bỘ ĐỀ thi vÀo lỚp 10 chuyÊn toÁn - hÀ nỘi, 2012

8/21/2019 B THI VÀO LP 10 CHUYÊN TOÁN - HÀ NI, 2012
http://slidepdf.com/reader/full/bo-de-thi-vao-lop-10-chuyen-toan-ha-noi-2012 1/136
0O0
ng góp PDF bi GV. Nguyn Thanh Tú
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QU
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQU
B

I
B GIAO DC VÀ O TO CNG HÒA XÃ HI CH NGHA VIT NAM TRNG I HC s PHM HÀ N i c lp - T do - Hnh phc
B CHNH THC
THI TUYN SINH VÀO TRNG TRUNG HC PH THÔNG CHUYÊN NM 2011
Môn th: Toán hc (Dùng cho th sinh thi vào chuyên Toán và chuyên Tin)
Thi gian làm bài: 150 phút
1 n r i V2 _ _ (2= ” IV2 -- —- —— Caul Cho 2A 88
1. Chng minh 4a2 + V2 Q-V2 = '
2. Tính giá tr ca biu thc s = +- 1/a4 4- a + 1.
Cu 2
1. Gii h phng trìnhí. - , -s , 2;v ................. V •\%z 4- ý3 4- — - = 1 x + y
( *Jx + y = * * - ) ’ ' ' 2. Cho hai s hu t <2, b tho mãn ng thc
(èf^ àSb + ab3 + 2asJs + 2a + 2 + 1 = 0
Chng minh 1 - Q& l bình phng ca mt s hu t.
Cu 3 Tìm tt c các s nguyên t p có dng P = + c2, vi arò; c là các
s nguyên dng sao cho &* + b4 --c* chia ht chó V .
Câu 4 Cho tam giác ABC có ba góc nhn ni tip ng tròn(O), BE và CF là các ng cao. Các tip tuyn vi ng tròn (O) ti B và c ct nhau ti
s, các ng thng BC và OS ct nhau ti M.
AB BS 1. Chng minh AE = ME .
2. Chng minh tam giác AEM ng dng vi tam giác AB s.
3. Gi N là giao im ca AM và EF, p là giao im ca AS và BC.
Chng minh NP i BC.
Cii 5 Trong mt hp có cha 2011 viên bi màu (mi viên bi ch có úng
mt màu), ong ó có 655 viên b màu , 655 viên bi màu xanh, 656 viên bi màu tím và 45 viên bi còn li là các viên bi màu vàng hoc màu trng
(mi màu có ít nht mt vin). Ngi ta ly .ra t hp 178 viên bi bt k.
Chng minh rng trong s các viên bi va ly ra, luôn có ít nht 45 viên bi cùng màu. Nu ngi ta ch ly ra t hp 177 viên bi bt k thì kt lun ca
bài toán còn úng không? I K V V \
B

I
B

I
B GIÁO DC VÀ ÀO TO CNG HOÀ X HI CH NGHA VIT NAM TRNG I HC s PHM HÀ NI ’ c lp - T do - hnh phúc
ÁP ÁN VÀ THANG IM THI TUYN SINH VÀO TRNG TRUNG HC PH THÔN G CHUYÊN 2011
Môn th i: TOÁN (chuyên)
Caul. (2 im) 1. (7 im) T gi thit suy ra a > 0 và
a2+ ^ - a + — ——{ yf +— ì=>4(22+ a*J = 0.(1) 4 32 s )
2. (/ im ) T (1) suy ra
72(1 - a ) s - a 1 + l - Á
~a +.
+ 3 _ >/2 (1 —) <3+3 _ — 2V2 2yÍ2
Câu 2 . (2.5 im) 1. (i, 5 im) iu kin X+y >0
Phng trình (1)
<=>(x + y f - 2xy T ^ -1 o (x + vì2- 1+2xy —-----1 =0 A 7 x + ý ì x+>> J .........
<r>(x + y + l) (x + y - l ) - 2 x y X- ——- = 0 x + y
<=> + +x + y -2 x y = Q<^>{x + y - \ ) { x 2+y 2+x + ) = 0
<=>x + y - l = 0 o x + y - 1. ( im)
Kt hp vi phng trình (2) ta có h fx = l
x + y - 1 y - ì - x <=>
X2- y = 1 [x2+ X - 2 - Q <=>
- 0
X - - 2
v = 3
(10, 5 im)
2. (/ im) Ta có -cfb + atf +22b2+ 2 + 2b +1 = ábà1+ 2+2^ + 2(a + &) + l
=aba + )2+2(<z + ) + l = ab — l)( + ) +(í7 + +l) = 0 (1) \ /
B

I
T( l ) suyra a+b*0 và \ - a b - [ (pcm). \ a±b J
Cu 3.(1.5 i m )Gi s a> ^c v T ác - ; n r ^ -
aA+4+c4= (2+2 +c2)2- 2 ( a 2&2+b2c2 + c V ) Vì p là s nguyên t và p > 3, suy ra aA+hA+ c4 chia ht cho khi và ch khi a2b2+b2c2 + c2a2 chia ht cho p,
(0,5 im) hay a 2b2 +c2a2 +b2.p <z> a2b2 - c4: p <=>a b+ c2}{ab - c2):p
Do p = a2+b2+c2>ab +c2>ab-c 2>0 v p là s nguyên t nên a h -c 2 =0 => a = b = c=> p = 3a2 => a —\ —b —c .
áp s: p = 3 .
Cu 4 (J im)1. , 00 imam giác vuông EAB ng dng vi tam giác vuông MBS (vì ÂE = S8 M)
im)
AB BS ^ AE “ BM•A C
AB BS Mà SM = Me ^ ã _ m i ^ '7.. ( nn iwW om c\ctn RM 2. (, 00 iêmom giác BMe cân ti M =>MEB = MBE Mt khác, s b m + b 1 = b3 ! + m = 90° = §b =>
SBA = MEA CÚ T ( ) và () =* AEM ~ AABS
3. (1,00 im) Do AAEM - AABS =>BAP = S
M à AP = A£ N (vì cùng bù vi CF) =£ AAEN •-*ABP ÃP ” BP ^
(0,50 im) V ì AMAE — âSAB (chn g m inh ên ) và t ng t ta c ó MA ~ âSAC
=? AMF = CSA?AME ss BSA =* EMF = BSC =) SBP = M£H_ (vì hai tm giác cân có góc É l
’ 4 ’ 1, u ~ _ „1 \ =p AEMN A8SP => — = ---- 00 nh bng nhau), BP PS ap
AN _ NM TJ- T (1) và (2) suy ra ÃP ~ T s * m mà SMJ.BC=>NP BC . (0,50 im)
Câu 5. (1 im) Nêu ta chn ra 44 bi màu , 44 bi màu xanh, 44 bi màu tím v 45 bi màu vàng hoc trng. Khi ó tng s bi ly ra là 44+ 44+ 44+45 = 177 viên bi. Do ó không có 45 bi nào cùng màu. Vy bài toán không úng nu ta ch ly ra 177 viên
bi. (0,5 im) Nu ly ra 178 viên bi, thì s bi màu trng và vàng có ti a là 45, nh vy vn còn li ít nht 178-45=133 bi có màu hoc xanh, hoc tím. Theo nguyên lý Dirichlet, s .
, "1321 có mt màu mà có ít nhât — 1 +1 = 45 bi. Bài toán c gii xong. (0,5 êm)
B

I
B GIÁO DC VÀ ÀO TO CNG HÒA XÃ HI CH NGHA VIT NAM TRNG I HC s PHM HÀ NI c lp - T do - Hnh phc
CHNH THC
THI TYN SINH VÀO TRNG TRNG HC PHÔ THNG CHUYÊN NM 2011
Môn thi: Toán hc
(Dùng cho mi th sinh thi vào trng chuyên)Thi gian làm bài: 120 phút
Cu Cho biu thc:
__ X—y X 2 4-V2 -I- V—2\ 4%4 + 4x2y + y2 —4 A v2y * 2;V2' 4- 2 ) 4 4* +
v ó i x > V> 0; X =É2yi y ==2 — 2a"3
1. Rút gn biu thc A . *7.
2. Cho y - 1, hãy tìm JCsao cho A “ 5 .
Cu 2 Mt nhóm công nhân t k hoch sn xut 200 sn phm. Trong 4 ngày u h thc hin úng mc ra, nhng ngày còn li h ã lm vt
mc mi ngày 10 sn phm, nn ã hoàn thành k hoch sm 2 ngày. Hi
theo k hoch mi ngày nhóm công nhân cn sn xut ba nhiêu sn phm.
Câu 3 Cho parabol (P): và ng thng (d): ;/ = -mx -m 2+ 3 ? m là
tham s.
Tìm tt c các giá tr ca m ng thng (d) ct parabo (p) ti hai im phân bit có hoành Xt, *z. Vi giá nào ca m thì *1. x2 là dài
các cnh góc vuông ca mt tam giác vuông có dài cnh huyn bng
Câu 4 Cho ng tròn (O) ng kính AB = 10. Dây cung CD ca ng
tròn (O) vuông góc vi AB ti im E sao cho AE = 1. Các tip tuyn ti B và c ca ng tròn (O) ct nhau ti K, .AK và CE ct nhau ti M.
1. Chig minh tam giác AEC ng dng vi tam giác OBK. Tính BK. 2. Tính din tích tam giác CKM.
Cu 5 Cho hình thoi ABCD có BAD = 120°. Các im M và N chy trên các
cnh BC và CD tng ng sao cho MAN = 30° Chng minh ràng tâm
ng tròn ngoi tip tam giác MAN thuc mt ng thng c nh.
Cu 6 Chng minh bt ng thc: 1 1 1 1
7 O T +n/3+V4 +Ts +' " + V79+V8
B

I
B

I
B GIÁO DC VÀ ÀO TO CNG HOÀ XÃ HI CH NGHA VIT NAM TRNG I HC s PHM HÀ NI c lp - T do - hnh phúc
ÁP ÁN VÀ THANG IM È THI TUYN SINH VO TRNG TRUNG HC PH THÔNG CHUYÊN 2011
Môn thi: Toán (chting)
Câu Oimì
l . ( l ) x —y X + y + ý -2 2y-x (x+y)(2y-x)
2x2+y-2 ______ (x+y)(x+l) £+1 ______ ( x+ y)(2y-x ) (2x2+y+2'j2x2+-2) ly-x^lx1+y+2^
, .»* . x+1 2 .. 1 ~ -
x(x + y)+ x+ y
2x2+y - 4
2. ( l ) Vóri y - \ thì A- = -<=> 4x3-Sx2+lx -7 = 0<=>*-!. .(2-x)(2*2 + 3) 5
Câu 2 (2 im) Gi nng sut d kin l X sn phm mi ngày (xeN *).
Thòi gian hoàn thành theo k hoch là — . X
4 ngày u h làm c 4x sn phm. Trong nhng ngày sau nng sut à
r-HO sn phm mi ngày, s ngày hoàn thành s sn phm con i l. onn-ÁY ...,.... ....... ...... „................................................. -- - - — . Theo bái ra ta có phng trình: X + O . &
200 200-4x X *+10
áp s JC= 20. Ghi ch: Lp ng phng ình cho 1,5 im, p s ng 0,5 im \
Cu 3 (2 im) d ct (P) ti 2 im phân bit khi và ch khi phng trình sau có 2 ng;him phân bit
X1=mx-m2+3 Phng trình <=>X2-mx+m2-3 = 0 . Phng trình có hai nghim phân bit <=>A = 12-3/712> 0 <=>-2 <m< 2 . im)
+4 + 2<=>x2+30*-1000 = 0<=>;»í: = 20 (do *€N*)
x >0; x2>0 và X? + Jt22= J - o
-2<m <2
X X2=m2-3 >0 <»m = y ~ .( l i m )
(xi+j)2- 2i 1x2 = 1
1
B

I
CE=VC02-C E2 = 3 . D o 1 *
ZCAE-ZKOB^—ZCOB, suy ra * 2 •
i
(chúng minh ng dng cho 0,5 im, tính mm —— ^ _ - ?
AAEC OC.AOBK =>' =>KB = ^ = i 5 ;
úng KB cho 0, 5 im) 2. (1 ) Do ME//BK
M E_ AE _ - __BK.AE 3 => -i — = • => ME= —— - = —=> CM=CE-ME= —
BK AB AB 2 2
Suy ra: dt(CMK)= - CM.BE = — .
Cu 5 (1 im) Gi o là tâm ng tròn iígoi tip lam giác MAN. Khi
ZMON=2ZMAN=O° => AMON u =>Z’MN=ZONM = 60°.
D o ZMON+ZMCN==120° => t giác OMCN ni tip ’ *
=>ZCXN=ZOm=6(ý, Z (XM =ZaM =600.
Suy ra O e AC c nh.
Cu (í im) t s’ = 7 w * l 4 +" '+ W M
=a /2-a / +n /4-^+-• -h / sÕ-V^
t s 2=V ' 3 -< / 2 + 5 —/ 4 + - + V 8 - 1/ 8 Õ
=>Sj +S2 = /8-V = 8 .
Ta có -J2k- j2k- l =
Vjfcl. -J2k +"J'Zk — V2A+%l2k +1
Suy ra Sj > S2=> sr > 4.
--Jlk+ \ -yk vi
È THI TUYÊN SINH
VÀO TRNG TRUNG HC PH THÔNG CHUYÊN NM 2010Môn thi: Toán hc ~ ~ ' (dng ch thí sinh th vào chuyên Toán và chuyên Tin)— :— —
Thi gian làm bài: 150 pht
Ciil 1. Gi s a và b là hai s dng khác nhau và tha mãn
a - b = y l \- b2- é - a 2 .
. Chng minh à2+ b2 = 1.
2, Chng minh rng s ^20092+ 20092X201 o2+ 201 o2 là mt s
nguyên dng.
Câ 2 .. .... ........ ............... ............- ................... -.............. - ...... Gi s bn 30 thc <2, b, c, ôi mt khác nhau và tha mãn ng
thi hai iu kin sau: i) Phng trình JC2-2cx-5d = 0 có hai nghim là a và b, ii) Phng ình X2. - 2ax - 5b = 0 có hai nghim là c và d.
Chng minh rng: 1. a —c —c - b = d —a .
2. a + b+c + d = 30.
Cu 3 Gi s m và YI là nhng s nguyên dng vi n>\. t
s=m V - 4/H+4«. Chng minh rng:
1. Nu m> n thì mn2- i f <n2s < m2nA.
2. Nu s là s chính phng thì /77=«.
Câu 4 Ch tam giác ABC vi AB > AC, AB > BC. Trên cnh AB ca tam
giác ABC ly các im M và N sao cho BC = BM và AC = ÁN.
4
B

I
1 . Chng minh im N nm trong on thng BM.
2. Qua M và N k MP song song ýi BC và NQ Sòng song vi CA
(PeCA, QeCB). Chiig minh CP = CQ.
3. Cho ACB-W, CB=30“ vã AB = a. Hay xinh din tích cùâiam
giác MCN ieo a,
Cu 5

thi gi nguyên s còn li. Nh vy sau mi ln chi trên bàng uôn có ba
s. Chng minh rng dù ta có chi bao nhiêu ln i chng na thì trên bng
không th c ng thi b s - — yy2f \ + y2.
..... Ht ....
Câu 1. (2 im)
1. (1 im) a-b = yl\-b2- y /\ - 2=>a +yj]-a2 =b + yj\-b2
=>a y j \ - a 2 = by/1-2
=5>a 2- aA=b2- b A=>* - bA-(2- b2) = ò => a* - b1)(2+ iá - l) = õ
Theo gi thit suy ra a1-b29*0 =* a2+b2= 1.
2.(1 im) t a = 2009 => 20092+20092.201 o2+201 o2=a2+a2(a + \)2+ (a+\f
= 2( + l)2+2a(+l)+l=(2++l)2=>pcm.
Câu 2 (2 im)
+ = 2c(l) =-5</(2)
c + d = 2(3) ^ = -5^(4)
TXO vâ~(3)suy ra ~d-g = c - b - - u .——
2. (1,5im)t a-c-c-b~-a-m^=>
c -a -m b -c -m => a+b+c+d=4a-2m
d - a + m
T (2) => (a - 2 w) = -5 +J7í) => 2- 2m = -5tf - 5m(5)
T (4) =>(a- m) (í7+w) = -5 ( - 2m) =>a2-m 2= -5 +1 Om (6)
T (5) và (6) =>m2- lam = -15m. Theo gi thit a* nên m * 0, suy ram - 2a = -15 =>"a+b+c+ô.
Cu 3.(2 im)
1. (1 im)
(/W72— i f <n2s <=>tfí2n4-4 m «2 +4 <m2i* -4m n2+4n* <=> > 1o Yì> i
(úng theo gi thit). «2S < <=>« V - W +4/Í3< mV 0 /77> « (úng theo gi thit).
2. (1 im) Gi s ngc i m * n, xét hai trng hp THI: (0.5 im) /77>77, theo ý (1) và o s chính phng suy ra
r^S— mn2- l ) 2=> m2«4- 4tw«2+ 4«3=w2«4-2mn2+1 => 4w3 -2mn2+ 1
(Sai). TH2. (0.5 im) m <r , khi :
*) Nu m >2 thì n >2 =>2/77« > (fl?w)2<s<(mn + )2 (mâu thun vi s
chnh phng).
Vi n > 2 =>(n +1)2< s <(n-h2)2(mâu thun vì s
chính phng).
Vi n = 2 thì s = 8 không phi là s chính
B

I
phng.
1.(1 im ) 1 (JA+CB > AB =>
AN + BM > AN + BN => BM > BN ==>N nm gia B và M.
2. (1 im) Theo gi thit ACBM cân ti B nên ZBCM = ZBMC. Mà
ZPMC = ZBCM (so e trong) => ZPMC = ZBMC. Tng . t
ZQNC = ZANC => cc im PpQ i xng vi các qua các ng thng CM và CN thuc AB và
CP = CPj,CQ ssCQj. Do
ACPM = ACPM, ACQN=ACQ,N
'=>ZCM> = ZCPM, ZCQN^CQiN.
Mt khác ZCPM=ZCQN (eùng bù vi góc ACB) => ZCP,M=ZGQ1N =>
APCQ cân ti c => CP = CQ => CP=CQ.
im p, Q
=>A4N=BM-BN =~ - 2
S a ) ( ^ - ’)a 2 r 2 /
Gi h là khong cách t c ên AB thì:
h=— = — => dt (MCN) = 2 4
Cu 5 (1 im)
16
Do 2+2=(^-7= + “ 7= nên tng bình phng ba s không thay i Vv2 ) v2 )
sau mi mt ln chi.
7
B

I
12 2
Tng bình phng ba s ban u là (yf)2+22+^jr j
Tng bình phng ba s òi hi là j + (V2)2+(1 + -s/2)2 = -í i+2yl .
N h ìê te ^ S |Ì 5 -g iá j2ôînhn c trng thái òi hòi.
THI TUYN SINH
VÀO TRNG TRNG HC PH THÔNG CHUYÊN NM 2010 Môn thi: Toán hc
(dùng cho mi th sinh thi vào trng chuyên)
Câu 1 Cho biu thc:
A J l J 4 x4 + * 3 - * ( 4 x - 1 ) - 4 I x 2+29x + n
2 v 2 +1J 7 +6x-x-6 *3x2+ 12*-36
1. Rút gn biu thc A. 2. Tìm tt c các giá tr nguyên ca X sao cho A c giá tr nguyên.
Cu 2 Cho hai ng thng:
d: y = 2m2+)jc + 2w-1
d2: y - m2x+m ~ 2
vi m à tham s.
1, Tìm ta gio im I ca j và d2 theo m.
2. Khi m thay i, hy chng minh im I luôn thuc mt ng thng c
inh.*
Câii3 Gi s b ba s thc (x;y;z) tho mãn h:
8
B

I
(I) f*+l = y + r
; ! ' j/+Z2-7 z + l0==0
1. Chn g m inh 2 + 2 = r 2+ 12z ~ 19 .
2. Tìm tt c các b (x;7 ;t) thpa mãn h (I) sao cho 1 + y 2= 17.
Cho hình vuông ABCD có ài cnh bng a. Trong hình vuông ó ly im K sao cho tam giác ABK u. Các ng thng BK và AD ct nhau ti p.
1. Tnh ài on thng KC theo a. r
2. Trên on thng AD ly im I sao cho DI = — , các ng thng CI và
BP ct nhau ti H. Chng minh t giác CHP ni tip mt ng tròn.
3. Gi M và L ln lt là trung im ca các on thng CP và KD. Chng minh
2 ..- ................................. ...... ...
Cn 5 Gii phng trình: (x2-5x+ l)(x2- 4 ) = 6 { x - 0 2 .
..n t .
Câu 1 (2,0 im)
1. (1 êm) A = 3 / - i fc - 'O l* 2*’) 2 X 2 + 1(x+6)(x6- l)
(x+3)(x-f-26) :3( jt +6)( jc —2)-
3 x - 4 ^3(*+6 )(x-2)_ x+26 3(s+6)(x-2) 3s-6 2 * +6/ (jc+3)(*+26) 2(jc+6) (*+3 )(x+2 6)2x + 6 *
Gnck: Nu th sinh ch bin i ng biu thc trong dmc vuông thì
c 0,5 im. 2. (1 im) Tp xác nh ca A: { l ; l ; 2; 3; 6; 26 } .
A _ 6x-12 3(2^+6)-30 _ <> 15 -<y Neu A nguyên thì 2A = ^ v — = 3— —T-eZ.
° 2jc+6 2*+6 x+3 Suy ra các trng hp sau:
9
B

I
+) * + 3 - — 1=> je = -4=> A^=9€.Z,
+) XV = 3 =>x = 0 =>A = -16 z , H-) JC4-3 = -3 =>x = -6 (loi),
+) x+3 =5 =>X =2 (Iòi),
+) jc -tK3 = —5 =>jc = —8 => A=3€Z,
+) x+3 =515 <=> = 12 => A = 1e Z ,
+) *+3 = -15<» x = -18=>A=2eZ .
áp s *<={-2;-4;0;^8;12;-18}.
Ghi ch: Nu không oi c c hai trng hp cùa thì tr 0,5 im.
Nu ch loi c ng mt trng hp ca thì tr 0,25 im. Cu 2 (2,0 im) 1. (1 m) Xét phng trình
__ J^mJ±ty xf2 m -\ = m1x+m-2<^{m1+\}x = --m-\
<=> -m - \ -3m2+m -2 . . J m+1 -3m2+m-2
y ~ . m2+\ ' ' m2+1 ^ m2+1 ’ ffr 2+1
Ghi ch: Nu tnh sai tung cùa I thì tr 0,25 im .
= (2m2+ 1) + 2 - 1 2. (1 im) Gi s I(*;j>j)
=m X J+m-2 =>y{ = -* ,-3
Suy ra I thuc ng thng c nh có phng trình y~-~x- 3 .
Câu 3.(2 im) 1.(1 im) T phng trình (1) suy ra x - y = 2 - 1, t phng trình (2) suy ra
xy ==-z2+7z-10 => JC2+J2= ( * - _y)2+2xv = (2~l)2+2(-z2+72-10)
= - r 2 +1 2z-1 9.
2. (1 im) *2+_y2=17 =>z =6 . Thay vào h t c
Th li tha mãn. p s: x\y\z) = (4;-l;6)*r(U-4;6).
Cu 4 (3,0 m) 1. (1 im) Dng KElB C, khi ó:
10
B

I
Ghi chú: Nu thí sinh dùng công thc lng gác mà cha n kt quâ trên
thì tr 0,25 im.
có
CI = J a 2 +— = L = 2D => ZDCI=30°. V 3 yl
Mt khác ZHPD=90°-ZABP=30°=> t
giác CHDP ni tip.
3. (1 im) Ly à trung im on
K C. Do tam giác CKD cn ti K và M
là trung im ca CP nên suy ra L và
L' i xng nhau qua KM => LM=L'M.
Do M là ng trung bình cùa tam
giác CKP nên L'M=— . Do tam giác
AKP cân ti K nên KP = KA =
AB=>LM-.
<=> (*2-4 )2—5(x2— 4)(jc—1) —6 ( ~l )2 =0
Do * = 1 không là nghim ca phng trình nên ta xét * 1. Phng
2 - 4 trình <=>/V - 4 N*
x-1 -5
*-1
í2-5 í-6 = 0 <=> , =>jc«3+v/;jr=3-v/;jf=— -— ;*=— — - í = 6 2 2
...... r—---—-X—A.----......-f ..... t . ♦ cÃá: Ntí né ên phuim z trình vnm z gcm theo t thì c , 7-5 im.
' = - 1 . 0 R , R -1 + V5 _ - 1 - V 2T = > * = 3 + v7;;t = 3 - v 7 ; * = — -— ;* =
í = 6 2 G&*
THI TYN SINH VÀO KHI TRUNG HC PHÔ THONG CHUYÊN NM 2009
Môn thi Toán hc (dùng riêng cho th sinh thi vào lp chvyên Ton và chuyên Tin)
Thi gian àm bài: 150 phút
C a u l Các s thc-x, y th mn xy * y/ v.-xyj£ -V2 . .Chng minh rà
.thc sau không ph thuc vào X, y
^ 2 l / x y x y - l 2 2 xy
biu
p =
” T ---- 7 /
f l y x 1 x y - l l v 2 xy xy
4 2xy + 2yf2j xy+l xy-t fz
Câu 2 1. Cho phng trinh x2+bx+c =0 , ong ó các tham s b và c tho mãn ng thc b +c =4 . Tìm các giá tr ca b và c phng trình có hai nghim
phân bit X, x2 sao cho X = X2Z + x2.
2. Gi s (x;y;z) là mt nghim ca h phng trình:
3 12 4 X y z , — 1 — 1 — = 1 10 5 3
Hãy tính gi tr ca A = x+y+z.
Câu 3 Ba s nguyên dng a, p, q tho mãn các iu kin:
i) ap+1 chia ht cho ,
12
B

I
Chng mnh: Cu 4
chò ng tròn (U) ng Kinh AB v im c thuc ttg CPn (C
không trùng vi A, B và trung im cùa cung AB). Gi H là hinh chiu vuông góc ca c trên AB. ng tròn (0|) ng kính AH ct CA ti E, ng tròn (02) ng kính BH cát CB ti F. 1. Chng mi t giác AEFB là t giác ni tip.
2. Gi O3 là tâm ng tròn ngoi tip t gác AEFB, D là im xng
ca c qua o . Chng minh ba im H, O3, D thng hàng. 3. Gi s là giao im ca các ng thng EF và AB, K là giao im th hai ca sc vi ng tròn (O).Chng minh KE 1 KF.
Mt hình vuông có dài cnh bng 1 c chia thành 100 hình ch
nht có chu vi bng nhàu (hai hình ch nht bt k không có im chung trong). Ký hiu p là chu vi ca mi hình ch nht trong 100 hình ch nht này.
1. Hãy ch ra mt cách chia p = 2 ,02 . 2 . Hãy tìm giá tr ln nht ca p.
Cu 5
p = Íxy [ x y - l i 2 xy x_
xy + t ^ xy - ì Ì} l x y + y^ xy + / x y- l í .
13
B

I
4i2x + (*y-l 2 xy xy 2 xy xy
2xy + i/ xy * ì/ ) xy+ xy- ~ 2 i+/^xy - V) x y + y xy-i 2
Cu.2 (3.0 imì 1. (1,5 im) Phng trinh có hai nghim phân bit o A = è? r .4c>0. Theo
nh lý Vi é t X + x2=b',x,xt = c . Kt hp gi thit Ta có h ...
I x .^ + x , . fjc, =*/+*2 ^ 1^ = 6 ^ |í> = -8
|x,x2-(Xj+*2) = 4 [ JC23—2 jc2—4 = 0 1*2=2 |c = 12
th li tho mãn.
Ghi chú: Nu thí sinh chi làm iu kin cn thì tr 0,25 im. 2 (1 5 im) T A = x+y+z=> x = A.-r.y.- z , thay vào h ta c
=> 7A = 42 => A = 6.
Câu 3 (1,5 im) T gi thit suy ra (p;q) =1 (0,5) và
ap + aq + 1NJ \w+<v+ l*=* apfaq+ììq^ ap*aq + * p‘ì=>
Câu 4 (3 im) a) (1,0 im) Ta CÓ:
HE± ACSHF1 BC nên CEHF là hình ch nht. Suy ra
CEF = CHF = CBA. Vy t gic AEFB ni tip trong mt ng tròn.
0.
(vì ap+aq> 1) =>g>->££-r.( 1,0 im)7i n + /7l2(p + q)
B

I
b) (1 ,0 im) Do Oj ,0 3 thuc ng trung trc ca AE nên 0 ,0 31 AC.
Tng t ta c 0 20 3 1 BC.
Cu 5 (1,0 m)
1. (0,5 ) Chia mi cnh trong mt cp cnh i ca hình vuông thành 100 phn bng nhau, mi phn có dài bng 0,01. Ni các cp im chia bi các on thng song song vi cp cnh i còn li. Ta s c 10 hình ch
nht có chu vi bng nhau và bng 2,02. Phép chia này tho mãn yêu cu.
2. (0,5 ) Ta chng minh vi mt php chia bt k tho mãn ra thì mi hình ch nht to thành u có chu vi không vt quá 2,02. Tht vy gi s
ngc li có mt phép chi mà P > 2,02. Ta xét hình ch nht có din tích s
nh nht trong 100 hình ch nht to thành, khi ó s <— =0,01. Ký hiu a
và b tng ng là chiu rng và chiu dài cnh cùa hình ch nht này, t P = 2(a-f-b) > 2,02 =>a + b> 1,01. Vì
b<l=£a + l>a+b> l,01=>a >0,01 =>0<b-a <0,99
=â = -[(+)2-(-&)2]> -( l,012-0,992) = 0,01 =>s>0,01 (mâu thun).
Vy giá tr ln nht ca P à 2,02.
cing minh t gic JÌKCF tip.
Do các t giác AEFB và AKCB n tip nn SEA = ABC = SKA
Suy ra t giác SAEK ni tip. Suy ra SKE = CAB = CFE
Vy t giác EKCF ni tip.
n
15
B

I
THI TUYN SINH VÀO KHÓI TRNG HC PH THÔNG CHUYÊN NM 2009
“'*• - Môn th: Ton hc ~ ~ ~~ ~ “ (dùng cho mi th sinh thi vo khi chuyên)
Câiil Cho các biu thc:
A = V 20+92 + Va* +16a2+ 64
B = a4+ 20 3+102a2+ 40a + 200 1. Rút gn A. 2. Tìm a A + B = 0. Câu 2 Hai ngi công nhân cùng làm mt công vic trong 18 gi thì xong.
Nêu ngi th nht lm 6 gi và rigi th ha làm 12 gi thì ch hoàn thành c 50% công vic. Hi. n làm riêng thì mi ngi hoàn thành công vic
ó trong bao lâu? Cu 3 Cho parabol (P) y = X2 và ng thng (d) y = mx+.
1. Chng minh rng ng thng () luôn ct parabo (P) ti hai im phân
bit vi mi giá tr ca m. 2. Gi Ac*,;.)',) và B(^2;^2)là các gia im ca (d) và (P). Tìm giá tr ln
nht ca biu thc:
Câu 4 Cho tam giác ABC vi AB = 5, BC = 10, AC = 3V5 . ng phân
giác BK ca ABC (K eAC) cát ng cao AH (HeBC) và ct trung tuyn AM (Me BC) ca tam giác ABC ln t ti các im o và T.
1. TinhAH.
2. Tính din tích tam giác AOT. Cu 5 Các s thc X và tho mãn ng thc:
x + y / ì + x 1^ y + y l + y2 j = l .
Chng minh x + y -0 .
16
B

I
, Trpng mt phng ta Oxy cho ba òng thng có phng trình ln
lt là J^/HX+W + I* 7 = (/w+l)x+m2 và y = (m+2)x+m+3 ( m là tham
S). Hãy tìm tt c các gi tr cùa m ba ng thng nói trên cùng i qua m im,
Cái! 3
1. Chíg minh rng phng trình (vi X à n, a à tham s):
(a+l)x* + w ? + x+2a+2= 0
luôn có nghim vi mi a.
(2x+ ì)(2y + l) = 7 + 14-731e Gii h phng trình: x 2+ y2 = 12.
Cu 4 ... ......... ............. ;.....................................
Cho ng tròn (o ) có tâm o và mt im p nm ngoài ng tròn
ó. K hai tip tuyn PA v PB ti ng tròn, trong A, B là cc tip
im. Ly im c nm trên ng òn () sao cho gc COP = 90° và hai
im C, A cùng nm v mt phía na mt phng vi b là ng thng OP.
Tip tuyn ti c vi ng tròn (o ) ct ng thng AB im D.
1. Chng minh rng hai tam giác DCO và COP ng dng.
2. Gi E,F ln lt là giao im ca các ng thng PA,PB vi tip tun
ti c ca ng tròn (o) và G là giao im ca hai ng thng OD và
PC. Chng mnh ràng các góc AGE và BGF là vuông.
Câu 5
Chng minh ràng không tn ti các giá tr nguyên ng ca X và y
vi X > 6 sao cho
---- ——— -----'= 2y JL 2-^ - -- =-3 “ ---- — --------
27
B

I
(*) Rut gn P (1 im): iu kin: xè-09x* 1,9
p ( ^ - l) (^ + l) + ( ^ - 3 ) ( ^ + 2 ) -( 2 * - 8 ) _ 7 +1
Vy p < -1 khi và ch khi 9 <x<16.
3. (1 im) Ta eL.22±2vÍ5 = a/ 1~ W + 1-2^/29
và 16-2>/29+2^55-10^9 =Ín/5 + 7 i l-2x/291
Do ó ta có iu phi chng minh.
Cu 2 : (1 im) Hai ng thng y = mx+m + \ và y = (m+2)x + m + 3 cùng i qua im
(-1;1). Mt khác ba ng này c h s góc khác nhau ôi mt nên ba ng
nói trên cùng i qua mt im khi và chi khi
Câu 3 (2 im)
1. (1 im) Khi a - - \ phng trình thành 4%/2* = 0 hay * = 0. Khi a*- ta c: Va 4 ( 2+ l) -2 (g + l)2= 2 (a - l) 2>0. Vy phnmg trình lunnn nngh iiT,
Vi mi a.
2. (1 im) t K= x + y ,v = xy (u2>: 4v). H tr thành
(*) Tìm X P<-\ (1 im): Vi iu kin trên ta có
1 / 2 2 ^ « m - - \1=-{m + \) + m <=>m -w -2 = 0 <=> 2.
B

I
H2+H-15-7>/3=0[u2- 2v =12
Phng trình w2tw-!-5-?n/3=0 c a = +4(15+ 7* 3)“ (?-{-2^ 3)'
Do tt = 3+V5 hoc w= -4->/3 .
Tng ng ta c V as 3>/3 hoc V = 3.5+ Ay/ (loi).
Vy ta có h « hay (*, j0=(3,>/3) [jy = 3>/3 v 7
hoc (*,;y) = (>/,).
Cu 4 (3 im)
hành, nên DC =OH. Ta có
nn
ADCO: ACOP.
giác ADEGyBGDF ni tip. T
trên suy ra OD1PC , o ó nm
im P,A,G,0,B cùng nm trên
ng tròn ng kính OP. T
KAED-KAPO (so le trong),
R APO -RAGD (t giác AGO? ni tip). Vy ADEG ni tip.
Tng t ta cng có
R FBG=K POG-K CDG. Do
BGDF ni tip. Vì vy các góc
AGE và GF là vuông.
29
B

I
Câu 5 (1 im) )t a=x+z,b éy +z vi àj> >0 v ab = \. Ta cn chng
minh bt rig thc satr
1 1 l \ Â ( * Y 4+l a+ Ar + Ar>4<&\ I + - - 4 - > 4 e » ^ 2- p 2
F - T V ° / _>2_
' a ^ 5 2 - U 2-
T bt ng thc Cuchy, bt ng thc cui cùng úng.
Mt li gi kh. Ta có (x+ z)2+(y + zý = (* - f +2 (*+z)(y+z). Do bt
ng thc cn chng minh tng ng vi
— 1— + - .(*7*)' - + _ 1 _>4. {x-y (z+x) \z+yf(+x)(z+y) '
/
È THI TUYN SINH
VÀO KHÓI TRUNG HC PH THÔNG CHUYÊN NÃM 2008 Môn th: Toán hc
(Dùng cho moi th sinh thi vào khi chuyên)
Thi gian àm bài: 50 pht Gâu 1 Cho biu thc:
p- *+fe u + b _ +_ _ 2 _ \ V(^-V*y ,v óia > 0,h > ,q *h. Vã+V.\a-b_ b--J0b- >[ãb-+a) ..... 2.................
1. Rút gn biu thc p .
2. Tìm a và b sao cho b = ( + 1}2 và P - - I .
Cu 2 Cho phng tình: +(m2 +l}»;+m = 2 vi m làtham so
1. Chng minh rng vi mi giá tr ca m, phng trình có hai nghim phân bit.
30
B

I
2. Gi 9 2 là các nghim ea phung trình, tìm tt c các giá £ ca
m sao cho
c ^ ----- ---------- — ----- — — ......... ........... : - - — — —
Cho tam giác ABC vuông ti c. Trên cnh AB ly im M tùy ý
(MÂ, M*B ). Ký hiu o , Oj, 0 2 ln lt là tâm ca các ng tròn hgi
tip các tam giác ABC, AMC, BMC.
1. Chng minh 4 im c , o ,, M, 0 2 cùng nm trên mt ng tròn (r.
2. Chng minh im 0 cng nàm trên ng tròn (r3. Xác nh v trí ca M ng tròn (r) có bán kính nh nht. Cu 4
Các s thc a , b , c , .(O& Tin ng thi các iu kin:
i ) a c - - c - - b 1 - 2 b
ii ' od - b - d = c2- ic iii) b* l , c * 1.
Chng minh ng thc: ad + b + c = bc + a + d .
‘u 5
Các s thc không âm X, y , z ô mt khác nhau và tha mãn: ( z + x ) ( z + y ) = 1 .
Chng minh bt ng thc:
1 1 1
ÁP ÁN
a + ba + b a + b b ____ a
V a + V ò * a - b - J ã - 4 b ) y f ã a + J )
\Ta-4b\
31
B

I
a+b / a+b Jb 4a \ -Ja+yfb\fc —b yfa + yfb J 2 ...
_ a+B a + b +*Jb(ja + jb}+ j aa —y/b) I* ——— gr —r 4ã..rjb . V---- ~b"—— -------- ————
a+ba-b -V.-V -Ja-^/b-â-yíb Jo, nua>b yfo+'sfb 2(+) 2 2 v —V,
Ghi chú: Nu th sinh thiu du gi tr tuyt i thì tr 0,5 im.
3. , 0 im) Do b = (a +1)2 > a nên p = -1
<=> V tf-y(<3-f-l)2 = - l o V — = 0<=>úf = l= > = 4.
Cu 2 (2,5 m)
1. (/, im} Phcmg trình-tng .ng vi: X2+ m2+ l]x + /?-2 = 0.
A = (w2 -flj2 — —2Ì = W4 + 2w2 — 4m +9 =7??4 _+2(m — 1)2-h 7_> 0 vi mi m.
2 .'im) Xj -É0 , x2 ò thì m &2.. ng thc ã cho
U u v . ........................----- .....................-....... ........ ........ ........ ...... . .......
bin i thành:
l { x * + x 22) - (x, + x 2) = XÌ 1 X 22 + 5 5 <=> 2 [(xj + x2y - 2 x ^ 2] ( * 1 + x 2 ) - x * x 22 - 5 5 =
(1) ...... ..........
Theo V ét X +*2 = -(m2 +l) Xj X j-m -2 , thay vào (1) ta c:
2m2 + ì f - 4(m-ì )+m 2 + l - (m - 2 ) 2 -55 = 0<=> lm2 +\ - 50 = 0 <=>m = -2
(do
2 ).
. ( l im) Ta có: ZCOjM = 2ZCAM, ZC 02M = 2ZCBM =>
Z C 01M + ZC02M = 2(ZCAM + ZCBM) = 180°=> 4 im c , 0 ] sM, 0 2 ;CÙng
thuc mt ng tròn (sr).
2. ,0 im) Do ý 1. và o hai tam gác COM, C02M cân ti Oj , 0 2
nên ZÓCÕ2 = Z0jM02 = 90°. Suy ra 0 j0 2 ià ng kính ca ng tròn
(#). Mt khác OO, 0 0 2 n lt là các rig trung trc cua cc ori AC,
BC và tam gic ABC vung ti c nên Z 0 j0 02 = 90°. Suy ra Oer).
3. (7 ,0 im) Gi 's R là bán kính ca (k), ta lôn có 2R > c o (không i). ng thc xy ra khi và ch khi c o là ng kính ca ), hay
ZCMO = 90°. Khi ó M là chân ng cao h t c ca tam giác ABC. Cu 4 (LOnì) Ta c:
a c - a - c = b2~ b < t > a c - a ~ c + l = b2~b + l o ( a - = ( b - 1)2, (1)
Tangt: b d -b -d = c2-c <£> {b-\d-\)-{c~\)2. (2)
Nhân v vi v ( 1) và (2), và theo gi thit b 1, và ' c j t 1 t nhn c ng
thc: (a “ iX^ ” 0 = 0 ~ lXc ~ 0 pd +£ +c = bc+a + d.
Cu 5 (1,0 im) t a ~ z + x, b = z + y , a>0, b > 0, "a = 1. Bt ng
thc tr thành
—£-—+£ • V S2. Theo bt-ng thc Cô Si ta có iu phi chng {a2- l f f ;
minh.
- ETHITYEN SENH yÀ KHI TRNG HC PH THÔNG CHUYÊN NM 2007
Môn thi: Toán (vòng 2) (Dng cho th sinh thi vào các p chuyên Toán và chuyên Tin)
Thi gian làm bài: 50 pht Cu 1 Cho các biu thc:
p = - . _* + 1 .1;Q= xa - 7 x 2 + 15 v i x > 0 , x2~
1. Rút gn p. 2. Vi giá tr nào ca X thi Q - 4P t giá tr nh nht ?
C au2:C ac sá. „x,.y-_thjLmãn-các ng thc:
* + 4 + * ==§. ...................
Hãy tính gi tr ca biu thc: A = X12 + x2y 2+yì2. Cu 3
1. Tim Mt c các s nguyên ng X, y sao cho* 2{x+y)+xy = x2 + y2 .
2. Cho tairi giác ABC c dài các cnh là a, b, c tha mãn a 2+ b2 >5c2. Chng minh: c < a và c < b.
Cau_4: Cho ng tròn (O) có tâm o và im A nm bên ngoài ng tròn. Qua A k hai ng thng ct ng tròn (O) ti các im B, c và D, E tng ng (B nm gia A và c, D nm gia A và E ^ n g thng qua D và song song vói BC ct ng òn (O) ti im th hai F. ng thng AF ct ng tròìi (O) ti diêm th hai G. Hai ng thng EG và BC ct nhau ti im M. Chng minh:
1. AM2 =MG.ME

AM 25AB + AC’ Câu 5 Sáu im phân bit thuc mt hình ch nht có dài các cnh ìà 3 cm và 4 cm (các im này c th nm bên trong hay trên cnh cùa hình ch
34
B

I
nht). Chng minh rng luôn tn ti hai im trong sáu im này mà khong
cách gia chúng nh hn hoc bng 4s cm..
. P N
CâjjQ (2 im)
1. im)
p = _ i ) . J E + U f i - i x + ^ + 1) >lx[x + jx + ]) x + v + l
= x - l .
l .im) Q-4 P =x4 -7 * 2+15 -4(x -l) = (x:2~ÀJ + (r -2 )2-1 >-1
ng thc xy ra khi và chi khi X= 2, khi ó min(Q-4P) = -*1
Kt qu: X« 2 Cu 2 (2 im)
Ta c ó : ................ ... ........................ ........ ................ -.. .
(x4 + x 2 y 2 + / I * 4 - x 2 y 2 + y 4 ) = x 4 + y 4J - x 4 y 4 = X 8 + x 4 y 4 + y 8 = 8 S u y
ra X4 - x 2y 2+ y 4 =2. (1) ( im).......
Kt hp giá thit v (1) suy ra XA+ y A= 3 và X2y 2 =1
Ta có A = {x4+y4Jx * -x4y 4+y*)+x2y 2
= 3 (*4 + y 4J - 3 x 4y 4 +1 = 19. ( im)
Cu 3 (2 im)
1. ( im) Ta có 2(x + 7 ) + rp =s jrz + y 1 <z>4x + 4y + 2xy = 2x2 + 2y2
< * ( x - y ) 2 + ( x - 2) 2 + 0 > - 2)2 = 8
Do X, nguyên dng nên ta có (r; ) = (4; 4), (4; 2), (2; 4). 2. (7 im) C th gi s a>b, T a<b -¥C và gi thit suy ra:
5c2 < b2 + {b + c f <=>( - cb + 2c) > 0 => b - £ > 0 => > c.
35
B

I
Câu 4 (3 im)
1. ,5 im) T ZMAG = ZAFD, ZAEM = ZDFA => ZMAG = ZAEM,
mà ZAMG=Z AME => idAMG - /áEAM AM MG . - . 2
=>m^r = 7 T 7 =i>AM! =EM.MG.(1)EM AM 2. (1,5 im) Ta c: MG.ME = MB.MC = (AB - AMXAC - AM)
K th p v i( l) suyra AM2= AB.AC-AM(AC + AB)+ AM2
A M B A C Cu 5 (1 im) Chi cnh AB thành 4 phn bng nhau và chia cnh AD thành 3 phn bàng nhau. Sau ó chia hình ch nht ABCD thành 5 a giác con nh hình v: A B
Nhn xét: Khong cách gia hai im bt k thuc mi a giác con nói
trên nh hn hay bng Vs cm. Theo nguyên lý i Rích Lê; luôn tn ti mt a giac con trong 5 a giác cha ít nht hai im trong 6 im ã cho. Ta nhn c iu phi chng minh.
B

I
È THI TYN SINH VÀO KHI TRUNG HC PH THÔNG CHUYÊN NÃM 2007
— :— ---- ------------ Môn thi: Toán (vòng 2 - d'b) “ (Dùng cho thí sinh thi vào cc lp chuyên Ton và chuyên Tin)
Thi gian àm bài: 150 phút
Cu 1
Tìm tt c các giá tr nguyên ca a và b sao cho a + b là mt nghim ca phng trình:
2 + + 0 .
Cu 2
Cho các s XJ, X2, x„ tha mãn các iu kin: X + x2 + ...+ x„ = 0; + + ...+ . Chng minh ràng tn ti hai s t rong các s , 2,
sao cho tích ca chúng không ln hn - - .
Câu 3
Chng minh rng, vi mi s t nhiên n > 1, gia r vá r luôn tìm c ba s t nhiên ôi mt khc nhau a, b, c sao cho ( +. b2 chia ht cho c.
Cu 4
Cho tam giác ABC c ABC = 100°, ACB = 65°. Cc m M, N theo th t thuc các cnh AB, AC sao cho MCB = 55°, NBC = 80Q. Hãy tính
NMC.
37
B

I
Mi im trên mt phng c t hoc màu xanh hoc màu . Chng minh rng, hoc tn ti mt tam giác u c cnh bng 1 vói ba nh
là ba im cùng màu hoc tn ti mt tam giác u c cnh bng y vi ba aim làba iêm cùng màu.
C u 5
THI TUYN SINH LP 10 CHUYÊN NÁM 2005 Môn: Toán 2
Ngày thi th hai: 15/06/2005Thi gian làm bài: 150 phut (Không k thòi gan phát )
í 3> í 0 X — — + X + - l . 2>1 1 2 J
+ (x +1) + (x + 2) , thc hin các phép
tính có th vit P(x) di dngP(x) = ax 3+ bx2+ cx + d .
Hãy tính tng s = a + b + c + d.
Câu 2. Cho 4 s ng a, b, c, . t
X = 2a+ b - 2Vcd, y = 2b + c - 2-v/dã
z = 2c + d- 2V ãb , t = 2 + a- 2V bc .
Chng minh rng trong 4 s X, y, z, t có ít nht ha s dng.
Câu 3. Tìm tt c các s nguyên ng n sao cho s T = 2n + 3n + 4n là bình phng.ca mt snguRr--—
Câu 4. Cho tam giác u ABC, E là mt im thuc cnh AC (E £ A), K là trung im ca on AE. ng thrig EF i qua E và vuông góc vi òng
thng AB (F 6 AB) ct ng thng i qua c và vuông góc vi ng thngBC ti im D. a./ Chng minh t giác bcKdh là hình thang cn " ' —
b./ Chng minh KE.EC = ED.EF c./ Xác nh v trí ca E sao cho on KD có dài nh nht.
B

I
Câu 5. Trên mt bàn có 2005 ng xú kích thc bng nhau, mi ng xu có hai mt: mt mt màu xanh* mt mt màu , tt c các ng xu u nga mt;Xanh ên t#n. Thc hin trò chi sau ây: mi lt chi phi i mt bn4j5ng XII nào ó trên m bàn. Hi sau 2006 lt chi c th nhâb c tt c 2005 ng xu trêá mt bàn u rig mt lên trên hay khng ? í thích ti sao.
ÁP ÁN
S=a + b + c + = P(l) = | - - I + 1-1 + 23+33 =
4
Câu 2. (2 im) (t vn phn chng dn n vic xét X + y + c 1 im.
Chng minh ' X + y + z > 0) c 1 im) Phn chng: Nu trong 4 s X, y, Z, t có không quá mt s omg thì
trong 4 s ny có ít nht 3 s nh hn hay bng 0. Không mt tính tng quát ta gi s X, y z < 0.
X + y + z < 0 => 2a + 3b + 3c + - 2>/c - 2Vdã ~2Vãb 0 (*)
Mt khác, theo bt ng thc côsi:
3 b + ià 2 V b , 3c+—£2-</cd, ^ +? > 2 ,l ^ d > 2 ^ d 3 3 3 3 V9
Cng v vi v các bt ng thc này ta c iu trái vi (*) :=> dfcm.
Câu 3. (2 im) (Ch ra n - tho mãn yêu cu bài toán c 1 m. Xét trng hp
n > 1 c 0,5 im; trng hp n chn c 0,5 im. Thí sinh có th công nhn các tính cht ca s chính phng khi chia cho 3 hoc cho 4)
---------—
• Vi n > 1, ta chng minh T không ià s chính phng Trc ht ta có nhn xét: Mt s chính phng khi chia cho 3 hoc 4 s d ch có th là 0 hay 1.
Chng minh nhn xét: Gi s m = s2 (s € N)
39
B

I
+ N s = 3k m : 3
+ Nu S= 3k + 1 => m cha cho 3 d 1 + Nu s = 3k + 2 m chia cho 3 d 2
Tròng hp m chia cho 4 tng t. gp cluns: ^Néu n chliL n = 2k Yk > 1ì thi
T = 22k+4 2k+32k = 4 k+ 42k+32k
Suy ra T chia ch 3 d 2 => T không là s chính phng.
Nu n l, n = k + (k > ) thì
T = 2.4k+4.42k +3 .9k
Suy ra T chia cho 4 d 3 T không là s chính phng.Vy n = 1 là giá tr cn tìm.
Câu 4. (3 im)
a./(7 im) AAFE vuông ti F, FK là trung tun nên FK = AK = KE
=> AAKF cân ti K. Theo gi thit FAK = 60° suy ra AAKF u=> AF = AK.
Mt khác AABC u (gt). VI Vy t giác BCKF là hình thãng cân.' b. (1 im)
Hai A: EFK và E c CFEK =CED (i nh), FK = ECD = 30°
=> AEFK ng dng vi AECO => — = — => KE.EC = ED.EF (fcm) ED EC
c./ (1 im) Do t giác BKCF là hình thang cân nên nó ni tip mt ng tròn. Mt khác F và C cùng nhìn BD di góc vuông nên 4 im B, c, F, D cùng thue ng tròn ng kính BD. Suy ra 5 im B,'C, D, K; F cùng thuc ng tròn ng kính BD. Suy ra ABKD vuông ti K.
Li DBK = DFK = 30° Tin KD = i BEX. Do DC 1 BC nên BD > DC. Suy ra 2
KD £~B C. ng thc xy ra o D s c o E s c . Vy khi E trùng vi c thì
--áon K P ngn nht.- ----- — __ _ — - _ ............. ; V -.........
40
B

I
Câu 5. (2 m)
_ (Khang nh không th xy ra trng hp c 2005 ng xu u nga mt lên trên c 1 im, gii thích ng c im)
Ta chng minh sau 2006 lt cho không th nhn c tt c 2005 ng xu trên mt bàn u nga mt o lên trên.
Ta thy sau lt chi th nht, trên mt bàn s có 4 ng xu nga mt
lên trên. Xét mt lt chi th k bt k, k > 2, gi s lt chi này ta it
n ng xu có mt xanh sang mt , 0 < n < 4. + Nu n = Gthì s ng xu có mt lên trên bàn s gim i 4. + Nu n = 1 thì s ng xu có mt trên bàn s gim i 2. + Nu n = 2 thì s ng xu có mt trên bàn không thay i. + Nu n = 3 thì s ng xu có mt trên bàn s tng lên 2. + Nu n = 4 thì s ng x có.mt trên bàn s tng lên 4. Suy r sau ln chi bt k, s ng xu có mt trên bàn luôn là s
chn. Vì vy sau mi ln choi s ng xu có mt xanh trên bàn luôn là s l. Vì vy sau 2006 ln chi, trên mt bàn luôn tn ti ít nht mt ng xu có
mt xanh (fcm), _________ _ ________
THI TUYN SINH LP 10 THPT CHUYÊN NÃM 2006
Môn: Toii (ành &ò"hgàýthith nht) Thi gián làm bài: 150 ihút (không ke thi giàn phát # ' ?
Câu 1. (1,5 im) Cho a, b, c i b s phi bit khác feông và tHâ-mãn iu kin a + b +
c = 0. n gin biu thc sau
P ( = 1 I -----+----- +----- \ b - c c - a a - b A a b c
Câu 2. (1,5 im) Tìm giá tr nh nht cùa biu thc T =(x + y)(x + z) trong ó X, , z là
ba s ng'thay i luôn tha mãn iu kin (x + y + z)xyz = 1
Câu 3. (2 im) xz = X + 4
Gii h phng trình 22 = lx z- 3 x - \4 . 2 2- .--5C.. .2 ..* T = 3 5 - V
Câu 4. (3,5 im) Cho ng tròn (C ) tâm o, ng kính AB. E là mt im nm trong
on OA; M là mt iri nm trong on EA; CD là dây cung vuông góc vi
ng kính AB ti im E. ng thng M Ct (C ) ti im N (khác imD). ng tròn (C J>tâm Oj , bán kuih ì , tip xúc vi (C ) ti im J thuc cung nh CN và tip xúc vi các ng thng CM và DN ti các im I và K tng ng. Bit AM = a ; ME = b ; EB = c.
L/ Chng minh rng tam giác OKM ng dng vi tam giác MEC. 2./ Tính dài các on OOj, KM và OM theo a, b, c và r. 3. Chng minh rng = I +i
Câu 5. (1,5 m)
Tìm các ch s , y, z, , u tha mãn iu kin xy + ztu = yjxyztu trong
ó , y là ch s hàng chc, n v ca s xy \ z, t, u là ch S hàng trm,
chc, n v ca só ztu\ X, , z , í , li là ch s hàrig vn, nghìn, trm, chc,
n v ca s xyztu.
42
B

I
p - 3 + - Ì - . A + — b - c c - a a - b
Trong ó A = + i ^ ; B = i ^ + ; C = + b c c a a b
Ta c
_ a f c - a _ a c2 - ac + ab- b2 b - c b - c \ b c J b - c bc
= f h f M - ac)- ^ - c2i _ ab - cja ~(b + c)]
(b - c)bc
............. ... _ 2a3............................. ... .............. abc
Do ó
= 3 + - ^ — \ { - b - c f + ò 3 + c 3 ] abc J
= 3+ -^ - .(-3 bc(b + c)) abc
= 3 + — .3bca = 9 abc
... ..... = * 2 + X Z + yx+ yz ______ _ ..... ; : ..
= xc + z + y) + yz
43
B

I
•M Xíz >® ; ;;V" *• •• v :
Chn y = z = 1 ^ <ii& kn j ttìri ^ fx (x + 2 )= i Tx + 2 r - ]== : .......
| x > 0 \x > 0
O J C - V 2 - 1 .
Do ó, vi * = V2 - 1 , y =z = 1 thì T = 2.
Vy giá tri nh nht ca T là minT = 2.Câu 3. (2 im)
xz = x + 4 (1)
2y2 = 7x z-3 x- \4 (2)
X2 + z 2 = 35 -> '2 _ (3)
Th (1) vào (2) ta c 2y2= 7(x -f 4) - 3x -1 4 = 4x + 14 c> 2=2x"+ 7(4)
Th (4) vào (3) ta c
X2 4- z2 = 35 - (2x + 7) = 36 - 2(x + 4) = 36 - 2xz ( o (1) ) o (x + z)2 = 36 o X+ z = ± 6
- Trng hp X+ z = 6 ta có z = 6 - X (5) th (5) vào (1) ta c
x( - x) = X + 4
<=> X2- 5x + 4 = 0 o X= 1 , X= 4 Vi X = 1, th vào (5) và (4) ta c
z = 6 - 1= 5
y2= 2.1 + 7 = 9 o y = ± 3 Vói x = 4, th vào (5) và (4) ta c
z = 6 - 4 = 2 ,
y2 = 2.4 + 7 = 15 o y = ± V5
- Trng hp x + z = - 6 t a c ó z = - 6 - x ( 6 )
44
B

I
x ( - 6 - x ) = X + 4
o X2 + 7x + 4 = 0 <=> X =
' —7 " Vói X = ------ ------- , th vào (4 ) ta có
2
2
7 “a/33 ^ y2 = 2 . ------ ------- + 7 = >/33 o y2 = - >/33, vô nghim.
V 2 /
—7 4- a/33 Vái X = ----- ^ — , t h í và o (4 ) và (6 ) ta có
2= 2. - 7 + 73 3'
+ 7 = 3 3 0 y = ± 3/33
-Z = - 6 -
áp s:
2 " 2
x = 1, y = ±3 , z = 5
x = 4, y = ± V5, z = 2
x = z l ± V 3 3 , 4/33 z = Z ~ L0 J o
Câu 4. (3,5 im)
1./ Có AMCD cân M nên Cj =MDC = ~KMC 1 2
MK và MK là hai tip tuyn ca (C J) nên = - A/C
Do hai tarn gic vuô ng O^KM và M EC ng dng vi nhau.
2./ Vì (C) và (C j) tip xúc vi nhau (hình 1) ti J và (C ) có bán kính
+ + - AA _ + + IIA = — --------- ripn 11(1 - _________*»
V ì A O KM ~ AMEC và CE là ng cao h xung cnh huyn ca
tam giác vuông C AB nên
45
B

I
=*KM= ^ £ 3 . bu .. .
O.M2= 0,K2+ KM2 = r2 + r2(? t b)c b 2
0 |M = —Vb2 +ac + bc
b3./ Vì M, = Cj nên OjM // CD, do ó tam giác OjMO vuông M, vì vy
^ 2 , r 2(a + b)c)>'
^ ‘ b/ \ / \ Mj = Cj nên OjM // CD, do ó tam giác OMO vuông OOj2= OM2 + OjM2
TJ fa + b + c ^ / a + b + cy f 2 r2(aHay ----- ----- r = ----- -------- a + r + — — l 2 J I 2 ) {
<=> - (a + b 4- c)r = -(a + b + c)a + a 2 +
o - (a + b + c)r = -(b + c)a + - - ac^ —
b o (ac + bc)r2 +b 2(a + b + c ) r - b 2a(b + c) = 0
o ó r là nghiêm dng ca phng trình bc hai sau ây
c(a + b)x2 + b2(a + b + c)x - b2a(b + c)= 0 phng trình này có hai nghim trái du, nghim dng là nghim ln
_ - b 2(a + b-f-c)-i-VÃ ........ 2c(a + b)
trong ó
A = b4(a + b + c)2+ 4b2ac(a + b)(b + c) = b2[b2(a + b + c)2 + 4ac(ab + b2+ bc + ac)]
----- — —— - ss b^bâ + b + c)2+"4acb(a + b+ c) 4a2c2] ----------- = b2[b(a + b + c) + 2ac ]2
do ó
B

I
Hình 2
Ch ý nu v ng tròn (C j) tip xúc ngoài vi (C ) (hình 2) thì gii tng ttacngcó:
2 , / O O ^ i l ì lÌ + r, k m = I ^ S , 0 IM = I V b 2 +ac + bc 2 b b
3./ r là nghim dng ca phng trình
c(a + b)x2 - b2 (a + b + c)x - b2a(b + c)= 0
^ _ b 2(a + b + c) + b(b(a + b + c) + 2ac) _ b(b + c) c
2c(a + b) c r b(b + c)
Câu 5. (1,5 im)
t a = xy , b= Z/Wthì iu kin ã cho có th vit li thành
a + 3 = ^Q Q Q a + k " .."
(a + b)2 = 1000(a + b) - 999b o (a + b)2 - 1000(a + b) + 999b = 0
o Xj = a + b là mt nghim ca phng trình X2- lOOOx + 999b = 0
Ký hiu x2là nghim còn li ca phng trình. Theo Viet ta có
B

I
P x j + x 2 = 1000- .( 1) x,x2 = 999b (2)
Vi 999 = 27.37 và vì 1000 * 0 (mod 3) , 1000 * 0 (mod 37) nên t
() và (2) suy ra ch có th xy ra hai kh nng: - Trong hai s X| , x2 có mt S là bi ca 27 và 37 (do ó là bi ca
999), s kia không chia ht cho 3 Và không chia ht cho 37. - Trong hai s X , x2 có mt s là bi cùa 27, s kia là bi ca 37. a.) Xét kh nng th nht: Vì phng trình bc hai ang xét có hai
ng hiê m dng nê n (1) su y ra X , x2 < 2.99 9 . D o ó nu Xj 1 999 (hay x2 >
999) thì Xj = 999 (hay x2 = 999), do ó (1) suy ra X, = 1 (tng ng Xj = 1)
và (2 ) suy ra b = 1 vô lý (vì b = ztu > 1). b.) Xét kh nng th hai:
- Nu X = 27m , x2 = 37n (m,n € z +)
thì (1) o 27m + 37n = 1000 n = 1 (mod 9) => n = 9k + 1
(1) o 27m + 37(9k + 0 = 1000 o 27m+37. k = 963
o 3mm + 37k = 107 (!')
=> k = 2 (mod 3) k = 3/ + 2 (le z +)
(V) o 3m + 37(9/ + 2) = 107 o 3 m + 37. 3k = 33
... .........: f/ = 0
x2 = 1000 - X = 1000 - 297 = 703
( 2 ) 0 27.11.703 = 27.37.b o b = 11.19 = 209
=>a = Xj - b = 297 - 209 = 88 =>x = y = 8 z = 2 , -t = 0 , u = 9.
- Nu X = 37n , x2 = 27m (m,n € z +) thì lp lun tng t ta có Xj = 703 ,
x2 = 297 , b = 2 09 ,a = 703 -209 = 494 vô lý (vì a= x < 100).
áp s: X= y = 8 , z = 2 , t = 0 , u = 9.
49
B

I
THI TUYN SINH LP 10 THPT CHUYÊN NM 2006 Môn: Toán (dành cho ngày thi th hai)
Thi gan làm bà: 150 phút (không k thi gian phát )
Câu 1. (2,5 im)
Gii phng trình (3x + 4).(x + ).(6x + 7)2 = 6 .
Câu 2. (1,5 im) Tìm tt c các cp s nguyên không âm X , y tha mãn phng trình
(y + l) 4 + y4 = (x + l)2+ X2 .
Câu 3. (1,0 im)Gi s Xi và x2 là hai s nguyên ng ã cho ; a và b theo th t là trung
bình công và trung bình nhân ca X! và x2 . Bit rng t s — là môt s b
nguyên dng. Chng minh rng X = x2. Câu 4. (4,0 iir)
Qio hi ng tròn (C j) v (Q ) ct nhau ti hai im A, B. Bit rng (Cj ) có tâm Oj và bán kính J = lem ; ( Q ) có tâm 0 2 và bán kính r2= 2cm ; AB = lcm và hai ín O j, 0 2 hai phía ca ng thng AB.
Xét ng thng (d) qua A, ct (Cj ) và (C2 ) ln lt ti các im M và N sao cho A nm trong on MN. Tip tuyn ca (Cj ) ti M và tip tuyn ca (Q ) ti N ct nhau ti im E.
1J Chúng minh rng t giác EMBN à t giác ni tip. 2./ Tính dài các cnh ca tam giác AOjC^.
3.1 Chng minh rng 2EM + EN < a + 4 i s ) cm. / .1 ^ * __ - ___ A T> T“« 1 1 X _ .4J Gi thit thêm rng ba im A , B, E thng hàng. Chng minh rng
(d) là ng phân giác ngoài ca góc J 2.
Câu 5. (1,0 im)
Cho X là mt tp hp gm 700 s nguên dng ôi mt khác nhau, mi s không ln hn 2006. Chng minh rng trong tp hp X lun tìm c hai
phn t X, y sao cho X —y thuc tp hp E = ( 3 ; 6 ; 9}.
50
B

I
Câu 1. (2,0 im)
(3x + 4)(x + l)(6x + 7)2 = 6 » (6x + 8)(6x + 6l)(6x + 7)2 = 72 t —7
t t = 6x + 7 o X = — , phng trình tr thành tltít + l)(t -1 ) s 72
o t2(t2 - 1) = 72 o t4 - 12 - 72 = 0 o (t2 —9).( t2 + 8) = 0 o t 2 = 9 o t = ± 3
Phng trình ã cho có hai nghim
x = — = — =~ h l = z l 6 3 ’ x 6 3 '
Câu 2. (1,5 im)
Ta có íy + l )4 = y4 4- 4y3 + 6y2 -r 4y + 1 nên phng trình ã cho tr thành
2y4 + 4y3+ 6y2+ 4y + 1 = 2x2+ 2x + 1o y4 + 2y3+ 3y2+ 2y = X2+ X o (y2 + y)2+ 2(y2 + y) = X2 + X <=> (y2 + y + 1)2= X2+ X+ 1 (1)
vi mi Xngúyên không âm ta có X2< X2+ X+ 1< X2 + 2x+ 1(2) o ó nu X, y nguyên không âm tha mãn (1) thì
(2) => X2< (y2+ y + l)2< (x + l)2
=> (y2 + y + I)2= (x + i) 2 => x2 + x +1 =( x + 1)2 do (1)
=> X = 0
thX = 0 vào (1) ta có (y2 + y + l)2= l o y2 + y + 1 = 1 <=> y(y + 1) = 0
<=> y = 0 áp s: X= y = 0 Câu 3. (1,5 im)
r;X+X 2 Z
(xjx2 = b 2 Vx]X2 =b
X , x2 là hai nghim ca phng trình, X2.-! 2ax + b2 = 0
chng minh Xj = x2 ta cn chng minh A' = a2 - b2 = 0
Theo gi thit — = là mt s nguyên dng, do ó b 2 ^ x } x 2
51
B

I
Xj + X : . / Xi + x ? -**7==== = n 'n é z su tá -y X X2 = —- € Q
2tJxjX2 V 2ri => XjX2 chi phng e z + => a = b.n € z +
Mt khác x u = a ± VÃ' nguyên dng, a ngu yên dotmg suy ra VÃ*
là s nguyên (không âm) => 3 m nguyên (> 0) sao cho
m = VÃ* = Va2 - b 2 =^/(bn)2 - b 2 = W n2 -1
=> >/n ^-i= H €Q=>7n2-i€ Z = > 3 k eZ (k> 0) sao cho >/n2 -1 = k b
=> n2 - 1 = k2 =>k2<n 2 = k2 + l k 2 + 2 k + l = ( k + l ) 2= ? > k < n sk + l
=> n = k + 1 => n2 = (k + l)2 => k2+ 1 = (k 4-1)2 => k = 0 => Vn2 - l = 0 =>VÃ' = bVn2 - l = 0 =>A'= 0 (pcm)
Câu 4. (4,0 im)
1./ Có MBAÊMN^-NO.A .. ............... ...............2 ................................. ....................
MBAÊMN^-MO. Al BN=NM = -NO,A 2 1 2 2
MBN = MBA + BN = EMN+ENM = m°-M E N
=> t giác EMBN là t giác ni tip.
2 J Cô Oh = OiB = = 1 cm = AB AOAB là tam giác u cnh bng 1 V3lem => AI = —cm , 0,1 = — cm 2 2
và 0 2I = J r 2 . A|2 = c r ^ c m . Do ó 0 , 0 2 = ^ í ^ H cm v 2 V 4 2 2
3./ Vì t giác EMBN là t giác ni tip nên theo nh lý Ptôlêmê ta có EM.BN + ENJBM = EB.MN ()
Mà hai tam giác BMN và A 0j02có
BMN = - O B = "ì° = OìO ì ; SMN = - OiB = 0 20 i
Do dó ABMN ~ AA0|02 ° “ . -- V
=> B N : B M : MN = A 02 : A O |: 0 0 2 = 2: 1:
52
B

I
nên (1) => 2EM + EN = EB. (2)
- K BH1 EN, ta c BH < EN á 2r 2 = 4cm => BE = 2BH <; 8 cm (3)
t (2) và (3) suy ra 2EM + EN < 4(73 + -Js) cm.
4./ Nu A, B, E thng hàng thì MBE = EMN+ MNE = NBE
+&foìA= N o2A = > m o l = n a o 2=>m a n = n a o 1
=> MN làphân giác ngoài ca góc O => (d) là phân giác ngoài ca 0A02
t T = {0 ; 3 ; 9}, ta thy T có tinh cht sau: nut, € T, t > u thì
t - u e E = {3; 6 ; 9}. Gi s , a2, a3 . . a700 là tt c các phn t tp X.
T gi thit ta có * .nu i * j.
Xét tp hp X = { ( t ; aj)| t e T , e X , i = 1,2, 3 , 7 0 0 }
Vì |T| = 3 , |X| = 700 nên X có 2100 phân t. Vi mi phn t (t; aj)e X ta
t tang ng vi tng t + ai. Vì 0 < t< 9 v à 1 <^< 2006 nên 1 < t + aj<2015, các tng t + aj ch có th nhn nhiu nht là 2015 giá tr khác nhau. Do ó tn ti hai phn t khác nhau (t; aj) và (u, aj) ca X sao cho t + = u + aj (1)
Nu t = u thì (1) => ==a3 (u aj) trái g thit (t; aj và (u; aj) là ha i phn t khác nhau ca x .
Nu t > u thì (1) => a. - a, = t - u e E Nu t < u thì (1) => a; - aj = u - 1 g E
Vy trong tp X ã cho uôn tìm c hai phn t X, y sao cho x~y £ E= {3; 6 ; 9).
53
B

I
, THI TUYÊN SINH
VO KHÓI TRUNG HG PH THÔNG CHUYÊN NÃM 2007Môn thi: Toán -X' í1;' (dmg cho moi thi sinh thi vào khi THPT chuyên)
Thòd gíah lm bai: iso phút
Gu 1 Cho a> 2, chng minh ng thc:
a 2 - 3a - ( a ~ ì ) y l a 2 - 4 + 2 a + 2 _ - a a 2 + 3 a ~ ( a +1 y j a 2 - 4 + 2 Va - 2 1+ a
Cu 2 Cho các hàm s: y - x 2, y = -x +2 1. Xác nh ta các giao im A, B ca th nhng hàm sã cho và ta trung im I ca on thng AB, bit rng A có hoành ng.
2. .Xác nh ta ca im M thc th c hàm s. y = X2 sao cho tam giác AMB cân ti M.
Cu 3 Cho phng trinh: X2+ 6x +6a - a2= 0, a là tham s. 1. Vi giá tr nào ca a thì phng trình có nghim?
2. Gi s xl,x2 là nghim câ phng trình. Hãy tìm giá tr ca sào chó JC2= X,3- 8 jc, .
Cu 4 Cho tam giác ABC cân ti . Mt ng tròn (O) có tâm o nm trong tam giác, tip xúc vi AB, AC ln lt ti X, Y và ct BC ti hai im, mt trong hai im này c kí hiu là z. Gi H là hình chiu vuông góc ca trên AZ. Chng minh rng: 1. Các t giác HXBZ,HYCZni tip. 2. HB, HC theo th t i qua trung im ca xz , YZ.
Câu 5 Gii phng trình: — 2 . . —
7~TTT = 3x - 6x - 3. (x + 2)
54
B

I
ÁP ÁN
Câu 1 (2 im) VT - (a-lXg - 2) - (a-Vg2- 4 p 2
_ ip + l p + 2)-cr i) 2 - 4 i d - 2 .
- ~ 2 /g ~~2 — + 2 ) + 2 I —£7 = (+l)Va + 2[>/a + 2 -V -2 jV a-2 = r+ ^
Câu 2 (2 im)
1. (/ im) Hoành giao im ca các th là nghim ca phng trình:
X2 = - x + 2<=>
JC. =1 => tng giao iêm X- "" J'
* = 1 => ta giao
), B (-2,4). Trng im I . ........ ........ .... ......V 2 2J ........
2. (i im) zlAMB cân ti M khi MI 1 AB =>M thuc ng thng d qua i và
-L vi AB. Do AB // y = -x nên // y = X , suy ra phng trình ca d có dng:
y = x + a. D o led nên - = - ~ + a=> a = 3=> : y = x + 3. 2 2
Hoành ca M là nghim ca phng trình:
X = X + 3 <=> =
-------lr(/ im) Phng-trnh- oé-fìghi m khi -v ch khi
=9-(6a-fir 2) 0 o ( a - 3 ) í S O o V a eR
2.(7 im) Theo Viet xl + x2= -6 =>x2= -6 - xr Thay vào ng thc
x2 = X J3 - 8x
ta c: X* - 7jc, + 6 = 0.4 1, x2= 2,*3 = -3
+) *! = 1=» a = - 1, = 7 (tha mãn),
+) *2 = 2 =>' a = - 2, a = 8 (tha mãn),.
+) *3~ - 3I> <3= 3 (tha mn) 1
Kt qu: a= - l,= 7,a= - = 3 . ,
Cu 4. (3 im)
1. (1,5 im) Ta có AXO = AYO = AHO =90° p X, Y, H cùng thuc
ng tròn ng kính AO > AHX = AYX. Do XY//BC p ACB = AYX = XBZ t> AHX=XBZí> T gi&

bỘ ĐỀ thi vÀo lỚp 10 chuyÊn toÁn - hÀ nỘi, 2012

Documents