horiz. Ang. CenitalA-V 175,6915 48,6523A-B 375,6915 115,1630B-A 210,1645 91,7822B-V 210,1645 70,2444
Alinea. Ang. Horiz. Ang. CenitalA-V 235,4632 70,2444A-B 235,4632 91,7822B-A 324,8563 115,1630B-V 124,8563 48,6523
G. Mediero 10
MÉTODO II (Tipología 3)
V
A
BV
B
A
A' B'V' B' A'V'
Alinea. Ang. Horiz. Ang. CenitalA-V 235,2615 103,2666A-B 35,2615 70,6565B-A 202,5020 135,8899B-V 202,5020 120,4000
Alinea. Ang. Horiz. Ang. CenitalA-V 35,2615 103,2666A-B 35,2615 70,6565B-A 112,4211 135,8899B-V 312,4211 120,4000
G. Mediero 11
MÉTODO II (Tipología 4)
VAB
V' B'A'
Alinea. Ang. Horiz. Ang. CenitalA-V 180,6514 108,1226A-B 180,6514 97,3324B-A 89,5412 102,5476B-V 89,5412 112,3057
G. Mediero 12
Situados en un punto A, se ha visado al vértice V, anotando los ángulos cenitaly horizontal; tras esto hemos visado un prisma situado en un punto B, que seencuentra en la misma dirección que el vértice visado anteriormente, tomandolos ángulos cenital y horizontal así como la distancia reducida. Trasladados alpunto B se han visado un prisma situado en A, leyendo su ángulo horizontal.Con los datos obtenidos y sabiendo que la cota del vértice V= 168,452 m. Sepide calcular la cota del punto A y el desnivel existente entre el punto B y elvértice V.
Est. P.O. i. m. Áng. Horiz. Áng.Cenit. Dis. Red.A V 1,61 1,61 142,6524 79,7792 -A B " " 142,6524 115,4468 26,908B A " " 12,4612 - -B V " " 212,4612 53,0265 -
Ejemplo Método II
G. Mediero 13
A V
Croquis de Posición
B
A
V
B
Vista en planta
Vista de alzado
Ejemplo Método II
G. Mediero 14
Áng. A‘ = (Z' - Z) = (115,4468 - 79,7792) = 35,6676g
Áng. B‘ = (200 - Z') + Z '' = (200 - 115,4468) + 53,0265 = 137,5797g
Áng. V = 200 - (A' + B') = 200 - (35,6676 + 137,5797) = 26,7527g
DI = DR = 26,908 = 27,720 msen Z' sen 115,4468
ZZ' a
I Z''
b
Ejemplo Método II
G. Mediero 15
a= DI * sen A'= 27,720 * sen 25,6676 = 36,107 msen V sen 26,7527
b= DI * sen B'= 27,720 * sen 137,5797 = 56,448 msen V sen 26,7527
T= b * cos Z= 56,448 * cos 79,7792 = 17,629 m
ZZ' a
I Z''
b
Cota A = Cota de V - (T + i) = 168,452 - (17,629 + 1,61) = 149,213 m
DI = b = a .sen V sen B' sen A'
Aplicamos el teoremadel seno en el triánguloA’B’V
Ejemplo Método II
G. Mediero 16
Comprobación
T’’= (a * cos Z'') = (36,107 * cos 53,0265) = 24,289 mCota de B = Cota de V - (T’’ + i') = 168,452 - (24,289 +1,61) = 142,553 mDESB
V= Cota de V - Cota de B= 168,452 - 142,553= 25,899 m
ZZ' a
I Z''
b
DESAB= T’ + i - m = (DR / tg Z') + i – m = (26,908 / tg 115,4468) + 1,61 -1,61 = 6,660 m
Cota de B = Cota de A + DESAB = 149,213 - 6,660 = 142,553 m
DESBV = Cota de V - Cota de B = 168,452 - 142,553 = 25,899 m
Ejemplo Método II
G. Mediero 17
MÉTODO III
Z’’
Z’
a
b
T’
B’
A’
V’
a?b?
DR
T’’
V2
V1
Proyección de A, B y V
V
A
i
i’B
ZDI
Cálculo de ángulos interiores:
A’, B’ y V’, por diferencia angular.
DR = a = b sen V’ sen A’ sen B’
a = DR * sen A’sen V’
T’’= a / tg Z’’
b = DR * sen B’sen V’
T’= b / tg Z’
Cota de A = Cota de V – (T’ + i)
DR = DI * sen Z
Cota de B = Cota de V – (T’’+ i’)
DesnivelAB = Cota B – Cota A
DAB = ±T + i - m ComprobaciónComprobación
m
Cota conocida
G. Mediero 18
Estacionados en un punto M, se ha visado al vértice V, apuntando los ánguloscenital y horizontal; posteriormente hemos visado un prisma situado en unpunto N, tomando los ángulos cenital y horizontal así como la distanciainclinada. Trasladados al punto N se ha visado un prisma situado en M,leyendo sus ángulos cenital, horizontal y la distancia inclinada. Con los datosobtenidos y sabiendo que la cota del vértice V= 200,252 m.
A la vista de los siguientes datos:Est. P.O. i. m. Áng. Horiz. Áng.Cenit. Dis. Incli.M V 1,65 - 20,3214 68,9761 -M N " 1,72 387,1075 97,4357 197,255N M 1,60 1,58 318,5802 102,5482 197,257N V " - 280,6551 69,2202 -
Se pide determinar la cota del punto M y el desnivel existente entre el vértice Vy el punto N.
Ejemplo Método III
G. Mediero 19
Ejemplo Método III
M
N'
V'
M'
i= 1,60N
Z'''
N'
Z''
T2
I
V2
V1
T1
M'
ZZ'
i'=1,65
V(200,259)
M'N'= (DI1+ sen Z’) = (197,255 * sen 97,4357) = 197,095 mM’N’= 197,097 m.
N‘M'= (DI2+ sen Z’’’) = (197,257 * sen 102,5482) = 197,099 m
Áng M'= (400 - 387,1075) + 20,3214 = 33,2139g
Áng N'= 318,5802 + 280,6551= 37,9251g
Áng V'= 200 - (M’+N’)= 200 - (33,2139 + 37,9251) = 128,8610g
Cálculo de la distancia reducida M’N’ y los ángulos M’, N’ y V’
G. Mediero 20
M'V'= M'N' * sen N'= 197,097 * sen 37,9251= 123,020 msen V' sen 128,9610
N'V'= M'N' * sen M'= 197,097 * sen 33,2139= 109,265 msen V' sen 128,8610
Ejemplo Método III
M
N'
V'
M'
i= 1,60N
Z'''
N'
Z''
T2
I
V2
V1
T1
M'
ZZ'
i'=1,65
V(200,259)
M'N' = M'V’ = N'V’ sen V' sen N' sen M'
VV1= M’V1 / tg Z = 123,020 / tg 68,9761= 65,195 mVV2= N'V2 / tg Z'' = 109,265 / tg 69,2202 = 57,370 m
Cálculo de los lados del triángulo M’V’ y N’ V’
Aplicamos el teorema del seno en el M’N’V’
Cálculo de las tangentes T1 y T2
G. Mediero 21
Cota de M = cota V - VV1 - i’= 200,259 - 65,195 - 1,65 = 133,414 mCota de N = cota V - VV2 - i = 200,259 - 57,370 - 1,60 = 141,289 m
DESMN = Cota de M - Cota de N = 141,289 - 133,414 = 7,875 m
DMN = (M’N’ / tg Z’ ) + i’ - m’ = 7,943 + 1,65 - 1,72 = 7,873 m
DNM = (M’N’ / tg Z’’’) + i - m = -7,893 + 1,60 - 1,58 = -7,873 m
Cálculo de las cotas de M y N y Desnivel MN
Ejemplo Método III
M
N'
V'
M'
i= 1,60N
Z'''
N'
Z''
T2
I
V2
V1
T1
M'
ZZ'
i'=1,65
V(200,259)
M.J. León Bonillo 22
ALTURA REMOTA
Altura Remota es la denominación adoptada por la casa comercial Leicapara uno de los programas internos de las Estaciones Totales.
Con este programa podemos:• Determinar la altura de
puntos inaccesibles.• Número ”ilimitado” de
mediciones de cota.• Calcula cotas relativas y
absolutas.• Trabaja aunque se desconozca
la altura del reflector.• Guarda los resultados.