bodee nyquist
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Resposta em frequência
Se a entrada é senoidal, a saída também é senoidal (após um transitório)de mesma frequência mas com fase e amplitude diferentes. A relação entre osinal de entrada e o de saída é dada por
H ( jω) = aH (ω)e jφH(ω) (1)
aH (ω) = |H ( jω)| (2)
φH (ω) = arg(H ( jω)) (3)
O número complexo H ( jω) pode ser representado por um vetor comcomprimento aH(ω) que forma um ângulo φH (ω) com o eixo-real.
Saulo O. D. Luiz, AMNLima/Controle Analógico/UFCG/DEE - 1
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Resposta em freqüência ...
Se u(t) =U0e jωt =U0 (cosωt + j sinωt) então
y(t) =∫ ∞
−∞h(τ)u(t − τ)dτ
=∫ ∞
−∞h(τ)U0e jω(t−τ)dτ =U0
∫ ∞
−∞h(τ)e jωte− jωτdτ
=U0e jωt
∫ ∞
−∞h(τ)e− jωτdτ
= u(t)H ( jω) = u(t) |H ( jω)|e jφ(ω)
y(t) =U0 |H ( jω)|e j(ωt+φ(ω)).
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Resposta em freqüência ...
u(t) =U0e jωt (4)
U0 cosωt =Re{u(t)} ,U0 sinωt = Im{u(t)} (5)
y(t) =U0 |H ( jω)|e j(ωt+φ(ω)) (6)
Re{y(t)}=U0 |H ( jω)|cos(ωt +φ(ω)) (7)
Im{y(t)}=U0 |H ( jω)|sin(ωt +φ(ω)) (8)
• Modificação de amplitude e fase.
• Variando ω em [0,∞) tem-se a caracterização do sistema |H ( jω)|e jφ(ω).
• Diagrama de amplitude e fase ou resposta em freqüência.
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Resposta em freqüência ...
H(s) = 5e−2s
10s+1(9)
H( jω) = 5e−2 jω
10 jω+1(10)
|H( jω)|= 5√
(10ω)2+1
(11)
∡H( jω) =−arctan(10ω)−2ω (12)
u(t) = sin(0.2t) (13)
|H( j0.2)|= 2.24,∡H( j0.2) =−1.51rad (14)
y(t) = 2.24sin(0.2t −1.51) (15)
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0 20 40 60 80 100-3
-2
-1
0
1
2
3
Tempo, t(s)
u(t)y(t)
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Aproximação de Padé
A função transcendental e−sT pode ser aproximada por
e−sT ≈ 1− T s2+ (T s)2
8− (T s)3
48+ · · ·
1+ T s2+ (T s)2
8+ (T s)3
48+ · · ·
(16)
e−sT =2− sT
2+ sT(17)
H(s) =5e−sT
10s+1≈ 5(2− sT )
(2+ sT )(10s+1). (18)
O sistema acima tem dois pólos estáveis mas apresenta um zero no semi-planodireito. Esse tipo de sistema é denominado sistema de fase não-mínima.
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Traçado assintótico
Se a função de transferência é dada por
H(s) = K(s+ z1)(s+ z2) · · ·(s+ zm)
(s+ p1)(s+ p2) · · ·(s+ pn)(19)
H(s) = Kz1z2...zm
p1p2...pn
·
(
1+ s 1z1
)(
1+ s 1z2
)
...(
1+ s 1zm
)
(
1+ s 1p1
)(
1+ s 1p2
)
...(
1+ s 1pn
) (20)
Considerando Kz1z2...zm
p1p2...pn= K0, então
H(s) = K0
(
1+ s 1z1
)(
1+ s 1z2
)
...(
1+ s 1zm
)
(
1+ s 1p1
)(
1+ s 1p2
)
· · ·(
1+ s 1pn
) (21)
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Forma de Bode: H(s) = K0
(1+ sτ1)(1+ sτ2) · · ·(1+ sτm)
(1+ sT1)(1+ sT2) · · ·(1+ sTn)(22)
Resposta em frequência:
H( jω) = K0
(1+ jωτ1)(1+ jωτ2) · · ·(1+ jωτm)
(1+ jωT1)(1+ jωT2) · · ·(1+ jωTn)(23)
Possíveis termos:
• K0( jω)L
• (1+ jωτ)±1
•[(
jωωn
)2
+2ζ jωωn+1
]±1
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1. Pólos na origem: K0( jω)L
Magnitude: 20log∣∣K0( jω)L
∣∣= 20logK0+20log
∣∣( jω)L
∣∣= 20logK0+20L log |ω|
Em ω = 1, a assíntota passa por 20logK0
ω0 7−→ 10ω0, mudança de +20L dB
{20logK0+20L log |10ω0|}−{20logK0+20L log |ω0|}= 20L log |10|+20L log |ω0|−20L log |ω0|= 20L
A assíntota é uma reta com variação de 20L dB por década
Fase: ∡(K0( jω)L) = ∡K0+∡( jω)L = 0◦+L ·90◦ = L ·90◦
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2jω= 2( jω)−1
Magnitude: 20log10
∣∣∣
2jω
∣∣∣= 20log10 |2|−20log10 | jω|= 20log10 2−20log10 ω
Fase: ∡( 2jω) =−90◦
20log 2
1 2-20 dB/dec
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2. Termo de primeira ordem: 1+ jωτ
Assíntota em baixas frequências ωτ ≪ 1, jωτ+1 ∼= 1
Assíntota em altas frequências ωτ ≫ 1, jωτ+1 ∼= jωτ
Frequência de corte ω = 1τ
Fase
Para ωτ ≪ 1, ∡1 = 0o
Para ωτ ∼= 1, ∡( jωτ+1)∼= 45o
Para ωτ ≫ 1, ∡ jωτ ∼= 90o
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Traçado assintótico - Década
20log | jωτ|= 20log |ωτ|= 20log |ω|+20log |τ|
Zero, zi, ω0 7−→ 10ω0, mudança de +20dB
20log | j10ω0τ|−20log | jω0τ|= 20log |10ω0|+20log |τ|−20log |ω0|−20log |τ|== 20log |10ω0|−20log |ω0|= 20log |10|=+20dB
Pólo, pi, ω0 7−→ 10ω0, mudança de −20dB
−20log | j10ω0τ|− (−20log | jω0τ|) ==−20log |10ω0|−20log |τ|− (−20log |ω0|−20log |τ|) ==−20log |10ω0|− (−20log |ω0|)=−20log |10|=−20dB
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Ex.: jω10+1, a frequência de corte ω = 1τ= 0.1
Para ω10 ≪ 1, jω10+1 ∼= 1, ∡1 = 0◦
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Para ω10 ∼= 1, ∡( jω10+1)∼= 45◦
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Para ω10 ≫ 1, jω10+1 ∼= jω10, ∡ jωτ ∼= 90◦
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3. Termo de segunda ordem:
[(jωωn
)2
+2ζ jωωn+1
]±1
k
s2+2ζωns+ωn2=
k
ωn2· 1
1+ s2ζωn+ s2
ωn2
k
ωn2· 1
1+( jωωn)2+ jω 2ζ
ωn
=k
ωn2· 1
1− ( ωωn)2+ j
2ζωωn
• Frequência de corte ω = ωn
• Assíntota em baixas frequências ω ≪ ωn,
[(jωωn
)2
+2ζ jωωn+1
]
∼= 1
• Assíntota em altas frequências ω ≫ ωn,
[(jωωn
)2
+2ζ jωωn+1
]
∼=−(
ωωn
)2
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• Para frequências maiores que a frequência de corte, o módulo muda+40dB/dec se o termo está no numerador, e −40dB/dec se o termo estáno denominador.
20logω2
ω0 → 10ω0
20log(102ω02)−20logω0
2 = 20log102 = 40
• A fase muda ±180◦
• A transição na frequência de corte depende do fator de amortecimento ζ
• Se o termo está no numerador, então |G( jωn)|= 2ζ
• Se o termo está no denominador, então |G( jωn)|= 12ζ
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Ex.
[(jωωn
)2
+2ζ jωωn+1
]
com ωn = 1
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Ex.
[(jωωn
)2
+2ζ jωωn+1
]−1
com ωn = 1
Saulo O. D. Luiz, AMNLima/Controle Analógico/UFCG/DEE - 21
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Expressão genérica
H ( jω) =K ∏Z
i=1 (1+ jωτi)
( jω)N∏J
j=1 (1+ jωτ j)∏Lk=1
[
1+2ζk
ωnkjω+
(jω
ωnk
)2] (24)
20log |H( jω)|= 20logK +20Z
∑i=1
log |1+ jωτi|−20log
∣∣∣( jω)N
∣∣∣−20
J
∑i=1
log |1+ jωτ j|
−20L
∑k=1
log
∣∣∣∣∣1+
(2ζk
ωnk
)
jω+
(jω
ωnk
)2∣∣∣∣∣
φ(ω) =Z
∑i=1
arctanωτi
︸ ︷︷ ︸zeros
−(
Nπ
2+
J
∑j=1
arctanωτ j +L
∑k=1
arctan
(
2ζkωnkω
ω2nk−ω2
))
︸ ︷︷ ︸pólos
(25)
Saulo O. D. Luiz, AMNLima/Controle Analógico/UFCG/DEE - 22
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Exemplo
G(s) =2000
(s+ 1
2
)
s(s+10)(s+50)=
2000 · 12(1+2s)
10 ·50s(1+ s10)(1+ s
50)
(26)
G( jω) =2
jω· 1+2 jω
(1+ jω10)(1+ jω
50)
(27)
Frequências de corte
ω10
ω 10ω
0.05 0.5 5
1 10 100
5 50 500
O eixo das frequências deve ser de 0.01 a 1000, ou seja, ter 5 décadas
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0,01 0,1 1 10 100 1000
0,01 0,1 1 10 100 1000
20
40
-20
90º
0º
-90º
-180ºSaulo O. D. Luiz, AMNLima/Controle Analógico/UFCG/DEE - 24
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0,01 0,1 1
20
10 100 1000
0,01 0,1 1 10 100 1000
2
-20dB/dec
40
-20
90º
0º
-90º
-180ºSaulo O. D. Luiz, AMNLima/Controle Analógico/UFCG/DEE - 25
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0,01 0,1 1 10 100 1000
0,01 0,1 1 10 100 1000
20
40
-20
90º
0º
-90º
-180º
0,5
20dB/dec
0,50,05 5
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0,01 0,1 1 10 100 1000
0,01 0,1 1 10 100 1000
20
40
-20
90º
0º
-90º
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-20dB/dec
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0,01 0,1 1 10 100 1000
0,01 0,1 1 10 100 1000
20
40
-20
90º
0º
-90º
-180º
-20dB/dec
50
505 500
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0,01 0,1 1
20
10 100 1000
0,01 0,1 1 10 100 1000
2
-20dB/dec
40
-20
90º
0º
-90º
-180º
0,5
0,50,05 5
50
50 500
Saulo O. D. Luiz, AMNLima/Controle Analógico/UFCG/DEE - 29
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0,01 0,1 1
20
10 100 1000
0,01 0,1 1 10 100 1000
2
-20dB/dec
-20dB/dec
-40dB/dec
40
-20
90º
0º
-90º
-180º
0,5
0,50,05 5
50
50 500
10
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0,01 0,1 1
20
10 100 1000
0,01 0,1 1 10 100 1000
2
-20dB/dec
-20dB/dec
-40dB/dec
40
-20
90º
0º
-90º
-180º
0,5
0,50,05 5
50
50 500
10
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-40
-30
-20
-10
0
10
20
30
40
Mag
nitu
de (
dB)
10-2
10-1
100
101
102
103
-180
-135
-90
-45
0
Pha
se (
deg)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
Saulo O. D. Luiz, AMNLima/Controle Analógico/UFCG/DEE - 32
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Sistemas com atraso
L [ f (t −a)] = e−asF (s) (28)
Considere um sistema com função de transferência H(s) = e−as. EntãoH( jω) = e− jωa e
|H( jω)|=∣∣e− jωa
∣∣= 1 (29)
Um atraso no tempo meramente desloca o sinal no tempo e não modifica amagnitude do sinal
∡H( jω) = ∡e− jωa =−ωa (rad) (30)
T =1
f=
1ω2π
(31)
−a
T2π =−ωa
2π2π =−ωa (32)
Saulo O. D. Luiz, AMNLima/Controle Analógico/UFCG/DEE - 33
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Exemplo: H(s) = e−34·
2π10s
u(t) = sin(10t) (33)
−a
T2π =−
34· 2π
102π10
2π =−3
42π (rad) =−270◦ (34)
Saulo O. D. Luiz, AMNLima/Controle Analógico/UFCG/DEE - 34
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Exemplo: H(s) = 5 e−2s
10s+1
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Sistemas de Fase Mínima
• Sistemas de Fase mínima: não apresentam zeros no semi-plano direito
• Sistemas de Fase não-mínima: apresentam zeros no semi-plano direito
– A fase é maior do que se todos os polos e zeros estivessem no semi-planoesquerdo
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Ex. G1(s) = 10 s+1s+10
, G2(s) = 10 s−1s+10
G1(s) =10(s+1)
(s+10)= 10
(1+ s)
10(1+s
10)=
1+ s
1+s
10
G1( jω) =1+ jω
1+jω
10
; G2( jω) =−1+ jω
1+jω
10
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Correlação Freqüência x Tempo
H(s) =ω2
n
s2+2ζωns+ω2n
(35)
y(t) = L−1
[
H(s)1
s
]
= 1− e−σt
(
cosωdt +σ
ωd
sinωdt
)
(36)
σ = ζωn,ωd = ωn
√
1−ζ2,0 ≤ ζ ≤ 1 (37)
tp =π
ωd
(38)
Mp = exp
− πζ
√
1−ζ2
(39)
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Ressonância
Por outro lado a resposta em freqüência desse mesmo sistema é calculadapor
H( jω) =1
(
1− ω2
ω2n
)
+2 jζ ωωn
. (40)
O pico da resposta em freqüência ocorre na freqüência de ressonância
d
dω|H ( jω)|= 0 ⇒ ωr = ωn
√
1−2ζ2 (41)
para valores de 0 < ζ ≤√
22
.
Saulo O. D. Luiz, AMNLima/Controle Analógico/UFCG/DEE - 40
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Ressonância ...
Na freqüência ω = ωr a expressão
(
1− ω2
ω2n
)2
+
(
2ζω
ωn
)2
(42)
é mínima e valor do ganho do sistema vale
Mr = |H( jω)|ω=ωr=
1
2ζ
√
1−ζ2. (43)
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Banda Passante
10−2
10−1
100
101
102
−80
−70
−60
−50
−40
−30
−20
−10
0
10
log(ω) (rad/s)
20lo
g(|H
(jω)|
) (d
B)
ωBW
0dB
10dB − 3dB
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H(s) =ω2
n
s2+2ζωns+ω2n
(44)
|H( jωBW)|= 1√2|H(0)| ⇒ ωBW
ωBW = ωn
√
(
1−2ζ2)
+
√(
1−2ζ2)2
+1
e
φBW =−180◦+ tan−1
2ζ
√(
1−2ζ2)
+
√(
1−2ζ2)2
+1
−2ζ2+
√(
1−2ζ2)2
+1
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Margem de fase
1+KG(s)H(s) = 0 ⇒ KG(s)H(s) =−1 ⇒{
|KG(s)H(s)|= 1
∡(KG(s)H(s)) =±180◦ (2l +1)(45)
|KG(s)H(s)|= 1 ⇒ 20log10 |KG(s)H(s)|= 0
{|KG(s)H(s)|= 1
∡(KG(s)H(s)) =±180◦ (2l +1)(46)
Fazendo s = jω:
{|KG( jω)H( jω)|= 1
∡(KG( jω)H( jω)) =±180◦ (2l +1)(47)
Essas equações são satisfeitas pelos pontos no eixo imaginário quepertencem ao lugar das raízes.
Saulo O. D. Luiz, AMNLima/Controle Analógico/UFCG/DEE - 44
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Exemplo: L(s) = 1
s(s+1)2
K<2
K=2 K>2
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Exemplo: L(s) = 1
s(s+1)2
Nesse caso, se o ganho K > 2, o sistema é instável. Para o sistemaestudado, em que o aumento do ganho causa instabilidade e |KL(s)| cruza0dB apenas uma vez, a condição de estabilidade é
∠KL( jωc)>−180◦ para ωc em que 20log10 |KL( jωc)|= 0 (48)
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Margem de fase
Considere um sistema com função de tranferência de malha aberta L(s)
Nos diagramas de Bode, determinar a frequência de cruzamento do ganhoωc
1) Se ∠L( jωc) <−180◦ , então o sistema é instável
2) Se ∠L( jωc) =−180◦ , então o sistema é marginalmente estável
3) Se ∠L( jωc)>−180◦ , então o sistema é estável
Seja ∠L( jωc) = φc, e φc > −180◦ . Então γ = φc − (−180◦) = φc + 180◦ é amargem da fase
Saulo O. D. Luiz, AMNLima/Controle Analógico/UFCG/DEE - 48
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Saulo O. D. Luiz, AMNLima/Controle Analógico/UFCG/DEE - 50
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Para o sistema
H(s) =ω2
n
s(s+2ζωn). (49)
|H ( jωc)|= 1 (50)
para
ωc = ωn
√√
1+4ζ4−2ζ
2 (51)
eφ(ωc) =−(∡ jωc+∡( jωc+2ζωn)) (52)
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Margem de fase ...
φ(ωc) =−π
2− arctan
(ωc
2ζωn
)
(53)
φ(ωc) =−π
2− arctan
√√
1+4ζ4−2ζ
2
2ζ
(54)
ts =4
ζωn
(55)
φ(ωc) =−π
2− arctan
(ωcts
8
)
(56)
Saulo O. D. Luiz, AMNLima/Controle Analógico/UFCG/DEE - 52
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Margem de fase ...
PM = ∠L( jωc)+180
|L( jωc)|= 1
PM =π
2− arctan
(ωcts
8
)
(57)
tan(π
2− x)
= cot(x) =1
tan(x)(58)
tan(PM) =8
ωcts(59)
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Margem de fase ...
PM = ∠L( jωc)+180
|L( jωc)|= 1
PM =π
2− arctan
√√
1+4ζ4−2ζ
2
2ζ
(60)
PM = arctan
2ζ√√
1+4ζ4−2ζ
2
(61)
PM ≈ 100ζ para 0◦ ≤ PM ≤ 60◦ (62)
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Margem de ganho
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![Page 56: Bodee nyquist](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022021918/58ae3ee51a28abad338b4c5f/html5/thumbnails/56.jpg)
Considere um sistema com função de transferência de malha aberta L(s)
ω180◦ é a frequência tal que ∠L( jω180◦) =−180◦
Para que ele seja estável, é necessário respeitar ωc < ω180◦ para ter∠L( jωc) >−180◦
Considere que o ganho de malha aberta será multiplicado por um fator Kg,resultando na FTMA KgL(s)
Qual o valor de Kg em que o sistema se torna marginalmente estável?
Note que 20log |L( jω180◦)|< 0
20log |KgL( jω180◦)|= 0 ⇒ |KgL( jω180◦)|= 1 ⇒ Kg |L( jω180◦)|= 1 ⇒
⇒ Kg =1
|L( jω180◦)|é a margem de ganho
Margem de ganho em dB:
20logKg = 20log1
|L( jω180)|=−20log |L( jω180)| (63)
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Desse modo, para o sistema de segunda ordem H(s) = ω2n
s(s+2ζωn), a margem
de ganho é ∞ já que a fase tende assintoticamente para −180◦
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Kg =1
|L( jω180◦)|⇒ |L( jω180◦)|= 1
Kg
γ = φc− (−180◦) = φc+180◦
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Constantes de Erro - Cp, Cv e Ca
10−1
100
101
−60
−50
−40
−30
−20
−10
0
10
20
30
log(ω) (rad/s)
20lo
g(|H
(jω)|
) (d
B)
Cv
ω=1
Os valores das constantes de erro de regime permanente (Cp, Cv e Ca)podem ser determinadas diretamente dos Diagramas de Bode, a partir dainterseção da assíntota de baixa freqüência com a linha vertical traçada emω = 1.
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H(s) =k(1+ sτ1)...(1+ sτn)
sN(1+ sT1)...(1+ sTm−N)
• N = 0 : tipo 0
• N = 1 : tipo 1
• N = 2 : tipo 2
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![Page 61: Bodee nyquist](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022021918/58ae3ee51a28abad338b4c5f/html5/thumbnails/61.jpg)
H(s) =k(1+ sτ1)...(1+ sτn)
(1+ sT1)...(1+ sTm−N)
Constante de erro estático de posiçao Cp = lims→0 H(s) = k
Quando ω → 0 , a FTMA tende a G( jω) = k
Quando ω = 1 rad/s : 20log |G( j1)|= 20logk
Saulo O. D. Luiz, AMNLima/Controle Analógico/UFCG/DEE - 61
![Page 62: Bodee nyquist](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022021918/58ae3ee51a28abad338b4c5f/html5/thumbnails/62.jpg)
H(s) =k(1+ sτ1)...(1+ sτn)
s(1+ sT1)...(1+ sTm−N)
Constante de erro estático de velocidade Cv = lims→0 sH(s) = k
Quando ω → 0 , a FTMA tende a G( jω) =k
jω
Quando ω = 1 rad/s : 20log |G( j1)|= 20log
∣∣∣∣
k
j1
∣∣∣∣= 20logk
Saulo O. D. Luiz, AMNLima/Controle Analógico/UFCG/DEE - 62
![Page 63: Bodee nyquist](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022021918/58ae3ee51a28abad338b4c5f/html5/thumbnails/63.jpg)
H(s) =k(1+ sτ1)...(1+ sτn)
s2(1+ sT1)...(1+ sTm−N)
Constante de erro estático de aceleração Ca = lims→0 s2H(s) = k
Quando ω → 0 , a FTMA tende a G( jω) =k
( jω)2
Quando ω = 1 rad/s : 20log |G( j1)|= 20log
∣∣∣∣
k
( j1)2
∣∣∣∣= 20logk
Saulo O. D. Luiz, AMNLima/Controle Analógico/UFCG/DEE - 63
![Page 64: Bodee nyquist](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022021918/58ae3ee51a28abad338b4c5f/html5/thumbnails/64.jpg)
Saulo O. D. Luiz, AMNLima/Controle Analógico/UFCG/DEE - 64
![Page 65: Bodee nyquist](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022021918/58ae3ee51a28abad338b4c5f/html5/thumbnails/65.jpg)
Tipo 0 Degrau Rampa Parabola
Fórmula 1/(1+Cp) 1/Cv 2/Ca
Constante Cp 6= 0 Cv = 0 Ca = 0
Erro 1/(1+Cp) ∞ ∞
Tipo 1 Degrau Rampa Parabola
Fórmula 1/(1+Cp) 1/Cv 2/Ca
Constante Cp = ∞ Cv 6= 0 Ca = 0
Erro 0 1/Cv ∞
Tipo 2 Degrau Rampa Parabola
Fórmula 1/(1+Cp) 1/Cv 2/Ca
Constante Cp = ∞ Cv = ∞ Ca 6= 0
Erro 0 0 2/Ca
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![Page 66: Bodee nyquist](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022021918/58ae3ee51a28abad338b4c5f/html5/thumbnails/66.jpg)
Critério de Nyquist
F(s) é uma função s ∈ C. Para s0 ∈ C, F(s0) ∈ C, cujo módulo, |F(s0)|, e afase, ∠F(s0), dependem de s0. Se s0 ∈ Γs (percurso fechado) então F(s0) ∈ ΓF(s)
(percurso fechado).
A forma da curva descrita por ΓF(s) muda quando muda a forma de Γs e aexpressão de F(s). Se s0 ∈ Γs e
F(s) = ks+a
(s+b)(s+ c)(s+d),k > 0,a > 0,b > 0,c > 0,d > 0 (64)
então F(s0) ∈ ΓF(s).
Saulo O. D. Luiz, AMNLima/Controle Analógico/UFCG/DEE - 66
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- 4 - 2 0 2 4 6- 3
- 2
- 1
0
1
2
3
4
5
s0
sΓ
F(s)Γ
C
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Teoria ...
Considerando este fato pode-se demonstrar que o número de voltas queΓF(s) dá em torno da origem é vinculado ao número de singularidades (pólos ezeros) situadas no interior da curva fechada Γs. De fato, sendo mais explícitopode-se afirmar que quando o ponto de teste s0 percorre a curva Γs no sentidohorário, a variação angular total da fase de F(s) considerada positiva no sentidotrigonométrico é igual a
∆ = 2π(P−Z), (65)
com P e Z sendo o número de pólos e o número de zeros (contada suasmultiplicidades) da função F(s) situados no interior de Γs. Dito de outramaneira, o número de voltas T que o lugar geométrico ΓF(s) efetua, no sentidotrigonométrico, em torno da origem do plano complexo é dada por
T = P−Z (66)
Saulo O. D. Luiz, AMNLima/Controle Analógico/UFCG/DEE - 68
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Convenções básicas
Antes de prosseguir convém destacar as três convenções básicasempregadas na seqüência deste desenvolvimento. A primeira delas é que acurva fechada Γs será sempre percorrida no sentido horário. A segunda é queos ângulos são medidos no sentido trigonométrico (anti-horário). A terceira éque a função F(s) é do tipo racional expressa como
F(s) = k∏m
i=1(s+ zi)µi
Πni=1(s+ pi)νi
= k(s+ z1)
µ1(s+ z2)µ2 · · ·(s+ zm)
µm
(s+ p1)ν1(s+ p2)ν2 · · ·(s+ pn)νn(67)
onde k é um ganho, µi e νi são as multiplicidades dos zeros e pólosrespectivamente. Os pólos e zeros podem eventualmente ser reais oucomplexos. Os pólos complexos aparecerão sempre juntamente com seusconjugados. Sem perda de generalidade consideraremos que
µ1 = · · ·= µm = ν1 = · · ·= νn = 1 (68)
n ≥ m (69)
Saulo O. D. Luiz, AMNLima/Controle Analógico/UFCG/DEE - 69
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Pólos e zeros
Dado um ponto de teste, s0, a fase de sua imagem, F(s0), pode ser calculadapor
Φ = Φz−Φp (70)
ondeΦz = ∠(s0+ z1)+∠(s0+ z2)+ · · ·+∠(s0+ zm) (71)
Φp = ∠(s0+ p1)+∠(s0+ p2)+ · · ·+∠(s0+ pn) (72)
No caso de existirem zeros ou pólos múltiplos, a multiplicidade deve serlevada em consideração. Por exemplo, se zi é um zero de multiplicidade µi, suacontribuição angular em Φz é
µi∠(s0+ zi) (73)
Saulo O. D. Luiz, AMNLima/Controle Analógico/UFCG/DEE - 70
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Pólos e Zeros ...
Cada termo de Φz (Φp) é calculado computando-se o ângulo entre a retareal (segmento 0x) e o vetor −→zis0 (−→pis0). Este ângulo é representado por (0x,−→zis0)e, deste modo
Φz = (0x,−→z1s0)+(0x,−→z2s0)+ · · ·+(0x,−−→zms0) (74)
Φp = (0x,−−→p1s0)+(0x,−−→p2s0)+ · · ·+(0x,−−→pns0) (75)
O valor da variação de fase ∆Φ de F(s) é igual à soma das variações decada termo de Φz e Φp quando s0 percorre uma curva fechada Γs no sentidohorário. Antes de chegar a uma conclusão genérica analisa-se a contribuiçãode cada termo.
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Contribuição dos zeros de F(s)
x0z1
s0
Γ s
Veja animação em $ https://sites.google.com/a/ee.ufcg.edu.br/controle-analogico/home/2014-2/animacoesnyquist $
• Zero fora do percurso fechadoΓs:
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Neste caso ∆(0x,−→z1s0) = 0.
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Contribuição dos zeros de F(s)
x0
z1
s0
Γ s
• Zero dentro do percurso fechado Γs:Neste caso ∆(0x,−→z1s0) =−2π.
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Contribuição dos zeros de F(s)
• Considerando que Z representa o número de zeros no interior de Γs (z1, z2,· · · ,zk), então a soma das variações dos termos relativos aos zeros vale
∆(0x,−→z1s0)+∆(0x,−→z2s0)+ · · ·+∆(0x,−→zks0) =−2πZ (76)
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Contribuição dos polos de F(s)
x0p1
s0
Γ s
• Pólo fora do percurso fechado Γs:Neste caso ∆(0x,−−→p1s0) = 0.
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Contribuição dos polos de F(s)
x0
s0
Γ sp1
• Pólo dentro do percurso fechado Γs:Neste caso ∆(0x,−−→p1s0) = 2π.
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Contribuição dos polos de F(s)
• Considerando que P representa o número de pólos no interior de Γs (p1, p2,· · · ,pk), então a soma das variações dos termos relativos aos pólos vale
∆(0x,−−→p1s0)+∆(0x,−−→p2s0)+ · · ·+∆(0x,−−→pks0) = 2πP (77)
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Pólos e Zeros ...
• Se Z e P são respectivamente os números de zeros e pólos de F(s)circundados por Γs então
∆Φ = 2π(P−Z) (78)
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Aplicação
A utilização prática dos resultados anteriores requer, inicialmente, quea função F(s) dos desenvolvimentos anteriores seja igual ao polinômiocaracterístico do sistema de controle. Desta forma, os resultados acima podemser aplicados na análise de sistemas de controle em malha fechada.
Neste caso tem-se que
F(s) = 1+G(s)H(s) (79)
onde
G(s)H(s) = k∏m
i=1(s+ zi)µi
Πni=1(s+ pi)νi
(80)
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representa a função de transferência de malha aberta de um sistema decontrole com realimentação unitária.
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Aplicação ...
O segundo passo é a definição do percurso Γs que será utilizado para avaliarF(s). O percurso Γs que é empregado para fins práticos foi proposto em 1945por H. Nyquist e é especificado como segue:
• Uma reta paralela, do lado direito do plano complexo, ao eixo imaginário. Adistância entre esta reta e o eixo imaginário é infinitesimal.
• Uma semi-circunferência de raio infinito no lado direito do plano complexo.O centro desta semi-circunferência fica sobre o eixo real a uma distânciainfinitesimal da origem.
O percurso assim definido é denominado percurso de Nyquist (Γn) e envolvequalquer zero ou pólo que tenha parte real positiva.
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ε
R
Γn
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Percurso de Nyquist
Quando s0 percorre Γn é necessário distinguir duas situações:
• Quando s0 percorre a reta paralela no sentido horário, s0 ∈ ( j0, j∞), aimagem descreve o lugar geométrico de 1+G( jω)H( jω) que é completadopelo seu lugar simétrico em relação ao eixo real 1+G(− jω)H(− jω) coms0 ∈ (− j∞, j0).
• Quando s0 percorre a semi-circunferência no sentido horário s0 = Re jθ (R → ∞e θ ∈ [π/2,0]), para o caso das funções consideradas (racionais, próprias ouestritamente próprias) não há variação de fase da imagem. Se G(s)H(s) éprópria então
lims→∞
F(s) = 1+ lims→∞
G(s)H(s) = 1+ k (81)
por outro lado, se G(s)H(s) é estritamente própria então
lims→∞
F(s) = 1+ lims→∞
G(s)H(s) = 1 (82)
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Percurso de Nyquist ...
Se o diagrama de Nyquist de 1 + G(s)H(s) circunda a origem, então odiagrama de Nyquist de G(s)H(s) circunda −1 no eixo real.
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Percurso de Nyquist ...
1+G(s)H(s) = 1+b(s)
a(s)=
a(s)+b(s)
a(s)(83)
As raízes de a(s)+b(s) = 0 são os polos de malha fechada
As raízes de a(s) = 0 são os polos de 1+G(s)H(s) e de malha aberta
Os polos de 1+G(s)H(s) são também os polos de G(s)H(s)
Os polos de malha aberta em G(s)H(s) são conhecidos
Se não há polos de G(s)H(s) no semi-plano direito (P = 0), e o diagramade Nyquist de G(s)H(s) circunda −1 no eixo real, verifica-se a partir de ∆Φ =2π(P−Z) que há Z zeros de 1+G(s)H(s) no semi-plano direito, ou seja, polosdo sistema em malha fechada no semi-plano direito
Reformulando a conclusão anterior pode-se dizer que se
Z = número de zeros de 1+G(s)H(s) com parte real positiva (84)
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P = número de pólos de 1+G(s)H(s) com parte real positiva (85)
ou equivalentemente
P = número de pólos de G(s)H(s) com parte real positiva (86)
contadas as respectivas multiplicidades, então a variação de fase de 1 +G( jω)H( jω) quando ω cresce de −∞ a +∞ vale
2π(P−Z) no sentido anti-horário (87)
Considere N voltas no sentido horário
N = Z −P ⇒ Z = N +P (88)
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Percurso de Nyquist ...
As funções G(s)H(s) e 1+G(s)H(s) tem os mesmos pólos.
O envolvimento da origem para 1 + G( jω)H( jω) é equivalente aoenvolvimento do ponto de −1+ j0 para G( jω)H( jω).
A estabilidade de um sistema de controle em malha fechada poder serdeterminada a partir do exame dos envolvimentos do ponto −1+ j0 do lugargeométrico de G( jω)H( jω).
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Critério
Definida a função do ramo direto G(s)H(s) de um sistema realimentado arelação
Z = N +P (89)
determina o número Z de zeros instáveis de 1+G(s)H(s) em função do
1. número de pólos instáveis P de G(s)H(s)
2. número de envolvimentos N que G( jω)H( jω) faz em torno do ponto −1+ j0
no sentido horário
Um sistema de controle é dito estável se Z = 0
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Exemplo 5
(s+1)2
Polos : -1 e -1. Não há pólo no semi - plano direito. Então P = 0
Vamos mapear a curva fechada C usando a função E(s) =5
(s+1)2
Trecho I: s = jω
E( jω) =5
( jω+1)2=
5(1− jω)2
(1+ jω)2(1− jω)2=
5(1−2 jω−ω2)
(1+ω2)2=
=5(1−ω2)
(1+ω2)2− j
10ω
(1+ω2)2
ω = 0, E( jω) = 5− j0
ω → ∞, E( jω) =−δ− jδ , (δ → 0)
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Trecho II: s = Re jφ
E(Re jφ) =5
(Re jφ+1)2
limR→∞ E(Re jφ) = 0
O trecho II é mapeado na origem.
Trecho III : E(− jω) =5
(1− jω)2=
5(1+ jω)2
(1− jω)2(1+ jω)2=
5(1−ω2+2 jω)
(1+ω2)2=
5(1−ω2)
(1+ω2)2+ j
10ω
(1+ω2)2
E( jω) é simétrico a E(− jω) em relação ao eixo das abscissas.
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-2 -1 0 1 2 3 4 5 6-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
Nyquist Diagram
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
Root Locus
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
-1.5 -1 -0.5 0 0.5-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
N = 0 voltas em torno de −1 no plano E(s). Como P = 0 polos de malhaaberta no semi-plano direito, há Z = N+P = 0 polos de malha fechada no semi-plano direito. Então o sistema em malha fechada é estável.
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Exemplo 7s(s+1)(s+2)
Polos: 0, -1, -2
Vamos mapear a curva fechada C usando a função E(s) = 7s(s+1)(s+2)
Trecho I: s = εe jφ
E(εe jφ) =7
εe jφ(εe jφ+1)(εe jφ+2)=
7
2εe− jφ , pois ε → 0
φ de −π
2a
π
2. Então E(εe jφ) de
π
2a −π
2
Trecho II : s = jω
E( jω) =7
jω( jω+1)( jω+2)=
− j7(1− jω)(2− jω)
ω(1+ω2)(4+ω2)=
− j7(2−ω2− j3ω)
ω(1+ω2)(4+ω2)=
−21ω+ j7(ω2−2)
ω(1+ω2)(4+ω2)=
−21ω
ω(1+ω2)(4+ω2)+
j7(ω2−2)
ω(1+ω2)(4+ω2)
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ω = 0 : E( jω)→ −21
4− j∞
ω → ∞ : E( jω)→−δ+ jδ
ω2 − 2 = 0 ⇒ ω =√
2, que é a frequência para a qual a parte imaginária éigual a 0
E( j√
2) =−21
(1+2)(4+2)=
−21
18
Trecho III: s = Re jφ
E(Re jφ) =7
Re jφ(Re jφ+1)(Re jφ+2)
limR→∞ E(Re jφ) = 0
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-10 -8 -6 -4 -2 0-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
80
Nyquist Diagram
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
-1 -0.5 0-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
Nyquist Diagram
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
-10 -5 0 5-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
Root Locus
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
N = 2 voltas em torno de −1 no plano E(s). Como P = 0 polos de malhaaberta no semi-plano direito, há Z = N+P = 2 polos de malha fechada no semi-plano direito. Então o sistema em malha fechada é instável.
Saulo O. D. Luiz, AMNLima/Controle Analógico/UFCG/DEE - 95
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Segundo Método de Ziegler & Nichols
O método em freqüência de Ziegler-Nichols para a sintonia de controladoresPID usa o ponto na curva de resposta em frequência no qual a fase é igual a−180◦. Este ponto é chamado de ponto crítico e a frequência de cruzamento édenominada freqüência crítica.
O método de Ziegler-Nichols original baseia-se na observação deque muitos sistemas podem se tornar instáveis quando sujeitos a umarealimentação proporcional. Aumentando o ganho proporcional, o sistemapode atingir o limite da estabilidade (ganho limite).
KcH ( jωc) =−1,H ( jωc) =− 1
Kc
(90)
a(ωc) =1
Kc
,ϕ(ωc) = 180◦ (91)
Saulo O. D. Luiz, AMNLima/Controle Analógico/UFCG/DEE - 96
![Page 97: Bodee nyquist](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022021918/58ae3ee51a28abad338b4c5f/html5/thumbnails/97.jpg)
Determinação do ganho crítico
H(s) + -
R(s) Y(s) E(s) U(s) K
O experimento é difícil de ser implementado, pois deve-se ir aumentando oganho até que o sistema oscile.
A amplitude de oscilação depende do sistema e pode não ser controlada,podendo ser inaceitável.
Além disso, manter um processo próximo à instabilidade pode ser perigoso.
A observação que muitos processos oscilam com um ciclo limite quandoé acrescentado um relé em sua malha de realimentação é um método maisconfiável para obter a informação desejada.
Saulo O. D. Luiz, AMNLima/Controle Analógico/UFCG/DEE - 97
![Page 98: Bodee nyquist](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022021918/58ae3ee51a28abad338b4c5f/html5/thumbnails/98.jpg)
Usando o relé em malha fechada
H(s) + -
R(s) Y(s) E(s) U(s)
Saulo O. D. Luiz, AMNLima/Controle Analógico/UFCG/DEE - 98
![Page 99: Bodee nyquist](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022021918/58ae3ee51a28abad338b4c5f/html5/thumbnails/99.jpg)
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
t (s)
A vantagem da introdução do relé é que a amplitude de oscilação na saída
Saulo O. D. Luiz, AMNLima/Controle Analógico/UFCG/DEE - 99
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do processo pode ser controlada variando-se a amplitude da saída do relé (Vr),ou seja:
u(t) =
{+Vr,e(t)> 0
−Vr,e(t)< 0ou u(t) =
{+Vr,e(t)> h
−Vr,e(t)<−h
Saulo O. D. Luiz, AMNLima/Controle Analógico/UFCG/DEE - 100
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Método da função descritiva ...
Considerando o comportamento do sistema realimentado para o primeiroharmônico, pode-se considerar que o elemento não linear pode ser modeladocomo um número complexo (modulo e fase).
Desse modo, se r (t) = 0, t > t0 então o sinal de erro que aciona o relé é opróprio sinal de saída do processo.
e(t) =−y(t) =−Y1 sin(ωct)
então o ganho do relé é, consequentemente,
Kr =4Vr
πY1
Entretanto, a amplitude do sinal de saída é dado por
Y1 =4Vr
π|H ( jωc)|
Saulo O. D. Luiz, AMNLima/Controle Analógico/UFCG/DEE - 101
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Método da função descritiva ...
A condição para que haja oscilação é
KrH ( jωc) =−1,H ( jωc) =− 1
Kr
(92)
então
H ( jωc) =−πY1
4Vr
Isso significa que o experimento do relé permite levar o sistema a umaoperação oscilatória controlada pois a amplitude de oscilação é proporcionalà magnitude do sinal de saída do relé.
Saulo O. D. Luiz, AMNLima/Controle Analógico/UFCG/DEE - 102
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Parâmetros do controlador
Considerando que o controlador é modelado por
G(s) = Kp
(
1+1
sTi
+Tds
)
seus parâmetros podem ser determinados realizando o experimento do relé.Os parâmetros do controlador podem ser calculados a partir do ganho limite Kr
e do período de oscilação Tc = 2π/ωc utilizando-se a tabela de Ziegler & Nichols.
Controlador Kp Ti Td
P 0.5Kr ∞ 0
PI 0.45Kr 0.83Tc 0
PID 0.6Kr 0.5Tc 0.125Tc
(93)
Saulo O. D. Luiz, AMNLima/Controle Analógico/UFCG/DEE - 103
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Parâmetros do controlador ...
O método de sintonia baseado na Tabela de Ziegler & Nichols pode servisto como um técnica de projeto que determina os parâmetros do controladorde tal forma que o ponto crítico seja movido para −0.6+0.28 j. A resposta emfrequência do controlador é dada por
GPID ( jωc) = Kp
(
1+1
j0.5Tcωc
+ j0.125Tcωc
)
(94)
GPID ( jωc) = 0.6Kr
(
1+ j
(2π
8− 1
π
))
(95)
GPID ( jωc) = Kr (0.6+0.28 j) (96)
|GPID ( jωc)|= 0.66212Kr e arg(GPID ( jωc)) = 25.017◦ (97)
Saulo O. D. Luiz, AMNLima/Controle Analógico/UFCG/DEE - 104
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Compensação - fórmulas
Considere um compensador cuja função de transferência é dada por
G(s) =a1s+a0
b1s+1(98)
na qual a0 é o ganho de regime permanenente, −a0/a1 é o zero docompensador e −1/b1 é o pólo do compensador.
Deseja-se projetar esse compensador de modo que na freqüência ω = ωPM
tenha-sea1 ( jωPM)+a0
b1 ( jωPM)+1H ( jωPM) = e j(−180
◦+PM) (99)
na qual PM > 0 é a margem de fase.
Saulo O. D. Luiz, AMNLima/Controle Analógico/UFCG/DEE - 105
![Page 106: Bodee nyquist](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022021918/58ae3ee51a28abad338b4c5f/html5/thumbnails/106.jpg)
Compensação - fórmulas ...
A partir dessa expressão pode-se mostrar que
a1 =1−a0 |H ( jωPM)|cosθ
ωPM |H ( jωPM)|sinθ(100)
b1 =cosθ−a0 |H ( jωPM)|
ωPM sinθ(101)
θ =−180◦+PM−∠H ( jωPM) (102)
θ = ∠G( jωPM) (103)
Ao final do projeto, verificar se a1 e b1 são positivos.
Saulo O. D. Luiz, AMNLima/Controle Analógico/UFCG/DEE - 106
![Page 107: Bodee nyquist](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022021918/58ae3ee51a28abad338b4c5f/html5/thumbnails/107.jpg)
Compensação - fórmulas ...
Dado o valor do ganho de regime permanente a0 e a resposta em freqüênciado sistema a controlar (i.e.|H ( jω)|, ∠H ( jω) ω ∈ [0,∞)) pode-se projetar ocompensador que garantirá a margem de fase desejada (PM) na freqüênciaespecificada (ωPM).
Saulo O. D. Luiz, AMNLima/Controle Analógico/UFCG/DEE - 107
![Page 108: Bodee nyquist](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022021918/58ae3ee51a28abad338b4c5f/html5/thumbnails/108.jpg)
Compensação - fórmulas ...
De modo geral o ganho de regime permanente do compensador édeterminado para satisfazer uma especificação de erro estacionário. Por outrolado a escolha da margem de fase na freqüência de projeto é feita a partir dotempo de estabelecimento desejado (ts), isto é
tan(PM) =8
tsωPM
(104)
A representação usual de um compensador em avanço é
G(s) = KT s+1
αT s+1(105)
com α < 1.
Saulo O. D. Luiz, AMNLima/Controle Analógico/UFCG/DEE - 108
![Page 109: Bodee nyquist](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022021918/58ae3ee51a28abad338b4c5f/html5/thumbnails/109.jpg)
Compensação - fórmulas ...
A contribuição de fase desse compensador é
φ = arctan(T ω)− arctan(αT ω) (106)
cujo valor máximo ocorre em
ωmax =1
T√
α(107)
Saulo O. D. Luiz, AMNLima/Controle Analógico/UFCG/DEE - 109
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Exemplo: H(s) = 10s(s+1) e compensador avanço de fase G(s)
FT da planta com o ganho compensado: G1(s) =20
s(s+1)
Saulo O. D. Luiz, AMNLima/Controle Analógico/UFCG/DEE - 110
![Page 111: Bodee nyquist](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022021918/58ae3ee51a28abad338b4c5f/html5/thumbnails/111.jpg)
Saulo O. D. Luiz, AMNLima/Controle Analógico/UFCG/DEE - 111
![Page 112: Bodee nyquist](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022021918/58ae3ee51a28abad338b4c5f/html5/thumbnails/112.jpg)
Saulo O. D. Luiz, AMNLima/Controle Analógico/UFCG/DEE - 112
![Page 113: Bodee nyquist](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022021918/58ae3ee51a28abad338b4c5f/html5/thumbnails/113.jpg)
Saulo O. D. Luiz, AMNLima/Controle Analógico/UFCG/DEE - 113
![Page 114: Bodee nyquist](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022021918/58ae3ee51a28abad338b4c5f/html5/thumbnails/114.jpg)
Saulo O. D. Luiz, AMNLima/Controle Analógico/UFCG/DEE - 114
![Page 115: Bodee nyquist](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022021918/58ae3ee51a28abad338b4c5f/html5/thumbnails/115.jpg)
Saulo O. D. Luiz, AMNLima/Controle Analógico/UFCG/DEE - 115
![Page 116: Bodee nyquist](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022021918/58ae3ee51a28abad338b4c5f/html5/thumbnails/116.jpg)
Exemplo: H(s) = 1s(s+1)(0.5s+1) e compensador atraso de fase G(s)
Saulo O. D. Luiz, AMNLima/Controle Analógico/UFCG/DEE - 116
![Page 117: Bodee nyquist](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022021918/58ae3ee51a28abad338b4c5f/html5/thumbnails/117.jpg)
Saulo O. D. Luiz, AMNLima/Controle Analógico/UFCG/DEE - 117
![Page 118: Bodee nyquist](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022021918/58ae3ee51a28abad338b4c5f/html5/thumbnails/118.jpg)
Saulo O. D. Luiz, AMNLima/Controle Analógico/UFCG/DEE - 118
![Page 119: Bodee nyquist](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022021918/58ae3ee51a28abad338b4c5f/html5/thumbnails/119.jpg)
Saulo O. D. Luiz, AMNLima/Controle Analógico/UFCG/DEE - 119
![Page 120: Bodee nyquist](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022021918/58ae3ee51a28abad338b4c5f/html5/thumbnails/120.jpg)
Saulo O. D. Luiz, AMNLima/Controle Analógico/UFCG/DEE - 120
![Page 121: Bodee nyquist](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022021918/58ae3ee51a28abad338b4c5f/html5/thumbnails/121.jpg)
Compensador PID
A função de transferência do compensador PID é
G(s) = kp+ki
s+ kds =
kps+ ki+ kds2
s=
ki
s(kd
ki
s2+kp
ki
s+1) (108)
G( jω) = kp+ki
jω+ kd jω =
ki
jω
jω√
ki
kd
2
+ jωkp
ki
+1
(109)
• A ação integral tem um efeito em baixas frequências
• A ação derivativa tem um efeito em altas frequências
Saulo O. D. Luiz, AMNLima/Controle Analógico/UFCG/DEE - 121
![Page 122: Bodee nyquist](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022021918/58ae3ee51a28abad338b4c5f/html5/thumbnails/122.jpg)
40
50
60
70
80
90
Mag
nitu
de (
dB)
10-2
10-1
100
101
102
103
-90
-45
0
45
90
Pha
se (
deg)
Diagrama de Bode para G(s) = kp + k
i/s + k
d s
Frequency (rad/s)
Saulo O. D. Luiz, AMNLima/Controle Analógico/UFCG/DEE - 122
![Page 123: Bodee nyquist](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022021918/58ae3ee51a28abad338b4c5f/html5/thumbnails/123.jpg)
Deseja-se projetar esse compensador de modo que na freqüência ω = ωPM
tenha-seG( jωPM)H ( jωPM) = e j(−180◦+PM) (110)
na qual PM > 0 é a margem de fase.
|G( jωPM)|e j∠G( jωPM) · |H( jωpn)|e j∠H( jωPM) =
= |G( jωPM)| · |H( jωPM)|e j(∠G( jωPM)+∠H( jωPM)) = 1e j(−180◦+PM)
|G( jωPM)| · |H( jωPM)|= 1 ⇒ |G( jωPM)|= 1|H( jωPM)|
∠G( jωPM)︸ ︷︷ ︸
θ
+∠H( jωPM) =−180◦+PM ⇒
⇒ θ = ∡G( jωPM) =−180◦+PM−∡H ( jωPM)
Kp+ j
(
kdωPM − ki
ωPM
)
= |G( jωPM)|(cosθ+ j sinθ) =cosθ+ j sinθ
|H ( jωPM)|
Saulo O. D. Luiz, AMNLima/Controle Analógico/UFCG/DEE - 123
![Page 124: Bodee nyquist](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022021918/58ae3ee51a28abad338b4c5f/html5/thumbnails/124.jpg)
Igualando as partes reais e imaginárias:
Kp =cosθ
|H ( jωPM)|(111)
ki pode ser determinado por uma especificação de regime permanente
kdωPM − ki
ωPM
=sinθ
|H ( jωPM)|⇒ kd =
sinθ
ωPM |H ( jωPM)|+
ki
ω2PM
(112)
Saulo O. D. Luiz, AMNLima/Controle Analógico/UFCG/DEE - 124
![Page 125: Bodee nyquist](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022021918/58ae3ee51a28abad338b4c5f/html5/thumbnails/125.jpg)
Exemplo: H(s) = 3
s2+0.4s+4e compensador PID G(s)
Especificação:
• PM = 80◦
• ωPM = 50rad/s
• Se a entrada de referência for uma rampa, o erro em regime permanentedeve ser menor ou igual a 0.01
Saulo O. D. Luiz, AMNLima/Controle Analógico/UFCG/DEE - 125
![Page 126: Bodee nyquist](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022021918/58ae3ee51a28abad338b4c5f/html5/thumbnails/126.jpg)
10-1
100
101
102
-180
-135
-90
-45
0
P.M.: 20.4 degFreq: 2.61 rad/sec
Frequency (rad/sec)
-80
-60
-40
-20
0
20
G.M.: InfFreq: InfStable loop
Open-Loop Bode Editor for Open Loop 1 (OL1)
-0.25 -0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8Root Locus Editor for Open Loop 1 (OL1)
Real Axis
∡H ( jωPM) =−179.5409◦, |H ( jωPM)|= 0.0012
θ = ∡G( jωPM) =−180◦+PM−∡H ( jωPM) = 79.5409◦
Saulo O. D. Luiz, AMNLima/Controle Analógico/UFCG/DEE - 126
![Page 127: Bodee nyquist](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022021918/58ae3ee51a28abad338b4c5f/html5/thumbnails/127.jpg)
-80
-60
-40
-20
0
20
Mag
nitu
de (
dB)
System: HFrequency (rad/s): 0.1Magnitude (dB): -2.48
10-1
100
101
102
-180
-135
-90
-45
0
Pha
se (
deg)
Bode Diagram
Frequency (rad/s)
20logCp =−2.4775 ⇒Cp = 10−2.4775
20 = 0.7518
Kp =cosθ
|H ( jωPM)|= 151.0407 (113)
Saulo O. D. Luiz, AMNLima/Controle Analógico/UFCG/DEE - 127
![Page 128: Bodee nyquist](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022021918/58ae3ee51a28abad338b4c5f/html5/thumbnails/128.jpg)
Da especificação de regime permanente, ess =1
C′v⇒ C′
v = 1ess
, onde C′v é a
constante de erro de velocidade da planta com o compensador
C′v = lim
s→0skds2+ kps+ ki
s·H(s) = ki lim
s→0H(s) = kiCp (114)
kiCp =1
ess
⇒ ki =1
essCp
= 133.0067 (115)
kd =sinθ
ωPM |H ( jωPM)|+
ki
ω2PM
= 16.4173 (116)
Saulo O. D. Luiz, AMNLima/Controle Analógico/UFCG/DEE - 128
![Page 129: Bodee nyquist](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022021918/58ae3ee51a28abad338b4c5f/html5/thumbnails/129.jpg)
10-2
10-1
100
101
102
103
104
-180
-135
-90
-45
0
P.M.: 80 degFreq: 50 rad/s
Frequency (rad/s)
-20
0
20
40
60
80
G.M.: infFreq: NaNStable loop
Open-Loop Bode Editor for Open Loop 1(OL1)
-40 -35 -30 -25 -20 -15 -10 -5 0-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10Root Locus Editor for Open Loop 1(OL1)
Real Axis
Saulo O. D. Luiz, AMNLima/Controle Analógico/UFCG/DEE - 129
![Page 130: Bodee nyquist](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022021918/58ae3ee51a28abad338b4c5f/html5/thumbnails/130.jpg)
0 5 10 15 20 25 300
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
Linear Simulation Results
Time (seconds)
Am
plitu
de
y*(t)y
MA(t)
yMF
(t)
Saulo O. D. Luiz, AMNLima/Controle Analógico/UFCG/DEE - 130
![Page 131: Bodee nyquist](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022021918/58ae3ee51a28abad338b4c5f/html5/thumbnails/131.jpg)
9.99 9.992 9.994 9.996 9.998 10 10.002 10.004 10.006 10.008
9.98
9.985
9.99
9.995
10
10.005
System: y(t)Time (seconds): 10Amplitude: 9.99
Linear Simulation Results
Time (seconds)
Am
plitu
dey*(t)y(t)
Saulo O. D. Luiz, AMNLima/Controle Analógico/UFCG/DEE - 131
![Page 132: Bodee nyquist](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022021918/58ae3ee51a28abad338b4c5f/html5/thumbnails/132.jpg)
Exemplo: H(s) = 3
s2+0.4s+4e compensador PID G(s)
G(s) = kp+ki
s+ kd pd
s
s+ pd
(117)
Foram utilizados kp, ki e kd do exemplo anterior
Foi escolhido pd = 1000 para afetar minimamente a margem de fase PM =80◦ em ωPM = 50rad/s
Saulo O. D. Luiz, AMNLima/Controle Analógico/UFCG/DEE - 132
![Page 133: Bodee nyquist](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022021918/58ae3ee51a28abad338b4c5f/html5/thumbnails/133.jpg)
0
100
200
Mag
nitu
de (
dB)
10-1
100
101
102
103
104
105
-90
0
90
Pha
se (
deg)
Diagrama de Bode para G(s) = kp + k
i/s + k
d s
Frequency (rad/s)
0
50
100
Mag
nitu
de (
dB)
10-1
100
101
102
103
104
105
-90
0
90
Pha
se (
deg)
Diagrama de Bode para G(s) = kp + k
i/s + k
d p
d s/(s+p
d)
Frequency (rad/s)
Saulo O. D. Luiz, AMNLima/Controle Analógico/UFCG/DEE - 133
![Page 134: Bodee nyquist](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022021918/58ae3ee51a28abad338b4c5f/html5/thumbnails/134.jpg)
10-2
100
102
104
106
-180
-135
-90
-45
0
P.M.: 77.3 degFreq: 50.4 rad/s
Frequency (rad/s)
-100
-50
0
50
100
G.M.: infFreq: InfStable loop
Open-Loop Bode Editor for Open Loop 1(OL1)
-1000 -800 -600 -400 -200 0-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20Root Locus Editor for Open Loop 1(OL1)
Real Axis
Saulo O. D. Luiz, AMNLima/Controle Analógico/UFCG/DEE - 134
![Page 135: Bodee nyquist](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022021918/58ae3ee51a28abad338b4c5f/html5/thumbnails/135.jpg)
0 5 10 15 20 25 300
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
Linear Simulation Results
Time (seconds)
Am
plitu
de
y*(t)y
MA(t)
yMF com pd
(t)
Saulo O. D. Luiz, AMNLima/Controle Analógico/UFCG/DEE - 135
![Page 136: Bodee nyquist](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022021918/58ae3ee51a28abad338b4c5f/html5/thumbnails/136.jpg)
9.996 9.998 10 10.002 10.004 10.006
9.986
9.988
9.99
9.992
9.994
9.996
9.998
10
10.002
10.004
10.006
System: y_{MF com pd}(t)Time (seconds): 10Amplitude: 9.99
Linear Simulation Results
Time (seconds)
Am
plitu
de
y*(t)y
MF com pd(t)
Saulo O. D. Luiz, AMNLima/Controle Analógico/UFCG/DEE - 136