bogomolova 2

L/O/G/O

Формирование

статистической культуры

учащихся на уроках

математики

УПРАВЛЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ АДМИНИСТРАЦИИ

ГОРОДА МАКЕЕВКИ

МЕТОДИЧЕСКИЙ ЦЕНТР

МАКЕЕВСКАЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛАI-III СТУПЕНЕЙ №2

Богомолова Инна Владимировна,

учитель математики

Городской этап Республиканской

виртуальной выставки-презентации

«Современное образование в Донецкой

Народной Республике-2016»

Номинация «Современный педагог

(мастерская современной педагогики)»

Уже много лет статистике обучают в школах

Франции, Англии, Японии, Польши, России, США.

Вероятностно-статистическая линиия имеет три

составляющие: статистику, вероятность и

комбинаторику.

Статистическая составляющая занимает важное

место в данной содержательной линии. Она

способствует формированию статистической

культуры, которая является неотъемлемой

составляющей общей культуры современного

человека.

В своей статье Гнеденко Б.В. высказывает

мнение о том, что

«после школы молодые люди должны

отчетливо понимать, что в природе и

общественной жизни далеко не все

процессы сводятся к чисто

детерминистическим, что такого рода

подход является только первым

приближением к действительности,

следующий шаг на пути познания –

статистический».

СТАТИСТИЧЕСКАЯ КУЛЬТУРА ЭТО…

Четкое определение показателя, для которого

приводятся или собираются статистические данные.

Понимание статистического характера массовых явлений.

Умение воспринимать статистическую информацию,

представленную в различных формах.

Осознание, полна или не полна информация, т.е. хватит ли имеющихся данных для получения определенных выводов или следует их пополнить.

Понимание того, что нельзя принимать ответственных решений, не имея соответствующей информации.


Понимание роли наблюдений и экспериментов в обосновании определенных утверждений.

Понимание того, что для правильных выводов, достаточно репрезентативной выборки и не обязательно исследовать всю совокупность.

Понимание сущности средних показателей статистических данных (среднее арифметическое, среднее геометрическое, среднее гармоническое).

Владение смыслом статистических характеристик (относительная частота, меры центральной тенденции: мода и медиана).

Понимание содержания количественных характеристик рассеивания статистических данных (размах вариации, дисперсия и стандартное отклонение, коэффициент вариации).


Умение просчитывать влияние различных факторов на статистические данные.

Понимание того, что любой статистический вывод не является окончательным, абсолютно верным.

Умение отличать функциональные зависимости от статистических.

Понимание смысла мер связи между признаками (коэффициент корреляции) и умение их применять.

Умение делать прогнозы на будущее на основе статистических данных.

В государственном образовательном

стандарте среднего общего образования

на 2015-2017 гг. Донецкой Народной

Республики предусматривается, что

учащиеся должны получить

представление о процессах и явлениях,

имеющих вероятностный характер, о

статистических закономерностях в

реальном мире.

Программы предполагают, что в результате овладения

курсом алгебры и начал математического анализа

выпускник образовательной организации научится

использовать простейшие способы представления и

анализа статистических данных, получит возможность

приобрести первоначальный опыт организации сбора

данных при проведении опросов общественного

мнения, осуществлять их анализ, представлять

результаты опроса в виде таблиц, диаграмм.

Приобретенные знания и умения обучающиеся смогут

применять в практической деятельности и

повседневной жизни для анализа информации

статистического характера .

НЕДОСТАТКИ ПРАКТИЧЕСКОЙ РЕАЛИЗАЦИИ

ПРОГРАММ

Во-первых, не в полной мере обеспечена непрерывность ее изучения. Ведь известно, что «понятия, которыми ребенок овладевает в процессе обучения, не усваиваются им сразу в их созревшем виде, а проходят более или менее длительный период развития, начиная от первых обобщений, доступных маленькому школьнику, до более сложных и глубоких понятий десятиклассника».

Во-вторых, не обеспечена связь с другими содержательными линиями курса математики («Числа и вычисления», «Выражения и преобразования», «Уравнения и неравенства», «Функции, графики и их свойства»).

В-третьих, не предусматривается реализация связей статистики и других предметов (физикой, биологией, географией, информатикой, литературой). А это во многом помогло бы сформировать личностное отношение школьников к учебному процессу, помочь осознать значимость изучения данного материала, его связь с жизнью ученика.

СРЕДСТВА

ЦЕЛЕНАПРАВЛЕННОГО

ФОРМИРОВАНИЯ

СТАТИСТИЧЕСКОЙ КУЛЬТУРЫ

описательная

статистикаматематическая

статистика

Изучение статистики в школе должно

происходить несколько этапов

ПРОПЕДЕВТИЧЕСКИЙ

(начальная школа и 5-6 классы)

ЗАВЕРШАЮЩИЙ

(10-11 классы)

ОСНОВНОЙ

(7-9 классы)

Пропедевтический этап

(начальная школа)

В начальной школе целесообразным

может быть начальное обучение

проведению экспериментов, регистрации

их результатов, их изображений,

например, в виде таблиц и их

интерпретации; чтению таблиц, в

частности таблиц 2×2.


(начальная школа)

При этом ученики овладевают такими приемами статистической деятельности:

чтение, интерпретация таблиц;

чтение, интерпретация схем, диаграмм, графиков;

проведение опросов, регистрация и интерпретация их результатов;

проведение статистических наблюдений, регистрация и интерпретация их результатов;

проведение статистических экспериментов, регистрация и интерпретация их результатов;

сравнение шансов наступления тех или иных событий по результатам конкретных статистических опросов, наблюдений, экспериментов;

пропедевтическое формирование понимания важных статистических идей оценивания и проверки статистических гипотез.


(5-6 классы)

В 5-6 классах продолжается формирование тех же

приемов деятельности, что и в начальной школе. Кроме

того в 5-6 классах можно добавить:

построение графиков, диаграмм;

вычисление среднего значения совокупности;

использование процентных вычислений для интерпретации

статистических данных;

вычисление относительной частоты события.

Основной этап

(7-9 классы)

На втором этапе должно продолжаться формирование, в основном, тех же приемов деятельности, что и в 5-6 классах, но на более высоком уровне, в более сложных условиях. Имеется в виду:

чтение, интерпретация таблиц, их сравнение, оценивание реалистичности данных, представленных ними;

чтение, интерпретация схем, диаграмм, графиков, прогнозирование поведения явлений, которые они отображают, в будущем;

проведение опросов, статистических наблюдений, статистических экспериментов, регистрация и интерпретация их результатов;

проведение имитационных экспериментов, регистрация и интерпретация их результатов;

Основной этап

(7-9 классы)

На втором этапе должно продолжаться формирование, в основном, тех же приемов деятельности, что и в 5-6 классах, но на более высоком уровне, в более сложных условиях. Имеется в виду:

первичная обработка статистических данных;

количественное вычисление вероятности наступления того или иного события по результатам конкретных статистических опросов, наблюдений, экспериментов;

графическая интерпретация статистических данных;

применение средних показателей (среднее арифметическое, мода, медиана) для характеристики статистических данных;

применение показателей рассеивания данных (размах, среднее квадратичное значение, стандартное отклонение) для характеристики статистических данных;

продолжение формирования понимания важных статистических идей оценивания и проверки статистических гипотез.

Завершающий этап

(10-11 классы)

На третьем этапе должно продолжаться формирование на более высоком уровне, в более сложных условиях, приемов деятельности, сформированных на предыдущем этапе, и, кроме того, начинают рассматриваться некоторые новые приемы, касающиеся, в основном, элементов математической статистики. Речь идет о:

первичной обработке статистических данных;

применении средних показателей и показателей рассеивания для характеристики статистических данных;

построении случайной выборки;

оценивании неизвестной вероятности события;

оценивании неизвестного среднего значения случайной величины;

построении доверительных интервалов для неизвестных параметров;

проверке статистических гипотез.

ГДЕ ОБУЧАТЬ СТАТИСТИКЕ ШКОЛЬНИКОВ?

Некоторые задания на уроках математики могут быть направлены на обучение учеников сбору, регистрации и интерпретации статистических данных. Например, при изучении многозначных чисел можно предложить ученикам выписать сколько и в каком месяце было затрачено электроэнергии семьями, сравнить их, выяснить на какие месяцы выпадают наибольшие (наименьшие) затраты, можно убедиться в случайности этих затрат.

В конце концов, систематическое и целенаправленное развитие статистического мышления может быть реализовано в рамках вариативной составляющей учебного плана, где можно познакомить обучающихся с «премудростями» статистики.

Некоторые интересные

задачи и примеры

2013 2014 2015

50%

2013 2014 2015

90%

15%

96%

35%70%

№1. Выбор нового игрока в команду

Тренеру в баскетбольную команду из двух претендентов необходимо отобрать одного. Во время последней тренировки были подсчитаны попадания мяча в корзину на каждые 10 бросков.

Посмотрев на данные,

предоставленные в таблице,

трудно сделать выбор в

пользу одного из претендентов. Если же мы сравним среднее арифметическое I и II учеников (они составляют 4,2 и 4,6 соответственно), то естественным будет взять в команду II ученика.

Количество

попаданий

Ученик

1 2 3 4 5

І ученик 4 3 5 3 6

ІІ ученик 5 4 3 6 5

№2. Анализ, полученных данных

Учащимся можно предложить провести небольшой опрос в классе и его результаты занести в следующую таблицу:

Сколько детей чаще всего бывает в семьях? С целью нахождения ответа на этот вопрос собранные данные представляются уже в виде следующей таблицы.

Эти данные представляются в графической форме (в виде столбчатых диаграмм), происходит знакомство школьников с особенностями представления данных в таком виде, предлагается ответить на ряд вопросов.

№2

А есть ли какая-нибудь зависимость между количеством детей в семье и положением, занимаемым этой семьей в обществе?

Для ответа на этот вопрос составляется таблица, на ее основе строится следующая гистограмма

Далее на основе полученной информации из диаграммы делается ряд выводов, и может быть даже сформулирована гипотеза: «Чем меньше количество детей в семье, тем чаще эта семья занимает положение в обществе».

№3. Игра «Поле чудес»

Какой стратегии следует придерживаться в когда-то очень популярной игре «Поле чудес»?

Следует обратить внимание на частоту встречаемости гласных и согласных букв. Как это сделать?

1) Можно подсчитывать число гласных и согласных букв в словах во время игры.

2) В каком-то тексте популярной газеты подсчитать число встречающихся там гласных и согласных букв.

3) К каждой букве алфавита подобрать по паре слов, начинающихся на эти буквы, и подсчитать число гласных и согласных букв.

Наиболее удобен второй вариант. .

№3Тем, кто поедет на «Поле чудес», совет заучить эту таблицу наизусть. И называть буквы в таком порядке.

Так, например, казалось бы, такая «привычная» буква «б» употребляется реже, чем «редкая» буква «ы».

Помнить надо также и то, что в слове не одни гласные. И что если вы угадали одну гласную, то нужно начинать идти по согласным.

И кроме того, слово угадывается именно по согласным. Сравните: «**а**и*е» и «ср*вн*т*». И в том и в другом случае -это слово «сравните».

Частота встречаемости букв в русском алфавите

о — 9,28 %а — 8,66 %е — 8,10 %и — 7,45 %н — 6,35 %т — 6,30 %р — 5,53 %с — 5,45 %л — 4,32 %в — 4,19 %к — 3,47 %п — 3,35 %м — 3,29 %у — 2,90 %д — 2,56 %я — 2,22 %

ы — 2,11 %ь — 1,90 %з — 1,81 %б — 1,51 %г — 1,41 %й — 1,31 %ч — 1,27 %ю — 1,03 %х — 0,92 %ж — 0,78 %ш — 0,77 %ц — 0,52%щ — 0,49%ф — 0,40%э — 0,17%ъ — 0,04 %

№4. Для любителей азартных игр

Каждый игрок задается массой вопросов

Как часто я буду выигрывать или проигрывать?

Каков шанс получить большой выигрыш в одной игре?

Как играть? Какую выбрать стратегию для увеличения шанса на выигрыш?

Одинаковы ли шансы выигрыша и проигрыша?

№4Предлагаются два способа для нахождения ответов на поставленные

вопросы: практический (игра на автомате) и теоретический (в этом

случае нужна информация о структуре и строении автомата).

Автором в [8] проводится опыт: 1000 раз закидывают в игральный автомат

монету и при этом 141 раз выигрывают. Вероятность получить какой-то

выигрыш приближенно равна , в то время, как проигрыша -. .

Далее автор переходит к теоретическому способу проверки, где подсчитываются вероятности каждого из выигрышей. Пусть мы знаем устройство автомата: автомат имеет 3 барабана, на каждом из которых 20 секций со значками

(см. таблицу)

141,01000

141

859,0141,01

№4Все значки на произвольном барабане появляются независимо от их

появления на других барабанах. Вычислим количество появлений каждой

выигрышной комбинации. Из таблицы видно, что на первом барабане

отметка встречается 4 раза. Для каждого ее появления отметка на

втором барабане появляется 1 раз. Поэтому на первых двух барабанах

комбинация значков появляется раза, а на всех трех

барабанах комбинация - раза (именно в таком

порядке). Поскольку на каждом барабане по 20 секций, то всего может

появиться разнообразных комбинаций.

В следующей таблице в третьем столбце приведено количество раз

встречи каждой из выигрышных комбинаций, в четвертом - вероятность

появления каждого из них. Считаем, что барабан вращается с большой

скоростью и каждая секция может появиться с той же вероятностью.

414

4114

8000202020

№4Любая выигрышная комбинация появляется 900 +300 +6 +30 +4 +12 +9 +9 +15 +1 = 1286 раз, поэтому вероятность выигрыша равна 0,161, соответственно, вероятность проигрыша - 0,839.

Как видим, результаты, полученные на основании классического определения вероятности, хорошо согласуются со статистическими оценками вероятностей (5 столбик таблицы): 0,141 и 0,859 соответственно. Эмпирические и теоретические данные практически совпадают.

Кстати, полученные данные указывают на низкую вероятность выигрыша, который помогает школьнику осознать, на какой риск он идет, играя на автоматах.

Пример

(выборочный метод)

Видимо, самым ярким примером фиаско в истории применения выборочного метода являются результаты опроса, проведенного в 1936 году журналом «Literary Digest». Редакция журнала разослала 10 миллионов бюллетеней, в которых просила получивших их людей ответить, за кого они будут голосовать на предстоящих выборах президента - за кандидата республиканской партии Лэндона А. или за демократа Рузвельта Ф. Было возвращено более 2 миллионов заполненных бюллетеней. Опубликованные в журнале результаты опроса предсказывали, что президентом станет Альфред М. Лэндон со счетом 57:43.

Джордж Гэллап также включился в изучение электората с целью предсказания итогов голосований. 12 июня 1936 года, то есть более чем за шесть недель до начала «Literary Digest» своего опроса, он опубликовал сообщение о том, что журнал предскажет победу Ландона с 56% голосов избирателей и, соответственно поражение Рузвельта (44%). И далее он заявил, что этот прогноз будет ошибочным в силу неверности используемой журналом процедуры отбора респондентов.

Пример

(выборочный метод)

Конечно редактор «Literary Digest» Вилфред Функ был возмущен этой статьей. В открытом письме, опубликованном через неделю в The NewYork Times, он оспорил выводы «своего друга статистика», напомнив ему об успехах в прогнозах победы Герберта Гувера в 1928 и через четыре года Франклина Рузвельта. Однако, как писал Гэллап позже, он не очень рисковал, предсказывая прогноз журнала и оценивая его как ошибочный. В основе утверждений Гэллапа был результат его собственного методического пилотажного опроса. Он разослал 3000 почтовых карточек по адресам, аналогичным тем, которые использовались редакцией, и он был уверен в том, что его небольшая по объему выборка репрезентирует результат многомиллионной редакционной рассылки.

Вывод: для правильных выводов достаточно репрезентативной выборки и не обязательно исследовать всю совокупность.

№5. Статистика и сельская

жизньНекий городской житель решил переехать в деревню. Сведения об урожайности картофеля (ц/га) в двух селах за последние годы таковы:

Село А: 180, 50, 60, 100, 170, 60, 150, 90, 120, 70, 60, 160. 90, 170, 90, 180, 160.

Село Б: 100, 110, 120, 100, 100, 110, 100, 120, 130, 130, 100, 130, 110.

Какому из мест он отдаст предпочтение?

В условиях этой задачи критерием принятия решении должен служить разброс значений урожайности. В селе А разброс больше, чем в селе Б. В селе А размах (разность между наибольшим и наименьшим значениями урожайностями) равен 180-50=130, в селе Б эта разность равна 30 (130-100). Средняя урожайность картофеля в первом селе немного выше, чем во втором. Вместе с тем в селе А климатические условия таковы, что высокоурожайные для картофеля годы сменяются низкоурожайными. Видимо, лучше выбрать несколько меньшее значение средней урожайности, но при большей ее стабильности. Устойчивость урожая особенно важна для человека, еще не имеющего опыта ведения приусадебного хозяйства.

№6. Можно ли узнать IQ вашего

ребенка еще до его рождения?Очень часто в жизни нам приходится выяснять зависимости между различными величинами. Интересны вопросы: влияет ли возраст первоклассника на его успеваемость в первом классе; влияет ли скорость выполнения заданий на их точность; есть ли взаимосвязь между коэффициентом IQ и успеваемостью по математике?

Такие отношения связи называются корреляционными. Для их исследования приходиться находить виды зависимостей между средними значениями данных признаков.

Например, если ваш коэффициент умственного

развития IQ=125, а вашего(ей) мужа (жены) –

135, то значит ли это, что ваш будущий ребенок

вырастет смышленым и его коэффициент IQ

составит 130 (среднее из двух коэффициентов)?

Взглянем на данные.

№6Известно, что среднее значение коэффициента IQ у взрослых составляет 100. Вычислим по нему коэффициент корреляции

Пирсона , где

Изобразим связь между двумя переменными

графически при помощи так называемой

диаграммы рассевания.

Взглянув на чертеж, сразу можем убедиться, что

наблюдаются некоторые тенденции сходства

средних показателей IQ родителей и их детей, но

эта взаимосвязь не является абсолютной.

Вообще те или иные значения коэффициента корреляции прямо не указывают на наличие или отсутствие причинной связи между признаками, но дают возможность выдвинуть гипотезу, которая подлежит проверке.

1 ( ) ( )1

1 12 2( ) ( )1 1

nx x y ynS i ixy irxy n nS Sx y x x y yn ni i

i i

10

7

9

8

6

5

4

1

2

3

70

75

80

85

90

95

100

105

110

115

120

125

130

70 75 80 85 90 95 100 105 110 115 120 125 130

среднее значение коэффициента IQ родителей

сред

нее з

начение к

оэф

фициента I

Q р

ебенкаа

0,59rxy

№6В свою очередь диаграммы рассеивания позволяют интерпретировать содержание коэффициента корреляции.

В представленной таблице приведены иллюстрации для отдельных коэффициентов корреляции.

Какие выводы можно сделать из полученной

диаграммы рассеивания?

L/O/G/O

1. Кимбл Г. Как правильно пользоваться статистикой / Г. Кимбл. – М.: Финансы и статистика, 1982.

2. Про вивчення елементів описової статистики у 5-6 класах / Я.С.Бродський, О.Л. Павлов // Математика в школах України, №29. – 2006.

3. Статистика, ймовірність, комбінаторика: 7-9 класи / Я.С. Бродський, О.Л. Павлов // Математика, видавництво «Шкільний світ», №17. – 2007.

4. Статистическое мышление и школьное математическое образование / Б.В.Гнеденко // Математика в школе, №1. – 1968.

5. Формування статистичних уявлень у початковій школі / Я.С.Бродський, О.Л. Павлов // Початкове навчання і виховання, №13. – 2006.

6. Klakla Maciej, Serafin Stanisław. Matematyka 6 / М. Klakla, S.Serafin. – Bielsko-Biała: KLEKS, 1996.

7. Treliński Gustav, Wachnicki Eugeniusz. Matematyka 7 / G.Treliński, E.Wachnicki . –Bielsko-Biała: KLEKS, 1995.

8. Kąkol Henryk, Wołodźko Stanisław. Matematyka 8 / H.Kąkol, S.Wołodźko. – Bielsko-Biała: KLEKS, 1997.

Литература

bogomolova 2

Education