Universidad de Castilla La Mancha

TEORA DE CIRCUITOSCURSO 2008/2009

Tema 8. Circuitos Magnticamente AcopladosRaquel Garca BertrandDepartamento de Ingeniera Elctrica, Electrnica, Automtica y Comunicaciones Escuela Tcnica Superior de Ingenieros Industriales

Contenidos1. Inductancias mutuas 2. Polaridad y criterio de puntos 3. Resolucin por mallas 4. Energa en un acoplamiento magntico 5. Circuitos equivalentes de bobinas magnticamente acopladas

2

ObjetivosEstablecer la relacin entre inductancia mutua y autoinductancia de bobinas acopladas magnticamente, y explicar el significado del acoplamiento unitario Aplicar el criterio de puntos para determinar la polaridad de la tensin inducida Escribir las ecuaciones en el dominio del tiempo y en aritmtica fasorial para un circuito con bobinas acopladas magnticamente Analizar circuitos con bobinas magnticamente acopladas empleando el mtodo de mallas Determinacin de la energa almacenada en un acoplamiento magntico Utilizar una red equivalente puramente elctrica para analizar un circuito en alterna con inductancia mutua3

Autoinduccin (repaso)Flujo concatenad o : = N [Wb] d Ley de Faraday : v = [V] dti+ V _

N vueltas

4

Autoinduccin (repaso)De la Ley de Ampere : = Ni

[Wb ]

: reluctancia magntica del medio atravesado por el flujo [A-v/Wb]i+ V _

N vueltas5

Autoinduccin (repaso)d d(N) d = =N v= dt dt dt d Ni di 2 v =N =N 2 dt 1L3 dt N2 Esto es : L = di v =L dt donde L es el coeficiente de autoinducc in6

1. Inductancias mutuas12i1+

i2+L1 L1

v1_

L2

L2

v2_

N1

N2

21

21

Debido a la corriente 2 Concatena el arrollamiento 1

7

Inductancias mutuasFlujo total que atraviesa cada bobina : 1 = L1 + 12 21 N1i1 L1 = k 1 N1i1 12 = (1 k 1 ) N1i1 N2i2 1 = (1 k 2 ) 2 = L2 + 21 12 N2i2 L2 = k 2 N2i2 21 = (1 k 2 ) N2i2 N1i1 2 = (1 k 1 )

Mismo ncleo y arrollamientos similares : (1 k 1 ) = (1 k 2 ) = k

8

Inductancias mutuasTensiones en las bobinas :2 di di N N di d1 N1 di1 v1 = N1 = k 1 2 2 = L1 1 M 2 dt dt dt dt dt d2 N2 di2 N1N2 di1 di2 di1 2 v 2 = N2 = k = L2 M dt dt dt dt dt

donde :2 N1N2 N1N2 2 M=k =k = k L1L 2 2

9

Inductancias mutuas y autoinduccin1 Mximo acoplamiento (no hay flujo disperso) L1 0 L2 0 por tanto k 1 M L1L 22 N1 L1 N2 L2 2

(mximo acoplamiento)Reluctancia del ncleo no es despreciable, L1 y L2 finitos

10

Inductancias mutuas y autoinduccin2 Mximo acoplamien to y material ferromagn tico k 1 0 por tanto L1 L2

11

Inductancias mutuas y autoinduccin3 Mximo desacoplam iento (no hay flujo mutuo) 12 0 21 0 por tanto k 0 M 0 (mximo desacoplam iento )2 N1 L1 N2 L2 2

12

2. Polaridad y criterio de puntos12i1+

i2+L1 L1

v1_

L2

L2

v2_

N1

N2

21M+v1

i1L1L2

i2

+v2

_

_

13

Polaridad y criterio de puntosSi los flujos tienen el mismo sentido: la tensin propia del arrollamiento y la inducida en el mismo se suman Si los flujos tienen sentidos opuestos: la tensin propia del arrollamiento y la inducida en el mismo se restan

14

Polaridad y criterio de puntosLa anterior realidad fsica equivale a: 1. Si la corriente entra en una bobina por el punto homlogo, la polaridad de la tensin inducida en la otra bobina es positiva en el borne marcado con un punto 2. Si la corriente sale de una bobina por el punto homlogo, la polaridad de la tensin inducida en la otra bobina es negativa en el borne marcado con un punto

15

Polaridad y criterio de puntosi1+ + di M 2 dt +

M+

i2+ di M 1 dt +

v1_ _

di L1 1 dt_

L1 L 2L2

v2

di 2 dt_

_

_

di1 di 2 v 1 = L1 +M dt dt di1 di 2 v2 = M + L2 dt dt

No se ve y no se puede aplicar la regla del tornillo criterio de puntos16

Polaridad y criterio de puntosi1+ _di2 dt

M+ _ +

i2+

v1_

M

di L1 1 dt_

L1 L 2

di 2 M di1 L2 dt dt_

v2_

+

+

di1 di 2 v 1 = L1 M dt dt di1 di 2 v2 = M L2 dt dt17

Polaridad y criterio de puntos

No hace falta saber la disposicin geomtrica de los arrollamientos18

Ejemplo 1Se hallan las expresiones de las tensiones en un circuito formado por tres bobinas acopladas dos a dos

I1

+

V1 jX1

jXM13

jXM12 jXM23I2

jX2

+

V2

-

I3

jX3

+

V3

-

19

Determinacin de bornes homlogosSE CONOCE LA DISPOSICIN DE LOS ARROLLAMIENTOS (Aunque no es lo usual)

AiA

A

C

B

D

iD

D

20

Determinacin de bornes homlogos1. Seleccinese arbitrariamente un borne de un arrollamiento y asgnesele un punto, por ejemplo D 2. Asgnese una corriente entrante iD al borne marcado 3. Emplese la regla del tornillo para determinar el sentido del flujo D originado por la corriente 4. Seleccinese arbitrariamente un borne (por ejemplo A) del segundo arrollamiento y asgnesele una corriente entrante iA21

Determinacin de bornes homlogos5. Emplese la regla del tornillo para determinar el sentido del flujo A originado por la corriente iA 6. Comprese el sentido de los flujos: (i) si los flujos tienen el mismo sentido, asgnese un punto al borne del segundo arrollamiento por donde entra la corriente, (ii) si los flujos tienen sentidos opuestos, asgnese un punto al borne del segundo arrollamiento por donde sale la corriente

22

Determinacin de bornes homlogosPROCEDIMIENTO EXPERIMENTAL v3 A v1 A ACOPLAMIENTO MAGNTICO B B

I

Si v < v , los bornes homlogos son A y B 3 1 Si v > v , los bornes homlogos son A y B' 3 1

23

Ejemplo 2Se comprueba por el procedimiento experimental que los bornes homlogos son los marcados. Se conoce que por la bobina 11 puede circular 1 A.

j2

A5 + j5

B3 + j3

A

B

24

3. Resolucin por mallasEl mtodo de las corrientes de mallas es el ms apropiado cuando existen acoplamientos magnticos

En rgimen estacionario sinusoidal es igual

25

Resolucin por mallas1) Escjanse arbitrariamente los sentidos de corriente en cada malla 2) La autoinduccin produce tensiones con la polaridad positiva en el terminal por donde entra la corriente (como un receptor) 3) Las tensiones asociadas a las inductancias mutuas vienen dadas por el criterio de puntos 4) Aplquese la Ley de Kirchhoff de tensiones a cada malla

26

Ejemplo 3R1M

+vgia

+di L1 a dtL1L2

_L2 dib dtM

_dia dtib

M

dib dt

R2

_

_

+

+

Ecuaciones de malla

di di v g + L1 a + M b + iaR1 = 0 dt dt i R + L dib + M dia = 0 2 b 2 dt dt

27

Ejemplo 3R1

I1

jM

I2

_VgjM I2

+jL1I1

+jL 2 I2

_jM I1

R2

+

_

_

+

En el dominio de la frecuencia

Vg + jL1I1 jM I2 + R1I1 = 0 R2 I2 + jL 2 I2 jM I1 = 0

28

Ejemplo 44H

i2

8

4 .5 H

6

vg

i1

9H

i3

20

29

Ejemplo 5j4 I2

5

j8

20

Vg

I1

j16

I3

60

30

4. Energa en un acoplamiento magnticoi1+

M

i2

+

v1_

L1

L2

v2 _

di1 di 2 v 1 = L1 +M dt dt di1 di 2 v2 = M + L2 dt dt

31

Energa en un acoplamiento magnticodi di di di p = v1i1 + v 2i2 = L1 1 + M 2 i1 + L 2 2 + M 1 i2 dt dt dt dt di1 di1 di2 di1 d(i1i2 ) di2 di2 p = L1 i1 + M i1 + i2 = L1 i1 +M + L 2 i2 + L 2 i2 dt dt dt dt dt dt dt 1 2 1 1 2 w = pdt = L1 i1di1 + M d(i1 i2 ) + L 2 i2di2 = L1i1 + Mi1i2 + L 2i2 2 2 2 0 0 0 0t t t t

32

Energa en un acoplamiento magnticoSi una corriente entra por el borne marcado y otra sale por el borne marcado 1 2 1 2 w (t ) = L1i1 + L 2i2 Mi1i2 2 2 En general 1 2 1 2 w (t ) = L1i1 + L 2i2 Mi1i2 2 2

33

Energa en un acoplamiento magnticoEn rgimen permanente sinusoidal :

i1 = 2 1 cos( t + 1 ) ; i2 = 2 2 cos( t + 2 )1 2 1 2 L1 2 w = L1i1 Mi1i2 + L 2i2 = 21 cos2 (t + 1 ) 2 2 22 L11 L 2 2 2 w= + M1 2 cos(1 2 ) 2 2

L2 M 21 2 cos(t + 1 ) cos(t + 2 ) + 2 2 cos2 (t + 2 ) 2 2

2 L11 L 2 2 2 + cos( 2t + 21 ) + cos( 2t + 2 2 ) M1 2 cos( 2t + 1 + 2 ) 2 2

Wmed

2 L11 L 2 2 2 = + M1 2 cos(1 2 ) 2 2

34

Ejemplo 6Hallar la expresin instantnea de la energa almacenada en las bobinas acopladas, as como las energas media, mnima y mxima almacenadas por dichas bobinas. La pulsacin de la fuente es de 100 rad/sI15 j4 10

I2 j3

+ -

185 V j4

j8

35

5. Circuitos equivalentes de bobinas magnticamente acopladasdi1 di 2 +M v 1 = L1 dt dt di1 di 2 +M v 2 = L2 dt dtR1 i1M

R2

+v1L1 L2

+

v2_

i2

_

36

Circuitos equivalentes de bobinas magnticamente acopladasR1L1 M L2 M

R2

+v1

i1M

i2

+v2

_

_

di di di di di v 1 = (L1 M) 1 + M 1 + 2 = L1 1 + M 2 dt dt dt dt dt di di di di di v 2 = (L 2 M) 2 + M 1 + 2 = L 2 2 + M 1 dt dt dt dt dt37

Circuitos equivalentes de bobinas magnticamente acopladasEquivalente en T_I1 jXM

_I2

_I1 jXM

_I2

+_V1 jX1 jX2

+_V2

+_V1 jX1 jX2

+_V2

(a)j(X 1 XM) j(X2 XM)

-

(b)j(X1 + XM ) j(X2 + XM )

-

+_V1

_I1 jXM

_I2

+_V2

+_V1

_I1

_I2 jXM

+_V2

(a)

-

(b)

38

Circuitos equivalentes de bobinas magnticamente acopladasEquivalente en Aplicando el equivalente estrella-tringulo:R1

a

bL1L 2 M M2

R2

+i1 v1

+v2 i2

L1L 2 M2 L2 M

_c

L1L 2 M L1 M

2

_d

39

Circuitos equivalentes de bobinas magnticamente acopladasEquivalente en Rgimen estacionario sinusoidalR12 j X1X 2 XM XM

(

)c2 M

a +

R2

I1 V1

j X1X2 X X2 XM

(

2 M

)

j X1X2 X X1 XM

(

)

+V2

I2

_ b d

_

40

Circuitos equivalentes de bobinas magnticamente acopladasEquivalente en _I1 jXM

_I2

_I1 jX M

_I2

+_V1 jX1 jX2

+_V2

+_V1 jX1 jX 2

+_V2

(a)j( X 1X 2 X 2 ) M XM

-

(b)j( X 1X 2 X 2 ) M XM

-

+_ _V1 I1

2 j( X1X 2 XM ) X 1 XM

+_ _I2 V2

+_ _V1 I1

2 j( X1X 2 X M ) X1 + X M

+_ _I2 V2

-

j( X 1X 2 X ) X2 XM2 M

-

-

j( X 1X 2 X ) X2 + XM2 M

41

(a)

(b)

Circuitos equivalentes de bobinas magnticamente acopladasEquivalente serieA jX1

_I

jX2

B

C

jX1

_I

jX2

D

jXM (a)

jXM (b)

A

j( X1 + X 2 + 2 X M ) (a)

B

C

j( X1 + X 2 2 XM ) (b)

D

42

Ejemplo 7j 1200

500 3000 Vo

j 100 I1

200

100

800

+j 3600 V1 j 1600

+I2

V2

j 2500

_

_

a) Emplese el circuito en T y calclese I1 e I2 b) Reptase a) con el borne homlogo de la bobina j1600 cambiado

43

Ejemplo 7a)j 2400 j 400

j 1200

44

Ejemplo 7V 300 V V + + =0 700 + j2500 j1200 900 j2100 V = 136.24 3.37 V 1 = 2 =500

300 V = 63.25 71.57 mA 700 + j2500 V = 56.6363.43 mA 900 j2100200 I1

j 100

j 2400

j 400

100

+j 1200 V

I2

3000 o V

800

j 2500

_45

Ejemplo 7b)j 4800 j 2800

j 1200

46

Ejemplo 7V 300 V V + + =0 700 + j4900 j1200 900 + j300 V = 56.57 98.13o V I1 = 63.25 71.57o mA I2 = 59.63 116.57o mA500 j 100

200 I1

j 4800

j 2800

100

+ j 1200 V

I2

3000 o V

800

j 2500

_47

BibliografaCaptulo 11: A. J. Conejo, A. Clamagirand, J. L. Polo, N. Alguacil. Circuitos Elctricos para la Ingeniera. McGraw-Hill. Madrid, 2004. ISBN: 84-481-4179-2 Captulo 6 y Apndice C: J. W. Nilsson, S. A. Riedel. Circuitos Elctricos. Sptima Edicin. Pearson Prentice Hall. 2005. ISBN: 84-2054458-848